（运筹学与控制论专业论文）p型空间不动点理论及应用.pdf

贵州大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究p 型空间的不动点理论首先给出了p 型空间的不动点定理一些推 广以及k y f a n 不等式的一些等价形式作为应用，得到p 型空间中的一n a s h 平衡 点的存在性定理 全文共分三章： 第一章简要介绍了在本文中将要用到的基础知识拓扑空间部分主要介绍紧空 间，仿紧空间与单位分解定理，单纯形和k k m 引理集值分析部分主要介绍单值映 射的半连续性以及集值映射的半连续性、闭性和紧性不动点部分则介绍了若干著名 的不动点定理及其等价形式 第二章介绍了没有明确线性结构的p 型空间包括p 型空间中的半凸集和凸集， p 型空间中的凸函数和拟凸函数 第三章研究了p 型空间中的不动点理论首先推广了已有的p 型空间中的不动 点定理，然后以p 型空间不动点理论与k y f a n 不等式为基础导出了p 型空间k y f a n 极大极小不等式，k y f a u 极大极小不等式的几何形式和k y f a n 极大极小原理作为应 川；得到p 型空间中的n 人非合作博弈的8 一n 硒h 平衡点的存在性定理 关键词：b r o u w e r 不动点k y f a n 不等式p 型空间半凸 鞍点一n 髂h 平衡点 贵州大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ea i mo ft h ep a p e ri st oi n v e s t i g a t ef i x e dp o i n tt h e o r e m si np - s p a c e s w e f i r s t l yg i v es o m eg e n e r a l i z a t i o n s o fc l a s s i c a lf i x e dp o i n tt h e o r e m sa n ds o m e e q u i v a l e n tf o r m so fk y - f a ni n e q u a l i t i e si np - s p a c e s a sa p p l i c a t i o n s ，w eo b t a i ns - - n a s he q u i l i b r i u mt h e o r e m si np - s p a c e s i tc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i np a r to n e ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cn o t i o n sa n dr e s u l t s ，i n c l u d i n gc o m p a c t s p a c e s ，p a r - c o m p a c ts p a c e s 。p a r t i t i o no fu n i t yt h e o r e m ，s i m p l e x e s ，k k ml e m m a ， s e m i - c o n t i n u 时o fs e t - v a l u e dm a p sa n ds o m ef a m o u sf i x e dp o i n tt h e o r e m sw i t ht h e i r i n t e r c o n n e c t i o n s i np a r tt w o ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fp s p a c e sw i t h o u ti m p o s i n g a n y e x p l i c i t l ys t a t e dl i n e a rs t r u c t u r ea n ds o m en o t i o n si np - s p a c e si n c l u d i n gh a l fc o n v e x s e t s ，c o n v e xs e t s ，c o n v e xf u n c t i o n sa n dq u a s i c o n v e xf u n c t i o n s i np a r tt h r e e ，w es t u d