（运筹学与控制论专业论文）一类资源分配问题及其解法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本模型针对如何对出版社的资源进行合理化配置的问题。首先，我们分析市场调查 的数据，考虑市场对教材的满意度和对出版社的满意度两个指标，利用层次分析法根据 市场调查问卷信息确定二者满意度指标的权重，进而利用二级模糊综合评价模型建立数 学模型计算a 出版社7 2 门学科各科的满意度分值。其次，我们对数据分析，利用a 出 版社的教材的市场占有率提取市场竞争力指标，作为影响利润函数的一个重要因素。最 后，我们对实际销售量、单价和书号的个数用e x c e l 进行处理，计算出每个书号的价值， 作为利润指标，并考虑满意度和竞争力影响因素，建立资源配置最优化的利润目标函数。 此外，对各课程计划申请或实际获得的书号数和9 个分社人力资源细目数据通过m a t l a b 分析求解书号个数的范围限定条件，确定了模型的约束条件。利用l i n g o 软件编程求解 所建立的线性最优化模型，得到总社给各个分社书号个数的最优分配方案及其各分社根 据分配的书号数量并对每个课程做出的出版计划。另外，根据模型的影响因素对模型进 行了优缺点的分析。通过对模型的灵敏度进行准确分析，可以对将来的情况进行预测。 本模型数据处理主要在e x c e l 、m a t l a b 7 0 和l i n g o l o 0 中实现的，可操作性强，实用 性强，试用范围广，使出版社的资源配置有章可循，在今后某些类似问题中有科学的指 导作用。 关键词：层次分析法；模糊评判；优化模型 一类资源分配问题及其解法 ar e s o u r c eaiio c a tio np r o bie ma n dit ss oiu tio n a b s tr a c t 1 1 l em o d e lf o rh o wt op u b l i s h e r st or a t i o n a l i z ea l l o c a t i o no fr e s o u r c e si s s u e f i r s t o u r a n a l y s i so ft h em a r k e ts u r v e yd a t a , c o n s i d e rt h em a r k e tf o rt h es a t i s f a c t i o no ft e a c h i n ga n d t h e s a t i s f a c t i o no ft h ep u b l i s h e rt w oi n d i c a t o r s u s i n ga h pa c c o r d i n gt ot h em a r k e ts u r v e y i n f o r m a t i o nt h a tt h et w oi n d i c a t o r so fs a t i s f a c t i o nw e i g h t ，t h e nu s e2f u z z yc o m p r e h e n s i v e a s s e s s m e n tm o d e lam a t h e m a t i c a lm o d e lf o ra c a d e m i cp u b l i s h i n g7 2b r a n c h e ss a t i s f a c t i o n s c o r e s s e c o n d l y ，w eh a v et h ed a ma n a l y s i s ，t h eu s eo fa t e x t b o o kp u b l i s h e r sf r o mt h e m a r k 吼s h a r eo ft h em a r k e tc o m p e t i t i v e n e s si n d i c a t o r s i m p a c to np r o f i t sa saf u n c t i o no f i m p o r t a n tf a c t o r s f i n a l l y ，w eh a v et h ea c t u a ls a l e sp r i c ea n dt h ei s b nn u m b e rh a n d l e db y e x c e lc a l c u l a t et h ev a l u eo fe a c h s b n ，a sp r o f i tt a r g e t s ，a n dt a k i n gi n t oa c c o u n ts a t i s f a c t i o n a n dc o m p e t i t i v ef a c t o r s ，t h ee s t a b l i s h m e n to fo p t i m a lr e s o r r c ea l l o c a t i o nf u n c t i o no ft h ep r o f i t t a r g e t s i na d