（计算数学专业论文）若干二阶非线性差分方程正解存在性的研究.pdf

摘要 本文对若干二阶非线性差分方程正解存在性进行了研究，对不同类型的 非线性差分方程在非线性项半正定的假设前提下，对非线性项具有单调性的 情况，利用锥压缩与拉伸不动点定理等方法，得到了差分方程一个正解的存在 性。另外，对非线性项具有混合单调性的情况，利用不动点指数性质及锥压缩 与拉伸不动点定理等方法，得到了差分方程一个正解的存在性。在最后一部分 讨论了带有特征值的非线性二阶差分方程正解存在性问题，利用锥压缩与拉 伸不动点定理及逼近性理论，在一定的假设条件下，得到了差分方程正解存在 一眭。 关键词：差分方程，g r e e n 函数，不动点定理，不动点指数，正解，锥 a b s tr a c t i nt l l i sp a p e r t es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs o m es e c o n d _ o r d e rn o n 一 1 i n e a rd i 黯r e n c ee q u a t i o n s f o rd i f f e r e n td i f r e r e n c ee q u a t i o n s ，w e 矗r s ta 8 s u r n et h a tt h e n o n l i n e a r i t i e sh a 船t h ep r o p e r t i e 8o fs e m i p o s i t o n ea n dm o n o t o n i c i t yt h e nw ep r o v et h e e x i s t e n c eo fi ) o s i t i v es 0 1 u t i o n s 五d rd i f f e r e n e ee q u a t i o n sb yu 8 i n gf i x e dp o i n tt h e o r e mo f c o n ee x p a i l s i o na n dc o m p r e s 8 i o n i na d d i t i o n ，w h e nt h en o n l i n e a r i t i e sh a v et h ep r o p e r t i e s o fm i x e d m o n o t o n i c i t y lt h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v es o l u t i o nf o rd i f r e r e n c ee q u a t i o n si so b - t a i n d e db yu s i n g 丘x e dp o i i l tt h e o r e mi nac o n eo rf i x e dp o i n tt h e o r e mo fc o n i ce x p a n s i o n a n dc o m p r e s s i o n f i n a l l y ls o m en o n l i n e a re i g e v a l u ep r o b l e m sa r ed i s c u s 8 e d w eg e tt h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es 0 1 u t i o i 培f o rd i 能r e n c ee q u 砒i o n sb yu s i n ga p p o x i m a t b na n d6 x e d p o i i l tt h e o r e mo fc o n i ce x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o n k e yw b r d s ：d i 如r e n c ee q u a t i o n s ；g r e e n s 如n c t i o n ；f i x e dp o i i l tt h e o r e m ；f i x e d p o i n ti n d e x ；p o s i t i v es o h m o n s ；c o n e 2 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的 一切法律责任和法律后果，特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) 槐 二零零六年三月；叶，日 引言 差分方程是离散系统中很重要的一个分支，应用领域非常广泛，如计算机 科学、经济系统、动力系统、机械系统及交通系统等。