（光学专业论文）非傍轴部分相干光束传输.pdf

摘要 摘要 随着激光技术的发展，特别是强聚焦激光束和具有大发散角的半导体激光束 的描述、光子带隙晶体和微振腔的非傍轴本征模问题的求解，使人们开始了对非 傍轴光束的传输变换的研究。然而，在强激光技术中，很难遇到理想的完全相干 基横模高斯光束，大多数发出的是部分相干多横模激光束，比较合乎实际情况的 是采用高斯一谢尔模型( g s m ) 光束描述部分相干的多模激光束，在一定条件下，可 以得到比较好的模拟结果。 基于实际工作的需要，近年来，非傍轴部分相干光束的概念被提出，并用 r a y l e i g h 衍射积分法分析了非傍轴( 标、矢量) 部分相干高斯谢尔( g s m ) 模型光 束在自由空间的传输特性，得出了傍轴近似的条件以及远场发散角的渐近值，接着 又有非傍轴部分相干矢量双曲余弦光束以及非傍轴( 标量) 部分相干t e m l l 厄米高 斯( h g ) 光束在自由空间中传输的交叉谱密度和光强分布的研究，它们主要是用 衍射积分法分析了影响非傍轴性的两参数的关系。随后，w i g n e r 分布函数法被引 进用于研究非傍轴光束，建立了w i g n e r 分布函数在非傍轴光束传输中的基础理论。 本论文通过研究对比，发现w i g n e r 分布函数法不但同时描述了空间域和空 间频率域，而且适用范围广，可用于研究非傍轴( 标量、矢量) 部分相干光束的 传输特性，也可用于研究高度非傍轴( 标量、矢量) 完全相干光束的传输特性， 它能将复杂的积分运算简化为代数运算，所以选用w i g n e r 分布函数法来对非傍轴 光束的传输进行研究。 本论文的主要工作： 1 在对w i g n e r 分布函数基础理论研究分析的基础上，运用远场近似条件， 将w i g n e r 分布函数法的矢量远场传输理论进行了扩展，从而得到了关于非傍轴部 分相干光束w i g n e r 分布函数法( 矢量) 在自由空间的远场传输解析矩阵元。 2 为了说明扩展理论的正确性，选取了一种特例光束( g s m ) 光束进行分析验 证，通过对矢量g s m 光束傍轴与非傍轴性的对比，以及远场发散角的分析，证明 了该理论的正确性。 3 非傍轴部分相干t e m l l 厄米一高斯( h g ) 光束虽已有人提出，并用衍射积分 法( 标量) 分析了在自由空间中传输的一般特性。但其远场特性和矢量特性都还没 有分析。所以，本文特别对其进行深入的研究。并说明了引入两参数( 束腰和相 摘要 干长度) 在决定非傍轴部分相干光束的传输特性中起了关键性的作用，对其远场 发散角也给出了详细的分析。 关键词：非傍轴( 标量) 部分相干光束，非傍轴( 矢量) 部分相干光束，w i g n e r 分布函数，远场发散角，束腰和相干长度。 i i a b s t r a c t a bs t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fl a s e rt e c h n o l o g y ，t h et i g h t l yf o c u s e db e a m sa n dd i o d e l a s e rb e a m sw i t hl a r g ed i v e r g e n c ea n g l ea n dn o n - p a r a x i a lr e s o n a t o re i g e n m o d e s ，t h e p a r a x i a la p p r o x i m a t i o nf a i l s p e o p l eb e g a nt or e s e a r c ht h et r a n s m i s s i o no ft h en o n p a r a x i a lb e a m h o w e v e r , i nt h eh i g h p o w e rl a s e rt e c h n o l o g y , i ti sd i f f i c u l tt oe n c o u n t e r f u l l ys p a t i a l l yc o h e r e n td i e g a u s s i a nb e a m ，m o s to ft h e m a lep a r t i a l l yc o h e r e n t m u l t i g a u s s i a nb e a m ，d e s c r i p t i o no fg a u s s i a t r - s c h e l l m o d e l ( g s m ) i sb e t t e rt h a n m u l t i - m o d el a s e rb e a mu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s i nr e c e n ty e a r s ，c o n c e p to