（运筹学与控制论专业论文）一类梁方程的精确可控性.pdf

中文摘要 中文摘要 1 秒”( z ，t ) + 鼽一扛，t ) = 0 ， 扛，t ) ( 0 ，l ) r 1 ， 搿t 兰0浆t 嚣0 一t ：r 兰： l 妇( o ，) = ，( l ，) = ， 1 ， l 可( z ，0 ) = y o ( z ) ，矿( z ，0 ) = 可1 ( 岳) ，z 【o ，工】 在y ( l ，t ) 施加控制v ( t ) 时，系统( + ) 的精确可控性 在研究系统的精确可控过程中，主要利用h i l b e r t 唯性方法首先考虑( ) 对应 的齐次系统 i 牡”( 毛t ) + t 一。( 石，t ) = 0 ， j “( o ，t ) = 0 ， u ( l ，t ) = 0 ， i 钍。( o ，t ) = 0 ，( 厶t ) = 0 ， 【u ( z ，0 ) = t ，( z ) ， ( z ，0 ) = 让1 ( z ) ， ( z ，t ) ( 0 ，l ) r 1 ， 。! r ，1 ， ( + + ) t r 1 z 【o ，纠 的一些性质，从而得到了两个系统在零时刻的状态空间之间的一个对应关系；最后从 这一映射的象解出其原象( 即验证这一映射是满的) ，由此得到了系统( ，) 的精确可 控性也即下面的结果 当t 了l 亓时，对于任意的( u o ，y 1 ) h 一1 【0 ，纠日一3 【o ，纠，找到控制 ( 厶t ) l 2 ( 0 ，t ) ，使得系统( 砷的解满足 则说明系统( ) 精确可控 0 ，t ) = 0 ，| ，扛，t ) = 0 关键词- 梁方程；精确可控性；h i l b e r t 唯一法 中图分类号0 2 3 1 一类梁方程的精确可控性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft h eb e a me q u a t i o n s i i f , ( z ，t ) + ”。( z ，t ) = 0 ， ( z ，t ) ( 0 ，l ) xr 1 ， j y ( o ，t ) = o ，y ( l ，t ) = 蚺r 1 ， 1w ( o ，t ) = 0 ，如( l t ) = 0 ， r 1 ， 【( z ，0 ) = 矿( z ) ， 矿( z ，0 ) = ! 1 ( z ) ，z 【0 ，l 1 w h e t h e rt h eb e a me q u a t i o n s ( ) i se x a c t l yc o n t r o l l a b l eo rn o t ，w ei m p o s et h ec o n t r o l v ( t ) o nt h eb o u n d a r yv ( l ，t ) i nt h es t u d y i n gc o u r s eo f t h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo f t h eb e a me q u a t i o n s ( ) ，f i r s t l y , w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gh o m o g e n e o u sb e a me q u a t i o n s ： f 钍”( z ，t ) + 缸m 。( z ，t ) = 0 ， ( z ，t ) ( 0 ，l ) r 1 ， 搿嚣0札差t 器0 ，嚣t r 似， l 牡。( o ，) = ，( 厶) = ， 1 ， 、7 【让( z ，0 ) = u 0 ( z ) ， ( z ，0 ) = u 1 ( z ) ，z 【0 ，l 】 w ed e d u c es o m er e s u l t sf r o mt h eb e a me q u a t i o n s ( ) ；t h e nw eo b t a i nam a po nt h e t w ob e a me q u a t i o n si nt h ez e r oi n i t i a ld a t a ；f i n i a l l y ，w es h o wt h es u r j e c t i v i t yo ft h e m a p t h e r e f