（运筹学与控制论专业论文）一类比散度形式的非线性neumann问题的多解.pdf

交 司一 片 介 .价 本文利用上，下 解的方 法和拓扑度理论， 通过对( 1 . l ) 、 解的先验估计， 我们得到 了 ( 1 . 1 ) ， 的 多 解 的 存 在 呱卜 “ 的 研 “ 结 果 可 归 纳 “ 如 下 的 ” ” : 定理 1 有极小 解u , 考虑问题 若 ( f) 成 立， 则 存 在a 0 ， 使 得 对 任 意 的a 。 ( o , a * ) ， 问 题( 1 . 1 ) z 并 且 当 a z时 ，有u , “ ， 2 s ( u l + q ) + ( 1 一 s ) f ( x , u , d u ) = f ( x , u , d u ) in 0 a ( x ) u , , c o s ( y , x , ) = ( 1 一 * p o n己 q 一1一 “u ls凡 了、leswej、ies.1.l 、z 勺 . 1 刀、 可以得到 定理2 设 ( 儿 ) 成 立， 若u e w z ( s 2 )是( 1 .2 ) 的 解 ， 则 同 l m 0 d 定理 3 如 果 问 题 ( 1 .1 ) ， 满 足( f ) 一 ( 几) ， 更 进 一 步， 如 果 ( 1 .1 ) , 。 存 在 的 严 格上 解 。 。 w 2 , ( 0 ) ， 即 u . a , f ( x , u 满足 d u ) i n q 且 。 不 是 ( 1 . 1 ) z 。 的 解 若考虑问题 职o n 日 0 则 ( 1 . 1 ) 、 对a 。 ( o , a o 至少存在两个解。 一一一 lubu 了.!r、11 a n舀 ( 2 u x 犷0 一一一 lubu !j、eses，t i nq 其中f ( x , u ) 为 连 续函 数， 且存 在 一 个 连续的 ， 严格 正的函 数厂( x ) ， 使 得 ( f l )悠 f ( x , u ) l u , = 厂 ( x )关 于 x e s z 一 致 成 立 由定理3 可以得到以下的推论: 推论1如 果 任 给: 。 0， 。 之 。 有f ( x , u ) ? s 0 ，则 存 在 常 数a e ( 0 ,十 0 0 ) , 使 得( 1 .3 ) ， 在a 。 ( 0 ， a . ) 是 至 少 有 两 个 解 ， 当 a = .2 时 至 少 有 一 个 解， 当 a a 时 没有解。 推论2 在 推 论1 的 假 设 下， 如 果f ( x , u ) 满 足 ( f 5 )悠f (x , u ) / “ 一 。 关 于 e 6 一 致 成 立 则 对 所有r 0 , ( 1 .3 ) ， 都 至 少 有 两个 解。 推论 3 在 推 论i 的 假 设 条 件 下， 如 果 任 给u 0 ， 有f ( x , u ) _ g ( u ) 0关 于x e 。一致成立， 其中g ( u ) 为 连续函 数， 满足 l i m g ( u ) i u = + 。 且f ( x ,0 ) = 0 ， 则 存 在 常 数x 当几 =x时，至少有两个解， 0 ， 使 得 当 a 。 ( 0 ， x )时， ( 1 .3 ) * 至 少 有 三 个 解 叮 当r x时只有零 关键词: 非线性n e u m a n n问题先验估计拓扑度多解 口、一卜 一扩 花 ab s t r a c t i n t h i s p a p e r w e a r e c o n c e rn e d w i t h t h e e x i s t e n c e o f m u l t ip l e s o l u t i o n s t o t h e f o l l o w in g p r o b l e m: - a ( x ) d ,r u = 衫( x , u , d u ) i n 。 一- lubu fll21.se.l a ( x ) u s , c o s ( y , x , ) = rp ( x ) o n 。 。 q i s a b o u n d e d d o m a i n i n r w i t h c b o u n d a r y , n 2，a n d 。 c ( q ) , y d e n o t e s t h e o u t w a r d u n i t n o r m a l o f 7 s 2 ; l i s a u n i f o r m l y e l l ip t i c o p e r a t o r ; i .e . t h e r e e x i s t s o m e c o n s t a n t , s u c h t h a t a 7 1 yil2 a (x ) y7 。 ， 、 a lril2 fo r a ll x 。 。 ，。 。 * : t h u s l h as a r e a l fi r s t e i g e n v a lu e w it h t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n b u = 0 ， a n d ( l , b ) s a t i s f i e s t h e m a x i m u m p r i n c i p l e ; p ( x ) c ( q ) , f o r s o m e a e ( 0 ,1 ) ; i n a d d it i o n , w e s u p p o s e t h a t f ( x , u , d u ) 。 c ( q x r x r ) , f ( x , u , d u ) 0 f o r a l l ( x , u , d u ) e 5 2 x r x r , s a t i s f y i n g : ( 人) d m 0 ，3 c = c ( m ) 0 , s u c h t h a t f ( x ,u ,d u ) + c u i s a n o n d e c r e a s i n g f u n c t i o n f o r u e ( - m,m ) ; ( f) t h e r e e x is t a s tr i c t ly p o s it iv e fu n c t io n f * ( x ) 。 c ( q ) , a n d a c o n s ta n t t e ( 1 , ( n + 2 ) / ( ” 一 2 ) ) ， s u c h t h a t 一a x , u , p ) 一 f * (x ) u n ( u 1 + ip i + iu i + ip lu g r* ) ) fo r a ll 、 。 n u 。 r , a n d p e * ， w h e r e u ( x ) i s a n o n d e c r e a s i n g f u n c t i o n s a t i s f y i n g l i m u ( s ) / s = 0 ; / 、 刃 了产.11 b y u s i n g t h e m e t h o d s o f s u b - s u p s o l u t i o n m e t h o d a n d t o p o l o g i c a l d e g r e e t h e o ry , w e d e r iv e t h e e x i s t e n c e o f m u lt ip l e s o l u t i o n s o f ( 1 . 1 ) a c o m b i n e d w i t h a p r i o r i e s t i m a t e s . t h e m a i n r e s u l t s i s t h e f o l l o w i n g t h e o r e m s : t h e o r e m 1 i f( 石) h o ld s , t h e n 3 a 0 , v a 。 ( 0 , x ) , th e r e is a m in im a l s o l u t io n u , o f ( 1 . 1 ) , a n d w h e n a , 0 , .1 z 0 . o f a , 。 a l a 2 1 , b u t th e o r e m 3 i f( 厂) 一 ( 九) h o l d s , fu r th e r m o r e , t h e r e e x i s t s a s t r i c t s u p e r s o l u t i o n u e w 0 ( q ) o f ( 1 . 1 ) z o , .e ， u * s a t i s f i e s . l o f ( x , u 中 i n几 o n日 q lu枷 rlji、 a n d u is n o t a s o lu tio n o f ( 1 . 1 ) , 0 s o l u t i o n s f o r .l e ( 0 , 凡 . p r o b le m ( 1 . 