（运筹学与控制论专业论文）关于斜差族的初步研究.pdf

，北京交通大学硕士学位论文 中文摘要 中文摘要 摘要：差族和几乎差集是组合设计领域中的两个重要概念它们在密码、编码理论 以及二元序列中具有较广泛的应用，可以被用来构作最优非线性密码函数、最优 自相关性序列以及常重码等。 本论文主要研究具有特殊参数的斜差族和几乎差集的存在性，同时建立了差 族和斜差族之间的一些联系 全文共分三章 第一章综述几乎差集和差族的研究情况，介绍差集、几乎差集、差族、分圆类 等基本概念，并得到一些分圆数的性质 第二章首先给出( q ，( q 一1 ) 2 ，( q 一3 ) 2 ) 一斜差族存在性的已知结果，运用分 圆的方法证明qi5 ( m o d8 ) 时( q ，( q 一”2 ，( q 一3 ) 2 ) - - 斜差族存在性，并给出 当口i1 ，5 ( r o o d8 ) 时这类斜差族存在性的更多结论 然后得到了一类参数为( q ，( q 一1 ) 2 ，( q 一5 ) 4 ，( q 一1 ) 2 ) 一斜几乎差集，并给 出一个充分必要条件以及小阶数存在的结果 最后运用平移的思想证明磊上( 口，k ，a ) 一差族和( 口，k a ) 一斜差族之间的转换 关系，并列出一些不存在的斜差族结果 第三章总结本文得到的主要结论同时给出一些关于本文涉及到的差族和几 乎差集可迸步研究的阔题 关键词：差集( d s ) ；几乎差集( a d s ) ；差族( d f ) ；斜差族；分圆数 分类号：0 1 5 7 2 北京交通大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t a b s t r a c t ：d i f f e r e n c ef a m i l i e sa n da l m o s td i f f e r e n c es e t sa r et w ok i n d so f i m p o r t a n tc o m b i n a t o r i a ld e s i g n s t h e yh a v eb e e na p p l i e di nc r y p t o g r a p h y c o ( i - i n gt h e o r ya n db i n a r ys e q u e n c e f o re x a m p l e ，t h e yc a r lb eu s e dt oc o n s t r u c t c r y p t o g r a p h i cf u n c t i o n sw i t ho p t i m a ln o n l i n e a r i t y , b i n a r ys e q u e n c e sw i t ho p t i m a l a u t o c o r r e l a t i o na n dg o o dc o n s t a n tw e i g h tc o d e s ，e t c ， i nt h i st h e s i s 、t h ee x i s t e n c eo fs k e wd i f f e r e n c ef a m i h e sa n da l m o s t 蛐f e n c e s e t sw i t hs p e c i a lp a r a m e t e r sa r ei n v e s t i g a t e d ，a n ds o m er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nd i f - f e r e n c ef a m i l i e sa n ds k e wd i f i e r e n c ef a m i l i e sa r ee s t a b l i s h e d t h e r ea x et h r e ec h a p t e r si nt h i st h e s i s i nc h a p t e r1 。w ei n t r o d u c et h eb a s i cd e f i n i t i o no f ( 1 i f f e c n c es e t a h n o s td i 鼬r e n c es e t ，d i f f e r e n c ef a m i l ya n dc y c l o t o m i cc l a s s s o m e - p r o p e r t i e sa b o u tc y c l e t o m i c n u m b e r sa r eo b t a i n e d w h i c ha r eu s e f u ii nc h a p t e r2 i nc h a p t e r2 as u r v e yi sg i v e no nt h ek n o w nr e s u l t so fs k e wd i f f