（运筹学与控制论专业论文）var及其在外汇交易市场的应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 风险价值( v a r ) 方法是近年发展起来的金融风险管理标准，v a r 不仅仅只是作为一种 测量和控制金融风险的有效工具，它正在发展成为一种科学的风险管理体系。我国入世 成功后，我国的金融业即将面临来自世界的挑战，因此，积极探索适合我国金融市场的 风险管理方法成为当前重要而紧迫的任务。在金融市场中，外汇保证金交易是外汇市场 近几年出现的新交易形式，它的市场收益高，但风险很大。针对这一问题，作者希望能 通过风险度量来获取投资组合，在稳定收益的前提下降低风险。 本课题论述了利用v a r 方法解决外汇保证金市场的高风险问题。 文章从统计和数学两个角度综合分析了v a r 的原理及使用，论述了v 蛆这种利用 统计手段来估计金融风险的方法。在金融市场中选取了外汇市场作为研究范围，以外汇 保证金交易作为研究方向，利用技术分析思想结合v 承原理对世界外汇市场的几种主 要外汇进行了分析，以实证分析辨别了几种投资方法的优劣，得出了技术上最适宜的手 段。 具体方法：在马考维茨模型的基础上，将求解投资组合权重的问题转化为二次规划 最优解问题，通过计算求得权重，综合分析直接投资、组合投资和套利投资的优劣，得 出最后结论：即在外汇保证金市场中，套利投资是一种既可以锁定风险又能将利润保持 在一定水平的良好投资方法。 该模型为外汇投资者投资外汇保证金市场提供了一种分析投资组合的方法，丰富了 外汇保证金交易的分析手段。 关键词：风险价值( v a r ) ：外汇；金融风险；外汇保证金；套利 塑三查堂堡主堂垡坚 v a ra n du s i n gi nf o r e xm a r k e t a b s t r a c t v a r ( v a l u e a t m s 蚰d e v e l o p e dr e c e n t l yi san e ws t a n d a r dt om a n a g ef i n a n c i a lr i s k v a r n o to n l yi sa ne f f e c t i v ei n s t r u m e n tb u ta l s oi sb e c o m i n gas c i e n t i f i cs y s t e mn o w c h i n ah a s a t r e a d yj o i n e dw t o 。a n di t sf i n a n c i a li n d u s t r yw i l lf a c et h ec h a l l e n g e sf r o mt h ew o r l d t h u s ， i ti sa r li m p o r t a n ta n du r g e n tt a s kt os e a r c hf o rf i t f u lm e t h o d sa n ds y s t e m st om a n a g er i s k n e t r a d eo ff o r e xd e p o s i ti st h en e w t r a d i n gf o r ma p p e a r e di nr e c e n ty e a r s i ki n c o m ei sl a r g e b u tt h er i s ki sh i g h a i m i n ga tt h i sp r o b l e m ，t h i sa r t i c l ee n d e a v o rt od e p r e s st h er i s kb u t s t a b i l i z et h ei n c o m et h r o u g ht h ew a yo f r i s km e 嬲u r e m e n tg e t t i n gi n v e s t m e n tc o m b i n a t i o n t h i sp a p e