fp a r t i a l l yc o h e r e n tn o n - p a r a x i a lb e a m si sp r o p o s e da n d r e s e a r c h e df o rt r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i c ( s c a l a r , v e c t o r ) b yu s i n gt h eg e n e r a l i z e d r a y l e i g h - s o m m e r f e l dd i f f r a c t i o ni n t e g r a li nf r e es p a c e ，s u c ha sg a u s s s c h e l lm o d e l ( g s m ) b e a m s ，n o n - p a r a x i a lp a r t i a l l yc o h e r e n tv e c t o rh y p e r b o l i c c o s i n e ，n o n p a r a x i a l b e a m ( s c a l a r ) o fc o h e r e n tt e m l1h e r m i t e g a u s s i a n ( h g ) b e a m s t h e n , t h ew i g n e r d i s m b u t i o n 丘m c t i o nm e t h o dw a si n t r o d u t e dt os o l v en o n - p a r a x i a lb e a m s ，a n d e s t a b l i s h e db a s i ct h e o r yo ft h ew i g n e rd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n i nt h i sp a p e r ，c o m p a r i s o no ft h et w om e t h o d sw a sd o n ea n df o u n dt h a tw i g n e r d i s t r i b u t i o nf u n c t i o nd e s c r i b i n gt h es p a c ed o m a i na n df r e q u e n c yd o m a i ns p a c ea tt h e s a n l et i m e i th a saw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o na n dc a nb eu s e df o rt h et r a n s m i s s i o n c h a r a c t e r i s t i c so fn o n - p a r a x i a l ( s c a l a r ，v e c t o r ) p a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m s ，a n dc a na l s ob e u s e dt os t u d yt h et r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i c so fh i g hn o n - p a r a x i a l ( s c a l a r , v e c t o r ) f u l l y c o h e r e n tb e a m i tw i l ls i m p l i f yt h ec o m p l e xc o m p u t i n ga l g e b r a s o ，t h ew i g n e r d i s t r i b u t i o nf u n c t i o nm e t h o dw a sc h o s ef o rn o n p a r a x i a lp a r t i a l l yb e a m s t h em a i nw o r k so ft h i sp a p e rf o l l o w sa s 1 b a s e do nt h ef a r - f i e l da p p r o x i m a t i o n , t h ef a r - f i e l dv e c t o r i a lt h e o r yo fw i g n e r d i s t r i b u t i o nf u n c t i o na b o u tt h en o n - p a r a x i a lp a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m si nf