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东北大学硕士学位论文 美式回望期权的变网格差分方法 摘要 期权是最重要的金融衍生工具之一，期权的核心问题是期权定价问题。近 年来，研究各类美式期权定价问题的数值方法已得到人们的广泛重视。与标准 的欧式期权不同，美式期权不能利用b l a c k s c h o l e s 方程得到解析形式的定价 公式，也无法求出精确解。因此，发展期权定价问题的数值方法具有重要的实 际意义。 众所周知，美式期权定价问题的数学模型一般可归结为抛物型方程自由边 值问题或相应的线性互补问题。目前，大多数数值方法的研究工作主要是针对 线性互补问题的，直接针对自由边值问题的还比较少。这其中的原因是，美式 期权的自由边界( 也就是美式期权的最佳执行边界) 是未知的，这给数值方法 的构造带来困难。从金融实际角度，人们通常关心的是期权在最佳执行边界内 的值和期权的最佳执行边界。 本文提出一种求解美式回望期权定价自由边值问题的变网格差分方法。通 过建立一个自由边界所满足的方程，利用变网格技术可同时求出期权定价问题 的差分解和期权的最佳执行边界。我们分别讨论了显示和隐式变网格差分格 式，并给出了差分解的收敛性和稳定性分析。数值实验表明本文算法是一个非 常有效的期权定价方法。 关键词：美式回望期权定价；自由边值问题；变网格差分方法：稳定性和收敛 性：数值计算 东北大学硕士学位论文 t h ed i f f e r e n c em e t h o d sw i t hv a r i a b l em e s hf o ra m e r i c a n l o o k b a c ko p t i o np r i c i n g a b s t r a c t o p t i o n sa r eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt o o l so ff i n a n c i a ld e r i v a t i o n s t h ec o r e p r o b l e mo fo p t i o n si so p t i o n sp r i c i n g r e c e n t l y t h en u m e r i c a lm e t h o d sf o r a m e r i c a no p t i o n sp r i c i n gh a v ea l r e a d ya t t r a c t e dp e o p l e sa t t e n t i o n h o w e v e r , w e c a n tg e tt h ep r i c i n gf o r m u l aa n dt h ep r e c i s ea n s w e rf o ra m e r i c a no p t i o n s s ot h e r e i s v e r yi m p o r t a n tm e a n i n gf o rd e v e l o p i n gt h en u m e r i c a lm e t h o d sf o ro p t i o n s p r i c i n g a sw e l lk n o w n ，t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fa m e r i c a no p t i o n sc a nb es p l i ti n t o t w of i e l d s ：t h ef r e eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o na n dt h e p r o b l e mo ft h e l i n e a rc o m p l e m e n t a t i o n p r e s e n t l y ，m o s tr e s e a r c hw o r k sa r e t o w a r d st ot h ep r o b l e mo ft h el i n e a rc o m p l e m e n t a t i o n ，o n l yaf e wa r et o w a r d st o t h ef l e eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o nd i r e c t l y t h er e a s o ni s t h a tt h ef r e e b o u n d a r yo