（运筹学与控制论专业论文）一类奇摄动方程高阶转点问题.pdf

d i s s e r t a t i o nf o ru n i v e r s i t yc o d e ：10 2 6 9 m a s t e rd e g r e e ，2 0 1 0s t u d e n ti d ：51 0 7 0 6 0 1 0 2 9 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y ac l a s so f s i n g u l a r p e r t u r b a t i o n sf o rs e c o n d o r d e rl i n e a r t u r n i n gp o i n tb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m sw i t hh i g ho r d e ro ni n f i n i t ei n t e r v a l d e p a r t m e n t ：旦曼卫鱼煎塑星堕! q ! 4 坌! h 曼堡垒! i 堡墨 c a n d i d a t e ：h a i b ol u a p r i l ，2 0 1 0 l 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文一类备聂动右程序所爷晟 是在华东师范大学攻读硕玺博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名： 氆缝( 复日期：加f 拜月日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 一美备黝秀桎赢所辛考乏嗣勉 系本人在华东师范大学攻读 学位期间在导师指导下完成的颐，士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管 部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允 许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入 全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版， 采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文幸， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 导师签 本人签名氆缦 皮 劢矽年月f 日 宰“涉密”学位论文府是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 葡缓迪硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 铂禾吗r教授鞯忏绝大学 主席 汪忽鸣尉教援华乐臌觯 多! 买泼 吾 敖援华东施大学 摘要 摘要 具有转向点的奇摄动问题一直是奇摄动理论最丰要的研究对象之一，量 子物理学中的许多问题都属于其中，比如著名的薛定谔方程转点理论是常微 分奇摄动方程渐近理论的一个分支“转点”是这利- 理论的某种例外点，它的精 确定义在一般情况下不是一件平凡的事由于转点的特殊性( 稳定性发牛了改 变) ，对它的分析需要对微分方程解的渐近性质有全部的了解而这一般是很 困难的，因此在微分方程奇摄动理论研究的早期都避免讨论这种情况 本文讨论了一个在碰撞问题非牛顿边界层计算中遇到的由约束场和受重 力场影响的对流扰动耦合而成的衰减平衡向量场动力学方程通过引进新的 参数，该方程可转化而成的复空问里一维的边界层问题，这是一个无穷区间上 二阶线性奇摄动方程高阶转点问题通过渐近匹配法构造了问题的高阶复合 渐近解，然后利刚微分不等式的方法证明了原问题解的存在性并得到余项估 计 关键词：奇异摄动；转点；无穷区问；渐近展开；代数衰减 t h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o nf o r t h es o l u t i o ni sp r o v e d k e yw o r d s ：s i n g u l a r l yp e r t u r b e d ；t u r n i n gp o i n t ；i n f i n i t ei n t e r v a l ；a s y m p t o t i c e x p a n s i o n ；a l g e b r a i cd e c a y 2 日录 第一章 1 1 1 2 1 3 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 目录 引言l 奇摄动理论概述和课题的研究背景1 渐近匹配法简介3 文章结构概述5 无穷区间上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题6 问题的提出6 形式渐近解的构造6 渐近解的匹配1 2 解的1 竽在性1 4 渐近分析1 6 第三章文章小结1 9 参考文献2 0 致谢2 3 3 第l 章 引言 1 1 奇摄动理论概述 第一章引言 奇异摄动方法是。