r e es p a c ew a s e x p a n d e d t h u s ，f a r f i e l dt r a n s m i s s i o ne l e m e n to ft h ew i g n e rd i s t r i b u t i o n 劬c t i o ni s e s t a b l i s h e d 2 t oi l l u s t r a t et h ec o r r e c t n e s so ft h en e wt h e o r y , as p e c i a l ( g s m ) b e a mi s d i s e u s s e da n dt r e a t e d 雒s o m ei n t e r e s t i n ge a s e s i i i a b s t r a c t 3 t h en o n - p a r a x i a lp a r t i a l l yc o h e r e n tt e m lih e r m i t e - g a u s s i a n ( h g ) b e a m s h a v eb e e nr a i s e d ，a n dr e s e a r c h e dw i t hs c a l a rd i f f r a c t i o ni n t e g r a t i o n b u tt h e i rf a r f i e l d c h a r a c t e r i s t i c sa n dt h ev e c t o r i a lp r o p e r t i e sa r es t i l ln o ts o l v e d t h e r e f o r e ，t h i sp a p e r m a k e sad e e p s t u d yo fn o n p a r a x i a l ( v e c t o r ) p a r t i a l l yc o h e r e n tt e m lih e r m i t e g a u s s i a n ( h g ) b e a m s k e y w o r d ：n o n p a r a x i a ls c a l a rp a r t i a l l yc o h e r e n tb e a m s ，n o n p a r a x i a lv e c t o r i a lp a r t i a l l y c o h e r e n tb e a m s ，w i g n e rd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，f a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l e ，w a i s ta n d c o h e r e n tl e n g t h w 主要术语表 主要术语表 v i i 图索弓 图索引 图4 1 非傍轴部分相干t e m l l 厄米一高斯光束光斑和光强分布图( a ) 厂= 0 0 1 ，正= o 0 1 ，( b ) f = 0 0 1 ，五= 0 1 ，( c ) f = o 0 1 ，f = 0 3 3 1 图4 - 2 非傍轴部分相干t e m l l 厄米一高斯光束光斑和光强分布图( a ) 厂= 0 1 ，正= o 0 1 ，( b ) 厂= 0 3 ，f = o 0 1 ，( c ) 厂= o 5 ，z = o 0 1 3 2 图4 - 3 当参数f 固定时，随参数厂变化的x 轴上的光强分布曲线3 3 图4 4 当参数厂同定时，随参数丘变化的z 轴上的光强分布曲线3 4 图4 5 远场时，发散角随两参数厂一，一变化的曲线图，( a ) 厂= 0 0 1 ，0 2 ，0 6 ，3 4 图5 1 矢量非傍轴g s m 光束在z = l o z o 平面的光强分布图( a ) 职弦l o z a ) 的光强度分布，( b ) z ( x , v , 1 0 z o ) 对应的的等高线图分布，( c 让( 珊1 0 z o ) 纵向光强度分布，其参数为厂= o 0 1 ， ：= o 0 1 4 2 图5 2 矢量非傍轴g s m 光束在z = l o z o 平面的光强分布图( a ) 眠”1 0 z o ) 的光强度分布，( b ) l ( x , y , 1 0 z o ) 对应的的等高线图分布，( c 皿伉男l o z o ) 纵向光强度分布，其参数为厂= 0 o l ， ：= 0 5 4 2 图5 3 矢量非傍轴g s m 光束在产l o z o 平面的光强分布图( a ) 讹 l o z o ) 的光强度分布，( b ) 的掳l o z o ) 对应的的等高线图分布，( c 黼l o z o ) 纵向光强度分布，其参数为 厂= 0 6 ，t = o 0 1 4 3 图5 _ 4g s m 光束当参数- 固定时，随参数，变化的石轴上的光强分布曲线对比4 4 图5 5g s m 光束当参数f 固定时，随参数厂变化的石轴上的光强分布曲线对比4 4 图5 6 矢量非傍轴g s m 光束的远场发散角o ，见，见随参一，一变化的关系曲线图，( a ) 厂= 0 0 1 ，0 2 ，0 6 ( b ) f = o 0 1 ，0 3 ，0 6 4 5 图5 7 矢量非傍轴部分相干h g 光束当f = o 0 1 固定，光强随参数厂变化的对比曲线。