近年来，差分系统引起 了许多学者、专家的重视，而差分方程正解是否存在是处理差分方程问题很重 要的一部分，因此，研究差分方程正解存在性的专家也越来越多，关于差分方 程正解存在性的文献也越来越多。 目前，许多文献对于差分系统的研究大多都是关于正定的，并且是单调 的，而对于半正定及混合单调性的研究相对少些。在文献f 7 ，8 ，9 ，1 0 ， n ，1 2 】中，作者们分别对差分方程正解的存在性进行了研究，但大多数都是 在非线性项是正定的前提下，通过给出一些假设条件，得到了差分方程一个正 解及多个正解的存在性。而在文献【2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 中，作 者们分别对半正定微分方程边值问题进行了研究，在一些假定条件下，得到了 边值问题的一个正解及多个正解的存在性。本文在一定的假设条件下，分别在 非线性项有负下界及无下界时，分别对于具有单调性及混合单调性的情况，给 出了具有半正定的差分边值问题正解的存在性。在本文的第一部分，我们考虑 了如下差分方程： i 2 u ( ) = ，( ，u ( ) ) ， 0 ，卅、 1 让( o ) = 钍( t + 2 ) = o 叭” 其中丁 1 是一个给定的正整数，“( 女) = “( + 1 ) 一u ( 七) ，2 札( ) = ( u ( 动) ， k6 】= h 。+ l ，6 ) c z 是一个整数集合。当非线性项具有半正定时，分别讨 论了非线性项有负下界及无下界时正解的存在性。在本章的第二小节中，我们 在非线性项有负下界时，通过给出一定的假设前提，利用锥压缩与拉伸不动点 定理，可以得到一个正解的存在性。有关假设条件及主要结果如下。 丑1 ) ，：【o ，t ( o ，+ o 。) 一r 是一连续函数，且存在一正常数m o ，满足 f ( 女，“) = ，( 女，u ) + 矿o ，( ，“) o ，列( o ，+ 。) ； 吼) f ( 七，乱) = ，( 尼，“) + msd ( ) 妒( “) ，其中， ( 七，扎) o ，刀x ( o ，+ 。) ， 妒：( o ，+ 。) 一( o ，+ 。) 是连续非减函数， ： o ，t 1 一( o ，+ o 。) ； 凰) 存在r 参喜g ( ，1 ) ，满足 一 r 南。嚣。l 萎g ( 川) n ( 。) 凰) 存在一个函数r ：f 1 ，刀一( o ，+ ) ，满足 ，( ，u ) + m r ( ) 妒( “) ； 风) 存在r 2 誉喜g ( 南，z ) ，使得当“ 学，捌时，成立 “妒( ) 等壹g ( 吒啪) “ l = 1 其中，一 o ，t + 2 ，满足 rt 蚤g ( 伸( 2 ) 2 。器。】蚤g ( 2 ，帅) 在上述几个假设的基础上我们得到了下面的主要结果： 定理1 1若且t ) 一风) 成立，则差分边值问题( o 1 ) 至少存在一个正解。 在本章的第三小节中，我们在非线性项无下界时，通过给出一定的假设前 提，利用锥压缩与拉伸不动点定理，可以得到一个正解的存在性。有关假设条 件及主要结果如下。 皿) 厂： o ，卅( o ，+ 。) 一j r 是一连续函数，且存在一个函数 ： 0 ，卅一 ( o ，+ 。) ，满足f ( ，孔) = ，( 七，“) + ( ) o ，( 女，u ) 0 ，卅( o ，+ 。) ； 日2 ) f ( ，“) = ，( ，u ) + ( 七) a ( ) 砂( “) ，其中，( 女，“) o ，明( o ，+ o 。) ， 妒：( o ，+ 。) 一( o ，+ 。o ) 是连续非减函数，a ：【o ，t 一( o ，+ o 。) ； 日3 ) 存在r 击塞g ( ， ) ( ! ) ，满足 。r 南。嚣。l 善g ( 训) 。( 。) 日4 ) 存在一个函数下：( 1 ，明一( o ，+ o 。) ，满足 ，( 后，) + ( 七) 7 _ ( 南) 妒( “) ； 9 风) 存在兄击喜g ( 七，f ) ( ? ) ，使得当“【华，同时，成立 乱妒( ) 等妻g ( 盯，f ) ，( z ) 其中，口 o ，t + 2 】，满足 善g ( 吒醐) 2 。器。