（运筹学与控制论专业论文）n维耦合格点振子系统的渐近同步性.pdf

! q q 生土漫盘堂亟堂僮迨塞i 摘要 非线性动力学在非线性科学中占有很重要的地位。非线性耦合格点振子模型是 目前被广泛研究的一类空间离散化系统模型。而非线性耦合格点振子的混沌同步问 题一直是近年来研究的热点和难点问题。本文主要研究一类高维耦合格点振子系统 的渐近同步性。 我们首先利用在相空间中引入一个新的等价范数的方法，考虑在d i r i c h l e t 边界 条件以及周期外力作用下，一类n 维非线性耦合格点振子系统的解的渐近同步性， 得到的结论是：如果格点振子系统是有界耗散的并且耦合系数足够大，那么系统的 解之间就会产生渐近同步现象。接着我们又研究了n e u m a n n p e r i o d i c 边界条件下一 类n 维非线性耦合格点振子系统的解的分量之间的渐近同步性，采用的方法是将相 空间分解成两个正交的子空间，然后在其中的一个子空间中引入新的等价范数。得 到的结论是：如果格点振子系统是有界耗散的并且耦合系数足够大，那么系统的任 意解的分量之间就会产生渐近同步现象。同时，文中进一步讨论了耦合系数的界限 及系统的解的任意分量之间的差的上界同m 和n ( m 表示网格大小，n 表示空间维 数) 之间的依赖关系。 关键词： 渐近同步性；格点振子系统；有界耗散；等价范数。 2 1 1 生土鲞盔堂亟堂僮迨塞 a b s t r a c t n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nn o n l i n e a rs c i e n c e t h e n o n l i n e a rl a t t i c e so fc o u p l e do s c i l l a t o r si ss t u d i e dg e n e r a l l y ，a n di t i sak i n do fd i s c r e t e s a p c e * v a r y i n gs y s t e m r e c e n t l y ，t h ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni nn o n l i n e a rl a t t i c e so fc o i l * p l eo s c i l l a t o r si sai m p o r t a n tp r o b l e ma 8w e l la sad i f f i c u l tp r o b l e m i nt h i sp a p e r t h e a s y m p t o t i cs y n c h r o n i z a t i o ni nh i g h - d i m e n s i o n a lc o u p l e dl a t t i c e so fo s c i l l a t o r si ss t u d i e d t h ea s y m p t o t i cs y n c h r o n i z a t i o ni nt h es o l u t i o n so fn d i m e n s i o n a ll a t t i c e so fc o u p l e d o s c i l l a t o r sw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o na n de x t e r n a lp e r i o d i cf o r c e si sc o n s i d e r e d f t r s t l y ，a n dt h em e t h o dw eu s e di si n t r o d u c i n gan e wn o r n l w h i c hi se q u i v a l e n tt ot h eu s u a l n o r mi nt h ep h a s es p a c e w eg e tt ot h ec o n c l u s i o nt h a tt h es o l u t i o n so ft h es y s t e ma x e a s y m p t o t i cs y n c h r o n i z e di ft h es y s t e mc o n s i