种求解析解的近似解的方法，在非线性振动理论中又 称为小扰动法，从l i n d s t e d t 和p o i n c a r 6 的t 作到现在已经有百年的历史它 的主要思想是将非线性的、高阶的或变系数的数学物理问题的解，用所含某 个小量( 或某些小量) 的渐近近似来表示由于这些近似式中的系数可以由线 性的( 或基本上是线性的) 、较低阶的或常系数的数学物理问题来确定，所以 一般比原问题简单，因此这利，方法成为研究比较复杂的数学物理问题的有力 - t 具，在天体力学、流体力学、固体力学、量子力学、光学、声学、化学、生 物学以及控制论、最优化和数学的基本理论研究方面有着广泛的应用今年 来有关摄动问题的研究十分广泛，并提出了解决这类问题的各种各样的方法 摄动方法的产牛可以追溯到1 9 世纪末期天文学家l i n d s t e d t ( 1 8 8 2 ) 。 c y l d e n ( 1 8 9 3 ) ，b o h l i n ( 1 8 8 9 ) 等人的t 作，他们利用小参数的幂级数米研究 行星的运行问题，这些幂级数虽然是发散的，但却正确描述了客观现象，引 起人们的很大惊异1 8 9 2 年，p o i n c a r 6 证明了这些发散级数是一利- 渐近级数， 从而为摄动方法建立了理论基础2 0 世纪2 0 年代，在量子力学的研究中创 立了w k b 方法；4 0 年代在流体力学的研究l f l 创立了p l k 方法，即p o i n c a r 6 l i g h t h i l l 郭永怀方法；5 0 年代在非线性振动理论的研究中创立了平均化方法： 近年来多重尺度法，边界层函数法，渐近匹配法以及微分不等式理论与对角化 技巧也得到了迅速的发展 对奇摄动理论的研究开始于上世纪五十年代，丰要分为两个学派，欧美学 派主要以o m a l l e y r e ，h o w e s f a 等为代表，利用匹配法，多重尺度法等来构 造渐近解，并以微分不等式给出解的存在性证明及余项估计另一个是俄罗斯 学派，主要以t i k h o n o v a n ，v a s i l e v a a b ，b u t u z o v v f 等为代表，利川边界层 函数法来构造渐近解，并以构造g r e e n 函数、不动点理论给出解的存在性证 明及余项估计其基础性的研究工作是出白t i k h o n o v a n ，考虑了如下初值问 第1 章引言 题 磅= 盹) ， 窘= ，( z ，) ，以 z ( o ，) = z 0 ，y ( o ，p ) = y o ， 其中) ，z 分别为，l ，r n 维未知向量函数， 0 是小参数，而且满足稳定性条件 疋( 乏( f ) ，夕( f ) ，t ) 0 由于口( o ) = 0 ，所以不能j j 3 第l 章引言 边界函数法令外解( 正则部分) 展开式如下 其中 成 f i = 3 f ) ， k = 0 ( 1 2 ) 在t = 0 的邻域令t = f ，并记内解v ( f ，1 ) = “f ，) ，这时方程( 1 1 ) 可写 p 象一y = ， 构造v 的渐近展开式如下： 可得魄( 毋满足a i r y 方程： 其解如下 形一f 收= n ，足( o ) = 0 驴y z ( 9 r 川s ) d s + y l ( 9 f 脚州凡 其中y l ，y 2 是a i r y 函数且y i ( 0 ) = 0 ，当手一时，y i 的指数增大而y i 的指数 减小因此，可得收的渐近展开式为 v k ( o 扩 ，j ( - 射，孝一o o ， ( 1 3 ) j = o 其中 t j 是已知的 我们必须保证有这样的定义域存在：即当x 较小而手较大时，( 1 2 ) 和( 1 3 ) 这两个展开式都有意义然后设历= v ，代入展开式( 1 2 ) ，替换其中的u 3 k ，再代 4 0_ “ c 触 一女3一 o弘 “ f b 矿 。 = 矿 还被推广到偏微分方程中，例如，对一个在边界处有切线的椭圆型微分方程退 化成一阶偏微分方程，该方法在这样的椭圆型微分方程巾已得到了成功应用 它同样应用于三维空间中多连通区域的椭圆问题，描述振动波的拟线性椭圆 型方程及其它问题 。 1 3 文章结构概述 本文共分三章第一章为引言，主要介绍了奇摄动理论的发展及其丰要方 法，随后简单介绍了渐近匹配法第二章为本文的主要部分 在第二章中讨论了一个在汽车碰撞非牛顿边界层计算中遇到的无穷区间 上的高阶转点奇摄动边值问题，首先通过渐近匹配法构造了形式渐近解，然后 运川微分不等式法构造了上下解证明了解的存在性，并得到了余项估计 最后，针对本文的结果和一些不足进行总结，并做了一些探索性的思考， 分析了一些有待进一步解决的问题 5 第2 章无穷区问上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题 第二章无穷区间上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题 2 1 问题的提出 本文讨论了一个在碰撞问题非牛顿边界层计算中遇到的无穷区问上阶 线性奇摄动方程高阶转点问题，文巾【2 