1 ) , p o s s e s s e s a t l e as t t w o a p p l y t h e t h e o r e m 3 t o t h e f o l l o w i n g 犷( x , u ) p r o b l e m: i nq ( 1 . 3 ) x 0o n rm -1- uu lb jl.1.亡weesl w h e r e f ( x ,u ) is c o n t in u o u s a n d t h e r e is a c o n t in u o u s , s t r ic t ly p o s iti v e fu n c t io n f * ( x ) s o 获 万 一 一 2 ， t h a t 飞 士宇 、 勺l ， 1 之 论文 狡 1 1 : . 、i . ( 儿)l i m f ( x , u ) / u = f ( x ) u n i f o r m ly f o r x e q we h a v e c o r o l l a r y 1 i f f ( x , u ) ? s 0 f o r a n y x 0 , u ? 0 ， t h e n t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t 厂e ( 0 ， 二 ) s u c h th a t ( 1 .3 ) z p o s s e s s e s a t le a s t t w o s o lu t io n s f o r d 。 ( 0 , 万 ) ， a t l e as t o n e s o l u t i o n f o r d = 厂 a n d n o s o l u t i o n f o r d 万. c o r o l l a r y 2 i f i n a d d i t i o n t o ( 儿) ，f ( x , u ) s a t i s f i e s ( f)l i m f ( x , u ) / u = 0 u n i f o r m l y f o r x e 6 t h e n ( 1 ,3 ) , p o s s e s s e s a t l e as t t w o s o lu t i o n s f o r a l l a o c o r o l l a r y 3 l e t f ( x , u ) ? g ( 二 ) 0 f o r a l l 。 0 , f ( x , 0 ) = 0 , a n d g ( u ) i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n s a t i s f y i n g l i m g ( u ) / u = + 0 0 ， i f ( 几) h o l d s , t h e n t h e ir e x i s t s a c o n s t a n t d 0 s u c h t h a t ( 1 .3 ) z p o s s e s s e s a t l e a s t t h r e e s o l u t i o n s f o r a l l d 氏 万 ) ， t w o s o lu t i o n s f o r d = 万 ， a n d o 吻 t h e t r i v i a l s o l u t i o n u = 0 f o r d 厂. k e y wo r d s : n o n l i n e a r n e u ma n n e q u a t i o n s ap n o ne s t i m a t e s t o p o lo g i c a l d e g r e e mu l t i p l e s o l u t io n s 1 .引言 本文我们考虑问题 - a ( x ) d , u = 衫( x , u , d u ) i n s z ( 1 . 1 ) , a ( x ) u , , c o s ( y , x , ) = v ( x ) o n 8 5 2 -一 lubu 其 中 5 2为 r 空间中的带有 c z 边 界的有界光滑 的区域 ， n ? 2, a e r , a e c ( q ) , y 为8 5 2 的 单 位 外 法向 量 ; 另 外 设 存 在 某 个a e ( 0 ,1 ) ，使 得 (p ( x ) 。 