fa m e r i c a no p t i o n s ( i ti s a l s ok n o w na st h eo p t i m a l e x e r c i s eb o u n d a r yo fa m e r i c a no p t i o n s ) i su n k n o w n ，s oi t sd i f f i c u l t yt op r o p o s e n u m e r i c a lm e t h o d s i nf i n a n c e ，w h a tp e o p l eu s u a l l yc a r ei st h en u m e r i c a lv a l u e w h e no p t i o n sa r ei n s i d eo ft h eo p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r ya n dt h eo p t i m a le x e r c i s e b o u n d a r yo fo p t i o n s i nt h i sp a p e r ，t h ed i f f e r e n c em e t h o d sw i t hv a r i a b l em e s ha r ep r o p o s e df o rt h e a m e r i c a nl o o k b a e ko p t i o n sp r i c i n gp r o b l e m si nt h ef r e eb o u n d a r yv a l u ef o r m b y m e a n so fa ne q u a t i o nd e r i v e df o rt h ef r e eb o u n d a r y ，t h eo p t i o nv a l u e sa n dt h e o p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r yc a nb ec o m p u t e ds i m u l t a n e o u s l yb yu s i n gt h ev a r i a b l e m e s ht e c h n i q u e b o t he x p l i c i ta n di m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e sa r ed i s c u s s e da n d t h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c ea r ea n a l y z e d n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h e n e wa l g o r i t h mi sv e r ye f f i c i e n tf o ro p t i o np r i c i n gp r o b l e m s k e yw o r d s ：a m e r i c a nl o o k b a e ko p t i o n sp r i c i n g ；f r e eb o u n d a r yp r o b l e m ；v a r i a b l e m e s ha l g o r i t h m ；d i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o n s ；s t a b i l i t yc o n v e r g e n c e ； n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成果除加 以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包括本人为 获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论 文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：彳壬可 臼期： 2 伽6 f i l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规定：即 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交 流。 