（计算数学专业论文）映射的morse等式.pdf

一 壹星塾窒堕墨查兰堡主堡塞 摘要：s z y m z z a k 等在 5 中得到了一个关于映射的c o n l e y 指标，这推广了m o r s e 指 标在本文中我们使用这个c o n l e y 指标来得到一个关于映射的m o r s e 等式。 这个等式可看做是流或同胚的m o r s e 等式的推广。 关健词：c o n l e y 指标 ， m o r s e 等式，映射 a b s t r a c t ：a c o n l e y i n d e xf o rm a ph a sb e e ng i v e n i n 5 b ys z y m z z a k i t g e n e r a l i s e st h em o r s ei n d e x i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ec o n l e yi n d e xt o o b t a i nam o r s ee q u a t i o nf o rm a p t h e e q u a t i o nc a nb er e g a r da sa g e n e r a l i z a t i o no ft h em o r s ee q u a t i o nf o rf l e wa n df o rh o m e o m o r p h i s m k e yw o r d s ：c o n l e yi n d e x ，m o r s ee q u a t i o n ， m a p 南京航空航天大学硕士论文 映射的m o r s e 等式 o 引言 经典m o r s e 理论是m o r s e 等人在2 0 年代创立的，它给出了光滑流形的拓扑性质及 其上m o r s e 函数的非退化奇异点之间的相互关系5 0 年代，s m a l e 等将其推广为光滑流 形上的梯度流的双曲不动点与流形的拓扑性质的关系，从而得到了m o r s e s m a l e 等 式这一关系式可以看做为向量场的p o i n c a r 6 - h o p f 公式在某些特殊情况下的精确 化7 0 年代末，c o n l e y 等人推广了m o r s e 指标，得到了流的c o n l e y 指标，从而在更一 般的基础上建立了流的m o r s e 等式( 详见 1 ， 2 ， 3 ) 后来m r o z e k ，s e y m c z a k 等 人将流的c o n l e y 指标推广为离散动力系统与离散半动力系统的c o n l e y 指标( 详见 4 ， 5 ) m r o z e k 在 7 中用离散动力系统的c o n l e y 指标来建立一个关于同胚的 m o r s e 等式我们在这里将使用离散半动力系统的c o n l e y 指标来建立一个关于映射的 m o r s e 等式这个等式可以被看做l e f s c h e t z 不动点定理在某种特殊的情况下的精确 化在本文最后我们还会给出一些简单的应用 1 经典理论的回顾： 首先，让我们从一个例子开始。令，：胃斗骨为一个以，为周期的周期函数，且 为二次连续可微，即是c 2 类的。再假设当厂( ) = 0 时有，( ) 0 ，这时我们 可以称而为f 的非蜕化临界点。再假设，的临界点都是非蜕化临界点由拉格朗日 定理不难证明在一个周期内，至少有两个非蜕化临界点。由于，为周期函数，所以 可以把r “卷起来”，而把，看成定义在圆周一上的函数。这样我们就有性质：在 一上的函数，如只有非蜕化临界点，则至少有两个非蜕化临界点。若眉上的函数， 有且只有非蜕化临界点，则厂不必有此性质，即不一定至少有两个非蜕化临界点，例 如y = x 2 就只有一个非蜕化临界点。这说明胃与f 的拓扑性质的差别导致了如上 的性质。 经典m o r s e 理论就是将上述思想推广，得到c 。流形的拓扑性质与其上的m o r s e 函数的非蜕化l 临界点个数的关系。仿照上面的例子，我们定义，的临界点为使 v ( x o ) ：0 的点工。，而非蜕化是指在处( 要) 非蜕化即h e s s e 矩阵非蜕化。 麟c 掰， 映射的m o r s e 等式 m o r s e 函数是指该函数的所有临界点都是非蜕化的。另外一个起重要作用的概念是 m 。r s e 指标，它是指( 婴) 的负特征值的数量。这有一个非常经典的例子，就是 四积 环面如图l 放置时，高度三是定义在环面上的m o r s e 函数。 现在让我们来看看与，有 关的向量场x = 盯的一些性质( 当 然这里有些技术性问题，比如说 我们这时需要一个r i e m a n n 度量， 等等) 。由j 导出的流记为氟。 图1 环面的例子中有0 ，1 ，2 ，3 为非蜕化临界点也就是导出流以的双曲不动点。