yf i x e dp o i n tt h e o r e m si np s p a c e s w e f i r s t l yg e n e r a l i z e c l a s s i c a l f i x e dp o i n tt h e o r e m si n p - s p a c e s t h e nw eo b t a i nk yf a n sm i n i m a x i n e q u a l i t y , k yf a n ss e c t i o nt h e o r e ma n dv a r i a t i o ni n e q u a l i t yi np - s p a c e s a s a p p l i c a t i o n s w ep r o v et h ee ) ( i s t e n c eo fs n a s he q u i l i b r i u mp o i n ti np - s p a c e s k e yw o r d s ：b r o u w e r sf i x e dp o i n t ；k yf a n si n e q u a l i t y ；p - - s p a c e s ；h a l fc o n v e x s e t s ；s a d d l ep o i n t s ；s - n a s he q u i l i b r i u mp o i n t s 贵州大学硕士学位论文 前言 凸性理论对空间分类、结构以及逼近论等方面有非常重要的影响针对凸性理论的推广，很 多数学家做了大量研究参见d a n z e r t a l ( 1 9 9 3 ) ，g u d d l e r ( 1 9 9 7 ) ，s o l t a n ( 1 9 8 4 ) 和 v a n d e v e l ( 1 9 9 3 ) v o n n e u m a n n 与m o r g e n s t e r n ( 1 9 4 4 ) ，s t o n ef 1 9 4 9 ) 1 9 5 3 年，k y f a n 3 1 做出 一个重要的推广，用拟凸，拟凹函数第一个证明了不涉及线性结构的极大极小定理，这一推广在 非线性分析、不动点理论、凸分析、集值分析、数理经济学、对策论、线性算子理论及矩阵论等 方面的贡献，已成为许多当代论著的出发点和一些分支的基石d a a z e e 1 f l ( 1 9 6 3 ) 指出了一般凸性 应用的本质，“在证明关于凸集的一些重要的理论时，定义般凸性的通常过程是去选择彤空问 或空间有凸集特性的理想凸集，或者在集合上作合适的变化，去构造一般凸性应具有的性 质”但当在对策论。经济学中应用的时候，我们需要知道的是对那类的凸集，基本的不动点定理 可以合理应用1 9 8 9 年，j 0 6 i 【3 9 】研究了通过连续函数族定义空间凸性的一种空间_ p 型空间， 证明了p 型空间的b r o w d e r 不动点定理1 9 9 9 年，f o r 9 6 f 与j 0 6 1 进一步研究了p 型空间的不动 点定理他们证明了较弱条件下的b r o w d e r 不动点定理、k a k u t a n i 不动点定理与b r o u w e r 不动点 定理，并推广了k y - f a n 不等式和极大极小定理，同时把t a n ，y u 和y u a r i 【4 5 】的n 人非合作博弈n a s h 平衡点的存在定理推广到p 型空间 本文首先详细介绍了p 型空间中的一些概念然后在j 0 6 1 【3 9 】的基础上进一步推广了p 型空 间的b r o w d e r 不动点定理，并得到了p 型空间的k y f a n 不等式的一些等价形式+ 最后，把 i c i c t a n , j y u , x 乙y u m 【4 5 】的定理2 3 与定理2 4 推广到p 型空间，得到了两个关于一n a s h 平衡 点的存在性定理 贵州大学硕士学位论文 第一章预备知识 在本章中，简要介绍本文将要用到的一些主要概念、性质和重要结论拓扑空间部分包 括几种不同空间与单位分解定理，单纯形的概念及性质，l 港m 引理集值分析部分主要介 绍单值映射的半连续性以及集值映射的半连续性、闭性和紧性最后一节介绍若干著名的 不动点定理及其等价 1 1 拓扑空间 紧性理论在不动点定理和对策论，k 蹦定理以及变分不等式中发挥着巨大的作用，而且 其中的有关证明的思想方法更是在后面的研究中给予启发，所以澄清一些概念并把它们的性 质讨论是非常必要的( 可参见 2 儿3 4 5 7 1 1 d s 1 9 2 2 ) 定义i , i i b 。