o r ew eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t ： i ft ：7 l 亓，t h e nf o ra n yg i v e n ( y o ，1 ) 日- 1 【o ，叫h 一3 【o ，纠，t h e r ee x i s t s v ( l ，t ) l 2 ( o ，即s u c ht h a tt h es o l u t i o no f ( + ) s a t i s f i e s ： y ( x ，t ) = 0 ，矿( z ，t ) = 0 t h a ti st h eb e a me q u a t i o n s ( ) i se x a c t l yc o n t r o l l a b l e k e yw o r d s ：b e a me q u a t i o n s ；e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y ；h i l b e r tu n i q u e n e s sm e t h o d c l c ：0 2 3 1 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导 下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学。如 果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关 的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的文献 资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的成果。 学位哆文作声( 签章) ：一三己纽险 2 0 07 年彳月歹日 引言 梁方程是一类重要的双曲型方程，在研究杆的运动问题时会经常遇到梁方程，这 些方程的进一步研究对数学物理理论的发展有很大的促进作用因而对梁方程的精确 可控性研究有非常重要的意义 在本文中，我们主要讨论了下述系统的精确可控性 ( 卫，t ) ( 0 ，l ) xr 1 t 冗1 t r 1 z e 【0 ，l j ( 幸) 其中工是梁的长度上标7 下标z 分别表示y 关于t ，x 求偏导数，置1 表示实数集 所谓系统( + ) 的精确可控性是指t 对于给定的t 0 选定合适的h i l b e r t 空间，使 得对于任意给定的初值 珏o ，1 ) 属于这一空间时，存在一个相应的控制t ，l 2 ( o ，t ) ， 使得上述系统的解满足( z ，t ) = | ，( z ，t ) = 0 关于同题的精确可控性的研究，在过去的一段时间内取得了重要的成绩人们对 波动方程的研究，从常系数波方程发展到变系数的情形，方法也从乘子法变为黎曼几何 方法具体地说：在文献( 5 l 中，j l l i o n s 运用h i l b e r t 唯性方法研究了线性波动方 程y ”- - a y = 0 在各种边值条件下的精确可控性对于非线性波动方程矿一= f ( y ) 的初边值问题z u a z u a 在文献中【1 1 】进行了研究。在( y ) 关于y 为次线性或超线性 条件下证明了波动方程的精确可控性a p o l a y a ，f u e n t s 在文献【9 1 和g u e s m i a 在文 献【1 2 】研究了变系数齐次线性波动方程在d i r i c h e t 边值条件下的精确可控问题在文 献【1 7 】姚鹏飞用黎曼几何方法研究了变系数波方程的精确可控性现在人们把目光转 向高维，高次情形，在文献【1 】、【2 】人们研究了第一p e t r o v s k y 系统的精确可控性， 在文献1 人们研究了第二p e t r o v s k y 系统的精确可控性沿袭这些方法，本文研究 了梁方程在满足一定的初边值条件时系统的精确可控性 我解决这一问题主要利用h i l b e r t 唯一性方法，此方法在文献【5 】5 中，首先被 j l l i o n s 提出，这一方法的基本思路是：首先。建立互为对偶的两个系统；从而得 到了这两个系统在零时刻的状态空间之间的一个一一对应关系；最后，只需从这个映 射的象解出其原象，就可以得到相应的满足精确可控性的控制函数 系统( - ) 的对偶系统是下面的系统， 1 、j ，i蝴叭批 n l l z = 洲以以 譬嚣俐斛删删 一类梁方程的精确可控性 ft ，( z ，t ) + u 。