( 图1 ，2 ) 现在我们设c 。流形为紧的，厂为其上的m o r s e 函数，令 m 。= 缸m i f ( x ) a ) ，这样我们有以下的主要结论： 6 定理a ：如果村在扛m ib ，( z ) 口 中没有临界点则托与m b 为微分同 胚。 m o r s e 等式：m ( f ) = p ( f ) + ( 1 + ，) q ，其中口倒为一个系数大于0 的t 的多 项式，m r ，j = f 2 驯，为厂的临界点，而a ( x o ) 为的m o r s e 指标 知 p ( 厂) = t 。d i n a h ( m ) 。 k 定理b ：若在忸m ib 皇一旧来表明。点的性质，实际我们将其代表的同伦类定义 为流庐，的不动点0 的c o n l e y 同伦指标。 下面我们将给出一般流的c o n l e y 指标的定义。既然我们打算将该指标定义为 一个同伦类，所咀我们就不必要求可微性与不变集一定为不动点。 定义：令崩为局部紧度量空间，占为连续流以的一个孤立不变集，( 其中孤立不变集 是指，存在一个紧集，使s = 扛n lx - 露c c i n t n ，其中并1 7 = 扫l y = 以( 工) ，v te 月 ) 中一个紧集对( ，n o ) 称为关于5 的一个指标对，若 i ) c l r ml o j 是s 的一个孤立邻域，即s = l n v c l ( n t 、“) c c t ( n i 、n o ) i i ) “关于l 正不变，即若工e 0 有x o r 】c l 则x 0 ，日亡“，其中 工【o ，f 】= i y = 丸( 曲，”【o ，f b 。 i i i ) 若ze 1 ，而且x f 伍 i ，则存在t 0 使得x 【0 ，明亡n l ，而且x f n o 。 例1 1 中0 点的指标对为( n 1 ，n o 驷图 整个图形为。，阴影部分为0 定义：设s 为一孤立不变集，( 1 ，o ) 为其一指标对，称同伦类【l o 】 为s 的c o n l e y 指标。 5 例1 i 中0 点的c o n l e y 指标为i s 。vs 。上当然这里有一些保证指标对存在及 c o n l e y 指标定义的合理性的定理，此处略。 既然c o n l e y 指标被定义为一个同伦类，那么显然也可以有上同调的c o n l e y 指标。我们将同伦类套上一个上同调函子，得到日( 1 v 0 ，) 。在这里我们用 a l e x a n d e r s p a n i e r 上同调函子，这样由于其强切除性质，有自然问构 h ( n 1 ，n o ) 兰日+ ( t n o ，+ ) 。我们定义s 的上同调c o n l e y 指标为 日( ，“) 。 南京航空航天大学硕士论文 这时我们还可以定义s 的p o i n c a r 6 级数为p ( j ) ( f ) = f 。d i m h 9 ( 1 ，n o ) 。现 g 在让我们计算一下双曲不动点的p o i n c a r 6 级数。易证双曲不动点的指标对可选取为 忙1 ，抛1 ) ，其中e 1 为 维胞腔( a 为m o r s e 指标) ，& 2 为e 4 的边界，即 ( d 1 ，s 。1 ) 兰0 。，8 e 。) ，其中d 2 为a 维圆盘。所以显然p o i n c a r 6 多项式为 p ( s ) ( ，) = t 1 这和我们希望的相一致。 现在我们来回 乙一般流的m o r s e 等式。见f i 定义：令s 为彤中的紧的不变集。s 的一个m o r s e 分解是m 的紧不变子集的有 限族， ( 肘1 l j h ，它依下法定序后记为( 吖。，m 2 ，帆) ， 若 算m ( u ；。m i ) ，a ( x ) c m ，和c o ( x ) c m f ，f j 。这样的序称为一个允许序。 定理：设s 为流氟的孤立不变集，m h 必) 为5 的m o r s e 分解之一允许序，则 p ( m ，x t ) = p ( s ) 0 ) + ( 1 + t ) o ( t ) ，其中p f 的系数皆为非负整数。见【1 百 由于流是一种被 参数化了的一系列的村的自同胚，所以我们提出一个问题， 是否可以将上面的结果推广到的自连续映射上去? 不管怎么说，如果想推广流的m o r s e 等式为映射m o r s e 等式就必须回到老路 上来，先推广流的c o n l e y 指标。下节我们回忆一下关于映射的c o n l e y 指标，然后 在以后的几节中我们将试着建立一个关于映射的m o r s e 等式。 现在我们再做一个观察。这时我们令为一个c 。类一维流形，j 为上一个c 4 向量场，且假定j 只有孤立零点。令以为j 导出的流。为j 的一个孤立零点 定义函的指标，记为i n d e x ( x o ) ，为如下映射的映射度： s ：。一s ”。，z 卜x ( x ) l x ( 功i ，其中s 7 1 为的邻域内包围 而的一个小球面。 