（运筹学与控制论专业论文）不确定时滞系统的鲁棒预测控制(1).pdf

鲁东大学硕士学位论文 摘要 在实际工业过程中，由于传输、测量等因素的影响，时滞现象普遍存在时滞特性 常常会对控制系统的稳定性以及系统的性能指标产生严重影响同时，由于实际系统的 复杂性以及工业环境中各种变化因素的影响，用来描述被控系统动态特性的模型往往具 有某种不确定性因此，对于不确定时滞系统的研究具有更加实际的意义 本文在预测控制理论已有研究成果的基础上，基于l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩 阵不等式( l m i ) 方法，研究不确定时滞系统的鲁棒预测控制问题针对具有范数有界不 确定参数或多面体不确定参数的不确定时滞系统，提出了状态反馈或输出反馈鲁棒预测 控制器的设计方法，并分析了闭环系统的可行性和渐近稳定性，得到相应的时滞无关或 者时滞相关性条件本文主要从以下几个方面对不确定时滞系统的鲁棒预测控制问题进 行了初步的探讨： 1 在应用l m i 的基础上。提出了多重输入时滞不确定系统的状态反馈鲁棒预测控 制问题通过在线求解无穷时域二次型性能指标下的“最小最大优化问题，设计状 态反馈鲁棒预测控制器，得出一组分段连续的状态反馈控制序列，并给出了闭环系统的 可行性和渐近稳定性分析 2 采用l m i 方法，研究一类范数有界不确定时滞系统的输出反馈鲁棒预测控制问 题针对具有时变参数的状态不可测系统，设计输出反馈鲁棒预测控制器并基于预测 控制的滚动优化原理，得出一组分段连续的输出反馈控制序列，给出分段连续的闭环系 统表达式，分析了闭环系统的可行性和渐近稳定性 3 对于连续时间多面体不确定时滞系统，引入线性变换，运用l m i 方法解决系统 的时滞和不确定性问题，给出新的鲁棒性能指标上界和系统稳定的充分条件，并通过求 解l m i 凸优化问题锝到分段连续的状态反馈控制序列，证明了优化闯题的可行解可以 保证闭环系统渐近稳定 4 基于范数有界不确定时变时滞系统，设计保性能鲁棒预测控制器运用l v i i 方法， 将无穷时域“最小最大”优化问题转化为线性规划问题求解，降低了在线计算的复杂 性，并且初始时刻的可行解能够保证闭环系统渐近稳定 关键词：鲁棒预预4 控制，线性矩阵不等式，时滞系统，稳定性 鲁东大学硕士学位论文 a b s t r a c t ni sw e l lk n o w nt h a tt h et i m e - d e l a yc a nb ef o u n di nt h em o s to fi n d u s t r i a lp r o c e s s e s o w i n g t ot h ea c t i o n sf x o mt r a n s m i s s i o n , m e a s t u a n ds oo n , a n do f t e nr e s u l t si nt h ei ns t a b i l i t y a n dp o o rp e r f o r m a n c e m e a n w h i l e , t h em o d e l , w h i c hi su s e dt od e s c r i b et h ed y n a m i c so f c o n t r o l l e ds y s t e m , a l w a y sh a ss o m eu n c e r t a i n t yd u et ot h ec o m p l e x i t yo fp r a c t i c a ls y s t e m s t h e r e f o r e , m o r ev a l u e sc a nb eo b t a i n e df r o mt h er e s e 甜c hi n t ot h ed e l a ys y s t e m sw i t h u n c e r t a i n t i e s b a s e d0 1 3t h ee x i s t i n gt h e o r e t i c a lr e s u l t so np r e d i c t i v ec o n t r o lt h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h e s t u d yo fr o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o lf o ru n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m s t oa c h i e v et h i sg o a t , t h e r e l e v a n tt h e o r ya n da p p r o a c h e s ，s u c h 