（计算数学专业论文）美式债券期权定价的差分方法.pdf

东北大学硕士学住论文 摘要 美式债券期权定价的差分方法 摘要 金融数学是最近发展起来的新型学科，是金融学与数学的交叉学科。 金融数学主要运用现代数学的理论和方法对金融的理论和实践进行定性和 定量的分析研究。在金融市场中风险无处不在：资产风险、利率风险、货 币风险、信用风险、商品风险等。金融衍生工具是一种风险管理的工具， 它的价格依赖于其它更基本的原生资产的价格变化。 期权是最重要的金融衍生工具之一。自1 9 7 3 年在美国首次进行场内交 易以来，期权市场发展十分迅猛。期权是赋予持有者在将来某确定时间 以某一确定价格购买或出售标的资产的权利。期权理论的核心是期权定价 问题。对于欧式期权，b l a c k 和s c h o l e s 早已给出解析形式的定价公式，然 而对于美式期权的价格并不存在这样的解析公式，也无法求得精确解。因 此研究各种计算美式期权价格的数值方法有重要的实际意义。美式期权定 价问题的数学模型一般可归结为自由边值问题或相应的线性互补偏微分方 程。尽管人们早已提出可用偏微分方程数值方法来近似求解此类问题，但 有关数值方法的理论分析还不够完善。 本文主要研究了美式债券期权定价问题的差分方法，将美式债券期权 满足的线性互补偏微分方程边值问题转化为等价的变分不等方程。建立隐 式差分逼近格式和c r a n k n i e o l s o n 差分逼近格式，借助变分不等方程的理 论知识，同时采用能量法进行了差分解的稳定性和收敛性的理论分析，并 给出误差估计。其中c r a n k n i c o l s o n 差分格式计算的精度较高。最后数值 计算表明本文算法是一个高效、收敛的算法。 关键词：美式债券期权，变分不等方程，差分逼近，稳定性，收敛性 - 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ed i f f e r e n c em e t h o df o ra m e r i c a nb o n do p t i o np r i c i n g a b s t r a c t f i n a n c i a lm a t h e m a t i c si san e wd e v e l o pc o n r s er e c e n t l y ，i sac r o s so ff i n a n c ea n d m a t h e m a t i c s r i s ke x i s t si nf i n a n c i a lm a r k e t ：t h ep r o p e r t yr i s k ，t h ei n t e r e s tr a t er i s k , t h e c u r r e n c yr i s k ，c r e d i tr i s k ，m e r c h a n d i s er i s ke t c t h er i s kc a nm a k ep e o p l eb e n e f i t ，c a na l s o m a k ep e o p l es u r p r i s e dd a m a g e d f i n a n c ed e r i v a t i v et o o li sak i n do ft o o lo fr i s km a n a g e m e n t a n di t sp r i c ed e p e n d so nt h eu n d e r l y i n ga s s e tp r i c e o p t i o ni st h em o s ti m p o r t a n tf i n a n c ed e r i v a t i v es e c u r i t y s i n c eo p t i o nw a sf i r s tt r a d ei n a m e r i c a nb o a r do fo p t i o ne x c h a n g ei na p r i l19 7 3 ，t h ed e v e l o p m e n to fo p t i o nt r a d i n g a r o u s e dc o n s i d e r a b l ei n t e r e s ta m o n gt h ea c a d e m i c c o m m u n i t y t h eo p t i o n m a r k e t d e v e l o p m e n ti sv e r yf a s t o p t i o np r i c i n gp r o b l e mp l a y sak e yr o l ei no p t i o nt h e o