d i t i o n ，t h ec u r r i c u l u mp l a nt oa p p l yf o ro ra c t u a la c c e s st ot h ei s b nn u m b e ra n d n i n eb r a n c ho fh u m a nr e s o u r c e st h r o u g hd e t a i l e dd a t aa n a l y s i st os o l v ei s b nn u m b e r m a t l a bl i m i tt h es c o p eo fc o n d i t i o n st h a td e t e r m i n et h em o d e lo fr e s t r i e t i v ec o n d i t i o n s l i n g op r o g r a m m i n gs o f t w a r ef o ru s eb yt h ee s t a b l i s h m e n to fal i n e a ro p t i m i z a t i o nm o d e l ，t h e c l u b sa l ea l ib r a n c hi s b nn u m b e rt ot h eo p t i m a la l l o c a t i o ns c h e m ea n di t sb r a n c h e su n d e rt h e i s b nn u m b e ra n dd i s t r i b u t i o no f e a c hc o u r s et ot h ep u b l i s h i n gp l a n i na d d i t i o n ，a c c o r d i n gt o m o d e lt h ei m p a e to ff a c t o r so nt h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so ft h em o d e ia n a l y s i s t h r o u g ht h es e n s i t i v i t yo ft h em o d e lt oa na c c u r a t ea n a l y s i s w ec a l lp r e d i c tt h ef u t u r e s i t u a t i o n 1 1 l em a i nd a t a - p r o c e s s i n gm o d e ii ne x c e l ，m a t l a b 7 0a n dl i n g o l 0 0a c h i e v e ，a n d c a l lb ew o r k a b l e ，p r a c t i c a l ，s t r o n g ，a n dt h et r i a li sb r o a di ns c o p e ，t h ep u b l i s h e ro ft h e a l l o c a t i o no fr e s o u r c e sr u l e - b a s e d ，i nc e r t a i ns i m i l a rp r o b l e m si nf u t u r eas c i e n t i f i cg u i d e k e yw o r d s a h p ；f u z z ye v a l u a t i o n ；o p t i m i z a t i o nm o d e l 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定 ，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：垂盏垄 导师签名： 监年丝世e 1 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：立垒选日期：2 牡 大连理工大学硕士学位论文 引言 本课题主要通过对出版社的资源进行合理化配置的模型及有关的观测数据进行分 析，给出了一类资源分配问题及其解法的新方法，并采用层次分析法、模糊评判等建立 线性优化模型解决问题。本课题研究领域是属于数学中建立数学模型应用线性优化理论 研究资源分配的问题。 资源是人类生存和发展的条件，一国拥有的现实资源和潜在资源的数量、构成和质 量，资源优化配置和利用的程度和水平，很大程度上代表着这个国家拥有现实和潜在的 财富。因此，做为关系到人类生存和社会发展的重要问题，对资源有效利用和合理配置 的研究越来越为人们所关注。 自愿的优化配置和利用已成为当前经济与管理学界广泛关注的重要课题。国内外学 者对资源配置和利用量化分析的典型模型及其研究思路很多，除经济资源共同适用的资 源配置模型外，还有自然资源、人力资源和资金资源优化配置模型等。伯顿( b u r t o nr m ) 等建立的价格驱动分解模型和弗里兰( f r e e l a n djr ) 等建立的资源驱动分解模型， 提供了分散组织结构下资源配置问题的概念框架，这类方法理论上可以获得最优解。