定义j 的总指标为血科= i n d e x ( x ) 。这样我们有： ， 定理( p o i n c a r 6 - h o p f ) ：若j 是紧流形上的仅有孤立零点的矢量场，则 j n d x = z m ) 即l | i f 的e u l e r 数。 如我们再假设j 的零点也为以的孤立不变集，则可以证明有 i n d e x ( x o ) = p ( x o ) ( 一1 ) = ( 一1 ) 9 d i m h 9 ( 1 ，n o ) ，其中( n 1 ，n o ) y o 粕的指标对。 口 映射的m o r s e 等式 如再设j 的所有零点构成的一个m o r s e 分解的允许序，则有流的 m o r s e 等式成立，( 一) ( f ) = p ( m x t ) + ( 1 + ，) ) 等式两边代入t = - i ，有 j p x ! ) ( 一1 ) = p m ) i 一1 ) = z m ) 即锝融1 p o i n c a r6 一h o p f 等式 i l n d e x x = z ( m ) 。 这说明可以把流的m o r s e 等式看做在某种特殊情况下p o i n c a r e h o p f 等式的 精确化。另外注意在p o i n c a r 6 - h o p f 等式中用的自连续映射厂来代替丑则有 l e f s c h e t z 公式i n d e x ( x ) = l 其中l 倒为，的l e f s c h e t z 数，而i n d e x 倒为厂 j 的不动点石处的指标( 其定义与向量场z 的相仿) 。这样我们又提出了一个问题， 是否有一个关于映射的m o r s e 等式是l e f s c h e t z 公式在某种特殊情况下的精确化? 我们将建立的m o r s e 等式将给出答案 2 一些说明 首先，让我们假设本文中出现的所有拓扑空间都为局部紧的度量空间，这些空 间之间的映射都为连续映射 2 1c o n l e y 指标 现在让我们回忆一下映射的c o n l e y 指标在本文中我们将使用一种上同调指 标，它就是 5 中的c o n l e y 同伦指标”套”上一个a l e x a n d e r s p a n i e r 上同调函子 1 ) c o n l e y 指标定义中用到的一个范畴 在 5 中c o n l e y 同伦指标被定义为由标点的同伦型拓扑空间及保持标点的同伦映射 组成的范畴导出的一个新范畴中的对象先让我们看看这个导出的范畴令f 为任意 一个范畴，定义个新范畴为丘如下：厄中的对象为有序对阮，其中为中的对 象，而，为的自态射丘中从饿到r 肘，f j 的态射为r z , , 中的元素，其中 声，r 庐，? 西是中从到村态射，且满足西o ，：，t 。庐，而1 7 为一正整数 ，等价关 系一为：r 毋。门一r 西。，存在为正整数丘满足庐，o f = 庐，o ，”我 们记这个态射为f 庐，n _ 7 由等价关系的定义显然有，咖，彬= ，妒o f 疗埘= ，。 庐，门十四，。我们再定义范畴中的复合为，毋i r 7 - 7 o f 妒，玎= ，咖。妒，一奶上容易验证 尼是一个范畴，而以d 刃为其单位态射令与为两个范畴，而g ：k 斗三为一个从 到l 的函子，我们定义一个新的函子q ：k 呻l ， 姗：g i ：( m f ) ( g ( 砌。g ( f ) ) g 。：l 中n hl g ( 中) h i 容易验证品的定义是合理的我们在本文常用的函予是由上同调函子，o 函子与。 南京航空航天大学硕士论文 函子导出的函子 在 8 中有一个关于这个范畴的性质。对本文非常重要，现在摘抄如下： 性质2 1 ：如，：w 一矽。与：w 。斗矿是中的两个态射，则k ，中的元素 ( w ，埘。，) 与( 矽，。国) 是等价的 如妒：w 斗与：w 矿，为k 中的同构而且( 矽，纠与( 矿，) 在中厄同构， 则p 与由一个同构形成共轭，即ho 妒= 妒i o 谚中 为从w n w 。的一同构 上面定义的范畴在某种程度上说是用来代替顺向极限的，这在以后我们还会进一 步说明 2 ) 指标对与指标映射 对j 的子集s 如满足如砑万) = s 则叫做j 相对于，的一个不变集对j 的紧子 集如! 满足加野( ) 仁i n tn ，且s ，：x n v , ( h 9 ，那么我们称为s 的孤立郐域! 我们蟹j 的 子集s ，为j 相对于，的孤立不变集，如果s 有一个孤立邻域 fn ( i x j ) = ri s ( x ) j 弧x fi x ) n t i n i t 以7 其它情况 映射的m o r s e 等式 称其为由，导出的指标映射 3 ) 映射c o n l e y 指标的定义( 详见 5 ) 、 下面结合以上定义的范畴，指标映射来定义孤立不变集的c o n l e y 同伦指标。 