r y b l a c ka n ds c h o l e sf i r s tg a v ea l l o p t i o np r i c ef o r m u l a t oc a l c u l a t ee u r o p e a no p t i o n h o w e v e r ，f o ra m e r i c a no p t i o n , n oa n a l y t i c f o r m u l aa n de x a c ts o t u t i o nc a r lb eo b t a i n e d t h u s ，t h es t u d yo f n u m e r i c a lm e t h o d sf o rv a r i o u s a m e r i c a no p t i o ni sv e r ys i g n i f i c a n t i nt h i st h e s i sw es h a l ls t u d yf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sf o rp r j c i n ga m e r i c a nb o n do p t i o n t h eb a c ke u l e rf u l l yd i s c r e t i z e da p p r o x i m a t i o ns c h e m ew a se s t a b l i s h e df o rt h ev a r i a t i o n a l i n e q u a t i o n sd e r i v e df r o mt h eo p t i o np r i c i n gp r o b l e m s i tw a sp r o v e dt h a tt h ed i f f e r e n c e s o l u t i o n sw e r es t a b l ea n dc o n v e r g e n t n u m e r i c a l e x a m p l e s s h o wt h ee f f i c i e n c ya n d c o n v e r g e n c eo fo u ra l g o r i t h m k e y w o r d s ：a m e r i c a nb o n do p t i o n ；v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；d i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o n ；s t a b i l i t y c o n v e r g e n c e i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成果 除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包 括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名赤p b 蠲：跏s - 1 歹 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规 定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索、交流。 学位论文作者签名 胬小、专 日 期：2 f f 乙 另外，如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。 学位论文作者签名： 前“宁 签字日期：旦$ f 口 导师签名锄 签等喃秒5f p 东北大学硕士学位论文 绪论 绪论 1 9 9 7 年1 0 月1 4 日，瑞典皇家科学院在斯德哥尔摩宣布，将第二十九届诺贝尔经 济学奖授予美国哈佛大学教授罗伯特默顿( r o b e r t c m e r t o n ) 和迈伦肖尔斯( m y r o n s s c h o l e s ) 以表彰他们在金融数学方面的杰出贡献。 金融数学( m a t h e m a t i c so f f i n a n c e ) 是最近发展起来的新型学科，是数学与金融学的交 叉学科。金融数学主要应用现代数学理论和方法对金融的理论和实践进行定性、定量的 分析研究”“。j 。 在金融市场、商品市场中风险无处不在：资产风险、利率风险、货币风险、信用风 险、商品风险等。风险可以使人们意外获益，也可以使人们意外受损，甚至带来灾难。 