（应用数学专业论文）一类二阶微分方程的无界正解.pdf

学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：筮壹! = 】 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：整：上：j 指导教师签名： 、 。石7 叹 (侧 v 签名日期：钆f 年厂月，b 日 一类二阶泛函微分方程的无界正解 u n b o u n d e dp o s i t i v es o l u t i o n so fas e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u m i o n a b s tr a c t r e c e n ty e a r s ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e c o m eav e r yp o w e r f u lt o o lf o rs t u d y i n gar i c h k i n do fp r o b l e m sa r i s i n gi nm a n yd i f f e r e n tf i e l d so fs c i e n c e s d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sp r o v i d eal a r g e m a t h e m a t i c sf r a m e w o r kf o rd i s c u s s i n gm a n yi n t e r e s t i n gp r o b l e m si nm a n yf i e l d s i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h es e c o n do r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w h e r e x o ) + 口o ) x o - f ) 】”+ 办( f ，x ( 扛( f ) ) ，x ( 吃( f ) ) ，x ( 吃( ，) ) ) 】 + 厂o ，x ( z ( f ) ) ，x ( 五o ) ) ，x ( 五o ) ) ) = 6 ( f ) ，t - t o ， f o ，a ，b c ( t o ，+ 。d ) ，r ) ，h c ( 【f 0 ，- o ) x r k , r ) ，f c ( t o ，4 - o o ) x r k , r ) ， 岛c t ( 【，+ 。d ) ，尺) ，石c ( t 0 ，+ ) ，r ) w t h l i mh i ( t ) = l i mz ( f ) = 4 - o o ，= 1 ，2 ，j ， + i - - + a e a o t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nt h i sp a p e ri n c l u d e san u m b e ro fk n o w nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a ss p e c i a lc a s e ，t h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l ea n ds o m en e w t e c h n i q u e sa ree m p l o y e dt o s t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h ea b o v ee q u a t i o n u t i l i z i n gt h eb a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r y ，t h ee x i s t e n c er e s u l t so fu n c o u n t a b l ym a n y u n b o u n d e dp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o na r es h o w n w es u g g e s ts e v e r a lm a n n t y p e i t e r a t i v es c h e m e sw i t he r r o r sa n dd i s c u s st h ee r r o re s t i m a t e sb e t w e e nt h eu n b o u n d e dp o s i t i v e s o l u t