d e r e di sb o u n d e dd i s s i p a t i v ea n dt h ec o u p l e d c o e f f i c i e n t sa r el a r g ee n o u g ht h e nt h ea s y m p t o t i cs y n c h r o n i z a t i o ni nt h ec o m p e n e n t s o fa n ys o l u t i o no fn d i m e n s i o n a ll a t t i c e so fc o u p l e do s c i l l a t o r sw i t hn e u m a n n p e r i o d i c b o u n d a r yc o n d i t i o ni sc o n s i d e r e d ，a n dt h em e t h o du s e di sd e c o m p o s i n gp h a s es p a c ei n t o t w oo r t h o g o n a ls u b s p a c e s ，t h e ni n t r o d u c i n gan e wn o r mw h i c hi se q u i v a l e n tt ot h eu s u a l n o r mi nas u b s p a c e ，i nt h i sc a g e ，w ep o i n t e do u tt h a tt h ec o m p o n e n t so fa n ys o h l t i o na r e a s y m p t o t i cs y n c h r o n i z e di ft h es y s t e mc o n s i d e r e di sb o u n d e dd i s s i p a t i v ea n dt h ec o u p l e d c o e f f i c i e n t sa r el a r g ee n o u g h m e a n w h i l e ，w ea l s od i s c u s si ft h eb o u n d so ft h ec o e f f i c i e n t s a n dt h es o l u t i o n sa r ei n d e p e n d e n to rn o to nma n dn w h e r emi st h em e s hs i z ea n dni 8 t h es p a c ed i m e n s i o no fl a t t i c ep o i n t s k e y w o r d s ：a s y m p t o t i cs y n c h r o n i z a t i o n ；l a t t i c e so fo s c i l l a t o r s ；b o u n d e dd i s s i p a t i r e ；e q u i v a l e n tn o r m 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文不包含其 他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名：日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：f 司凯日期： 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 动力系统简介 1 1 i 动力系统简介 动力系统( d y n a m i c a ls y s t e m s ) 1 的概念是在2 0 世纪初p o i n c a r d 等人从经典力 学和微分方程定性理论的研究中提出的。动力系统就其最广泛的意义来说足研究系 统演化规律的数学学科 2 - 4 1 ，它源于n e w t o n 研究物体运动动力学过程和状态，广 义的讲，它研究现实问题中状态u ( 位移，浓度，价格等) 随时间t 变化而变化的规 律。