（计算数学专业论文）非线性椭圆问题多解的计算与研究.pdf

湖南师范大学硕士学位论文i o 1中文摘要 本文在陈传淼、谢资清提出的一种全新的计算菲线性椭圆型方 程多解的搜寻延拓法( s e m ) 的基础上，通过扩张子空间技巧( e s t ) 优化初始值，保证计算的收敛性；同时引入m o r s e 指标理论，对多解 的性态进行了有益的探索，首次对二维情形描述了多解的m o r s e 指 标及解的性态的关系 主要结果如下： ( 1 ) 提出了优化选择基函数的方法，利用e s t 技巧优化初始值， 舍弃了松驰因子，从而避免了在复杂情况下由于初始值不够精确而 造成的迭代发散，保证了从一特定的初值出发。可以得到它所对应 的解，用科学计算进一步证实了陈传淼、澍资清关于奇非线性椭圆 型方程多解的分布与结构的猜想 ( 2 ) 将无穷维问题多解的m o r s e 指标转化为有限维逼近问题的 h i o r s e 指标进行描述，对二维情形发现多次变号的解有较高的m o r s e 指标，初步建立了解的m o r s e 指标和解的性态之间的联系 关键词：多解，非线性椭圆方程，搜寻延拓方法，扩张子空间 技巧，m o r s e 指标 o 2 英文摘要 a b s t r a c t b a s e do nt h es e a r c h e x t e n d m e t h o d ( s e m ) t h a t p r o p o s e d b yc m c h e n a n dz q ，x i ef o rc o m p u t i n gm u l t j p l es o l u t i o n so f n o n l i n e a r e u i p t i ce q u a t i o n ，七h ee x p a n d s u b s p a c e - t e c h n i q u e ( e s t ) i ss u p p l i e dt oo p t i m i z et h e r o u g h i n i t i a lv a l u et oe n s u r ec o m d u t 孙 七i o n a lc o n v e r g e n c e ，a n dt h em o r s et h e o r yi s i n t r o d u c e di n t ot h e s e mt oe x p l o r et h ep r o p e r t yo ft h es o l u t i o nm e a n i n g f u 儿y m a i nr e s l l 】t sf o l l o w s ( 1 ) e s to p t i m i z et h er o u g hi n i t i a lv a l u et oa v o i di t e r a t j o n d i v e r g e n c ew h i c hi sc a u s e db yi t sb a da p p r o x i m a 七i o nt ot h es o _ l u t i o n ，t h r o u g hw h i c hw ec a nv e r i 丘e st h ea s s u m d t i o na b o u tt h e s t r u c t u r ea n dd i s t r i b u t i o no ft h em u i t i d i es o i u t i o n so fo d dn o n 1 i n e a re q u a t i o n si nn u m e r i c a l s e n s e ：a n do b t a j nt h ec o r r e s p o n d i n g s o l u t i o nf r o ma n y g i v e ni n i t i a lg u e s s ( 2 ) f 、l r t h e r ，t h r o u g hc h a n g i n gt h em o r s ei n d e xo ft h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a ls o h l t i o ni n t ot