i o n sa n ds e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h em a n ni t e r a t i v e s c h e m e s ，w ea l s od i s c u s st h e c o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v es c h e m e s a tl a s t ，f o u rn o n t r i v i a le x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r t h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e re x t e n d ，i m p r o v ea n du n i f ys e v e r a lk n o w nr e s u l t si n t h e1i t e r a t u r e k e yw o r d s ：s e c o n do r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；u n c o u n t a b l ym a n y u n b o u n d e dp o s i t i v es o l u t i o n s ；c o n t r a c t i o nm a p p i n g ；m a n ni t e r a t i v es e q u e n c ew i t he r r o r s i i 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 近年来，微分方程已经成为解决应用科学等不同领域中出现的许多问题的有效工具， 为诸多领域的问题的讨论提供一个有意义的数学框架。 在本文中，主要研究了二阶非线性中立时滞微分方程 【x o ) + 口( f ) x ( f - f ) 】”+ 厅o ，x ( 啊o ) ) ，x ( 吃( f ) ) ，。x ( 魄( f ) ) ) 】 + 厂( f ，x ( zo ) ) ，x ( 正o ) ) ，- x ( f k ( t ) ) ) = 6 0 ) ，f t o ， 其中，f 0 ，a ，b c ( t o ，+ ) ，r ) ，h e c ( f o ，+ o o ) x r k , 尺) ，f c ( t o ，+ ) 尺，尺) ， 鸟c ( f 0 ，+ o 。) ，尺) ，z c ( t o ，+ ) ，r ) 且有l i r a 吩o ) = l i r a 彳o ) = + 。o ，= 1 ，2 ，j 1 uj q 本文中的微分方程包括许多二阶微分方程作为特殊情况。利用压缩映射原理和一些 新技术，讨论了上述微分方程解的存在性。 通过使用b a n a c h 不动点定理，本文首先给出了上述方程的不可数个无界正解。此 外，给出了这些解的带误差项的m a n n 型迭代逼近序列，同时讨论了逼近解与无界正解 之间的误差估值，并且也证明了该迭代序列的收敛性。 最后，给出了4 个非平凡的例子。 本文的研究成果推广，改进和统一了文献中一些重要的结果。 关键词：二阶非线性中立时滞微分方程；不可数个无界正解；压缩映射；带误差的m a n n 型迭代序列 七一 r 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 弓i言1 1 预备知识4 2 不可数个无界正解的存在性5 3 应用举例。2 1 例3 1 2l 侈43 2 。2 2 例3 3 2 3 1 ；f 03 4 ：! q l 参考文献2 6 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 8 致 射2 9 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 己l 亡i ji口 微分方程是微分方程当中的重要内容之一，在很多科学领域当中都有着重要的应 用，其中包括力学、物理学、人口学、医学、经济数学，通讯理论等等。随着现代科学 技术的发展，对微分方程理论及其应用的研究得到了迅速的发展，国内外有许多学者进 行这一领域的研究工作，取得了很多重要进展【1 2 1 】。 二阶中立时滞微分方程作为微分方程的重要分支，无论是在理论上还是实际应用当 中都是很有意义的。近年来，二阶中立时滞微分方程理论在应用数学领域已经取得了快 速的发展和广泛的重视，也取得了许多很好的结果。对于二阶中立时滞微分方程的振动 性，非振动性研究已经取得了不少进展，其渐近性得到了广泛的研究，很多不同类型的 线性以及非线性二阶微分方程解的存在性也被很多学者研究。但是，对于二阶中立时滞 微分方程的无界正解存在性的研究却不多见。 