( z ，t ) = 0 ， ( z ，t ) ( 0 ，己) r 1 ， 慨糟，让差孑三害 。叫er1,t 0t0tr ， l ( o ，) = ， t 。( 厶) = ，1 ， 、7 【让( z ，0 ) = u 0 ( z ) ， ( z ，0 ) = 让1 ( z ) ，z 【0 ，纠 a ( 铲，t 1 ) = ( 矿( o ) ，- v ( o ) ) 最后的问题归结为验证这一映射是满的，从而得出系统( + ) 的精确可控性 本文所用符号和术语都是标准的可参考文献 1 j ，【1 8 】 2 预备知识 第一章预备知识 为了论文的完整及读者阅读的方便，本节介绍与本论文有关的内容具体可参考 文献【1 1 令y 是一个无穷维的，可析的实h i l b e r t 空间引入对偶映射a ：v - - t 矿如下。 = ( t ，v ) v ， t ，t ，ev( 1 1 ) 由r i e s z f r d c h e t 表示定理知a 是y 到的等距同构 令日是另一个h i l b e r t 空间且vch ，v 在日中稠且紧( 紧性是指y 中的每个 有界集在日中是列紧集) ，则日是一个无穷维的，可析的且嵌入l + v 7 也是稠且 紧的把日和日等同起来，得到下面的图表t v ch = h cv ( 1 2 ) 注1 1 ：由( 1 1 ) 可以推断出下面的关系 ( a u ，t ，) 日= ( 钍， ) y ，vt vs u c h t h a t a m h ，v 秽v( 1 3 ) 注1 2 一令i ：v - v 的紧嵌入映射，则映射t = a _ 1o i ：v + v 也是紧的而 且( t u ， ) y = ( ，t v ) v ， v u ，口v 事实上 ( t u ，口) y = ( a 一1 u ，t ，) y = ( u ， ) 日 ( t u ，t ，) y = ( u ，a 一1 ) y = ( u ，勘) 日 因此( 乳，t ，) y = ( 仳，t v ) vv u ，口矿 应用谱定理于t = a 0 i ，则存在一列不同的实数( a 的特征值) a l ，k ， 和y 的一列子空间历，易，使得 l a i i + + ，a z = a 女z ，v z z i ，v k 1 ， d i m z k + o o ， y k 1 ， 磊上历，讥ki ，k f ， 且 z = u z k 且z 在y 中稠由( 1 3 ) ，( 1 4 ) 得到这些特征值是正的不妨假设 0 a l 卢，则 p 。l d 8 是稠的连续的紧嵌入令 d 一。= u 。d 。 对于每个固定的实数n ，定义线性映射a a ：d 一。- d 一。 俨口= a 鼽，口五 ( 1 1 3 ) 4 一类粱方程的精确可控性 第二章一类梁方程的精确可控性 2 1 齐次发展方程+ a u = 0 考虑下面的齐次发展问题 + a u = 0 i n r l ，t ( o ) = u 0 ，( o ) = t 1( 2 1 ) 对于任意的俨，1 d 一。，使用让o ，让1 的正交延拓， 矿= t 1 2 ，让1 = ：，让2 ，：2 k ，k = 1 川2 ( 2 2 ) 定理2 1 1 令a r 1 且( 护，钍1 ) 珑+ ；口。，则问题( 2 1 ) 有个唯一的解 使得 牡c ( n 1 ；见+ ) n c l ( r 1 ；玩) n 俨( r 1 ；见一 ) ， ( 2 3 ) 并且 t ( t ) ：+ c o 2 嘲( 俯) + 1 s i n ( 万x 丽一k t ) ，r 1 ( 2 4 ) t ( t ) 2 苔2 嘲( 俯) + f ，。r 1 ( 2 4 ) 解的能量王0 ：r 1 _ 戤，定义为， s e ( t ) = 扣( 毗+ + 护( 础 ( 2 5 ) 它是与t r 1 无关的 线性映射( 缸o ，缸1 ) 一让是p 叶；x d e - a ( r 1 ；p 叶；) n 研( 冗1 ；工k ) n 四( 冗1 ；d e 一 ) 的连续映射当口= 0 时，d 叶；= v 。