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d i r i c h l e t 空间上的h a n k e l 算子 运筹学与控制论专业 研究生：李小娅指导教师：曹广福 ( 四川大学数学学院) 在日。控制问题中，著名的n e h a r i 定理将模型匹配问题转化 为n e h a r i 问题，即相应的h a n k e i 算子的范数的计算( 或估计) 。 通常在只。控制问题中h a n k e l 算子是紧的或有限秩的，然而对一 般的符号，对应的h a n k e l 算子却未必是紧的，因此，考虑h a n k e l 算子何时是紧算子是自然的。过去几年中，人们对h a r d y 空间及 b e r g m a n 空间上的h a n k e l 算子的紧性问题作了深入的探讨。本文 讨论了d i r i c h l e t 空间上h a n k e l 算子的相关问题。证明了在 d i r i c h l e t 空间上，凡符号在c 1 ( d ) 中的h a n k e l 算子均为紧算子， 同时给出了d i r i c h l e t 空间上小h a n k e l 算子为紧算子的判据。 关键词：n e h a r i 定理，d i r i c h l e t 空间，紧算子，本质范数 h a n k e lo p e r a t o r so nd i r i c h l e ts p a c e m a y j o ro fc y b e n e t i c sa n do p e r a t i o nt h e o r y g r a d u a t e ：l ix i a o y at u t o r ：c a og u a n g f u ( m a t h e m a t i c a lc o l l e g eo fs i c h u a nu n i v e r s i t y ) i n 风c o n t r o lp r o b l e m s ，t h ef a m o u sn e h a r it h e o r yt u r n e d t h em o d e l m a t c h i n gp r o b l e m si n t on e h a r ip r o b l e m s ，t h a ti s t oc a l c u l a t e ( o re s t i m a t e ) t h en o r mo fh a n k e lo p e r a t o r s i n 也c o n t r o lp r o b l e m s ，t h eh a n k e lo p e r a t o r sareo f t e nc o m p a c t o r h a v ef i n i t e r a n k ， b u t f o rg e n e r a l s y m b o l st h e c o r r e s p o n d i n gh a n k e i o p e r a t o r sm a y n o tb e c o m p a c t a c c o r d i n gt ot h i sf a c t ，i ti sn a t u r a lt od i s c u s sf o rw h a t s y m b o l st h ec o r r e s p o n d i n gh a n k e lo p e r a t o r sa r ec o m p a c t i n t h ep a s taf e wy e a r s ，t h ec o m p a c t n e s so fh a n k e lo p e r a t o r s o nh a r d ya n d b 盯a 试叭s p a c e s h a v eb e e nd i s c u s s e d e x t e n s i v e l y i nt h i sp a p e r ，t h ep r o b l e m sa b o u th a n k e i o p e r a t o r s o nd i r i c h l e t s p a c e s a r ed i s c u s s e d t h e c o m p a c t n