令，为标点同伦类及其问保持标点的同伦映射范畴，而乙为由前面的构造导 出的范畴令j 与，前面假设一样，5 为j 相对于，：的孤立不变集， u 为 占的指标对，而，一为其指标映射现在，我们定义s 的c o n l e y 同伦指标为五 中同构于r ，心刀，f ，的元素。 在本文中我们借助于前面由老范畴的函子导出新范畴的函子的构造，由主理 想整环系数的a l e x a n d e r s p a n i e r 上同调函子导出的孤立不变集的上同调c o n l e y 指标为，n o 刀，f 0j 。这样我们就可由a l e x a n d e r s p a n i e r 上同调函 予的强切除性质来将甜“f 肥刀，厂0j 与， p ，f m w ，等同起来不 加区分。 在应用中我们将用到关于c o n l e y 指标的如下两个性质：( 详见 5 ) 性质2 2 ：i ) 妒的指标对是( 以庐) ，c o n l e y 指标是( 4 功。 i i ) 如果孤立不变集s 的c o n l e y 指标不是以以则定有s 庐。 性质2 3 ：如果以是可缩的度量空间，而s 为y x a 的自映射厂的孤立不变集，那么 对每个f a 有是，的孤立不变集，而且s 的c o n l e y 指标就是s 的c o n l e y 指标，也就是说对任意一个f a ，的c o n l e y 指标都是一样的。 2 2m o r s e 等式 由于在本文中我们将推广流的m o r s e 等式为映射的m o r s e 等式，所以现在 让我们回忆一下流的m o r s e 等式。( 详见【1 ) 令j ，为局部紧度量空间，中为其上的 一个连续流。这样我们与前边类似有流的孤立不变集，孤立邻域及指标对的概念。 由于流可做沿流的同伦，所以这时问题交的简单了。设s 为中。的孤立不变集，“， 为5 的指标对，s 的c o n l e y 同伦指标可直接被定义为同伦类f 儿。而 s 的上同调c o n l e y 指标为矿，他j ，其中矿为a l e x a n d e r - s p a n i e r 上同调函子。 在此基础上，我们定义s 的p o i n c a r 6 级数为p ( s ) q ) = ht 。，其中岛为 j m 删的维数。现在，如果s 有一个m o r s e 分解m ，膨，则有等式 南京航空航天大学硕士论文 p ( 膨) ( f ) = 尸( s ) o ) + ( 1 + r ) q ( f ) 其中s 的m o r s e 分解( ，崩，版j 是指；肛都 j - l 是s 的孤立不变子集，且满足如p j 有工s 、u 似。) 使了的m 极限集 i c o ( x ) c m 而j 的口极限集口( x ) c 膨。 在 7 中m r o z e k 得到了一个同胚的m o r s e 等式。与其不同的是本文只假定连 续的映射，而且用的c o n l e y 指标不直接出现顺向极限( 虽然在特殊情况下可以证 明是等价的) 。这样的c o n l e y 指标在应用时更方便。 在本文中我们将按如下步骤来建立一个关于映射的t d o r s e 等式首先，我们将在 第3 节中做一些代数上的准备工作，这是由于在定义c o n l e y 指标时用新的范畴代替 顺向极限所致第4 节中，我们将得到本文的主要结论，即得到一组m o r s e 等式第5 节中。我们将证明第3 节中用到的一个定理，该定理很象经典m o r s e 理论关于胞腔分 解的定理然后在第6 节中，我们首先说明怎样计算一类特殊的c o n l e y 指标，然后给 出一个算例在第7 节中，我们将本文的结论用到分岔中去 3 代数 本节的目的是为建立m o r s e 等式在代数上铺平道路。现在我们令为主理 想整环斤上有限生成的斤模及其同态形成的范畴，丘是用上节的构造由导出的范 畴。 先让我们回想一下有关顺向极限的有关事实。取中的一个厅模腻及其 自同态五则有如下的有向族： m 山，( m ) 山山r ( 村) - - 肘卜l ，( m ) _ l _ l f l ( m ) + - 其中为含入映射。该有向族的顺向极限被定义为o ，一f j 渺朋，f 其中a 为由所有 仁一f 。j 。( x ) lx e f 5 ( 吖) ：s ，n 形状的元素生成的子模) 记之为删并且诱导出态 射，? 厂”( 肼) o ，7 ( ) o 三肼，若取一斤模盯及其自态射厂，且有一 f 从到m 1 的态射f ，使 o g = g o f ，则有有向族问的态射： m 与，( m ) 山山厂“( m ) 一 0 盯。与，。( m ) 与与厂”( 吖) 呻 则由顺向极限的泛性质可以诱导出一个从洲到上m 。的态射厶品使下图可换 f引+ 映射的m o r s e 等式 套：，幺( m，御_ _ 厂“) 并且容易证明取顺向极限有函子性质由于我们取的环比较特殊，所以它还有一些特 殊的性质： 性质3 1 ：任取中的r 模崴及其自同态，可构造上述有向族，这时必存在 “使当力州时有f 。