例如由力平衡关系建立的汽轮机转子模型和汽轮叶片机振颤模型描述b e l o u s o v z h a b 0 0 n s k i i 反应扩散过程的湍流现象的k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程，描述燃烧过程 中热对流现象的燃烧模型，描述大气对流过程的l o r e n z 方程以及著名的m a x w e l l 方 程组( 电磁) 、s c h r o d i n g e r 方程组( 量子) 、n a v i o r s t o k e s 方程( 流体) 、k d v b u r g e r s ( 流 体) 方程等等【5 】因此研究这样的数学关系，即连续动力系统或离散动力系统对于 弄清平衡态、周期轨道、共振、分岔( b i f u r c a t i o n ) 、吸引子( a t t r a t o r ) 、混沌( c h a o s ) 、 分形( f r a c t a l ) 、对称破缺等有关物理现象的实质，克服实验与工程设计中关键性难 点，有着十分重要的作用 6 ，7 。今天的动力系统大致有微分动力系统、h a m i l t o n 系 统、拓扑动力系统、遍历论、随机动力系统等若干方向。其界限并不严格，相互交 叉很多。 动力系统简单的说来有线性动力系统和非线性动力系统之分，目前绝大多数关 于动力系统的研究都是非线性方面的。非线性动力学的研究是一个非常有趣的问 题。与线性系统相比，非线性系统遵循着复杂的运动规律。在一般情况下，人们不 能靠直觉和简单计算来判断非线性系统的运动特征，显然当系统的维数越高，问题 的研究就变得越复杂。经过长期努力非线性动力学已经取得了很大的成果，尤其是 近几年的努力使人们对于低维的混沌行为有了较深刻理解。因此从当前的文献动态 来看，非线性动力学在理论上已经主要侧重于高维乃至无限维动力学行为的研究。 非线性格点动力系统( l d s s ) 是一类很重要的非线性动力系统。在非线性格点 系统中有一类模型，在这类模型中时间演化与空间移动的关系起着关键的作用阱 广义来说，这些模型描述相互作用的“振子”系统，其中每个振子不仅由它的内部 状态( 用某个“局部相空间”( 通常是欧氏空间) 中的点来表示) 而且还由物理空间 中的位置( 由格点表示) 来描述。每个单独振子的状态的演化可由耦合“邻近”振子 的常微分方程组系统( 连续时间) 或者由局部相空间到自身的映射( 离散时间) ( 仅依 赖于邻近振子) 来描述。 ! ! ! i 生上錾盘堂亟堂僮迨塞! 非线性动力学在近二十年来能够得到迅速发展的一个极为重要的原因是在描述 各类自然现象的动力系统中发现了混沌运动。混沌学的悄然兴起，它体现了确定性 系统具有内在随机性，这种现象产生的内在根源是系统的非线性本质。 1 1 2 混沌动力学 混沌动力学是非线性科学的重要组成部分。二十世纪的科学大事当推相对论和 量子力学，此外唯一可与之相提并论的是非线性混沌理论。所谓混沌是指高度复杂 的、对误差极其敏感的性态。6 0 年代初在结构稳定性研究中发现的s m a l e 马蹄揭 示，复杂性可以与结构稳定性共存。这一重要发现催生了现代的混沌概念。作为非 周期的有序性，? 昆沌无处不在，混沌现象及理论研究是当今举世瞩目的学术热点。 “混沌”是英文c h a o s 的意译，而c h a o s 本身意为杂乱无章，没有规则。混沌学 研究的是混沌中无序之有序，给出混沌普遍遵循着的混沌规律。用混沌学的语言来 讲，混沌主要讨论大量非线性动力学系统的不稳定的发散过程的混沌规律。自1 9 7 5 年l i y o r k e 发表“周期3 蕴含混沌”9 以来，关于混沌理论及应用已有许多成果。 人们从不同的角度对混沌进行定义和刻画，从而推动了混沌理论的发展。例如人们 用倍周期分叉、奇异吸引子、l y a p u n o v 指数，以及对初值的敏感性等来研究和定义 混沌现象。然而每一种 昆沌的定义都具有一定的局限性，使得混沌概念本身就具有 一定的混沌性。 对 昆沌概念是否有统一的数学定义并不重要。已有的许多不同的数学描述，恰 恰表现了这一概念不寻常的魅力。重要的是它的认识论意义。它发现，复杂的并曾 经被认为是不可认识的现象，其实是我们这个世界基本的存在方式，是不可能回避 也无须回避的现实。高度复杂而又可认识一这一或许是思辩的命题正在成为人们 习以为常的生活内容。可以说，混沌与复杂性的观念，是动力系统能够引以自豪地 献给整个科学的礼物。 