e s so fh a n k e io p e r a t o r sw i t hs y m b o l si nc i ( d ) o n d i r i c h l e ts p a c e s a r ep r o v e d ，a n dt h ec r i t e r i o nf o rc o m p a c t l i t t l eh a n k e lo p e r a t o r so nd i r i e h l l e ts p a c e sared i s c u s s e d k e y w o r d s ：n e h a r it h e o r y ，d i r i c h l e ts p a c e ，c o m p a c to p e r a t o r ， e s s e n ti a ln o r m 2 致谢 衷心感谢我的导师曹广福教授三年来对我学习和生 活上的关怀和帮助。在他的悉心指导下，我才能顺利完成 学业。本文的选题到成文都凝结着他辛勤的汗水。作为一 名学者，他严谨的治学态度、深邃的思想，以及对教学的 热爱都给我以深刻的影响，我将受益终生。 在硕士三年的学习中，得到了院里许多老师的帮助和 谆谆教诲以及同学们的热情帮助，在此，我衷心地感谢所 有教过我、给过我关心和帮助的老师和同学们，感谢他们 对我学业和生活的关心与鼓励。 第o 章引言 下图表示用串联的三个传递函数矩阵正，q ，正逼近传递豳数矩阵互，这 种闯鼷称为模型匹配闯鼹。在此问题中，墨，弓，墨屁王乙已知，丽9 艘。待 选。( 蒸孛置趣。表示王毛巾实系数有理蠹数翔鬟全俸，丢乙表示舞在学乎蟊肉艇 析的有界函数全体) 。 z 图1 模型匹配阔蘧的撼法是选9 艘。，馕 s u p i l = 强国甄，8 脚i t 1 极小，即1 | 互一t 2 q t 3i i 。极小。 将模型匹配闻题化成标准问题，可取 g = 臣孙x = 固， 蔗使g 稳定等价于要球q r 而乙。 n e h a r i 定理：鼗予飨定懿妒r ，誊巍一拿最接近妒缒菇玩，量毒 1 1 妒一x i i 。= l 】玩 n e h a r i 定理的重要性在于可以将模型匹配问题转化成n e h a r i 问题，从而 易于求解。一般地说，接近妒r 的z 不止一个，n e h a r i 定理说明，从已知的 非因果系统到最接近的因果系统的距离等于h a n k e l 算子范数，即，h a n k e l 算 予范数是菲因果性的一种度量，因此，研究h a n k e l 算子的性质在控制问题中 显得尤为重要。 设状态方程为 f z = g l i 珊+ g 1 2 y = g 2 l c o + g 2 2 “ l甜= 母 若，一g 2 ：足可逆，则 2 = ( g 1 。+ g 1 2 k ( i g 2 2 足) g 2 1 ) c o ， 由珊到z 的传递函数矩阵l 。为 。= 巧( g ，j ：) = g 1 1 + g 1 2 k ( 1 一g 2 2 x ) _ 1 g ；1 ， c o 是，维外部输入信号，一般包括指令( 参考) 信号，干扰和传感器噪声。 u 图2 y z 是p 维受控输出，通常包括跟踪误差，调节误差，执行机构输出。 “是n 维控制信号，同时也是控制器输出，y 是m 维量测输出，可能是 传感器输出及指令信号等。 g ，k 分别表示广义受控装置和控制器，前者是系统的给定部分，而控 制器足有待设计，其代数方程如上所示。 只。控制的标准问题：求一真实有理k ，使g 稳定，并且使传递函数阵 f a g ，k ) 的日。范数极小，即求 1 1 1 1 n 磁g 稳一e ( g , k ) i i * q 标准问题也可以表示为：求所有真实有理k 使g 稳定，且使 l l 巧( g ，k ) 忆 r ，0 r r ， 前者称为日。最优控制问题，后者称为月。次优控制问题。 在王乙控制中，h a n k e l 算子通常是紧算子甚至有限秩算子，这是由于其符 号是一个有理函数( 矩阵) 。在算子理论中，著名的n e h a r i 定理指出，对一般 的r 函数妒，等式| | = d i s t ( q 口，h 。) 仍然成立，( 参见【l 】) 但此时h o 不一定 是有限秩的，甚至不是一个紧算子，这就引出了一个自然的问题，对何种符号 妒，上是紧算子? 其本质范数能否计算或估计? 