ra n a l y z e dv a r se l e m e n t sa n da p p l i c a t i o nf r o ms t a t i s t i c sa n dm a t h e m a t i c s ， d i s c o u r s e dt h em e t h o do f v a ru s i n gs t a t i s t i c a la r t i f i c ee s t i m a t e sf i n a n c er i s ki nas i m p l ew a y a n ds e l e c t e df o r e xm a r k e tf r o mm o n e ym a r k e t sa ss t u d ya r e a , w i t hf o r e xd e p o s i t 蹯s t u d y d i r e c c l o n ，u s i n gt h ei d e ao ft e c h n i c a la n a l y z eu n i t e dv a re l e m e n t st oa n a l y z es o m em a i n f o r e xi nf o r e xm a r k e t a n a l y t i cd e m o n s t r a t i o nd i s c u s s e dt h eg o o da n db a do f e a c ha n a l y t i c a l m e t h o d e d u c e dt h eb e s t 把c h n i c a la r t i f i c e m e t h o d ：o nt h eb a s i so fm a r k o w i t zm o d e l ，t r a n s f o r mt h ep m b l e mo fi n v e s t m e n t c o m p o s i t i o nt ot h eb e s ts o l u t i o no fq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ，a n dg e tt h ec o m p o s i t i o nt h r o u g h c a l c u l a t i n g a f t e ra n a l y z i n gt h ep r e d o m i n a n c ea n di n f e r i o rp o s i t i o no fd i r e c ti n v e s t m e n t , c o m b i n a t i o ni n v e s t m e n ta n da r b i t r a g ei n v e s t m e n t e d u c e da r b i t r a g ei n v e s t m e n ti st h el o w r i s kb u ts t a b i l i z a t i o ni n c o m ew a yo f f o r e xt r a d i n g t h i sm o d e lp r o v i d e sak i n do fa n a l y t i c a lm e t h o df o rf o r e xi n v e s t o r st oa n a l y z e i n v e s t m e n tc o m b i n a t i o ni nf o r e xm a r k e t ，s ot h a te m i c h e dt h ea r t i f i c eo ff o r e xa n a l y s i s m e t h o d k e yw o r d s ：v a l u ea tr i s k ；f o r e x ；f i n a n c er i s k ；f o r e xd e p o s i t ) a r b i t