混沌特性主要有： ( 1 ) 系统的动力学性对初始条件的敏感性；( 2 ) 存在不稳定周期轨迹的稠密集 1 0 ； ( 3 ) 正的l y a p u n o v 指数或有限k o l m o g o r o w - s i n a i 熵( k s 熵) 1 1 ；( 4 ) 连续能 量谱 1 1 ，1 2 ；( 5 ) 非遍历性【1 1 ，1 3 】；( d ) 昆合性( m i x i n g ) 1 3 ；及其它的一些极限性 质。 混沌学本质的研究成果说明极为简单的非线性系统可以导致复杂行为的产生。 经过二十多年研究，对于产生混沌的理论机制基本上已经明确，许多数学结果也已 经建立。 综上，非线性混沌学不但在认识论上有重大的哲学意义，在求解基本问题时有 重大科学意义，而且在研究信息处理、生态环境、医疗诊断、经济发展，科学决策 2 0 0 5 生上瀣太堂亟士学僮论文 3 等问题时，都有重要应用价值【1 4 。例如混沌在信息处理中扮演着越来越重要的角 色。这一方面是由于混沌这种复杂现象具有丰富的内涵，另一方面因受到f r e e m & n 等学者对人脑和动物大脑中的动态混沌的作用研究所取得的实验结果的激励，大量 工作和丰富的实验结果使人们认识到利用混沌实现信息处理的坚实的生物学背景。 正是基于这些试验依据，导致愈来愈多的研究人员投身到混沌动态特征分析及混沌 应用领域中进行研究。混沌及其动力学问题的研究覆盖了自然科学和社会科学各个 领域，它的发展必将影响和引发人们自然观的巨大改变。 1 2 混沌控制和同步 由于混沌现象的奇异性和复杂性至今未被彻底了解，所以人们无法控制它所导 致的振动、不规则的运动及限制各种电子或机械装置的操作范围等不利影响，例如， 破坏激光的稳定性，导致电子电路不正常工作等。另外，由于混沌具有对初值敏感 性的特点，人们将无法预测在一段较长时间内混沌系统发展情况。因此，一般来说 不希望系统中出现混沌。于是人们希望能找到实现混沌控制的方法以便能把混沌运 动控制到所希望的平衡点，周期和准周期状态。1 9 9 0 年o t t ，g r e b o g i ，y o r k e 1 0 1 基于 上述思想，首先提出用参数微扰法来控制混沌，由此激发了混沌控制的理论和实验 研究的蓬勃展开，使混沌控制成为一个新热点。而与混沌控制紧密相关的另一个问 题是混沌同步，混沌同步概念反映了混沌系统之间最简单的一类协作性质，即指起 始于不同初始条件的两个以上的耦合系统经过一定时间后最终达到“步调一致”的 混沌运动状态。 但是对于某些问题，混沌也可以成为系统的一很好特性，如在化学反应及质量 的传递问题中，混沌运动增强了每个反应物的能力，为热或质量的传递等提供了强 有力的机理等。所以控制混沌不仅指稳定或抑制混沌运动，还包括将周期运动变成 混沌运动或增强混沌运动。 历史上对同步的研究可以追溯到1 7 世纪惠更斯( c h u y g e n s ) ，他发现了挂在同 一根管上的两个种摆的完全同步。这以后，同步问题成为在力学、电学、光学等各 个物理学科，以及化学、生物学等多个领域中受到普遍重视的问题，它在自然科学 的许多系统中具有重要的意义。以往同步问题的研究，从对象、方法到同步概念， 大多都是建立在周期运动的基础上。近十几年来，这种研究已经转移到对耦合混沌 映射的同步性问题上。 混沌同步一般可分为四种类型：完全同步( c o m p l e t es y n c h r o n i z a t , i o n ) ，广义同 步( g e n e r m i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ) ，相位同步( p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ) 和滞后同步( l a g $ y n c k r o n i z a t i o n ) 。完全同步是指驱动系统和响应系统的所有状态保持完全致，如 p e e o r a 和c a r r o l l 1 5 1 8 最早提出的同步。广义同步指驱动系统和响应系统的状态在 2 0 0 5 生上瀣太堂殛士学僮论塞 4 某种函数关系下保持一致。相位同步是指驱动系统和响应系统的相位差为一个确定 的常数，滞后同步指驱动系统的响应系统的状态存在一个时间差。两个混沌系统是 否同步，同步的条件是什么，有哪些类型的同步，这些都是新的课题。有很多学者 在数值方面已经进行了广泛的研究。例如：线性耦合的l o r e n z 系统同步性【1 9 ，非 线性耦合映射及在生态学方面的应用【20 ，线性耦合的l o g i s t i c 的分叉的研究等等。 