i “：，“c m ) 寸，”( m ) 为一个同构， 且f “：，”) 斗三肼为一个同构 证明：i ) 首先，让我们注意对任一口m ，的阶8 的阶如a 的阶为而 j r 御的阶为皿则有腰r 其次，由于脚是主理想整环厅上的有限生成的模，所以彤必 有形o ”r o r ( p ) o o r ( p ：t ) ，其中n 为r 中的素元( 可以相等) ，映自 由元为有限阶元或自由元，映p ；阶元为阶元，口氐否则如殃为p ；阶元，由于p ； 与p j 互素所以矛盾让我们记阶p 。的任何幂次的元的子模为月( n ) ，显然有 f ( r ( p ，) ) cg ( p 。) 先考虑自由项o “尼必有f ( o ”r ) = 0 1r o t ，其中，为挠项，m 乱由于， 只降低元素的阶，所以o “- r 为厂御的全部自由元。再对。一胄重复以上过程，得 m 嘲，再重复之，得一数列一啊n 2 0 。由于1 7 为有限，必在有限步内， 即3 l n 使= h + _ 芦时厂在，( m ) 的自由项上的限制是，( 肼) 的自由子 模到，气m ) 的自由子模的个同构，其中n ( 2 ) 再考虑，( m ) 中的子模r ( p ) ，有f ( r ( p ) ) c 矗( p 1 ) ，而且这时没有自由元由f 降阶的映到足( p ) 中先考虑曰f 矗，最大阶元的子模，o 。且( 计) ，和上面相 似的论证，我们得一个且e w 使对 瑚，f 在，+ 托( m ) 上的p 产阶子模上的 1 n 南京航空航天大学硕士论文 限制是该子模的一个自同构再在f “- 膨) 中考虑次高阶元p 产生成的子模， 显西，且没有元通过，降阶为开与上述论证完全同理得到岛同理得 日，h ，风，由于的有限生成性该序列必为有限，且，h 2 ，日。令 n 1 = 工i + h 1 + h 2 + ，+ 日。a 这时显然对任一卅有，i ，”( 。r ( ) ) ：，“( 。“g o r ( p 1 ) ) 斗，“1 ( o ”r 。r c p l ) ) 为 同构。 ( 3 ) 同理考虑f ( m ) 的子模r 慨j ，得n 2 同理得一序列n 1 ，n 2 ，n 3 n 。1 ：由于 的有限生成性该序列必为有限，记m 取硼m ，2 ，m m ，由上 面构造显然有对v h n f 。i “：厂“( m ) 呻，”( m ) 为同构。 i i ) 取v n n ，则对任一，。( 膨) 都有一个到f ”c m ) 的态射，如四砌， 则取，如皿加则由于同构可直接取同构映射，对肝币取j 以这样我们得到有 向族 f ( 肘) n f 4 ( m ) 的映射，由泛性质则存在一个映射f 下使下图可换： 厶l i ，+ f “( m ) 弋， 尸 i d ( 彳 显然尸为一同构。# 对丘中任一元观厂，我们称性质2 1 中的 ，为帆，) 的广义长度。我们 还显然有( 工m ，巧) o b 丘，对丘中另一元， ，及态射 g ，z ：( m ，) 呻( 材，f ) 由极限的函子性质也显然有心刀是从纰fj 到 龇l f j 的映射。 性质3 2 ：1 ) 在丘中饵厂，与( 厂( m ) ，f 。0 等价。 2 ) 在丘中似，j 与批i f ) 等价。 映射的m o r s e 等式 证明：1 ) 由上节的性质2 r 显然。 2 ) 由于似f ，与( 厂( ) ，f 。f ) 等价，所以( j 6 ( 厂，与( 厂。( ) ，厂。i 4 ) 等价，1 7 为饿，j 的广义长度。而且，”( 肘) 与厶i ，同构，有交换图； 川：r ， 上d f “( m ) 三_ 肼 所以( ，( 肘) ，f 。f ) 与西狮，等价， 所以阮f j 与似l f ) 等价。 # 这就是上节中说新范畴是来代替顺向极限的意思。 现在让我们注意一个事实。令盯为主理想整环p 上有限生成的模，而，为其 自态射，口为斤的分式域。由代数的知识可知自由部分的秩等于q o m 的秩，而 态射7 ：m t 斗m t 的迹等于i d o f ：q o m 斗q o m 的迹其中t 为崩的挠部 分。取丘的两个元饿，与阻，j 等价，由。的函子性质及第一节中由老函子 导出新函子的性质可知( q 固m ，埘。门与( q o ，i d o f ) 等价。另外由顺向极限的 性质也很容易证明q o l m = 三( q o m ) ，且耐o = 三( 埘。力。 本节以下部分主要关心村的自由部分的秩及，的迹的一些性质，为了使符号 简单，不妨令为有限维向量空间及同态的范畴，而瓜为由导出的范畴。以下 的结果与定义搬到主理想整环有限生成的拧模的自由部分上栗也对另外在应用时 使用向量空间也是方便的1 再注意一点，当崩是有限维向量空问，有向族 m l ，( m ) l 三一f ”( m ) l + 有力w 为饵f ) 的广义长度，有，”( 村) = ，“1 ( m ) = 一，“( m ) = - 所以我们不妨将m 与t f 看做l m = ，”( m ) ，巧= f 。