r e l - k 6 e s g i l e 条件设( x ，f ) 是拓扑空间，若x 。望g a ，其中对任意 口j ，嚷是开集，即g 。f ，则称 瓯 d 是x 的一个开覆盖；如果在并的任意开覆 盖中都存在着有限子覆盖，即存在q ，f - 1 ，n ，使得z u g 五，则称空间x 是紧的 t - i 注：以后我们称一个空间( z ，f ) 是拓扑空间时，其中的开集就是拓扑的元素，在其上 的拓扑时不言自明或者在不易引起混淆的情况下，以后就把该拓扑空间称为拓扑空间x 或 空间x 定义1 1 2 设4 是拓扑空间x 中的子集，4 作为工的子空间时紧的( 即在诱导拓扑 ；埘n g i c e f t ，( a ，) 是拓扑空间) ，则称集合4 是紧的 注：由于诱导拓扑下，a 中的开集为a n g 的形式，g f 所以也可以按下列方式来 定义a 的紧性：对于x 中的任意开集族 g 口) d3 a ，即存在a ；，f = 1 ，n ，使得 a = u 吒，称集合4 是紧的 t 1 定义1 1 3 设 兄) 目是拓扑空间石中的闭集族，如果该族中任取有限个闭集，其交集不 空，必有n e 乃，则称闭集族以，。具有有限交性质；如果x 中的每一个闭集族都有 a 日 有限交性质，则称空间z 具有有限交性质 定理1 1 1 拓扑空间z 是紧的充分必要条件是x 具有有限交性质( 也就是说 b o r e i l e b e s g u e 条件与x 具有有限交性质是等价的) 定理1 1 2 紧空间的任意闭子集是紧的 贵州大学硕士学位论文 命题1 1 1 由任意个紧空间所作的乘积空间是紧的 定理1 1 3 紧空间在连续映射下的象是紧的 定理l 1 4 紧空间上的连续函数必有最大值与最小值 注：在拓扑空间中是用“包含”关系来刻画收敛性的，度量空间作为拓扑空间的一个特 列，它满足非常好的分离性，也就是说任何一个度量空间都是正规的它还有一个重要的性 质“完备性”是一般空间所没有的，并且在度量空间中还有其他一些重要性质对我们后面的 考虑问题是很有帮助的 命题1 1 2 完备空间的闭子空间是完备的 定义l 。1 4 设爿是度量空间( x ，d ) 的子集，d 为z 上的度量，如果a 的任意有穷点列 必包含一个收敛子列，则称彳是列紧的 定义1 1 s 设a ，b 是度量空间( z ，d ) 的子集，d 为工上的度量，s 0 ，若任给x e a ， 专曰，使得d o ，) ，) s ，则称曰是a 的有一个一网；如果v e 0 ，a 都存在一个有限 的一网，则称4 是全有界集 注：完备性是对空间而言，列紧和全有界是对集合而言 关于列紧性和全有界性，有下列结论： 命题1 1 3 列紧集的子集是列紧的，列紧空间是完备的 命题l 1 4 全有界集是有界的并且是可分的 命题1 1 5 设a 是度量空间( z ，d ) 中的列紧集，则a 是全有界的；若x 还是完备，则 4 全有界可以推出4 是列紧集；即在完备度量空间中。列紧和全有界是等价的 命题l 1 6 在度量空间( x ，d ) 中，x 的子集a 是列紧的等价于a 是列紧的闭集：若全 空间x 是紧的充要条件为x 是列紧的 定义1 1 6 拓扑空间z 称为h a u s d o r f f 空间，如果满足条件：对任意的一对不同的点 x ，y 石，存在x 的一个邻域屹和y 的一个邻域k ，使得k n o 一个拓扑空间是h a u s d o r f f 空间的充分必要是任一点x 的所有闭邻域的交就是这个点 本身 积空间彳2 】口j ，是h a u s d o r f f 空间的充分必要是当且仅当每一个空间j ，是 h a u s d o t f f 空间9 定理1 1 5h a u s d o r f f 空间中每个紧子集是闭的 推论1 1 1 紧的h a u s d o r f f 空间到h a u s d o r f f 空间上的一对一的连续映射是同胚的 推论1 1 2 如果，是定义在拓扑空间盖上，取值在h a u s d o r f f 空间y 上的连续映射， 那么对任一紧集爿c z ，似) 是y 中的紧集 2 贵州大学硕士学位论文 定义1 1 - 7 拓扑空间x 的子集4 称为相对紧的，如果它的闭包a 是个紧集 定义1 1 s 设x 是一拓扑线性空间，x 是z 中的一点，并且k 是z 的一个邻域集族， 子集职c 屹称为x 的邻域基，如果对任一矿k ，存在形职，使得矽c v 定义1 1 9 拓扑线性空间x 称为局部凸空间，如果在这个空间内存在原点的一个凸邻 域基，此时说x 的拓扑是一个局部凸拓扑 注：局部凸空间的任一拓扑线性结构的子空间是一个局部凸空间 1 2 连续单位分解与仿紧空间 这节介绍紧性的一种重要的推广，空间x 的覆盖“一 吼) 。