l 吾g ( 2 ，岬) - 在上述几个假设的基础上我们得到了下面的主要结果： 定理1 2若日1 ) 一风) 成立，则差分边值问题( o 1 ) 至少存在一个正解。 另外，在文献 2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，29 讨论了混合单调性的微 分边值问题正解的存在性，而文献 7 ，8 ，9 ，l o ，l l ，1 2 讨论了非线性项 具有正定性时差分方程正解的存在性。但对于差分方程非线性项有混合单调性 的情况，很少有学者给予研究。因此，我们在本文的第二部分，主要针对差分 方程的非线性项具有混合单调性时，在一定的假设条件下，利用不动点指数性 质和逼近理论，给出了正解的存在性。我们在这里主要讨论了如下差分方程： 2 “( 。) + ，( 七，n ( 。) ) = o ，2 o ，卅( o 2 ) i 札( o ) = “f + 2 ) = o 其中丁 1 是一个给定的正整数，“( 女) = u ( 女+ 1 ) 一“( 女) ，2 “( ) = ( u ( 后) ) ， n ，纠= n ，n + 1 ，6 cz 是一个整数集合。在这一部分的第二小节中，我们在 非线性项具有正定性及混合单调性时，通过给出一定的假设前提，利用不动点 指数性质和逼近理论，得到了正解的存在性。有关假设条件及主要结果如下。 玩) 设，( ，甜) = ( 七) 囟沁( 七) ) + 扣( 七) ) 】，其中西： o ，t 一( o ，+ o 。) ，g ：( o ，+ 。) 一 ( o ，+ o o ) 为连续非增的， h ：( o ，十。) 一( o ，+ 。) 为连续非减的； 玩) 存在r 之o ，满足 和( ，+ 揣) 静一f ) ( m f ) 矾) o ( z ) o 为常数) ，此时， 原差分边值问题就相当于非线性项有下界时的情况，仍用本文同样的方法，我 们依然可以得到差分边值问题( o 2 ) 至少存在一个正解 在本文的最后一部分，我们讨论了一个带有特征值的差分方程正解的存在 性，并给出了特征值在一定的范围内时，差分方程正解的存在性。近年来，对 4 于特征值问题的研究倍受数学工作者的关注，是一个热门课题，在文献 2 5 ， 2 6 ，4 0 中分别给出了相应的讨论。而对于差分方程的非线性项半正定并且具 有混合单调性时，相关的结果却相当的少在这里我们允许非线性项半正定并 且具有混合单调性，在一定的假设条件下，得到了正解的存在性我们在这里 主要讨论了如下特征值问题： ， 2 “( 2 ) = a m ，札( ) ) ，2 m l “( o ) = u ( t + 2 ) = o 其中丁 l 是一个给定的正整数，a o 为一参数，n ( 七) = u ( 七十1 ) 一u ( 尼) ， 2 u ( ) = ( u ( 七) ) ， n ，6 = ha + 1 ，吣cz 是一个整数集合。有关假设条件 及主要结果如下。 h 1 ) 对于任意的( ，“) o ，明( o ，+ 。) ， o 茎，( ，“) + h ( 七) 妒( ) ( p ( “) + g ( “) ) 其中 ，妒： o ，t 一( o ，+ 。) ，p e ( ( o ，+ o 。) ，( o ，+ o o ) ) ，p ( u ) 关于札( o ，+ 。) 为 减函数， q e ( ( o ，+ ) ，( o ，+ o 。) ) ，口( “) 关于( o ，+ 。) 为增函数。 rt 竭) 三g ( f + 1 ，f ) 妒( f ) o ，满足 f ( ，“) = ，( ，u ) + a f o ，( ，u ) ( o ，司( o ，+ o o ) ； 凰) f ( 后，“) = ，( 女，“) + m5o ( 女) 妒( 钍) ，其中， ( 七，让) o ，卅( o ，+ o 。) ， 8 砂：( o ，+ 。) 一( o ，+ 。) 是连续非减函数，“： o ，卅一( o ，+ 。) 玛) 存在r 三苦喜g ( ，f ) ，满足 南。踹。砉g 湖) 皿) 存在一个函数r ： 1 ，丁 一( o ，+ 。) ，满足 ，( 女，) + m r ( 七) 砂( u ) ； 风) 存在r 鬻耋g ( 七，f ) ，使得当“ 学，嗣时，成立 刮等耋g 加( f ) 其中，口 o ，丁+ 2 ，满足 t g ( 叽f ) r ( f ) = 1 定义算子a ：p p 如下 a ( ) = g ( 女，f ) f ( 2 ，“( z ) 一声( j ) ) 则得以下引理： 引理1 4 若皿) 一风) 成立，则算子a ：q q 为全连续算子 证明用通常的方法很容易得证 口 在以上假设条件下，我们可以得到如下主要结果： 定理1 1 若皿) 一凰) 成立，则差分边值问题( 1 1 ) 至少存在一个正解。 