h e 最n i t ed i m e n s i o n a lo n e ，w ef i n d t l l a tt h eh i g hf r e q u e n c es o l u t i o nh a sl a f g em o r s e i n d e xa n dt 1 1 e n e s t a b l i s hs o m e p r e l j m i n a r yr e l a “o n sb e t w e e nm o r s ei n d e xa n dt h e s 0 1 l 】t i o n k e y 、b r d s ：m u l t i p l es o l u t i o n ， n o n l i n e a re u i p t i ce q u a ， t j o n s e a r c h e x t e n s i o n i e t h o d ，e s t ，i o r s ei n d e x 第一章绪论 1 1 引言 非线性边值问题可能有一个解或者多个解( 甚至无穷多个解) ， 它们的结构相当复杂对这个问题的深入研究，对非线性科学和非 线性数学都是有重要意义的 早在2 0 0 多年前e u 】e r 提出细杆纵向受压的稳定性问题设杆在 工轴的( o ，! ) 上，在一端加纵向压力p 此力不大时，杆只有微小的变 形，不会弯曲当p 大到一定程度时，会发生戏剧性的变化若杆有 微小的横向位移札o ，压力p 作用下产生弯矩尸h 设弧长为s ，细 杆的变形与其曲率p = 塞成正比，细杆的弯曲方程为( 特征问题) e 础( 5 ) + 尸札= o ，钍( o ) = u ( f ) = o ，- 、俪 若讨论小形变“= u ”，它变为线性问题，有非零解钍= cs i n 七s ，要 求满足边界条件u ( f ) = e s i n 肼= o ，肼= n r ，扎= 1 ，2 ，即要求 p = r = e ，( 暑) z ，这里最小的只= p l 称为( 第一) 临界压力，常数 e 可正可负，故有三种可能的解我们现实生活中常能看到这种现 象( 如n = 1 ) ，但是即使是一 1 的多波现象是很难想象的，但它在很特定的条件下存在，可能 更不稳定在上世纪对薄壁圆筒所做的纵向加压的破坏性实验中， 就观察到薄壁圆筒产生的多波皱折型变形，很象是形如s i n n z ，n l 的解 2 - 湖南师范太学硕士学位论文 现在知道，这种多解现象在非线性科学中更为普遍例如量子 力学中著名的s l l r 6 d i n g e r 方程组，电场强度叫= n + 讲满足 叫f = + i 山1 3 w 这种立方非线性也许就是产生多解的来源之一 我们考虑半线性椭圆问题： u + ，( 茁，t ) = 0 打ln ，u = od n 1 9 q 正则性假设如下： 1 。，( z ，) 在商r 上局部l i p s c h i t z 连续； 2 。当3 时，存在常数c t 和q 使得 i ，( z ：t ) isc l + 岛9 ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) 这里o p o 的不稳定解事实上，不稳 定解比稳定解更重要 湖南师范大学硕士学位论文3 基于山路定理，y s c b o j 和p j m c k e n 丑a 在文f 6 】中提出了著名 的山路型算法( m p a ) 来计算拟线性椭圆问题的山路型解从1 9 9 3 年 起，该算法广泛地应用于求解各类偏微分方程，如波动方程和悬浮 桥方程等【1 7 | 1 8 1 m p a 算法先在一条连接。和e 。的折线上求l ，( u ) 的极 大值，这里。为j ( 札) 的局部极小点，j ( e ，) o ，则方程 ( 1 一1 ) 有无穷多对解，但由于具有高阶m o r 指标的临界点的多重 性、退化性和不稳定性，m p a ，h l a 和m n a 的收敛性分析遇到了固有 的困难，只能算出为数不多的几个解，且对于解的结构一无所知去 掉，旧) 奇非线性的假设，多解的研究将更富有挑战性在一些更强 的假设下，目前最好的结果是z q w i n g 得到的，他利用环绕理论和 m o r s e 理论证明了方程( 1 1 ) 至少有三个非退化解，在一般非规则或 非奇情形下没有人在数值上得到了方程( 1 1 ) 的4 个以上的解 陈传淼与游资清在文f 4 】中提出了一种全新的多解计算理论和 方法一一搜寻延拓方法( s e m ) ，它与上述的爬山定理及最大最小算 - 4 湖南师范太学硕士学位论文 法无关，而是从用少数几个特征基的非线性展开搜索开始的，然后 利用一种谨慎而有效的有限元迭代格式作精密化计算此法熊计算 高m o r s e 指标的多重懈，从而能为大多数的工程师理解和接受 引进特征问题 1 2 搜索延拓法 一奶= 奶饥q ，锄s( 1 4 ) 记其特征对为 ，九) ，假定 0 a lsa 2s 冬a 。