金融衍生物( f m a n c i a ld e d v m i v e s ) 是一种风险管理的工具，它的价值依赖于其它更基本 的原生资产( 或称标的资产u n d e r l y i n ga s s e t s ) 的价格变化。在金融市场、商品市场中有 很多形式的金融衍生工具，远期合约( f o r w a r dc o n t r a c t s ) ，期货( f u t u r e s ) 和期权( o p t i o n ) 是三种最基本的金融衍生工具。如果把原生资产设定为股票、债券、汇率或商品等，那 么为对这些原生资产进行风险管理，相应的有：股票期货( 期权) 、债券期货( 期权) 、 货币期货( 期权) 以及商品期货( 期货) 等。 利用金融衍生物对原生资产进行风险管理的基本策略是套期保值( 或对冲 h e d g i n g ) ，即交易者在现货市场和期权( 货) 市场同时构作两个数量相同，方向相反的 头寸( p o s i t i o n s ) 。制定这个风险管理策略的出发点是：人们认为在一般情况下，现货远 期价格和期货价格的变动方向和幅度基本一致。现( 期) 货市场的亏损可以用期( 现) 贷市 场的盈利来补偿，从而达到防止或减少因价格波动造成的损失，转移和分散价格波动所 带来的风险。 数学在现代金融学的定性定量研究中起着关键作用。r o b e r tc m o r t o n 说：“现代 金融学中的数学模型包含了概率论和最优化理论的一些最漂亮的应用。当然，科学中漂 亮的东西未必一定实用，而科学中实用的东西又并非都是漂亮的，但在这里两者俱全。” 1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖的得主们经过反复研究，发现股票市场价格遵循带漂移的几 何布朗运动的规律，利用艰深的数学知识随机过程和随机微分方程，最终设计出比较 科学的各类期权定价公式。尽管公式比较复杂，但由于电脑和电子计算器联网，交易商 操作起来很简单。如今，期权及其它金融衍生产品的交易不分国界，一天二十四小时都 在进行，每天都有成千上万的交易者运用“b l a c k s e h o l e s ”公式。一个惊人的事实是； 期权的实际成交价格的确总是在由此公式所得出的理论价格上下作偏差不大的波动，特 别是对时间较短，没有太大波动的期权交易。这一模型的误差只有百分之一。 诺贝尔经济学奖得主保罗萨缪尔森说：“世界上没有哪个公式能够稍稍改变变幻 莫测的股市风云，b l a c k s c h o l e s 公式使每一位老太太都能够请专家估计她持有的证券的 1 东北大学硕士学位论文绪论 风险，并在适当时候回避风险。”这个完美而天才的公式的确也经受了2 0 多年国际金融 市场的考验，是当今期权交易的投资者衡量盈亏和风险的主要计算工具。 为了促进经济的迅速发展，世界各国创新运动日益加快。众多的新的金融产品和衍 生工具不断涌现，新的金融服务也层出不穷，因此新的金融市场的运行规律、资产组 合选择、金融衍生工具的设计与定价、风险分析与管理、以及相关的投资决策分析显得 空前重要，这也正是金融数学研究和解决的核心问题。实践证明金融理论和金融数学的 发展，极大的促进了世界各国的经济和社会发展。相反，金融投机可以像原子弹一样摧 毁一个国家或地区的经济。 由于各种原因我国的金融市场起步较晚，金融工具少，对金融数学研究较少，金融数 学在金融实践应用中更少，金融学科的建设也非常落后。但是近年来的国际金融事件引 起我国对金融数学研究的高度重视。在现代金融理论和金融实践中，数学不是万能的， 但是没有数学是万万不能的。我相信本世纪金融数学将会得到更深入的发展和更广泛的 应用。 本文第一章介绍期权的基本理论，它是以后各章所涉及到概念和模型的理论基础。 第二章主要介绍i t o 定理及b l a c k s c h o l e s 定价公式，并给出相关的证明。第三章介绍数 值方法差分方法的相关理论知识。第四章则将差分方法应用到美式债券期权的定价问 题。通过变量变换将原问题化简并转化为等价的变分不等方程，对美式债券期权所遵循 的变分不等方程建立隐式差分逼近格式和c r a n k - n i e o l s o n 格式，利用能量方法进行了差 分解的稳定性和收敛性分析，并给出误差估计。数值例子表明本文的算法是快速，稳定 和收敛的。 2 一 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本知识 第一章期权定价的基本知识 衍生产品( d e r i v 撕v es e c u r i t y 也称衍生证券、衍生工具) 是一种金融工具，其价值依 附于其它更基本的标的变量。例如股票期权就是一种衍生证券，其价值依附于股票的价 值。 本章将期权定价的基本概念、理论作一介绍。它们是以后各章所涉及到的概念和模 型的基础。 1 1 期权的相关定义 期权( o p t i o n ) 是双方当事人的一种合约形式。