文献 1 】和文献 2 】建立了下面二阶线性微分方程的振动性和非振动性 x ”0 ) + g ( f ) j c ( f ) = 0 ，r 0 ， ( 1 1 ) 其中，g c ( 【0 ，栅 ，) 文献 3 】研究了下面的二阶不稳定形式的线性时滞微分方程有 界振动解的存在性 x “( f ) = p ( t ) x ( t - r ) ，t 0 ， ( 1 2 ) 其中f 0 ，p c ( t o ，佃】，尺+ ) 且在任何长度为f 的区间上p ( t ) 不恒为零文献【4 】讨论了 下面带有正负系数的二阶线性中立微分方程的一个非振动解存在性的一些充分条件 , 4 2 三了i x ( t ) + p x ( t f ) 】+ q l o ) x o q ) 一q 2 x ( t 一吒) = o ， ( 1 3 ) j i l l 其中c r ，f ( o ，) ，q ，吒e o ，o o ) ，q l ，q 2 c ( t o ，佃) ，f ) 文献【5 】给出了下面二阶非线性 中立时滞微分方程的解的振动性和非振动性的充分条件 【x ( t ) - p ( t ) x ( t f ) 】”+ q ( t ) f ( x ( t 一盯) ) = 0 ， ( 1 4 ) 其中t 0 ，0 p ( t ) s 1 ，q ( t ) 0 ，f ，盯 o 文献【6 】得到了下面具有力迫项的二阶中立时滞微 分方程非振动解存在性的充分条件 【x o ) + p ( f ) x ( f f ) 】，+ 蜴o ) x ( f 一磊) 一q 2 0 ) x ( ，一吒) = 办( f ) ， ( 1 5 ) 一类二阶微分方程的无界正解 其中t ，f 0 ，q ，吒o ，p ，g ，q ，h c ( t o ，) ，尺) 利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，文献 7 】 研究了下面带有正负系数的二阶非线性中立微分方程有界正解的存在性 【x ( t ) 一p ( f ) x ( f ( f ) ) 】”+ 石o ，x ( q ( f ) ) ) 一五( f ，x ( c r 2 ( t ) ) ) = 0 ( 1 6 ) 和具有力迫项的对应方程的解的存在性 ( x ( f ) 一p o ) x ( f ( f ) ) ”+ f l ( t ，x ( q o ) ) ) 一f 2 ( t ，x ( c r 2 0 ) ) ) = g o ) ， ( 1 7 ) 其中t t o ，p ，f ，q c ( t o ，) ，r ) ，z c ( t o ，+ o o ) x r ，尺) 并且对于f - 1 ，2 i i m f o ) = 0 0 ，l i m o ，( t ) = ， f 通过使用广义r i c c a t i 方法，平均值技术和其他相关技术，文献【8 】研究了下面二阶中立 非线性微分方程的振动性准则 【y ( f ) + p o ) y ( c r ( f ) ) 】”+ q ，o ) z ( y ( ( f ) ) ) = o ， ( 1 8 ) 其中r - t o ，玎为整数，仃，t ，p ，q ，c ( t o ，o o ) ，r ) ，z c ( r ，r ) ，f = 1 ，2 ，珂 通过使用b a n a c h 不动点定理，文献 9 】证明了如下方程的一个非振动解的存在性，文献 【1 0 】，文献 11 1 ，文献【1 2 】研究了该方程的振动性 要【x ( f ) + c ( f ) x ( f f ) 】+ q l ( t ) x ( ，一q ) 一q 2 ( t ) x ( f 一吒) = 0 ， ( 1 9 ) 其中t - t o ，c ( f 0 ，帕) ，) ，f 0 ，o i ，0 2 ( 【乇，佃) ，矿) 应用s c h a u d e r 不动点定理和 k r a s n o s e l s m i 不动点定理，文献 1 3 】探讨了给出了下面一阶中立时滞微分方程的不可数 个有界非振动解的存在性， 兰【x o ) + c ( t ) x ( t - r ) + h ( t ) f ( x ( t - o 1 ) , x ( t - o 2 ) ，x ( t 一吒) ) = g ( f ) ， ( 1 1 0 ) 讲 e 中，- t o ，c , h ，gc ( t o ，+ 。) ，尺) ，f 0 ，q r + ，i e 1 9o - o ，七 ，fc ( r k , r ) 受到以上文献成果的启发，本文研究了下面形式的二阶中立时滞微分方程 【x ( f ) + 口( f ) x ( f f ) 】”+ 【向o ，x ( 红o ”，x ( 吃( f ”，x ( 吃( f ) ) ) 】 + ( f ，x ( 彳o ) ) ，x ( 五o ) ) ，j ( 五( f ) ) ) = 6 0 ) ，t t o ， ( 1 1 1 ) 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 其中，f 0 ，口，b c ( 【f 0 ，+ 。