曼一o 。 且 奶) 凳t 组成规范化的完备正交系，即 ( 也，奶) = 如a ( 丸办) = 如 记子空间s = s 芦n n 曲t ，2 ，如 ，s = 如因此对充分大的，问 题( 1 一1 ) 的解能用以下级数逼近 这里系数n = ( 。，o z ，n ) 满足非线性组 ( 1 5 ) 尸v ：最( d ) = 凡n 。一g ( o ) = o ，= 1 2 ，3 ，( 1 6 ) 其中承( a ) = ( ，( u ) ，蚓，这是一个复杂的代数方程若很大，整体 求出所有的解是不可能的目前还没有一般的计算方法搜索出所有 的解用陈传淼推出的多方体法，也只能搜索孓7 个未知数，但它能 分解为一系列子问题来解决 搜寻延拓法由三层子空问s 。csc 乳上的三种算法组成 第一步：对小的n o o ，使得：对任意o o ，已是半径为p 的球， a 鼠是其球面 2 。存在e e 一岛( o ) 使得，( e ) o 令r 是e 中联结。与e 的道路的集合，即 r = 9 c ( 【o 1 】，e ) 1 9 ( o ) = o ，9 ( 1 ) e ) 再记 c 2 瓣嚣翁地( 2 ) ) 那么，。2o ，关于c 有临界序列如果，再满足p s 条件，则c 为，的临界值 上面给出的这些定理组成了临界点理论的核心内容，但它们的 证明都比较的复杂，涉及到微分拓扑中一些非常深刻的概念，我们 这里不打算在此深入讨论，有兴趣的读者请参见文【2 4 】 3 2 临界点的m o r s e 指标 、i o r s e 指标是一个很重要的概念，它将临界点的性态进行一种分 类 依照、f o r s e ( 1 9 2 9 年) 讨论多元函数临界点的性质，设多元函数 在一点王。的邻域中，z = z 。+ 扛一。) ，用带积分余项的珊l o r 展开 2 6 湖南师范大学硕士学位论文 当我们讨论无穷维空间泛函的m o r s e 指标时，我们只能简化，将 上述在一点的惯性指标看作是m o r s e 指标这样无穷维问题的m o 跚 指标就用有限维逼近问题( 如果维数适当大的话) 的m o r s e 指标来描 述换句话说，无穷维问题的m o r s e 指标计算在数值上变得可行从 而我们找到了一种途径来对多解的性态进行有益的探讨 3 3 多解的m o r s e 指标的数值计算方法 回到问题( 1 1 ) ，将临界点展开为一的规范化特征基的级数 u ( z ) = 呜( z ) j = l 它应满足临界点方程 a i o ，一( ，( u ) a ) = 0 ，i = 1 ，2 ，3 ， 对任意。( z ) ：妻咖( 。) 岛，问题( 1 1 ) 的二次变分形式可写为无 穷维的二次型 j ”拙卅卜如叫2 - ，1 咖2 ) 如2 岳触山牡呐( ，( 丸蛳) ( 3 。2 ) 特别地，在每个特征方向( 它们是线性无关的) 上有以下表示 j ”( u 6 ：d ) = 6 ；( ，。一，( 扎( z ) ) 曲；( z ) d z ) ，i = 1 ，2 ，3 ， 注意到特征值是一个趋向无穷的不减数列由于，( u ) o ，且u 已固定，就可能存在七个j ，例如a 。sk ，使得 ，。 ，( u ) 曲? ( 。) d z 陈传淼、谢资清曾讨论过一维情形下m o r s e 指标的数值计算方 法，这里以二维问题( 2 1 ) 为例，将他们的工作进一步推广( 2 一t ) 相应的泛函( 2 2 ) 及特征对( 2 4 ) 前面已经给出对任意的 ”( 圳) = 6 。 。( 训) m l 一一一一 湖南师范大学硕士学位论文，2 7 由( 3 2 ) 知，j ”( u “m ”) 可写为无穷二次型 一2 ，”( 矿；叫) = 等k 扣锄 ( 3 3 ) m n = 1 其中系数 m n = h n a _ n i ( 3 ( 缸“) 2 毋；。