( a ) f = o 0 1 ，= 0 0 1 ，( b ) 厂= 0 0 6 ，f = o 0 1 ，( c ) 厂= o 0 7 正= 0 0 1 5 8 图5 8 矢量非傍轴部分相干h g 光束当厂= 0 0 1 固定，光强随参数厂变化的对比曲线。( a ) 厂= o 0 1 ，正= o 1 ，( b ) f = 0 0 1 ，l = 0 2 ，( c ) f = o 0 1f = o 2 1 5 8 图5 - 9 矢量非傍轴部分相干h g 光束在z = 6 0 z o 平面的光强分布图( a ) i ( x , y , 6 0 z o ) 的光强度 分布，( b ) l ( x , y , 6 0 z o ) 对应的的等高线图分布，( c ) l x , y , 6 0 z o ) 纵向光强度分布，其参数 为f = 0 0 1 ，= o 0 1 5 9 图5 1 0 矢量非傍轴部分相干h g 光束在z = 6 0 z o 平面的光强分布图( a ) l ( x , y , 6 0 z o ) 的光强度 分布，( b ) i ( x , y , 6 0 z o ) 对应的的等高线图分布，( c ) l ：( x , y , 6 0 z o ) 纵向光强度分布，其参数 为f = 0 3 ，= 0 0 1 6 0 图5 1 1 矢量非傍轴部分相干h g 光束在z = 6 0 z o 平面的光强分布图( a ) i ( x , y , 6 0 z o ) 的光强度 分布，( b ) i ( x , y , 6 0 z o ) 对应的的等高线图分布，( c ) 厶( j 峨6 0 z i d ) 纵向光强度分布，其参数 v i 图索弓 为f = 0 6 ，正= 0 0 1 6 0 图5 1 2 矢量非傍轴部分相干h g 光束在z = 6 0 z o 平面的光强分布图( a ) i ( x , y , 6 0 z o ) 的光强度 分布，( b ) i ( x , y , 6 0 z o ) 对应的的等高线图分布，( c ) l ：( x , y , 6 0 z o ) 纵向光强度分布，其参数 为f = 0 0 1 ，正= o 3 6 l 图5 - 1 3 矢量非傍轴部分相干h g 光束在平面的光强分布图( a ) l ( x , y , 6 0 z o ) 的光强度分布， ( b ) l ( x , y , 6 0 z o ) 对应的的等高线图分布，( c ) , ( x , y , 6 0 z o ) 纵向光强度分布，其参数为 厂= 0 0 1 ，= 0 6 6 2 图5 1 4 矢量非傍轴h g 光束的远场发散角随参f 一，厂变化的关系曲线图6 2 i x 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 日期：渺7 年乡月? 。日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：么生复笪象 醐：吖引月f 咽 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及国内外发展状况 激光光学是研究激光束在空间传输变换的一门分支学科，现代科学技术的飞 速发展，促使它形成和发展。自从1 9 6 0 年m a i m a n 博士发明了世界上第一台红宝 石激光器后，激光光学就开始了它的飞速发展，因此也推动了相关基础学科和应 用学科的研究进展，这给相干光学的发展带来了新的活力，使相干光学在基础理 论和实践应用两方面都得到了不同程度的发展。 激光束按是否满足著名的抛物型方程( 缓变振幅近似下的波动方程) ，可分为傍 轴光束和非傍轴光束两大类。激光光学早期的研究，主要是考虑傍轴光束( 高斯光 束、高斯一谢尔光束、贝塞尔光束、扭曲的高斯一谢尔光束、复宗量高斯光束、 各项异性高斯谢尔光束等) 通过自由空间、一阶光学系统、各种介质以及光学谐振 腔中传输变换，建立了相应的比较完善的基础理论。 随着激光技术的发展，特别是描述的强聚焦激光束( 束腰宽度为波长的数量 级) 和半导体激光束、光子带隙晶体和稳定腔的非傍轴本征模问题的求解【l j ，使人 们产生了对非傍轴光束传输特性的研究兴趣，1 9 7 5 年l a x 等最先系统地对非傍轴 光束的传输理论进行了研究，在他们的论文【2 】中，详细地阐述了( 在参数序1 时) 用 微扰法处理非傍轴光束传输的理论思想，初步建立起了研究非傍轴光束传输的级 数展开( 修正) 理论。