根据合约，一方赋予另一方在特定的时 间或这个时间之前，以个特定的价格购买或出售定数量的某种特定资产的权利，但 并不承担必须购买或出售的义务。 在期权合约中，确定的价格称为实旖价格( e x e r c i s ep r i c e ) 或敲定价格( s t r i k ep r i c e ) ， 确定的日期称为到期f l ( e x p i r yd a t e ) 。按期权合约规定执行购入或销售原生资产则称为实 施( e x e r c i s e ) 。 每一期权合约都有双方。一方是购买期权合约的一方，称为期权多头头寸，他必须 为获得该种权利支付费用。这种费用日砷做期权的权利金。另一方是出售或承约期权合约 的一方，称为期权空头头寸。期权的多头头寸事先收取现金，但之后具有潜在的负债。 他的损益状态与期权空头头寸的损益状态正好相反。 期权的分类 ( 1 ) 看涨期权，看跌期权 期权按合约中购入和销售原生资产可分为看涨期权( c a l lo p t i o n ) 和看跌期权( p u t o p t i o n ) 。看涨期权是一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产 的合约。看跌期权是一张在确定时间，按确定价格有权出售定数量和质量的原生资产 的合约。 ( 2 ) 欧式期权，美式期权 期权合约中按有关实施的条款可分为欧式期权o ! u r o p e a no p t i o n ) 和美式期权 ( a m e r i c a no p t i o n ) 。欧式期权是指能在合约规定的到期日实施。美式期权能在合约规定 的到期日阻前( 包括到期日) 任何一个工作日实施。 期权的收益。设k 为敲定价格，? 是到期日，则在到期日期权的收益k 为 巧= ( 砩一足) + 看涨期权 巧= ( 足一s ) +看跌期权 研指原生资产在到期日，= t 的价格。 3 一 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本知识 、 o k 图1 1 看涨期权 f i g u r e1 1 c a l lo p t i o n 、i 。 ， ok 图1 2 看跌期权 f i g u r o1 2 p u to p t i o n 1 2 期权定价问题 期权作为一种衍生证券，它的定价取决于原生资产价格的变化。由于原生资产是一 种风险资产，因此它的价格变化是随机的。但是，一旦原生资产价格确定下来，那么作 为它的衍生证券( 期权) 的价格也将随之确定。这就是说，若在t 时刻原生资产价格为s ， 期权价格为k ，则存在函数g ( s ，t ) 使得巧= 矿 ，t ) ，其中v = v ( s ，f ) 是一个确定的二元 函数。 在期权的到期日期权的价值k 是确定的，它就是期权的收益。 ，i ( s - k ) + 看涨期权 1 i ( k s ) +看跌期权 期权定价问题就是求v = v ( s ，f ) ( 0 s 0 0 ，0 t t ) 使得 矿旧，n ：j ( 品一世) + 看涨期权 一7 【( k 一墨) + 看跌期权 特别是在期权生效日t = 0 时，若股价为，问v ( s o ，0 ) 是多少。可见期权定价问题是一 个倒向问题。 4 东北大学硕士学位论之 第一章期权定价的基本知识 1 _ 3 其它类型的期权介绍 看涨看跌期权有时称为大众型或标准化衍生证券，比其盈亏状态更复杂的衍生证券 有时称为新型期权。大多数新型期权在场外交易，它们是由金融机构设计以满足市场特 殊需求的产品。在此，描述各种不同类型的新型期权。 打包期权是由标准欧式看涨期权、标准欧式看跌期权、远期合约、现金及标的资产 本身构成的证券组合。 非标准美式期权是指交易的美式期权不一定总具有在有效期内任何时间均可行使 期权且执行价格总是相同的这些标准特征，而这种期权提前行使只限于期权有效期内特 定日期，而不是有效期内的所有时问都可以。 远期开始期权是现在支付期权费，但在未来某时刻开始的期权。它们有时用于雇员 奖励计划。通常选择台适的条款以使该期权，在启动时刻处于不亏不赢的两平状态。 复合期权是基于期权的期权。复合期权主要有四种类型：基于某个看涨期权的看涨 期权、基于某个看涨期权的看跌期权、基于某个看跌期权的看涨期权、基于某个看跌期 权的看跌期权。复合期权有两个执行价格和两个到期日。例如，考虑如下基于某个看涨 期权的看涨期权情形。在第一个执行日王，复合期权的持有人必须付清第一笔执行价格 置，并获得某个看涨期权。该看涨期权给予持有人第= 个执行价格置，在第二个执行 日z 购买标的资产的权利，只有当第二个到期日期权价值大于第一个执行价格时，复合 期权可在第一个执行日行使期权。 障碍期权是它的收益依附于标的资产的价格。在一段特定时间内是否达到了某个特 定水平( 即障碍) ，但达到某种障碍时，期权或者存在或者一文不值。 