证明 为了证明差分边值问题( 1 1 ) 有一个非负解，我们首先看如下边值 问题： 怎竺嚣当烈l 妊【0 冈 。， l ( o ) = u ( t + 2 ) = o r 。叫 其中， i 西( 七) = m g ( 七，f ) 9 m叫 t m鼢 接下来我们将证明差分边值问题( 12 ) 至少存在一个正解“。咖( 七) ， o ，刀，则令u ( 七) = u ，( 女) 一西( 七) 是差分边值问题( 1 1 ) 的一个正解。事实上， 2 “( 自)= 2 “l ( 七) 一且彳 2 聃1 ( ) 一删一 = ，( 尼，1 【七) 一【七) ) = ，( 七，( 七) ) 因此，讨论差分边值问题( 1 1 ) 的正解只需讨论差分边值问题( 1 2 ) 的正解。令 n 1 = 扣曰： r ) ， q 2 = ( e ：“i 一九( 后) 的二阶差分方程正解的存在性 本节将对一类二阶半正定非线性差分方程正解的存在性进行研究，允许非 线性项无下界并且具有非减性时，在一定的假设条件下，运用锥压缩与拉伸不 动点定理，证明了正解的存在性。 为了方便起见，我们以后将使用如下假设： 日1 ) ，：【o ，了1 ( o ，+ 。) 一冗是一连续函数，且存在一个函数 ：i o ，刀一 ( o ，+ o o ) ，满足f ( k ，u ) = ，( ，u ) + h ( ) o ， ( k ，u ) f o ，t ( o ，+ 。) ； 也) f ，“) = ， ，“) + h ) o ( 女) 妒( ) ，其中，( ，u ) o ，明( o ，+ o 。) ， 妒：( o ，+ 。) 一( o ，+ o 。) 是连续非减函数，： 0 ，卅一( o ，+ o 。) ； 1 2 风) 存在r 击喜g ( 七，f ) ( f ) ，满足 南。嚣q 蚤g ( ”) q ( 。) 凰) 存在一个函数r ： 1 ，邪一( o ，+ 。) ，满足 ，( 七，u ) + ( 七) 下( 七) 砂( ) ； 风) 存在r 2 击壶g ( ，f ) ( f ) ，使得当u 竽，捌时，成立 u 妒( 。) 等妻g ( 叽岬) 其中，口 o ，t + 2 】，满足 荟g ( 口，唧) 2 。嚣目萎g ( 女，帅) e 2 1 一jj 一1 定义算子a ：p p 如下 4 u ( 七) = g ( 女，f ) f ( f ，u ( f ) 一( f ) ) f = 0 则得以下引理： 引理1 6 若玩) 一风) 成立，则算子a ：q q 为全连续算子 证明 用通常的方法很容易得证 在以上假设条件下，我们可以得到如下主要结果： 定理1 2 若皿) 一风) 成立，则差分边值问题( 1 1 ) 至少存在一个正解。 证明 为了证明差分边值问题( 1 1 ) 有一个非负解，我们首先看如下边值 问题： j 2 ( ) = f ( 七，u ( 尼) 一( 七) ) ，女 o ，明 l “( o ) = 仳( t + 2 ) = o ( 1 1 3 ) 其中， t ( 女) = g ( 七，2 ) ( ? ) z 宅0 1 3 接下来我们将证明差分边值问题( 1 1 3 ) 至少存在一个正解u ，庐( ) ， o ，丁 ，则令n ( ) = u ，( 女) 一曲( ) 是差分边值问题( 1 1 ) 的一个正解事实上， 2 u ( 七)= 2 “1 ( ) 一 ( ) = f ( 南u 1 ( 惫) 一( 七) ) 一九( 七) f 1 1 4 ) = ，( 七，“1 ( 七) 一曲( 膏) ) = ，( 七，札( 七) ) 因此，讨论差分边值问题( 1 1 ) 的正解只需讨论差分边值问题( 1 1 3 ) 的正解。令 n 1 = u e ：i o ， 使得i 妒( z ) l 舰( 比m ，v 妒f ) ；称它是等度连续的，如果v e o ，总可以 找到6 ( e ) ，使得 f 妒( z 1 ) 一妒( z 2 ) i e ( 、童1 ，z 2 m ，p ( z l ，z 2 ) o 和a z p z 则 i ( a ，p n f 2 ，p ) = o 引理2 2 ( a r z e l a _ a s c o l i ) 为了fcg ( m ) 是一个列紧集，必须且仅须f 是 一致有界且等度连续的函数族。 