随后，大批相关工作者也涉入这一领域，针对基模和高模高斯 光束以及复宗量高模高斯光束的非傍轴修正解【3 - 5 】进行了分析。建立了研究非傍轴 光束在自由空间以及介质( 非均匀介质，增益介质) 中传输的几种主要研究方法， 如微扰法、角谱法、算子法、虚点源法等。这些研究工作中，t t a k e n a k a 等的研 究是非常值得一提的，在他们的论文【6 l 中，得出了复宗量拉盖尔高斯光束的所有 阶非傍轴修正解，而基模高斯光束所有阶的非傍轴修正解，是以复宗量拉盖尔高 斯光束的所有阶非傍轴修正解的特例形式给出的。从t t a k e n a k a 的这一结论出发， h l a a b s 计算出了厄米高斯光束的所有阶非傍轴修j 下解【7 】，同年h l a a b sa n dt f r i b c r g e 用矩阵公式解出了稳定腔的非傍轴本征模解【5 1 ( 即得到了稳定腔模的所有 阶非傍轴修正解) 。a w u m c h e 在他1 9 9 2 年发表的论文【s 】中给出了标量亥姆赫兹 方程的级数解，这个方程的解是以两个微分算子作用在傍轴波动方程上获得的， 电子科技大学硕士学位论文 后来又将其用于基模高斯光束的研究，得出了所有阶非傍轴修正解的解析表达 式。”w u n s c h e ”算子被w - f o r b e s 等用于准直和聚焦光束的非傍轴修正解的求解【8 】。 r b o r g h i ，m s a n t a r s i e r o 和a p o r r a s 把 w u n s c h e ”算子法用于贝塞尔光束的非傍 轴修正解的求解f l0 1 。最近几年，衍射法，角谱法、虚点法等均被用于处理矢量非 傍轴光束在线性、非线性媒质、波导中的传输问题的研究【i f - 1 3 。 对激光束来说，按光的相干性来分，可以分为完全相干光束和部分相干光束。 一般情况下，激光的基本特性通常是方向性好、单色性好、相干性高。可是，现 有的研究结果显示，部分相干的光源与完全相干光的光源同样具有良好的方向性， 而且能产生与激光束相同的远场光强分布。另外，高相干性会产生干涉条纹，这 一情况导致了光强的分布不均匀，而部分相干光却不会这样，许多实际应用中恰 能满足相应的要求。大家都知道，实践中，激光束不可能是完全相干的，一般是 部分相干光。在文献 1 4 】中还表明，在某种情况下，部分相干光束通过大气湍流时 比完全相干光束通过大气湍流时受到的影响要小得多。在强激光应用领域中，想 要得到理想的完全相干基横模高斯光束是很困难的，大多数是部分相干多横模激 光束，采用高斯谢尔模型( g s m ) 光束来描述部分相干的多模激光束是比较合乎实 际情况的，而且在一定条件下限定下，能到较好的模拟结果【1 3 ，l 习。 在激光束以上两种分类的基础上以及实际应用的需要，2 0 0 3 年，k d u a na n d b l u 提出了非傍轴部分相干光束的概念【1 6 】，并用r a y l e i g h 衍射积分法研究了非傍 轴部分相干高斯谢尔( g s m ) 模型光束在自由空间的传输特性。2 0 0 4 年，yz h a n g a n db l u 引入w i g n e r 分布函数法【l7 1 ，用于研究非傍轴光束，建立了w i g n e r 分函 数在非傍轴光束中的基础理论。自从非傍轴部分相干光被提出以后，先后有非傍 轴部分相干高斯谢尔模型光束在自由空间中传输特性的研究，非傍轴部分相干矢 量双曲余弦光束在自由空间中传输特性的研刭1 8 】，接着又有部分相干t e m l l 厄米 高斯( h g ) 光束被提出并研究标量传输特性【l9 】等。 1 2 课题研究的目的及研究的意义 随着新世纪日新月异的科技发展，空间激光通信技术已成为现代通信技术发 展的热点。而半导体激光器由于具有激光通信的要求指标，特别是量子阱激光器 的问世，使半导体激光器在激光通信中被广为应用【2 0 1 。 然而，完全相干激光束通过大气湍流传输后光束会展宽，而光束的空间展宽 在许多应用方面是一种限制。最近的研究表明，在同样大气湍流下，部分相干光 2 第一章绪论 束受大气湍流的影响比完全相干光束要小得岁1 4 1 。对于强聚焦激光束( 束腰宽度 为波长的数量级) ，半导体激光束( 有大发散角) 和非傍轴本征模谐振腔产生的激光 束来说【2 1 - 2 2 ，傍轴近似的描述已经不能很好地说明其光束特性。近几年来，由于 新型微光学器件，微腔激光器，半导体激光器以及实际应用中的激光技术等科学 研究的发展，激光束在非傍轴领域内的传输得到了相关学者的极大关注【2 3 乏5 1 ，同 时在实际工作中，多模振荡会引起光束的部分相干性【1 3 】。在这两种情况下，非傍 轴部分相干光束的研究被提上了日程，先后有非傍轴部分相干高斯谢尔模型光束 在自由空间中的传输特性研究，非傍轴部分相干矢量双曲余弦光束在自由空间中 传输特性的研究等，但这些研究所选用的方法大都是衍射积分法，或者只是研究 其中的一些特殊( 标量或是近场) 情况，还有些远场及矢量的理论需要进一步的补充 完善，这就是本文要研究的主要目的。 