关于连续的线性耦合的混沌系统在理论方面有了一些研究 2 1 ，但是关于离散的线 性耦合映射同步性在理论方面研究的却很少，还有待研究推广。从现有文献来看混 沌同步是目前关于混沌研究的一个新热点，这个问题的解决在保密通信中有潜在的 应用价值。 近年来，基于以下两个原因，时空混沌成为混沌同步研究领域的一个重要内容： 第一，湍流和湍流控制问题在一个世纪以来一直是困扰科学家的难题，而时空混沌 控制和同步的研究则提供了解决该问题的思路；第二，时空系统和低维系统相比， 具有很高的自由度，可以提供更为复杂、更为丰富的版图( p a t t e r n ) ，可以成为大容量 信息载体，对该类系统的深入研究可以对更广泛的领域的实践问题进行理论指导。 耦合振子模型是目前被广泛研究的一类时空系统模型，它是对实际体系的坐标空间 进行离散化，而时间变量保持不变。时空混沌的一种重要的同步方法是反馈方法， 是利用被控系统的输出量来调节自身，使系统达到预期的状态，从而实现混沌系统 的同步。从实际使用的角度，在达到预期目标的条件下，所使用的同步方法越简单 越好，在反馈方法中最简单的方法之一就是变量线性反馈的方法，即采用反馈信号 k ( z 一) 的形式( 表示目标混沌态) 。 1 3 本文主要工作 本文所做工作主要是证明一类n 维耦合耗散的格点振子系统的渐近同步性。总 的来说通过本文的证明表明当格点振子系统中的耦合项的“作用”变强，而每个子 系统对应的非耦合项之间的扰动很小时，渐近同步性( 同步性) 的现象就会发生，并 且系统在周期外力作用下最终是趋于一种周期的运动状态。因此对耦合项和非耦合 项的控制就有着非常重要的作用和意义。这也属于 昆沌控制与同步的范畴，对实践 起着很重要的指导意义。 这里我们所考虑的渐近同步及同步的定义是这样的：设“( t ) ，”( t ) 是定义在t0 。c ( 如r ) 上的两个函数，如果五t - - ，o o i “( t ) 一”( ) l = 0 那么我们就说“( t ) ，”( t ) 足同步 的；如果矗而t 。o o t “( t ) 一”( t ) is ，其中是任意小的正数，即当t _ 0 ( 3 时，“( t ) 和 ”( t ) 之间的差变得任意小，那么我们就说“( t ) ，。( t ) 是渐近同步的。 同步性一直是个热点问题，有很多人对此进行过研究2 2 ，3 1 1 。其中a f r a i m o v i c h 和c h i u 等学者曾经发表过关于格点振子系统的渐近同步性的文章2 8 。3 1 1 ，具体来 2 0 0 5 年上渔太堂亟士学位论文 5 说a f r a i m o v i c h 等研究了d i r i c h l e t 边界条件下及周期外力作用下，一类2 维( 即： n = 2 ) 耦合非线性格点振子系统( 其中 ( u ，也) = ， ( ) ) 的渐近同步性 2 9 】。随后 a f r a i m o v i c h 等又继续研究了n e u m a n n 和p e r i o d i c 边界条件下耦合格点振子系统的 渐近同步性的问题 3 1 ，所采用的方法是引入了两个等价变换，所得结论是如果系 统是有界耗散的并且耦合系数c 1 ，c 2 都足够大，就会发生渐近同步现象。c h i u 等扩 展了 29 中的结论 2 8 】，研究了d i r i c h l e t ，n e u m a n n 和p e r i o d i c 三个边界条件下更 加广泛的一类耦合格点振子系统的渐近同步性，但采用了同 2 9 很类似的方法 在本文中，我们主要研究更加具有普遍现实意义的一类n 维耦合格点振子系 统，在各种边界条件下的解的渐近同步性以及解的分量之间的渐近同步性( 具体定 义见第二章第一节) ，从物理意思上来说振子系统的解的渐近同步性是指不同的初 始状态下整个系统的最终运动的趋同性，而解的分量之间的渐近同步性是指每一个 子系统最终运动的趋同性。同时，受 3 2 中思想的影响，我们使用了一个新的方法， 即在相空间中引入一个新的等价范数，这种证明方法可以大大简化证明过程。 具体而言，本文第二章中我们主要讨论的是d i r i c h l e t 边界条件下如下的n 维非 线性耗散的耦合格点振子系统的解的渐近同步性： 哦+ c l ( a t t ) i + c 2 ( a u ) + k 4 锄+ 。t u = ( “。，讥) + g i ( t ) ，( 1 1 ) 其中“( t ) = ( 。( t ) ) 。