2 2 具有混合单调性的正定非线性差分方程的正解 在这一小节中，我们将在非线性项具有正定性及混合单调性时，通过给出 一定的假设前提，利用不动点指数性质和逼近理论，得到了一个正解的存在 性。 为了方便起见，我们以后将使用如下假设： 玩) 设，( 女，) = ( ) b 心( ) ) + ( u ( ) ) 】，其中： o ，明- + ( o ，+ o 。) ，g ：( o ，+ 。) _ ( o ，+ o 。) 为连续非增的，a ：( o ，十。o ) 一( o ，+ 。) 为连续非减的； 凰) 和( ，+ 揣) 蓦( 圳删f ) 定义算子鸟：p p 如下 o ( z ) + o 。 f = 0 a ，“( 。) 2 善g ( 女删z ) b ( “( z ) + n + ( 乱( f ) + 】 l = u 则得如下引理 引理2 2 若儡) 一凰) 成立，则算子也：q ，q 为全连续算子 证明 用通常的方法很容易得证 利用以上引理，我们可得如下结果 1 8 引理2 3令吼= “q ：l o 。直接计算，我们有 2 “。( 2 ) + p 。妒( 2 ) 【g ( u 。( 2 ) + j 一1 ) + ( “。( 七) + j 一1 ) 】= o ，。 o ，t 】( 2 3 ) lu o ( o ) = “o ( t + 2 ) = o 于是，2 o ( ) o 且 u 。( o + 1 ) o ，易知。l | = u o ( o + 1 ) 。对( 2 4 ) 式从o 到一1 两边求和，我 们有 - 州卅舢鼬0 ) 咖舭) ) ( 1 + 揣) 美鲫) 即 一揣卸寸揣，勘， 然后，再对上式从十1 到丁+ 1 两边求和，我们有 耥卸+ 黼) 。篡。笺) ( 1 十黼) ，篡，( t + 1 _ f ) 如) ( 2 6 ) o ，则“o ( 七) 在( o ，t + 2 】上是恒增的，即 o = “o ( o ) u o ( 1 ) o ( t + 1 ) u o ( t + 1 ) o ( t + 2 ) = o 矛盾。由( 2 5 ) ，( 2 6 ) 式，我们知 高 o ，存在d o ，使得当t 1 ，2 ( o ，丁+ 2 ) ，f 0 ，t + 2 】，l t l 一屯i 6 时，有 l g ( t 1 ，f ) 一g ( t 2 ，f ) i e 贝4b 2 1 ，t 2 ( o ，丁+ 2 ) ，当l t l 一2j ( 1 + 揣) 篆( r 小f ) ( m f ) 定义算子a ：p p 如下： a “( ) = g ( 尼，f ) 庐( 2 ) b ( u ( z ) 一u ( f ) ) + 九( 札( f ) 一u ( 2 ) ) 】 其中， u ( ) = g ( ，f ) p ( f ) 则得如下引理： 引理2 4若何- ) 和凰) 成立，则算子a ：q q 为全连续算子 证明用通常的方法很容易得证。 引理2 5若皿) 和凰) 成立，且设对于某个肛o f o ，1 】，及“o q ，使得 | | 茎墙，u 0 _ 肋a u o 。则u o 满足如下边值问题： 2 札。( 七) + 肛。( 七) g ( 乱。( 七) 一u ( 七) ) + ( u 。( 尼) 一u ( 七) 】= o ， 七 0 ，丁 ( 2 1 4 ) l 札o ( o ) = o ( t + 2 ) = o 利用以上引理，我们可得如下主要结果。 定理2 2 若日- ) 和蜴) 成立，则差分边值问题( 2 1 ) 至少存在一个正解。 证明为了证明差分方程( 2 1 ) 有一个不动点，我们只需证明 i ( a ，n o ，q ) = 1 其中， n o = “q ：i i u i l o 。由引理2 5 知( 2 1 4 ) 式成立。于是，2 “。( 女) o ，即。( ) 在 o ，r + 1 上是严格单调减的，则“。( ) 在 o ，t + 1 】上至多存在一个零点。易 知，对任意的女 o ，邪，我们有 札o ( 七) 一u ( 七)j “o ( 七) j m + 岛 2 4 因此，我们有 一2 u o ( 女)= 卢。妒( 七) b ( u o ( ) 一u ( 尼) ) + ( 札o ( 膏) 一u ( ) ) 咖( 七) 9 ( “。( 七) 一u ( ) ) ( 1 + 美舞删) ( 2 1 6 ) 移( 七) 9 ( 知( ) ) ( 1 + 湍) 我们有如下情形： 情形( 1 )“。( ) 在 o ，r + 1 】上存在零点，易知i l = u o ( ) ，且“o ( ) 在 o ，。】