奈 ( l e uy ) 提出了利用人工智能中世界模型解决分散结构下资源配置问题的新方法。仲 伟俊和徐南荣进一步研究了分散组织结构下的资源配置问题，建立了一类适用范围更广 泛的分散组织结构下资源配置问题的模型。斯塔克伯格( v o ns t a c k e l b e r g ) 主从对策理 论提出了资源配置的主从对策模型。格雷夫( g r o v e st ) 、斯维( s e r v i ld ) 和霍( h o yc ) 、仇( c h i uss ) 和林( li nq ) 及石永恒等研究的激励策略。自然资源的开发 利用过程是一个持续的、缺乏物理原型的时间变化过程，其过程的时间变化有一定的惯 性和后效应，李兰海和章熙谷建立的资源配置灰色控制模型就是一种具有趋势预测性的 动态研究方法。 层次分析法( t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ，即a h p ) 是2 0 世纪7 0 年代初美国运筹 学家t l s a a t y 提出来的，是一种定量分析与定性分析相结合的多目标决策分析方法。 a h p 是对定性问题进行定量分析的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。它的特 点是把复杂问题中的各种因素通过划分为相互联系的有序层次，使之条理化，根据对一 定客观现实的主观判断结构( 主要是两两比较) 把专家意见和分析者的客观判断结果直接 而有效地结合起来，将一层次元素两两比较的重要性进行定量描述。而后，利用数学方 法计算反映每一层次元素的相对重要性次序的权值，通过所有层次之间的总排序计算所 有元素的相对权重并进行排序。该方法自1 9 8 2 年被介绍到我国以来，以其定性与定量 相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经 一类资源分配问题及其解法 济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重 视和应用。层次分析法( a h p ) 是一种实用的多准则决策方法，目前计算排序向量的方法 已有3 0 多种。陈宝谦以反映判断矩阵偏差的一致性指标作为拟合程度好坏的度量，提 出了最小偏差法和混合最d - - 乘法：王应明等提出了广义最小偏差法；章志敏等研究了 最小偏差法的性质；章志敏等提出了混合最d - - 乘法。 层次分析法是处理具有多目标、多准则、多因素多层次的复杂问题决策分析综合评 价的一种简单、实用且有效的方法，是一种定性和定量分析相结合的系统分析与评价方 法。 层次分析法的用途，例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市场上的6 种不同类型 的电冰箱进行了解后，在决定买那一款式是，往往不是直接进行比较，因为存在许多不 可比的因素，而是选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、 型式、耗电量、外界信誉、售后服务等。然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下 的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。在决策时，由于6 种电冰箱对于每个 中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7 个标准的重要度作一 个估计，给出一种排序，然后把6 种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把 这些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这个权重向量，决 策就很容易了。 层次分析法( a h p ) 的基本步骤 a h p 大体分为4 个步骤：对构成决策问题的各种要素建立递阶层次结构模型；对同 一层次的要素以上一级的要素为准则进行两两比较，并根据评定尺度确定其相对重要程 度，最后据此建立判断矩阵；由判断矩阵计算被比较的元素对于准则的相对权重；计算各 层元素对系统总目标的合成权重，对各种方案进行优先排序，从而为决策人选择最优方 案，提供科学决策依据。 1 ) 建立梯阶层次结构模型 用构成决策问题的各种要素建立梯阶层次结构模型的过程并不是无章可循的。对于 有序集e 中的任意元素x ，所有受x 支配的元素集合用x - 表示。