i ”。这时l f 显然是 个同构 工弘l 生l l v 2 生l 工v 3 f i上刊d 戋j q 盘：j 屿工击， ( m ，上) i 星比止( m ：，五) k _ 号( 盯， ) 。0 监。m 坦盐。摭1 其中陋，竹伪( m ，z ) 与( m ，) 间的等价映射再由顺向极限函子性质，显然有下 由性质3 22 ) ，易得( 上m ，) 与( 埘。，z ) 等价，且等价映射就是阮， n ，】又由于m 性质3 3 ：在中如m 山m ：山坞正合可换，则 ，土，| r，土 映射的m o r s e 等式 有( m l ， ) 血盟爿m ：， ) 妇：屿( m ， ) 正合。 证明：即证l m l 鱼_ 三2 纽_ + 朋厶 正合可换。 q l：厶 i ( 1 ) 由函子性质可换性显然。 ( 2 ) 对v x l m x 。吖i l使x = e ( h ) ，且有下图可换 m 】丑_ + m 2 _ + m 3 n ， ，为阮j ，舰厂一，陇，j 的长度中 的最大的一个，3 y 。疗( 村2 ) 使y = e ( 乩) 忒。f 誓 l m 2 纽- + 上m 3 有咒爿。( mz ) c m ：* 片( m 2 ) 。缸，砖 且月。( y 1 ) = 儿 注意片在爿1 ( m ，) 上为一同构 而掣与f 为同构，所以g ：( ) = o ，所以 k e r g ： 再由正合性 i m g i = k e r 9 2 ，必3 = m l ，使咒= g l ( z ) 。 由可换图( 幸) 有z = e 1 ( z ) ，使锄倒可，所以h n 三g ，3 k e r l g ：，所以有 h n l g l = k e r l 9 2 ，即正合。 南京航空航天大学硕士论文 性质3 4 ：炯 1 l ，1 i 川 有t r f = r r f 。i ，其中t r y 为f 的迹 2 ) 对，：m m - 与l f ：三m 斗工肘有t r y = t r l f 3 ) 在置。中如( ，f ) 等价于一，则有行鼻7 证明：1 ) 可分解为直和m = f ( m ) o k e r f 选一组基e i e p e e 。，且e ，k e r f , 1 f p e j ，( m ) ，p + 1 ，n p 则在此基下，的矩阵必有形p 左上块对角线上元为0 所阻有阿= t r y 。i 2 ) 由1 ) 立即可得 3 ) 由于( m ，力与( 1 ，1 ) 等价而似等价于 舭l f ) ，倒，f j 与陀以l f 。j 等价所以有批l f ) 等价于( 1 2 1 , l f 。，再由性质2 1 2 ) 及上面的证明可知阡，= 阡， # 定义3 2 ： ( 1 ) 在丘中每个元素似，j 对应一个数，记为7 ，饿， 该数是工埘的 维数，称为似_ 厂j 的b e t t i 数 ( 2 ) 在圮中每个元素似，) 对应一个数7 m 记为阡，) = 纾，称为 ( 弛f ) 镪、赶 1j， 映射的m o r s e 等式 由前面的性质，这个定义显然合理的另外，我们注意到7 ，傅= 7 ，傅f 1 j c t # t 融 ) = 我们将7 1 - f ”) 记为i r e 傅fj 而将抒偶，j ，记为7 一州厂j 这样 对厄中的每个f 膨f 土我们就可以有一个数列与之对目什。( m ，) ) m ) 定义3 3 ：对五中的有限序列( 峨， ) ，( m ， ) ，( m n ，l ) 定义数l e 7 = ( 一1 ) o n + + ( 一1 ) “t r l 。，其中t r i ，为( m ，) 的迹一 当，却时，称其为序列的g u l e r 数，记为z ， 当i = 1 时，称其为序列的l e f s c h e t z 数，记为l e f ， 其中t r li ，= t r ( m ，) 性质3 5 在丘中如以下序列正合 ( o ，o ) _ + ( m o ， ) _ _ + ( 帆， ) _ ( 0 ，0 ) ，则有l o f = 口 证明：显然有下图正合可换 0 l m q _ j l m ，啼0 l f 一+ l f 0 _ l m o 寸一l m 。斗0 所以显然有l e f 7 - - 0 # 在厄中如以下序列正合 ( o ，0 ) _ + ( m o ，f o ) _ ( m 1 ，一) - ( 村2 ， ) _ + ( o ，0 ) 则由以上性质立即可得t r 。i = t r 。i o + n 7 1 2 下面我们再对迹做进一步的讨论先让我们回忆一下一些代数上的有关事 实令m 为域f 上的有限维向量空间，为其自态射如，为f 的代数扩域，则由 f p 为维数相同的域，上的向量空间，而搿o ，为其自态射显然，与谢圆厂 ，l丫 南京航空航天大学硕士论文 的特征多项式相等所以有相同的迹而在万。