j 。，妒t 。h ) 利用线性变换将此二次型化为标准型 一2 j ”( u “”) = ；焉，p l 屹” ( 3 4 ) 一m = 1 则负系数吩 o 的个数称为解驴暂) 的m o r 鸵指标m i 由于讨论的问题是无穷维的，给我们的实际计算到来了可想而 知的困难考虑到前匿通过搜寻延拓法，从t o = 1 8 8 5 6 2 咖1 1 出发得到 的第个正解u l 。( 对应图2 2 ( c ) ) ，我们取前面的2 2 5 个基进行计算， 可以得到它的相应的非零的f 0 u r i e r 系数列予表孓1 表3 _ 1 ：问题( 2 一1 ) 的第一个正解的非霉系数 0 1 1 1 6 7 0 5 口1 3 = 0 3 l 一0 1 6 5 6 4 口1 5 = 口5 1 0 0 1 6 1 3 6 o 0 0 4 7 8 6 0 3 5 = 0 5 3 0 0 0 7 1 9 8 8 n 5 5 0 0 0 1 7 4 6 口1 7 = n 7 1 0 0 0 1 6 2 6 4 n 3 7 = 毗3 0 0 0 0 8 9 9 0 1 8 5 7 = 0 7 5 0 0 0 0 2 9 9 6 3 口1 9 2 。9 l 0 0 0 0 1 6 7 3 5 n 3 9 = 口9 3 0 0 0 0 1 0 4 9 6 q 竹 6 9 1 0 8 e 1 0 0 5 n 5 9 = n 9 5 4 3 2 2 7 e 0 0 5 口1 n = a 1 1 1 1 7 4 2 3 e - 0 0 5 0 7 口= n 9 7 1 2 5 6 3 e - 0 0 5 口3 u = 0 1 1 ，3 1 1 8 8 3 e - 0 0 5 0 5 1 1 = q n 5 5 6 4 1 l e - 0 0 6 o 鲫 2 8 8 7 5 e - 0 0 6 幻。1 1 2 d n ，7 1 9 6 2 8 e - 0 0 6 口1 1 3 = 口1 3 1 1 8 3 6 e 0 0 6 0 3 1 3 = 口1 3 3 1 2 8 7 e - 0 0 6 由此看到，此级数的收敛很好，其系数下降很快其它的解也有 类似的情形，只是收敛速度相对要慢一些也就是说问题( 2 1 ) 的 解能用有限级数逼近 矿( 刚) = 如( 剐) n u t 湖南师范大学硕士学位论文 按照前面所述的解的m o r s e 指标的计算方法，将无穷维问题限 制在有限维子空间中讨论，即取个基将区间，= ( o ，”) 剖分为 m 个单元，并采用5 点高斯求积公式同时将村取得充分大，以保 证计算所要求的精度陈传淼、谢资清研究了前2 0 个解，并要求所有 的计算有5 位有效数字准确。实际计算表明，取= 2 0 0 及m = 2 0 0 已足够了对已得的解u 女( 。) ，其m o r s e 指标m i ( 惫) 列于表3 - 3 由于 基m = s i n 妇有七个波峰波谷，而a 觑功s i n 妇也将有七个波峰波 谷从表中可以看到，它的m o r s e 指标m i ( j c ) 2 二维情形 二维情形相对要复杂一些以问题( 2 1 ) 为例，通过前述方法 计算得到了一些数值结果( 见表3 - 4 ) 其中这些数据都是在取定基 2 2 5 个，及在对区域3 2 3 2 的均匀剖分下，用5 5 高斯求积公式计 算所得在进一步用更多的基直到4 0 0 个基计算时，有相同的结果。 因此，计算的结果是可信的 另外，为了研究解的m o r s e 指标m i 与解的几何性态之间的联 系，我们计算了每个解的波峰波谷数( w n ) ，详见表3 - 4 从表中不 难看出解的m o r s e 指标m i 大于或等于、) l - r n ，并且它们是较接近的。 