这一直是人们感兴趣的一类 问题，人们已知在h a r d y 空闻上有： i i 也| | 。= d i s t 劬，h 。+ c ) a 然而在b e r g m a n 空间和d i r i c h l e t 空间上，尽管对h a n k e l 算子的紧性有一 定的了解，但无论是h a n k e l 算子的范数还是其本质范数都没有合适的估计方 式，事实证明，它远比h a r d y 空间情形困难得多，p e n gl i na n dr r o c h b e r g 就 此情形得到了b e r g m a n 空间上h a n k e l 算子本质范数的一个等价估计。本文讨 论d i r i c h l e t 空间上h a n k e l 算子及小h a n k e l 算子的相关问题，给出了符号在 c 1 ( 石) 中的h a n k e l 算子与小h a n k e l 算子为紧算子的条件。 第一苹d i r i e h l e t 空间上的h a n k e l 算子 记d 为复平面c 上的单位圆盘，对z c ，z ：x + 纱，d a ( z ) ：土出砂， 记鲁：圭( 昙一f 号) ，旦o z = 1 瓦o + f 专) ，空间。记为满足如下条件的函数空间 ：d 斗c ，且范数满足： ；= 【扣誊卅+ l 警1 2 ) 幽】； m ， 则在内积 ；= 。= p 婺塑烛( z ) ，v f d 。 i 位磁 4 定义2 ：设妒c ( d ) ，则d 上符号为9 的h a n k e l 算子为： 也= ( i p ) ( ) ，v f d 。 对v 妒c i ( 巩记i i 伊i i 。= m 警m a x 吼缸铷。 定理1 ：设妒c ( d ) ，则日。是d 上的紧算子。 证明：在 3 中，用亭1 上内积的定义直接计算| | q 五吣，五山o ，k 斗0 0 ， 从而证明h 。是紧算子，根据：，；的多项式在c 1 ( 面) 中稠密，本文用多项式的方 法证明了相同的结果。 首先证明对v k 0 ，。是紧算子。 事实上， v 乱叩一。： 这由 p c z 4 ；9 ，= ：三，：i 若 立即可得。 现设 z = 4 ，。( d ) 斗o ， i - 0 则对v f ，有 a ! 竺一o ， 日j 一= 口j “( pf 2 1 ) z 。 对v j 0 ， 注意到 故 又 所以 | | q “( 沙1 2 1 ) z “i i 2 = = i 口。j 2 ( ( jz 1 2 1 ) z ，( iz f 2 1 ) z 一一t ) ，2 ，n ( ( j ：1 2 1 ) z ，( 1z 1 2 1 ) z 。一) ； = z k z j _ z i - kz i 。) ! = 2 ( 拓1 三2 ( f t ) z , - t - , , z , - , z 2 ( f 七) z t 一1 ) - k z - - z k - i ，k z ；一1 ) = 熹叫峋邓啕娟一的+ 恙 = 熹邓叫+ 妥 ：擘善( h ) ， f4 - t 、 j j 矿( p1 2 一1 ) z 。j l j 2 = 善1 2 ( 熹叫卅+ 羔) = 善吲1 2 等邓啕】 = 驯n | 2 坐警塑】 ：y 旧i ：堡 智一。f + k i i q “z j j 2 = 1j 2 0 j 酊， i i q ， = 驴2 鬲2 k 2 = , 1 1 a y ) h 怎 l z 。l a 艮 志 驯2 志。 这说明对v 占 0 及v k ，存在，使得 i i q “( p1 2 1 ) z 1 1 2 q iz1 1 2 占s 2 。 又因 a ，7 生竺寸o ，故对v ，3 l ，j 当，时有 o a ，“( iz 1 2 - 1 ) z 。1 1 2 占2 ， j ( 于是 i iht i i 刊z a , “( | 2 - 1 ) z 。i a i “( p1 2 1 ) z 2 占， 即i i 丝。z 与o 。 由于 h 。z 7 = ( ，一p ) 【z “乜4 2 7 ) 】= h 。l z 7 ：j； 可见。 = h 。l 也是紧算子，因：，：的多项式全体在c 1 ( d ) 中稠密，且 ：一： 0 h ，训一( _ ) 。 故对v 妒c 1 ( d ) ，。是紧算子。 证毕。 7 第二章d i r i c h l e t 空间上的小h m 1 k e l 算子 定义3 ：设妒c 1 ( 面) ，d 到西的小h a n k e l 算子定义为： 吃，= 歹丽，v f d ， 记瓦为e 2 王u “2 的小h a n k e l 算子。 