e r e n c ef a m i l i e s ， t h e n t h e e x i s t e n c e o f a ( q ，q 一1 ) 2 ，( q 一3 ) 2 ) - s k e w d i f f e r e n c e f a m i l y i sr e p r o o f e d f o rq 兰5 ( r o o d8 ) b yt h em e t h o do fc y c l o t o m i cc l a s s ，a n dm o r er e s u l t sa r ep r e s e n t e d o nt h i sk i n do fs k e wd i f i k e n c ef a m i l i e sw i t hq 三1 ，5 ( m o d8 ) f u r t h e r m o r e ，an e wc l a s so fs k e wa l m o s td i f f e r e n c es e t sw i t hp a r a m e t e r ( q ，( q - 1 ) 2 ，( q 一5 ) 4 ，( q 一1 ) 2 ) i so b t a i n e d ，a n ds o m er e s u l t so nt h i sk i n do fs k e wa l m o s t d i f f e r e n c es e t sa r el i s t e dw i t hc o m p u t e rs e a r c h a tt h ee n do ft h i 8c h a p t e r 。w es h o wt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nd i f f e r e n c ef a m i l i e s a n ds k e wd i f f e r e n c ef a m i l i e s s o m er e s u l t so nn o n - e x i s t e n c eo fs k e wd i f f e r e n c e f a m i h e sa r ea l s ol i s t e d i nc h a p t e r3 ，t h em a i nc o n c l u s i o n so ft h i st h e s i sa r es u m m a r i z e d ，a n dt h e f u r t h e rr e s e a r c hp r o b l e m sa l ep r e s e n t e da tl a s t k e y w o b x ) s ：d i f f e r e n c e8 e t ( d s ) ；a l m o s td i f f e r e n c es e t ( a d s ) ；d i f f e r e n c ef a i n i l y ( d f ) ；s k e wd i f f e r e n c ef a m i l y ；c y c l o t o m i cn u m b e r c l a s s n o ：0 1 5 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进彳亍检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名导师签名 签字日期： 年 月日 签字日期：年月日 北京交通大学硕士学位论文独色0 性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果、除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名 2 4 签字同期：年月日 致谢 本论文的工作是在我的导师常彦勋教授的悉心指导下完成的，常老师严谨的 治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响，在此衷心感谢两年多来常 老师对我的关心和指导 同时我还要感谢在学习生活中帮助过我的所有人，是他们使我在两年多的研 究生生活学到了很多知识，明确了今后的发展方向他们是： 感谢给我授课的所有老师，是他们的谆谆教学让我打下了夯实的数学基础，又 是他们对数学的热爱给了我科研的前进动力： 感谢黎传琦老师、周君灵老师、a l i a 、张晶、吴艳、王小苗、王昭、马增花等 师兄师姐师弟师妹们对我学业的热情帮助，特别是黎老师和冯师兄，在我撰写论文 过程中提出了很多改进的意见； 感谢这两年多来一直共同学习、共同进步的同窗，感谢同宿舍的兄弟营静杰、 姬强，与他们朝夕相处将是我人生中一笔宝贵的财富； 感谢郭超、陈龙强、赵一帆等好朋友的关心与支持，感谢我的父母和姐姐对我 一如既往的支持和鼓励，是他们无私和伟大的爱使我一直保持积极向上的乐观态 度和克服困难的勇气 