22 ：2 ( 妒1 2 一妒2 1 ) 22 d 1 3 妒1 3 53 n i 3 ( 咿1 3 + 妒3 1 ) 8 5 n ：3 ( 妒1 3 一妒3 1 )5 4 n 1 4 妒1 464 ：4 ( 妒1 4 一妒4 1 )1 0 6 n j 4 ( 妒1 + 妒4 1 ) 1 06 d23妒2376n去(妒23+妒32) 6 6 6 o “p “1 2 8 n 幺( # 船一妒3 2 ) 6 o 五( 妒2 4 + 4 2 )98k ( 妒舶一妒4 2 )98 1 41 2n 五( 9 3 4 + 妒4 3 ) l llln34#34 n l ( # 3 4 一似3 ) 1 11 1口“曲4 2 01 6 湖南师范大学硕士学位论文 按照前面所述的解的m o r s e 指标的计算方法，将无穷维问题限 制在有限维子空间中讨论，即取个基将区间，= ( o ，”) 剖分为 m 个单元，并采用5 点高斯求积公式同时将村取得充分大，以保 证计算所要求的精度陈传淼、谢资清研究了前2 0 个解，并要求所有 的计算有5 位有效数字准确。实际计算表明，取= 2 0 0 及m = 2 0 0 已足够了对已得的解u 女( 。) ，其m o r s e 指标m i ( 惫) 列于表3 - 3 由于 基m = s i n 妇有七个波峰波谷，而a 觑功s i n 妇也将有七个波峰波 谷从表中可以看到，它的m o r s e 指标m i ( j c ) 2 二维情形 二维情形相对要复杂一些以问题( 2 1 ) 为例，通过前述方法 计算得到了一些数值结果( 见表3 - 4 ) 其中这些数据都是在取定基 2 2 5 个，及在对区域3 2 3 2 的均匀剖分下，用5 5 高斯求积公式计 算所得在进一步用更多的基直到4 0 0 个基计算时，有相同的结果。 因此，计算的结果是可信的 另外，为了研究解的m o r s e 指标m i 与解的几何性态之间的联 系，我们计算了每个解的波峰波谷数( w n ) ，详见表3 - 4 从表中不 难看出解的m o r s e 指标m i 大于或等于、) l - r n ，并且它们是较接近的。 表3 4 ：问题( 2 1 ) 的解的m o r s e 指标( m ”和解图形的波峰波谷数( w n ) u o ( z ) m iw n 吐o ( z ) m lw n n l l 妒l l ll 口1 2 妒1 2 32 n j 2 ( 妒1 2 + 妒2 1 ) 22 ：2 ( 妒1 2 一妒2 1 ) 22 d 1 3 妒1 3 53 n i 3 ( 咿1 3 + 妒3 1 ) 85 n ：3 ( 妒1 3 一妒3 1 ) 54 n 1 4 妒1 4 64 n j 4 ( 妒1 + 妒4 1 ) 1 06 ：4 ( 妒1 4 一妒4 1 ) 1 06 d 2 3 妒2 3 76 n 去( 妒2 3 + 妒3 2 ) 66 n 幺( # 船一妒3 2 ) 66 o “p “ 1 28 o 五( 妒2 4 + 4 2 ) 98 k ( 妒舶一妒4 2 ) 98 n 3 4 # 3 4 1 41 2 n 五( 9 3 4 + 妒4 3 ) l ll l n l ( # 3 4 一似3 ) 1 11 1 口“曲4 2 01 6 与前面一维问题类似的，若u ( z ，) 是问题( 2 1 ) 的解，则一“( 。，) 也是通过奇延拓，每个解都可延拓为( 一，) ( 一) 上的2 ”为 周期的函数因此利用u ( z ，) ，则u = 七n ( k ，幻) ，七= 1 ，2 3 ，应该 都是问题( 2 1 ) 的解根据此结论，我们可以得到更多的关于问题 ( 2 1 ) 的解，当然要注意到的一点是：这样延拓得到的解可能跟前面 的某些解其实就是一个解比如从第一个正解秕，出发延拓到的解， 当= l ，2 ，3 ，4 ，5 时，已经直接计算得到了我们计算了一部分延拓 后的解的m o r s e 指标情况，见表3 5 表3 5 ：问题( 2 1 ) 延拓后的解的m o m 指标 u o ( ? ) 12345 0 1 1 妒1 l 141 12 02 7 口1 2 p 1 2 31 12 13 35 2 o ：2 ( 妒1 2 + 妒2 1 ) 291 93 2 5 0 n j 2 ( 妒1 2 一妒2 1 ) 281 93 25 0 3 5 分析与结论 通过将无穷维的m o r s e 指标问题转化为有限维的逼近问题，我 们对二维情形找到了计算多解m o r s e 指标的一种数值途径，这是数 值计算多维情形m o r s e 指标的一次大胆地尝试和崭新地推进 分析上面的数据，不难发现有这样的一个规律：无论是一维情 形还是二维情形，解的m o r s e 指标m i 总是要大于或等于解图形的波 峰波谷的数目w n 特别是在一维情形下，两者几乎相同，这是非常 有趣的我们可以这样来解释这一现象：它们虽是两个不同的概念： 