cl., ( 5 2 ) ; 且对一切 ( x , u , d u ) e 5 2 x r x r ，有 f ( x , u , d u ) e c ( 5 2 x r x r ) 和 f ( x , u , d u ) 0 ; 我们还假设 l为一致椭圆算子， 即存在常数x 0 ，a 0 ，使得对一切 x 。 。，17 = ( 1 h 1 r7 2 , . . . , 77 0。 r ， 有 、 。 ， : a ( x ) i7 。 ， : 八 。 ， ， 这 样l 在 边 值条 件b u = (p 下 具 有实 的 最小的 特征 值， 且( l , b ) 满 足 最大 值原 理的 条件。 对于典型的线性的二阶椭圆方程的解的存在性的问题的研究是很深入的，可 以 说是基本成型了。而非线性的二阶椭圆方程的 解的 情况， 一直是很多人在研究 的问题，特别是当 这些方程在化学反应原理，非线性的扩散过程，以及一些生物 模型中出现，使其有着极其广泛的实际运用的背景。 如 果存 在 一 个 可 微向 量函 数a ( x , z , p ) = ( a ( x , z , p ) ， 一， a ( x , z , p ) ) ， 和一 个数 值函 数b ( x , z , p ) ， 使 l u = d iv a ( x , u , d u ) + b ( x , u , d u ) ， 其中u e c z ( 5 2 ) ; 又计 、丫 砂1坷厂 才叹 岸一k 一| ， 之 则称算子是散度形式的。 对 于散 度形 式的 二 阶 微 分 算 子的 非 线 性问 题的 解的 性 质的 研究， 结 果 有 很多， 参 见 1 一 1 2 ， 例 如， l a p la c e 算 子 的d iri c h le t 问 题 和n u e m a n n 问 题 的 解 的 存 在 j性，正则性等。一个很典型的例子是 ( 1 . 2 ) 一 a u = u 11 + 1 1 11 - 2 + a u i n 0 “=0o n舀 0 研 究 结 果 表明 当 a e ( 0 , a , ) ， 且n 4 时 ， 方 程 有 解， 其中 入 为一 a 的 第 一 特征 值 ; 当n= 3 时， 存 在a 0 ， 使 得当a e ( a * , a , ) 时， 原问 题 有 解， 而 存 在a 0 , 使得当兄 e ( 0 , a ) 时， 原问 题无解。 h . b r e z i s 和w . a . s t r a u s s 就关于a 题 一 u + u =g i n q ( 1 . 3 ) 加 2 而 =0 o n a s ) 在 文 献 2 0 1 中 给出 了 其 解 的 先 验 估 计， 即 ， 若g e l ( q ) , u e 记 ， ( 。 ) 为 上 面问 题 的弱解， 则 对所有的g e 1 , n/ n一 1 ， 有u e w ， 0 ( s 2 ) ， 且 iu l , , c g ig ii,( ) 。 而关于问 题( 1 . 1 ) ， 的一种典型形式， au+u=犷( x , u , d u ) i n 0 ( 1 .4 ) a u l a y = 0 o n涨 其 中 r 为 a 。 的 单 位 外 法 向 量 ， n i - w e im in g 等 人 作 了 大 量 的 研 究 工 作 ， 参 见 【 1 , 得到上问 题的解的先验估计和解的存在性。 在这些文献中主 要是 用上， 下解方 法， 变分 法， 山 路引 理或先验估计的 方法， 、 ) / 一 寻找散度形式问题的解，以及多解的存在性。 而拓扑度理论也成为 研究非线性问 题中不可缺少的拓扑工 具，其重要应用就 是讨论椭圆型边值问题的解或正解的存在性。 设e ( 创( 豆 ) 或 是c ( 觅 )是b a n a c h空 间 ， 利 用 度 理 论 证明e 中 的 算 子 方 程 的解的存在性， 即我们引进一个同 伦场 ( 含参数的算子方程) ， 把原问题与已知的 其度不为零的 特殊场连接起来。然而为了使这个同伦场的 度在某球面上有意义， 必须对解做先验估计。先验估计这个重要而又要经常用到的概念;也就是说，对 一类问 题的所有的可能的解都成立 ( 以 给定的数据表出)的一个估计，即使前提 并不保证这样的 解的存在性。 在度理论的 应用中， 解的先验估计是十分重要的。 在 9 和 1 9 1 中， 就是利用了 上 述的 拓扑 度的方法讨论了方 程 一 u = f ( x , u ) i n 0 ( 1 . 