学位论文作者签名：1 4 可 日期： 四f l 另外，如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。 学位论文作者签名：4 可 签字日期： ? 0 d j t l 导师签名： 签字日期：獬 7 汐汐! z 东北大学硕士学位论文第一章期权定价的基本理论 第一章期权定价的基本理论 本章简单介绍期权定价的一些基本理论，它们是以后各章节讨论的概念和 模型的基础。 1 1 期权的定义与分类 期权是指持有人有权在确定时间，按确定价格买入或卖出一定数量的原生 资产的合约，但艳不承担必须买入或卖出的义务。在期权含约中，确定价格称 为实施价格或敲定价格，确定日期称为到期日，为取得这个权益所付出的代价 称为期权金，按期权合约规定执行买入或卖出原生资产称为实施。 期权按合约中买入或卖出原生资产可划分为看涨期权和看跌期权。看涨期 权是一张在确定时间。按确定价格有权买入一定数量和质量的原生资产的合 约。看跌期权是一张在确定时间，按确定价格有权卖出一定数量和质量的原生 资产的合约。 期权按合约中有关实旅的条款可划分为欧式期权和美式期权。欧式期权只 能在合约规定的到期日实施。美式期权能在合约规定的到期日之前( 包括到期 日) 的任何一个工作日实施。 期权作为一种衍生证券，它的价格是时间r 和原生资产价格s 的函数。就 是说，若在f 时刻原生资产价格为s ( t ) ，则期权价格为v = 矿( s ( r ) ，t ) 。 设丁为到期日，k 为执行价格，在期权的到期日期权的价值矿f r ) 是确定的， 它就是期权的收益： 咿，= = ：篙高舞j ， 期权定价问题就是求期权初始日，即f = 0 ，原生资产价格为s ( 0 1 时，期权 金矿( s ( o ) ，0 ) 是多少的问题。因此期权定价问题是一个倒向问题。 1 2 股票价格的行为模型和i t o 公式 人们通常认为股票价格遵循马尔科夫过程。马尔科夫过程是一种特殊类型 的随机过程。这个过程说明变量的当前值只与未来的预测有关，而与变量过去 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本理论 的j 力史无关。 股价价格行为模型通常用维纳过程来表达。维纳过程是马尔科夫随机过程 的一种特殊形式。设一个小的时间间隔为f ，变量z 在a t 内变化为止，要使z 遵循维纳过程，& 必须满足两个基本性质： 性质1 ：业= 宇，其中宇服从标准正态分布。 性质2 ：对于任何两个不同的时间间隔a t ，血的值相互独立。 性质2 隐含了2 遵循马尔科夫过程。 设s ( f ) 为t 时刻的股票价格，经过时间d t 后，股票价格相应的变化为d s ( t ) 。 为刻画讲后股票价格的收益比帮，通常的模型是将其分为两个部分：第一 部分是可预测的，预测的收益为破，其中是单位时间内股票的预期收益率。 第一i 部分相应与外界影响的随机变化，它被表示为一个服从正态分布的随机样 本，记为仃如，其中如= f 出，仃是股票价格的波动率。 合著两个部分，得到随机微分方程 掣u d t + a r 如 ( 1 2 ) s ( t 、。 因为任何一种衍生证券的价格都是这些衍生证券的原生资产价格和时间 的函数。所以，为了研究衍生证券，我们必须对随机变量函数的行为有所了解。 在这一领域内的一个重要结论是由数学家i t o 在1 9 5 i 年发现的，因此称它为 1 t o 引理。 i t o 引理t 3j ：设矿( f ) = 矿 ( f ) ，t ) ，v 是二元可微函数。若随机过程s ( f ) 遵 循随机微分方程订( ，) = ( s ( f ) ，r ) 毋+ 盯( s ( ，) ，f ) 出，则v 遵循如下随机过程： d 矿( r ) = f 詈+ ( s ( r ) ，r ) 西o v + j 1c r 2 ( s ( r ) ，r j ) 0 船2 v ：1 j 出+ 盯( s ( ，) ，r ) 詈出( 1 3 ) 1 3 无套利原理和b l a c k s c h o l e s 随机微分方程 所谓套利是指基于对同一类风险资产的观察，利用市场价格的差异，在不 同的市场同时进行交易，获取瞬时无风险利益。套利和投机不同，投机是基于 对未来价格水平的预测，是有风险的。而套利是利用不同市场在价格联系上的 2 东北大学硕士学位论文第一章期权定价的基本理论 差异的实现，以套取利润，这是无风险的。 无套利原理就是指整个金融市场不存在套利机会。因为套利机会一旦出 现，那么随着套利者的参与，不同市场价格必将趋于平衡，机会也就随之消失 了。无套利原理是期权定价理论的基础，本文的全部讨论都是建立在不存在套 利机会的基础上的，这在金融学上也是合理的。 