上是严格单调增的，对( 2 1 6 ) 式从七到k o 一1 两边求和，我们有 娜旧( 知0 ) ( 1 + 裟) 蔷钾) 即 意鲫十描，篆鲫， 然后，从。到一1 对上式两边求和，我们有 趟 ( 1 + 涨) 譬喜) o 且“。( + 1 ) o ，易知怯| | = u o ( o + 1 ) 对( 2 1 6 ) 式从到一1 两边求和，我们有 _ 州卅龇心。) 9 ( 酬1 + 揣) 勘) 即 一耥卸+ 揣，静， 然后，再对上式从+ 1 到t + 1 两边求和，我们有 耥 o ，则u 。( ) 在 o ，丁+ 2 】上是恒增的，即 o = 札o ( o ) “o ( 1 ) “o ( 丁+ 1 ) “o ( t + 1 ) u o ( ? + 2 ) = o 矛盾。由( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) 式，我们知 茄外+ 揣，善c t 一嘶 与条件( 凰) 矛盾。故( 21 5 ) 式成立。 于是，由不动点指数的性质我们知， z ( a ，n o ，q ) = 1 成立。因此差分边值问题( 21 ) 在n 。内至少存在一个正解。 口 由定理2 2 我们可得如下推论： 推论2 2 假设，( ，“) s 庐( ) b ( u ( 七) ) + ( ( ) ) 】一p ( ) ，其中p ，咖： o ，卅一 ( o ，+ 。) ，g ：( o ，+ 。o ) 一( o ，+ o 。) 为连续非增的，九：( o ，+ o 。) 一( o ，+ o 。) 为连续非减 的；且若岛) 成立，则差分边值问题( 2 1 ) 至少存在一个正解 这样将使得可解决的问题的范围更加广泛。 注2 1 本节中主要讨论了非线性项无下界时正解的存在性，若令非线性 项，( ，“) s 妒( ) b ( ( ) ) + ( u ( 女) ) 】一p ( 七) 中的p ( 女) = m ( m o 为常数) ，此时， 原差分边值问题就相当于非线性项有下界时的情况，仍用本文同样的方法，我 们依然可以得到差分边值问题( 2 1 ) 至少存在一个正解 下面我们将给出一个具体的例子。 例2 2 考虑如下差分边值问题 篇! l 枣嫱佃氟砷卜南- 0 m n e j ( 2 1 9 ) f “( o ) = 札( 8 ) = o p 其中磐，u ) 2 南( 南+ 一剥南，= 南，g ( 札) ：南， ( “) 2 “。( 。) ，p ( 七) 2 两责两，易于验证条件吼) 和飓) 成立，则由定理2 2 可 知，差分边值问题( 2 1 9 ) 至少存在一个正解。 第三章带特征值的混合单调性的差分方程 在本章中，我们讨论了一个带有特征值的差分方程正解的存在性，并给出 了特征值在一定的范围内时，差分边值问题正解的存在性。近年来，对于特征 值问题的研究倍受数学工作者的关注，是一个热门课题，在文献 2 5 ， 2 6 ， 4 0 1 中分别给出了相应的讨论。而对于差分方程非线性项半正定并且具有混合 单调性时，相关的结果却相当的少。在这里我们允许非线性项半正定并且具有 混合单调性，在一定的假设条件下，得到了正解的存在性。 3 1基本概念及引理 本章考虑如下二阶差分边值问题： r 2 “( 。) = 1 m ，u ( 2 ) ) ，。悯 i “( o ) = 乱( t + 2 ) = o 其中丁 1 是一个给定的正整数，a o 为一参数，( ) = ( 女+ 1 ) 一“( ) ， 2 u ( ) = ( u ( k ) ) ， 8 ，b = 。，a + 1 ，b ) cz 是一个整数集合。 首先给出相关的概念及引理。 定义3 1设e 是实b a n a c h 空间，dce ，日d ，a ：d e ，4 p = p ，若 z o d 满足如日，a 跏= a 勒，a 是某实数，则称a 是a 的特征值 引理3 1 ( 序形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理) 设q ，q 。是e 中有 界开集，口n - ，丽c n 。，a ：尸n ( 面q ，) 一尸全连续。如果满足条件 ( ( _ ) 4 zz 。， v z p na n l ； a zg 。，v z p na n 2 ； ( 即锥拉伸) 或 ( g ) 加gz ，比p n a n l ；a z 芝。， 忱尸n a n 2 ( 即锥压缩) 那末，a 在p n ( q 。五万中必具有不动点。 