数载寒窗，承沐恩泽感激之情无以言表，只能将之化为向上的动力，早日成 才，不负恩师、家人和同学好友的关心和期望 最后感谢各位专家、学者在百忙中审阅我的论文，我愿意认真听取专家的宝 贵意见，在今后的学习工作中不断改进 北京交通大学硕士学位论文第一章引言 1 背景介绍 第一章引言 组合设计是离散数学的一个重要分支，差族和几乎差集是其中两个概念它 们在密码、编码理论以及二元序列中具有较广泛的应用可以被用来构作最优非 线性密码函数、最优自相关性序列以及常重码等 本论文主要研究特殊参数的几乎差集和斜差族这两类重要组合设计关于几 乎差集，1 9 9 2 年和1 9 9 7 年d a 们s 1 1 j 和d i n g 2 1 分剐提出了两种不桶同的定义，：1 9 9 9 年， d i n g ，h e l l e s e t h 和l a m 3 1 为了构作3 级自相关性二元序列而给出了一类特殊参数的 几乎差集因几乎差集和密码 5 】、编码理论以及序列【3 ，6 ，7 1 有非常密切的关系， 它们可以被用来构作最优非线性密码函数、最优自相关性序列以及常重码等所 以在2 0 0 1 年时，d i n g ，h e l l e s e t h 和m a r t i n s e n 6 综合d i s 和d i n g 的先前定义给出几 乎差集一个新的概念在过去多年中许多学者开始系统研究几乎差集，但到目前 为止已知结果还很少2 0 0 3 年，柯品惠 8 】利用分圆方法构造了几类新的几乎差集 最近，y z h a n g ，jl e i 和s z h a n g 9 ，1 0 1 运用群、分圃和直积等方法又构造了一些 新的几乎差集并给出了几乎差集存在的一些必要条件 而对于差族，国内外众多学者对其进行了广泛的研究r m w i l s o n 1 1 1 于1 9 7 2 年给出了( u ，七，a ) 一差族存在性的重要结论在随后的时问罩，又有很多学者在差族 领域中获得了重要的结果夏明远、刘刚f 1 2 ，1 3 ，1 41 为了研究h a d a m a r d 设计而得到 了很多特殊参数的差族，之后，娄联堂、夏明远和左国新f 1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 1 通过构造特 殊差族进一步获得了关于h a d a m a r d 矩阵的一些结论与此同时，m b u r a t t i 1 9 1 、k c h e n 和l z h u 2 0 ，2 1 ，2 2 1 等人研究了参数是k ，1 ) 一差族并得到了一些关于u 是素 数幂的结论循环差族还和光正交码有密切联系f 2 3 ，2 4 ，2 5 j ，文献( 2 6 ，2 7 】利用直接 构造和递归构造得到了一些循环差族的结果此外，j h d i n i t z 和p r o d n e y 2 8 1 、j h d i n i t z 和n s h a l a b y 2 9 1 、y c h a n g 和c d i n g 3 0 1 、r f u j i h a r a ，y m i a o 和s s h i n o h a r a l 3 1 1 以及t x i a 和b x i a 3 2 等人对不相交差族和外部差族进行了深入的 研究虽然很多学者对差族进行了比较全面的研究，但所得到的结果都是非常有限， 关于差族存在性和重要应用，读者还可参考其他主要文献 3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 1 ， 最近，c d i n g 提出一个如下问题：假设g 是奇数阶u 的a b e l 群，d = f d l ，d 2 是 一个( ，0 1 ) 2 ，一3 ) 2 ) 一差族其中，觑n d = 0 ，i = l ，2 本文将对上述 问题进行初步的研究，并将其推广到一般化的情形同时本文还得到了一类新的 几乎差集，并给出了个充分必要条件以及小阶数存在的结果 北京交通大学硕士学位论文 第一章引言 2 基本概念 差集、几乎差集和差族在密码、编码理论和序列中有较广泛的应用下面给 出它们的基本概念 定义1 2 1 称瀚群g 的一个七阶子集d 为一个( 盎a ) 一差集( d i f f e r e n c es e t ，简记 为d s ) ，如果g 中每一个非零元作为d 中两个元的差恰好出现a 次且若du d = g o ，则称d 是( t ，k ，a ) 一斜差集 关于( ”，是，a ) 一差集的存在性，有下述必要磊件 引理1 2 2 ( 4 】) 若( 口，七，a ) 一差集存在，则 a 扣一1 ) = k ( k 一1 ) 定义l ，2 ，3 称u 阶群g 的一个阶子集d 为一个( p a ，t ) 一几乎差集( a l m o s td i f - f e r e n c es e t ，简记为a d s ) ，如果g 中t 个非零元作为d 中两个元的羞恰好出现a 次，而 另外的口一1 一t 个非零元作为d 中两个元的差恰好出现a4 - 1 次且若du d = g 0 1 ，则称d 是( t ，k ，a ，t ) - 斜几乎差集 若t = 0 或t = u 一1 ，则几乎差集就是一个差集也就是浣，差集是特殊参数的 几乎差集对于扣，k ，a ，t ) 一几乎差集，各参数之间满足下面的基本关系 引理1 2 4 ( 6 】) 若( 可，k ，a ，t ) 一几乎差集存在，则 七( 忌一1 ) = t a + ( 口一1 一t ) ( a4 - 1 ) 现在对差族概念作一个初步的介绍差族概念是差集概念的自然推广，差族 方法是构作其它组合设计的最常用也是最有效的方法之一， 定义 1 2 ，5 设g 为u 阶a b e l 群，其运算为加法设让为正整数，k 为由正整数组成 的集合又设口为由g 的t 个子集 d i = 4 1 ，d 位，d i k ， l isu ， 所组成的子集族，其中各个觑叫作初始区组如果 ( 1 ) g 中任一非零元夕都恰有a 次表成如下形式的差： g = d d d 鞋， ls i 缸，ls 歹，! ，j ( 2 ) 当l i u 时，都有岛k 则称口为g 中的一个( 口，冠a ) 一差族( d i f f e r e n c ef a m i l y , 简记为d f ) 特殊地，当g = 乙为口阶循环群时，d 叫作( t ，耳，a ) 一循环差族当k = 仕) 时，口叫作( ，意，a ) 一差 族当觑n 一觑= 毋，i ；1 ，2 ，口叫作( t ，k ，a ) 一斜差族 2 北京交通大学硕士学位论文第一章引言 显然地，每一个k ，q 一差集都是一个( 可，每，n 一差族，它只有一个初始区组 关于( 口，k a ) 一差族的存在性，有下述必要条件 引理1 2 6 ( 【4 】) 若( 口，k ，a ) 一差族存在，则 a 0 一1 ) 兰0 ( m o dk ( k 1 ) ) 早期的一些文献 1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，3 4 ，s s 使用了不同的术语，本论文 统一使用差族的符号d f 3 预备知识 分圆方法是构造差集、几乎差集和差族非常有效的工具本节主要介绍分圆 的相关知识 定义1 3 1 设q = e f + 1 为奇素数幂，其中e 1 ，f 1 又设a 是g f ( q ) 的本原 元，= a e ，定义 c j 旬= ( a ，q e ，o t e 2 ，o t 。g f - i ，0 i e 一1 则称诺“，“，d 生为e 次分圆类 定义1 3 2 对于0 i e 一1 ，0 j e 一1 ，令 0 ，j ) 。= i ( ( z ，y ) ：z c i “，y c 5 “，z + 1 = y ，【 则称( i ，j ) 。为e 阶分圆数当无需指明e 时，也常将( i ，j ) 。简记为( i ，j ) 定义1 3 3 分圆矩阵m 是exe 矩阵，其中第i 行第j 列的元素是( t ，j ) 。 有了分圆类、分圆数和分圆矩降的基本概念，现给出它们的一些性质 引理1 3 4 ( 3 0 ，3 9 ) 关于分圆数，有如下基本性质： ( i ) ( t ，j ) 。= ( t 7 ，j ) 。，其中i 三i ( r o o de ) ，j 三j ( r o o de ) 剐。= ( e - i , j - t ) e i 他2 ：黛篇财耗 f1 ，i 三0 ( m o de ) ，是偶数， ( i i i ) ；- 1i ，j ) 。= ，一n i ，m 一 1 ，i 三e 2 ( r o o de ) ，是奇数， l0 ，其它 ( 憾e 烈- - i 幻) c - ，吨奶= r 错砒l ( v 院e “- - 1z 。”, n = 协1 耄嚣 北京交通大学硕士学位论文第一章引言 关于分圆数和方程解的个数关系，有如下引理 引理1 3 ，5 设9 科“，则方程 z y = g ，z c i “，y c ? ( 13 1 ) 的解的个数恰为( i 一岛，j 一恕) 。 证明：m ( i 3 1 ) 得x y 一1 = g y 一令u = g y 一，口= x y - ，则得 n + 1 = 郇，u q 生，u c ! 生 ( 1 3 2 ) 从而方程( 1 3 1 ) 的解数与方程( 1 3 2 ) 的解数相等，即都是( 一七，j 一七) 。故得引理 引理1 3 6 若g 是奇素数幂，则一1 眯当且仅当2 ej ( g 一1 ) ；一1 嘎8 当且仅 当2 e l ( q 5 1 。 证明：设a 是g f ( 口) 的本原元，则一l = 口孚属于诺。当且仅当( g 一1 ) 2 三 0 ( r o o de ) 同理可证另一种情况 低阶分圆矩阵在构作组合设计中起着非常重要作用文献( 3 9 ，4 0 1 给出了2 次、 3 次、4 次分圆类与分圆矩阵的重要性质，见如下三个引理 引理1 3 7 ( 3 9 ，4 0 ) 当b = 2 时，g = 2 i + 1 ，则分圆矩阵m 为： ( i ) 若，是拽m ；ab ) 龇a = 譬，日= 孚， ( - ) 若，剐禺数，m = c 暑) 其中，e = 等，。