（计算数学专业论文）谱方法在计算流体力学中的应用研究.pdf

西北工业大学硕士学位论文 摘要 = e = = 目= = = ! = = = = e = = i i e ! l = ! = = ! = = = = = 目d ie = ! ! ! t ! = = ! = = 目_ = ! = = ! ! = ! ! = = = = = - = 自! = 一 摘要 谱方法是加权余量法中发展相对完善的一种数值计算方法，该方法在理论上 具有无穷阶精度和指数阶收敛性。随着计算机技术以及数值模拟技术的不断发 展，谱方法已成为当前计算流体力学领域的三大主流数值方法之一，并受到广大 学者的关注。 谱方法在诸多工程领域中都取得了众多成果，特别是在计算流体力学领域。 但是随着数值模拟技术以及工业生产技术的迅猛发展，高精度地模拟复杂流体流 动问题成为学者们的研究热点。鉴于谱方法的高精度性，本文着重研究谱方法在 计算流体力学中的应用，其主要内容如下： ( 1 ) 在阅读了大量相关文献的基础上，详细概述了谱方法在计算流体力学领 域的研究现状，给出了谱方法的基本思想、相关基础知识以及性能分析，并指出 了谱方法在数值计算中存在的主要问题及其发展动态。 ( 2 ) 对于二维p o i s s o n 方程边值问题，本文分别推导了c h e b y s h e vt a u 方法 和c h e b y s h e vg a l e r k i n 方法的计算公式，实现了相应的数值模拟。并将计算结果 与精确解进行了比较，分析了数值逼近误差，所得结论验证了谱方法的高精度性 和快速收敛性。 ( 3 ) 针对实际工程和生活中经常遇到的非牛顿流体管道流，本文应用谱方法 数值逼近了圆管内上随体m a x w e l l 流体的流动，很好地模拟出了非牛顿流体管道 流的速度过冲以及振荡现象，同时还根据数值结果分析了非牛顿流体的粘性和弹 性对其流动的影响。 ( 4 ) 针对谱方法难以求解非规则区域问题的缺点，本文给出了光顺化边界谱 方法的基本思想，该方法可以使纯粹的谱方法能够求解任意非规则区域上的偏微 分方程。最后对于具体的扩散方程，分别应用映照法和光顺化边界谱方法进行求 解，并将所得数值解与其精确解进行了比较，分析了两种方法的数值误差，验证 了光顺化边界谱方法的有效性和可行性以及映照法的高精度性。 关键词：谱方法，g a r l e r k i n 方法，t a u 方法，非牛顿流体，上随体m a x w e l l 流体， 光顺化边界谱方法 曲北1 2 业大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t s p e c t r a lm e t h o di sp e r h a p st h em o s te s t h e t i c a l l yp l e a s i n go ft h em e t h o do f w e i g h t e dr e s i d u a l s ，i th a sh i 曲一o r d e ra c c u r a c ya n de x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c ei nt h e o r y a l o n gt h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e ra n dn u m e r i c a ls i m u l m i o nt e c h n o l o g y , s p e c t r a l m e t h o db e c o m e so n eo ft h r e ei m p o r t a n tn u m e r i c a lm e t h o d si nc o m p u t a t i o n a lf l u i d d y n a m i c sa n dg a i n ss i g n i f i c a n ta t t e n t i o n s p e c t r a lm e t h o dh a sa l r e a d yg o tt o om u c hs u c c e s s f u la p p l i c a t i o ni nm a n yf i e l d s ， e s p e c i a l l yi nc o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s a st h ei n c e s s a n ti m p r o v e m e n to fb o t h n u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nt e c h n o l o g ya n di n d u s t r yt e c h n o l o g y , h i 曲一o r d e ra c c u r a c y s i m u l a t i o no f c o m p l e xf l u i db e c o m e so n e o ft h em o s ta c t i v et o p i c si nf l u i dm e c h a n i c s i nt h i sp a p e r , t h ea p p l i c a t i o no fs p e c t r a lm e t h o di nc o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i ci s m o s t l ys t u d i e db e c a u s eo ft h ea c c u r a c yo fs p e c t r a lm e t h o d ，t h em a i nc o n t e