（运筹学与控制论专业论文）lmi在时滞系统中的应用.pdf

摘要 对时滞系统的研究一直是控制理论研究的热点之一。线性矩阵不等式( l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y - l m i ) 以其易于同系统的性能指标或约束条件相结合的特点， 已成为解决许多 鲁棒控制问题的一个重要方法。 本文主要基于l y a p u n o v 稳定性原理，采用线性矩阵不等式、矩阵分析以及凸规划等 工具，研究用状态空间模型描述的不确定时滞系统的鲁棒控制问题。针对不确定时滞系 统，采用状态反馈控制器或输出反馈控制器，研究其鲁棒稳定性分析和具有鲁棒性能约 束的控制器设计问题，得到相应时滞无关或者时滞依赖结果。主要研究内容包括： ( 1 ) 对于不确定时滞系统，不需要对系统模型进行变换，直接采用新提出的二次型积分 不等式，导出了基于l m i 的不确定时变时滞系统的鲁棒稳定性判据，并据此给出了该系 统的状态反馈鲁棒控制律和动态输出反馈鲁棒控制律的设计新方法。 ( 2 ) 研究了一类不确定时滞系统对于给定的二次型性能目标函数的状态反馈保性能控 制，给出了具有状态时滞信息的保性能控制律的设计方法；研究了当系统的状态不能被 观测或被严重污染时，基于观测器的保性能控制问题，给出了最优动态输出反馈控制律 设计。 ( 3 ) 对于不确定时滞系统的，y 次优如的控制问题，采用l m i 方法，提出了针对不具有 状态时滞信息和具有状态时滞信息的两类，y 次优巩状态反馈控制律设计的新方法：通 过，y 的极小化，给出了系统最优如控制律的设计方法。 对于本文提出的新方法进行了计算机仿真研究，验证了本文方法的有效性。 关键词：时滞系统，线性矩阵不等式，不确定，状态反馈，输出反馈， 保性能控制，如控制 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho nt h et i m ed e l a ys y s t e m sa t t r a c t sc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o ni nt h ec o n t r o l t h e o r yl i t e r a t u r ea l la l o n g l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) h a sb e c o m eav e r yi m p o r t a n t m e t h o dt os o l v em a n yk i n d so fr o b u s tc o n t r o lp r o b l e m sb yc o m b i n i n gw i t hp e r f o r m a n c e i n d e xo rc o n s t r a i n so ft h es y s t e m se 鹪n y b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , a l s ob yu s i n gl i n e a rm a t r i xi 1 1 e q l 】a 】i = c y ，w es t u d ys o m e k i n d so fr o b u s tc o n t r o lp r o b l e mf o ru n c e r t a i nt i m ed e l a ys y s t e m si nd e t a i l s c o n c e r n i n gt h e t i m ed e l a ys y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t i e s ，t h ep r o b l e mo fr o b u s tc r i t e r i aa n dd e s i g nm e t h o d s o fr o b u s ts t a b i l i z i n gc o n t r o l l e ra r ei n v e s t i g a t e db ys t a t ef e e d b a c ko ro u t p u tf e e d b a c k t h e r e s u l t se a t lb ec l a s s i f i e da sd e l a y - i n d e p e n d e n ta n dd e l a y - d e p e n d e n t t h em a i nc o n t e n t so f t h i sp a p e ra r eo u t l i n e da sf o l l o w s ： ( 1 ) ar o b u s ts t a b i l i t yc r i t e r i o nf o ru n c e r t a i nl i n e a rt i m e - v a r y i n gs y s t e m sb a s e do nl m i i s p r o p o s e da d o p t i n gd i r e c t l yt h en e wq u a d r a t i ct e r mi n t e g r a