o ) ，尺) ，h c ( 【f o ，+ o o ) r k , 尺) ，f c ( t o ，+ ) r k , 尺) ， 鸟c - ( 【f 0 ，+ ) ，尺) ，z c ( t o ，+ ) ，r ) 且有l i m 鸟( f ) = l i m 彳( f ) = + ，= l ，2 ，k ，+ + l 通过运用压缩映射原理，本文得到了方程( 1 11 ) 的无界正解的存在性，构建了一些m a n n 型迭代序列，并且给出了一些迭代遭近序列和无界正解之间的误差估值。除此之外，本 文也得到了不可数个无界正解的存在性的充分条件。 一类二阶微分方程的无界正解 1 预备知识 在本篇文章中，本文假设r = ( - - o o ，佃) ，r + = 【o ，佃) ，n 和o 分别代表正整数集， 非负整数集， h ( t ) = m a x h l ( t ) ：， 1 ，2 ，七) ) ，f o ) = m a x f ( t ) ：， l ，2 ，丘) ) ， 其中t t o ， = m i n t o f ，i n f h 7 ( t ) ，f a t ) ：1 s ，七，t t o ) 0 ， x 表示由 屈佃) 上一元连续函数的全体组成的b a n a c h 空间，并且具有如下范数 ij z | i = s ，u 筇p l x ( f t ) l o 显然，a ( n ，m ) 是x 的一个非空有界闭凸子集。方程( 1 1 0 ) 的一个解x o ) ，我们 约定为存在一个正数丁- t o + f + ，对于所有，丁，满足地) + 口( ，) x o f ) 以及 o ) + 口o ) x o - f ) ) 都是连续可微的，并i ；tx ( t ) 满足方程( 1 11 ) 。 为了得到本文的结果，以下的引理起着重要的作用。 引理1 11 2 2 设 ) 。劭， 屈) 。抽， 以) 。劲和 乙) 。抽是四个非负的序列，满足 a t + ls ( 1 一乙) + 乙孱+ 兀， v n 0 ， 其中 t = 。c 【0 ，1 】，萎乙2 佃，荟以 佃，。l i m , b = o ，则舰2 0 引理1 2 设f ，n o 并且缄) 艟m 。是一个非负的序列，则有 ( a ) 委e 圩6 ( s ) 出 佃e 似s 胁 佃； ( b ) 善e 押j c 0 6 ( 手m 鼬 o ) 和四个非负函数p ( f ) ，q ( f ) ，r ( f ) ，形( f ) ，t - t o 满足如 下条件 v ( t ，u t ，u ，) ( t o ，+ o o ) xr + r + ，1 ，k ， f ( t ，z ) 一f ( t ，u i ，“，) i p ( t ) m a x lu t - u ! i ：l f 七) ， ( 2 1 ) ih ( t ，u l ，u t ) 一h ( t ，材l ，材i ) 巨r ( t ) m a x iu t 一嘶i ：1 ，七 ； v o ，嘶，砷) ( t o , + ) 足+ 胄+ ，1s ，k ，if ( t ，u l ，u ) l t o + r + f l ，满足对于任给一个 x o a ( n ，m ) ，带有误差项的m a n n 型迭代序列 ) 。勘由下面序列生成 + l ( f ) = o - 一尾) ( f ) + a m t l 一，【乃( s ，( 曩( s ) ) ，( 忽( s ) ) ) 一【( ( 孝，j “( 善) ) ，j ( 五( 善) ) ) 一6 ( 孝) ) d 善】c 如) + 成7 ，卅o ) ，f t ，m 0 ， 1 ( 2 6 ) o - 一尾) ( 丁) + 咒一，【办( s ，( 啊( s ) ) ，( 噍( j ) ) ) 一f ( 厂( 善，( z ( 孝) ) ，( 五( 善) ) ) 一6 ( 善) ) i 蟛】凼 + 尾( 丁) ，f l t o ， 该序列收敛到方程( 1 1 1 ) 的一个无界正解x a ( n ，m ) ，并有如下的误差估值 i | + l 一工i i - 【卜( 1 一秒) 】i i 矗一x i l + 2 m 成，v m n o ， ( 2 7 ) 一类二阶微分方程的无界正解 - - _ _ - - - _ - _ - - - - 一一 其中 ) ，。乩 a ( n ，m ) 中的任意一个序列， ) 。和 尾) 。是 0 ，l 】上的任意序列且 满足 y 口。= 佃 厶一m m = o 薹尾 佃或者存在一个序列 磊) 。【o ，佃) 满足 尾= 乞，m n o 且l i m 乞= o ； ( b ) 方程( 1 11 ) 有不可数个无界正解。 