n t so ft h i s p a p e ra r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： a ) t h ep a p e rf i r s tp r e s e n t e sa no v e r v i e wo fs p e c t r a lm e t h o di nc o m p u t a t i o n a l f l u i dd y n a m i c sa n dp o i n t so u tt h em o s tc o m m o np r o b l e m so fs p e c t r a lm e t h o di n p r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，t h e ni n t r o d u c e d st h em a i ni d e aa n db a s i ck n o w l e d g ea b o u t s p e c t r a lm e t h o d a l lt h e s ew o r ka r ef i n i s h e da b o v et h es t u d yo fa b u n d a n ti n t e r r e l a t e d l i t e r a t a r e s b ) t w o - d i m e n s i o n a lp o i s s o ne q u a t i o ni ss o l v e db yb o t hc h e b y s h e vt a um e t h o d a n dc h e b y s h e vg a l e r k i nm e t h o d ，t h en u m e r i c a lu n c o i l sa r ec o m p a r e dw i t ht h ee x a c t o n e a tl a s t ，w ea n a l y z e dt h ee r r o ro ft h e s em e t h o d s t h er e s u l t ss h o ws p e c t r a l a c c u r a c yo fs p e c t r a lm e t h o d c ) i no r d e rt os i m u l a t et h er h e o l o g i c a lb e h a v i o r so fu p p e r - c o n v e c t e dm a x w e l l f l u i di nah o r i z o n t a lc i r c u l a rp i p ea c c u r a t e l y , t h ec u r v e so ft h ev e l o c i t ya tt h ea x e s p a r a l l e lw i t ht h ec e n t r ea x i so f t h ec u b ea sw e l la st h ec u t a w a yv i e wo f i to nt h ew h o l e p i p ea r eo b t a i n e du s i n gc h e b y s h e vt a um e t h o d t h e yc a ne a s i l l ys h o wt h eb e h a v i o r o ft h ef l o wi nt h ec u b e ，r e v e a lt h ep h e n o m e n o no fv e l o c i t yo v e r s h o o t i n ga n dd a m p i n g o s c i l l a t i o no ft h ef l o w a tt h es a l n et i m e ，t h er e s u l t sd i s p l a yt h ee f f e c t so ft h ee l a s t i c i t y a n dt h ev i s c o s i t yo f t h ef l u i do nt h ef l o w d ) i ti s w e l lk n o wt h a t s p e c t r a l m e t h o dc a nn o th a n d l et h ep r o b l e m sw i t h i r r e g u l a r l ys h a p e dd o m a i n sd i r e c t l y i nt h ee n do ft h i sp a p e rw ep r o p o s et h ei d e ao f t h es p e c t r a ls m o o t h e db o u n d a r y ( s s b ) m e t h o d ，w h i c hm a k e st h es o l u t i o no fp a r t i a l i i 西北工业大学硕士学位论文a b s t r a c t d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si ni r r e g u l a rd o m a i n sc a nb e e na p p r o x i m a t e db ys p e c t r a lm e t h o d t h e nw es o l v ed i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hm a p p i n gt e c h n i q u ea n ds s bm e t h o d