（运筹学与控制论专业论文）一类不确定时滞系统的h∞问题.pdf

摘要 本文主要讨论了几类时滞系统的月0 控制问题对于一般的线性不确定时 滞系统的月二控制，通过求解线性矩阵不等式得到系统的状态反馈控制律在 讨论中立时滞系统的凰。控制问题时，利用变换把带有所有不确定项的中立时 滞系统的月控制问题转化为确定的中立时滞系统的凰。控制问题，最后再通 过线性矩阵不等式求解控制律，使得系统具有月二扰动衰减度 本文有两部分组成： 1 一类线性不确定时滞系统的丑0 控制问题 2 一类带有所有不确定项的中立时滞系统的凰。控制问题 关键词：渐近稳定，时滞系统，中立系统，线性矩阵不等式，风。控制 a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，w ed i s c u s ss e v e r a lk i n d so ft i m e - d e l a y e ds y s t e m s f i r s t ，t h i sp a p e rd i s - c r l s s e s 如c o n t r o lp r o b l e mo ft i m e d e l a y e da n du n c e r t a i ns y s t e mb yu s i n gt h em e t h o d o fl m i t h es t a b l ep r o b l e mo ft h es y s t e mi sc o n s i d e r e df i r s t l y , t h e nw 8e s t a b l i s hai n e i n m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r ol a wi no r d e rt os t a b t i z et h es y s t e mo nt h eg r o u n d st h a tt h e s y s t e mh a sc e r t a i nr o b u s tp r o p e r t ya n dh p r o p e r t y t h e 比c o n t r o lp r o b l e mo fac l a s so fn e u t r a ld e l a ys y s t e mw i t ha l lu n c e r t a i n t yi sa d - d r e s s e d w ec o n v e r ti ti n t oac l a s so fn e u t r a ld e l a ys y s t e mw i t hc e r t a i n t y i nc h a p t e r1 ，w ei n v e s t i g a t eh o oc o n t r o lo fac l a s so fl i n e a rt i m e - d e l a y e ds y s t e mw i t h u n c e r t a i n t y i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e r 如c o n t r o lo fac l a s so fn e u t r a lt i m e - d e l a y e ds y s t e mw i t ha l l u n c e r t a i n t y k e yw o r d s ：a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y ；t i m e - d e l a y e ds y s t e m s ；n e u t r a l t i m e - d e l a y e ds y s t e m s ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ；h c o n t r o l 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃抄 袭等违反学术道德学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切 法律责任和法律后果，特此郑重声明 ：z 降 1 引言 时滞与不确定性是工业过程中普遍存在的现象，且很多是难以精确建模 或本身具有时变特性等在各类工业系统中，时滞现象是极其普遍的对许多 大时间常数的系统，也常用适当的小时间常数加纯滞后环节来近似，这都可以 归结为时滞系统一般地，一个系统中原料或信息的传输也往往导致时滞现象 的产生时滞的存在使得系统的分析和综合变的复杂和困难，同时时滞的存在 也往往是系统不稳定和系统性能变差的根源正是由于时滞系统在实际中大量 存在，以及时滞系统分析和控制的困难性，使得时滞系统的分析和综合一直是 控制理论和控制工程邻域中研究的一个热点问题。 