li 1 1 e q a h t yw i t h o u tm o d e lt r a n s f o r - m a r i o n f u r t h e r ，ar o b u s ts t a t e - f e e d b a c kc o n t r o l l e ra n dad y n a m i c - o u t p u t - f e e d b a c kc o n t r o l l e r a r ed e r i v e db yt h ec r i t e r i o n ( 2 ) t h ep r o b l e mo fs t a t e - f e e d b a c kg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i nl i n e a rt i m ed e l a y s y s t e mi si n v e s t i g a t e df o rg i v e nq u a d r a t i co b j e c tf u n c t i o n ，a n dad e s i g nm e t h o do fg u a r a n t e e d c o s tc o n t r o l l e rw i t hs t a t ed e l a yi n f o r m a t i o ni sd e r i v e d w h e ns y s t e m ss t a t ec a nn o tb e o b s e r v e do rd i s t u r b e db a d l yb yn o i s e ，t h ep r o b l e mo fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lb a s e do ns t a t e o b s e r v ef o rt h es y s t e mi sc o n s i d e r e da n da no p t i n l a l ld y n a m i c - o u t p u t - f e e d b a c kc o n t r o l l e r s d e s i g nm e t h o di sg i v e n ( 3 ) a f t e rt h er e s e a r c ho f7s u b o p t i m a l 比c o n t r o lf o ru n c e r t a i nl i n e a rt i m e - v a r y i n g d e l a y , t w ot y p eo f7s u b o p t i m a l 如c o n t r o l l e r sd e s i g n i n gm e t h o d sa r ep r o p o s e dw i t hs t a t e d e l a yo rw i t h o u ts t a t ed e l a yi n f o r m a t i o n f u r t h e r ，a no p t i m a lh o oc o n t r o l l e r sd e s i g n i n g m e t h o di sd e r i v e db yt h em i n i m i z a t i o no fp a r a m e t e r7 c o m p u t e rs i m u l a t i o n sh a v eb e e nd o n ef o rt h ep r o p o s e dm e t h o d so ft h i st h e s i s ，a n d o b t a i n e dr e s u l t ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s so fm e t h o d s k e y w o r d s ：t i m e - d e l a ys y s t e m s ，l m i ，u n c e r t a i n t y , s t a t e - f e e d b a c k ，o u t p u t - f e e d b a c k ，g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ，比c o n t r 0 1 i i 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文 l m 工在时滞系统中的应用，是本 人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的 成果。论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研 究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中明确的方式注明。本声明的法律 结果将完全由本人承担。 作者签名： 盏亟! 