所有支配x 的元素集 合用x + 表示，则有下面两点定义： 定义l ；e 为有序集( 若e 中的元素均满足自反性、对称性和传递性，则称e 为有序 集：如果再满足连通性，则称为整体有序集，否则称为局部有序集) ，v x ，y e 记：x - = y t x 支配y , y ee x + = y l x 支配y , y e e ) 大连理工大学硕士学位论文 定义2 ：设h 是带有唯一最高元素c ( 对v x e ，c e ，若x 均为c 的下层元素， 则称h 为最高元素) 的有限的局部有序集，为一个递阶层次，如果它满足： ( 1 ) 存在h 的一个划分 k ) ( 1 ( = l ，2 ，m ) ，其中厶= c ，每个划分丘成为一个层 次； ( 2 ) 对于每个x l t ( 1 k m 1 ) ，x - 非空且x + i ： ( 3 ) 对于每个x el t ( 2 k m ) ，非空且x + l ； 由定义2 不难推得递阶层次结构具有下述几个性质： 0 ) h 中的任意一个元素一定属于一个层次，且仅属于一个层次，不同层次元素集的 交集是空集。 ( 2 ) 同一层次中任意两个元素之间不存在支配或从属关系。 ( 3 ) l 。( 2 k m ) 中任意一个元素必然至少受中的一个元素的支配，且只能受厶+ 、中元素的支配；同时，厶( 1 k m - 1 ) 中每个元素至少支配中一个元素，且只能支配中 的元素。 ( 4 ) 属于不相邻的两个层次的任意两个元素之间不存在支配关系。 在这里要说明的是，按照定义1 、2 所构造出来的模型是理想中的模型，在实际的生 活当中可能会遇到一些复杂的情况并不满足上面的模型，对此可以将这些复杂的因素进 行归类整理，以使其满足梯阶层次结构模型的两个定义。 2 ) 构造判断矩阵 建立递阶层次结构以后，上下层各因素的隶属关系就确定了，接着就可以通过两两 比较的方法求出下层元素相对于上层元素的重要性( 权重) 。对此需要反复进行下面的判 断：针对某一准则，三。中的两个元素z ，z ( l 。) 哪一个重要? 重要多少? 并按标度进 行相对重要性的赋值( 记为) ，这样对于这一准则，下层m 各被比较的元素构成了一个 两两比较的判断矩阵： 彳kk 显然判断矩阵具有如下性质： 一 1 ( 1 ) 对v i j m = ( 1 ，2 ，m ) ：f fa 0 ，= 二，= l ，所以，称判断矩阵a 为正互 口f f 反矩阵； ( 2 ) 当对v i j e m ，有，所以，称a 为完全一致性矩阵。 3 ) 计算元素相对权重 一类资源分配问题及其解法 根据判断矩阵a = 【口 l 求出这个元素对于单一准则厶的相对权重向量 w = w l ，w 2 ，) 7 ，并进行一致性检验。 常见的计算权值的方法： ( 1 ) 和法 将判断矩阵彳的n 个行向量归一化后的算术平均值，近似作为权重向量，即 2 丢喜轰沁1 ，2 ，一 计算步骤如下： 第一步：a 的元素按行归一化： 第二步：将归一化后的各行相加： 第三步；将相加后的向量除以r l ，即得权重向量。 ( 2 ) 根法( 即几何平均法) 将a 的各个行向量进行几何平均，然后归一化，得到的行向量就是权重向量。其公 式为 =丝忙。幺刀， 一，并 、二 l 兀口白l k = l j = l 计算步骤如下： 第一步：a 的元素按列相乘得一新向量： 第二步：将新向量的每个分量开n 次方； 第三步：将所得向量归一化后即为权重向量。 ( 3 ) 特征根法 解判断矩阵a 的特征根问题 a w = k 矿 上式中k 是彳的最大特征根，缈是相应的特征向量，所得到的经归一化后就可 作为权重向量。 可以用幂法求出k 和及相应的特征向量。 ( 4 ) 对数最小二乘法 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 用拟合方法确定权重向量w = ( w l ，w 2 ，) 7 ， 使残差平方和 i g 口一l g ( w 。w ，汗为最小。其结果与根法结果一致。 ( 5 ) 最小二乘法 确定权重向量形= ( w 。，w ：，) 7 ，使残差平方和【l g 一l g ( w 。w ，渚为最小。 m i n 窆主k 一w f ) 2 s t y w ，= 1 一 考虑拉格朗日乘子法l = 喜善k 叶一眦) 2 + 文喜哆一) ， 罢：2 q “m m ) 一2 ( 口。：一m ) 2 0 。一m ) + 2 q ，o ，嘭一m ) + 2 a 2 。0 2 ，嵋一m ) + + 2 a 。( 口州嵋一) + 五= _ 2 ( 口n + q h i 一2 ( a ，2 + 口2 ，咖2 一+ 2 c 玎一- ，+ 2 善口 彬一一2 g 加+ 口。l 吃+ 见 使目标函数达到最小的条件是罢：o o ：l ，2 ，刀) ，即 g n + 。，h 一2 。，：+ 口：，h ：一+ 2 c _ 一，+ 2 著n 口 w ，一一2 c 口加+ 口。，加。+ 旯= 。 与嵋= 1 ，联立组成力+ 1 个线性方程组，可以解得w l ，和名。 m i n 帆m a 剧xa a ，w ，一m l 一类资源分配问题及其解法 m o ，i = 1 , 2 ，刀 该模型目标函数含有绝对值项和求最大值符号，变换如下： 令1 ，2 黝f _ 一嵋l ，模型( 5 ) 变为： m i nv = l 口 ，m 一1 4 t a v ，i = 1 , 2 ，刀：j = 1 , 2 ，2 ，疗 口 ，一一嵋，i = 1 , 2 ，玎；歹= 1 , 2 ，2 ，玩 ，o ，嵋o ，i = l ，2 ，刀 这是一个线性规划问题，可采用运筹学中单纯形方法求解。 残差绝对值和法 以“残差绝对值和最小”为目标函数，其模型为： m i n 窆窆l 口 ，以一嵋| j 事i l l s t yw i = 1 j r t j = i m 0 ，i = l ，2 ，几 此模型目标函数含有绝对值项，变换如下： 令甜磬= 口 w j 。