肼n r 舻( z 州的定义见第二章第一节) 。c 1 和c 2 称为耦合系 数，相应的c l ( a 也) 和c 2 ( h u ) i 称为耦合项，而如讥，o q u 。，f i ( u i ，砒) 和g i ( t ) 均称为非 耦合项。每一个i zm t l ，对应的( 1 1 ) 的形式我们称之为系统( 1 1 ) 的子系统，所有 的这样的i 对应的子系统构成的整体就是我们这里所考虑的完整的一个振子系统， 我们就把它称为系统( 1 1 ) ( 同样以后出现的类似的情况时我们可以不加说明的直接 的称之为系统和子系统) 。第二章中我们证明出当系统( 1 1 ) 中每个子系统的相应的 非耦合项之间的差别控制在一个很小的范围内，并且当耦合系数变得很大时，其解 就具有渐近同步性；如果非耦合项之间没有差别，系统的解就具有同步性。又因为 系统有一个周期解，所以系统的解的最终运动状态实质上是趋于一种周期态的。在 此基础上很容易的又可以推出其解的分量之间的渐近同步性。我们还进一步得出对 基本的条件( c l ，c 2 ) w ( a + ，矿) ( w ( 。，矿) 的定义见第二章的定理2 2 1 ) 而言，a 4 ，b + 是同网格大小m 和空间维数n 均无关的。而且在我们得到的分别对应于系统的解 ( u ( t ) ，血( ) ) 的两个上界m e c 2 和m e c l 中，常数m 同m 和n 有关，并且随着m 和 n 的增大而增大。 第二章末尾我们还讨论了将一个更加广泛的非线性项 ( “，吐) 代替 ( ”。、皿) 的 情形，这使得系统( 11 ) 更加具有一般性，因为此时 ( u ，也) 从物理意义上而言表示第 i 个节点的摩擦不仅同自身点的速度和位置有关，还同其它点的速度和位置有关。 ! ! ! ! 生土星盔堂亟堂僮监塞 在这种情况下，我们得出的结论是a + 将同m 和n 有关但b + 仍然同? 9 2 和n 无关 第三章我们则主要讨论了n e u m a n n p e r i o d i c 边界条件下一类n 维非线性耦合 格点振子系统的解的分量之间的渐近同步性 讥+ c 1 ( a i 也) i + c 2 ( a 2 u ) + k i i i + o 。嘶= f i ( u ，也) + 吼( t )( 1 2 ) 其中各项符号的具体意义在第三章中有详细介绍。 在第三章中我们研究了n e u m a n n p e r i o d i c 边界条件下n 维耦合格点振子系统 ( 12 ) 的解的分量之间的渐近同步性。所得结论是系统( 1 2 ) 的子系统的相应的非耦 合项之间的差别控制在一个很小的范围内，并且当耦合系数变的非常大时，其解的 任意的分量之间就具有渐近同步性；当系统( 1 2 ) 的子系统的相应的非耦台项之间的 差别为0 ，并且当耦合系数变的非常大时，其解的任意的分量之间就具有同步性； 这里系统( 1 2 ) 中的线性算子a ，和a 2 也比原来同类文章中所研究的范围有所推 广，同时这里研究的非线性项， ( u ，i ) 从一开始就使所考虑的系统具有普遍性。第 三章中所使用的方法是首先将相空间分解成两个正交子空间的和，它们都是线性算 子a ，和a 2 的特征子空间，第一个特征子空间对应。特征值，第二个特征子空间 对应非零特征值。然后我们在第二个特征子空间中引入了一个新的等价范数。通过 这种方法也可以大大简化证明过程，并且这种方法具有可移植性。 我们也在证明系统( 1 2 ) 的解的渐近同步性的基础上进一步指出对基本条件 ( c 】c 2 ) w ( a + ，b 8 ) ( w ( a + ，b 4 ) 的定义见定理3 2 1 ) 而盲，两个常数矿，扩均同m 和n 无关，并且在得到分别对应于系统的解( “( t ) ，吐( ) ) 两个上界m u c 2 和m e c 1 中，常 数m 同m 和n 有关，并且随着 。和n 的增大而增大。 2 0 0 5 年上海大学硕士学位沦文 7 第二章d i r i c h l e t 边界条件下n 维耦合格点振子系统的解的 渐近同步性 2 1n 维耦合格点振子系统 本章我们主要考虑如下的n 维耦合格点振子系统的渐近同步性 哦+ c 1 ( a 也h 十c 2 ( a ”k + 南。如+ n 。啦= ( 地，吐。) - f 玑( ) ，( 2 1 1 ) 其中i = ( i l ，2 2 ，i n ) 。z 嚣，z 鼍= z “n 1 茎i t ，i 2 ，一、i n 仃i ) ，“= ( 札。) 