尘 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 l m i 在时滞系统中的应用系本人在曲阜师范大学攻读硕士期间，在导师 指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的 研究内容不得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使 用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本， 允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段 保存论文。 作者签名：么盏! ! 覃 作者签名： 络丝! ! ： 导师签名：兰 期 期 日 日 舭勰 曲阜师范大学硕士学位论文 j 第一章绪论 在实际工程应用中，人们一直希望能得到被控对象的精确数学模型。但是，所得到 的对象模型跟实际对象的特性总是存在一定的差距。从某种意义上说，这种差距往往可 以看成是系统模型的一种不确定性。一般这些不确定性并非不可度量的，通常能给出这 些不确定性大小的某种约束，鲁棒控制理论正是用来处理系统模型具有不确定性的有效办 法。另一方面，在实际工业生产中，大惯性环节、传输过程以及复杂的在线分析仪等不 可避免的导致滞后现象的产生，这些滞后特性往往会严重影响控制系统的稳定性以及系 统的性能指标，因此对时滞系统地研究一直是控制理论研究的热点之一。 那么，鲁棒控制究竟是用来解决什么问题的呢? 众所周知，设计控制系统的第一步， 是要了解被控对象的特性，即建立被控对象的模型。模型本质上就是实际被控对象的一 种抽象描述，在实际中，许多不同对象的抽象模型往往是非常相似的，因此控制理论的 研究常建立在这些常见的抽象模型上。然而实际的被控对象是非常复杂的，再加上周围 环境的不确定性，要建立一个准确描述对象特征的抽象模型是不行的，而且随着模型的 复杂化，各模型之间的共性必然会模糊起来，而这种共性正是控制理论研究对象模型的 基础。因此我们所研究并以此为基础的控制器设计的模型只能是实际对象的一种近似描 述，这种近似的来源是多方面的，常见的包括：高阶系统的降阶处理、非线性系统的线 性化、各种信号测量噪声的忽略，还包括对系统有影响但被我们所忽略的输入信号，如 各种干扰信号以及工作环境的变化对系统参数和动态的影响。所有这些近似可以概括为 系统模型的不确定性。显然，我们通过近似模型所设计的控制器在实际中的应用效果会受 其影响，其中影响有多大? 能否对它进行一定的定性和定量分析? 在设计控制器时可否 对某些我们可以估计和度量的系统不确定性作一些考虑? 鲁棒控制正是试图回答和解决以 上问题。它的主要思想，就是如何设计出一个控制器，使得当一定范围的参数不确定性 及一定限度的未建模型动态存在时，闭环系统仍能保持稳定并且满足一定的动态性能品 质。 鲁棒控制理论所研究的内容主要分为两个问题，即控制系统的鲁棒性能分析和控制律 鲁棒综合【1 】。性能分析问题主要研究的是：当系统存在不确定性和外部干扰时，系统的稳 定性和动态性能分析；控制律综合问题主要研究的是：当系统存在不确定性和外部干扰 时，如何设计有效的控制律使得闭环系统具有更强的鲁棒性。近几十年，鲁棒控制理论 的研究一直都围绕这两方面展开，并取得了丰硕的成果。 l m i 在破滞乐统寺的应风 曲阜师范大学顽士学位论文 真正意义上的现代鲁棒控制理论研究始于1 9 7 5 年左右。第一次在论文中明确使 用鲁棒控制这一术语的是1 9 7 1 年d a v i s o n 的论文【2 】。对鲁棒控制理论的奠基产生重要 影响的有两篇著名的文章：一篇是1 9 6 3 年z a m e s i s 关于小增益原理的论文，另一篇 是1 9 6 4 年k a h n a n 4 关于单输入输出系统l q 调节器稳定裕量分析的研究报告。特别 是1 9 8 1 年，i e e e2 1 r a n s a c t i o no na u t o m a t i cc o n t r o l 出版了线性多变量控制系统的 专集，所录的论文主要就是强调将奇异值作为分析多变量系统频域鲁棒性的测度。这 些结果形成了比控制理论的基本框架，经过十余年的发展和成熟，如控制理论已经成 为鲁棒控制系统设计的经典工具。另外，几乎在i e e e 专集出版的同时，系统的奇异值 即如范数的保守性已经引起了重视。1 9 8 2 年i e e ep r o c e e d i n g ，p a r td 组成了题为 o ( 0 ) ：表示q 为正定矩阵( 半正定矩阵) q o ( 0 ) ：表示q 为负定矩阵( 半负定矩阵) l ：薹l ：代表i 刍薹i ，其中x 俨黼，z e 舻m 为对称矩阵，y 舻黼 引理2 1 【黯】( s 出u r 补性质) 分块矩阵 l 易苫l o 当且仅当q 0 ，p m q 一1 胪 0 或者尸 0 ，q m t p 一1 m 0 ，y 0 ，u ：【0 ，7 】一酽，有如下的积分 不等式成立： ( 小班s ) tm ( f ，出) 7 p 酬幽 ( 2 1 5 ) l m l 4 耋时滞系统中的应用 m 巩木 x 宰宰 -，。l 曲阜师范大学顽士学位论文 9 2 2 不确定性的描述 在线性系统的鲁棒稳定性研究中，一般都会遇到几种不确定性的描述： ( 1 ) 范数有界不确定性描述 a a i l 饥，i l 山l l 蚀，i i b l | 竹 仇，劬，7 3 为非负常数。 ( 2 ) 不确定矩阵各分量有界不确定性描述 a a = 0 e 1 ( 1 0 a 1 + o , 2 ( t ) a 2 + + 口。 ) 其中，a ，t = 1 ，m 都是确定的实矩阵，而啦( t ) ，i = 1 ，m 是有界的实标量函数， 且是l e b e s g u eg - 狈l j 的并分别满足 i 啦( 亡) l 吼，o i 0 ，i = 1 ，仇 其中以，i = 1 ，m 都是确定的标量。另外还可以假定不确定参数变化率是有界的且满足 i 叱0 ) l 以，p l 0 ，i = 1 ，m 肫，i = 1 ，m 为确定的标量。 ( 3 ) 不确定性描述满足某种匹配条件 【a 山a b 】= d f ) 【蜀易马】 其中d ，易，易，岛为已知矩阵，f ( 亡) 是未知的时变矩阵且满足，( 亡) f ( 舌) i 。本文的 不确定性主要采用这种方法。 l m i 在时滞系统寺的应用 舭燃 曲阜师范大颧士学位论文 第三章不确定时滞系统的鲁棒稳定性 分析与鲁棒镇定 不确定线性时滞系统的鲁棒稳定性问题，大致可以分为时滞无关和时滞相关两大类， 一般来说时滞相关的保守性较时滞无关的保守性要小，特别是当时滞比较小的情况下。 如何进一步减小时滞相关问题的保守性仍然是当前研究的热点。本章通过引入一个新的 二次型积分不等式，得到一类基于l y a p u n o v 稳定性理论的不确定线性时滞系统时滞相关 鲁棒稳定性判据，据此判据进一步得到了该系统时滞相关鲁棒控制器设计方法。 本章结构如下：3 1 节介绍了不确定线性时滞系统的时滞相关鲁棒稳定性判据；3 2 节介绍了线性无记忆状态反馈鲁棒镇定和具有时滞信息状态反馈控制器的设计方法；3 3 线性时滞系统的动态输出反馈镇定： 3 1 不确定时滞系统的时滞相关鲁棒稳定性判据 3 1 1 问题描述与准备 考虑如下线性不确定时滞系统 渊三东丈笔箍铲札九如q “ ” ( 3 ) i z ) = ( t ) ， 耽【一一o 】 r 叫 其中，x ( t ) 舒为系统状态；时滞d ( t ) 满足d ( 亡) r ，0 c i ( t ) p o ，x 0 ，q 0 ，z n = 瑶，磊2 = 砺，适当维数矩 l m i 在时滞系统中的应飕 黜徽 曲阜师范大颧士靴敞 l l 阵m ，砼，z 1 2 ，以及正实数 0 ，使得如下l m i s g 1 1 g 1 27 - a r xp de 矿 l 幸g 2 27 a 弘0e 硪 船【i 三一rz l x d ，羔， x m y 2 l 幸而1 五2i 0 l 唪幸z 玉i 其中 0 ，q 0 ，则y ( z ) 0 。y ( z ) 沿着系统( 3 1 1 ) 的时间导数为 矿( z ) 2 x t ( t ) p 士( t ) + 丁t ( t ) x 2 ( t ) 一圣t ( s ) x ( s ) 如+ x t ( t ) q x ( t ) ， j t - v 一( 1 一p ) z 2 一d ( t ) ) q x ( t d ( t ) ) 据引理2 4 有 其中 矿 ) t ) 圣 ) 西：降 【 宰 ( 3 1 7 ) l m i 在时滞系统中的应甩 兰缎蔑黧 曲阜师范大学顽士学位论文 西1 l= ( a + a a ) t p + p ( a + a a ) - i - 7 - ( a + a a ) t x ( a + a ) + h + 坪+ r z l l + q 西1 2= p ( 山+ 也) + 7 _ ( a + a a ) t x ( 也) + 也) + m 一砰+ 1 z 1 2 圣2 2= 丁( 山+ 也) t x ( 山+ 山) 一( 1 一p ) q y 2 一谬+ 丁易2 t ( t ) = l ，( t ) x t ( t d ( t ) ) i 因为根据引理2 1 ，矩阵圣 0 等价于毒 0 ，矩阵毒的定义如下： 蚤= 专1 兽2 2 鬟a t g一 + 尸0 。 f c 。【e ed-71x 1 d o 】 蚤= i 木 2 2钾 l + iif ( t ) 【e o 】 i 宰宰 一一 lll r 矿1 + l 砑lf ? ( t ) 【矿p r 0 d 丁】 i - 0j 其中g 1 l ，g 1 2 ，g 2 2 的定义如定理3 1 相同。又因为系统的不确定性满足式( 3 1 2 ) 的匹配条 件，据引理2 。2 。壶 0 等价于蚕 0 ，矩阵墨定义如下 蚕= t 1 萼2 2 兰a t gi一+以p0。p0-t i x1d d 。 t + e 季 笛0 2 蚕= l 木 ：2a i l + 一1liil + ei 砑il 曰i l 掌 牛 一 一iiiiil ol i i 再次应用引理2 1 ，蚕 0 蚕 0 ，矩阵蚕的定义如下： g 1 1 g 1 2 a rp d矿 木 g 船舒0砑 奉奉 一下一1 x 一1d0 宰 - e 10 宰木宰木 一一1 ， ( 3 1 8 ) 对矩阵蚕作适当调整，即得式( 3 1 4 ) 中的矩阵g 。如果l m i s ( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 成立， 则 有- y ( t ) 0 ，国 0 ，对称矩 阵磊1 = 铝，如= 锡以及适当维数矩阵磊2 ，形和正实数e 0 ，使得如t l m i s r 1 27 - 户俨+ 7 馋玎b t g d户矿 i 沈 7p霹0p 暖 卑一f xt 琶dq 幸宰 一日 0 木宰木 一舌， f 又a 1 贾入2 贾 l 奉 历1互2i 0 i 木 木 乞2i 0 ，贾 0 ，国 0 ，对称矩阵 磊l = 磊l ，易2 = 锡以及适当维数矩阵磊2 ，彬，吼和正实数占 0 ，使得如下l m i s 成 立 ir 1 1 i 唪 r = i 母 i幸 r 1 2r p a t + 下舻b t r 2 27 户a ：+ 7 吼b t 年 一t 爻 拳术 瘩 入1 x 五1 木 e d 0 t e d 一琶i 木 a 2 戈 磊2i 0 磊2j p 酽 p 现。 