笛l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e so m a 3a n dl y a p u n o v s t a b i f i t yt h e o r y 黜e m p l o y e di nt h er e s e a r c hw o r k t h ed e s i g nm e t h o do fs t a t ef e e d b a c k0 1 o u t p u tf e e d b a c kr o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o l l e ri sp r e s e n t e df o ru n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m s 甬巾hn o r m - b o u n d e do rp o l y t o p i np a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s i na d d i t i o n , t h er o b u s ts t a b i l i t ya n d f e a s i b i l i t y o ft h e c l o s e d - l o o ps y s t e m s a r e a n a l y z e d a n dad e l a y - i n d e p e n d e u to f d e l a y - d e p e n d e n tc o n d i t i o ni so b t a i n e d w ei n v e s t i g a t ei n i t i a l l yt h er o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o lo f u n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m sa sf o l l o w s ： 1 t h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a t ef e e d b a c kp r e d i c t i v ec o n t r o li sp r e s e n t e df o rm u l t i i n p u t d e l a yu n c e r t a i ns y s t e m si nt e r m so fl m im e t h o d s b ym i n i m i z i n gt h ew o r s t - c a s el i n e a r q u a d r a t i co b j e c t i v ef u n c t i o n , t h es t a t ef e e d b a c kp r e d i c t i v ec o n t r o l l e ri sd e s i g n e da n da p i e c e w i s ec o n s t a n tc o n t r o ls e q u e n c ei so b t a i n e d t h er o b u s ts t a b i l i t ya n df e a s i b i l i t yo ft h e c l o s e d l o o ps y s t e m sa 托g u a r a n t e e db yt h ep r o p o s e dd e s i g nm e t h o d 2 t h ep r o b l e mo fr o b u s to u t p u tf e e d b a c kp r e d i c t i v ec o n t r o li ss t u d i e df o rd e l a ys y s t e m s w i t hn o r m - b o u n d e du n c e r t a i n t yi nt e r m so fl m im e t h o d s t h e nt h er o b u s to u t p u tf e e d b a c k c o n t r o l l e ri sd e s i g n e df o rac l a s so fs y s t e m sw i t hi m m e s u r a b l es t a t ea n dt i m e - v a r y i n g p a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s b a s e d0 1 1t h ep r i n c i p l eo f