3 2带混合单调性条件的特征值问题正解的存在性 在本节中，我们讨论了一个带有特征值的差分方程正解的存在性，并给出 了特征值在一定的范围内时，差分边值问题正解的存在性。在文献 2 5 ，2 6 ， 4 0 1 中分别给出了微分方程特征值问题相应的讨论。而对于差分边值问题的非 线性项半正定并且具有混合单调性时，相关的结果却相当的少在这里我们允 许差分边值问题的非线性项具有半正定性并且有 昆合单调性时，在一定的假设 条件下，得到了正解的存在性。 对于任给的u p ，当k f o ，t 1 时，我们首先假设 t ( l ) ( k ) = g ( 女，f ) 危( f ) f = 0 厶( k ，u ( k ) ) = ，( 女，u 。( a ；k ) ) + ( ) ( 露) ( ) ：入墨g ( k ，1 ) 厶( ，。( 2 ) ) z = 0 其中，“。( a ；女) = m “ u ( ) 一a ( l ) ( k ) ，o ) + ：，n 。 为了方便起见，我们以后将使用如下假设： h 1 ) 对于任意的( ，) o ，刀( o ，+ o 。) ， o ，( ，“) 十危( 后) 茎妒( ) ( p ( “) + q ( “) ) 其中h ，妒： o ，明一( o ，+ 。o ) ，p g ( ( o ，+ ) ，( o ，+ 。) ) ，p ( 札) 关于“( o ，+ o 。) 为 减函数， g g ( ( o ，+ 。) ，( o ，+ o 。) ) ，q ( u ) 关于u ( o ，+ 。) 为增函数。 日2 ) 三g ( f + 1 ，f ) 妒( f ) o ，使得 1” j 2 a b ( ) + q ( 工+ 1 ) ( 妒( f ) 十妒( f ) ) 6 o ，使得当t l ，2 ( o ，t + 2 ) ，z o ，t + 2 】，i t l 一t 2 i 6 时，有 g ( 圳一g ( 圳f 面丽疗而碉 ( 3 5 ) 令dcq 为一有界集，不妨设对于正数工有i l ，u d 。由( 3 4 ) 式和 ，训叫m 南 = ( 35 ) 式，并注意到引理1 1 ，则机l ，t 2 ( o ，t + 2 ) ，当i 1 一f 2 i m a x 2 凰，筹，a m + 圭g ( f + 1 ，z ) ( f ) ) ，则当。2 时，我们接下来证明： 露“g “，讹q n a q 月 ( 3 1 1 ) 若不然，则存在某个“，qna f 2 尺和n ，2 ，使得跣“。“，；另一方面，当 七一，卅时，我们有 “。( 女) 一a ( 三 ) ( 七) 掣华( 3 1 2 ) 因此，当k 州时，我们有 因此， 兄u 1 ( 。) a 舌g ( 。，。) ，n - ( 。阳( f ) ) a 肘+ 丕g ( 。+ 1 ，2 ) m “1 n - ( a ；。) + ( f ) 】 ( 3 1 3 ) a 胪圭g ( f + 1 ，f ) 芈+ ( f ) 】 2 m 一 + g ( 1 + l ，z ) ( 2 ) 】 m 兰一 m + 2 _ r g ( 1 + 1 ，f ) f = 0 生一 m ，2 g ( 1 十1 ，z ) +g t d + + 华 眵 r 此因 这与 的选取矛盾，因此( 3 1 1 ) 式成立。 综上所述，由( 3 7 ) 式和( 3 1 1 ) 式可知，算子砑在q n ( n r 瓦i ) 中至少有 一个不动点。 口 定理3 1若日，) ，凰) 和风) 成立，则对于某个a ( o ，a ) ，差分边值问题 ( 31 ) 至少存在一个正解矗( ) ! 笔产，k o ，卅，其中a 和r 0 同引理( 3 2 ) 。 证明令a ( o ，a ) 是已知常数，则算子露在qn ( q 且面) 中至少有一 个不动点“：，即 风 i i “到 o ，d = j ( e ) ，v ( t 1 ，f ) ，( t 2 ，f ) ( o ，t + 2 ) ，当l t l 一t 2j 6 时，有 g ( t 1 ，f ) 一g ( t 2 ， ) i e 。则1 ，t 2 ( o ，t + 2 ) ，当h t 2 i 6 时，我们有 个 f “：( ，) 一“i ( 亡1 ) l a 五l g 0 1 ，z ) 一g ( f 。