1 】将冲击碰撞问题的信息压缩至微分 方程数学模型来研究，从而代替部分关键实验通过f o u r i e r 调和分析，可将边 界层内流吲耦合问题转化为动量守恒方程的一维复空间里正则和奇异摄动问 题来进行数值模拟，在数值求解以外的极限区域上，很有必要讨论渐近方法 由冲击导致的流场中，将应力作用极小化，讨论不稳定性，经傅氏变换可得一 般化二阶常微分方程，其巾流场办( 力= h ，( 力+ i h f ( 力的扰动为 e j i l 7 + ( ，j i z ) 一( f p ，) j i l = 0 ， 边界条件为 h 7 ( 0 ) = - ie x p i a ， ( o o ) = 0 这里p 为扰动增长率；扰动角度口及区问口：【0 ，丌】；x 徉 为了简单起见，分离实部和虚部，我们考虑下面方程 fe y ”+ x 2 y , + ( 2 x e p x 2 ) y = 0 ( 2 1 ) i ) ，( 士o o ) = 0 ，y ( 0 + ) = a ，y ( 0 - ) = b ， ( 2 2 ) 其巾x ，y r ，p 0 ，不妨假设a ，b 0 本文的目的在于对问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 构造形式渐近解，然后运用微分不等 式法构造上下解证明真解的存在性并得到余项估计 2 2 形式渐近解的构造 2 2 1 外解 首先构造外解的形式渐近解： 夕( 撕) = ( x ) ，_ 0 ( 2 3 ) k - - 0 6 一 第2 章无穷区问上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题 一 ：= 把( 2 3 ) 亘 妥代人方程( 2 1 ) n - i 得 y o ( x ) ：了c o ， 工 y 3 ( x ) = 了2 c o + c i + 了c o p ， y 6 ( x ) = 警+ 了2 c l + 万c 2 + 了c 1 p + 丁c o p 2 ， 资 x 3静x0 ，死。+ 3 + 2 巧3 。+ 3 = 夕磊+ p ，死。， ，l 1 由边值条件_ ) ，( o o ) = 0 可得霓( o o ) = o ，甩0 从y 6 ( x ) 的表达式可得c o ：0 冈此由递推关系推得g = 0 ，n 0 ，即 y ( x ，e ) = 0 ( 2 4 ) 2 2 2 网群 ，- 面构造内解的形式渐近解先对( 2 1 ) 做变量替换f = 妄，y ( 手，) = y ( x ，刨 f l - 2 。万d 2 v + 髫2 历d v + ( 2 6 - e 一心1 + 孙尹) 矿：o 根据最小退化原理【2 0 】，要求1 2 a = 口，得到口= i 1 ，即手：t x 由于 一 j f 雪 y o ( z ) 2 詈( 形式上) ，故令内解有如下形式渐近解 ，= u 2 ( d + e ；n l ( 9 + ；( f ) + ( 2 5 ) 把( 2 5 ) 代入( 2 1 1 并比较f 的同次幂 警+ 尹百d v - 2 + 2 4 v _ ：_ 0 警+ f 2 面d v n + 皙圪= 彤，n _ - i 由边值条件( 2 2 ) 得到 v - 2 ( o ) = y ( o ) ，( 0 ) = 0 ，k 一1 7 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第2 章无穷区间上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题 显然( 2 6 ) 有两个线性无关解 y i = e - 譬，蚝玎譬也s ”弋 、 、 图l ：y l ( f ) 与y 2 ( f ) 这样就得到了内解首次近似的通解为： v - 2 = c 一2 y 1 + d 一2 圪 并且可以得到n 2 9 ) 有如下渐近展开式 v - 2 一 d 一2 f 2 h - 2 j f ”，孝一+ o o ， n - - 0 c 2 e - 譬+ d 一2 f 2 j 1 1 2 j f ”，亭一一， ( 2 8 ) ( 2 9 ) 其中h - 2 o = 1 往下求解如下方程 孥+ 尹案+ 咎= 垮， iv n ( 0 ) = 0 ，n - 1 ( 2 1 0 ) 注1 这对线性无关解也可以由合流超几何函数得到( w h i t t a k e r 函数口2 定理2 1 方程( 2 1 0 ) 在【0 ，+ o o ) 上当u 2 ( f ) = y l ( d 时存在指数衰减的解，即 有渐近展开式 v k ( d 一0 ，孝- + ，k 之一2 8 第2 章无穷区问上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题 而在( 一o o ，o 】上当n 2 ( f ) = y 2 ( f ) 时存在非指数增长的解，且有渐近展开式 + 以f 2 h - 2 声一 ，f 一一o o ，七一2 ( 2 1 1 ) j = o 其中以= 高黼电2 惭 证：因为( 2 1 0 ) 所对应的齐次方程有两个线性无关解y l ，y 2 ，由常数变易法在 【0 ，+ o 。) 