b l a c k s c h o l e s 随机微分方程的推导过程就是利用对冲技巧，建立一个 包含一些衍生证券头寸和一个股票头寸，并设定其收益等于无风险利率。在推 导前做如下基本假设： ( a ) 不支付交易费和税收。 ( b ) 无风险利率，是常数。 ( c ) 原生资产不支付红利。 ( d ) 原生资产价格变化遵循随机微分方程( 1 2 ) 。 ( e ) 不存在套利机会。 考虑个投资组合1 7 = v a s ，选取适当的原生资产份额，使得在( f ，t + d t ) 时段内，n 是无风险的。那么，设在，时刻形成投资组合n ，并在时段( t , t + d t ) 内，不改变份额，由于是无风险的，因此，在时刻f 十西，投资组合的回报 是 1 - i ( t + d t ) 一r l ( t ) = ( f ) 础 即 d 矿( f ) 一d s 0 ) = r n ( f ) 出= r ( y ( f ) 一a s ( o ) a t ( 1 4 ) 利用i t o 公式，把( 1 3 ) 代入( 1 4 ) 得 ( 詈+ 筇詈+ j 1 盯2 s 2 虿b 2 v 一犁s ) 田+ o r s 豢一d s 卜= r ( v - 丛) 硪s ， 为消除风险，选取= 詈将它代入( 1 5 ) 褥到 竺+ 心里+ 三c r 2 s ，堡一，v ：0 ( 1 6 ) 礅bs1 z 髓j 这就是刻画期权价格变化的偏微分方程一一b l a c k s e h o l e s 方程。 3 东北大学硕士学位论丈 第一章期权定价的基本理论 1 4 欧式期权的平价关系和定价公式 设c ( s ，f ) 和p ( s ，r ) 分别代表欧式看涨期权和看跌期权的价格a 设无红利支 付，考虑下伺两个组合： 组合a ：一个欧式看涨期权加上金额为k e 巾“3 的现金。 组合b ：一个欧式看跌期权加上一股股票。 在组合a 中，现金如果按无风险利率来投资，则在期权到期时刻r 将变为 芷。如果s ( r ) k 在r 时刻应执行看涨期权，则组合a 的价值为s ( r ) 。如果 s ( r 、 k ，期权到期价值为零，则 组合b 的价值为s ( r ) 。如果s ( r ) k ，在丁时刻应执行看跌期权，则组合b 的价值为ke 因此在t 时刻组合1 3 的价值也为t a 】【( s ( 丁) ，k ) 。 可见，在期权到期时，这两个组合的价值均为m “( s ( r ) 世) 。 由于是欧式期权，所以在到期日前不能提前执行。因此，根据无套利原理， 当前该组合也必须具有相等的价值。也就是说 e ( s ，t ) * k e 一 1 = p ( s ，f ) + s ( 1 3 ) 这就是所谓的欧式看涨期权和看跌期权之问的平价关系。它表明具有某一 确定执行价格和到期日的欧式看涨期权的价值可根据相同执行价格和到期日 的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。 在上节已经推导出了b l a c k - s c h o l e s 微分方程，这是基于无红利支付股票 的任何衍生证券的价格所必须满足的微分方程。下面，将运用该方程推导出欧 式看涨期权和看跌期权的价值。为此。首先耍确定欧式期权的终值和边界条件。 对于欧式看涨期权，当f = t 时，即期权台约到期时，其价值等于损益函数 c ( s ，t ) = m a x ( s k ，0 ) ( 1 8 ) 资产价格的边界条件有两种情况：即s = 0 和s _ o 。由( 1 2 ) 可知，当s = 0 时，嬲也等于零，即股价s 将不会改变。所蛆c f o ，f ) = o 。 当s - 9 c 。时，这意味着资产价格趋于无穷，期权将被执行而且执行的作用 当s 斗。时。这意味着资产价格趋于无穷，期权将被执行而且执行的作用 4 查坐苎兰堡主兰堡垒墨 苎二主塑垫奎坌塑查查堡笙 越来越小，因此得到，当s 专0 0 时，c ( s ，t ) s 。 对于欧式看跌期权，其终值条件也等于损益函数 p ( s ，t 1 = m a x ( k - s ，o ) ( 1 9 ) 上面提到的股票价格一旦为零，将保持零不交。因此p ( o ， ) 的价值也就等 于t 时刻的执行价格k 在当前的价值，则p ( o ，t 1 = k e l ( “。 当s 斗o o 时，欧式期权不可能被执行，所以，当s 斗o o 时，p ( s ，t 卜0 。 那么。当利率和波动率都是常数时，可以解出欧式看涨期权的精确解n 1 c ( s ，f ) = 脚( 4 ) 一k e - , r - , ) ( 吐) ( 1 1 0 ) 再根据看涨期权和看跌期权之间的平价关系( 1 7 ) ，可以推导出欧式看跌 期权的精确解 p ( s ，t ) = k e ”( “o ( 一以) 一j s ( 一4 ) ( 1 1 1 ) 其中( x ) 为标准正态分布的累计概率分布函数，即卜) 2 忑1 e 一芎咖 正：堡唑兰! 