硝上耐o ，必有特征值 ， ( 其中可以重复) 且t r ( f d o 门= + + ，再由线性代数的知识有 t r ( i d 圆厂) 。= 置+ + t ，i 1 所以我们有阿= 什( 耐o ，) = 爿+ + 屯，所以有 t r 。( ，f ) = 墨+ + ，i 1 这就给出了迹的计算方法下面的性质将说明b e t t i 数与特征值的关系此处约定任一元f f ，记号，o = 1 n 性质3 6 ：在置中俄f ，的b e t t i 数为的维数减去，的0 特征值的个数，也等 于耐。厂的非0 特征值的个数( 包括重数) ，且什o ( 肘，力0 证明：由于l f ：l m 斗l m 为同构，所以l m 的维数即，厂) 的b e t t i 数就是巧的 秩 而且显然有工( f o m ) = f o l m ，2 j l ( i d o f ) = i d o t f 所以l ( f o m ) 与删有相 同的维数 令i d o f 的j o r d a n 形为 且将0 特征值都放在左上块。 ， 。 0 弋 l 显然m 可分解为直和n 。o n 。，而使耐o ，l 的矩阵为以上方阵的左上块， 而，i 心的矩阵为右下块显然i d o f l n 是满秩的，所以为同构 显然对充分大的有( i d o f l 心) ( o ) = 0 所以有( 讨。门( of f ) n 1 ) = n 。， 所以显然有n 。= l ( f o m ) 所以，o l m 的维数，就是以的维数，也就是非驴特征值的个数显然也 有t r o ( m ，) 0 # 、iliiil 映射的m o r s e 等式 以上性质说明t r o ( m ，门可由名+ + z 来计算注意这里的加法要按整数 中的加法来理解现在我们在两个特殊的域，即有理数域口与实数域斤上考虑问题， 这两个域的代数扩域分别为代数数域与复数域c 性质3 7 ：当盯的系数域为口或骨时，有t r “( 吖，) o ，h 2 0 证明：( 1 ) 当力印时，显然成立 ( 2 ) 当疗，时 n “( 吖，) = 毋+ 石”+ + 岔，其中 ，一为i d o ，的特征值由线性代数 的知识，埘o ，的复特征值必成对出现，且互为共轭 如工，为有理数或实数则4 “0 ，对成对复特征值丸与a 。，显然有丑”n - 与2 j ，也互 为轭，令 = a4 - i b ，j ：= a - i b ， 她h 七妒h = ( 口+ 曲) 4 + ( 口一曲) 4 = ( a 2 一b 2 + 2 a b i ) 2 + ( a 2 一b 2 - 2 a b i ) 2 = ( 口2 62 ) 2 4 a 2 b 2 + 4 a b i ( a 2 一b 2 ) + ( 口2 一b 2 ) 2 + 4 a 2 b 2 4 a b k a 2 一b2 ) = 2 ( a 2 一b 2 1 2 0 所以有t r 4 ”( ，) 0 ，疗0 # 4 建立i l o r s e 等式 在本节中我们将得到本文的主要结论，即建立一个l o r s e 等式组 令厅为局部紧度量空间，为连续自映射，s 为厂的一个孤立不变集，n 为5 的孤立邻域，定义s 的稳定集与不稳定集，i ，占如下 爿= 厶州有一序列玩，。，cn ，满足 1 ) x = x 。 2 、f ( x 0 ：x 。 3 ) v s 的邻域u ，3 k o 使当女 k 时、 【 有 e 口i 8 = 扛e m 有一序列风，。，cn ，满足 1 ) j ： 曲f ( x 、) = x n | 南京航空航天大学硕士论文 3 ) v s 的邻域u ，3 k k l 有晰( x ) e u ，这显然与j 的定义矛盾 令厂( x ) 萑n ，而由于j 刊为开集，取，( x ) 的邻域k 又由于厂1 为连续映射， 所以有( ，) 一1 ( 矿) 是开集，取n n ( f ) 一。( 矿) 为j 的开邻域并注意到 ，( n ( ，。) 一1 ( y ) ) 仨n ，所以 吲为相对于的开集，即a 为闭集如 叫= 曲，则a 显然也是紧集 i i ) 再证占是紧集 v b 中的序列 x o q 。* ，使其在中有极限在，- 。( x ：) 中任取一点，记x 三为， 得一序列 正 。一有，( x 1 ) = 菇，由于n 紧 t ) 。一有收敛子列 x 三) 生! 竺寸；一l 由f 的连续性，( x 三) = x o 令七- - - + 。德厂0 一1 ) = x o 同理得x _ 2 x - 3 ， x 一得一无穷点列缸 k w 由于为紧集，所以 ；一，) 必有聚点，所以a ( x o ) 非空，而a ( x o ) 为不变集，所以 一 a ( x ) c s v b 的邻域k3 足当七 筒i 寸，x - ke v ，所以x o b ，所以口为紧集 ( 2 ) i ) a ，与最显然为紧集 i i ) 先令s 的m o r s e 分解只有二个集伪0 删，这时我们有a 2c a l ，b it - b 2 首先，让我们证a ：是闭集 由于膨与肥是闭集，3 两个开集u ，u ：满足： u ，是m ，的邻域且【，。