。z 袅，也= ( 1 “) 。z * ，k 。 0 ，n 。，c - ，c 2 均是常数，虮( t ) 是连续的t 一周期函数， ( “。，d 。) c 1 ( r ，r ) ， ( 0 ，0 ) = 0 。 a 是空间r ”中自伴的正定线性剪子，由自伴线性算子及正定线性算子的性 质我们知道a 只有正实数特征根。我们可以把a 的所有特征值重排如下 0 0 ，啦，c 1 ，c 2 均是常数， 虮( t ) 是连续的t 一周期函数，f i ( u i ，讥) c 1 ( r x ，r ) ，f i ( o ，0 ) = 0 。 a 是空间r ”中自伴的正定线性算子，由自伴线性算子及正定线性算子的性 质我们知道a 只有正实数特征根。我们可以把a 的所有特征值重排如下 0 t 1 时，u ( t ，r ) y b ，那么我们就说( 2 1 3 ) 在w ( a ，b ) 中是有界耗散的 让”表示( 2 1 3 ) 的p o i n c a r d 映射，它把解在t = t 时刻的值映射到t = r + t 时的值如果( 2 1 3 ) 是有界耗散的，那么一定存在着一个”的全局吸引子( 记为 a t l , c 2 ) 也就是说，a 。是一个紧的不变集，使得任意有界集的u 一极限集属于 a 。【5 , 3 3 ，3 4 ，这种情况下可以推出在a 。上存在着”的一个不动点显然，这个 不动点确定( 2 13 ) 的一个t 周期解，我们把这个解记为( “+ ( t ) ，d + ( ) ) 我们给出如 下假设 ( h ) 存在着两个同m 和n 无关的正常数a o ，b o 使得停剐在w ( a o ，b o ) 中是有 界耗散的 对r ”中的任意的两个元素“，”，定义如下的双线性形式： mn ( “， ) = u i v i ，l = 、( u ，u ) ( 2 14 ) t = l 显然双线性形式( - ，- ) 是一个内积。我们把赋予内积( ，) 和范数”| | 的r “空间仍 然记为r 州1 ， r = ( r ，( ，) ，” 那么r “是一个h i l b e r t 空间 对于振子系统的任意两个解( u l ( t ) ，饥( t ) ) 和( “2 ( t ) ，吐2 ( t ) ) 而言，如果4 1 ( ) 与 u 2 ( t ) ，也l ( t ) ) 与e 2 ( t ) ) 均是渐近同步的，我们就说该系统的解是渐近同步的；振子 系统的任意一个解( u ( t ) ，也( t ) ) 而言，如果“( t ) 的任意两个分量是渐近同步的，d ( t ) 的任意两个分量也是渐近同步的，那么我们就说该系统的解的分量是渐近同步的 在以下的几节中，我们将证明在假设( h ) 成立的条件下，系统( 2 1 3 ) 的解是渐 近同步的，同时解的分量也是渐近同步的。我们也会给出一个具体的属于( 2 1 1 ) 范 畴的系统的例子，该系统是满足有界耗散的性质的 2 2主要结论 定理2 2 1 在假设rh j 成立的条件下，存在着两个正常数a + ，b + 使得对任意的 ( c l ，c 2 ) w ( 0 4 ，b 4 ) 和任意的有界集vcr “xr ，存在正常数m ，只要系统 ! ! ! 生土塑太堂亟堂僮途塞! 偿j 圳的解( “( t ) ，也( t ) ) 的初值属于y ，那么这个解就满足下列不等式 1 i “8 u p t - + c 。i l u ( 。) 一“+ ( t ) l l 兰m c 2 ， ( 2 2 1 、 l i ms u p t - + 。1 i 也( t ) 一i + ( t ) | | 兰m e c 1 ； 同时有 忖( 。) 1 1 m ( 6 + 圳m ) 。2 ， f 2 2 2 1 怕+ ( t ) 1 1 m ( e + 1 9 1 m ) c 1 ； 弄口 l i ms u pi u i ( t ) 一呦( t ) i 2 m ( e + l g l m ) c 2 ， _ + 。 ( 2 23 ) l i ms u pl 矗。( t ) 一d j ( t ) i 2 m ( e 十i g t m ) i c l ， i ， 其中旧k ”叫嘉。赢引砷表示实数中的绝对值。 由( 2 21 ) 我们注意到如果c 。，c 2 任意大，那么u 与矿，i 与i + 都是渐近同步 的，即系统的最终运动状态是接近周期态的。