称为局部有限的，如果对 - y - 每- - x g x ，存在x 的邻域( ，( ，) 使u o ) r l 以彩，仅队有限个c t e a 成立覆盖 v = ) 胙8 称为是覆盖h 一 吼) d 的加细覆盖，如果v 中的每一元素总包含于“中的某一 元素讥内 定义1 2 1 1 2 1 拓扑空间x 称为是仿紧的，如果z 的每一个开覆盖具有局部有限的加 细开覆盖 显然，紧空间是仿紧空间，因为有限子覆盖是局部有限加细覆盖，具有无限个元素的离 散空间不是紧空间，而是仿紧空间，因为对离散的任何开覆盖，这个空间的所有单点集形成 的覆盖总是所要求的局部有限加细覆盖 定理1 2 1 e 2 1 仿紧空间的闭子集空间是仿紧的 证明：设f 仿紧空间x 的闭子集，设v 一 屹 。是关于子空间的任一开覆盖。对每一 开子空间的集k ，存在空间x 的开集虬，使圪= 玑n f 令h = 玑l 。，则h u x f 是空间工的开覆盖，由仿紧性，存在局部有限加细开覆盖 ，则t n f 是关于子空间 f 的开覆盖且加细v ，所以是仿紧空间 定理1 2 2 1 1 8 1 仿紧空间是紧空间当且仅当它是可数紧空间 定义1 2 2 t 2 s l 设，是定义在距离空间e 上的实值函数，称s 的最小闭集为f 的支撑， 如果使得厂0 ) = o ，x 譬s ；记为s u p p ( f ) 注：s u p p ( f ) 是e 中使得x e e ，f o ) 0 的点的集合的闭包，也就是z e 的点集合， 使得任给z 的邻域矿包含一点y ，f ( y ) 0 贵州大学硕士学位论文 定义1 2 3 【2 设似摧。是e 的开覆盖，正：e 一【o ，l 】是一族泛函，使得 ( 1 ) ：v x 6 e ，二正o ) 2 1 ( 2 ) ：v f = 1 ，n ，s u p p 五c 4 ； 则称( 五：i 6 i ) 是从属于 4 的连续单位分解 定义1 2 l 4 1 0 设是h s d o m 拓扑空间， 以) 是x 的开覆盖，q s 。：x - o ，1 】是一 族泛函，a ，i 是指标集，满足： ( 1 ) v a ，v 。在j 上是连续的； ( 2 ) 设圪；协：1 l r 。 ) _ 0 ) ，则 圪：a n 是x 的局部有限覆盖且v a ，存在 玑。) 使得c 以) c 虬；( c 以) 表示圪的闭包) ： ( 3 ) x e x ，。o ) 一1 ；则称( 。：口，) 是从属于 ) 的连续单位分解 定理1 2 3 1 8 设x 是h a u s d o r l f 空间，则下列结论是等价的： ( 1 ) z 仿紧空间； ( 2 ) z 的每一开覆盖具有局部有限的单位分解从属于u ； ( 3 ) x 的每一开覆盖h 具有单位分解从属于u 1 3 上半连续集值映射 集值映射是本论文的基本研究工具之一，本节主要介绍集值映射的极限和连续性现引 入集值映射的概念( 可参见 1 0 1 9 ) 定义1 3 1 设x ，y 为两个h a u s d o r f f 拓扑空间，2 r 表示y 中所有非空子集构成的族映 射f ：x 一2 7 使得v x x ，f ( x ) 是y 中的一个非空子集，则称，为点到集的映射或从x 到y 的一个集值映射 集值映射实际上是单值映射在概念上的推广，将单值映射的半连续的概念推广到集值映 射有下面的定义 定义1 3 2 设z ，y 为两拓扑空间，f ：x r 是集值映射，茗x ； ( 1 ) f 在z 上半连续指对】，中任何一个开集g ，g3 ，0 ) ，存在x 的一个邻域n 0 ) ， 使v x o ) 有f c g 成立； ( 2 ) f 在x 下半连续指对y 中任何一个开集g ，g n f 0 ) g ，存在x 的一个邻域 n ( x ) ，使v x 。e n ( x ) 有f ) n g a 成立： 4 贵州大学硕士学位论文 ( 3 ) f 在x 既上半连续又下半连续，则称f 在z 连续； ( 4 ) 如果f 在x 中的任一点都连续，则称f 在z 上连续； ( 5 ) 集值映射图定义为g r a p h ( f ) ； o ，) ，) x y ：y f ) 如果g r a p h ( f ) 为 x y 中的闭集，则称f 为闭映射 引理1 3 1 i s x ，y 为两个h a u s d o r f f 拓扑空间，f ：x 一，则 ( 1 ) f 在x 上半连续。