目前情况下，研究非傍轴部分相干光束传输变换的主要方法： ( 1 )r a y l e i g h 衍射积分法 假设部分相干光的源场( 捌) 时的交叉谱密度为w ( p o 。，, 0 0 2 ，z = 0 ) ，则在传输 一段距离z 后的交叉谱密度函数所遵循的r a y l e i g h 衍射积分形式为【2 4 2 6 】： 形( p l ，p 2 z ) ：丢f w ( p o l , p 0 2 , 0 ，e x p i k p ( ：p p k 2 - - r i ) _ d 2 p o l d ：( i - 1 ) 其中，p 。= ( 而。，。) ，p 舵= ( 嘞，) ，p 。= ( 五，咒) ，p ：= ( 屯，耽) ，后= 2 ， 吩= ( _ 一而，) 2 + ( 乃一，2 + 9 2 “2 户，2 当r 五时，吩可展开级数为皿7 之8 1 ： 弛+ 血譬勉 ( 1 - 2 ) 其中，r j = ( 2 + 乃2 + 乃2 ) 足。 由上述公式可知，衍射积分法的应用需求四次积分，运算比较繁杂 ( 2 ) w i g n e r 分布函数法 w i g n e r 分布函数在描述光束时，与几何光学相比，所不同的是，w i g n e r 分布 函数同时描述了光束在空间域中的位置以及相应的频率域中的方向。它表达了空 间频率域中的一个随机信号。 在自由空间中，w i g n e r 分布函数的最终形式为【2 9 】： 电子科技大学硕士学位论文 r o ( ；o ，吼，z ) = 吾z ( 成一妻吼，吼，。) c t 6 ， 其中，= ；c o + y 0 2 + z 2 ) 垤 从w i g n c r 分布函数的最终形式可以看出，w i g n e r 分布函数法与r a y l e i g h 衍射 积分法相比，省去了复杂的积分运算，这也是本论文要选用该方法的主要原因。 1 3 论文内容安排 本论文在非傍轴( 标、矢量) 部分相干光束在自由空间传输的w i g n e r 分布函 数方法的基础理论上，进一步拓展了矢量非傍轴部分相干光束传输的w i g n e r 分布 函数的远场传输理论，并应用该理论，对非傍轴( 矢量) 部分相干光束的特例g s m 光束进行了远场传输特性的研究以验证所得推论的正确性。 在用大功率半导体实验的过程中，我们发现半导体激光器经过光纤藕合后输 出的光强分布图形，是一种厄米高斯分布的( 该光束已有人提出，前面已说过) ， 这种厄米高斯分布，有无数阶组成，为了研究方便，我们先假设是一种比较特殊 的情况t e m l l 厄米高斯光束，并针对非傍轴( 标、矢量) 部分相干t e m l l 厄米 高斯光束在自由空间的传输特性进行了深入研究。 本论文结构如下： 第一章绪论 概括了非傍轴部分相干光的国内外发展现状，研究的目的和意义以及所用的 主要研究理论 第二章w i g n e r 分布函数的理论阐述 介绍了w i g n e r 分布函数的定义，性质，以及应用于非傍轴部分相干光的推导 过程。 第三章矢量非傍轴部分相干光束传输的w i g n e r 分布函数的远场传输理论的 扩展 在第二章的基础上，应用远场近似的条件，及衍射积分公式进一步推导了 w i g n e r 分布函数的远场传输理论。 第四章非傍轴标量部分相干光束传输 用w i g n e r 分布函数法对非傍轴( 标量) 部分相干t e m i l 厄米高斯在自由空 间中的传输特性进行了深入研究。 4 第一章绪论 第五章非傍轴矢量部分相干光束传输 1 非傍轴部分相干高斯谢尔模型光束在自由空间中的传输特性研究。 2 非傍轴部分相干t e m l l 厄米高斯光束在自由空间传输的特性研究。 第六章全文总结与展望。 1 4 本章小结 本章简要概述了本论文的写作目的、意义和国内外的发展现状，以及论文的 总体安排。 电子科技大学硕士学位论文 第二章w i g n e r 分布函数的基础理论 1 9 3 2 年【3 0 】e w i g n e r 把一种函数( 后称w i g n e r 分布函数) 引入到量子力学中， 来描述相空间中的量子力学现象。1 9 6 8 年【3 ，a w a l t h e r 把w i g n e r 分布函数用于 研究光学中的部分相干与辐射问题。1 9 7 8 年【3 2 】，m b a s t i a a s 用w i g n e r 分布函数 去处理光学中的问题。1 9 8 5 年m b a s t i a a s 将w i g n e r 分布函数应用于部分相干光的 研究【3 3 1 ，特别是用于研究傍轴部分相干光束在一阶光学系统中的传输问题，主要 分析了光束的质量因子，光学系统成像质量以及图像识别等，取得了极大的成功。 近几年来，四川大学的吕百达教授及其学生把w i g n e r 分布函数用于部分相干激光 束的传输变换问题，2 0 0 3 年【l6 。，他们又提出了非傍轴部分相干光束的概念，并用 w i g n e r 分布函数法对一些非傍轴部分相干光的传输特性做了研究【1 7 】，主要是非傍 轴部分相干光在自由空间中的传输问题。