r a g e 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名；日期： 大连理工大学硕_ - i z 研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分蠹 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 厂、= ： 导师签名：占季兰兰= = 穹卜j k 脯 大连理工大学硕士学位论文 引言 在世界经济领域频繁交流，各国贸易飞速发展的今天，公司和金融机构进行资金管 理以及个人投资者投资股票、期货、外汇等都要面i 胳一个重要的问题，就是如何规避金 融风险。规避金融风险举措直接影响个人和公司的经济收入，甚至也会影响一个国家的 宏观决策和经济的发展。因此，做好风险管理对于个人投资者、公司，甚至国家都十分 重要。 课题背景 风险是日常生活中人们经常要面对的问题，经济学中的风险是一个很模糊的概念， 但总体来讲，可以从主观认定和客观确认两种方向来界定，主观说强调了风险的主观意 念，损失是不可以量度的；而客观说则认为风险是由客观的标准尺度来度量客观存在的 事物，风险管理就是建立在客观说基础上的，它利用统计学和数学工具来衡量风险，以 便人们判断形势，决定风险策略。 金融风险是人类生活所面临的各类风险中最常见，最具影响的一种风险类型，经济 生活只要存在，人们就要面临金融风险。但到目前为止，人们虽然努力去把握金融风险， 但是却一直不能将它控制在手中。 在危机四伏的金融市场上，国际上因为金融管理不善而出现的金融案例层出不穷： 1 9 9 4 年底，墨西哥政府将其货币墨西哥比索贬值4 0 ，引发了严重的金融危机，并涉 及到拉美，亚洲乃至全球；1 9 9 5 年，具有2 3 3 年悠久历史的英国巴林银行宣布破产，惊 动了英国女王，破产是由一位2 8 岁的交易员尼克里森在衍生品交易中损失了1 3 亿美元引起的，这笔损失耗尽了银行所有的股权资本；同年八月，日本东京最大的财务 公司宇宙财务公司遭遇4 2 亿美元的挤提；同样在德国，德国金属股份公司( m g 公司) 因为套剩失败导致1 3 亿美元的损失，这次由美国分公司招致的损失几乎使其总公司( 德 国第十四大产业集团，拥有5 8 0 0 名雇员) 差点儿因此破产；类似的例子还有很多 这些金融事件都是由金融风险造成的。它们越来越引起人们对金融风险的高度重 视。但事实上往往大事件人们注意得多些，其实日常生活人们需要面对的金融风险也很 多，例如：股票价格的波动与股民，期货价格与期货投资者息息相关；外汇市场上，汇 率的变化与外汇投资者收益也密不可分投资者可能因为投资项目的较小变动而获 得利益，也可能因此而损失部分资本，所以可以用“瞬息万变”来形容金融市场。 市场的这种特性为每个参与者带来了挑战，这一过程引起的结果就是参与金融市场 的个人和金融机构必须对金融风险研究，控制风险以减少损失，提高资金运作的安全性 大连理工大学硕士学位论文 和有效性。针对这一问题，目前世界的主要金融机构和投资者正越来越重视风险控制， 近些年来，虽然各种控制风险的方法纷纭叠出，但在适应性上总是有所不足，全面有效 的基本没有。在这些方法中，c a p m 和v a r 是近年来出现的，较为有效的两种风险控制 方法，其中v a r 方法更为众多人所青睐。 本文工作 面对金融市场，本文将目光投向了外汇交易这一历史悠久，但又少为国人注重的交 易品种。通过对v 撒使用由浅入深地剖析，将它应用到外汇保证金交易，并采用历史 数据对几种货币的交易进行了分析，在研究了几种交易方法v a r 的基础上，说明了利 用套利投资的降低风险作用，展示了v a r 在外汇市场的巨大发展潜力。 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 1 涉及的几个基础知识 1 1 金融风险 广义来讲金融风险有四种不同类型：利率风险、汇率风险、股票风险和商品风险， 这些风险都发展了基本的分析工具。