近年来，不确定时滞系统的月鲁棒控制引起了许多学者的极大兴趣 r i c c a t i 方程方法已成为王k 控制分析与综合的一种有效方法文献 1 】使用 r i c c a t i 方程方法讨论了状态矩阵a 带有不确定性的离散时滞系统的控制问题 文献 2 】在文献 1 】的基础上进一步考虑了控制矩阵b 的不确定性文献f 3 】3 讨 论了一般的线性不确定系统的凰。问题，状态方程和输出方程都没有时滞项 并通过变换把求解不确定系统的月二鲁棒控制律转化为线性确定系统的五k 鲁 棒控制律文献f 4 1 曾指出，通过参数化可将不确定的离散时滞系统和连续时 滞系统转化为确定型离散时滞系统和确定型连续系统，然后利用线性矩阵不等 式方法设计风。控制器 本文主要讨论了几类时滞系统的月0 控制问题首先讨论了一般的线性 不确定时滞系统的风。控制闻题，系统的状态方程和输出方程都带有不确定定 常时滞项，利用线性不等式方法求解月曹鲁棒控制律接着研究了一类线性不 确定中立时滞系统的巩。控制问题近年来，许多学者致力于中立型微分系统 稳定性分析的研究，中立型微分系统具有理论和实践上的重要意义例如中立 型泛函微分方程是输电线中电压和电流波动的自然模型，许多学者利用各种分 析技术，如l y a p u n o v 方法，特征方程方法和状态方程解的方法，建立了多种 中立系统渐近稳定的稳定性准则 5 - 8 l ，然而关于中立系统的分析和综合方面 的文献却较少，f 9 1 中解决了线性确定中立时滞系统的风。和正实控制问题， 1 并发展了相应的控制器设计方案，但是所研究的系统输出方程没有时滞项 m a h m o u d 1 0 】考虑了线性不确定中立时滞系统的鲁棒月控制，并得出了一些 可解性的充分条件【1 1 中研究了线性不确定中立时滞系统的鲁棒二次性能 【1 2 】中讨论了基于观测器的线性中立时滞系统的日o 。控制在本文中我们利用 变换把带有所有不确定性的中立时滞系统的风。控制问题转化为确定的中立 时滞系统的月毫控制问题，再通过线性矩阵不等式求解控制律，使得系统具有 一定的矾。性能 本文有两部分组成： 1 一类线性不确定时滞系统的丑0 控制问题 2 一类带有所有不确定项的中立时滞系统的上k 控制问题 下面我们对上述两部分作简要的概述： 1 线性不确定时滞系统的妇乙控制 本节考虑了如下一类带有不确定性的时滞系统： 删= + a ) z ( 。) + ( a 1 + a 1 ) 茁( 。一d ) + b 叫( ) + 眈( 曲 z ( ) = ( a + a ) z ( 砖+ ( c 、+ a a ) z 一d ) + h w ( t ) + g u ( t ) x ( t ) 舻为状态变量，”( ) r “为外部扰动，u ( t ) f p 为控制输入，z ( t ) 舻 为被调输出a ，a 1 ，b ，c ，q ，h 印一，e ，g r n m ，a a = d f 毋，a a l = d f e 2 ，a c = d f e 3 ，g = d f e 4 ，d ，蜀，f a ，马，置均为适当维数的常值矩 阵，且矿f j 我们的目标是设计一个无记忆状态反馈控制器u ( t ) = k x ( t ) 使得系统具有以 下特点： ( 1 ) 系统渐近稳定；( 2 ) i i t 。；( s ) i | 。墨，y ，即在零初始条件z ( t ) = o ( t 卜d ，o 】) 下， i z ( t ) l h ，y i l ”( t ) | 。，w ( t ) l 2 o ，+ 。) 我们首先讨论了用u ( t ) = k x ( t ) 镇定系统( 1 1 ) 的一个充分条件是存在p 0 ，s 0 和矩阵使下不等式成立： f ( a + e k + d f e i ) t p + p ( a + e k + d f e l ) + sp ( a 1 + d f e 2 ) l o ( a 1 + d f e 2 ) 7 p s j 2 然后再把此关于只s ，k 的非线性不等式转化为一个等价的线性不等式求解k 定理l 对系统( 1 ，1 ) 来说，如果存在正常数和正定矩阵x ，v 和矩阵使 得 a x + e w + ( a x + e w ) t + e d d t y 钾 e l x x a l vx 砰x yy 开0 易v - e 1 0 o0 一y 0 则“( t ) = w x 。x ( t ) 可镇定系统( 1 1 ) 在本章节我们接着考虑系统的凰。