证明：首先，来证明( a ) 成立，令三( ，m ) 由式( 2 3 ) ， 在0 ( o ，1 ) ，t t o + r + f l 满足下式 拈亭萋肌肌) 踯) + j f o 彤) 彤v f 协； ( 2 8 ) ( 2 9 ) 式( 2 4 ) 和式( 2 5 ) ，存 ( 2 1 0 ) 专喜，( 形( s ) + j f o q ( 孝孝+ a 6 ( 善) p 孝泌m i n m - l , t - n ； ( 2 1 1 ) 口o ) = 一1 ，v t 丁 ( 2 1 2 ) 定义一个映射墨：彳( ，m ) - - ) x 如t ：对每一个戈= x ( f ) 彳( ，m ) ，有 噩 ) 羔i = l ， 厅( j ，x ( 。) ) ，_ ( 玩( s ) ) ) 【厂( 孝，x ( z ( 孝) ) ，x ( 六( 孝) ) ) 一6 ( 孝) f 孝 凼，f 丁， ( 2 1 3 ) 咒( x ( r ) ) ，t t 根据式( 2 1 ) ，式( 2 2 ) ，式( 2 1 0 ) ，式( 2 11 ) 以及式( 2 1 3 ) ，推出对于每一个 x = z o ) ，y = y p ) a ( n ，m ) 以及v t t ， i 了s a x ( t ) ) 一半l 每喜肌琊取，一( ) ) ) 川蹦( 忡肌以驰) ) ) i + fi r e ，x ( z ( 孝) ) ，x ( 五( 孝) ) ) 一( 孝，y ( z ( 孝) ) ，y ( 五( 孝) ) ) p 善】凼 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 善，m a x 帕) ) - y ( 忡) ) 硐 + f p ( 孝) m a ) 【 x ( z ( f ) ) 一y ( z ( 孝) ) ：1 l - k d 孝j d s 掣喜肿m a x 獬1 姚卅f 彤舢泺驯姚磁】幽 甲喜n 郑删+ f 附坝默】幽 = e l l x - y l l ， 翌竽盟= 三一詈喜，似s “啊( 呦，_ ( 魂( 呦) _ f 【( 孝双z ( 孝) ) ，x ( 锄) 一6 ( 纠西冲 三+ 手喜， | 办( 岛x ( 栩( 呦_ ( ( 呦) l + 1 7 r i m ，石“( f ) ) ，x ( f ) ) ) | + 1 6 ( 善) l 】西 凼 蚋寻喜，卅胁卅阳出 姗；喜鼬阶) + 脾卅i b f ) l l 蝈出 l + m i n m - l ，l 一) m ， 量竽盟= 三一詈喜， 厅( 岛x ( ( 呦，_ ( 玩( 呦) 一f l 厂( 孝，x u ( 孝) ) ，x 坼( 鳓) 一6 ( 纠蟛 凼 一喜， i 厅( s 必啊( 呦，。( h a 呦) i + f r l m ，x u ( 劲，。( 纠) i + 1 6 ( 孝) i 】d 孝) 出 冰蔫，卅脑绀i 蚓】嘲凼 冰手喜，卅脾卅i 蚓埘) 凼 一m i n m 一三，l - u n ， 因此，下式成立， 一类二阶微分方程的无界正解 s l ( a ( n ，m ) ) a ( n ，m ) ，i i s l ( x ( t ) ) - s l ( y ( t ) ) i - - i z l 一乞1 一m a x q ，岛) 0 z ，一z 2 0 ， 因此， i i z - z 2u 鬲i 丽1 - & l 。， 所以z 1 z 2 完成了( b ) 的证明。 一类二阶微分方程的无界正解 定理2 2 设存在常数m ，n ( m n o ) 和四个非负函数尸( f ) ，q ( f ) ，r ( f ) ，( f ) ，t t o 满足条 件( 2 1 ) ，( 2 2 ) 以及如下条件 。m 1 i m ll m a x 尺( 孝) 日( 孝) ，形( 孝) 矽善= o ； ( 2 1 5 ) ，- - o o - 一 l i m l1 - 广m a x 尸( 孝) ，( 孝) ，q ( 孝) ，p ( 孝) l 孝c 如= o ；( 2 1 6 ) 二 im a x 尸( 孝) ，( 孝) ，q ( 孝) ，j 6 ( 孝) i 孝矗，= o ； ( 2 1 6 ) ， tq雌 当t 充分大时，a ( t 1 - 1 ( 2 1 7 ) 那么 ( a ) 对于任意一个常数l ( ，m ) ，存在8 ( 0 ，1 ) 以及丁 - - t o + r + f l ，满足对于任给一个 而x 。( t ) a ( n ，m ) ，带有误差项的拖玎玎型迭代序列 ) 。卸由下面序列生成 x m + l ( f ) = ( 1 - 一成) ( ，) + a t l + 芝i 。 