尘丝! 型三二尘 c r 4 t t d 2 = d 。一o _ t 一 1 5 支付红利的欧式期权 本节将对b l a c k s c h o l e s 方程进行推广，得到基于支付红利股票的衍生证 券所必须满足的微分方程。 为了讨论问题方便，假设原生资产连续支付红利，红利率为牙。然后利用 对冲建立相应的期权定价的连续模型以及计算公式。 建立投资组合h = 矿一丛，选取原生资产份额使得在( r ，t + d t ) 时段内，h 是 无风险的。类似于1 3 节的推导，有r i ( t + a t ) - n ( t 1 = r n ( t ) d t 。由于考虑到支 付红利，毽此，有 h ( t + d t ) = 矿( r + 讲) 一a s ( t ) q d t a s ( t + d t ) ( 1 1 2 ) 用( 1 1 2 ) 代替( 1 4 ) ，可得 d z ( , ) - a d s ( t 1 = r n ( t ) d t + a s ( t ) q d t ( 1 13 ) 气 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本理论 利用i t o 公式，并取= 豢，得到 百0 v + ( 州) s 西a v + 扣2 警州= o ( 1 1 4 ) 这就是考虑红利情况下，期权定价的b l a c k s c h o l e s 方程。 接下来，重新定义上节中的组合a 和组合b ： 组合a ：一个欧式看涨期权加上金额为q + k e ”( “) 的现金。 组合b ：一个欧式看跌期权加上一股股票。 按照和上节类似的方法，可以得到考虑红利时，欧式看涨期权和看跌期权 的平价关系 c ( s ，r ) + g + k 8 一“7 一) = p ( s ，r ) + s ( 1 1 5 ) 现在考虑有红利支付的欧式看涨期权的终值和边界条件。不难看出欧式看 涨期权的终值条件和s = o 时的边值条件均没有变，唯一变化的是，当s o q 时， c f s ，t 1 s e 。9 ( 。“。 我们知道红利的支付使得股票价格降低了等于红利的数量。所以支付连续 红利q 使得股票价格的增长率比不支付红利时减少了q 。那么如果连续红利q 的 股票价格从t 时刻的s ( f ) 增加到t 时刻的s ( r ) ，那么，没有支付红利的股票价 格将从t 时刻的s ( f ) 增加到r 时刻的s ( t ) e 9 ( “) ，或者从f 时刻的s ( ，) e 一“”增加到 t 时刻的s ( r 1 。 从上面的分析得到，基于种价格为s 支付连续红利率为q 的股票的欧式 期权与基予一种价格为跖e ( o 不支付红利的股票的欧式期权具有相同的价值。 这是因为在这两种情况下股票价格的最终值都是相同的。因此，为了给基于支 付红利的股票的欧式期权定价，可将股票现价从s 减少到& 一。( “”，然后代入 b l a c k s c h o l e s 方程即可。用& 一9 ( “。) 代替( 1 1 0 ) 和( 1 1 i ) 中的s ，得到 c ( s ，t ) = s e 一“( 吐) 一k e 一“( 以) ( 1 1 6 ) p ( s ，t ) = k e - , - ( r - o n ( 一以) 一s e - q ( t - o n ( 一曲) ( 1 1 7 ) 因为 6 东北大学硕士学位论文 第一章期权定价的基本理论 则，d l ，d 2 分别为 h 竿卜洲h 旷r ， 西：坐! 茎盐翟型竺二尘 盯丁一t 吐= 匾一盯打j 如果在期权有效期中红利率不是恒定的，只要令g 等于期权有效期中平均 年红利率，方程( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) 仍然正确。 7 查些垄堂堕主堂堡丝查 墨三主薹查塑壑查竺皇墨竺壅苎壅堡 第二章美式期权定价与最佳实施策略 2 1 美式期权的特点 美式期权是一份具有提前实施条款的期权合约。由于可以提前实施，持有 人拥有比欧式期权更多的获利机会，因此一般来说它比欧式期权更贵一些。持 有人花了更多的期权金，能否得到相应的回报，这取决于持有人能否抓住有利 时机，适时地实旌这份合约，以获取利益。 从数学上来说，美式期权的定价问题是一个自由边界问题。在这里所谓自 由边界，它是这样一条需要确定的交界线，它把区域 0 s m a x ( k - s ，0 ) ；另一个是终止持有区：，在这个区域内， v ( s ，t ) = m a x ( k - s ，0 ) 。在这两个区域中间有一条最佳实施边界r ：s = s + ( t ) 。