性能问题，即我们的目的是采用无记忆 状态反馈控制器“( = k x ( t ) 使得系统具有以下特点： ( 1 ) 系统渐近稳定；( 2 ) 0 ：( s ) ，y ，即在零初始条件x ( t ) = o ( t 【一d ，0 1 ) 下， i l z 0 ) 1 1 2 7 l l 叫( t ) 0 2 ， ( t ) l 2 o ，+ o 。) 得到如下定理； 定理2 对系统( 1 1 ) 和给定的常数7 来说，如果存在对称正定矩阵只s 和矩阵 k 使得下不等式成立 ( a + e k + d f e l ) 7 p + p ( a + e k 十d f 日) + s b t p ( a l + d f 马) 7 p ( a + d f e 3 + g k ) p bp ( a 1 + d f e 2 ) 一1 j os d ( q + d f e 4 ) ( g + d f 昆+ g k ) 7 d t f a + d f e 4 ) 一f 则系统( 1 1 ) 具有峨。性能 由于定理2 所给的不等式是一个非线性不等式，无法去判断它是否有解， 我们利用了把非线性不等式转化为线性不等式的方法通过用肼，工具来判 断是否有解 定理3 对系统( 1 1 ) 和给定的常数，y 来说，如果存在对称正定矩阵x ，ss 。和标 3 0 ，矩阵y 使得 a x + e y + ( a x + e y ) 7 + s 1 + e d d 7 b t 唧 c x + g y e t x e 3 x b a l - 7 1 0 0 一s h c 1 o e 2 0 e 4 x c t + y t g tx gx 臻 h t00 魄e t酸 一1 ，+ e d d t 00 0- e io 00一e ， 0 ，s 0 4 p a + a r p + q + s a r p 朋。p b p g d t m 7 p a qm t p b m 7 p c 0 b t pb r p ms0e r g t pe t p m01 ， g r d 0e g - q l 0 最后讨论了带有所有不确定项的中立时滞系统的二k 控制问题 i ( t ) 一m 0 一d ) = ( a l + a a l 扣( t ) + ( b l + a b l 净0 一1 ) + ( c 1 + a c l ) “( t ) + ( d i + a d l ) w ( t ) g ( t ) = ( a 2 + a a 2 ) 。( ) + ( b 2 + b 2 ) z ( 亡一z ) + ( 伤+ a ( b ) u ( t ) + ( d 2 + a 0 2 ) w ( t ) ( 1 3 ) 其中$ ( t ) 俨为状态变量，u ( t ) ，p 是控制输入，d 和l 是正常数， m ，a 1 ，b i ，g ，d 。，a 。，b 2 ，岛，d 。都是适当维数的常矩阵叫( t ) r v 为属于如【o ，+ o 。) 的扰动输入，z ( t ) r q 是被调输出且有： a a ta 岛b 1 竺。剖= 邢，( 局e 2 e 3 蜀) 其中f ( t ) 满足f 7 ( ) f ( t ) ，皿，飓，易，易，岛，且是适当维数的常矩阵 把u ( t ) = k z ( t ) 带入( 1 3 ) ，我们得到： ( ) 一m 一d ) = i a l + a l + ( g + 凸) 豳z 0 ) + ( b l + a b l ) x ( t 1 ) + ( d 1 + a d l ) w ( t ) z 0 ) = a 2 + a 2 + ( c + a c 2 ) k l x ( t ) + ( b 2 + z x b 2 ) x ( t 一2 ) + ( d 2 + a d 2 ) w ( t ) 定理3 “( t ) = k x ( t ) 是系统( 1 3 ) 的一个鲁棒风。控制律的充分条件是下不等式 成立： 5 p a l + , 4 , 1 r p + 0 + s m t p a l 百1 t p i j i t p 五 一1 t p m o b 1 1 p m 一赢7 p m 0 p b lp 1 9 la 2 7 一m t p b l m t p d l 0 一s0 晷； 0 - 7 1d 2 1 b 2d 21 i 通过一系列变换定理( 3 ) 中的不等式( 1 4 ) 等价于： n 3 一m 7 p a b t p d t p n 4 ；i h t p e 9 5 一五7 p m 一0 一b t p m d p m 0 - h t p m 0 ( 1 5 ) 又等价为 n 3 一m 7 p a 1 b ，p d t p , e 5 h t p 肮 i n 5 一a 1 t p m 一0 一b t p m d t p m 孚h t p m 0 0 p b l m 7 p b l 一s 0 岛 0 e e 2 p d ， m t p d l 0 - 7 1 d 2 0 e e 4 p 皿 一m 7 p h l 0 0 。