n u ：= 以及un a 2 = 矿，否则对任意一个。的邻域，都有 u n a 2 ，则m ln a 2 妒而m i c b i ，所以b in a 2 ，显然与m o r s e 分解的 定义矛盾这样a 一u 一定是一个闭集。所以是紧集这由于为紧集 映射的m o r s e 等式 显然，a 。一u ，是吖2 的孤立邻域，而a ：可看做为m 2 在 一u 。中的稳定子集，所以 4 在a i - u i 中闭，所以a 2 在中闭 其次，完全同理可证明b 是紧集。 i i i ) 设s 有m o r s e 分解( m i - - 托) 可得另一个m o r s e 分解 ( m 2 - 1 , 1m 。) ，所蝴，与只一为紧集 这样我们就证明了彳，与毋都是紧集 对 ，中的任一个子集互我们定义 # z 在 ，中的扫出集为尸以， z 匕p ( z ，) f - - n ： p ( z ，) = 缸n 1 3y z 。村彤厂“( y ) n ，0 研埘凰= f “( y ) 的闭包 性质5 3 ：存在毋在中的一紧邻域z 使得e ( z ，n ) a a j + 1 = 妒，特别地，p 幺 5 ) 也是 毋在 ，中的紧邻域，而且p r z f j 在中正不变 证明：由于毋与“都是闭集，所以3 b ，与“的不交开邻域y 与彤在r 中任取一个n 中包含目的紧邻域z 然后做出z 的扫出集p 亿m 1 ) 如i n tp ( z ，n ) n a j “庐，则v x i n t p ( z ，忉n 一，由缸i 的定义可知 c o ( x ) cm 。川，而由尸窿m 的定义可知3 y e z，皿n 使 ，( y ) n ，0 i m ，f i x = f ”( 这样我们得到一个序列： y。 t y ) + t y ) x f t x ) 所以有( y ) m 。+ ，所l 三一a i + i 所以川n z 庐，这显然是矛盾，这就证明了 i n t p ( z ，n ) n a = 庐 2 ) 如伊亿m i n t p r z m ，n a 。妒，由于p 亿m 在中闭所以肛尹亿m 为相对于的开集，取其闭包( | v e ( z ，) ) 。取毋与硒二7 砭：而的不交开邻域 以1 t , ，这时显然有p ( z ，n ) - i n t p ( z ，) ch 2 。对p 亿m i n t p ( z , , m 中的任一点y 南京航空航天大学硕士论文 取肛中的开邻域形= 加? d 俺一 t 其中d 为度量空间x 的度量，而耳为- d , 正数) 。 这样得到尸亿 f ) - i n t p ( r zm 的一个开覆盖删，由于p 亿n ) - i n t p ( z , , f ) 紧。所以有 有限子覆盖，不妨仍记为删。令日，= uu ，。( 盯) u i n t ( n - p ( z ，) ) ，由于，的 ， ， 连续性显然岛为一开集。 我们有b jn h ，= 否则取= 目n h ，因为z 显然不可能属于肿r z m ， 所以z 必属于某一，“( 帆) ，所以，( z ) 属于彬。而由毋的定义有，( z ) b j ，所 以盯f i b ，非空。这显然是矛盾的。 我们再对每个y p ( z ，| v ) 一i n t p ( z ，) ，取。= 加? d 以一q 2 ，则显然有 w ，c e ，对开覆盖重复以上过程，得一开集届。显然h s3 h ，且 肛的闭 包t t , 匕h ，所以显然有b n e = 妒。取目的开邻域肛，满足e n h ，= 。 在居中取一z 中包含毋的紧邻域z ，做出z 。的扫出集p ( z i ，) 。 1 ) 由于z c z ，所以p ( z 1 ，n ) 亡p ( z ，n ) 。 2 ) 进一步有p ( z ，n ) ci n t p ( z ，n ) 。 否则，存在p ( z ，) 中的点j 属于p ( z ，) 一i n t p ( z ，) 。如j 属于i n t p ( z 。，) 则必有并在i n t p ( z ，n ) 中的开邻域以而由j 为尸亿 f ) 的边界点所以显然不 能属于p 亿m 所以矛盾。 那么肖定属于p ( z 。，n ) 一i n t p ( z , n ) ，所以一定有属于i n tp ( z ，v ) 的序列， 局，一j 而，；当七一佃时有x 。叫工。而由于z 属于p 幺 5 ) - i n t p 陀m ，所 以属于届。任取尼中的片的开邻域以有1 0 0 , 当k ) k 时西属于h 也就属于总。 而由定义有z 中的一及正整数，满足以= f 。( 一) ，再由髓的构造有一h ，所以 z n 且这显然矛盾。 所以有p ( z ，_ ) n a 。= 庐。 现在我们用z - 来代替五得出的扫出集p ( z i ，) 即为所求。 映射的m o r s e 等式 由以上的构造，显然有p ( z 。，)