m o v i n gh o r i z o no p t i m i z a t i o n , ap i e e w i s eo f c o n t i n u o u so u t p u tf e e d b a c kc o n t r o ls e q u e n c ei so b t a i n e d i ti ss h o w nt h a tt h er e s u l t i n g c l o s e d - l o o pi sf e a s i b l ea n da s y m p t o t i c a l l ys t a b l e 3 al i n e a rs t a t et r a n s f o r m a t i o ni sp r o p o s e dt oc o n t i n u o u s - t i m ep o l y t o p i eu n c e r t a i n t i m e - d e l a ys y s t e m s b a s e do nl m im e t h o d s ，t h ep r o b l e mo fp a r a m e t e ru n c e r t a i n t ya n d t i m e - d e l a yi si n v e s t i g a t e d a nu p p e rb o u n do nt h er o b u s tp e r f o r m a n c ei n d e xi sp r e s e n t e d 鲁东大学硕士学位论文 b a s e d0 1 1t h el y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n t h e nap i c c w i s eo fc o n t i n u o u ss t a t ef e e d b a c k c o n t r o ls e q u e n c ei so b t a i n e db ys o l v i n gao d n v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e ms u b j e c tt oan u m b e ro f l m i f e a s i b i l i t yc o n s t r a i n t s f e a s i b l es o l u t i o n so f o p t l m i z a t i o np r o b l e mg u a r a n t e e sc l o s e d - l o o p s t a b i l i t y 4 ar o b u s tg u a r a n t e e dc o s tp r e d i c t i v ec o n t r o l l e ri sd e s i g n e df o rac l a s so fs y s t e m s 谢t h n o r m - b o u n d e du n c e r t a i n t i e sa n dt i m e - v a r y i n gd e l a y b a s e do nl m im e t h o d s ，t h er a i n - m a x o p t i m i z a t i o np r o b l e mo f i n f i n i t eh o r i z o ni sf o r m u l a t e dt h el i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m t h i s l e a d st oan o t a b l er e d u c t i o ni nt h ec o m p l e x i t yo fo n l i n ec o m p u t a t i o n c l o s e d - l o o ps t a b i l i t yi s g 咙啪t e e dd e p c - n d i n g0 1 1t h ef e a s i b l es o l u t i o n sa tt h ei n i t i a lt i m e k e y w o r d s ：r o b u s tp r e d i c t i v ec o n n o l , l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，t i m e - - d e l a ys y s t e m s ， s t a b i l i t y 鲁东大学学位论文原创性声明和使用授权说明 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 储躲自孑批吼坤年月。