任给y 中的开集u ，集合l ( u ) 一协x ：f o ) c u 是x 中的 开集 ( 2 ) f 在x 上下半连续铮任给y 中的开集u ，集合( u ) 一口e x ：f o ) n u a ) 是 x 中的开集 引理1 3 2 若集值映射f ：x r 是u s c 映射，则对于扛) 是z 中满足矿一x t 的序 列，矿e x ；d 是满足) ，f 0 ) ( v 七) 和) ，一y + 的序列，则有y + f + ) 在后面我们要用到许多的u s c 映射的性质以及其复合与组合的1 j s c 映射的有关结果，即 关于映射的性质，下面我们详细给出： 引理1 3 3 如果集值映射f ：x 一2 y 是闭映射，则托一x ，f 瓴) ，只一y ，则有 y f o ) 关于闭映射与上半连续映射的关系有下述两个引理： 引理1 3 4 如果映射f ：x r 是闭映射，且空间y 是紧的，则f 在上是上半连续的 引理1 3 5 设y 为度量空间，若映射f ：x 一2 r 上半连续且有闭值，则y 是x 上的闭映 射 定义1 3 3 集值映射f 称为u s c o 映射，如果f 在j 上上半连续且是紧值的 集值映射的上半连续与下半连续是两个不同的概念，它们互不包含，著名的f o r t 定理指 出了它们之间的某种联系 引理1 3 6 设盖是h a u s d o r f f 拓扑空间，y 是度量空间，f ：x 一2 y 是紧值的集值映 日 ，x x ，则 ( 1 ) f 在工处上半连续等价于v 0 ，存在x 的邻域o ) 使魄0 ) ， f ( z c u ( f 0 ) ，s ) 一 y y ：d ( ) ，f ( x ) ) 0 ，存在邻域o ) 使v x ) ， f o ) c u ( f o ，) ； ( 3 ) f 在x 处连续等价于v e ，0 ，存在邻域o ) 使帆o ) ， f ) c u ( f o ，) 和f c u ( f ) ，) 同时成立，即日( f o ) ，f c e ； 下面的极大值定理，既是集值映射的实例，又将在后文中发挥重要的作用 5 贵州大学硕士学位论文 引理1 3 7 设z ，y 为两个h a u s d o r f f 拓扑空间，：z x r 是一个实值函数， f ：石一f 是一个集值映射，定义函数如下：v ( y ) = s u p 目( ，) f ( x ，y ) ，v y y ；定义集值 映射如下：m ( y ) 一仁g ( ) ，) ：f ( x ，y ) ；y ( ) ，) ，v y e y 如果f ：x y r 连续，g ：y r 连续且有紧值，则( 1 ) v ：l r r 是连续；( 2 ) m ：y 一2 。上半连续 引理1 3 8 设z 。y 为两个紧的拓扑向量空间，k g ：x 一是一个紧值且上半连续的 集值映射，f ：x x r 是在x x y 上上半连续的对任意给定的x x ，0 ，) 是下半连 续的，那么定义函数g ：y _ r ；g ( ) ，) 。髫罱， ，y ) 是连续的 1 4 单纯形 定义1 4 1 1 4 1 设l 是矿的一个线性子空间，a y ，则沿n 的平移l + 4 称为矿的一 个仿射集 定义1 4 2 1 4 1k s c r “，工- x x o i x e z ( s ) ，是m o ) 中的任一元素) ，称为集合 的维数，其中是集合的线性包即中的维数是由其线性包通过平移所的的子空间的维数来定 义的 注( 1 ) 是彤中的子空间， 注( 2 ) l 与的选取无关， 注( 3 ) s 的维数与s 中所包含的向量( 组) 的秩相同 例如：s = 怯，砭) ，墨，x 2 r 2 ，不难看出，s 是1 维的，但s 中的两个向量所形 成的向量组的秩是2 定义1 4 3 1 2 1 k 集厶 x o ，x c r 是仿射无关的，如果荟 1 0 荟 i o 当且 仅当九= 凡一= 九= 0 注：如果 x o ， c r “是仿射无关的，那么m 忍 定义1 4 4 1 2 0 1 一个栉维单纯形是，l + 1 个仿射无关的元素的严格正的线性凸组合 命题1 4 1k sc r “，d i m s = m ，则有v x ( s ) ，j 矿o ，v 1 ，v “s ，使得 x c o ( v o ，v 1 ，v “1 定义1 4 5 1 2 0 1k r 矿中给定m + 1 个点y o ，v 1 ，y 4 ，并且矿一v