，- - m 口a ，驴w js 嵋w g ， 、，驴：=。，驴，：7，z：i：三：2i(r：t，2，z，：=t，2，t)。 因此有 甜一，= 口 ，w j w l ，a ，w j 一嵋i = l ，+ 1 ， ，“ o ，o o = l ，2 ，l ，j = l ，2 ，刀) 并且= = o ( f = l ，2 ，门) 。模型( 7 ) 变为： 曲窆羔也+ 1 ， f ) ，= l j = l = l 一6 一 = 坼 。 ts 嵋 。硝 ls 嵋 。纠 ts 大连理工大学硕士学位论文 材 ，一v ，2 口 嵋，f 。1 , 2 ，刀；j 。1 , 2 ，刀。 w f o ，i = 1 , 2 ，刀。 材o ，v “0 ，i = 1 , 2 ，力；j = 1 , 2 ，门。 这也是一个线性规划问题。 4 ) 计算各层元素对总目标的合成权重 通过上面3 步的运算仅得到一组元素对其上一层中某个元素的权重向量，而最终需 要的是各层元素对总准则的相对权重，特别是需要最底层中的各个方案相对于总准则的 排序权重，统称为合成权重。 合成权重的计算要自上而下地将单准则权重进行合成，一直到最底层的方案层。 设已求出第k l 层上n 个元素相对于总准则的合成权重向量 w ( k - o 【w f k - i ) , 皑。1 ，w ( k - ) ，第k 层上仇个元素对第七- i 层上第j 个元素为准则的单权 重向量设为：p 卅= b ，p ；仕，p j ( ”，其中不受j 支配的元素的权重取零值。记 p = b 附，p 2 ，p n ( k ) ) n i 心- i ，表示k 层上仇个元素对七一1 层上个元素的合成权 重。 应用层次分析法的注意事项：如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间 的关系不正确，都会降低a h p 法的结果质量，甚至导致a h p 法决策失败。 为保证递 阶层次结构的合理性，需把握以下原则l 、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多； 2 、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。 层次分析法的优点： 系统性将对象视作系统，按照分解、。比较、判断、综合的思维方式进行决策一 一系统分析( 与机理分析、测试分析并列) ： 实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题； 简洁性计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。 层次分析法的局限： 囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案； 粗略定性化为定量，结果粗糙； 主观主观因素作用大，结果可能难以服人。 模糊综合评价就是以模糊数学为基础，应用模糊合成的原理，将一些边界不清，不 易定量的因素定量化、进行综合评价的一种方法。 模糊数学是以数学方法研究处理具有“模糊性 的数学学科。所谓“模糊性 主要 是指客观事务差异中间过渡的“不分明性 。例如：“吵闹”与“安静 ，“污染 与 一类资源分配问题及其解法 “洁净”等等对立的概念之间都没有绝对分明的界限，要表达这些模糊概念以解决模糊 性的实际问题，就必须将普通集合的概念加以推广，这就是模糊子集。 模糊子集完全由隶属函数所刻画。从这种意义上说，模糊子集就是其隶属函数。给 定了一个模糊子集a ，意味着已给定了其隶属函数。当。( u ) = 1 时，表示元素u 完 全属于a ：当。( u ) = 0 时，则表示元素u 完全不属于a 。一( u ) 越接近l ，表示u 属于a 的程度越大：反之则越小。区划中，既要视因素隶属度的大小，又要视这些因素在区域 划分中所占的权重，这就是模糊评判要解决的问题。 确定性数学模型与模糊性数学模型的特点通俗的可以用电源开关和自来水阀门来 比喻： 电源开关的特征是：开和关是确定的。只有“开”和“关 两种状态，不是 开就是关，不是关就是开，不存在中间状态，即，符合排中率。这种“非此即彼”的 二值逻辑特征是确定数学研究的对象。如果用数字o 表示关，用数字1 表示开，那么， 电源开关特征可以用确定数学语言来表示：( 0 ，1 ) ( 注意，是开区间) 。这是确定性 数学模型一一背景对象具有确定性、固定性，对象具有必然的联系。 自来水阀门的特征是：开和关的状态是模糊的。当然，自来水阀门也具有上述电 源开关的特征：滴水不漏时的“关”和流量最大时的“开”。但是，自来水阀门与 电源开关不同的是，自来水阀门经常会处在“开”与“关 的中间过渡状态，即， 经常处在似开非开的状态，即排中率破损。这种“亦此亦彼 的连续逻辑特征是模 糊数学研究的对象。如果用数字l 表示全开，用数字0 表示全关，那么，自来水阀 门的特征可以用模糊数学语言来表示： 【0 ，1 】( 注意，是闭区间) 。这是模糊性数学 模型一一背景对象及其关系均具有模糊性。 