1 i t 2 一 0 粤p h i 一警m 7 p h l 0 0 - 7 i 警凰 0 0 ( 1 4 ) 0 ( 1 5 ) 0 ( 1 6 ) 其中五1 一a 1 + c 1 k ，n 3 = p ( a l + c i k ) + ( a l + c i k ) 7 p + q + s n 4 = a 2 + c 2 k ，5 6 孵。霹硪o o o s e s 呀。霹珥叫辩。 孵 霹霹 f 删。傩艄：叫 孵。砑班细叫。 肌一。叫。岛他 日 2磊坩：岛肿 e 1 + e 3 k 这样我们就把上述求不确定性中立时滞系统( 1 3 ) 的控制律转化为求下面确 定的中立时滞系统的控制律问题 d 。孚凰k v 呵e e 4 0 1 ( 1 7 ) 其中z ( t ) r n 为状态变量，曲( t ) r n + r 是扰动输入，2 ( t ) 彤+ 是被调输出 定理4 “( ) = k x ( t ) 是系统( 1 3 ) 的一个鲁棒月乙控制律的一个充分条件是： “( t ) = k x ( t ) 是系统( 1 7 ) 的丑0 控制律 证明把u ( t ) = k x ( t ) 带入系统( 1 7 ) ，我们得到 ( 亡) 一m 2 ( t d ) = ( a l + c 1 k ) x ( t ) + b l x ( t f ) + ld l 字日1 ) 0 0 ) h ( 去，) + ( 急卜卅( 急卜叶( 盎警卜 根据前面的结论我们可以得到( 1 6 ) 式定理证毕 我们发现( 1 5 ) 是关于未知矩阵变量只k ，q ，s 的非线性不等式，令p q k = 6 m t x a l m t y b t p x d t x n 4 1 h t x n 5 a , t x m y t m q b t x m d z m 0 一! 。h v x m 0 x 口l m 7 x b l 一s 0 b 2 o e e 2 x d l m t x d l 0 一，y ， d 2 0 皿 ! x h l n 。 一m t x h l 0 0 e 磁。 0 硪 。1 h 2 0 一 0 0一j ( 1 8 ) 其中n 4 = a 2 + c 2 k ，n 5 = 马+ e 3 k ，6 = x a l + y + a t x + y 7 + q + s ( 1 8 ) 是关于矩阵变量y , x ，k 的线性不等式，从中我们可以解出k 7 0 、l 咖岛舳 孚 研 卅卜尸 一岛鹏 坤 且l r 如俨 卜 卜 印 5 耋 孵。田珥叫澄。 2 第一章一类不确定时滞系统的民问题 士 目 近年来，时滞系统成为了控制理论研究中的热门课题在很多实际工业 控制中，各种工业生产过程，生产设备等许多的被控对象，其动态特性一般都 难以用精确的数学模型来描述，同时由于时间的延迟，所有这些因素使得描述 对象的数学模型和实际对象之间不可避免地具有误差风。控制理论结合系 统模型参数不确定性和外部扰动的考虑，研究系统的凰。性能问题参看文献 ( 【1 】- 【4 1 3 】- 2 3 】) 。对于风。控制问题，存在多种求解的方法，从最初的算子方法 到r i c c a t i 方程处理方法这里主要介绍基于线性不等式的丑0 控制问题求解 方法，这一方法的好处在于可以用相对直接的矩阵运算来得到控制器的设计方 法 本文研究的结构不确定时滞系统方程如下： 荆= ( a4 - a ) 。( ) + ( a 1 + a 1 ) z ( 。一d ) + b 训( 。) + 眈( 。) r 2 工1 z ( t ) = ( c + a c ) x ( t ) + ( g + a 扣0 一d ) 4 - h w ( t ) + g u ( t ) x ( t ) r “为状态变量，w ( t ) i t 为外部扰动，“( t ) r “为控制输入，z ( t ) r n 为被调输出。a ，a 1 ，b ，o ，c l ，h r “x n ，e ，g r n x m ，a a = d f e t ，a a l = d f e 2 ，a c = d f e 3 ，q = d f e 4 ，d ，e 1 ，岛，e 3 ，e 4 均为适当维数的常值矩 阵，且矿f 本文的目标是设计一个无记忆状态反馈控制器使得系统具有以下特点： ( i ) 系统渐近稳定；( i i ) l i t 。：蚓j 。仉即在零初始条件。