个别的风险，如：股票风险由于证券交易的长期发 展，产生了许多衍生的分析工具，比如技术分析中的k 线图分析、移动平均线、成交量 、趋势线等等，“但是总的讲，风险都可以用预期不到的结果的标准差一一占，又称变 动性来衡量”( 语自菲利普乔瑞) 。 一般来讲，市场的这种不可预见性导致了我们面临风险，而不同类型的金融风险相 互结合可能导致风险的复杂化，但可以通过调整我们手中的二级衍生工具来解决风险问 题，举个例子：假设某企业将出口若干产品到美国，这时人民币对美元的汇率为8 2 4 ： 1 ，而中国人民币目前面临升值的压力，到明年结算时可能会升值，这样企业的商品风 险就和汇率风险结合在一起。要避免汇率风险就可以采用期货套期保值的方法，卖出一 年后的美元期货来锁定风险，避免因汇率变化带来损失。 金融风险可分为两部分：系统风险与非系统风险，其中系统风险由市场等客观因素 造成，而非系统风险由人为估计误差造成，统计学中称之为“噪声”，这在投资组合这 一章中将予以介绍。 1 2 期望值与正态分布 概率论中有一个概念就是随机变量，它的定义是随试验结果的不同而能取不同值的 变量，由于试验结果的随机性，故取值也具有随机性，因此称之为随机变量。 随机变量的概率分布可以完整地描述随机变量的取值规律。很多实际问题中，我们 更关心的往往只是随机变量性质中的几个重要特征就可以了，这其中包括均值、方差等 等，虽然它不能完整描述随机变量，但在实际计算中却具有重要的意义。 1 2 1 数学期望 定义1 设离散型随机变量x 的分布律为： t ( x - - x k ) 印k = 1 ，_ ，2 ) 若级数x k p k 绝对收敛，则称级数 见为随机变量x 的数学期望，简称作期 望或均值，记做e ( z ) 即： e ) 2 黾胁 ( 1 1 ) 大连理工大学硕士学位论文 对于连续型的随机变量，若它的分布密度为f ( x ) ，注意到厂( 力出的作用相当于离 散型随机变量中的仇，再考虑到x 取值的连续性，就可以得到连续型随机变量的数学 期望定义： 定义2 设连续型随机变量x 的分布密度为厂( x ) ，若积分f = 矿o ) 出绝对收敛，则 称次积分值为x 的数学期望，记做e ( x ) 即： 占( 柳= ix f ( x ) a x ( 1 2 ) 数学期望的性质由如下几点： 1 设c 为常数，则e ( c ) = c ； 2 - 设x 时随机变量，c 为常数，鼹i j e ( c x ) = c e ( x ) ； 3 e ( x + c ) = e ( 戈) + c ； 4 e ( k x + b ) = 舾( x ) + 6 ( k ，b 为常数) 。 证明：仅就连续性随机变量证明性质4 ： 也 e ( k x + b ) = i ( h + 6 ) ，( 功出 螺弋 = klx f ( x ) d x + bi f ( x ) d x mm = 七层( x ) + 6 1 2 。2 方差，标准差，偏方差 在实际的随机变量性质分析中，随机变量的取值与均值的偏离程度就要计算 i x - e ( x ) i 或( z e ( x ) ) 2 的均值大小，通常以研( x 一五( x ”2 】来描述x 的取值关于均值 e ) 为中心的平均偏离程度。 定义3 设x 是随机变量，若e l ( x - e ( x ) ) 2 】存在，则称它为随机变量x 的方差， 记做 d ( 肖) = f ( z e 何) ) 2 ( 1 3 ) 若x 为离散型随机变量，则， d ( 膏) = ( 黾一e ( x ) ) 2 a ( 1 3 1 ) 其中p ( x = 砟) = 所( k = 1 2 ) 为x 的分布率。 若x 为连续型随机变量，其分布密度为，( 曲，则， d ( 。d = f ”( x 一五( z ) ) 2 f ( x ) d x ( 1 3 2 ) 通常将d ( x ) 称作x 的标准差，记做万( 幻。 若考虑两个随机变量的线性组合，方差推导是这样的： 大连理工大学硕士学位论文 d ( x 1 + 五) = k + 屯一占瞄+ 五) 】2 八功凼如 = j 【而一e ( x o 2 f ( x a ) d x l + i x ：一e ( 恐) 圹) 如 + 2 jl 一e ( 墨) 而一e ( 五) ，( ，屯) 嘲) = d ( 五) + d ( 五) + 2 c o v ( x i ，五) 最后一项c o y ( x 1 ，五) 定义为五，五的协方差。 