回望期权的收益依附于期权有效期内股票达到的最大价格或最小价格。 亚式期权的收益依附于标的资产有效期至少某一段时间内的平均价格。 1 4 期权的基本用途 期权有两个基本用途：套期保值和投机。套期保值是两面下注避免损失，减少面临的 风险。大多数生产商或贸易商参与衍生证券市场交易的目的是转移或减少现货市场的价格风 险，确保本身获得预期利润。投机是甘愿用资金去冒险，不断的买进或卖出衍生证券， 希望从市场价格的经常变化中获取利润的行为。运用期权投机能提供额外的杠杆作用， 投资者通过投入少量资金( 支付期权金) ，而实际进行的是比它大几倍甚至几十倍的标 的资产的投机。 的资产的投机。 - 5 东北大学硕士学位论文 第二章期权定价b l a c k - s c h o l e s 公式 第二章期权定价b l a c k s c h o l e s 公式 1 9 7 3 年f i s c h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 建立了看涨期权定价公式，这个公式的创 新之处就在于不依赖投资人的偏好，它把所有投资人引向同一个以无风险利率作为投资 回报率的风险中性世界( r i s k - n e u t r a lw o r l d ) 。这个光辉的公式及由此产生的期权定价理 论方面的一系列贡献使m s c h o l e s 和r m e r t o n ( f b l a c k 已故) 获得诺贝尔经济学奖。 本章我们对b l a c k s c h o l e s 模型进行阐述。 2 1 股票价格的行为模式 如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程 ( s t o c h a s t i cp r o c e s s ) 。马尔科夫过程( m a r k o vp r o c e s s ) 是一种特殊类型的随机过程。 人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程。也就是说股票的当前值与未来的预测有关， 而它过去的历史值和从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关。 股票价格行为模型通常用著名的维纳过程( w i e n e r p r o c e s s ) 来表达。维纳过程是马 尔科夫随机过程的一种特殊形式。假设在时刻f 股票价格为s ，在随后的出时间内股票 价格从s 变化到s + 施。考虑譬的构造，它可视由两部分组成。一部分类似无风险利 6 率即确定的收益，用卉表示，为股票价格的预期收益率。另一部分则是一些不确定 因素即收益产生的波动，用a d z 表示( d r 为股票价格的波动率，如是标准的维纳化过程) 。 由此可得到股票价格变化的随机微分方程： i d s ：u d t + 盯d z ( 2 1 ) o 其中庞= 占，是一标准维纳化过程，占为标准正态分布的随机抽样值。 股票价格行为模型有时也称为几何布朗运动( g e o m e t r i c b r o w n i a nm o t i o n ) ，该模 型的离散形式为： i a s ：t a t + o z 4 一a t ( 2 2 ) 彳= + ( 2 2 ) o 方程( 2 2 ) 的左边是短时间a t 后股票的收益比，, u d t 是这一收益的期望值，而傀面是收 益的随机部分，随机部分的方差为盯：r 。方程( 2 2 ) 表明a 彳s 为均值，甜。标准差为盯石 ) 的正态分布，换句话等妒( , u d t ，盯磊) ，其中妒沏，矿) 表示均值为拼，标准差为的 正态分布。 6 东北大学硕士学位论文 第二章期权定价b l a c k - s c h o l e s 公式 2 2i t o 定理 股票期权的价格是该标的股票价格和时间的函数，更一般的任何一种衍生证券的价 格都是这些标的衍生证券随机变量和时间的函数，因而必须对随机变量函数的行为有所 了解。一个叫k 1 t o 的数学家在1 9 5 1 年发现一个重要结论，称为 i t o 定理： 假设变量工遵循n o 过程： d x = a ( x ，t ) d t + b ( x ，t ) d z ( 2 3 ) 则x 和t 的函数g 遵循如下过程： d g = ( 豢盘+ 掣+ 昙窘b z ) d t o t2+ 孚o x6 出 ( 2 4 ) cc扰一 证明：由t a y l o r 展式 a g o g 缸+ 箜，+ a z g a x f + 土堡孚出2 + ( 2 5 ) 苏0t c g x c 3 t 20 t 2 、 将( 2 3 ) 式进行离散化处理，简写为： a x ：撒+ 拈石 ( 厶x ) 2 = 口2 ( f ) 2 + 6 2 s 2 r + 2 乜6 i ， 当甜趋于零时 ( a x ) 2 = b 2 s 2 址+ o ( a t )( 2 6 ) 因为占矿( 0 ，1 ) 为标准正态分布 e ( s ) = 0 ，d ( b ) = e ( e 2 ) 一( e ( p ) ) 2 = 1 ， 所以e ( 6 2 ) = 1 ，e ( s 2 a t ) = 出，当& _ 0 时f 2 出的方差为0 ，其值等于均值硪。