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权鲁东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“，”) 作者签名：孑蚴日期： 导师签名：三1 彩毕醐： 年z 月伊日 年月5 日 鲁东大学硕士学位论文 1 1 研究的目的及意义 第一章绪论 由于变量的测量、物质及信号的传递等因素的存在，时滞现象普遍存在于电子、机 械、金属、化工，生命科学以及经济与管理等各种实际系统中，在通常情况下，时滞对 系统的影响非常显著，它的存在往往使系统的性能指标下降，甚至造成系统不稳定例 如在航天领域中对宇宙中的航天飞机或宇宙飞船的控制信号，一秒钟的时间滞后也会对 航天飞机或宇宙飞船的滞后大系统产生很大的影响 预测控制是近些年发展起来的一类新型计算机控制算法由于它适用于不易建立精 确数学模型且比较复杂的工业生产过程，所以它一出现就受到国内外工程界和控制界的 重视，并已在石油、化工、冶金、机械和电力等工业部门的控制系统中得到成功的应用对 于时滞系统预测控制问题的研究己取得了很多研究成果【1 ，2 j 川 在实际系统中，由于建模误差以及系统工作环境的变化都会带来不确定性因素，不 确定性会破坏系统的稳定性和降低系统的性能，而系统的不确定性是不可避免的 在预测控制得到成功工业应用，并有显著发展的同时，有关预测控制的理论研究仍 落后于工业应用实际【5 1 通常预测控制是通过反复在线求解一个有限时域优化问题来实 现，然而由于实际系统的不确定性，有限时域的开环优化并不能保证系统的闭环稳定 性鲁棒控制是一种分析和处理具有不确定性系统的控制理论，将鲁棒控制的一些方法 引入到预测控制中，在预测控制的框架内处理模型的不确定性，使受控系统在满足可行 性条件下达到渐近稳定，这种方法融合鲁棒控制对不确定性的处理方法和预测控制的滚 动优化思想，形成了一类具有良好的鲁棒性和可行性的鲁棒预测控制算法本文研究不 确定时滞系统的鲁棒预测控制问题，探索具有鲁棒稳定性和较强可实现性的预测控制方 法 1 2 预测控制 1 2 1 预测控制的发展历史 预测控制又称模型预测控制，滚动时域控制，滑动时域控制，它的思想可追溯到2 0 世纪6 0 年代，但工业界和学术界对预测控制产生兴趣并随之涌现出工业应用和理论研 究的高潮，则是在2 0 世纪8 0 年代，随着预测控制方面具有里程碑意义的经典文献 6 ，7 ，8 】 的问世而出现的 鲁东大学硕士学位论文 以状态空间法为基础的现代控制理论从2 0 世纪6 0 年代初期产生以来，已经取得了 很大发展利用状态空间法分析和设计系统，提高了人们对被控对象的洞察能力，提供 了设计控制系统的手段，对控制理论和控制工程的发展起到了积极的推动作用但随着 科学技术和生产的迅速发展，对复杂和不确定性系统实现自动控制的要求不断提高，使 得现代控制理论的局限性日益明显为了克服理论和应用的不协调，除了加强对系统辨 识、自适应控制、鲁棒控制等研究之外，人们试图面对工业特点，寻找一种对模型要求 低、在线计算方便、控制综合效果好的控制方法预测控制就是在这种情况下发展起来 的一类新型计算机控制算法 早期模型预测控制的研究多基于脉冲响应模型、阶跃响应模型等易于在工程实践中 获得和应用的非参数模型或是考虑随机扰动的受控白回归积分滑动平均模型( c o n t r o l l e d a u t o - r e g r e s s i v ei n t e g r a t e dm o v i n ga v e r a g em o d e l , 简称c a r l a ) ，相应的算法被分别称 为模型算法控制( m o d e l a l g o r i t h mc o n t r o l ，简称m a c ) 【6 】，动态矩阵控制( d y n a m i cm a t r i x c o n t r o l ，简称d m c ) m 以及广义预测控制( g e n 既此e dp r e d i c t i v ec o n l r o l ，简称g p c ) 引在 这些基本算法的基础上，又派生出很多具体的算法，如l e l i c 提出了广义预测极点配置 控制( g e n e r a l i z e dp o l e sp l a c e m e n t ，简称g p p ) ! 