1 2 3 正态分布 正态分布又称高斯分布，是由1 9 世纪数学家卡尔f 高斯( k a r l f g a u s s ， 1 7 7 7 1 8 5 5 ) 在研究天体运动时提出的，中心极限定理证明，随着观察样本的增加，均 值趋于正态分布，它可以描述许多客观现象的整体情况，是一种最重要的，也是最常见 的分布。 定义4 设随机变量x 的分布密度为： 1l ! = 拦2 1 八力= 7 妄l _ p 2 8 2 ( 1 4 ) z 丌d 其中一和d 2 ( 占 0 ) 是两个常数，则称x 服从参数为口和j 2 的正态分布，记作： x 口n ( u ，扩) ，通常又称x 为正态变量，如图l 一1 ， 俨0 一 、“l 、 圉1 1 正态曲线具有如下的性质： 1 关于x = 芦对称，当x = u t l 寸f ( x ) 取得最大值，( x ) = 1 击； 2 曲线以x 轴为水平渐近线； 3 若固定占，改变t z 值，则曲线y = ( 沿x 轴方向平行移动，而曲线的形状不变； 若固定卢，改变占值，占值越大，曲线越平坦，占值越小，曲线越尖峭； 4 特别当= 0 7 占= 1 时，又称x 服从标准正态分布，记做：z 口n ( o ，1 ) ，分布密 度函数为： 12 p ( x ) = 亡e 2 ( 工 佃) ( 1 5 ) 大连理工大学硕士学位论文 在金融分析中，风险可以用可能结果的离差来衡量，分布平意昧着风险大，分布陡 峭说明风险小。如图1 2 所示： ， 、j f f 11 、 - 一+ ，r ， + 。，一 、 圈1 - - 2 两种汇率：加元对美元，英镑对美元，从它们的分布中可以看出端倪，分布更广的 汇率英镑对美元的风险我们更加难以控制，可能面临的投资损失就更大。 1 3 样本估计 在实践统计中，只要拥有一定数量的历史数据，我们就可以采用极大似然法来估计 样本的指标性质。 假定t 是观察数量， 为估计期望值，暑是第i 个数据，那么： 一 1 二 。i 乞薯( 1 6 ) 1 t 1 1 只要t 的数量是足够的，就可以无限的接近。 方差也可以采用类似的方法估计： 21r2 j = 志 一五) ( 1 7 ) 1j l 其中j a 是方差估计值，t 是观察数目，五为估计期望值。舍的平方根可以作为标准 差的估计值，测量样本数据的变动情况和偏离程度。 1 4 外汇和外汇市场 外汇，即国外汇兑，本意是由于国际问的债权债务结算所引起的货币兑换行为。外 汇主要是指外国货币，还同时包括以外国货币表示并用来进行国际结算的支付手段。 外汇市场可以是有形的- _ _ 外汇交易所，也可以是无形的通过电讯系统交易的银 行间外汇交易。据国际清算银行最新统计显示，国际外汇市场每日平均交易额约为1 5 万亿美元。 全球几种主要外汇及代码： 大连理工大学硕士学位i 仑5 c 歇元 e u r 日元 j v y 英镑 g b p 瑞士法郎 c h f 澳元 a u d 新西兰元 n z d 加元 c a d 外汇市场的参与者主要包括各国的中央银行、商业银行、非银行金融机构、经纪人 公司、自营商及大型跨国企业等，按其交易的目的，可以划分为投资者和投机者两类。 近年来，外汇市场之所以能迅速发展，为越来越多的人所青睐，成为国际上投资者 的新宠儿，这与外汇市场本身的特点也分不开，外汇市场的主要特点是： 1 有市无场 外汇买卖是通过没有统一操作市场的行商网络进行的，外汇交易网络是全球性的， 并且形成了没有组织的组织，市场是由大家认同的方式和先进的信息系统所联系，这 种没有统一场地的外汇交易市场被称之为“有市无场”。 2 回圈作业 由于全球各金融中心的地理位置不同，亚洲市场、欧洲市场、美洲市场因时间差的 关系，连成了一个全天2 4 小时连续作业的全球外汇市场，2 4 小时不问断运行，外汇市 场成为一个不分昼夜的市场，只有星期六、星期日以及各国的重大节日，外汇市场才关 闭。这种连续的作业，为投资者提供了没有时间和空间阻碍的理想投资场所，投资者可 以寻找最佳的时机进行交易。 