d e = 日且d e 一；= v ，这种情形能量记 为e 而不写作岛 注2 1 2 当矿上么且缸1 上磊，由公式( 2 4 ) 得出乱( f ) 上磊且u ( t ) 上磊， 对于所有t 冗1 成立又因为方程( 2 1 ) 是自治的，得出若u ( t ) 上磊且( t ) 上磊， 对于一些t r 1 成立，则u ( t ) 上磊且( t ) 上磊，对于所有t r 1 成立 注2 1 3 若( u 0 ，u 1 ) d e + ；xd o 对某些o r 1 成, - r r 珏是( 2 1 ) 的对应 于( t o ，让1 ) 的解，则对于任意固定卢r 1 ，护u 是( 2 1 ) 的相应于( 月尸护，月，u 1 ) d e 一口+ ；x 风一p 的解 5 一类粱方程的精确可控性 2 2 梁方程钍”( z ，t ) + 一( z ，t ) = 0 考虑下面的系统 t ，( z ，t ) + 一( z ，t ) = 0 ， ( z ，t ) ( 0 ，l ) r 1 u ( o ，t ) = 0 ， ( o ，t ) = 0 ， u ( l ，t ) = 0 ， 牡。( 厶t ) = 0 ， t r 1 t r 1 “( z ，0 ) = 扩( z ) ，u ( z ，0 ) = u 1 ( z ) ，z 【0 ，上j ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 选择h = l 2 0 ，l 】赋予通常的范数，v = 月刹o ，明， i i v l l v = i i 。0 胪【o ，工j 从r e l l i c h 8 定理得出yl 日是稠的且是紧的引入相应的算子a ，定义( 2 6 ) 一 ( 2 9 ) 的解作为下述问题的解 t ”+ a u = 0 i n r l ，u ( o ) 兰i $ 0 ，( o ) = 札1( 2 1 0 ) 要证明这一定义的合理性，只需证明矿+ a u = 0 在r 1 成立即可 事实上固定t r 1 且 卵【o ，上d ，分部积分，由( 2 6 ) 一( 2 9 ) 得出： o = t 。u u + u 。曲面缸= 1 1 吐| 雨+ u 国。缸 = p ，y + ，v ) v = i ， 由口的任意性知乱”+ a u = 0 ，又因为c 铲【0 ，l 】在v 中稠所以得到( 2 1 0 ) 成立 ( 2 1 0 ) 的解的能量定义为一 即) = 互1z i 钍他汗仆一圳2 如 ( 2 1 1 ) 注2 2 1 由椭圆正则性理论，对于夕l 2 1 0 ，l 】，下述问题t t ，。p ，力i9 ，z 【0 ，叫，t ，( o ，t ) = 口( 工，t ) = 0 ( o ，t ) = ( 厶t ) = 0 的解口eh 4 o ，上j ( 铷v ) ，而且有下面的估计 f i v l l , i o ，上j c 0 夕0 l ：【0 ，工j c 的选择依赖9 特别地。a 的特征值属于h 4 0 ，纠 6 一类梁方程的精确可控性 对于扩，让1 z 。从公式( 2 4 ) 得到( 2 6 ) - ( 2 9 ) 的解满足 u c 。( r 1 ；4 o ，引) ( 2 1 2 ) 引理2 2 2 令日= 工2 【o ，纠，v = 丑3 【o 纠，a v = 。则下面结论成立， d 1 = 日j 【o ，剀，i l v l l l = i i 怯f 0 ，l 1 d ；= 口日3 o ，叫，v ( o ，t ) = 。( o ，t ) = 0 ，口陋，t ) = 伍，t ) = o ) i l v l l = i i t ，= i i l t 【o ，z d ，d r 日q 【0 ，明 而且 a v = 一t k ，v 钞z ( 2 1 3 ) 证明：在珊【o ，l 】中，令z ，z ，表示算子一等的特征空间序列，( o ) x m 0 ，若对任意 ( y o ，y 1 ) 日- 1 【o ，纠xh _ 3 【o ，纠，存在个相应的控制口l 2 ( o ，t ) ，使得( 2 1 5 ) 一( 2 1 8 ) 的解满足， | ，( ，t ) = 0 ，矿( z ，t ) = 0 ，z 【o ，l 】 接下来考虑( 2 1 5 ) 一( 2 1 8 ) 对应的齐次系统( 2 6 ) ( 2 9 ) 的一些性质 引理2 3 2 令缸硪( 月1 ；h 4 【o ，纠) 是满足( 2 6 ) 一( 2 9 ) 的一个函数，h 俨【o ，驯，则对于任意固定一 s t 0 使得对于( o ，1 ) zxz ，问题 ( 2 6 ) ( 2 9 ) 的解满足下列不等式； ，i 一( 厶t ) 1 2 d tsc ( o 扩1 1 【0 捌+ o 牡1i | 【o n j ) ( 2 2 1 ) 因此有一个唯一的连续线性映射 l ：掰【o ，纠月3 【0 ，纠_ + 玩( r ) 使得l ( u o ，让1 ) = 让z $ ，v ( o ，让1 ) z z 证明t 在( 2 1 9 ) 中令 ( z ) = 量，s = 一t ，得到 i 。