们，k o w n 等人在1 9 7 7 年提出了滚动时域 控制( r e c e d i n gh o r i z o nc o n l r o l ，简称r h c ) 1 0 1 尽管各种算法形形色色不一而足，但它 们都蕴含着模型预测控制的基本特征：预测模型、滚动优化和反馈校正 预测控制是以各种不同的预测模型为基础，采用在线滚动优化性能指标和反馈自校 正策略，力求有效的克服受控对象的不确定性和时变等因素的动态影响，从而达到预期 的控制目标，并使系统具有良好的控制性能它具有以下三个基本特征：( 1 ) 建立预测模 型方便；( 2 ) 采用滚动优化策略，它的优化过程不是一次离线进行，而是在线反复进行优 化计算，滚动实施，从而使时变，干扰等引起的不确定性能及时得到弥补，提高了系统 的控制效果；( 3 ) 采用模型误差反馈校正，它能利用实际信息对预测模型进行校正，是克 服系统中存在的不确定性，提高系统控制精度和鲁棒性的有效措施预测控制的结构如 图1 1 所示 图1 - 1 中，6 9 为设定值，y a k ) 为参考轨，) ，( 膏) 为系统输出，儿( 七) 为模型输出，u ( k ) 为控制律，“七) 为预测误差，y a k ) 为预测输出 1 2 2 预测控制框架下的可行性分析 要使预测控制方法能顺利进行，必须使在线优化问题在每个时刻都可行，否则预测 控制就无从谈起在预测控制研究的框架下，“可行性”通常指优化问题的可行性，即 2 鲁东大学硕士学位论文 优化问题是否存在一个使目标函数有界且满足约束的解可行性分析是预测控制理论的 一个重要环节，预测控制系统的稳定性往往建立在可行性的基础上【1 。并且优化问题在 某一时刻不可行就意味着预测控制将无法进行下一步的控制优化问题不可行的原因可 分为两类，一类是变量的约束引起的所求解不可行f 1 2 ：二是扰动和模型失配等不确定因 素、或者参考信号变化太大，使闭环系统被驱动至不可行区域【1 3 】 z 茎基if 磊五五_ p 7i 圈i - ! 预嗣控制系统的基奉绪构 1 3 不确定系统的鲁棒预测控制 1 3 1 不确定系统的描述 研究系统的鲁棒性离不开对系统不确定性的讨论。c a m p o & m o a r i 首次提出基于f i r 模型，采用脉冲响应系数变化描述不确定性的鲁捧预测控制思想。近年来，l m i 理论 广泛应用于m p c 问题研究，它适用于比f i r 模型更广泛的模型不确定描述，如多模型 系统【阍、多面体不确定系统1 1 6 1 、范数有界不确定系统【切、结构化反馈不确定系纠瑚、 有界输入扰动系统【1 明等下面简单介绍一下这几种不确定系统 ( 1 ) 多模型系鲥1 5 】 该系统的描述形式如下 x ( k + 1 ) = 爿( 七) z ( j j ) + b ( i ) “( 七) 其中 【爿( 七) 曰( 七) 】q ，q = 【4 骂】，【4 马】 为使系统不确定性描述更加精确化，可以给出【彳( 七) 占( t ) 】取有限多模型集合q 中相应模 型的条件，如可根据系统状态交量确定系统矩阵的选择，即 x ( 的zj i a ( 的口( 纠= 【4 日】， 其中z 为关于状态变量的已知集合 ( 2 ) 多面体不确定系统“6 l 3 鲁东大学硕士学位论文 多面体不确定系统可以描述不确定参数空间的任意多面体，其具体描述形式如下 工( 七+ 1 ) = 彳( 七) 鼻( 七) + b ( 七) “( 七) 其中 4 他) 口( 七) 】g q = c 4 功i c 4 印= 喜丑c 4 ，蜀，v 善1 磊= ，4 o ，= l 2 ，) ( 3 ) 范数有界不确定系统【1 7 1 其不确定性存在于系统的状态矩阵和输入矩阵当中，且满足范数有界条件，即 工( | + 1 ) = ( 爿+ 一( 七) ) 工( 七) + ( 曰+ 口( 七”( | i ) ， 其中，【纠( 七) 曲( 七) 】= d f 仲) 喝易】f ( k ) r “表示未知的实值时变矩阵，其元素 l e b e s g u e 可积且有界，满足f 7 他) ，( 七) “) 结构化反馈不确定系统1 司 其不确定性描述形式为 i j 忙+ 1 ) = 出似) + 舶+ 乓幽) ( 坝 y ( 七) = c x ( k ) ， 【g ( 七) = 乞工( | ) + 雄伪) 其中，可以为一个时变分块对角矩阵，即 i 1 ( 七)l a = i 1 ， l，( 七) j 且有厅( 。”s l ，v i f f i l ，2 ，；也可为一个卷积操作符，且满足截断厶诱导范数小于 l 的条件，即有p 7 0 ) p ( f ) s 9 7 ( f ) g ( f ) ，v 七o ( 5 ) 有界输入扰动系引1 卅 这种不确性系统描述为 i x ( k + o = 似七) + 鼬( 七) + e r o ( k ) ， l y ( 七) = c x ( k ) 其中，扰动变量( 七) 属于一个有界集合 上述不确定模型可以扩展到含有时滞的不确定模型 1 3 2 鲁棒预测控制的研究现状 鲁棒预测控制是在考虑模型不确定性的前提下设计状态反馈或输出反馈控制器，以 保证闭环系统的可行性和鲁棒稳定性 文献中已有的鲁棒预测控制方法，按其对模型不确定性的处理方法，可分为两大 4 鲁东大学硕士学位论文 类第一类方法是在预测控制的滚动优化过程中，显式处理模型的不确定性这类方法 的在线优化问题往往采用m i n - m a x 形式，计算复杂性与模型不确定性密切相关，且一般 随着控制时域和预测时域的增加而指数增长，第二类方法的在线优化问题与模型不确定 