在 这里s ( t ) 应该是小于k 的。因为，如果s ( f ) k 则收益为零，还是应当继续持 有为宜。 那么，可以认为 ，= ( s ， ) l s ( f ) s * ，0 - t t ：= ( s ，t ) o s s ( r ) ，0 r t 在，中，利用一对冲原理以及i t o 公式，可以推得：当( s ，f ) 。时，期权 8 查些查堂堡主兰壁垒圭 苎三主叁查塑壑查坌皇墨堡墨垄! 至生 价格v = v ( s ，f 1 适合b l a c k - s c h 。l e s 方程： 肌罾+ 心詈+ 2 豢一 d 在最佳实施边界r 上， v ( s + ( r ) ，) = x s ( f ) ( 2 2 ) 面o v ( s m r ) 刊 ( 2 3 ) 当s 斗时， v 4 0 ( 2 4 ) 在t = t 上， v ( s ，t ) = i i 凇芷一s , 0 ) ( 2 5 ) 这表明对于美式看跌期权的定价，就是要在中，寻求函数对 v ( s ，f ) ，s ( r ) ) ， 使得它适合定解n n ( ( 2 1 ) 一( 2 3 ) ，由于s ( f ) 是自由边界，所以这是一个 抛物型方程的自由边界问题。 同理，可以很容易地推出对于连续支付红利率为g 的美式看跌期权的模型 为： 百o v + ( 叫) s 豢+ 圭幽2 万o z v 州地( ，) ( 2 6 ) v ( s + ( f ) ，f ) = k s ( f ) ，珞( s ( r ) ，f ) = 一1 ， o f 丁( 2 7 ) v ( o o ，t 】= 0 ， o ， t ( 2 8 ) v ( s ，r ) = m a x ( k - s ，o ) ，s ( t ) s c o ( 2 9 ) v ( s ，f ) = k - s ，( 2 ) ( 2 1 0 ) 最后，可以得到美式看涨期权和美式看跌期权定价的对称关系式： 定理2 1 设v o ( s ，t ；r ，g ) ，匕( s ，t ；r ，q ) 以及s 。( g ，g ) ，s p ( f ；r ，g ) 分剐是具有相 同期限丁和相同执行价格k 的支付红利的美式看涨期权和美式看跌期权的价 格与最佳实施边界，则有 k ( s ，t ；r ，g ) = s 量v ，( l k s ，r ；叮，) 和 东北大学硕士学位论文 第二章美式期权定价与最佳实施裳略 & ( f ；，q ) s p ( 钾，r ) = 足 这里r 是无风险利率，q 是红利率。本定理的证明过程可参见相关书籍。 2 3 最佳实施边界 这一节将对最佳实施边界s = s ( f ) 作一些定性的分析，所得的结果不仅有 助于增加我们对最佳实施边界的认识，而且将对美式期权定价的数值计算产生 重要的影响。 首先，来求最佳实施边界s = s + ( t ) 在终止期t = t 的位置。 定理2 , 2 设s = s ( r ) 是支付红利的美式期权的最佳实施边界，则 对于看跌期权 州= 曲降叫 汜 对于看涨期权 跗班一睁刁 证明：首先考虑美式看跌期权。 ( a ) 若g ，则只须证s ( r ) = k 。 由于v 0 ，因此s ( r ) s k 。假如s ( r ) k ，则( r ) k ，那么在期权的 继续持有区，中存在区域： ( f ) s 足，t 一艿s f 丁 ，( 艿充分小) ，使得 肌百o v + ( ，一g ) s 西o v + 2 豢州- 0 0 故在t = t ，s 口1 s k 内，有 竺o ti , 。r = 一 2 而d 2 v 小刊s 西d v 一，矿l = 一睁掣撕刊s 掣叫叫 = r k - q s 因为此时g ，s 。，而y ( s ，z ) = ( k s ) ，因此在珐内， - 1 0 查苎垄兰堡主兰垒垒查 墨三! 墨垒塑竖至笪兰墨竺茎苎登竺 有v ( s ，f ) m a x ( k s ，o ) 矛盾，故( r ) = k a ( b ) 若r q ，则只需证( r ) ：r k 。用反证法： 口 若s ( r _ _ z x 。 由于丝 k ，那么在，中存在区域 、7 qg 或：h 小乳r g k , t - a a t 。和矿( 墨r ) 等，由于r k ，因此在期权的终止持有区：中存在 区域明：愕 s s o ) , t - g s ( t 2 ) 。则在t = t 2 时刻， o s s ( 乞) ，t = t ： 属于终止持有区：， s + ( f ：) s o 。，t = 1 2 ) 属于继续持有区，。 特别有( “) ，) ，即v ( s “) ，f 2 ) m a x ( 足一s “) ，0 ) ，但是由于 ( s + ( ) ，) r ，即v ( s + “) ， ) = m a x ( k s “) ，0 ) ，从而推出：当 矿( f ( f 。) ， ) 。 