( t ) = o ( t i - d ，0 】) 下 l i z ( t ) 1 1 2 ，y o w 0 ) 1 | z ，w ( t ) l 2 o ，+ o 。) 引理1 ( 【2 4 )对给定的对称矩阵 、 s ：f 艮如1 岛1 岛2 8 其中s - - 是r r 维的以下三个条件是等价的： ( i ) s o ；( i i ) s n 0 ，岛2 一s 五5 矗1 $ 1 2 o ； ( i i i ) s 2 2 0 ，s l l s , 2 s 才既 0 和矩阵k 使下不 等式成立： ( a + e + 。f e 。1 a ) t ，p + + 。p f 易( a ，+ ，尸e k + 。f 显) + sp ( a 1 + 一s d f e 2 ) ) 。 证明首先考虑控制输入“( ) = k x ( t ) 使系统士( t ) = ( a + a a ) x ( t ) + ( a ，+ a a l ) z 0 一 d ) + e u ( t ) 稳定的问题，把u ( t ) = k x ( t ) ，a = d f e l ，a a l = d f e 2 ，代入则变 i ( ) = ( a + e k + d f e i ) x ( t ) + ( a l + d f f n ) x ( t d ) ( 2 2 ) 定义y ( z ( t ) ) = x t ( t ) p x ( t ) + 正dx t ( r ) s z ( f ) 打，有矿( z ( t ) ) = 2 x 7 p 2 ( t ) + x t ( t ) ( t ) 一 x r ( t d ) s x ( t d ) 令 m = ( a + e k + d f e 。, a ) t 。p + + 。p f 岛( a ，+ ，p e + 。f e l ) + sp ( a 1 二多f 易)( a l + d f e 2 ) 7 p s j 把( 2 2 ) 带入矿( z ( t ) ) 得到： 矿c 一( 。毒竺回) 7 m ( 。二( 二) 回) 要想使系统渐近稳定，只需要m 0 引理证毕 9 引理3 中给的不等式是关于p is ，k 的非线性矩阵不等式，下面我们把它转化 为一个等价的线性矩阵不等式令 y = ( a + e k ) t p + p ( a + e k ) + s p a s l1 m = y + ( - ) f ( 蜀易) + ( e 。岛t f t ( - ) 7 。 等价为 y + ( 苫) 7 + s 一1 ( 晶易) 7 ( 日易) 。 即： r 删州+ 料e k ) t p 。+ 嘲s + 毋e p 舻。驰= 等) 。 上不等式等价为 fp ( a + e ) + ( a + 冬e k - ) 7 j p + s + p 。7 尸 两端分别左乘和右乘d i a g p - 1 , j ，n ，并令p _ 1 = x 即变为 f a + e k ) x + x ( a + e k ) 7 + x s x + 卵 e l x 兰卜 渤7 ：署1 0 e 2 - e i s 趔l j 、 阳 。 荽l 弗b 等价为 ( j 4 + e k ) x + x ( a + e k ) 。r + e d d 7 臂 蜀x x 令= k x 变为 a ix e tx se t0 e 2 一e 1 0 00一s 一1 a x + e w + f a x + e w ) 7 十e d d 7a tx g x a ts 霹0 e 1 xe 2 - e l0 x00 一s 一1 上式两端分别左乘和右乘d i 口g i ，s ，j ，并令s 。= v 即变为 a x + e w + ( a x + e w ) t + e d d ta l v v a t v e i xe x0 x 磷x y 霹0 - e l0 0一y 0 0 0 是关于s ，x ，w 和y 的线性矩阵不等式，解得k = w x - 。 定理1 对系统( 2 1 ) 来说，如果存在正常数和正定矩阵x ，v 和矩阵w 使 得 a x + e w + ( a x + e w ) 7 + s d d 7a 1 v v a tv e i xe x0 则u ( t ) = w x “x ( t ) 可镇定系统( 2 1 ) 1 1 x e ，x v 礤0 - e 10 0一矿 0 1 3系统的风。性能问题 下面考虑下述系统的三k 性能问题：对于文章刚开始提出的系统，我们 的目的是采用无记忆状态反馈u ( t ) = k x ( t ) 既要( 1 ) 使闭环系统渐近稳定， 又要使系统满足( 2 ) f f 咒z ( s ) m 即即在零初始条件。( f ) = o ( t 一d ，0 1 ) 下 l i z ( t ) i i z 圳( t ) 怯w ( t ) 如【o ，+ 。) 