1 5 外汇保证金交易 1 5 1 交易原理 外汇保证金交易，是利用杠杆投资的原理，在金融机构之间及金融机构与投资者之 间进行的一种远期外汇买卖方式。在交易时，交易者只付出0 5 一1 0 的保证金，就可 进行1 0 0 额度的交易。使得每一位小额投资人也可在金融市场中买卖外国货币，而获 得利润。 举例而言，今天赵先生要做等值1 0 0 ，0 0 0 美金的交易，通过保证金交易，假设保证 金比例为1 ，赵先生只需要有1 0 0 ，0 0 0 1 = 1 0 0 0 美元的资金，便可以进行此交易。 换句话说，只要1 , 0 0 0 元的资金便可以进行1 0 0 0 0 0 元的交易，即资金放大了1 0 0 倍。 大连理工大学硕士学位论文 但是，需要指出的是，这样的放大交易其风险也是成比例增加的，即风险也增加了 近百倍。在这类交易中规避风险除交易人可以设立止损( 当损失超过一定额度后，交易 商都有权停止损失的机制，意同股票市场中所谓的“断头”) ，这种方式在某种程度上 可以使风险保持一定的水平，减少投资损失。 1 5 2 交易特点 外汇保证金交易8 0 年代产生于伦敦，除了与期货交易一样也实行保证金制度外， 外汇保证金交易还有不同于期货交易的特点： ( 1 ) 外汇保证金交易的中场是无形的、不固定的，在客户与银行之间直接进行，中 间没有交易所这样的中介机构； ( 2 ) 资金流动性高，既期外汇市场的每日交易量高达一万五千亿美元，使得外汇市 场成为全世界最大，资本流动性最高的金融交易市场。 ( 3 ) 外汇保证金交易没有到期日，交易者可以无限期持有头寸； ( 4 ) 外汇保证金交易的币种丰富，所有可兑换货币都可作为交易品种； ( 5 ) 外汇保证金的交易时间是2 4 小时不问断的； ( 6 ) 外汇保证金交易要计算各种货币之间的利率差，金融机构须向客户支付或从客 户保证金中扣除。 ( 7 ) 网络交易明细表单功能。在即期外汇市场，投资入可以即时地看到帐户资金和 未平仓部位的损益变动，所有的资讯都会随着汇率变化而立即更新计算。 正是因为外汇保证金交易具有以上的诸多优点，所以，近年来外汇交易能迅速发展， 为越来越多的人所青睐，成为国际上投资者的新宠儿。 部分外汇保证金交易合约单位 e u re u r6 2 ，5 0 0 j p yj p y1 2 ，5 0 0 ，0 0 0 g b pg b p6 2 ，5 0 0 c h fc h f1 2 5 。0 0 0 a u da u d1 0 0 。0 0 0 n z dn z d1 0 0 0 0 0 c a d c a d1 0 0 ，0 0 0 1 5 3 保证金的风险管理 保证金交易与外汇实盘交易一样主要面临以下几种风险： 1 、汇率风险 大连理工大学硕士学位论文 这是影响我们收支的主要风险。对于保证金交易而言，以小博大实它的主要特点， 因此获利与损失是并存的，汇率的几十点变动可能为我们带来数千元的利益，也可能在 反方向变动时带来同等的损失。在外汇交易中，汇率风险是交易中不可避免的，但是我 们可以通过资金管理来控制它的大小，从而降低损失的可能性。 2 、国家风险 这是针对货币的币种选择而言，因为不同国家的政治经济状况是不同的，当一个国 家的政策和法规发生变化，或重大新闻发布，以及国家资金储备发生变化都可能引起汇 率振荡。一般来讲，这种风险是可以避免的，方法有二：一是平常注意国际形势变化， 特别是持有货币国家国情变化：二是避免投资落后国家或经济不稳定国家货币。 3 、信用风险 这是指交易中不履行交割义务的风险。这种风险来源是在选择金融机构时错误地选 择了没有良好信誉的金融机构，导致交易公司扒去投资人资金的情况。在选择了可靠金 融机构的情况下，这种风险也可以基本忽略。 4 、操作风险 这是指交易者在交易中由于粗心大意而导致买，卖对象错误及数字录入错误。这种 风险的损失一般较大，要避免这类风险，一定要在完成交易后马上和交易对象就金额， 币种，买卖细节进行核查确定交易。 大连理工大学硕士学位论文 2 投资组合优化 2 1 投资组合的概念 作为谨慎的投资者。