模糊综合评判的优点： 一是可将评价信息的主观因素对评价结果的影响控制在较小的限度内，从而使评价 比较全面和客观； 二是适合教育评价多主体对多层次多类指标评价信息的整合。 运算的技术思路是： 确定评价指标集u 确定指标权重集w 确立评价集并赋值v 建立因素 集的模糊矩阵r 选择适当的评判模型运算。 在资源分配实际问题方案设计中，对一组满足要求的备选方案进行择优和排序是一 个关键问题。在解决这问题时，需要考虑各种相关评价因素，并提供相应的评价数据， 而在方案设计阶段，这些评价数据都是定性的，主要来自过去的经验和决策者的主观判 断，具有明显的模糊性。因此，方案优选问题实际上是一个多准则模糊决策问题，需要 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 建立一种将这种模糊信息转化为确定决策信息的方法。要建立模糊综合评价的数学模 型，首先要建立影响评价对象的n 个因素组成的因素集u = u ，“：，甜。 。然后，建立 由m 个评价结果组成的评语集v = “，v ：，v 。 。再对各因素分配的权值，建立权重集， 表示为权重向量彳= 扛- ，口z ，口 ，式中q 为对第f 个因素的加权值，一般规定q = l 。 i = 1 对第，个因素的单因素模糊评价为v 上的模糊子集r = 饥l ，：， 。于是单因素评价 矩阵r 为 r = 1 ， 吒。 ： ，册 则对该评判对象的模糊综合评价b 是v 上的模糊子集b = a r 。 模糊层次分析( f u z z ya n a l ) t i eh i e r a r c h i - - - c a lp r o c e s s ，f a h p ) 就是一种实用的多准则模 糊决策方法，这种方法广泛应用于复杂系统的分析和决策考虑到主观判断的不确定性， f a h p 将专家的主观描述用实数域上的模糊数来表示，通过一系列决策运算，从而在决 策过程中对定性事件作出定量分析，最终根据人们的主观判断做出客观的决策。 模糊动态层次分析( f d a h p ) 的实现过程与a h p 类似，其实现过程为第一步建立动 态层次结构模型：其次构建模糊动态判断矩阵。 模糊动态判断矩阵的构建可以采用t l s a t t y 给出的l 叫标度法。如第，个因素 相对于第个因素明显重要，则可表示为( f ) = ( f ( f ) ，5 ( f ) ，“( r ) ) ，5 0 ) 为判断的中心值， 砸) 与“( ，) 分别为( ，) 的左右扩展，表示第f 个因素相对于第个因素的明显重要程度也 具有模糊性，且在5 ( ，) 左右变化，即0 t ( t ) 5 ( t ) u ( t ) 9 。对于模糊程度的大小， “( ，) 一l ( t ) 的值越大，表示判断越模糊：反之，表示判断越清晰：当材( f ) 一，( ，) = 0 时，表 t - 一y 判断是非模糊的。一般的，设彳( f ) = ( 口 【( f ) l 。是模糊判断矩阵，这里 口 ( ，) = 【f 。( r ) ，m 。( ，) ( ，) j ，它满足 1l1 乃。卜高( ，卜南( f 卜南 需要说明的是，这里的( ，) = o ( f ) ，5 ( f ) ，“( ，) ) 既不表示数组，也不表示向量，而只是 彳( ，) 中的一个元素，在涉及矩阵的计算时，一次也只能有一个值参加运算。 一9 一类资源分配问题及其解法 解决判断矩阵的一致性i 司趣的方法主要有两种：第一种方法是运用诱导矩阵来解决 动态一致性问题；第二种方法是引入最优传递矩阵来满足动态矩阵的一致性。采用第一 种方法对动态判断矩阵的一致性进行改进。 设模糊动态判断矩阵为：彳( d = 【口”( f ) l 。，若元素满足：正值性：口 ( f ) 。瓦孟； 互反性：口 ( f ) 2 器，则称爿( r ) 为完全一致性矩阵。在一般情况下，专家给出的判 断矩阵很难满足一致性条件。当c r = 黑 1 时，口，( f ) 应适当减小i 当气p ) l 时，气( ，) 应适当增大。 上述方法可以将任何不具有一致性的判断矩阵调整为一致性矩阵，但这并不等于可 以毫无顾忌的任意构造判断矩阵，判断矩阵只能微调，即只能稍微而不是彻底改动本领 域专家给出的判断矩阵。 大连理工大学硕士学位论文 在以上工作的基础上，模糊动态判断矩阵权重向量的计算过程如下：首先对构建的 模糊动态判断矩阵( 针对中心值册口( ，) ，并非左右扩展值) 进行微调，使之达到一致性要求。 例如调整后的一致性判断矩阵为彳( f ) = 【口，( f ) l 。( ，已固定) ，则经过推导可以得出如下 计算公式 第f 个因素满足甩个目标的综合程度值计算公式为 & o ) = ( s l 愈) ，册。( f ) ，$ 4 ，( f ) ) = ，( f )( ，) = lj = l 1 i 一，i 一 ( f ) 研j 5 ( f ) 第i 个因素的未归一化权重为 1 ， w f = l 口s “如) + s m ( f ) ( 1 一口) s l 以) j z 式中，口l o ，1 l 为决策者的乐观系数，当口= 1 时，表示一个决策者的乐观观点；当口= 0 时，表示决策者的悲观观点：当0 口 1 时，表示决策者的观点介于乐观与悲观之间。 