上，( 2 1 0 ) 的通解为 嘲_ c l y t ( 9 + c 2 仃譬r 时如 考虑到( f ) 将与外解夕( z ) = 0 匹配，冈此在 o ，+ o o ) 上必须寻找满足一 0 皓_ + 0 0 ) 所以取c l = c 2 = 0 ，且当i v n l ( 9 i c n l e 一七- l p 时，有i v n ( f ) i c ，p t 肟这就要求n 2 ( 手) = y l 图2 ：儿l ( 9 ：一和一丁, f 3 ，f 【o ，+ o o ) 在( 一o o ，0 】上( 2 1 0 ) 的通解为 蜥) = c l y l ( d + c 2 y 2 ( 手) 州9 r 咖p 勃，7 时y 2 ( 咖孚州州s 可以得到当l v n l ( f ) i = d ( f 讯。- ) 售一一0 0 ) 时，取 v n ( o ：也( 豹r 巧2 ( 功p 一季却rp s 2 y 2 ( s ) 已孚一l ( 5 ) d s j oj 一* 9 + ” f 之墩 脚 之 擎而 + 妒一玩 触 一 薹， 止+ 玎 f玩 舢 蕞， 恢 第2 章无穷区问上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题 则有i v r ( 9j = d 停鼬) 这就要求u 2 ( 9 = y 2 ( 9 为了得到级数( 2 1 1 ) 的系数，将尹 t ，卢3 。形式代入方程( 2 1 0 ) ，则当 j = o k 一3 j + 2 0 时矗t ，j 可由递推关系唯一确定： 九1 0 = 只h - i ，1 - 0 ，h - i ，2 = 一2 , h o , o = 虿p 2 ，h o , i = o , = 虿p 2 ， ( k 一3 j + 3 ) ( 足一3 ，+ 2 ) h k ，卜l + j i l 女( 七一3 j + 2 ) = p h k i ，j ， k 一1 ，( 2 1 2 ) 为了确定h - 2 + 3 j , j ，将( 9 用g r e e n 函数重新表示， v n ( f ，= 幽圪 一h c 亭，正娩c 咖孚p j 2 - l d s - y 2 ( s f ) 5 p s 2 s ，d 岛 划悱蒜獬电2 ，婀删嘶，= 毛p 揣口 图3 ：儿l ，f ( - - 0 0 ，0 】 同时得到了当f 0 时y ( 9 为渐近序列的存在区问为 i x l f 但 是可以发现当b 0 时，在( 一，0 】区问上所构造的内解无法与恒为零的外解 匹配，故需要引入中间层 2 2 3 中间层 重新做伸缩变换，7 = 虿x ，考虑到外解与内解方程的取法，只能取卢= 一l ， 即，7 = 积( 相当于把无穷区问缩短了) 考虑到u 2 ( 孝) 的渐近展开式，令中间层 1 0 第2 章无穷区间上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题 函数w 有形式渐近解 w = e ；w o ( r ) + 了2 0 w l ( ，7 ) + 了3 2 w 2 ( ，7 ) + 形式代入( 2 1 ) ，得到 叩2 等+ ( 2 叩一啪帅= o ， 7 7 2 争渤一啪愀= 一等，蹦 由于是一阶方程可直接求解，得到 w 02 0 1 7 2 p 聊 于是当m 1 时，即i x i e ， w o 嘞_ 2 ( 1 + 砌+ 字+ ) ， 当蚓1 时，即i x l e - 1 ， 利川常数变异公式可得 w o 一0 帆( ，7 ) = a k r l 。2 p 聊一叩以p 砌fp 一丹吆1 ( s ) d s ， 一 ，一 其中未知常数a t 可在匹配过程r l - 唯确定且有渐近展开式 帆 叩一2 3 否以矿+ a l r - 2 - 3 ( k - 1 ) z 户。c t l ，矿+ + 口t 叩一2z 户。c o , ，矿，i 叩i l ， 【0 ， m 1 ( 2 1 3 ) 当3 k 时，c k ，j 可由递推关系唯一确定： c l ，0 。2 0 ，c l ，1 2 0 ，c l ，220 ， 呦训如，c 2 , i - - - 2 一，z - 譬， ( 一3 k ) c k ，j p c k ，y - i = 一( 1 3 k + j 哆( 歹一3 k ) c k i ，j ， ( 2 1 4 ) 且铲，毛p 端 同时得到了w ( ，7 ，f ) 的渐近序列存在区间为e i x l ，i x l e - i 1 1 第2 章无穷区间上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题 2 3 渐近解的匹配 首先考虑在区问( 一，0 】上： ( 1 ) 先验证中问层w ( ，7 ，) 与内解v ( f ，) 匹配 首先写出匹配原理 a m , 口a n , f v = a n , ( a m , 叶w 其中a m , 叮w 表示对w 在重叠区问中渐近展开后取前m 项，其中自变量用叩表 示因为w ( r t ，e ) 在当，7 0 时的渐近展开区问与v ( f ，) ，f 一一 d o 的渐近展开 区间有重叠部分一j5 一，其中- 1 ， t = 一2 户0 a n , # a m , 口w = a 