把u ( t ) = k x ( t ) 代入 壬0 ) = ( a + a a ) x ( t ) + ( a i + a a o x ( t d ) + b w ( t ) + e u ( t ) z ( t ) = ( c + g ) z ( t ) + ( q + q ) ( t d ) + h w ( t ) + g u ( t ) 得到 堋= ( a + e k + d f e l ) z ( ) 十( a l + d 飓) z ( 。一d ) + b ( 。) r 2 3 1 。( f ) = ( a + g k + d f e s ) z ( ) + ( a + d f e 4 ) x ( t d ) + h w ( t ) 定理2 对系统( 2 3 ) 和给定的常数7 来说，如果存在对称正定矩阵p ) s 和矩阵 k 使得下不等式成立 ( a + e k + d f e l ) r p + p ( a + e l ( + d f 墨) + sp bp ( a l + d f e 2 ) ( c + d e e 3 + o k ) r b 7 p一1 j0h t ( a 1 + d f e 2 ) 7 p 0 一s ( 凸+ d f e 4 ) 7 ( c + d f e 3 + g k ) 日 ( a + d f & )一7 ( 2 4 ) 则系统( 2 3 ) 具有凰。性能 证明令y ( z ( t ) ) = x t ( t ) p x ( t ) + 正d ，( r ) s x f f ) g z 根据零初始条件鼻= 盯( 7 _ 1 z t ( t ) z ( t ) 一1 w 7 ( t ) ( ) ) 出 = j 孑n 一1 2 7 0 ) z 0 ) 一1 w 7 ( 亡) ”( t ) + 矿( t ) ) 出一矿陋( r ) 】 则工f 0 7 ( 7 1 ，( t ) z ( t ) 一 y w ( t 灿( t ) + v ( t ) ) d t 定义矩阵 1 ( a + e k + d f e l ) 7 p + p ( a + e k + d f e l ) + sp bp ( a 1 + d f e 2 ) b t p0 0 ( a l + d f f ) 7 p 0 一s 1 2 0 有 定义 n | 2 x t p ：女( t ) + x t ( t ) s x ( t ) ，、t7 z ( t ) ( t ) x ( t d ) n 1 嚣( t ) ( t ) z o d ) ；0 7 0伊日伊鼢+ d f e 4 ) i 1 日7 0日7 h 一7 i日7 ( c 1 + d f e 4 ) ；( e 1 + d f e 4 ) 7 0 ；( c 1 + d f e 4 ) 7 h ；( c 1 + d f e 4 ) 7 ( c 1 + d f e 4 ) 其中0 = c + d f e 3 + g k z ( t ) 7 4 t ) 一，y ”( ) 7 ( ) k t ( t ) ( e + d f e 3 + g k ) t + x r ( t d ) ( a + d f e 4 ) ? + w r ( t ) h t 【( g + d f e 3 + g k ) x ( t ) + ( a + d f e 4 ) z 0 、t z ( t ) 删( ) 4 t d ) n 2 x ( t ) 叫0 ) z 0 一d ) ；z ( t ) t 名( t ) 一7 伽( t ) r ( ) + 矿( z ( ) ) = x ( t ) w ( t ) t 0 一d ) 茹( t ) 伽( t ) 。0 一d ) 其中n = l + 2 ，根据s c h u r 补性质，由不等式( 2 4 威们可以得到n 0 ，所以有 j ( 7 ( 7 一l z ( ) 7 z ( t ) 一7 ”( t ) 7 ”( t ) + 矿 ) ) d r = 0 7 即盯z o ) 7 4 t ) d t ，y 2 厝w ) 7 0 0 ) 7 2j f 0 ) 7 w 0 ) 1 3 z ( t ) w ( t ) z ( 亡一d ) x ( t ) ( t ) z ( t d ) d 亡 0 从定理2 中的不等式我们可以得到 、 f ( a + e k + d f e l ) ，p + p ( a + e k + d f e l ) + sp ( a i + d f e 2 ) 1 o i( a l + d f e 2 ) 7 p s j ，根据引理3 可知系统( 2 , 3 ) 也是渐近稳定的 我们发现定理2 所给的不等式是一个非线性不等式，我们无法去判断它是 否有解，下面我们给出把非线性不等式( 