以下针对w i g n e r 分布函数的基础理论进 行介绍。 2 1 w i g n e r 分布函数的相关理论 2 1 1 部分相干光的描述 用一平稳随机过程e ( p ，t ) 来描述部分相干光场时，该部分相干光在空间时间 域中的互相干函数可定义为【3 4 】 r ( p 。，p ：，一乞) = ( e ( p 。，t t ) e ( p 2 , 乞) ) ( 2 1 ) 其中，r ( p 。，p ：，f ) 表示过程e ( p ，t ) 的互相干函数，( ) 表示系综平均，幸表示复 共轭，p l , p ：表示随机光场所在的空间位置矢量， ，乞表示所处时刻的随机过程。 空间频率域中的功率谱( 又称交叉谱密度函数) 被定义为互相干函数的时间傅立 叶变换，其表示形式为 w ( p ，p 2 ，( - 0 ) = i r ( p i ，p 2 ，f ) e x p ( i o ) r ) d r = ( e ( p ，国) e ( p ：，缈) ) 、。 式中缈为圆周频率，e ( p ，缈) = p ( p ，f ) e x p ( - i 颤o t ) d t 铲1 ，2 ) 除非有特殊说 6 第二章w i g n e r 分布函数的基础理论 明，本论文所有积分一律为从哪到佃，其中交叉谱密度函数是非负、有限厄米 的，满足方程式 w ( p l ，p 2 ，缈) = w ( p 。，p 2 ，) ( 2 3 ) 空间点的光强用交叉谱密度函数表示为 z ( p ，国) = w ( p ，p ，缈)( 2 4 ) 在本论文以下分析过程中，由于时间频率参数不是我们讨论的主要对像，以 后的方程式中将全部略去时间频率参数。 2 1 2 w i g n e r 分布函数的定义、性质 部分相干光的w i g n e r 分布函数根据交叉谱密度函数定义为3 5 3 6 】 m ，q z ) = f 矿( p + 譬，p 一譬，z 唧( 却p ，) d p ， ( 2 - 5 ) 式中f d p = f f 出妙7 ，q = u i + v j ，“，1 ，为五y 方向上的空间频率。由于式( 2 5 ) 的可逆变换性，w i g n e r 分布函数和交叉谱密度同等有效地表述了光场的信息。 w i g n e r 分布函数不仅表述了光场在空间域的性质，也表述了其空间频率的性 质，这种表述与几何光学对光线的表述类似。完全相干光的交叉谱密度函数为 形( p + 譬，p 一譬，z ) = e ( p + 譬，z ) e ( p 一譬，z ) c 2 6 ， 完全相干光的w i g n e r 分布函数的定义为 m 刊= p ( p + 纠f ( p 一譬，ze x p ( 却p ，) d p ， ( 2 - 7 ) w i g n e r 分布函数的性质主要有【3 7 】 ( 1 ) w i g n e r 分布函数和交叉谱密度函数互为傅立叶变换，函数的空间域变量和空 间频率域变量具有相同的地位。在w i g n e r 分布函数结构的方程式中，如果交换两 参数p ，q ，我们就得到原方程式的对偶式。因此，如果原方程式描述了光束在空间 域的性质，则其对偶式描述了光束在空间频率域的性质。 ( 2 ) w i g n e r 分布函数是实函数，即f ( p ，q ，z ) = f ( p ，q ，z ) ，它不是非负函数，不能 满足辐射问题中所有的物理特性，因此，不能定义能量密度函数。尤其是，w i g n e r 分布函数存在着物理上不引人注意的特性，以至于它也许可以取负值。 7 电子科技大学硕士学位论文 ( 3 ) 如果交叉谱密度函数仅在一特定空间域或者一特定空i 司频率域内不等于零，而 在该区外恒为零，那么对应w i g n e r 分布函数具有同样的性质。 ( 4 ) 光束的交叉谱密度在空间域或空间频率域的位移会使w i g n e r 分布函数产生同 样的位移。 w i g n e r 分布函数在空间频率域的积分表示横平面上的光强分布 m ，z ) 2 去胪( p q ，z ) d q ( 2 - 8 ) w i g n e r 分布函数在空间域和空间频率域的完全积分表示横平面上总光强 仁寿i ，f ( p ，q ，z ) d p d q ( 2 - 9 ) ( 5 ) 对两个信号的两个w i g n e r 分布函数中，存在一个重要的关系式 石1 f f f , ( p ，q ，z 渡( p q ，z ) d p d q o ( 2 - 1 0 ) 2 2 标量光场w i g n e r 分布函数的一般传输理论 w i g n e r 分布函数在线性光学系统中的传输关系式： 若z - - o 平面为线性光学系统的输入平面，2 平面为线性光学系统的输出平面， e ( p i , 0 ) 为系统的输入信号，乞( p o9 z ) 为系统的输出信号，则有【3 3 】 e ( p 。，z ) = i 矽( p 。