定理2 ：设驴c 1 ( d ) ，则 口是紧算子当且仅当妒b = 0 。 证明：假设9 k = o ，则瓦| ：是艺( d ，谢) 到虿丽的紧算子( 见 3 ) ，故对 v 五) e ， 三斗o ，l l 五i i t = 1 ，有 j i 以吣斗o ，( 七一o 。) 。 若不是紧的，则存在 e ) d ，0 e = l ，吒与o ，使得| 1 ej l 0 ， 于是，| l 嘏吣，j 弋叶0 ，进而 + 。，0 ， 0 zo z0 zd z 注意 掣：誓e + p 筝，掣：挈晟 o zo zo zo zd z ， 于是 且 = 斗0 。 i | 到硼；， 衍位 。 j | 剑p e 岵jj f ；j l f 及 j 最峙斗o ， 。“ 知 8 掣临斗o 。 0 2 一 这与| | 纸忆，0 矛盾。 因此吃必为d 到西的紧算子。 反过来，设紧，往证妒i ，= 0 ，若不然，稚i ：t f 混l 2 0 ( d ) 上的紧算子 - t - 是：，存在 以) c e ，0 五i i r = l ，以 o ，使得 i i 瓦五i i rj r 0 ， 于是 妒i 五忆弋呻0 ， 即 j | 妒1 2 i f , 1 2d a 七一+ o ， 但是紧的，故x c f , = 鼽如，i i e1 1 - o ，进而 9 j 嘭ei i o 呻0 。 记丘：五号d 为丘7 = 耵， 则小难证明 = 毛+ 世，其中k 是紧算子( i e 西到d 的紧算子) ， 于是 i i ( 咤+ 足) 最i i o 斗0 ， 进一步 l i 耄ei i o 斗0 。 容易验证 岛= 弓巧= ：+ 世 ( 见 3 ) ， 这说明0 l z 最扎哼0 ，于是 ! j0 ，因此 - - - 0 。 注意到 q 妒l z ， = q 妒l ：五，a = 0 妒i ：i 五i ：刊二寸0 ， 及 | 剑9 l ：1 1 川最i i 。d l 五l i e 斗o ， 凹 可得 ! + 0 ， 这个矛盾说明妒l ，= 0 。 定理3 ：设伊c i ( 五) ，n q , l ，= 0 当且仅当吃= 0 。 证明：由定理2 ，显然，仅需证明伊i t 。ojh p = 0 。 设凤( z ，刁是多项式，使得| | p k 一妒忆_ 0 ， 1 0 且 记 则 故 孕一娑忆j0 。 出院 p 。= 4 嬲z “j “， n j h ：砷 p 。沪p t ( e i 9 , p 1 9 ) = 础p “归 n m o = 础e ”j o n - m = l 8 p k ( e i o , e 1 。) ，= i 础2 寸0 。 ，n - m = ， 对任意给定的f n + ，有 k ( z ) = p ( 弘) 。l i m p ( p t z 。) = i 三7 ， f f l + 卜m = l 任给0 r on - m l 蔓i 础1 2 与o 。 l 一m = l 另一方面 0p ( 弘) 一p ( p k z ) 峙斗0 ， 故p ( 仇z ) 在d 的紧子集上一致收敛到p ( 弘) ， 因此 只 仇z f = 塞j 尸，( 弘。) 。 由p , m z k o 知r a m ) ：0 。 故 吃( z ) = p ( a z ) = 0 ，( v t n + ) ， 可见 吃= 0a 证毕a 参考文献： 1 h 。控制理论解学书，钟宜生编著清华大学出版社 2 o p e r a t o rt h e o r yo ff u n c t i o n a ls p a c e k h z h u 3 f r e d h o l mp r o p e r a t i e so ft o e p l i t zo p e r a t o r so nd i r i c h l e ts p a c e s ， g u a n g f u c a o ，p a c i f i cj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ，v 0 1 1 8 8 ，n o 2 ，1 9 9 9 2 0 9 2 2 3 4 h a n k e la n dt o e p l i t zo p e r a t o r so nd i r i c h l e ts p a c e s ，