2 4 ) 转化为线性不等式的方法然后 就可以通过用l m i 工具来判断是否有解令 则 ( a + e k ) 7 p + p ( a + e k ) + sp b b 7 p - 7 i a l p 0 g + g kd ( a + e k + d f e l ) 7 p + p ( a + e k + d f e t ) g p ( a l + d f e 2 ) t p ( a + d f e 3 + g k ) =y+ y + ( d f e , ) 7 p + p d f e l 0 ( d f e 2 ) 7 p d f e 3 0p d f e 2 00 0o 0d f 墨 p d f e t0p d f 勖0 000 0 000 0 d f e 3 0 d f e 4 0 + p a l ( c + g k ) 7 0d t s 口 c 1- 7 i + s p b 一一r ， 0 日 ( d f e 3 ) 7 0 ( d f e 4 ) 7 0 p ( a l + d f e u ) 0 一s ( e 1 + d f e 4 ) 0p d f e 20 000 o 0 0 0d f e 40 ( g + d f e 3 + g k ) 7 日7 ( a + d f e 4 ) 7 1 岛 肼 o o 珂 4 m o o 胛 m y + ( p d ) 0 o0 000o 0o 00 00 0d 其中户= 价为 y + s f0 00 0fo 0 00f0 000f ( p d ) 00 0 oo o0 000 0 00 od e l0 0 0 00 马0 e 20 00 00 e 40 + e l0 00 00 e 30 e 20 00 00 e 40 ( p d ) 00 0 o0 00 o00o 000d 由f 7 f ，我们可以得到俨户j 由引理2 上式等 f p d ) 7 0o0 000 0 0 oo0 00 0d r + e l e t 00 霹 00 0o 现00 琏 0000 e t0e 20 0000 0000 e 30e l 0 ( 2 5 ) 耻r 胧尸p + 以脒h b t p 妒d d 叩t 阻懈剐：) i1 ，j 凡2 r 豇警埘蚴旧+ 日g ，k 尸卜2r 筹cg 置k h 。) i o日7 ji( +)j 耻- s t 城叫鬟脚1 嗽p l lp 2 2 ) 钏 0 o 由s c h u r 补性质 等价为 ( a + e t c ) 7 p + p ( a + e k ) b t p a t p c + g k 蜀 e 3 p 1 p 1 。1 o 马1p 2 2j + s + c p d d 7 pp bp a l - 7 1 0 0 一s h g l 0 赐 0 e 4 ( c + o k ) 7 研礤 日t 00 哦逐政 - 7 1 + c d d r 0 0 0- s 10 o 0 - s i f 2 6 o ，矩阵y 使得 a x + e y + ( a x + e y ) 7 + s 1 + e d d 7 b a lx 伊+ y 7 g 7x e tx 碍 口7 7 1 0 h 700 a t 0一s 暖磁磁 c x + g yha 一，y j + e d d 7 00 e l x 0 0 - c 10 b x 0 e 4 00- i 0 则系统( 2 1 ) 具有月墨扰动衰减度7 ，且 ( t ) = y x 一1 。( ) 是系统( 2 1 ) 的鲁棒风。 控制律 3 第二章一类带有所有不确定项的中立时滞系 统的比控制问题 2 1引言 本文主要讨论了带有所有不确定项的线性中立时滞系统的鲁棒风。控制问 题。我们利用线性不等式技巧把它等价地转化为线性确定中立时滞系统的也。 控制问题近年来，许多学者致力于中立型微分系统稳定性分析的研究，中立 型微分系统具有理论和实践上的重要意义例如中立型泛函微分方程是输电 线中电压和电流波动的自然模型，许多学者利用各种分析技术，如l y a p u n o v 方 法，特征方程方法和状态方程解的方法，建立了多种中立系统渐近稳定的稳定 性准则【5 - 8 1 ，然而关于中立系统的分析和综合方面的文献却较少，【9 中解决 了线性确定中立时滞系统的矗二和正实控制问题，并发展了相应的控制器设计 方案，但是所研究的系统输出方程没有时滞项m a h m o u d 1 0 】考虑了线性不确 定中立时滞系统的鲁棒月0 控制，并得出了一些可解性的充分条件。【l l 】中研 究了线性不确定中立时滞系统的鲁棒二次性能 1 2 中讨论了基于观测器的线 性中立时滞系统的峨。控制 2 2线性中立时滞确定系统的稳定性分析 考虑系统 ( t ) 一m s 。