= 引理1 3 8 ( 3 e ，4 0 ) 当e = 3 时，q = 3 f + 1 ，则分圆矩阵州为 m = ( 三量至) ，参数且，b ，g 。满足如下关系 9 a = 口一8 + c ， 1 8 b 2 q 4 c 9 d 1 8 c = 2 q 一4 一c + 9 d 9 d = q + l + c ， 其中，c 争d 满足匈= c 2 + 2 馏，c 兰i ( r o o d3 ) 4 弓l 理l ，3 9 。( 3 9 ，4 0 t ) 当e = 4 时，窜= 4 f + 1 ，则分圆矩阵朋为 c z ，若，是奇数，朋；a bcd i，参数a，日，c，。e满足如下关系 ( i ) 若，是奇数，朋； ，参数a ，日，c ，。e 满足如下关系 c z ，若，是偶警，m = a bcd i ，参数a b ，g 。，e 满足如下关系： ( i i ) 若，是偶数，m = ，参数4 ，b ，c ，。，e 满足如下关系： 证明：只证明，是奇数的情形，是偶数的情形类似可证设忍d ”，i = 北京交通大学硕士学位论文 第一章引言 记为方程( 1 3 3 ) 的解的个数，下面用两种方法计算的值 首先让翔取遍c 5 4 中的所有元素，则1 + 动瓯”，d “，晓”，鳄恰好各自出 现a ，b ，c ，d 次设l + 匈= z ，则方程( 1 3 3 ) 变为 z + 2 l + z 2 = 0( 1 3 4 ) 方程( 1 3 4 ) 两边同时作用( z ) ，整理得 z l ( ) 一1 + 1 = 一砘( z ) 一1 ( 1 , 3 5 ) 园g = 4 i + 1 ，是奇数故根据引理1 3 6 知，一1 c 擎因此，方程( 1 3 5 ) 又可以 写成 z 1 ( z ) 一1 + 1 = 劲( z ) 一1 ( 1 3 6 ) 显然，方程( l 3 6 ) 和方程( 1 。3 4 ) 具有相同的解数，对于固定的d 舢，t = 9 ，l ，2 ，3 ， 方程( 1 3 6 ) 解的个数为( 1 一i ，- i ) 4 ，。= 0 ，1 ，2 ，3 结合引理l _ 3 9 ( i ) 得，方程( 1 3 6 ) 解 的个数分别为e ，d ，b ，e 从而，方程( 1 3 3 ) 解的个数为 n = a e + b d + b c + d e ( 1 , 3 7 ) 另一方面，让z 2 取遍暖4 ) 中的所有元素，则运用上述同样的方法又可以得到 n = a d + b e + a e + e 2 ， ( 1 3 8 ) 综合( 1 3 ，7 ) 和( 1 3 8 ) 得b d + b c + d e = a d + b e + e 2 运用分圆方法构造组合设计的基本思想一般都是考虑单个分圆类、两个分圆 类的并、三个分圆类的并甚至可以考虑更多分圆类的并组成可能的区组，然后尝 试着根据分圆的性质证明是否构成需要的组合设计在第二章中。将运用此方法构 造一些特殊参数的斜差族和几乎差集， 6 北京交通大学硕士学位论文第_ 二章主要工作 第二章主要工作 1 ( q ，( q 1 ) 2 ，( q 一3 ) 2 ) 一斜差族 本节第一部分给s a f ( q ) 上( q ，0 1 ) 2 ，( q 一3 ) 2 ) - 斜差族的一些已知结果， 第二部分利用分圆方法得到一些( g ，( 口一1 ) 2 ，( q 一3 ) 2 ) 一斜差族的更多结论 1 1 已有结果 由第一章中知差族是构作组合设计最常用的方法，一些特殊参数的差族在实 际中具有较广泛的应用参数是( f ，( ”一1 ) 2 ，( v 一3 ) 2 ) - 差族在一些文献中得到 了初步的结果 3 0 ，3 7 ，4 2 ，4 3 ，4 4 ，本节列出g f ( g ) 上( q ，( q 一1 ) 2 ，( q 一3 ) 2 ) - 斜差 族的一些已知结果 首先给出譬三3 ( m o d4 ) 已知存在的结果，文献 4 j 给出了关于差集的一个重要 定理 定理2 1 1 ( 4 】) 设g = 4 n 一1 为素数幂，则乃中全体非零平方元的集合是目的 加法群中的一个( 4 n 一1 ，2 n 一1 ，礼一1 ) 一差集 受此启发，文献 3 7 】列出了口善3 ( r o o d4 ) 的( g ，( q 1 ) 2 ，( 口一3 ) 2 ) 一斜差族 定理2 1 2 ( 3 7 1 ) 设q 兰3 ( r o o d4 ) 为素数幂，d 1 和d 2 分别表示g f ( q ) 中全体非 零平方元的集合和全体非平方元的集合，则d = d l ，d 2 a - - & ( q ，( q 一1 ) 2 ，心一 3 ) 2 ) 一斜差族 最近，c d i n g j f i l j ，y u a n 利用非线性函数构造了一类新的斜h a d 砌a r d 差集 为此，补充定义一类特殊参数的差集。