o ，v 2 一v o ， v 一v o 是线性无关的，则称点矿，v 1 ，- ，v “的凸包a = c o vv 1 ，v ”) 是一个单纯 形 命题1 4 2 2 0 l k a = c o vv 1 ，v “1 为单纯形，则矿o ，v 1 ，v ”为极点( 也称为顶 点) 6 贵州大学硕士学位论文 定理1 4 1 1 2 0 若；c o ( v o ) v 1 ，v ”) 为单纯形，d i m c o ( y o ，v 1 ，v “) 一d i m l 推论1 4 1 1 3 0 设= c d o ，v 1 ，v “) ，任给x c o ( v o ，v 1 ，v “) ，那么x 可 以表示为 y 1 7 - 。的凸组合，即x 一 矿， 一1 ，鼍0 ，且表示法唯一 箭箭 定义1 4 5 以上单纯形c o o z o ) v 1 ，v “) 的定义中的数，x a ，称为点x 的 重心坐标 命题1 4 3 1 3 0 单纯形是一凸紧集 为了以后的讨论的方便，我们以后假定单纯形的维数是n 维的单纯形的边界很复杂， 考虑单纯形一c o ( 矿，v 1 ，v 。) ，每一边界面( 元素) 的维数可能是n 一1 或n _ 2 或或 0 ( 即顶点的维数) ，故有维数为k ( k s n ) 维的边界元素( 面) 由k + l 的顶点y o ，y ，v “ 决定，其中 f 0 ， c 0 ，1 ，n ，因而在边界面上，点x 的重心坐标就由顶点 y ，y ，y ，即z 。荟 y ，荟 _ 1 毛o 下面给出单纯形的标号规则： ( 1 ) 若点x 在单纯形的边界面上，比如由顶点y o ，胪，v o 决定的边界面上，定义指 标函数如下：m ( d = f o 或或 ( 2 ) 若点x 在单纯形的内部，定义标函数如下标函数如下：m ( x ) - 0 或1 - - 或n 定义1 4 6 3 0 1 设= c d ( 矿，v 1 ，v 4 ) 是一n 维单纯形，一个单纯形剖分是指： 单纯形( n 维) 经过n 次剖分后，得到c ：+ 个顶点，总共“个小单纯形，剖分后每一个 顶点量的坐标为：z 。言( ，毛，屯) ，k i o ，荟t = i 单纯形的直径是它的任两个顶 点间距离的最大值，若记单纯形的直径为d ，则n 次剖分后小格子的直径为旦( 一0 ，n n 一0 0 ) 定理1 4 2 ( s p e r n e r 引理 3 0 ) 对单纯形( n 维) 经过n 次重心剖分后，每一个格子 ( 子单纯形) 的顶点满足单纯形的标号规则，则必存在某个格子，它的顶点标号恰好是f o ， l ，n ) 即存在全标号单纯形 1 5 不动点定理及等价形式 定理1 5 1 ( k 瑚引理【2 7 】) 设e 是h a u s d o r f f 拓扑线性空间，sce 为n 一1 维的单纯形 设e 1 ，巳为s 的顶点，m 1 ，m 。为e 中的，1 个闭集如果对s 的任意一组顶点 气，气) ( 1 k n ) 有，c o 气，气) cu m 。，则存在x + s ，使得 x + n m ， k 耐引理自从建立以来一直备受人们的重视，是由于这一定理可以推广到无穷维的情 形，这种首先由k y f a n 给出，他证明需要借助于k k m 映象来表达 7 贵州大学硕士学位论文 推论1 5 1 ( k y f a n 1 9 6 1 2 7 ) 设a c r ”，对每一个x z ，fx l c 彤是闭集，假设 k ( 1 ) 对任何有限子集 _ ，t ) c x ，c o x , ，x k c u f ) ； ( 2 ) 至少存在一点使得f 伍) 是非空紧的； 那么n f ) 是紧的且非空 此推论证明可以用有限交性质来证明( 参见 2 7 ) 定义1 5 i 1 9 设工，l ，为拓扑空间，y c x ，若存在连续映射r ：x y ，使得 v x e y ，r o ) 。工，则称y 为z 的收缩核 注：有限维空间的单位闭球只是某以标准单纯形。的收缩核，即存在只c 。，映射 r ：一只连续，且e a 。，r ( x ) i ) ，鼠l d ，e ) = d ( x ，y ) ) ，玩可推广为紧凸 集 正如引言中的叙述一样，不动点理论与变分等式理论已成为非线性分析的重要内容，它们 已经在众多的领域得到成功的应用即便是不动点理论本身也包含了极为丰富的内容本节中 以b r o u w e r 不动点定理为基础。