甜斗0 时，( 2 6 ) 式的极限为( a x ) 2 = b 2 d t 。( 2 5 ) 式变为 d g = 豢d x + 百o g - d t + 兰事6 2 击 ( 2 7 ) ( d 上o 重一 将( 2 3 ) 式代a ( 2 7 ) 式得到 d g ：牟口+ 翌+ 三驾b 2 ) d t + 塑b d z 西研2 西西 证毕。 2 3b l a c k s c h o l e s 微分方程 推导b l a c k - s c h o l e s 微分方程用到的假设如下： ( 1 ) 股票价格遵循( 2 1 ) 式的x 、叮为常数的随机过程。 ( 2 ) 允许使用全部所得( p r o c e e d s ) 买空衍生证券。 ( 3 ) 没有交易费用或税收。 7 东北大学硕士学位论文 第二章期权定价b l a c k s c h o l e s 公式 ( 4 )在衍生证券的有效期内没有红利支付。 ( 5 ) 不存在无风险套利机会。 ( 6 )证券交易是连续的。 ( 7 )无风险利率r 为常数且对所有到期日都相同。 我们假设股票价格遵循随机过程： 船= ! u s d t + c r s d z( 2 8 ) 假设，是基于s 的某个看涨期权或其他衍生证券的价格，是s 和f 的某一函数。 从( 2 4 ) 式得： d r = ( 善筇+ 百o f + j 1 警盯2 趵西+ 善盯s d z ( 2 9 ) ( 2 8 ) 式和( 2 9 ) 式的离散形式为： a s = , u s a + 盯s a zr 2 1 0 ) a f = ( 盖筇+ 面o f + 互1 警盯2 s 2 皿+ 慕c r s a z ( 2 1 1 ) s 和v 是s 和厂在短时间间隔f 后的变化量，和s 遵循的维纳过程相同，( 2 1 0 ) 式 和( 2 1 1 ) 式中的& 相同，因而选择某种股票和衍生证券的组合以消除维纳过程。 选择证券组合； 1 ： 衍生证券 慕： 股票 此证券组合的持有者卖空一份衍生证券，买入数量为羔的股票，其价值为： _ 厂一善s ( 2 1 2 ) 出时间后，证券组合的价值变化为： a l l ：一笪蟠 。 瓠 将( 2 1 0 ) 式、( 2 1 1 ) 式代h ( 2 1 3 ) 式得： a 1 7 七善 警内2 ) a t 因为这个方程不含业，经过缸后证券组合必定是无风险的， 率一定与其短期无风险证券收益率相同。 n = r h a t 其中，为无风险利率。将( 2 1 2 ) 式、( 2 1 4 ) 式代入( 2 1 5 ) 式得： 8 ( 2 1 3 ) f 2 1 4 ) 该证券组合的瞬时收益 ( 2 1 5 ) 东北大学硕士学位论文 第二章期权定价b l a c k s c h o l e s 公式 擘ot+三等g2s20t2邋_ ，( 厂一参f 、 船。 “a s 。 化简为： 善郴篆甲12 s 2 警= r ， 西as2 罄2 。 方程( 2 1 6 ) 就是b l a c k - s c h o l e s 方程。 此方程的求解取决于使用的边界条件( b o u n d a r yc o n d i t i o n s ) ，这些边界条件确定了 在s 和t 的可能取值的边界条件上衍生证券的价值，注意证券组合r i 并不永远无风险， 只是对于无限短时间内，它才是无风险的。 2 4 风险中性 在b l a c k s c h o l e s 偏微分方程中不包含任何受投资者风险偏好影响的变量。方程中出 现的变量为股票当前价格、时间、股票价格方差和无风险利率，它们独立于风险偏好。 b l a c k s c h o l e s 微分方程中不包含股票的预期收益。若它包含则它与风险偏好有关， 对于任何给定股票投资者厌恶风险的程度越高，值就越大，然而在方程( 2 1 6 ) 的推导 中恰巧被消去。因而b l a c k - s c h o l e s 偏微分方程是独立于风险偏好的。方程中不存在风 险偏好，则其解不会受到风险偏好的影响。因而我们就不妨采取最简单的假设：所有的 投资者都是风险中性的。 在一个风险中性世界里投资者所有证券的预期收益率皆为无风险利率。风险中性的 投资者并不需要某种补偿促使他们不承担风险，其期望值用无风险利率贴现可获得任何 现金流的现值。因而风险中性世界的假设很大程度上简化了衍生证券的分析。