但是很明显，对于期权来说，剩余的有效期越长期权价值应当越高。即当 ” 东北大学硕士学位论文第二章美式期权定价与最佳实施策略 ，：时，矿( s “) ，f 2 ) y ( s “) ， ) 。这与由假设推出的结论相矛盾，所以假设 不成立。从而证明了，美式看跌期权最佳实施边界s = s ( f ) 是f 的单调非减函数。 1 2 。 东北大学硕士学位论文 第三章回望期权 第三章回望期权 3 1 回望期权的特点 回望期权就是在期权到期日持有人可以“回望”期权的有效期内原生资产 价格演化的整个历程，以最有利的原生资产价格作为敲定价格，购买或出售原 生资产，因此它在期权到期日( f - t ) 的收益为： 收益= s ( r ) 一1 n i n s ( r )( 看涨期权) ( 3 1 ) 、7 o 口s r 、7 = 蹬s ( 0 一s ( ? ) ( 看跌期权)( 3 2 ) 因此人们亦把它称为“买进按低价，卖出按高价”的期权。 回望期权的收益对原生资产在期权有效期内价格演化的依赖性是很强的。 它是强路径依赖期权的一个典型品种。在这里设路径依赖变量为t ，。 对于回望看涨期权， j ( f ) 2 魉s ( f ) ( 3 3 ) 对于回望看跌期权， j ( f ) = m 。a 。x s ( 、r ) ( 3 4 ) 3 2 欧式回望期权的数学模型和定价公式 首先，以欧式看跌期权为例。设v 是欧式回望看跌期权的价格，则 矿= 矿( s ，l ，) 。 利用一对冲原理，形成投资组合，使r i = 矿一a s 。适当选取原生资产份 额，使得n 在( f ，t + 硪) 是无风险的，即 d h = r f l d t ( 3 5 ) 再由i t o 公式得， d h = d v 一布一q s a d t = ( 詈+ j 1 仃2 s 2 万0 2 v 一撇卜+ 詈刃+ ( 詈一 豳 6 由于( 3 4 ) 定义的路径依赖变量i ，对t 不是可微函数，所以，要先对它进行逼 一1 3 东北戈学硕士学位论文 第三章回望期权 进。定义以( f ) = j f ( s ( r ) ”) 出1 “。显然以( f ) 对r 是可微的。 叫( r ) 警= 掣 ， 此外，当行哼0 0 时，因为s ( ，) 对f 是连续函数，故 憋以( f ) = m 。a 。x s ( r ) = 砸) ( 3 8 ) 以以( f ) 代替路径变量j ( t ) ，由s 以，由( 3 7 ) ，等式( 3 6 ) 可改写为 d n = ( 里+ is2而02v+爰盟一舭卜+皤一dsot 2c l t ， 部2 甜。 j舔 取= 西o v ，从而由( 3 5 ) 和( 3 9 ) 推出 娑+ 三幽：翼+ 百+ 互旷f 万+ 瓦o v + ( ) s 署卅= 。 ( 3 1 0 ) 对于固定的( j ，f ) ，令n 斗o 。，考虑到( 3 8 ) ，方程( 3 1 0 ) 中i o v 的系数趋于。 刖“ 从而有 百o v + j 1 口2 s 2 面0 2 v + ( 卜g ) s 西o v 一，y = o ，o s t ， 。，o 蔓f r ( 3 1 1 ) 再由( 3 2 ) 得到 v ( r ，s ，j 1 = j - s ( 3 1 2 由于 s = j ，0 j o 。，0 s f s t l 是定解区域的边界，所以还需要一个边界条件， 竺i ：o 舔i s 。 ( 3 1 3 ) 它的金融意义是：期权定价在原生资产价格达到极大值的水平上对极大值的变 化是不敏感的。 因此回望看跌期权定价的数学模型就是在区域 0 s 蔓j 电0 r t 上求 解定解问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 。值得注意的是在方程( 3 1 1 ) 中不出现路径变 量，也就是说在解方程( 3 1 1 ) 时，只是一个参变量，但是j 出现在边界条 件( 3 1 3 ) 和终值条件( 3 1 2 ) 中。 1 4 东北大学硕士学位论文第三章回望期权 同样的方法，可以建立回望看涨期权定价的数学模型，即在区域 0 j s 鸭0 s t 上求解定解问题： 业+三幽2豢+(叫)s西ovot 2 卅= o( 3 - 菸2 、”船 v ( r ，s ，j ) = s - j ，0 j 茎s o 。 ( 3 1 5 ) = 0 0 j ( 3 1 6 ) x = l n 三。，v = s u ( x , t ) ( 3 1 7 ) c ， 竺：“+ s 塑l 一1 扩o s f 苏o u 0 2( 3 1 8 ) _ 翌u v 1o uo a 2 f1 万2 i l i + 磊：j 娶+ 了c r z 百0 2 u + f g 一，一霎 罢- q u = o ，o ( 工 。