只介绍几个有代表性的不动点定理 b r o u w e r 在1 9 1 0 年提出了著名的b r o u w e r 不动点定理并于1 9 1 2 年用微分拓扑的方法 给出了证明定理叙述如下： 定理1 5 2 设c c r 4 是一个非空有界闭凸集，：c c 连续，则玉c 使 f ( x 、一z 关于b m u w e r 不动点定理有许多出色的证明方法，贝, 9 1 1 1 0 2 8 1 1 4 8 ，其中h e s c a r f 给出 的构造性证明尤为引人注目h e s c a r f 的证明是基于单纯形剖分的s p e m e r i j i 和a 讧引理， 然后再证明b r o u w e r 不动点定理这套证明方法和技巧被后人大大的推广 b r o u w e r 不动点定理被众多学者推广和改进，得到了大量的结果，其中有两种主要的推 广思路第一种思路是从空间上加以推广 1 9 2 7 年s c h a u d e r 将b r o u w e r 不动点定理从r “空间推广到b a n a c h 空间，得到如下定理： 定理1 5 3 设c 是b a n a c h 空间x 中的非空凸紧子集，f ：c c 连续，则3 x e c 使 工+ = f ( x 、 t y c h o n o f f 又在1 9 3 5 年对局部凸空间上的紧算子证明了s c h a u d e r 不动点定理的推广 定理1 5 5 设c 是局部凸线性拓扑空间工中的非空凸紧子集，：c c 连续且对c 的 任何有界子集m ，f ( m ) 是紧集，则3 x c 使f ( x ) = x 另一条推广思想是把单值映射的b r o u w e r 不动点定理推广到集值映射的情形 1 9 4 1 年，k a k u t a n i 将b r o u w e r 不动点定理推广到尺“空间上的集值映射， 定理1 5 6 设c 是r “中的非空凸紧子集，：c 一2 。是上半连续且有非空闭凸值的集 8 贵州大学硕士学位论文 值映射，则玉e c 使工厂o ) 1 9 5 2 年，f a n 和g l i c k s b e r g 又把k a k u t a n i 不动点定理又被推广到局部凸线性拓扑空间 的集值映射的情形 定理1 5 7 设c 是局部凸线性拓扑空间j 中的非空凸紧集，：c 一2 是上半连续且 有非空凸紧值的集值映射，则玉c 使x ( x ) 下面介绍k yf a n 不等式、i c yf a n 引理、f a n - b r o w d e r 不动点定理( 可参见【2 8 】) 1 9 6 1 年，k yf a n 推广了k k m 引理得到了无限维形式的k k m 引理，即下面的引理1 - 5 8 定理1 5 8 设z 为h a u s d o r f f 线性拓扑空间e 中的任一子集，f ：x 一2 。， v x x ，f o ) 是e 中的非空闭集，孤o z ，f o o ) 是紧集 又 v ，x c x ，c o x 1 ，) c u 三i 。f ( 薯) ，则n 正z f ( z ) _ g 同年，k yf a n 利用无限维形式的k k m 引理得到一个重要的引理，即下面的定理1 5 9 定理1 5 9 设x 为h a u s d o r f f 线性拓扑空间e 中的非空凸紧集。口c z x 如果 ( 1 ) v x e x ，f g ) = ) ，e x ：0 ，y ) 丑 是x 中的开集；( 2 ) x ，f 1 ( y ) 一 缸e x ：o ，) ，) 曰) 是非空凸集，则血x 使o ，工) 刀 1 9 7 2 年，k y f a n 又利用上述定理1 5 9 证明了下述基本变分不等式 定理1 5 1 0 设置为h a n s d o r f f 线性拓扑空间e 中的非空凸紧集，：x x x r 满足：( 1 ) v x x ，y 一，o ，) ，) 下半连续；( 2 ) v y z ，x 一，o ，) ) 拟凹；则 i n i n 脚s u p d ，k _ ) ，) s u p 脚( y ，y ) k yf a n 不等式的另一表达形式如下( 见【9 】 2 7 1 1 2 8 ) ： 定理1 5 n 设x 为h a u s d o r f f 线性拓扑空间e 中的非空凸紧集，：x x r 满足： ( 1 ) v x x ，y 一， ，y ) 下半连续；( 2 ) v y e x ，a f o ，) ，) 拟凹；c 3 ) v y e x ，f 0 ，y ) 0 ，则渺x 使x ，f ( x ，y + ) 0 注：在文献【4 7 1 中，y 被称为i c y f a n 点 1 9 6 8 年，b r o w d e r 利用i c yf a n 引理得到了一个不动点定理，此定理推广了前面诸多不 动点定理 定理1 5 1 2 设x 为h a u s d o r f f 线性拓扑空间e 中的非空凸紧集f ：x 一2 。