参数为 ，岛，a ) = ( 4 n l ，2 钆一l ，7 l - 一1 ) 的 差集叫作h a d a m a r d 差集，这里n n 引理2 1 3 ( 4 1 】) 设，u = z l o u 茁6 一u 2 2 2 ，“忍m ，定义h z 口g e ( 丘) = u - ( z ) ： z 忍。) ，这里m 是奇正整数那么，m 凹e ) 是一个参数为( 3 ”，( 3 m 一1 ) 2 ，( 3 m 一 3 ) 4 ) 一钭g a d a m a r d ) t ，工集 同时由文献 4 1 】知，当m 是奇数时，并且札满足“f s m ，则尼m = ( i m a g e ( f u ) ) u _ ( i r a a g e ( f 。) 】u o 故上述这类新的斜h a d a m a r d 差集又可以得到另一类( q ，一 i ) 2 ，( q 一3 ) 2 ) 一斜差族 定理2 1 4 ( 3 7 1 ) 假设 = 。1 0 - - 心6 一舻。2 ，u 忍m ，定义m 叼e ( ) 一 ( z ) ： z 玛。 ，这里m 是奇正整数又设d 1 = i m a g e ( a ) o ，d 2 = 一( 肺叼e ( 丘) o ) ) ， 则d = d l ，d 2 是一个( 3 m ，( 3 m 一1 ) 2 ，( 3 m 一3 ) 2 ) 一斜差族 7 北京交通大学硕士学位论文第二章主要1 ：作 下面再给出q 三1 ( r o o d4 ) 已知存在的结果为了介绍以下的主要已知结论，还 须引入下面一类特殊差集的定义 定义2 1 5 假设g 是2 m + 1 阶的a b e l 群，其运算为加法又设a l ，a 2 是群g 的两 个m 阶子集，如果 ( 1 ) a a 1 号一。芒a 1 ， ( 2 ) 对于任意的g g ，g 0 ，( a , l ，0 , 2 ) a 1 a 1 ，( b 1 ，6 2 ) a 2xa 2 ，方程组 n 1 一a , 2 = 9 ，6 1 一b 2 = 9 所有解的个数是m 一1 则称a 1 ，a 2 是增补差集( c o m p l e m e n t a r yd i f f e r e n c es e t s ) 需要指出的是，增补差集是一类特殊参数的差族且在上述增补差集定义的 基础上，若b a 2 = 亭一b 岳a 2 ，则a l ，a 2 是参数为( 2 m + 1 ，m ，m 1 ) 一斜差族g s z e k e r e s 、d b l a t t 以及a l w h i t e m a n 等人为了研究斜的h a d a m a r d 矩阵利用分 圆方法得到了很多关于增补差集的结论，通过验证发现所得到的已知结论都满足 条件a 2n a 2 = 毋故可以将结论写成关于斜差族的形式，主要结果如下： 定理2 1 6 ( 4 2 ，4 3 1 ) 设q 一1 = 4 f 为素数幂，是奇数假设d 1 = c u 磁”， d 2 = 甜uq “，则在g f ( q ) o e z ) = d 1 ，d 2 ) 是一个( 口，( q t ) 2 ，( q 一3 ) 2 ) 一斜差 族 定理2 。l 。7 。( 阻3 ，4 4 1 ) i t q = s + 1 = 矿为素数幂，满足p 三5 ( m o d8 ) 争ti 2 ( r o o d4 ) 假设d 1 = 诺8 ua 8 u 嘎8 ua 剐，d 2 = 诺8 u 叫8 u 诺8 u 卵，则 在g f ( q ) 中口= d 1 ，d 2 是一个( q ，( q 一1 ) 2 ，( q 一3 ) 2 ) - 斜差族 1 。2 主要结论 本节给出g f ( q ) 上( g ，0 1 ) 2 ，( g 一3 ) 2 ) 一斜差族的一些初步结果首先给出 定理2 1 6 的另一种证明 证明：设，= 2 1 + 1 ，2 n ，则q = 8 1 + 5 又设d 是g f ( q ) 的本原元，根据引 理1 3 6 知一1 掣即对于i = l ，2 ，若d d i ，则一d 隹皿故风n d t = 0 ，i = 1 ，2 下面只需证明相遇数a = ( q 一3 ) 2 ，为此定义 最= 2 3 一y ：z ，y d i ，z 9 ， = 1 ，2 - 根据差族和分圆数定义，则有 岛= 2 3 一可：z ，y c 紫，茹可) u 茹一可：茹，y c 4 1 ，订u ( z 一! ，：z c 岔，掣硝钔，可 u ( 。