( t d ) = a x ( t ) + b x ( t 1 ) ( 3 - 1 ) 其中z ( t ) r ”为状态变量，d 和z 是正常数，m ，a 和b 都是适当维数的常矩 阵 引理1 系统( 3 1 ) 渐近稳定的一个充分条件是存在正定矩阵p q ，s 使得下不等 式成立： 1 8 p a + 解p + q + s a t p m p b m t p a q m t p b b t pb t p ms o ，q 0 ，s 0 使得不等式 p a 十a t p + q 十s m t p a b r p c t p d 一碍p m 一0 一b t p f g 7 p m o 则系统( 3 3 ) 具有具有月乙扰动衰减度，y 证明从不等式( 3 4 ) 可以看出 p b m t p b s o e p g d 丁 m t p c 0 0e t 一1 i g t g 一 ， p a 七凳p + q + s a t p m p b m 7 p a qm 7 p b b 7 p- b t p m - s 0 根据引理l 可知系统是渐近稳定的 令y 扛( t ) ) = 扛一m x ( t d ) ) 7 p ( x m x ( t d ) ) + j 五dz 7 ( r ) 日( r ) d r + j ：lx t ( r ) s z ( f ) 打 在零初始条件下，考虑 2 上( 7 - 1 z t ( t ) 。( t ) 一7 w 7 ( t ) ( ) ) 出 则对任意非零的外部扰动”( t ) 工。 o ，+ o o ) ，利用y ( z ( t ) ) 的表达式和零初始条 件，可以导出： = j 了( 7 1 2 ( ) 7 z ( t ) 一，y ( t ) 7 w ( t ) + v ( t ) ) d t v p ( r ) 】 盯( 1 1 2 ( t ) 7 。0 ) 一- r w ( t ) w ( t ) + 矿( t ) ) d t i ，z 7 ( t ) ：( ) 一1 7 ( t ) ( t ) = ( 。7 ( t ) ，( t d ) ，( t - 2 ) 矿( t ) ) 1 1 d 7 d0 ；d 7 ed 7 g 0000 ；e 7 d0 ；矿e；矽g ；g 7 d0 g 7 e ；伊g 一7 7 2 0 x ( t ) 。 一d ) z 0 一1 ) 叫( 亡) y ) ) = 2 ( 茁一m x ( t d ) ) t p ( x m x ( t d ) ) + x t ( t ) q z ( t ) 一x t ( t d ) q z ( t d ) + x r ( t ) s x ( t ) 一x r ( t f ) s z 一1 ) = 2 ( 。一m x ( t d ) ) t p i a x ( t ) + b x ( t i ) + g ( t ) + x t ( t ) q 。( t ) 一x r ( t d ) q x ( t d ) + x t ( t ) s z ( t ) 一x t ( t 一1 ) s z ( t t ) z ( t ) z 0 一d ) ( 一1 ) 叫( t ) 令= p a 七妤p + q + s 一 4 7 p a b t p c t p a t p f 一0 一b t p f c t p m p b m t p b s o p a + a t p + q + s + ；d 7 d a t p m m 7 p a q b t p + ! 。e r d b t p m c t p + ；守d c t p m 尸g i ，f i p c 0 0 p b + i d t e 一f i p b s + ! e t e ；俨e 。( t ) # 一d ) z ( 亡一z ) w ( t ) p g + ：d 7 g m t p c ! e 7 g ；g i g 1 i 枷) 7 。 ) 一7 ”( ) ( t ) + 咖= ( 。7 ( t ) 。r ( t - d ) z r ( t - f ) 矿( t ) ) x ( t ) z ( t d ) z ( t 一：) 叫( ) 根据s c h u r 补性质，由定理2 中的不等式( 3 4 ) 可得n 0 所以 z 7 ( ；z 7 ( t ) z ( t ) - - , w t ( t ) ”( t ) + 矿 ( ) ) ) 出 o 即盯，( t ) z ( t ) d t 0 成立，因此被 调输出z ( t ) l 2 0 ，+ 。o ) 且满足似t ) i 1 2 7 怕( t ) 忆，w ( 0 l 2 【o ，+ o 。) 定理得 证 2 4带有所有不确定项的中立时滞系统的巩。问题 2 1 考虑系统； x ( t ) 一m i c