性不存在显式关系，而是寻求一种特殊的方式确保其鲁棒性能与第一类鲁棒预狈5 控制 方法相比，第二类鲁棒预测控制方法离线处理模型不确定性，模型不确定性对在线计算 量没有直接影响，但对离线计算量有显著影响下面简单介绍一下这两类鲁棒预测控制 方法 第一类鲁棒预测控制方法主要有如下几种形式： ( 1 ) 线性状态反馈鲁棒预测控制 这种方法在滚动优化过程中不是求解一个控制序列，而是一个线性状态反馈控制 律，并使不确定系统在此反馈控制律作用下满足输入约束和状态约束，同时使无限时域 目标函数单调递减【2 0 l ，这些条件可转化为用l m i 方法求解的凸优化问题不确定系统 在初始时刻相关l m i 的可行性，能够保证滚动优化过程中所有时刻l m i 问题可行，并 保证闭环系统渐近稳定但这种方法求解的是时变的线性状态反馈控制律，不可避免的 带来了一定的保守性 ( 2 ) 最小最大鲁棒预测控制 c a m p o & m o a r i 在文献 1 4 1 a e 首次引入r a i n - m a x 优化问题的鲁棒设计思想，将预测控 制的在线最小化闯题转变为最小最大问题描述，求解控制律使在不确定性集中最坏情 况下的目标函数值最小，这种方法可以保证系统在最不利情况下性能指标的一个上界达 到最小传统方法求解开环优化问题，不考虑预测输入之间的相互影响，这种方法往往 遇到可行性问题，尤其是在系统存在状态约束的条件下，因为前一时刻的输入必然影响 其后各时刻输入的可容许范围，解决这一问题的一种方法是将开环优化转化为闭环优化 的问题，即把预测输入取作与状态相关的输入作用最小最大鲁棒预测控制中常以状 态变量的2 一范数定义的不变集来保证优化问题的鲁棒可行性和闭环系统的鲁棒稳定性 ( 3 ) 输出反馈鲁棒预测控制 相对于状态反馈鲁棒预测控制，输出反馈鲁棒预测控制的研究成果较少目前的研 究方法有两种：一种是基于状态观测器的输出反馈鲁槔预测控制算法【2 l , 2 2 1 ，即首先针对 实际系统设计状态反馈控制律，再根据输入输出数据构造状态观测器，由观测状态来代 替控制器中的未知状态，设计出基于输出变量的预测控制器；另一种方法是直接通过输 出测量值设计静态( 或动态) 输出反馈控制律【2 3 驯 ( 4 ) 基于日。理论的鲁棒预测控制 s 鲁东大学硕士学位论文 此方法融合z 乙控制和预测控制的优点，具有较强的鲁棒性和显式处理约束的能 力t a d m o r p - q 将线性系统王乙控制理论应用于滚动时域控制，针对有外界扰动输入的连 续线性时变系统，提出了零终端约束的滚动时域 乙控制，给出了闭环系统稳定，以及 闭环增益小于某个设定值的充分条件陈虹等【2 6 】融合预测控制的滚动优化原理讨论了一 种滚动时域而r 蕾性能控制方法通过对三乙性能指标，的在线最小化，闭环系统能实时协 调控制性能要求和硬约束，并充分利用有限的控制能力提高控制性能 第二类鲁棒预测控制方法主要有以下几种形式： ( 1 ) 离线鲁棒预测控制算法 在文献【2 0 】的基础上，文献 2 7 , 2 8 离线求解若干具有代表性状态点的优化问题，根 据当前的系统状态和这些状态点的关系，用插值的方法在线确定线性状态反馈控制 律文献 2 9 ，3 0 对文献 2 7 】的方法做出了改进，通过改变控制律结构，降低离线计算方 法的保守性 ( 2 ) 引入比较模型的优化问题 文献 3 q 针对含有参数摄动和有界扰动的带约束系统，采用二次规划的方法设计鲁 棒预测控制器基于系统无约束时控制器的设计过程中所采用的l y a p u n o v 函数，建立一 个附加的比较模型这个比较模型将已有的鲁棒预测控制问题转化为不含扰动的标称问 题来处理通过比较模型推出的终端约束条件，保证了系统的可行性和鲁棒稳定性 ( 3 ) 改变在线优化问题的传统结构 文献 3 2 】将预测状态和预测输入的扰动部分作为增广状态，并为其构造一个椭球不 变集，此椭球集既要满足约束条件又需保证增广状态变量的收敛性在线优化问题的目 标函数为c ( k + 川七) 的厶范数形式，而其约束条件为当前时刻的增广状态属于椭球不变 集这种方法的在线计算量与m i l l - m a x 鲁棒预测控制相比大大减少，但它对不确定系统 的性能没有明确保证 1 4 时滞系统稳定性理论 对于一个系统而言，我们首先关注的是系统的稳定性问题，然而时滞的存在首先影 响的是系统的稳定性，对于大多数线性控制系统来说，时滞的影响总是消极的，使系统 由稳定变为不稳定 目前，对时滞系统的研究大致可分为时域和频域两种频域方法，例如经典控制理 论中的奈奎斯特法，波特图法【矧虽然他们能够容易地得出理论上时滞系统的稳定性条 件，但是由于其求解的复杂性几乎不能应用于实际工程中时域法主要有l y a p u n o v 3 4 , 3 5 , 3 6 j 6 鲁东大学硕士学位论文 泛函法，和r a z u m i k h i n 【3 4 , 3 0 3 型定理给出的l y a p u n o v 函数法，这种方法是时滞系统稳定 性分析中十分重要的一般化方法，九十年代以前由于没有可行的l y a p u n o v 泛函和 l y a p u n o v 函数构造方法而没有得到普遍应用，九十年代以后，由于利用l m i 解析方法 构造l y a p u n o v 泛函和l y a p u n o v 函数，使得这两种方法在时滞系统稳定性分析中得到广 泛的应用例如，对于时滞系统 j ( f ) = a ( t ) x ( f ) + a d x ( t 一 ) 选择l y a p u n o v 函数最为普遍的一种形式就是 y ( 工( f ) ) = x r ( f ) p 印) + i 。