( lt ) i 2 d t j t = 戌( 钟智1 乞出疵一z 【i 2 x 砒一岛如 z 洳2 智1 弘出+ 协1 0 2 xu t t 如l s 仁( 兰忙川【o 捌+ 圭忆j i 【0 工1 ) d t + 4 t ( i j u l l 备o , 【0 捌+ i i 让o 【0 ，q ) c 1 ( 1 l u i i 口2 “一z 钉：m f 0l 1 、+ 0 u i l 2 c r f 一删：胂0 巾) 9 一类梁方程的精确可控性 由定理2 1 1 知 j “陋，t ) 1 2 d t c ( 1 l t o o 【0 捌+ i l u l 【o ，叫) 一t 。 一。 以下考虑非齐次边值问题( 2 1 5 ) 一( 2 1 8 ) 矿( z ，t ) - i - 弘一( z ，t ) = 0 ， ( z ，t ) ( 0 ，l ) xr 1 ，( 2 1 5 ) y ( o ，t ) = 0 ，y ( l ，t ) = t ，( t ) ，t r 1 ，( 2 1 6 ) w ( o ，t ) = 0 ，t ) = 0 ，t e r l ，( 2 1 7 ) ! ，( z ，0 ) = y o ( z ) ，! ，7 ( z ，0 ) = y l ( z ) ，z 【0 ，纠( 2 1 8 ) 对于vy ( 【o ，纠f 0 ，纠) 是满足( 2 1 5 ) - ( 2 1 8 ) 的一个函数，固定( 让o ，牡1 ) 掰 o ，l 】x 月引o ，叫，用y 同乘以方程( 2 6 ) 使用边界条件( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) ， 对于vs r 1 得出 o = ( ”+ u ) y d v d t ：孙训出+ z 5 小矿+ 龇脚 + 【t b 。耖一。如+ 弛。一。冶出 ：o 乩硼如+ 厂8 础 = l ( s ) 暑( s ) 一t ( s ) 毫，o ( s u ) z z zu l y o + u o y l d x t o ，s + 。( 厶t ) v d t 引入线性形式 r sr l 如( u 0 ，2 5 1 ) 2j c 2 一( l 。) v d t + j c 铲y l _ u l 矿出 可以重新写这个恒等式为下面的形式t l s ( t l , 0 ，让1 ) = ( ( z ，( s ) ，一暑( s ) ) ，( u ( s ) ，( s ) ) ) 掣爿( 2 2 2 ) 这里x = 哪【o ，l 】硪【o ，朋，x = h - 3 【o ，l 】日- 1 【0 ，纠 定义2 3 5 称( ，矿) 是( 2 1 5 ) - ( 2 1 8 ) 的一个解，如果( y ，! ，) ( 冗1 ；h - 1 【o ，叫x 日- 3 【0 ，纠) 且( 2 2 2 ) 对于vs r 1 ，( u 0 ，t 1 ) x 成立 1 0 一类粱方程的精确可控性 定理2 3 6 给定( y o ，y 1 ) h - 1 o ，纠h - 3 【o ，纠且 工缸( r 1 ) ，则问题 ( 2 1 5 ) 一( 2 1 8 ) 有一个唯一的解，而且线性映射白0 ，y 1 ，口) 一( y ，! ，) 连续 证明：由定理2 3 4 知，对于每个固定s r 1 ，线性形式协在x = h 3 【o 叫x h 1 【o ，别中有界，而且由定理2 1 1 知线性映射 ( 钍( s ) ，( s ) ) 卜+ ( u 0 ，t 1 ) 是x = h 3 【0 ，q h 1 【o ，纠到自身的同构，因此线性形式 ( t ( s ) ，( s ) ) 卜l s ( u o ，u 1 ) 在x = h 3 【0 q h 1 【0 ，翻上也是有界的，因此有一个唯一的对0 ( s ) ，矿( s ) ) 日- 1 【0 ，纠h - 3 【0 纠满足( 2 2 2 ) 式 接下来证明函数 r s | | ( 可( s ，矿( s ) ) 1 1 日一- 【0 ，叫x 日一s 【o 捌 在每个有界区间上是有界即证明对于每个有界区间，且s ，有 0 ( ! ，( s ) ，暑，( s ) ) 1 1 日一- 【0 ，捌。