咐( e 4 j + i 1 每3 7 吼矿) j = o k = o mn = “5 f 3 般z = ok = - 2 mn = f 4 一7 7 母：， 下面证明当l o = 1 时c j , k + 2 = h k j 首先由递推关系( 2 1 2 ) ，( 2 1 4 ) 可得 c k , o = ( 3 肛1 ) ( 3 k - 4 ) 2 l o ，h k ，o - 赤丽 p 七+ 2 1 2 舷 矿 0 叩 “ 一 肼触 = 第2 章无穷区问上- 阶线性奇摄动方程高阶转点问题 表l ：v ，e ) 与w ( r ，e ) 匹配关系前三项 v ( 纠 e - i v _ 2e ；亿le z v - o w ( q ，) w 0f 一；f 2；彤一1 e 2 譬 e 2 叩一22 砌一1 f 2 譬 6 1 4 ，l e - ；2 f 5唯一4 喏一3 e 6 2 r 一50 1 一40 q 一3 e 1 0 w 2 e 一；1 喈一一e ；2 彤一7 e 2 譬f 一6 e l olo 玎一e 1 0 2 p r 一7 e 1 0 譬r 一6 由n 2 ( f ，) ，w o ( r ，) 的渐近展开式有 锄= 可p j 如，嘞= ( j = ( 3 - 1 ) ( 3 _ - 4 ) 2 ， 即有 c k 。02h - 2 ，h k ，02c o ，t + 2 令7 = k + 2 ，盂= 代入( 2 1 2 ) 可得( 将zj l 重新记为j ，七) ( 2 1 5 ) ( j + l 一3 k ) ( j 一3 k ) h j _ 2 一i + h j - 2 ，k ( j 一3 k ) = p h y 一3 j c ， 可以发现该递推关系与( 2 1 4 ) 形式致，而且当t o = l 时有相同的初始迭代值 ( 2 1 5 ) ，故有h j - 2 。k = c k ， 为了使非齐次部分匹配，只需令吼= d 3 t - 2 这样在区间一，x 一口上， v ( f ，e ) 与w ( q ，e ) 渐近匹配匹配关系可由表l 形象的表示 口 ( 2 ) 验证巾间层w ( 叩，e ) 与外解y ( x ，) 在区间( 一，一e y 】上匹配，其中， 一1 由( 2 1 3 ) ，w ( 叩，e ) 0 ，x 0 ，当n n o 时有 i ，l m 嘶a x 】面( ) - 吲r a 帅i n jt o ( ) ) - ，麟) 面( ) 一册丛) ) l 1 ， 1 4 第2 章无穷区问上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题 故蜕( o ) 存在收敛子列，记极限为y 考虑初值问题 j ) ，7 = m ，y ，y ，) 【贝o ) = a o ，) ，7 ( o ) = y ， 由解对初值的连续依赖性及延拓定理，( 2 1 8 ) 的解y = y ( x ) 满足 丝( x ) y ( x ，e ) c o ( 曲， 在【0 ，+ 0 0 ) 上存在，且有y ( + o o ) = 0 ，即满足方程( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 对于( 一0 0 ，0 】同样有类似结果 下面应用引理2 于( 2 1 ) ，( 2 2 ) 首先证明【0 ，+ o o ) 上解的存在性： 取 面。( 力= = a n 2 + ；u l + + e ；( 2 七+ 2 魄 ， 竺( 功= y r 扯+ l = a u 2 + f ；n l + + e ；( 2 七+ 3 y 放+ l ， k 一1 由售) 的积分表达式可得 则有 v z k ( f ) 0 ， v 2 k + 1 ( f ) 0 i _ g o 。= 一a 群f 半魄0 ， 地= - a 胖e 学吆+ l 0 ( 2 1 8 ) 口 显然矾( j ) ，业( 工) 满足引理其他条件，故由引理2 ，( 2 1 ) ，( 2 2 ) 在【0 ，+ ) 上有解 y r ( x ，e ) ，且满足 y 如+ 。y r ( x ，) y 如，x 【0 ，+ ) 因此有余项估计 i ) k ( 工，f ) 一y k ( 工，) l = o ( e 4 + ；) ， 工【0 ，+ o o ) ， n 一2 下面证明( 一o o ，0 】上解的存在性： 1 5 - 鲁 第2 章无穷区问上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题 首先，因为在( 一o o ，0 】上h e 肼0 ，由最大值原理可以得到在( 一o o ，o 】 上解的唯一性取 由( f ) 的积分表达式有n 2 0 ，v _ k e ) 0 ，冈此有 协。= 一尸f n 2 0 ， 也= 一p x j v - ! 0 显然c o 。