在规避风险方法上有一个很好的选择，就是对有着各种风险的 金融工具进行分散投资。投资者根据历史数据或者采用模拟扩大样本数据规模的办法， 分析经过筛选的投资品种，确定其权重，可以取得合适的投资组合，分散风险，减少损 失，使收益率保持平稳。 投资组合的定义：简单地说，投资组合就是在进行投资时，选择投资的资产种类， 确定其适当的权重，即明确各个资产所占该投资组合的比例。 马考维茨模型提供了一种明确和选取投资组合的方法，这个方法的实施过程被称为 投资组合最优化，这一优化过程在经济学又称为资产配置。 马考维茨( m a r k o w i t z ) 模型： m i l l 啡= x , x jc o v ( r , 玛) l 1j = 1 l s j 薯r = r p i - l n 一= 1 f - l 茎t m ，( 0 - l e l ，0 - u i l ，扛1 2 ，玎) ( 2 1 ) 置为第i 种证券资产的份额； 与虬指第i 种证券的买卖量在现行市场法规约束下的上限和下限，即不能买空和 卖空。 它表明：构建投资组合合理目标应是在给定风险水平下形成一个具有最高回报率的 投资组合，具有这种特征的投资组合叫做有效投资组合。 为什么要进行投资组合呢? 因为投资者从根本上讲都是要回避风险的，这样假定 后，意味着投资者的风险和回报是要成正比的，这就是说要有一个效用最大化而不仅仅 是回报率的最大化。举例来讲：我们投资两支股票，为了使回报与风险的羞一效用最 大，我们在回报率相同情况下，要求选择风险较小的那个投资组合。 一般的讲，大部分投资者都不是单一的投资，如果按着投资者不要求回避风险的话， 那么投资者应当是只持有拥有最高回报的那一种投资，这样可以获得最高回报率。但事 大连理工大学硕士学位论文 实上，投资者要求的是能回避未来损失的不确定性，通俗的讲，就是要可能旱涝保收， 他们要回避未来潜在的巨大损失，尽管这样的成本大一些，收益小一些。 在回避风险的假定下，马考维茨投资组合模型归纳起来有以下几个要点： l 投资组合的回报率是回报率的期望，并且这一期望的偏差可以用方差来度量和 估计。 2 理性的投资者可以选择投资组合来控制投资风险和回报率。 3 投资者可以通过三个指标来选择投资组合，它们是：投资每种资产的回报率、 回报率方差和资产之间的协方差。 通过这些我们就可以按着投资的目标风险来确定回报率最大化和投资组合的权重， 对于给定的期望回报率使风险最小化，以实现投资组合的有效性。 2 2 投资组合收益 投资收益是与证券价值息息相关的。这里的证券是广义的，包括所有投资，如负债 工具，股票、期货、期权、房地产，外汇、收藏品等。当计算单一种类的证券投资时， 我们最先是对资金投入做出某种方向的预期，即证券价值是否能在一定时间内发生变 化，而我们的收益也正是由于这种变化而在将来的某个时期内收到的。 假设我们讨论时段为一年的收益问题，设当前时段为t ，一年后时段为t + 1 ，算术 或者离散型的收益率可定义为：资本收益与所有股息、红利，息票或债息等所有金融资 产的收益总和： + l2 ( b + l + q + 1 一只) ，p t ( 2 2 ) 其中口+ 。为收入支付，n 为证券价值，+ 。为收益率。 例如：当股票在年初售价为5 元，期末收到红利1 元，支付红利后股票价格为6 元， 则一年后股票收益为： “= ( 6 + 1 5 ) 5 = 4 0 当我们投资有效的投资组合时，实际上就是将投资按一定的比例分散到了不同的证 券上，收益率的计算也变化为各不同组成成分收益的加权平均，即： r 。= e ( r p ) = a 】1 e ( r 1 ) + c 0 2 e ( r 2 ) + + e ( 砖) , e l = q e ( s ) f = l 假设有两种证券组成的投资组合，它们的回报率是2 0 和3 0 ， ，则投资组合的期望收益为： ( 2 3 ) 权重为2 0 和8 0 大连理工大学硕士学位论文 戤r v ) 2 2 0 2 0 + 3 0 8 0 2 2 8 2 3 投资组合方差和协方差矩阵 投资组合就是对一定数量的风险因索持有量组合，当将投资组合分解之后，它的 收益就是各种基础资产收益的线性组合，而每种资产投资金额占总投资比例就是它的 权薰。 