满足： ( 1 ) v x x ，f o ) 是x 中的开集：( 2 ) v y x ，f - 1 ( ) ，) ；仁z ，y f ) ) 是非空凸集，则 玉x 使z + f 仅) 事实上k yf a n 不等式，k yf a n 引理，f a n - b r o w d e r 不动点定理，三者是等价的 9 贵州大学硕士学位论文 第二章p 型空间的基本概念 本章主要介绍了没有明确线性结构的p 型空间包括p 型空间中的半凸集和凸集，p 型 空间中的凸函数和拟凸函数 2 1 p 型空间的基本概念 在本文中，设x 乃是一个拓扑空间，记 为r “中的凸包运算，岔为r “中的标准单 纯形“= ，西- 族满足 m ，( e f l i ， ) c ( 传1 一，稚) 称m - 族为v 2 ，如果它满足对任何n ，f 一 而，) c x 和对每一个子单纯形 ，气 c ，中一族满足m ，( e 1 1 ，龟 ) = ( “l ，) ) ，其中称中f 为凸包不变 函数 定义2 1 4 1 2 9 设g o ，1 ) ，0 苫1 ) 是x x 的一个可数邻域基，对任何集合4 c x 的一 个可数邻域基g ，胛) tug ，n ) , t e a 定义2 1 s 2 6 运算 是连续；如果对任何的a c x ，n e n ，存在一七；k ( a ，n ) ，使 得b c g ，七) 一 ( b ) c g q ) ，1 ) 定义2 , 2 6 1 2 6 对任何f ；l 2 ，称( x ，h ，掣。) 为只型空间；若 连续称( x ，h ，瞿) 为耳型 贵州大学硕士学位论文 空间，所有空间只，只( f 一1 , 2 ) 统称为p 型空间，p 型空间的凸性是以凸包运算_ i l 来定义 的 从上面的定义2 2 6 可以得到p 型空间定义凸性的凸包运算 是由西一族中的m ，产生 的，不同的p 型空间，由于w ；的不同，凸包运算_ l 是不同的 命题2 1 3e 型空间一定是只型空间 下面我们给出了一个特殊的p 型空间，说明一般的r 空间赋予一种特殊的凸性就可以 称为p 型空间，表明r _ 空间是p 型空间中一个特例 称z 是区间空间，如果拓扑空问z 赋予映射l 】定义z 的凸性，映射f ，】：z z 一 工中 f 门连通子集) 使得对v 鼍，x z x ，x a ，x 2 【黾，x 2 】2 【x 2 ，而】集合k ，而】称为点五与屯问 的区间定义x 的子集中的凸性，称k c x 为凸集，如果墨，x zk ，【x a ，屯】c k 称 ，：z r 为拟凸函数，如果v 气，也x ，z 【毛，工2 】，( z ) m a x ，( 墨) ，( 畸) 定义区间空间( r ，【，】。) ：设x ry 尺，定义区间【x ，y 】l = 通常的点x 与y 闭区 间 ，设x 一 一，) 彤，y = m ，y 彤，其中集合 f ( 而，“) ，( y z ，咒) - - - ( ( ，) 【+ l y “】1 ) u ( 【( 毛，) ，( ) ，1 ，咒) 1 ) x ) ，m ) ，如果“只+ 1 现设一集合k c r “为凸集，如果x ，y k ，i x ，y 】c k ，那么以这种方式定义凸性 的r “空间不是一般凸空问，例如z ，y ，z r “，使得【x ，y 】， x ，z 】是一般的区间，但是一 个不被另一个包含 命题2 1 4 【3 4 】区间空间( f ，f ，】。爆p 型空间淀义彤空间的凸性按上面方式) 证明：设f = “， ) cx ，定义映射中f ：a “- - h ( 畸，以) ) ，且有下面性质， 若( 凡，九) a 4 ，假设九一= 一，= 0 ， o 设y 彤为【x ，x j + l 】中的点，使 得j 【，y 川2 i y j ，x j + 。】i 乃+ 。，以此类推，可得集合：m ，( 凡，五) 。儿一z ，从这个 构造可以得出m f 为连续函数，并且【，& 】= u 【，z 】：z 【t ， n ，由定义2 2 3 1 2 贵州大学硕士学位论文 因此m ，为凸包不变函数，由此结论得证 从上面证明说明，如果r 4 空同以一种特殊的方式定义凸性时，不一定是般的凸空间， 但是它是一个p 型空间，其中般的线性空间一定是p 型空间 下面给出两个具体的例子说明具有欧氏拓扑的r - 与r ：空间中，可以用p 型空间的凸包