将求出的权重进行归一化，即可求出归一化权重。取不同的时间，重复上述步骤， 即可求出各个时间上的归一化权重。 模糊综合评判法的基本思想主要是：先利用与评价对象有关的单因素来评价结果， 构成相应的评价矩阵，然后利用各确定因素重要性程度的权重因子作模糊变换，最终得 到对评价对象的评价结果。 定义：设两个有限论域：u = 函i ，“2 ，”。 v = “，v ：，) 其中u 代表综合评判的因素所组成的集合，v 代表评语所组成的集合。 若r 是u 到v 上的一个模糊变换，能把c ，中的一个元素u 映射为v 上的一个模糊 子集，则有模糊变换y = x r 其中x 是( ，上的一个模糊子集，它反映了各因素的重要性 程度，即权重。且x = g 。，x 2 ，矗) ，而o ，毛- - 1 。 y 是y 上的模糊子集，它反映了评判的结果。 “ 是算子符号，它可以表示为普通矩阵相乘，也可以表示为模糊合成、模糊积 分等各种算子。在实际应用时，可根据实际需要选择不同的算子。 模糊评判法利用模糊理论，采用统计学的方法，尽量避免个人人为因素影响，使得 评价结果具有一定的科学性和客观性，而且操作简单、实用，值得一试。不过，值得注 一以 甜 一，-一旬厶等磊 一类资源分配问题及其解法 意的是在进行综合评价时，因素甜。，“：，“。，即评价指标体系要选取适当，过多或过少 都会影响评价结果，而且还会增加实际操作的难度。 大连理工大学硕士学位论文 1 问题提出 1 1 基本情况 某个以教材类出版物为主的出版社，每年总社要将总量一定的书号数合理地分配给 各个分社，使出版社当年获得最好的经济效益。但是出版社的人力资源、生产资源、资 金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，所以这个问题就是一个资源分配的问题。出版 社在分配书号时需要考虑增加强势产品支持力度的原则，市场信息及其竞争力，各分社 人力资源，各分社提交的生产计划申请书等因素。 本题所给数据不足，可以假设在理想状态下，运用模糊数学的方法建立模型，给出 以量化分析为基础的资源分配方案，并为出版社提出有益建议。 1 2 需解决的问题 给出一个资源( 书号) 明确的分配方案，具体要求如下： ( 1 ) 在信息不足的条件下，根据各附件提供的相关信息，建立数学模型求解出版 社可获得的利润。 ( 2 ) 在数据不完全的情况下，根据各附件提供的相关信息，对资源( 书号) 配置 方法给出明确的分配方案。 一类资源分配问题及其解法 2 模型的假设及符号说明 2 1 模型的假设 ( 1 ) 假设每一位被调查者都是如实填写调查问卷。 ( 2 ) 假设出版社的入力资源、生产资源、资余和管理资源都捆绑在书号上。 ( 3 ) 假设a 出版社在定价时保持对所有教材利润率同一。 ( 4 ) 假设同一课程不同书目价格差别不大，同时销售量相近。 ( 5 ) 假设a 出版社暂不考虑新的人力资源计划。 ( 6 ) 假设调查问卷信息能够充分反映市场销售情况。 2 2 符号的说明 d ：a 出版社的某类教材的课程均价； z ：a 出版社的某类教材在市场上的占有率； s ：a 出版社的某类教材的实际销售量； 朋：某类教材在市场上的全部销售量； h ：a 出版社的某类教材五年的实际得到的书号的平均值： m ：a 出版社的某个书号的价值； x i ( i = l ，7 2 ) ：计划分配给a 出版社的第i 个课程的书号数目； 三：各个出版社的各科教材的满意度得分矩阵； 厂f ，：各学科满意程度所占的比重： y t i ( i = 1 ，2 ，9 ) ：分别表示九个分社分配到的书号个数； k ：利润指标，满意度指标，竞争力指标确定的l 7 2 阶系数矩阵； x ：7 2 个变量x i 组成的自变量矩阵； 口：教材的利润率； 大连理工大学硕士学位论文 3 问题的分析 3 1 九个分社分配到的书号个数的范围 根据附件四、五提供的数据我们通过m a t l a b 编程( 见附录程序一) 可以求解出九 个分社分配到书号个数的一个上下限，下限是a 出版社在分配书号时至少保证分给各分 社申请数量的一半，设t i ( i = l ，2 ，9 ) 分别表示九个分社分配到的书号个数， 计算机类( 5 5 t l l1 4 ) 经管类( 3 3 t ，1 1 4 ) 数学类( 1 ll t ，1 2 0 ) 英语类( 5 9 t 4 1 0 2 ) 两课类( 3 6 t 5 1 11 ) 机械、能源类( 3 8 t 6 7 2 ) 化学、化工类( 2 0 t ，4 4 ) 地理、地质类( 2 0 t 8 6 3 ) 环境类( 2 0 t 9 7 2 ) 3 2 确定a 出版社7 2 门学科的综合量化分值 首先，数据在提供了大量评价系统原始信息的同时，也存在着许多其它的因素造成 的模糊性和不确定性，因此，我们给出了评价满意程度的二级模型综合评判模型 一m ：( ，0 ) 。模型建立的基本思想是：首先求出学生在教材内容新颖、教材的作者权 威性、教材印刷及排版质量、教材价格四方面的满意度所占权重建立决策矩阵 r 。( 扣1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 作为二级模糊转换器尺，对r ，输入二级指标权重集a ，对于彳。