从时间t 到时间t + 1 期间的投资组合收益为： ，毋，马川 l - i 其中，劬，= l ； ( 2 4 ) f - 1 这里q ，为收益的权重系数；尺，t i + 。为t 到t + l 期间的投资组合收益；r 川为第i 种 资产的投资收益，用向量表示： 则投资组合的收益期望值 方差为 用矩阵表示： 五。叫q ，吐，】 墨 垦 -_ 墨 = 凹7 r e ( ) = 晦= q “ i - i v ( r ，) = 2 = 砰拜+ q 哆嘞 i - 1i - 1j - l j , * i nn = 砰砰+ 2 q q l = l1 - 1j 0 ，意味着两者是正相关的，即价格变化是同方向的；如果o u 7 z 即对于任意非负向量0 9 有： 一矿d 7 b “d 7 ( 3 3 ) 记= 一d u ，则由( 3 3 ) 推出卢为非负向量。另外，由a d = o 知“q = a l z = o 。 在( 3 3 ) 中取掰= o ，则h 6 f = b 0 ，定理得以证明。 3 2 = 次规划问题的解 考虑无约束二次规划问题： 大连理工大学硕士学位论文 m 。g m fm ) 5 尹吼+ g o 其中g e r ”1 是对称矩阵，g e r ”。 若g 可逆，则目标函数可以写成下面的形式： 厂( 石) = i 1 + g - l g ) 7 0 ( x + g 一1 9 ) 一i 1g r g 一1 9 若g 正定，则厂( x ) 有全局严格极小点：x = 一g g 。 对于g 半正定的情况，我们有如下结论： 定理3 2 凸函数f ( x ) = 去，g x + g x 有极小值的充分必要条件是g r ( g ) ，也就是 r a n k ( g ) = r a n k ( g g ) 。此时，任意满足g x = 一g 的x 均为该凸函数的最优解。 证明；由g 半正定知存在正交阵p 使p g p = f ： ，其中r 为正定阵。令y = ，x ， 即x = e y ，记g 口p 7 9 ，贝0 。 m ，= 纠：y + g r y 3 夕 而厂( y ) 有极小值的充分必要条件是g 的后( 拧一r ) 个分量为0 ，而这等价于 g r ( p 7 g p ) 。利用下面的等价条件可证得结论： p g 且( j p 7 g p ) g e r ( g p ) 甘g r ( g ) 利用凸规划问题得最优性条件可以得到定理的后一个结论。 证毕。 虽然一个等式约束可以等价地转化成两个不等式约束。但带等式约束的二次规划问 题远比带不等式约束的二次规划问题容易求解，这可以从下面的讨论中得到印证。 考虑带等式约束的二次规划问题 疵厂o ) 2x t 繇+ 办 ( 3 4 ) j 0 a x = b 其中a er ”为行满秩矩阵。 任取a x = 6 的一个解：c o ，则q = x o + ( 4 ) ，则( 3 4 ) 化为 大连理工大学硕士学位论文 r a i n 秒g y + 旷_ y + y 7 瓯+ f ( x o ) ( 3 5 ) s ，a 7 = 0 设z 为由a 的核空间中一组基组成的矩阵。由于缈= 0 存在z r 使y = 7 2 ， 代入( 3 5 ) 便得到一个等价的无约束二次规划问题： n f m z r z 7 g z z + z 7g ( x o ) h 月12 其中g ( x o ) ( g + g x o ) 。 这样就将等式约束的二次规划转化为无约束二次规划。其解的存在由下面的定理得 到。 定理3 3 设a r ”“行满秩，z 中的列构成_ 的核空间n ( a ) 的一组基，则 ( 1 ) 若z 。g z 正定，则原问题有唯一极小值点。 ( 2 ) 若z 7 g z 半正定，k g ( x o ) g ( z 7 g z ) ，则原问题有无穷多个极小值点。 ( 3 ) 否则，目标函数无下界。 3 3 等式约束二次规划问题的k t 点的求解公式 由于凸规划问题的k - t 点一定是整体最优解，这样我们就可以通过求解凸二次规划 问题的k - t 点来获取最优解。下面看带等式约束的凸二次规