【厅( j ，( 扛( s ) ) ，( ( s ) ) ) ，l i i ( 厂( 善，】( z ( 孝) ) ，x m ( 五( 孝) ) ) 一6 ( 孝) ) d 孝】c 如 + 尾( f ) ，t t ，m 0 ， ， 、 ” ( 2 18 ) ( 1 - 一尾) ( 丁) + a m t l + 砉。) f 叻( s ，( 扛( 呦，( ( 呦) 一iu ( 善，( z ( 孝) ) ，x m ( 五( 善) ) ) 一6 ( 孝) 矽孝】凼) + f l m y m ( t ) ，f t o + r + f l 满足下式 口= 专n 踯) 耶) + j f o p ( 孝) f ( 孝埘 ( 2 1 9 ) 专f ( 帅) + j f o 酣烤+ 肌孝) 陟灿m i n 似- 厶l 一) ( 2 2 0 ) a ( t ) = 1 ，v t t ( 2 2 1 ) 定义一个映射s l ：彳( ，m ) 专x 如下：对每一个x = x ( f ) a ( n ，m ) s l ( x ( f ) ) 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 一+ 2 i r j + f 2 m 厅( 蹦( 扛( s ) ) ，。( 吃( s ) ) ) 【彤，x “( 鼽，x ( 五( 一f 掌脚r ， ( 2 2 2 ) 咒( z ( 丁) ) ，f + f p ( c ：) m a x x ( z ( f ) ) 一y ( z ( 孝) ) ：1 l k d f d s 掣喜滕眦耶) + j f o 眦煳调出 监f 【尺( s ) 日( s ) + j f o 尸( 孝) f ( 孝f 胡凼 = e l l x - y l l ， 半小；= a e 帖f + 2 i r 妒似蝴) ，地) ) m i ( 孝，x ( z ( 孝) ) ，z ( 以( 孝) ) ) 一6 ( 善) 】d 孝) 豳 三+ 蔫篡m 帆一忡) ) ，州忡) ) ) l + f 【i m , x “( 善) ) ，x ( 六( 善) ) ) i + 1 6 ( 孝) i 】d 善) 豳 姗喜舷) f ) + 脾卅i 蚓埘) 凼 + m l ，肌丁 ，fl 一类二阶微分方程的无界正解 上+ 亍1f 形( s ) + j f o 【q ( 孝) + 1 6 ( 善) | 】d 善) 凼 l + m i n m - l ，三一n ) m ， 半小詈孔= d r + ( 2 打i - 驴h “，_ ( 删) _ 一i 【( 善，x u ( 孝) ) ，x ( a ( 孝) ) ) 一6 ( 善) d 孝) 幽 靠 小詈喜篡。州 i h 硼) ，地) ) l + f e l m , x “( 孝) ) ，x c 疋( 善) ) ) l + 1 6 ( 孝) i 】d 善) 毋 弘 喜篡妒+ 脑甜i b ( 9 l 】d 孝 d s 一专f 形( s ) + f 【q ( 孝) + 1 6 ( 孝) l 】d 孝) 凼 l - m i n m 一三，三一) n ， 因此，( 2 14 ) 式成立，即s 。为一个压缩映射并且有唯一不动点x = x o ) 彳( ，m ) ， 因而，对于v t t ， x ( f ) = t l + 妻r + 2 1 纠r ) ， h ( s ，x ( 啊( 蛳，x ( h a s ) ) ) 一n 厂( 孝，x ( z ( m ，z 魄( 一6 ( 孝) w ) 凼， 对于v t t + l x p 叫= ( f 叫上+ 砉f = 篡似蹦( 忡) ) ，她) ) 一 一i 【厂( 孝，x ( z ( 孝) ) ，x ( l ( 善) ) ) 一6 ( 善) 】d 孝) 凼， 啦 m x ( t ) + x ( t - r ) = ( 2 t f ) 三+ l 而( s ，x ( 扛( s ) ) ，x ( 吃( s ) ) ) 一 一 一l 【( 孝，x ( 石( 孝) ) ，x ( 五( 善) ) ) 一6 ( 孝) 】d 孝) c 括， 由 i x ( f ) + x ( 卜f ) 】= 2 l 一批x ( 扛( f ) ) ，x ( 仇( f ) ) ) + f 厂( 孝，x ( 彳( m ，z ( 五( 孝) ) ) 一6 ( 善) 】d 孝， f x “) + x ( f f 一+ f 办0 ，x ( 矗( f ) ) ，x ( 吃0 ) ) ) 】= 一f ( t ，x ( f ( f ) ) ，x ( ，：( r ) ) ) + 6 0 ) ， 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 结合式( 2 2 1 ) ，x = x ( t ) 是方程( 1 11 ) 的一个无界正解。再由式( 2 1 4 ) ， 式( 2 1 8 ) 以及式( 2 2 2 ) ，对于v m 0 ，v t t i 半一半h 一堋啪心m 喜篡。) f 【琊硝，喝( 删) 一f u ( 孝，( z ( 孝) ) ，( 五( 善) ) ) 一6 ( 孝) v 孝】西) + 尾( f ) 一x ( f ) l ( 1 一一尾) 掣+ 尘i 量羔d 掣+ 尾k 尘! 尘2 堕尘 - - ( 1 - a 一尾) l l x 。一x l l + o 院。