，p f 皿( p io ) d p i ( 2 i i ) 式中，( p o ，p ，) 为系统的点扩展函数，其物理意义是：当输入信号是一个点源 时，其在空间域中系统的响应。p l = x t i + y t j ，p 。= x o i + y o j 分别是输入、输出平面上 的位置矢量，i ，j 分别为x , y 方向的单位矢量，i d n = 叶电咄 对部分相干光来说，其输入输出关系可表示为 形( p o l , p z ) = 渺( p o ，p i 。) ( p 彬p ，：) 彬( p 小p f ：，o ) d p ，。d p ，： ( 2 1 2 ) 式中，彬( p n ，p _ z = 0 ) ，形( p o l p z ) 为光束在输入、输出平面的交叉谱密 度，p 盯= i + 聆j 和p o ，= i + j ，j = ( 1 ，2 ) ，i ，j 分别是x ，y 方向的单位矢量， d p 驴= 咄毗，矽( p o ，p ；) 表示点扩展函数，唪表示复共轭。 将式( 2 1 1 ) 或式( 2 1 2 ) 代入w i g n e r 分布函数的定义式( 2 7 ) 或( 2 5 ) 得 到w i g n e r 分布函数的传输公式 第二章w i g n e r 分布函数的基础理论 f o ( p 。，q o ，z ) = fk ( p f ，q ，o ) k ( p 。，q 。p 咀) d p ，d q ， ( 2 1 3 ) 式中的f o ( p 。，q 。，z ) ，曩( p i , q ，o ) 分别为输入、输出平面的w d f , d q ，= d u ，d v ，k 为系统的光线扩展函数，其表示形式为 k ( p o , q o , p i , q i ) = 1 4 兀f f ( p 。+ 三1p 。，p t + 三1p r ) 矽( p 。一三1p 。，p ，一j 1p r ) ( 2 ，4 ) o x p _ i ( q 。p 。，一q ，- p ，7 ) i d p 。d p ， 式( 2 1 4 ) 表示光线扩展函数，又名双重w i g n e r 分布函数，它是由光学系统的特 性确定的，具有w i g n e r 分布函数的所有性质。函数k 的物理意义：是输入信号的 w i g n e r 分布函数互( p ，q ，0 ) = 万( p p ，) j ( q - q ，) 系统在空间一频率域的响应。 在自由空间中，由标量场的瑞利衍射积分公式【3 6 1 得其相应的点扩展函数为 地，p ，) = 1 0 一汝、1 jz e x p ，：( i k r ) ( 2 1 5 ) 式中七= 孕为波数，彳为自由空间波长，= ( 一t ) 2 + ( 虼一咒) 2 + z 2 ，在，大 于几个波长以外 妒( p 。，p ，) 击三! 兰导要塑堕( 2 1 6 ) ( p 。+ 圭p 。，p ，+ 三p ，) 击三! 兰暑霎查盟 c 2 - - 7 ， 矽+ ( p 。一三p 。，p ，一互1p ；) 一考! 苎旦芝；鱼丝 c 2 - 8 ， 从而 2 9 ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) 电子科技大学硕士学位论文 k ( p o , q o , p i , q , ) ：去睇骂掣 p _ i ( g o _ 可肛7 ) 帆眙 进一步作近似，将上式中的吒一吒展为幂级数【1 4 1 ，：一! 兰二兰! 【兰二兰：! ：! 兰二兰! 【兰，二兰尘 ( 2 2 2 ) ，：一只o _ 二- 、。， 。 r o 将式( 2 2 1 ) 分母中的，用= 0 孑了替换，即得自由空间中的光线扩 展函数为 = 等文掣飞h 掣一_ 仁2 3 ， 将式( 2 2 3 ) 代入式( 2 1 3 ) ，求得w i g n e r 分布函数在自由空间中的传输公式为 c ( p o ，q o ，z ) = j 弘( p j ，q ，o ) k ( p 。，q 。pq ，) d p ，d 吼 = 了k 2 2 2 肛m 膨( 掣一钆h 掣一吼 d p f d 哑 仁2 4 ， = 等z ( 旷知o ，o ) 式( 2 2 4 ) 对部分相干光和完全相干光都成立。它表明：一般情况下，采用适 当的近似，w i g n e r 分布函数在自由空间的传输变换形式极为简单，简单的代数运 算替代了复杂的积分运算，这种描述w i g n e r 分布函数在空间域和空间频率域特 性，与几何光学描述光线的特性类似，这一特性也是w i g n e r 分布函数的优点。 在用w i g n e r 分布函数描述光束在空间域和空间频率的信息时，其传输方程式还 反应出各类非傍轴光束传输的共性。 为了进一步了解w i g n e r 分布函数的远场传输特性，把式( 2 2 2 ) 进一步作远场 近似，即 一吃篷兰k 兰尘亟型业主丘( 2 - 2 5 ) 则可得到远场区域内w i g n e r 分布函数的一般传输公式 1 0 第二章w i g n e r 分布函数的基础理论 如( p o , q o , z ) 一z 一2i 旷如