x r ( t ) r x ( t ) d o , 式中，p 和r 均为正定加权矩阵，然后求导可得到系统的稳定性条件为 ir + 剐“l 0 9 a b 7 c - 1 b 0 结论b ：若一是非奇异的，则f 0 的充分必要条件是a 0 且c b 7 a 。1 b 0 在控制系统闭环性能的分析和控制器的设计中，往往遇到求解以正定矩阵为变量的 不等式问题，如l y a p u n o v 不等式和r i e e a t i 不等式 爿r p + 户1 4 0 a 7 p + p a + p b r 1 8 7 p + q 0 其中，p 为未知正定矩阵变量，虽然以上两个不等式不是标准u 皿，但经过适当变 换，可转化成标准形式 一般地，l m i 的求解可归结为下列三类问题： ( 1 ) 可行性问题( l m i p ) ：对给定的线性矩阵不等式f ( 曲 0 ，检验是否存在工，使得 f ( x 1 0 成立的问题，称为一个u m 的可行性问题如果存在这样的，则该l m i 问题 9 鲁东大学硕士学位论文 是可行的，否则是不可行的 ( 2 ) 特征值问题( e 、，p ) ：该问题是在一个l m i 约束下，求矩阵g ( x ) 的最大特征值的 最小化问题或确定问题的约束是不可行的它的一般形式为 m i n 兄 豇j g ( 曲 红 1 日( 功 0 这个问题也可转化成以下的一个等价问题 m i l l e 7 膏 j j f o ) 0 ( 3 ) 广义特征值问题( g e v p ) ：在一个l m i 约束下，求两个仿射矩阵函数的最大广义 特征值的最小化问题它的一般形式为 n f l n a i g ( 力 o l ( 工) 0 ，使得五2 m + 舻+ o 成立 引理2 4 给定适当维数对称矩阵y ，g ，日，则 y + h f ( t ) g + g 7 f 7 ( f ) 日7 0 ，使得y + f h h 7 + 占“g 7 g 0 成立 证明( 充分性) 由h f ( t ) g + g 7 f 7 0 ) 日7ss 且h 7 + 占“g 7 g ， 1 0 鲁东大学硕士学位论文 可得 ( 必要性) 由 容易得 y + h f ( t ) g + g 7 f 7 ( f 旧7 0 y + h f ( t ) g + g 7 f 7 ( f ) 日7 4 ( z g 7 g x ) 2 0 7 删7 力2 再次运用引理2 3 ，可得存在占 0 ，使得 h h 7 + s y + s 2 g 7 g 0 成立 即 g - i h h + y + s g 7 g 0 把占用占。替换，可得 y + s h h 7 + 占一1 g 7 g o 2 2l y a p u n o v 稳定性引理 稳定性问题是控制理论中一个较为普遍的重要问题对于稳定性的研究，最常用的 方法就是应用l y a p u n o v 稳定性理论进行分析，这在1 4 节已有介绍文献 5 5 】中详细 介绍了关于连续系统或离散系统的l y a p u v 稳定性判据而在连续时间域内研究预测 控制问题，需对分段连续闭环系统的稳定性做出分析下面介绍分段连续系统的一个稳 定性判据 引理2 5 5 6 考虑线性时变系统 j ( f ) = 一( f ) 工o ) ( 2 2 ) 假设矿( 础 ，) 单调递减，并且是一阶分段连续可微的如果存在正定矩阵五，五，墨， 使得 x 7 x , x o 式中r 为采样周期， t a 。叫玉。为采样时间序列，且满足冬。一气= r ；x ( k t ) = x ( k t ，奶表 示采样时刻七r 的状态测量值，x ( k t + r ，k t ) 表示七7 时刻基于模型( 3 1 ) 的k t + r 时刻的状 态预测值，u ( k t + r ，k t ) 表示七丁时刻使性能指标( 3 4 ) 优化的受控输入序列在k t + r 时刻 的值其中，a 0 , r 0 为正定矩阵，系统的动态性能指标通过目标函数的加权矩阵a ， 矗的大小来体现 1 3 鲁东大学硕士学位论文 3 2 主要结果 在每一采样时刻，直接求解含有模型不确定性的优化问题( 3 4 ) 是比较困难的在此， 首先给出性能指标以的上确界，将无限时域优化问题( 3 4 ) 转化为可求解的线性规划