5 ) u=0o n日 几 的 正 解的 存 在 性， 其中ax , u ) 是 在 0 ,+ 00 ) 上 局部l ip s c h it z 连 续 的 。 在 3 l 中， p . l . l i o n s 结合先 验估计 和拓扑度的 方法证明了问 题 l u =衫( u ) i n 0 ( 1 石) b u=0o n日 几 的 解的 存 在性的 结 果， 对于f ( u ) 满 足不同 的 条 件， 可以 得到 关于 问 题 ( 1 .6 ) 的 一个解的存在性的不同的结果。 而对于非散度形式的二阶椭圆方程的研究比散度形式的少的多， 也困难的多， 对于解的存在性的结果和性质的讨论结果也远远少于散度形式的方程。 在 1 4 1 中 ， w a n g - x u j i a 和d e n g - y i n b i n 用 拓扑 度 和先 验估 计的 方 法 证明了 关于 非散度形式的二阶椭圆方程的d i ri c h l e t 边值问题至少存在两个解。 而 对于 类似于( 1 . 1 ) ， 的n e u m a n n 边 值问 题的多 解的 存在性， 至今却没有什么 / _一 飞 一 _ / 万 一 坟 t 丈 结果。 本文受到 文献 3 和 1 1 , 1 4 的方 法的 启发， 用 先 验估计 和拓扑 度的方法， 并将度理论 和上， 下解方法相结合来讨论这个问 题， 得到了问 题( 1 . l ) ， 的多 解的 存 在性。 本文安排如下: 第二个部分中利用上，下解的方法和极大值原理，我们得到了上述问题的一 个解的存在性，以及关于参数与解的关系。 第三个部分我们给出了定理3 . 1 的具体证明，为了第四部分证明的需要，我 们首先考虑问题 s ( u + )6 ) + ( 1 一 s ) f ( x , u , d u ) = f ( x , u , d u ) in 0 ( 1 一 s ) (p o n日 q -一- uu 几bs r|十lesesest ( 3 . 4 ) ., 我 们 考 虑 用 反 证 法证 明 ，把定 理3 . 1 的 证明 分为 两 种 情况: 第 一 种 情 况为x o e n , 在 这 种 情 况 下 我 们 可 以 同 时 得 到 ， 二 。 及 v ( 0 ) = 忽v k ( 0 ) = 1 , 从 而 产 生 矛 盾 。 第 二 种 情 况为x 0 e a s z ， 做 适当 的 变换， 类 似于 第 一 种 情 况，可以 得 到同 样的 矛 盾， 从而定理3 . 1 得证。由定理3 . 1 可易知上述问题的解满足 回 、 。 。 ， a z 的 常 数 ， 但 是 依 赖.l, 0 , a , o o 第四 部分完成了多解的存在性的 证明。 在这个部分中， 我们采用了 拓扑度的 理论来证明定理4 . 1 ，我们用的理论是如下的定理: 设算子方程在b a n a c h 空间e中为 ( 1 . 7 ) ( d ( a ) u = u 一 t ( . l ) u “ b 满足以下条件: l t ( a ) 是紧算子， 2 . 对 一 切a e a , b ， 存 在 常 数m 0 ， 方 程 ( 1 .7 ) 在 球 面。 u 、 无 解， 3 . 存在 某a o e a , b , d ( (d ( a , ) , u , , , b ) x 0 。 ( 如 d ( a o ) u = b 只 有有限 个 孤立 解 其 指 数 和 不 为 零 ， 或t ( a , ) u = u , ， u 。 是 某 个 元 素。 此时 (d ( a o ) u = b 有 唯 一 解u o ， 其指数为i . ) 。 则 对 任 意 的r1 . e a , b , ( 1 .3 ) 在u 、 内 有 解， 其 中， u 。 是 基 本 空 间e 中 的以 原 点 为心，m为半径的开球。 如 果d ( (d ( a , ) , u m , 9 ) = 0 ， 我 们 必 须 计 算d ( q) ( 凡 ) , u , , 9 ) ， 其中0 0 , 3 c = c ( m) 0 ， 使 得f ( x , u , d u ) + c u 关 于u e ( - m, m ) 为 单 调 递 增的函数。 定理2 . 1 在 上 述 的 条 件 下，存 在x o ， 使 得 对 任 意的 r e ( 0 , a * ) ，问 题( 2 . 1 ) z 有 极 小 解u , ， 并 且当几 ， 0 ， f o 由 极 值 原 理 可 知 在觅 上 w0， 所以 ， 存 在a o 。 ，当兄 e ( 0 , 凡 ) 时 ， l ( v + w ) = 1 a f ( x , v + w , d ( v + w ) ) i n s 2 即v + 、 是 ( 2 . 1 ) ， 的上 解。 !二 一 二仁 一 : 厂 乙成 丈 火一 / 少 _ _ _ 二 _ _ _ _ _一 - - - - - 又 因 为; 是( z . 1 ) * 下 解， 则 利 用上 下 解 方法可知 ( z . 1 ) ， 有解u x 记x= s u p ( h 。 / ( 2 . 1 ) * 有 解 ， 则x 0 . 任 给 a e ( o , a * ) , 存 在a , a 使 得 当a 一 11 ， 时 ( 2 . 1 ) ， 有 解“ * ， 。 又因为f ( x , u , d u ) 0 所 以 u , _ v ， 故u ， 是( 2 .1 ) ， 的 上 解 ，v 是( 2 .1 ) ， 的 下 解 。 所 以 任 给 a e ( 0 , 厂 ) ， 存 在 ( 2 . 1 ) ， 的 解ll z ， 且u a, u x v ， 即u ; 为( 2 . 1 ) ; 的 极 小解。定理2 . 1 证毕。 、 _了 / 3 .先验估计 在这一部分中我们将证明问题 f ( x , u , d u ) i n 0 ( 3 . 1 ) o n日 q 一一- lubu 的解的先验估计，另外我们还假设: ( .f ) 存在f ( x ) e c ( c 2 ) 为 严 格正 的 函 数 ，t c ( 1 , ( n + 2 ) 1 ( n 一 2 ) ) 为 一 常数 ， 使 得对所有的x g 豆，u e r ， 及p e r ， 均有 ( 3 .2 ) f ( x , u , p ) 一 f * ( x ) u j 、 ,u ( u + ip l + u i, + p lz u p . d ) 其中 风s ) 为非减函数，且满足 ( 3 3) l i m u ( s ) / s = 0 不失 一 般 性，我 们假设(p _ 0， 否 则 我 们可以 做 变换， = 。 + 9 0 i n几 一- lg兔 其中g ( x ) 满足 s u p (p ( x ) x 。 撇o n 眼 我们先将证明问题: s ( iu l + ,6 ) + ( 1 一 s ) f ( x , u , d u ) = f ( x , u , d u ) in 0 ( 3 . 4 ) , ( 1 一 s ) (p o n日 几 -一- uu 几bs 子1.eses.、.1we几 的解的先验估计。 定理3 . 1 设( .f ) 成 立， 若u e w z ( s 2 )是( 3 .4 ) : 的 解 ， 则 du ll, 5 m ， 其 中m为 仅 依 赖n , s 2 , a * , a , 厂的 正 常 厂 雀 : 产 子 : 论戈 数。 在证明定理3 . 1 以前， 我们先来验明几个引理: 引理3 . 1 ( 参见 l 川) 令l _ 0 在r n x 0 ) 上满足 u + u 0 = 0 ， 则u 二 。 。 引理3 .2 ( 参 见 1 3 ) 假设u e w 2 , ( 0 ) 满 足 椭圆 方 程 ( 3 . 5 ) fl u = f ( x ) i n 0 a u / 击= tp ( x ) o n m 则iu liw z v(n ) c (iif ii, (n ) + ”， ， 。 。 + iu lf , ) ) 。 引理3 . 3记 q ( r ) 二 0 n b ( x o , r ) , a q ( r ) = 0 n a b ( x o , r ) , 0 , ( r ) = x 。 s 2 ( r ) d is t ( x , ) * q ( r ) ) s , 其 中x o 为。中 任 一点，并 设u e w 2 q ( d )是 ( 3 .5 ) 的 解 ， 则 ( 3 . 6 )!。 to 1 2 . 4 , o ( r ): c ( lu ll r ( r ， 十 + 110 1 w , n ( r ) ) 其 中lu ll冻= 黔5 * ilu l一 ) !tu ll(,)q .n 二 !u o )lu ,lo.q .q ， lif llgzn 二 llf ilov,n ， c = e ( q , 0 ) ，9 ( 1 , - ) 。 1丁 、1尸/ /户一 / 于/ 证明: 由己知， 存在 s o使得 du ll戮 n s s z p,u lz.v .n b 令 h e q ( 9 2 ) ，使得 x s 02 8 且一d h l 十 00。 