在此基础上不难推出对于系统( 2 1 1 ) 的任意两个解( “1 ( t ) ，n 1 ( t ) ) 和( “2 ( t ) ，e 2 ( t ) ) ，“1 ( t ) 与u 2 ( t ) ，也1 ( t ) 与也2 ( t ) 也都是渐 近同步的，即系统( 2 1 1 ) 的解是渐近同步的。如果e = 0 那么u 与“+ ，i 与都 是同步的，同理可以推出系统( 2 1 1 ) 的解是同步的。由( 2 , 2 3 ) ，我们又可以看到如 果c ：c z 任意大，那么系统( 2 1 1 ) 的解的分量是渐近同步的；如果e = 0 ，那么系统 ( 2 1 1 ) 的解的分量是同步的。 由( h ) 可知存在着正常数g 1 ，g 2 使得对任意的( 钆c 2 ) w ( a o ，b o ) ，初始值在y 中的( 2 1 3 ) 的任意解( “( t ) ，血( ) ) 的分量都满足 “。( t ) i g 1 ，协( t ) i g 2 ，( 2 2 4 ) 由( 2 12 ) 和( 2 2 4 ) ， l 民lsl k 一i i 砒1 + l a o i l l + i 吼( t ) 一g ( t ) i 嘉，邑l b 咄蚓+ 而1 ，邑b a 州u 嘉，蠹姒旷鲥圳陋。) sg 2 e + g i g + e = 1 ， 其中k 1 = g l + g 2 + l 同m 和n 无关。 以下我们总假设( c 1 ，c 2 ) w ( a o ，b o ) 并且解的初始值总是在y 中。 2 q q 生土瀣盔堂亟堂僮途塞 ! ! 2 3 定理2 2 1 的证明 我们在空间r 时中引入一个新的内积和范数。对r 仇“中的任意两个元素玑 我们定义如下的双线性形式： ( ( u ， ) ) = ( 托2 i e ( c l a + k i ) + c 2 a + a i ) u ， ) ，l i u 1 2 = ( ( u ，u ) ) ， ( 2 3 1 ) 其中j 是r 胪中的恒等映射，是一个正常数那么我们就有如下引理： 引理2 3 1 存在着0 1 0 ，b 4 0 使得对任意的( e l ，c 2 ) ( 。1 ，b 4 ) ，存在着e 0 使得( ( ) ) 和”i i z 分别是r 彬中的内积和范数，并且”2 同”| | 在r m “中是等 价范数。 证明：对v 0 s s m “一1 ，令 6 = c l a s + 七( o ) 吼= c 2 a s + d ( 2r i o ) 令 b + = m a x b o ，2 k ，( 2 32 ) 和 。l ： k v 伍a a o ) ：a o ；眦3 1 【一2 a ) , o ：c l 0 、 那么对任意的( c 1 ，c 2 ) w ( a l ，b + ) ，可以推出当o z 0 时 2 c 2 a 。c 2 s + a l a o c 2 s + o = 仉! 生， 和 ；一4 。= c ； ；+ 2 c l 。+ k 2 4 c 2 a 。一4 a c a ：一4 a + 2 c 1 s k 一4 c 2 s 刈2 * 2 。2 - - 4 0 + 4 c 2 a s ( 朵。) 4 c 2 k ( 辈一1 ) 独。 而当d 0 时 z 出m z n 孙警+ 警+ n 譬， 和 ；一4 卵s = c a ；+ 2 c 1 s k + 七2 4 c 2 5 4 a 2 c l a s 女一4 c 2 ) 、8 4 ( 执( 嘉_ 1 ) 独：a 。( 嬖一1 ) o ；q 堕生土漫盔堂亟堂僮迨塞! ! 综上可得对任意的( c 1 ，c 2 ) ( 。1 ，b + ) 总有 2 c 2 k 仉丁c 2 a s2 o ，( 2 3 4 ) 和 g 一4 r 。 0 ( 2 3 5 ) 设 h s ( z ) = 2 一岛z + r s ， 由( 2 3 5 ) 可知方程h s ( z ) = 0 一定有两个不同的解，并设z 。是其中的最小解，也就 是 一学( i r s ，警) s 删 令 。m2 。m i n ； 。s ) ， 并令 52 t ， 那么由( 2 3 ，6 ) ，便可得到 o t a * b a o k 3 ， ( 231 7 ) 因此我们可以推出 ( g ( 妒) ，母) e u l l 妒l l 刍一e l i z l l 2 一( f t ( 币) ，妒) f 舯i ；+ 舢1 2 一丽2 k 3 z 23 1 8 由c 1 ，k ( a ( a ) ) ，均为正数且k a o ，再经过基本的运算可以推知 卺=糕装=iaocl k ，( 2 s 已 扎+一0