，2 ) 矗( f ，“0 ( f ) ) 5 ( 3 1 6 ) a e 妒( f ) 囟( ：) + g ( r + 1 ) 】 0 = u 这表明序列 “i ( t ) ) 籀为等度连续的，因此，由a r z e l 舢a s c 0 1 i 定理可知，序列 札：( ) 篓为相对紧集，则存在一个子序列 “：( z ) ) 苦c 札：( t ) ) 掐收敛到( ) g ( o ，t + 2 ) ，也就是说， u i ：( ) ) 篙在( o ，丁+ 2 ) 上一致收敛到1 ( ) 。 在( 31 4 ) 式和( 3 ，1 5 ) 式中用砭，( ) 代替u ：( t ) ，并且当f 一+ 。时，我们得 哟 列并 醇 下孔 剑 r o | | 1j | s 兄和 ( t ) 一a ( 上 ) ( t ) 三竺挚， ( o ，t + 2 ) 由于“i 。( ) = 磁u ：；( z ) ，让f 一+ o 。，由l e b e 8 9 u e 控制收敛定理知 t u 1 ( t ) = a g ( ，2 ) ，( z ，“1 ( f ) a ( 三 ) ( f ) ) + ( j ) 】 让所有的在 o ，丁+ 2 】中取值，并令女：t ，则有 t u 1 ( 女) = a g ( 七，f ) ，( f ，札1 ( f ) 一a ( 三 ) ( f ) ) + ( ? ) 从而由直接计算可知 j 2 “( ) = a ，( 七，u 1 ( 七) 一a ( ) ( ) ) + ( 女) ，os 七sr l ( “a ) ( o ) = ( u a ) ( 丁+ 2 ) = o 不妨令面( 女) 2u 1 ( ) a ( 三 ) ( 女) ，则通过直接验证可知面是差分边值问题( 3 1 ) 的 一个正解。 口 参考文献 1 j r pa g a r w a la n dn _ h s i a n gw b n g a 竹唧托缸o n0 ，t 印o j 卿ft 咖s u e 瑚n 陇g 亡0n o n p o s 撕 e 匆 e ro 州e r 出肥他n c ee 口虬o d 札s ，a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，9 9 ( 1 9 9 9 ) ： 1 6 7 - 1 7 8 2 】rpa g a r w a l ，h b t h o m p s o na n dc c t i 8 d e u ，2 巩他e p o 扎亡b d 札扎d 口阿忱：ep m 6 f e m s ，o r n d _ o 砌e rd t s c 旭t ee g 妣【挽o n s ，c o m p u t e r 8a n dm a t h e m a t i c s ，4 5 ( 2 0 0 3 ) ：1 4 2 9 1 4 3 5 【3 f m e r d i v e n c ia t i c i ，。丘锄s 把c0 ，p 0 5 i f es o f “t o 住s0 ，b 亿托佗e n r _ d i s c 他t e 兜“”n 三f d “ 引把 n 劬f e m s ，m a t hc o m p u t m o d e l 3 2 ( 2 0 0 0 ) ：5 9 9 6 0 7 4 dr a n d e r s o n ，d 拈c 他把吼 醇。州e r 孤脚一p o 耐r 劬t f 。f 口d 札扎d o 叫耽轧ep m b l e m s ， c o m p u t m a t h a p p l i 4 5 ( 2 0 0 3 ) ：8 6 1 8 7 1 5 】p jy tw o n g ) s o f t i d 佗so ，c 0 几s t n 耐s 匆扎so ，os 驴t e mo ，s 托仰1 一三 o 乱机6 伽付d 口曙仇f e 尸m 6 把m s ，m a t h c o m p u t m o d e l 2 9 ( 2 0 0 4 ) ：8 5 7 _ 8 7 0 6 】j r g r a e j h e n d e r 8 0 n ，d o u 6 ；es o 托t i o n sd ，6 0 仃d 。叫惋池e 砌6 f e m s ，o r2 m 执一d 耐e rd 萨 扛他n i o fe g 。托o n s 。n d 戒肫他n c ee 弘。扰。佗5 ，c o m p u t m a t h a p p l i 4 5 ( 2 0 0 3 ) ：8 7 3 - 8 8 5 1 7 j jp s u n ，w t l i ， 扎腮啦f ep o s 乱西e5 0 缸托，礼3 。，n 出5 c 咒t ed 协他n 傀5 s t e m ，a p p l m a t h c o m p 1 4 3 (