则当k - + o o 时， 有 m k - + + 0 0 0 记 r k =m v k ( y ) = (k 一 ， “ m k u k ( r k y + x , ) , y 。 k 。 * = y i r k y + x k 。 。 ， 其中x k 。 豆 ， 使 得u k ( x k ) = m k 。 、月/ - a - 手一 几 因为f - 0 ， : 0 ， 所以v k ( y ) ? 0。 故v k ( y ) 满足v k ( o ) - 1 , o !5 v k ( y ) + o o 时 ， 有x k - x i 。 豆 s o = 0 。因此我们将证明分成两种情况: x q e s z ， 或 x0 c 情形 沉 1 : x o 。 在这种情形中，对任一给定的r o 将( 3 .7 ) 改 成 ( 3 .7 ) 当 充 分 大 时 有b ( 0 , r + 1 ) c s 2 k。 一 ( 1 - s k )a ( x o ) d , v * 二 (1 - s k )(a ( r k y + x k ) 一 a 4 (x 0 ) )d j v k + f k (y ) = g , ( y ) in。 * b , v k = 听) ( i 一 s ) (p ( 茸y + x k ) o n a 0 k 记 b= b ( 0 , r + 1 ) 由引理3 .3 ， 我们可以得到 v * ，(o )2 ,4 。: c(jv、 认 。 + c ( y , l4 a + ilg k ii黝 、 c ( v k i9,a + e v k 嵘 。 + li f k l了 ; ， 由 于a 4 ( x ) e c ( s 2 )， 我 们 还可以 取 足 够小的: 使得c , 5 1 / 2 0 由 ( 3 .3 ) 式我们可以 得到 尸( y ) c ( 1 + v k + d v , 2 n 0 ) ) 故利用插值不等式有 %、 c(l 。 (2 ,c (il1 u i2.4 i+ iu ll, = ) 所以我们可以得到 ii f k ll(2)4,9 : 小d vk i2, 嵘 c , + e v 一 (o)ii k ii2,4.r v k i2.4,a 、 c , 即 lv k 嵘 a (o.a ) n ; 利 用s o b o l e v嵌 入 定 理，可 取 子 列 仍记 为 v k 使 得 ( 3 . 8 )v ; 在w 2 ,4 归( 0 , r ) ) 上弱收 敛于v v k 在c ( b ( 0 , r ) ) 上强 收 敛于v 又由 条 件 ( 3 .2 ) 和( 3 .3 ) ，以 及 s k -*。 可 得 ， 任给y e b ( 0 , r ) f k ( y ) 一 致 收 敛于f * ( y ) v , 、1/ 任给y e c ( b ( 0 , r ) )， 将( 3 .7 ) 两 边同时乘以17 ， 我们有 j a 0 (x o ) ,7 (y ) d y v d y =j f * ( x o ) v y d y ， b ( o , r ) b ( o , r ) 又由于 a ( r k y + x k ) - d ( x 0 ) 关于y e b ( 0 , r ) 一 致收敛 ， 我们可以 推得、 在b ( 0 , r ) 上为方 程 ( 3 .9 )一 a ( x o ) d , v = f * ( x o ) v 的解。 选 取 序 列 r , ) ，使 得 当 j - t o o 时 有r ) - + o o 。 用b ( 0 , r , ) 代 替b ( o ,r ) ， 重 复 以 上 的 证 明 过 程 ，我 们 可 以 得 到 序 列 v k 其 中 v * 为 ( 3 .9 ) 在b ( 0 , r , ) 上 的 一 系 列 的 解 ，( j = 1 ,2 ,3 二 ， .) 。 用取子列的 对角线的方 法， 可 参见 1 1 ， 我们可以 得到序列 v k 满 足 ，对 任 意 的 ， = 1 ,2 ,3 ， 二 有 ( 3 . 1 0 ) v * 在 w 2 ,q ( b ( o , r , ) ) 上 弱 收 敛 于 v v * 在 c ( b ( o , r , ) ) 上 强 收 敛 于 v 故， 在r ” 中 有定义且 满足( 3 .9 ) 。 做适当的 坐标变换后，、 在r ” 上满足 一 v二v 利用引理3 . 1 可知， v - 0 . 而另一方面，由( 3 . 8 ) 可知 v ( 0 ) 二 忽 v k (0 ) = 1 ， 矛 盾 。 