i h x | l + 2 m 尾 - t o + f + 与映射& 满足式( 2 1 9 ) ( 2 2 2 ) ， 其中汐，厶丁相应的被包，厶，乏代替，且压缩映射有一个不动点，= z 。( t ) e a ( n ，m ) ，该 不动点即为方程( 1 11 ) 的一个无界正解。为了证明方程( 1 11 ) 存在不可数个无界正 解，只需要证明z 1 z 2 事实上，由式( 2 2 2 ) ，对v f m a x t , ，互 z k ) = 嵋+ 耋州+ 2 i m r 似蹦1 ( 扛( 呦，。1 ( 吃( 呦) 一 。， 一il 厂( 孝，z 1 “( 孝) ) ，z ( 五( 孝) ) ) 一6 ( 孝) 】d 孝 凼， z 2 ( f ) = 如+ 芝i m 厅( s ，z 2 ( 愧( 呦，。2 ( 噍( 劝) 一f l 厂( 孝，z 2 研( 孝) ) ，- ，z 2 ( 善) ) ) 一6 ( 孝) f 孝) 出， 再由式( 2 1 ) 与式( 2 1 9 ) ，得到当f m a x t 。，正) 时， 降一华阻i 一 裁 = d + ( 2 i f i - 眦帆( ，z 1 ( m 仅z 2 ( 删，z 2 ( ) i + f i ( 孝，z 1 ( z ( 孝) ) ，z 1 ( 五( 孝) ) ) 一( 孝，z 2 ( z ( 孝) ) ，z 2 ( 五( 孝) ) ) p 孝) 凼 一类二阶微分方程的无界正解 l 厶一z 2 1 一手喜c o 踯) m a x z l ( 忡) ) - 攻删：l 姚后 + j p ( 孝) m a x z i ( z ( 孝) ) 一z 2 ( z ( 善) ) ：1 _ o ， 因此，z 1 z 2 ，故( b ) 成立。 定理2 3 设存在常数口，m ，n 满足( 1 - a ) m n 0 和四个非负函数 尸p ) ，q ( f ) ，月( f ) ，( ，) ，t - t o 满足条件( 2 1 ) ， ( 2 2 ) ， ( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 以及 当f 充分大时，0 a ( t ) 口 - - t o + r + f l ，满足对于任给 一个x o ( t ) a ( n ，m ) ，带有误差项的m a n n 型迭代序列 x 。) 。，。由下面序列生成 。o ) = ( 1 一一尾) ( f ) + 牡一口o ) 一力+ i 琊， o ”，魄( s ) ) ) 一il 厂( 善，“( 劲，魄( 勒) 一6 ( 9 i 甥出) + 成o ) ，t 瓦朋o ， 。 ( 2 2 4 ) ( 1 一一尾) ( 乃+ 死一烈乃( r 一力+ 【 j i j ( s ，( j i i o ) ) ，魄0 ) ) ) 一ll 厂( 六u ( 毋) ，饼( 0 ) ) 一6 ( 9 甥豳) + 尾( 乃，f l - - t o + r + f l 满足下式 秒= 口+ 专f r ( s ) 日o ) + f 尸( 孝) f ( 孝矽孝】出； ( 2 2 5 ) 亭f ( ( s ) + f q ( f 矽善+ f 1 6 ( 孝) p 孝涉m i n m 一厶三一a m 一) ； ( 2 2 6 ) 0 口o ) 口 1 ，v t t ( 2 2 7 ) 定义一个映射置：彳( ，m ) 专x 如下：对每- - * f f x = x ( t ) a ( n ，m ) ，有 s ( x ( f ) ) = 儿一口( ，) z ( ，- f ) + j f o 厅( s ，z ( 曩( j ) ) ，。( 吃( j ) ) ) 一j f o 厂( 善，x ( z ( f ) ) ，工( 以( 孝) ) ) 一b ( 2 j ) l d c d s ，丁， 2 2 8 s l ( 工( r ) ) ，t t 由式( 2 i ) ，( 2 2 ) ， ( 2 2 5 ) ( 2 2 8 ) 知，对每一个x = x o ) ，j ，= y ( f ) 么( ，m ) 以及 v t t ， j 半一半l 纠r ) l 堑孚幽l + f i h ( s ，x ( 啊( s ) ) ，x ( 吃。) ) ) 一办( s ，y ( 曩( s ) ) ，y ( ( s ) ) ) i + f i ( 孝，工“( 孝) ) ，姒( 孝) ) ) 一( 参y ( 石( f ) ) ，y ( 五( f ) ) ) 防】西 口l l x - y l l + ：1f r ( s ) m a x x ( 岛( s ) ) 一y ( 历( s ) ) ：1 z j j ) + f 尸( 孝) m a x x ( 石( 孝) ) 一y ( z ( 孝) ) ：1 ，七矽善】豳 口+ ；f 尺( s ) ( s ) + f 尸( 善) ，( 孝) d 孝】出) i 卜一y o = o l l x y 1 1 一类二阶微分方程的无界正解 & ( x ( r ) ) f ：三一a