风险中性 的假设仅是一个求解b l a c k s c h o l e s 微分方程的人为假设。 2 5b l a c k s c h o l e s 定价公式 在风险中性世界里，以欧式看涨期权为例说明b l a c k s c h o l e s 定价公式。设c ( s ，r ) 表 示欧式看涨期权的价格，敲定价格为置，到期日为7 。 利用终值、边值条件： f = t 时 c ( s ，t ) = m a x ( s r k ，0 )( 2 1 7 ) s = 0 时 c ( o ，) = 0( 2 1 8 ) s = 时 c ( ，f ) = s( 2 1 9 ) 方程等+ 心善+ 三幽2 警= 矿求解，可得欧式看涨期权的b l a c k - s c h o l e s 定价公式。 c ( s ，t ) = 肼能) 一k e ”“( 吃)( 2 2 0 ) 其中 9 东北大学硕士学位论文第二章期权定价b l a c k - s c h o l e s 公式 4 ：坚凳塑， 如：i n ( l s - ) + ( r 音- ! a 2 ) ( r - t ) ：4 一盯再， 仃r t 1 。 ( 力2 去8 2 d y ， n ( x ) 是均值为0 ，标准差为1 的标准正态分布变量的累积概率分布函数。 同理，可得欧式看跌期权p ( s ，f ) 的b l a c k s e h o l e s 定价公式。 p ( s ，f ) = k e 一。( 一d 2 ) 一s n ( 一d j )( 2 2 1 ) 显然，我们可看出( 2 2 0 ) 式、( 2 2 1 ) 式是用解析表达式来表示的。然而多数情况， 美式期权的定价问题归结到了一个自由边界问题或相应的线性互补问题，则无法得到 解析表达式，因而数值方法就显得尤为重要。下章则重点阐述差分方法，然后将其应 用于美式债券期权的定价问题中。 1 0 东北大学硕士学住论文 第三章数值方法一差分方法 第三章数值方法差分方法 本章我们重点阐述构造差分格式的方法直接差分化法。 3 1 概述 有限差分法的思想是用有限差分近似离散偏微分方程中的导数。 将x 轴h 等分，步长为6 x ；t 轴m 等分，步长为研。这将区域 0 1 = ( x ，f ) j0 x 0 为利率变化的波动率，丑为市场的风险参数( 对风险中性世界丑= 0 ) 。 设b ( r ，f ) 是面值为e ，存续期为r 的零息票债券在f 时刻的价格，那么可有 b ( r ，) = e a ( t ) e 一。p ， 盼c 淼4 ， c 2 蒜， s = 7 1 + 叱q = ( 6 2 + 2 0 - 2 ) ，吒= ( 6 + a o 2 ，口3 = 2 考虑执行价格为x ，执行日期为t ( t t ) 的美式零息票债券看跌期权的定价。设 p ( r ，) 为t 时刻看跌期权的价格，期权的损益函数为 g ( r ，f ) = m a x ( x b ( r ，f ) ，0 ) ， 可取一个适当大的数月作为利率，的上界。那么p ( r ，r ) 将满足如下线性互补偏微分方程 边值问题： p + 三p 0 ，p g ，o r r ，0 r t ， 1 8 ( 只+ z e ) ( p g ) = 0 ，0 ， r ，0 t 7 t ， p ( o ，f ) = g ( o ，f ) ，p ( r ，t ) = g ( r ，r ) ，0 t t ， p ( r ，r ) = g ( r ，) 0 ，r ， 其中 上p - 1 2 盯2 埠+ ( 口一6 ，) p 一舻 本章我们讨论此问题的差分方法。 4 2 等价问题 本章所研究的问题是反向时间问题，本节首先利用变量代换将其化为等价的问题， 然后建立它的变分形式。设 p ( r ，r ) = p ( r ，t - t ) ，g ( r ，r ) = g ( r ，t f ) ，0 t t ， 则方程化为正向时间问题： p t 一厶p 0 ，p g ，0 r r ，0 t t ， ( p t l p ) ( p - g ) = o ，0 ， r ，0 t t ， p ( o ，) = g ( o ，r ) ，p ( r ，f ) = g ( r ，r ) ，0st t ， p ( r ，0 ) = g ( r ，o ) ，0 ，r 再做变量代换 x = 4 7 ，p ( r ，f ) = x - a e a x 2 + n u ( x ，f ) ，口= 7 2 a i 1 ，= 7 b ，y = 7 a b 可以得到 只一印= x - a e p x a + r t ( 虬一吾o 2 u x ，+ c ( 咖) ， 巾) = 吉也( 口曲x + ( 1 + 知一 因此问题等价与如下线性互补偏微分方程初边值问题： t 9 - 壅韭盘堂塑兰焦垒童墓望主差盎煎鲞塑丛煎塞盆塑塑 z ；盯2 + c ( x ) “o ，“f