，o ，7 1 百+ 了丽+ 【p 卜下j 瓦 o ，叭“q 眍坯7 1 “b = 矿- 1 ， o x 1 ，d = 1 u ) 。最后生成树图，如图3 1 。 1 6 东北大学硕士学位论文 $ - - 章回望期权 显然，这就必须考虑原生资产所有可能的变化路径，由于，每个结点都有 两种运动可能，随着时间步长数目的增加，其计算量将非常巨大。 s 图3 1 美式回望期权的普通二叉树方法 f i g 3 1n o r m a lb i n a r yt r e em e t h o df o ra m e r i c a nl o o k b a c ko p t i o np r i c i n g 下面，来介绍一种简便的二叉树方法，可以对回望期权进行估值。 以美式回望看跌期权为例，定义】，( f ) = 爱岩。显然，初始时刻y ( 。) = 1 。如 果在第一个时间步长时，s ( r ) 有一个向上的运动趋势，那么，( ，) 和s ( t ) 同时按 比例上升甜，则】，( r ) 仍为1 。如果在第一个时间步长时，s ( o 有- 一个向下的运 动趋势，则j ( f ) 保持不变，那么】，( f ) = 1 ，d = ”。继续这种形式的讨论，为r ( t ) 生 成了如图3 2 所示的树图。确定树图的几何规则为： ( 1 ) 当时刻t 时j ，( r ) = 1 ，那么在时间t + a t 时y ( t ) 或者为1 或者为u 。 ( 2 ) 当时刻f 时y ( f ) = 矿，且m 1 ，则在时间t + a t 时r ( t ) 或者为材”1 或者 为甜”1 。 y ( ，) 向上的运动趋势与原生资产向下的运动趋势一致，反之亦然。那么可 知r ( t 1 向上的运动概率为p ，向上的运动概率为1 - p 。 1 7 东北大学硕士学住论文 第三章回望期权 u 3 图3 2 美式回望期权的改进二叉树方法 f i g 3 2m o d i f i e db i n a r yt r e em e t h o df o ra m e r i c a nl o o k b a c ko p t i o np r i c i n g 运用这种方法对美式回望看跌期权进行估价，是以原生资产价格为单位 的，期权收益为r ( t ) - i 。 用通常的方式从树图进行滚动倒推，但是由于不同结点的原生资产价格 ( 即衡量单位) 不同，所以，需要做些调整。如果z ，为时间f f 第，个结点的 回望期权的价值，当_ ，1 时， z 。，= m a x r ( ，) 一l ，。一。 ( 1 一p ) z + l ，川d + p f 1 , j - t u ( 3 2 2 ) 注意此等式中，“川被d 乘，矗，被“乘。说明这是以结点( f ，) 的原生资产 价格为衡量单位。在结点( i + 1 ，j + 1 ) 以厶。j + 1 为衡量单位的原生资产价格是结点 ( f ， ，) 的原生资产价格的d 倍。在结点( i + 1 ，一1 ) 以z 枷一，为衡量单位的原生资产价 格是结点( j ，) 的原生资产价格的“倍。 同样，当_ ，= 0 时， z ，= m a x 】，( r ) 一1 ，e 一7 。 ( 1 一p ) ，+ l ，p 。d4 - p f i + l , j u ( 3 2 3 ) 这种方法的优点在于不用考虑每个结点可能的两个状态变量，从而大大减 少了实际计算所需计算量。和普通树图法一样，随着时间步长数目的增加，这 种方法所得的结果的精确性也就越来越高。 1 8 东北大学硬士学位论丈第四章变网格差分法解美式回望看涨期权 第四章美式回望看涨期权的变网格 差分方法 4 1 美式回望看涨期权的自由边界方程 用y 表示期权价格，s 表示期权的原生资产( 例如股票) 价格，t 为期权 执行日期，仃为原生资产价格的波动率，r 为无风险利率，q 为在期权有效期 内原生资产的红利( 或回报率) 。进步假设市场是风险中性的，并且有 i ，= 鹏s ( f ) ，那么美式回望看涨期权的价格v = v o ，s ，j ) 将满足如下抛物型方 程自由边值问题： 巧+ 寺疗2 s 2 吃+ ( r - q ) s v 。- r v = o ，o 蔓- ，s s + ( f ) ，o f t ( 4 1 ) v ( t ，s ，j ) = s - j ，o - j s - s + ( r ) ( 4 2 ) 巧( f ，j ) = 0 ，0 f 丁 ( 4 3 ) v ( t ，s ( f ) ，t ，) = s o ) 一j ，珞( f ，s o ) ，j ) = 1 ， o t z