h 一。【o 司c ( ，) ( 0 甜i l l 2 ( f ) + 0 ( 可o ，y 1 ) 0 盯一t 【0 ，q 。日一a 【o ，工d ) ( 2 2 3 ) 其中c ( x ) 由只 ，y o ，y 1 决定 事实上选择( t o ，t l , 1 ) x ，引入下面的简写符号； y = ( 矿，一掣) ，y 0 = ( z ，1 ，一y o ) ，u = ( u ，0 ) ，俨= ( 矿，u 1 ) 由定理知2 1 1 ，定理2 3 2 知 i ( y ( s ) ，u ( s ) ) x ，j i ：i 厂8 ( 厶d t t ) v d t + ( y o ，扩) 掣，x l= i t 。( 厶+ (，厂o ) 掣，x l i j 0 0 “。( l ，t ) l l , l l 秽l l , + 0 y 。0 0 日一- i o ，工| 日一a 【o ，叫i l 厂0 i | 弼【0 翻。础【0 ，工d c ( j ) ( ij 口0 ，+ j i y 0 0 日一- 【o ，上i 。日一a 0 ，l ) i i u o i i x 若( y o ，y 1 ) h 一1 【o ，驯xh - 3 【0 ，纠且 卯( r 1 ) 使得v ( o ) = 0 ，则由定理2 1 1 知( 2 i s ) 一( 2 z s ) 有一个正则解 y c ( r 1 ；h i o ，纠) f 3c 1 ( r 1 ；h - 3 【o ，纠) 特唰地有( 1 1 ，矿) c ( r 1 ；h 一1 【o ，纠x 日。【o ，明) 因为h - 1 【o ，q h 。【o ，l 】x 工乙( 兄1 ) 在c ( r 1 ；h 一1 【o ，驯h 一3 【o ，别) 中稠。由( 2 2 3 ) 得出( ，暑，) c ( r 1 ；日4 【o ，叫x h 一3 【o ，纠) 在般情形时也成立由( 2 2 3 ) 知线性映射( y o ，y 1 ，口) 一( y ，l ，) 连续 1 1 一类粱方程的精确可控性 定理2 3 7 令l 表示下列问题 。= 一p ， 瑶【o ，纠 的第一特征值，是一个区间满足1 1 1 去则存在c ， 0 使得 z j “。( l ，圳2 d t c ( 1 l u 【o t 叫+ i i 卅i o ，副) ( z 2 4 ) 其中( 钍o ，让1 ) 瑶f 0 ，l 】础【o ，纠 注2 3 8 准确地说，正如在预备知识中阐述的那样，p l 是算子a 对应于空间 h = 硪 o ，纠，l i 口i i h = i i i i l t 0 捌，v = 日；【0 ，l i ，l i t ，l l v = 1 1 。i l l 。【0 ，l 1 的t z j , 特征 值 特别地，有 训吼叫去忆懈巾v ”硼叫 ( 2 2 5 ) 定理2 3 7 的证明：只需证明( u o ，“1 ) zxz 时结论成立即可 ，= 旧卅，在( 2 1 9 ) 中令l i l ( ) = ，则有 n 一印) f 2 疵= f 胎科+ z 1 2 蛐一z 【2 x - 1 t d x ( 2 2 6 ) l 了2 x u t 钍一如l j o l 去，则对于任意给定( f o ，y 1 ) h - 1 【o ，明日_ 3 【o ，纠，存 在v ( l ，t ) l 2 ( o ，t ) ，使得v ( o ，t ) = 0 ，t ( o ，t ) 且( 2 1 5 ) - ( 2 1 8 ) 的解满足 可( 卵= 0 ，矿( = 0 证明t 固定( 牡o ，缸1 ) 掰【0 ，别砥【0 ，纠。解问题 f 让”( z ，t ) + 一( z ，) = 0 ， ( 霉，t ) ( 0 ，l ) r 1 ， j 缸( o ，t ) = 0 ， 让( 厶t ) = 0 ， t r 1 ， lu 。( o ，t ) = 0 ， 钍。( 厶t ) = 0 ， t r 1 ， 【u ( z ，0 ) = 矿( z ) ， “( z ，0 ) = u 1 0 ) ，z 【0 ，n 1 则问题。 fy ”( z ，t ) + 3 i 。( z ，t ) = 0 ， ( ，0 ( 0 ，工) r 1 ， is ，( o ，t ) = 0 ， y ( l ，t ) = t i 。