波峰和波谷的数目刻画了变号解本身的形状，而m o r s e 指标是泛函 j ( 让) 在钍处的线性无关下降的方向的个数但它们之间确实有紧密 的联系，因为这些临界点毕竟是由此泛函而产生的 另外，从数值结果来看，多次变号的解有较高的m o r s e 指标正 是由于具有高阶m o r s e 指标的临界点的多重性、退化性和不稳定性， 使非线性多解的计算遇到了重重的阻碍但搜寻延拓法能计算这样 一些高m o r s e 指标的解，这在以往的算法中都是不曾得到过的 参考文献 1 】a ，a m b r o s e t t i 吼dp 1 h b i n n d w i t z e ，d u 础v a r i a t i o n a lm e t h o d si nc r j t i c a lp o i l l t t h e o r ya n d 印p l i c 8 t i o n s j f u n c t a n a l ，1 9 7 31 43 2 7 3 8 1 ， 【2 】k c c h a n g ，l n 矗n j t ed i m e n s i o n 8 lm o r s et h e o r ya n dm u l t i p l es 0 1 u t i o np r o b l e m s b i r k h a u s e r ，b o s t o n 1 9 9 3 f 3 】h b r e z j sa n dl n j r e n b e r g ，p o s _ i t j v es o i u t j o n so fn o n i j n e a ，e l i i p t j ce q u 8 t i o l l s i n v o l v i n gs o b o l e vc r i t i c a le ) 【p o n e n t s c o m m p u r ea p p l m a t h ，1 9 8 3 ，3 64 3 7 - 4 7 7 1 4 j e h u a n m i a 0c h e na n dz i q i n gx i e ，m u l t i p l es o l u t i o n s 飘di t sm o r s ei n d 暇f o r o n e d i m e n s i o n “n o n l i n e a rp r o b l e m ，( a c c e p t e db ya c t a m a t h e m 8 t i c 龋a p p l i c a t e s i n i c a ( e n g l i s hs e r i e s ) ) 【5 】y d e n g ，g c h e n ，w m n i 蛆dj x z h o u ，b o u n d a r ye i 锄e n t 1 0 n o t o n e i t e r a t i o ns 西e m e 蠡竹s e d 】i i i n e 盯d l i p t i cd i 8 b r e n t i 磊le q u 8 t i o n s m a t h ，g o m p ， 1 9 9 6 ，6 5 ，9 4 3 - 9 8 2 6 j y s c h o ia n dp j m c k e m n a ，m o 吼t i a np a s sm e t h o df b rt h en m e r i c 址s o l u t j o n o fs e m i l i n e 盯e l h p t i cp r o b l e m s n o n l i n e a ra n a l ，1 9 9 3 ，2 0 ，4 1 7 4 3 7 1 7 1m i d l 幽s ”u w e ，v 嘶a t i o n a lm e t h o d s s p r i n g e r v e r i a g ，1 9 9 6 1 8 1z h d i n 舀d c o s t aa n dg c h e n ，ah 追h u n l c i n g8 l 学d r i t h m 矗d rs i g h - c h a n g i n g s o l u t i o n so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o