一y ：z c 妒，! ，c 沓，z 分 ( o ，o ) 4 c 6 4 u ( 3 ，3 ) 4 硝4 u ( 2 ，2 ) 4 c p u ( 1 ，1 ) 4 c 擎u 8 北京交通大学硕士学位论文第二章主要工作 ( 1 ，1 ) 4 c p u ( o ，o ) 4 d 4 u ( 3 ，3 ) 4 c 扩u ( 2 ，2 ) 4 c p u( 2 1 1 ) ( o ，1 ) 4 秭4 u ( 3 ，o ) 4 d 4 u ( 2 ，3 ) 4 谚4 u ( 1 ，2 ) 4 d 4 u ( 1 ，o ) 4 c 5 4 u ( o ，3 ) 4 c 4 u ( 3 ，2 ) 4 西4 u ( 2 ，1 ) 4 c p 因q l = 4 f ，f 是奇数，故根据引理1 3 4 和引理1 3 9 有如下关系式 2 a 4 - 2 e = ，一1 b + d + 2 e = 因此，由4 阶分圆矩阵整理得 ( 2 1 ，2 ) ( 2 1 3 ) 韪= ( a + e + b + e ) c 舻t o ( e + a + e + d ) d 4 u ( a + e + e + b ) c 4 u ( e + a + d + e ) a 4 = ( a + b + 2 e ) 露u ( a + d + 2 e ) 窃戤( 2 1 4 ) 类似地，可以得到 s j = ( a + d + 2 e ) “2 u ( a + b + 2 e ) d 羽( 2 1 5 ) 由( 2 i 4 ) 和( 2 1 5 ) ，得 尻u = z ，y d ；，z y ) = ( 2 a + b + d + 4 e ) 诺2 u ( 2 a + b + d + 4 e ) d 2 = ( 2 a + b + d + 4 e ) ( 诺2 u d 2 ) 结合( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) ，得 u ：l z 一可：z ，y 现，z 暑 = ( 2 f 一1 ) ( 诺2 u c f 2 ) = 2 量( g f 0 ) o ) 例2 1 8 u = 4 x 1 3 + i ，在磊3 中取d 1 = c 吾4 u 研4 = 1 ，2 ，3 ，1 0 ，1 3 ，1 5 ，1 6 ，1 9 ，2 0 ， 2 4 ，2 6 ，2 8 ，3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 5 ，3 6 ，3 9 ，4 1 ，4 2 ，4 4 ，4 5 ，4 6 ，4 7 ，4 8 ，4 9 ，d 2 = 毋) u c 擎= 1 ，5 ， 8 ，1 0 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 8 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 7 ，2 8 ，3 3 ，3 4 ，3 6 ，4 2 ，4 4 ，4 6 ，4 7 ，4 9 ，5 0 ，5 i 1 ，那 么口= d 1 ，d 2 是一个参数为( 5 3 ，2 6 ，2 5 ) 一斜差族 对于定理2 1 6 ，若重新组合c 扩，d 4 1 ，c 墨4 ，孝，则又可以褥到另外3 种( g ，( 口一 1 ) 2 ，( g 一3 ) 2 ) 一斜差族如推论2 1 9 所示： 推论2 1 9 设q 一1 = 4 ，为素数幂，是奇数m e i d 1 = d 4 u 巧舢，d 2 = g 5 4 u 甜若( t ，j ，詹) = ( o ，1 ，2 ) ，( o ，3 ，2 ) ，( 1 ，2 ，3 ) ，则在g f ( q ) 中d = ( d 1 ，d 2 是一 个( g ，( 叮一1 ) 2 ，( q 一3 ) 2 ) 一斜差族 9 y z r l 。u 商 韭垦垄塑盔堂堕主堂垡堡茎 苎二三耋塞薹三堡 文献 3 7 】最近构造了两类新的( u ，0 1 ) 2 ，( 可一3 ) 2 ) 一差族结论如下 定理2 1 1 0 ( 【37 】) 设g 一1 = 4 ，为素数幂，其中g = s 2 + 4 ，s 兰1 ( m o d4 ) 是q = 矿的恰当表示，这里p 三1 ( r o o d4 ) 4 陧i r - d z = d 4 uc ： “，伤= 掣uc ! ” 若( z ，j ，) = ( o ，1 ，3 ) ，( o ，2 ，3 ) ，则在g f ( q ) 中d = d 1 ，d 2 是一个( q ，( g 一1 ) 2 ，( 口一 3 ) 2 ) 一差族 定理2 1 1 1 ( 37 】) 设g = p “i3 ( r n o d4 ) ，这里m 是正整数，又设q 是g f ( g ) 的 本原元，f k - d 1 = 0 0 9 。x ) 2 ：z ( 诺2 1 1 ) n 诺2 ) ，d 2 一 ( 1 0 9 口z 一1 ) 2 ： z ( 诺甜一1 ) n c f 砷) ，则在五g 一1 ) 2 中d = d 1 ，d 2 ) 是一个( ( g 一1 ) 2 ，( q - 3 ) 4 ，( q 一 7 ) 4 ) 一差族 但通过验证发现，上述两类都不是( q ，( q 一1 ) 2 ，( g 一3 ) 2 ) 一斜差族类似地对 于定理2 1 7 ，同样也可以重新组合8 阶分圆类，这样又可以得到如下推论 推论2 , 1 ，1 2 - 设g = s s + 1 = p t 为素数幂，满足p55 ( m o d8 ) 和e2 ( r n o d4 ) 则在g f ( g ) 中d = d 1 ，d 2 是一个( q ，( 口一1 ) 2 ，( g 一3 ) 2 ) 一斜差族，若d 1g = v 2 具 有如下的组合形式，分八组表示： 第一组： ( 1 ) d 1 = c ：；s ) u d 8 u d 8 ) u q ，d 2 = 既8 u d 8 u 甜u 西踟， ( 2 ) d 1 = d 8 u d 8 u 罐8 u d 引，d 2 = 岛8 u q 8 ) u 碟8 u 磁剐， ( 3 ) d i = 岛8 uq 8 ) uc 笋u 穰射，d 2 = 趔8 ud 8 ) ud 8 u 碟酏， ( 4 ) d l = c 5 8 u 卵u 硝uc 钔，d 2 = e p uc 8 u 背1 u d 剐， 第二组： ( 5 ) d 1 = 弼8 u 趔8 u 诺8 u 睇引，d 2 = a 8 u d 8 u a 8 u 硝， ( 6 ) d 1 = d 8 u d 8 u 曜8 u d 射，d 2 = d 8 u d 8 u d 8 ) u 醪， ( 7 ) d l = 露u 篮) u 管uc ；8 ，d 2 = 凹u c l 8 ) ug ：8 u e f ， ( 8 ) d 1 = c 酽u 8 u 碟8 u 背，d 2 = 暖8 u 晓8 ) u 暖8 u 谬 第三组： ( 9 ) d 1 = c 8 u ( 1 0 ) d 1 = c 8 u ( 1 1 ) d 1 = c 8 u ( 1 2 ) d 1 = c 8 u 第四组： ( 1 3 ) d 1 = 四u ( 1 4 ) d 1 = d 8 u ( 1 5 ) d 1 = 凹u ( 1 e ) d 1 _ c 8 u d 8 u a 8 u c 掌，d 2 = a 8 u e i 8 u d 8 u 帮 管uc ：8 ) u 掣，d 2 - 掣u 背u 露uc ：8 ) d 8 u 背u 碟扪，d 2 = 谚8 u d 8 u d 8 u a 8 a 8 u 背u 背，d 2 = 背u q 8 u 凹u 谬 a 砷u 背u 锣， c 8 u 掣u 碟舯， c 4 8 u d 8 u 醇， 剪u 货u 谬 u u u u 背曾背背 = = | | = 胁协沈协 芹掣锣锣 u u u u 掣掣掣掣 u u u u 诺诺诺d 北京交通大学硕士学位论文 第_ 二章主要j ：作 第五组 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) 第六组 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 第七组 第八组 f 2 9 f 3 0 f 3 1 ( 3 2 u 胖 uc 擎 u 掣 u 凹 a 8 ) u 毯8 u 四u d 8 ) u 露u 诺8 u 碟8 u d 8 u uc i 8 u 唾8 u 晓8 u 蹬 磁扪，d 2 = 晚8 u 罐扪，d 2 = 卵u 管1 ，d 2 = c i 8 1 u 唾引，d 2 = 8 u 背， 雠8 1 ， 诺踟， a 扪， u 晓8 u u d 8 u u a 8 u u 鳄1u c 5 8 ， c ， a 8 1 ， 拶) 例2 1 1 3 q = 2 5 ，e = 8 ，设。为a 2 + 口+ 3 = o 的本原根取d 1 = 秭8 ud 8 u 嘎8 u a 8 = ( 1 ，2 ，q ，o + 1 a + 2 ，a + 3 ，2 q ，2 a + 1 ，2 a + 4 ，3 q + 2 ，3 a + 3 ，4 a + 1 ) ， d 2 = 露u 算ue ：8 u 辞= l ，3 ，o ，a + 2 ，a + 3 ，2 c , + 3 ，3 6 r ，3 a + l ，3 a + 3 ，3 a + 4 ，4 0 r + 1 ，4 盘+ 4 ，则在g f ( 2 5 ) 中d = d 1 ，三) 2 是一个( 2 5 ，1 2 ，1 1 ) 一斜差族， 2 一类新的几乎差集 几乎差集与密码、编码和序列理论有着非常密切的关系【3 ，6 ，7 】，可以用来构 造有最优非线性的密码函数、最优自相关性序列和一些有良好性质的常重码等 关于几乎差集的已知结果文献【8 】给出了很好的综述，之后又有一些学者在这方面 傲了很多工作，读者可参考文献【9 ，1 0 1 本节先简要介绍几乎差集和二元序列的关 系，然后证明一类新的几乎差集，最后列出这类新几乎差集小阶数的存在结果 2 1 几乎差集与二元序列 在介绍几乎差集和二元序列关系之前，先给出一些必要的定义 1 1 背秽背 8 8 8 8 诺诺d l l i | = = 如眈现现 背谬背谚 u u u u b 8 8 8 讲研d u u u u 卵背帮露 i f = = = a 功研皿 管锣管谬 u u u u 背凹背学 u u u u 背背鳄背 u u u u 背背篮背 u u u u 帮背谨甜 = j | | i = 仇历玖历 u u u u 背醇背背 u u u u 背管鳄凹 u u u u 背馨畔背 i | | = = 现现见现鳄掣锣锣 u u u u 管背鳄背 u u u u 背管背醇 u u u u 8 8 8 8 皤瞵皤