( x ) ，尘( x ) 满足引理其他条件，故( 2 1 ) ，( 2 2 ) 在( 一o o ，0 】上有解y l ( x ，e ) ， 且满足 y 二2 + e i v - l y l ( x ，f ) v - 2 ，x ( 一o o ，o 】 因此有余项估计 i y ，) 一v _ 2 ( x ，e ) l = d ( e i ) ，工( 一，o 】 若取唑( 功= 0 ，则可以得到0 y l ( x ，e ) 1 1 - 2 ， 工( 一，o 】 注2 如果类似【o ，+ ) 那样构造更高阶的上下解，则不满足西( 一o o ) = 丝( 一o o ) = 0 定理2 4 在区问【0 ，+ o o ) 上，问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的解存在，且有余项估计 l y r ( x ，e ) 一y r , ( x ，e ) i = o ( e 4 + ) ，工 o ，+ o o ) ，n 一2 在区间( 一o o ，0 】上，问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的解存在且唯一，满足不等式0 y l ( 工，) n 2 ，且有余项估计 i ) l ( x ，e ) 一v _ 2 ( x ，e ) l = d ( e i ) ，x ( 一o o ，0 】 2 5 渐近分析 利用得到的结果，我们构造原问题的零次近似 fv - 2 ( o ，一，工o ， 酬耻) ： 嘲“础禹要，。掣， ie ；w o ( 功，xs 一，一1 声 口 丢， 1 6 亿。p + 如 2 亿 n i i = 曲曲，ll 戤 哇 第2 章无穷区间上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题 y 硒( x ，e ) = a p 一妄，工0 当取a = b = 1 0 ，a = 0 3 3 ，卢= 0 0 1 ，e = 0 0 1 时结果如图4 这里需要注意的 二= 八 t 图4 ：l 2 o ，y r o ，= o 0 1 图5 ：= 0 0 0 1 时由于由于精度不够产生的失真 j 图6 ： 是当e 取值很小的时候，如果计算精度不够则在原点附近似乎会出现剧烈颤 动，如图5 其实这是由计算误差造成的，因为 y 2 玎譬也s ， 1 7 第2 章无穷区间上二阶线性奇摄动方程高阶转点问题 为两个指数小的量相除，因此由于受计算精度的限制可能会产牛巨大的 误差另外当利用计算机数值求解的时候，由y 2 ( f ) 的渐近表达式可知当数据 有微小误差时就会造成y 2 ( f ) 在负半轴变为指数增长项，从而一样会产生类似 图5 的现象而事实上当e = 0 0 0 1 的渐近解可见图6 1 8 第3 章文章小结 第三章文章小结 奇摄动理论中的转点一直是个难点问题，主要表现为在转点附近解 态发生变化常用的边界层函数法冈在转点处不满足稳定性条件而失效。 它的解会结合各种不同的方法本文在已有的研究基础上，结合一定物 景，讨论了一类无穷区问上的二阶转点问题，利用渐近匹配法构造出了它 一致有效渐近解 本文丰要运用微分不等式证明了解的存在性微分不等式方法是研 摄动理论所利用的很广泛方法之一，有时可以使证明解的存在性变得非 便但在利用微分不等式时，需要根据原问题来构造相应的上下解，而上 的构造在很大程度上需要经验和尝试具有相当的技巧性 本文虽然构造出了问题的形式渐近解，但还只是初步的结果，对于更 的情形则需要在以后的t 作i | j 继续研究另外，将这种情况推广到更高阶 点问题也是需要继续研究的而对于分数次幂的代数衰减边界层现象则 做了最初步的分析，还需要做进一步的研究 1 9 参考文献 参考文献 【l 】a b v a s i l e v a 奇异摄动方程解的渐近展开【m 】高等教育出版社，2 0 0 8 【2 】倪明康，林武巾奇异摄动问题中的渐近理论【m 】高等教育出版社，2 0 0 9 【3 】章国华，侯斯非线性奇异摄动现象：理论和应用 m i 福建科学技术出版 社，1 9 8 9 4 】g c a r d e r , c p e a r s o n o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，c o r r e c t e de d i t i o n m s i a m ，p h i l a d e l p h i a ，19 9 1 【5 】v eb u t u z o v , n n n e f e d o v as i n g u l a r l yp e r t u r b e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f o ras e c o n do r d e re q u a t i o ni nc a s eo fe x c h a n g eo fs t a b i l i t y , m a t h n o t e s6 3 ( 1 9 9 8 ) ，3 1 1 - 3 1 8 【6 】r c a c k e r b e r g ，r e o m a l l e y , j r b o u n d a r yl a y e rp r o b l e m se x h i b i t i n gr e s o - n a n c e j s t u d a p p l m a t h ，1 9 7 0 ，4 9 ：2 7 7 - 2 9 5 【7 】r e o m a l l e yj r s i n g u l