0 0 一琶i 0 。 y ) 沿着系统( 3 3 3 ) 的时间导数为 矿 ( 亡) ，t ) = 2 孟 ) 户主 ) + z t ) q z ) 一( 1 一c i ( t ) ) z t 一d ( t ) ) q x ( t d ( t ) ) ( 3 3 7 ) 又因为系统时滞满足d ( 亡) 7 ，0 c i ( t ) i t l ，所以有 矿( z g ) ，t ) ， ) 皿 )( 3 3 8 ) 其中 皿= 荫+ 冬外国一( 恐) 爿 i宰一l 上一j ul 囝= d i a g qo )t ) = 晦( t ) z ( t d ( t ) ) 】? 矩阵不等式( 3 3 8 ) 是非线性的，我们可以通过以下的方法，提出动态输出反馈控制器 的设计方法。 将矩阵户和它的逆矩阵户一1 作如下的分块 户= u 宰影 ，户- 1 = v 木兰 其中，阢y 研n 是对称矩阵。据户p 一1 = j 有 户 m y r 弘 占品 定义 只= 二舌 足= 瞄别 则有户日= 玛。 定义 d e = b 1 d 。c 2 晓= d 。v + b l q m r 吾c = u id c + nb 。g l 五= u t a v + 虞v + f i r 一u t 虞v + n a m r l m i 在时滞系统中的应用 曲阜师范大学顽士学位论文 对式( 3 3 8 ) 中的矩阵量左右同乘以击d 9 砰厶) 后，可得如下矩阵 面：f - a y + 俨a + o 木c + 霹+ y r q y 旷a a + + d c u + + a 反t + + v 霹r q + qa d u t a d 皿= i 木沪。a + 4 t u + 耳+ j e 7 1 + q di 【 牛奉 一( 1 一p ) q j 根据s c h u r , b 性质有西 0 ，s 0 。 假定系统的状态是可以直接测量的，保性能控制通常采用线性无记忆状态反馈控制律 u ( t ) = k x ( t ) ，为进一步减少系统的保守性，研究了一类具有状态时滞信息的状态反馈律 u = k ( 础) + 仁d 珩) d r ) ( 4 1 4 ) l m l 4 盘时滞累统中的应用 舭缎 曲革师范大颧士学位论文 其中k 舻加是反馈增益阵。使得由控制律( 4 1 4 ) 与系统( 4 1 1 ) 组成的闭环控制系统 ，t 圣 ) = ( a + b k + a a + a b k ) x ( t ) 十( 也+ 也) z 一回+ ( b + a b ) k z ( 下) 打( 4 1 5 ) ，t - d 是保性能的。 定义4 1 考虑不确定系统( 4 1 1 ) ，如果存在一个控制律u + ( t ) 和一个正标量，对所有容 许的不确定性，使得闭环系统渐近稳定并且成本函数( 4 1 3 ) 满足j j ，则，被称为保成 本值，u ( ) 被称为保成本控制律。 4 2 基于线性状态反馈控制律的保性能控制 在得到定理前，我们先做如下假设：假设系统( 4 1 1 ) 完全可控的，即可控对( a + 凡，b ) 是可镇定的，而且系统的状态是完全能观测的，对于存在具有记忆的状态反馈控制 器而言，它是一个必要条件。 4 2 1 不确定线性时滞系统的时滞依赖保性能控制律的设计 定理4 1 如果存在对称矩阵户 0 ，国1 0 ，国2 0 ，适当维数矩阵足以及标量手 0 ， 使得如下线性矩阵不等式成立： t = p r 静se dp 磷+ 萨研 000p 西 0 矽s0霞t 职 一r000 奉一s00 车 一打 0 卑年卑 一琶i o ，q 1 0 ，q 2 0 ，所以y ( z ，亡) 0 。y ( z ，t ) 沿着系统( 4 1 5 ) 的时间导数为 y ( x ，亡) = 2 x r ) p 圣( t ) + z t ( o q l z ) 一x r ( t d ) q 1 z 一功+ d x t ( o q 2 z ( t ) 一2 7 t ( s ) q 2 z ( s ) 如 据引理2 5 有 1a 1 1p ( 山+ 也) p ( b k + & b k ) 矿p ，t ) f t ) a ( t ) = f r ( 亡) i 木 一q 1 o l o ) ( 4 2 4 ) i 木 木 一d _ 1 q 2 j 其中 r ( t ) = p t ) z t ( t - d ) ( f 主- d x ( s ) 幽) r a n = p ( a + b k + a a + a b k ) + ( a + b k + a a + a b k ) t p + q 1 + d q 2 又因为系统的不确定性满足式( 4 1 2 ) ，据引理2 2 和s c h u r 补性质，矩阵a o 等价 于天 0 ，其中矩阵天的定义如下： a = a np 丸p b k p d 幔1 + e 2 k p 奉 一q l 00 砑 掌| - d - 1 q 2 0 ( 易k ) t 木宰幸一s，0 | 幸 奉宰-