( 厶t ) ， t r 1 ， i 弛( o ，t ) = 0 ，妇( 厶t ) = 0 ，t r 1 ， i 掣( z ，0 ) = y o ( z ) ， 矿( 。，0 ) = y l ( z ) ，z 【0 ，工】 有一个唯一的解由定理2 1 1 ，定理2 3 4 ，定理2 3 6 得到 a ( 扩，乜1 ) = ( 暑，( o ) ，一暑，( o ) ) 定义了一个x = 瑶【o ，叫砩【o ，叫到f 的个连续线性映射要证明定理成立只 需证明a 是一个满射即可 事实上有一个更强的结果 引理2 3 1 0 若t 而l ，则a 是x = u t o ，别月甜o ，上j 到x 的一个同构 一类粱方程的精确可控性 证明t 利用l a x - m i l g r a m 定理，a 连续，且z z 在x = - 1 0 3 o ，叫础【o ，叫 中稠，只需证明下式成立 a ( u o ，u 1 ) ，( 矿，t 1 ) ) x ，j e l l ( u 0 ，牡1 ) i i ( 2 2 8 ) 对于任意( u 0 ，t 1 ) z z 事实上( 2 2 s ) 右边相当于j i u 。( l ，t ) 1 2 d t p 0 = ( 矿+ 。) u 出d t ：缸“娜出+ z r z 咖”+ 脚 + 阻蚰：。一t 。弘。+ 。舰一u 一叫 出 = 乙矿一刎吾出一z r k 。c 三一i ， = 一( 即y ( t ) + ( t ) 矿( t ) + 让1 y ( o ) 一扩l ，( o ) 如一i t 。( l ，t ) 1 2 d t j 2 lr t j o 2 上( o ) 一铲z ( o ) e z j c i 一j ) | 2 出 所以 f t ( a ( u o ，札1 ) ，u o ，t 1 ) ) x ，x = l t 。( 三，t ) 1 2 d t j 0 一( i l 让o i i 孙【0 ，叫+ 0 让1 | | 础2 【0 捌) 训( 钍o ，u 1 ) i l l ： 定理2 3 7 的结论在t 去的条件下成立 1 4 结论 本文主要是给出了一类梁方程的解的存在性及其精确能控性具体地讲：我们运 用h u m 方法，找到合适的乘子，证明了可观测性不等式成立，进而得出了梁方程在 满足一定的初，边值条件下的精确可控性 需要特别指出的是，文中还有许多值得继续深入研究之处，例如一本文证明可观 测性不等式的方法如何推广到一般的变系数问题? 如何用黎曼几何方法讨论梁方程 的精确可控性? 遗憾的是，由于时间和现有黎曼几何知识的局限，本人并没有在这些 方面做出较大的突破，我会在将来的工作中不断学习，同时也期待与有志的同行共同 探讨 一类粱方程的精确可控性 参考文献 【1 】v k o m o m m e x a c tc o n t r o l l a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o n m r a mr e s a p p l m a t h m a s s o n ，j o h nw i l e y , p a r i s ：c h i c h e s t e r ，1 9 9 4 ，7 - 6 2 【2 】v k o m o m i k o nt h ee x a c ti n t e r n a lc o n t r o l l a b i l i t yo fap e t r o v s k ys y s t e m j m a t h p u r e sa p p l 1 9 9 2 ，7 1 ：3 3 1 3 4 3 【3 】l a w r e n c ec ，e v a n s p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n m a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o - c i e t y , r h o d ei s l a n d ：1 9 9 8 ，2 3 9 - 2 5 7 f 4 】陈恕行现代偏微分方程导论【m 】第一版北京科学出版社，2 0 0 5 ，3 8 - 6 3 【5 】j l l i o n s e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y - s t a b i l i z a t i o na n dp e t u r b a t i o n sf o rd i s t r i b u t e d s y s t e m s j s i a mr e v i e w ，m a r c h1 9 8 8 ，3 0 ：1 - 6 8 f 6 jj l a g n e s e t h eh i l b e r tu n i q u e n e s sm e t h o d ：ar e t r o s p e c t i v e m 】i no p t i m a lc o n t r o l o fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，l e c t u r en o t e si nc o n t r o la n dl h f o r m s c i 1 4 8 ， m t h o m aa n da w y n e r ，e d s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ：1 9 9 0 ，1 5 8 - 1 8 1 【1 7 】j m r i v e r a e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yc o e f f i c i e n td e p e n d i n go i lt h et i m e 【j 】s i a m ， c o n t r o la n do p t i i i l i z a t i o 邶，1 9 9 0 ，2 8 ：4 9 8 - 5 0 1 【8 1m t a y l a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si 【m 】s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ：1 9 9 6 ，2 7 0 - 2 9 0 9 】r i c a r d of u e n t e sa p o l a y a e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rt e m p o r a l l yw a v ee q u a t i o n j 】 p o r t u g a l i a em a t h e m a t i c a ，1 9 9 4 ，5 1 ，( 4 ) ：4 7 5 - 4 8 8 【1 0 j 洪裕祥一类变系数线性波动方程的精确可控性【j 】浙江理工大学学报，2 0 0 6 2 3 ，( 2 ) ：1 9 8 - 2 0 2 【1 1 】z u a z u ae e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o r m f l i n e a rw a v ee q u a t i o n j j m a t hp u r e se t a p p l ，1 9 9 0 ，6 9 ：1 - 3 1 【1 2 】g u e s m i aa e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rt h ew a v ee q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o n e f f i - c i e n t s j i s r j ，m a t h ，2 0 0 1 ，1 2 5 ：8 3 - 9 2 【1 3 】i l a s i e c k a e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft h ew a v ee q u a t m nw i t hn e u m a n nb o u n d a r y c o n t r o l j a p p l m a t h o p t i m ，1 9 8 9 ，1 9 ：2 4 3 - 2 9 0 1 6 【1 4 】司守奎，陈叔平p e t r 0 、，s k y 板方程的精确内部能控性【j 】数学年刊，2 0 0 1 2 2 a ( 1 ) ：8 1 8 8 【1 5 】v