情 形2 . x o e a o . 不 失 一 般 性 ， 我 们 可 以 假 设 在x 。 的 附 近 ， a n包 含 在 x = 0 中 ， 且 q 二 仕 。 0 。 记d ; 为、 * 到。 q 的 距离 ， ( 即 ，d k = x a e , ) 一 /一 令 s * 二 d , r k ! 若 存 在 子 列 i s , ， 使 得 当j + 时 ， 有 s k . - - + ， 则 任 给 r 0 , 我们可以 得 到， 当r 充 分大 时 有b ( o ,r + 1 ) 二 q k 。 因 此 重 复 情形i 的 证明即 可以 得到矛盾。 所 以 我 们 只 看 s k 为 一 致 有 界 的 情 形 ，即 k li m s k-,+ m二 “ 我 们 下面 证明 v 、 有 子 列 在 y n - s ) 中 收 敛 于v ， 且、 在 y - s ) 中 满 足( 3 .9 ) , 在 y= - s ) 上 有a v / b y= 。 。 做 变 换夕= 夕 ， 又= y 。 一 s k ， 不 失 一 般 性 ，我 们 假 设s * 二 0( 因 为s * 有界 ) 。 对 于 充 分小的s 0 ， 有b ( x o , s ) n a q c ( x ， = 0 , 因 此b ( x o , (5 r k ) n a o k c 伽 。 = - s k = 0 ) 。 任 给r 0 足 够 大， 有b - ( r ) 二 b ( 0 , r ) n 伽 ， 0 = s k 二 o k 。 将( 3 . 7 ) 改 写 成( 3 .7 ) 的形式，并利用 ( 3 .6 )式，类似情形i ，可以证明 v k lw x 1 (b (r - q ) s c， 其 中 c为 与 k 无 关 的 正 常 数 ，但 可 以 和 r 有 关 。 令 q n ;由s o b o l e v嵌入定理， 取子列 后可以 得到 ( 3 . 1 1 ) v * 在、 z ,q ( b + ( r 一 1 ) ) 上 弱收 敛于v , v * 在c ( b ( r 一 1 ) ) 上 强 收 敛 于v ， 又因为 a ( r k ， + x k ) - - a ( x i )当k - 。 一 致 成 立， 由( 3 .2 ) a 及( 3 . 3 ) ， 我们可以 得到当k - - 。时， 任给y e b ( r 一 1 ) f , ( y ) 一 致 收 敛于f + ( y ) v , 即v 在b ( o ,r - 1 ) n 行 。 0 上 满足 方 程 ( 3 .9 ) . 又 因 为r 是 任 意 取 的 ， 所以 取 子 列 r ， 当l 。十 00 时 ， 凡于 、+ 对f 凡于 重 /、 、 创 拼 ) 一 介 士学/ : 公 泛 复 上 述的 证明 过 程， 并 利 用 取 子列 的 对 角 线的 技巧 可 知 在r n y 0 1 中v 满足 ( 3 .9 ) ， 且在 y ., 二 0 ) 上满足 ( 3 . 1 1 )a ( x o ) v , . c o s ( y , y , ) = - a ( x , ) v v = 0 做适当的坐标变换后，v 满足 一a v二v 在 y 在毛 y 0 内 o v / 即 二 0 做、 关于 y 0 ) 的偶延拓后，由 引理3 . 1 可知， = 0 ) 上 由于v 在r ” 上满足 4 v=v , 所以、 二 0 . 然 而 ， 另 一 方 面 ，又 因 为iv * l、 (r 一1) 0 . ;, r, 士学住j 、 、 人 叹 二 上 x 、 1 一之 4 . 第二个解的存在性 本部分中 我 们将讨论问 题 ( 4 . 1 ) ， 存在两个或 两个以 上的 解， 我们用的主要工 具是拓扑度的方法 定理4 . 1问 题 ( 4 . 1 ) ， 满 足( f ) 一 ( f ) , 更 进 一 步 ， 如 果 存 在 (4 . 1 ) 。 的 严格上解 u . 。 w z .e ( q ) 满足 a f ( x , u * , d u * ) in 。 o n 8 q 左之 即r冲1网 且u . 证明 觅 上， 不 是 ( 4 . 1 ) , 。 的 解， 则 ( 4 . 1 ) : 对a 。 ( 0 , 凡 至 少 存 在 两 个 解。 我 们 仅 证明( 4 . 1 ) , 。至 少 存 在 两 个 解， 其 他 的 情 况 是 类 似的 将lp 延 拓 到 则 i n几 o卯 一一一 俨尹 lb !2lles ( 4 2) o n日 q 记h= u