i i s n o n l i n e a ra n a l ，1 9 9 9 ，3 8 ，1 5 l 1 7 2 f 9 iy “，a i l dj x z h o u ，am i i l i m a xm e t h o df o rf i n d i n gc r i t i c 硝p o i n t sw i t ha g e n e r a lm o r s e i n d e xa n dj t s 印p l i c a t i o nt o m i i i n e a rp d e ( t ob p p e a r ) 1 0 】c m c h e na n dz q x i e ，s e 蹦吐一e x t e 删0 na 1 9 0 r j t h mf o ra p p r 删m a t j n g m u l t i p l es o l u t i o i l si nn o i l l i n e a rp r o b i e m a c t as c i n a t t i r h u n a nn o r m a l u n i - v e r s i t y 2 0 0 0 ，2 3 ，9 5 - 9 6 1 1 陈传淼，有限元超收敛构造理论湖南科学技术出版社，长沙，2 0 0 1 1 2 】c h u a n m i a 0c h e na l l dz i q i n g ) ( j e ，i n t e r p o l a t e dc o e m c i e n t 丘n i t ee l e m e t sf o r n o n l i n e a fe u i p t i cp r o b l e m s ( t oa p p b e r ) 1 3 1m z l a m a j ，af i i l i t ed e m e n ts o l u t i o no ft h en o n h n e 8 rh e a te q u b t i o n r a i r o m o d e l m a t h ，a n d n u m 盯，1 9 8 0 1 4 ，2 0 孓2 1 6 1 4 1s l a r s s o n ，v t h o m e ea i l dn y z h a l l g ，i n t e r p o l a t i o no f 斓c i e n t s a nt r a n s f b r m a t i o no ft h ed 印e n d e n tv a r i n b l ei nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s f o rt h en o n l i r i e a r h e a te q u a t i o n ，m a t h m e t h o d sa 印1 s c j ，1 9 8 9 ，1 1 ，1 0 3 - 1 2 4 3 4 - 湖南师范大学硕士学位论文 【1 5 jc m c h e n ，s l a 搴辜g o n 垂垂dn y z h a n g ie r r 镪t i m a t 篷to fo p t i m 吐o r d e r ；翥r 丘n i t ee k m e n tm e t h o d 暑w i i hi t e r p o l a t 主主c o e m c i e n t s ；嘉r ；誊en o 莠；i i i e lh e 8 t 薛薛u a t ! 矗n 。蹦aj 。n u m e r a n 纛；，1 9 蠡蠡，g ，鑫鑫掌；5 喜妻 【1 6 lp h r 三；i n d w i t z ，m i n i m 毒管m e t i i d si nc r i t i c 毳ip o i 羹lt h 爹w i t ha p p l i c a t j o 萎t o d i 饪e 妻n t i 矗! 鏖匡u a t i 矗f 垂m 密o n 霾ic o n s e ；i i nm 螽自毛毛m 毳；i 毒毒，n o 6 5 ，a m e r i c 垂； m 舞l h e m a t i c 矗is o c i e 曼p r 三三i d e n 垂垂，雾妻，1 9 垂垂 【1 7 1y s c 蚤蚤i ，p j m