a r l yp e r t u r b e dl i n e a rt w o p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s j s l a mr e v i e w ，2 0 0 8 ，5 0 ：4 5 9 - - 4 8 2 【8 】c h e n g a d v a n c e da n a l y t i cm e t h o d si na p p l i e dm a t h e m a t i c s ，s c i e n c e ，a n d e n g i n e e r i n g m b o s t o n ：l u b a np r e s s ，2 0 0 7 【9 】c h o u ，r w o n g o nat w o - p o i n tb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e mw i t hs p u r i o u ss o l u t i o n s j s t u d a p p lm a t h ，2 0 0 3 ，1 1 1 ：3 7 7 - 4 0 8 【1 0 】r w o n g ，h y a n g o n a ni n t e r n a lb o u n d a r yl a y e rp r o b l e m j zc o m p u t a p p l m a t h ，2 0 0 2 ，1 4 4 ：3 0 1 3 2 3 【11 】r w o n g ，h y a n g o nab o u n d a r y - l a y e rp r o b l e m j s t u d a p p l m a t h ，2 0 0 2 ， 1 0 8 ：3 6 9 - 3 9 8 【1 2 】w o n g ，h y a n g o nt h ea c k e r b e r g o m a l l e yr e s o n a n c e j s t u d a p p lm a t h ， 2 0 0 3 ，1 1 0 ：1 5 7 1 7 9 参考文献 【l3 】a d m a c g i l l i v r a y am e t h o df o ri n c o r p o r a t i n gt r a n s c e n d e n t a l l ys m a l lt e r m s i n t ot h em e t h o do fm a t c h e da s y m p t o t i ce x p a n s i o n s j s t u d a p p lm a t h ， 1 9 9 7 ，9 9 ：2 8 5 31 0 【1 4 】w w a s o w l i n e a rt u r n i n gp o i n tt h e o r y m s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 5 【15 】s e d o l b e e v a ，e a c h i z h a s y m p t o t i c so fas e c o n d o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a - t i o nw i t has m a l lp a r a m e t e ri nt h ec a s ew h e nt h er e d u c e de q u a t i o nh a st w o s o l u t i o n s j c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c sa n dm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，2 0 0 8 ， 4 8 ( 1 ) ：3 0 - 4 2 【16 】y s i b u y a l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h ec o m p l e xd o m a i n ：p r o b l e m so f a n a l y t i ce q u a t i o n s m a m s ，p r o v i d e n c e ，r i 【1 7 】y s i b u y a t h eg e v e r ya s y m p t o t i c si nt h ec a s e so fs i n g u l a rp e r t u r b a t i o n s j z d 够e q u ，2 0 0 0 ，1 6 5 ：2 5 5 - 31 4 【18 】d em a e s s c h a l c k a c k e r b e r g o m a l l e yr e s o n a n c ei nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s w i t hat u r n i n