，我们 应用层次分析法( a p h 法) 通过m a t l a b 编程( 见附录程序二) 求出各个因素所占权重a ，。 我们得到a 。= ( o 2 6 ，0 2 3 ，0 2 7 ，0 2 4 ) 。经模糊转换后输出一级评判向量b ， 再 由鼠建立决策矩阵尺，作为一级模糊转换器r ，此尺，我们指的是a 出版社在学生心目 中的位置，求出各自所占的权重即构成矩阵。对r 输入一级指标权重集a ，此a 我们指 的是对书的满意程度、对出版社的满意程度的权重，通过m a t l a b 编程我们得出a = ( 0 4 4 ， 0 5 6 ) ( 见附录程序三) 。经模糊转换后输出二级评判向量口，b = ( b l ，b 2 ) r 。 一类资源分配问题及其解法 表3 1满意度评价指标体系 t a b3 1s a t i s f a c t i o ne v a l u a t i o ni n d e xs y s t e m 最后按照最大隶属原则，由模型输出的评判向量鑫和满意程度等级评语对应分值 ( t g9 5 分，良7 5 分，中5 5 分，及3 5 分，差1 5 分) 确定7 2 个学科各科的综合量化分 值。 ( 1 ) 建立一、二级评价 因素级u ，u 权重集彳，彳。分值集尸。 u = 缸。，甜：彳= 口。，口： u ，= 每，材。：，“细 a 。= 口j l ，a ，2 ，口加 ，p = 1 9 5 ，7 5 ，5 5 ，3 5 ，1 5 ) ( 2 ) 建立二级模糊评价矩阵( 二级模糊转换器r ) r = ， 4 r 2 3 ，r 2 4 r 3 ，臃4 ( f = l ，2 ) 其中表示二级指标对评语等级的模糊关系，即问卷调查数据中的划记频率。 ( 3 ) 建立一级模糊评价矩阵( 一级模糊转换器) r = ( b i , b ：) 7 其中e = a ，r ，为a 。与r ，完成m 2 ( ，o ) 。运算经e 模糊转换后输出的 一级评判向量运算符号“妒为模糊算子。 具体建模过程如下：建立二级f u z z y 综合评价模型m 2 ( ，o ) 口i3a i 尺l 口2 = r z b = 川： p = 8 * ( 9 5 ，7 5 ，5 5 ，3 5 ，1 5 ) 。 大连理工大学硕士学位论文 其中一号书受评量化评估结果： b l = a l r l = l o 4 3 ，0 5 5 ，0 0 3 ，0 ，0 j b 2 = a 2 r 2 = l o 3 2 ，0 4 3 ，0 2 5 ，0 ，0 j b = 彳木( 且，b 2 ) 7 = 0 3 8 ，0 4 9 ，0 1 3 ，0 ，0 】 p = b ( 9 5 ，7 5 ，5 5 ，3 5 ，1 5 ) 。= 4 8 0 1l 通过计算我们可以得到a 出版社出版的7 2f - j q ：科的综合量化分值( 见表3 2 ) 一1 7 一类资源分配问题及其解法 表3 27 2 门学科的综合量化分值 t a b3 27 2d i s c i p l i n e sc o m p r e h e n s i v eq u a n t i t a t i v es c o r e s 1 8 一 大连理工大学硕士学位论文 4 模型的建立与求解 4 1 求解问题1 模型的各个指标体系 4 1 1 确定利润指标 每一个书号的价值：m = 生半 ( 4 1 ) 4 1 2 确定满意度指标 根据调查问卷中的数据的划记频率构造矩阵，再由3 2 给出的综合量化评分计算方 法计算各个出版社的各科教材的满意度得分矩阵 l = ，- 2 ，- 2 ( f = 1 ，2 ，3 ) ( 4 2 ) 4 1 3 确定竞争力指标 用该教材在市场中的占有率来衡量 z = 二( 4 3 )z = lq ， ，行 k 为利润指标，满意度指标，竞争力指标确定的l 7 2 阶系数矩阵，( 在此我们仅以 三项系数的乘积作为矩阵的系数) x 为7 2 个变量z 。组成的自变量矩阵 k ：渺屹j 咻i k l ，2 7 2 ) ( 4 4 ) l ：j 4 2 建立线性优化模型及求解 4 2 1 建立线性优化模型 优化模型的目标函数是利润，利润函数为k 宰z 口( 其中口为利润率) ，满意度和 竞争力作为影响利润的因素，为了简化计算，建立新的函数k 幸x ，此函数的最大值点 与利润的最大值点相同。 目标函数：m a xk 工 一类资源分配问题及其解法 约束条件：s t 其中b = y 11 4 j r 11 4 j x 1 2 0 丫1 0 2 l y 。1 1 1 i r 7 2 l y 4 4 f x ，4 4 z 7 2 x 。b x 2o z 为整数 为各出版社申请书号数的一半组成的矩阵 4 2 2 求解模型 通过m a t l a b 编程( 见附录程序四) 我们可以得到k 系数矩阵 足为l 7 2 阶的系数矩阵： 一2 0 一 ( 4 5 ) m：=：管鳓 大连理工大学硕士学位论文 k = 1 5 2 5 2 2 4 6 1 7 3 6 7 4 5 1 6 0 3 6 7 2 8 0 2 1 4 5 2 7 9 1 9 2 3 4 0 4 3 7 1 2 3 9 64 8 0 4 4 4 9 6 5 71 1