w ea l s o c o m p a r et h en u m e r i c a lr e s u l t sw i t ht h ee x a c ts o l u t i o n ，t h er e s u l t ss h o wt h a ts s b m e t h o di sn o to n l ye r i e c t i v eb u ta l s of e a s i b l e ，a tt h es a m et i m e ，t h e ya l s od i s p l a yt h e s p e c t r a la c c u r a c yo im a p p m gt e c h n i q u e k e y w o r d s ：s p e c t r a lm e t h o d ，g a l e r k i nm e t h o d ，t a um e t h o d n o n n e w t o n i a nf l o w , u p p e r - c o n v e c t e df l u i d ，s p e c t r a ls m o o t h e db o u n d a r ym e t h o d l l i 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文 ：作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名 如矽年；月7 日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德本人郑重声明：所呈交的学位论文，造本 人在导师的指导下迸行研究 ：作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名 弦口7 年弓月，7 日 嬲 两j 匕丁业大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 流体力学及其应用的研究方法有理论分析、实验研究和计算流体力学”。 这三种研究方法中，理论分析能够提出各种流动模型并建立相应的控制方程和 边界条件，从而给出流动现象的普遍性信息，但往往却无法用于复杂的以非线 性为主的流动现象的研究：实验研究则会受到外界环境、实验模型等因素的限 制，而且通常都耗资巨大且周期漫长。计算流体力学虽然是继前两种研究手段 之后出现的，但由于近年来计算机技术和数值方法的飞速发展，该学科正逐渐 超越理论分析和实验研究，成为流体力学的主要研究手段。计算流体力学是综 合了流体力学理论、计算机技术和数值方法而产生的一门应用基础学科，其主 要研究方法为数值计算。数值计算的优点是耗资少、周期短、自由灵活、易于 控制、便于优化。它不仅能够模拟理想条件也可以模拟真实情形，因此得到越 来越广泛的应用。但是数值计算的优越性能否实现不仅依赖于计算机的性能， 还取决于合理的数学模型和有效的数值计算方法【2 】。 流体流动的控制方程为偏微分方程，其数学求解的理论还不够完善，相对 复杂的流动问题都要应用数值方法来研究。如今虽然有众多的流体动力学方 法，但计算流体力学中常用的数值方法主要有：有限差分法、有限元法和谱方 法【2 】。这三种数值方法中，有限差分法用差商代替微商，其思想方法简单、格 式构造灵活，是计算流体力学和传热学中应用最早、最广泛，也是最为成熟的 数值方法【3 ，4 】，该方法在理论分析和实践应用中都取得了巨大成就，至今仍在 数值模拟这一领域占主导地位。但是有限差分法的逼近精度受格式本身的限 制，且容易出现不稳定现象。有限元法则是将连续的求解区域分解为有限个按 一定方式相互连接在一起的单元，单元本身可以是三角形或多边形等不同几何 形状，因此该方法易于处理复杂区域问题【5 】，并在流体力学、弹性力学以及其 他领域内的大量工程计算中取得了极大成功。另外有限元法理论形式规范，易 于编写大型通用计算软件，且数值分析理论也已经相当完善。但是有限元法的 逼近精度也要受格式本身的限制。 综上可见，计算流体力学的三大数值方法中，有限差分法和有限元法都是 低精度的方法。随着计算流体力学的不断发展和完善，对于小尺度精细流场信 息的研究越来越重要。因此，高精度的数值方法成为众多学者的研究热点。而 谱方法就在理论上具有无穷阶逼近谱精度和指数阶收敛性，且谱方法的收敛速 西北r 业大学硕十学何论文第一章绪论 度仅依赖于真解的正则性。真解的光滑度越商，它的收敛速度越快。因此谱方 法就能够以充分小的自由度取得较高精度的解1 6 , 7 1 ，从而弥补有限差分法和有 限元方法的不足，另外还可以采用快速算法来大大减少谱方法的计算量，这一 点也是有限差分法和有限元法不可比拟的。 1 2 谱方法的研究进展 谱方法是一种古老而又新兴的数值方法，从产生至今已有很长历史了。早在 1 8 2 0 年，n a v i e r 就应用双重三角级数来求解四边铰支的长方形薄板，并称之为 “n a v i e r 方法”。然而，由于计算量大和基函数构造困难，谱方法的发展在很长 一段时间黾受到了限制。直到1 9 6 5 年，c o o l e y 和t u r k e y 给出了快速f o u r i e r 变 换才为谱方法的应用带来转机。此后，o r s z a g l 8 】由积分的非线性性发明了计算卷 积的变换公式，又使得谱方法可以用于非线性和非周期问题的求解，因而7 0 年 代初，出现了许多研究谱方法计算，应用及稳定性方面的理论，且将这些理论应 用于一系列重要的线性和非线性偏微分方程求解的学者们，例如，最早将谱方法 应用于偏微分方程求解的k r e i s s 、o l i g e r 9 1 和o r s z a g i l 0 等，它们的研究都取得了 令人满意的成果。与此同时，计算机的急速发展在很大程度上解决了谱方法计算 量大的问题，使得谱方法有了实用价值。因此，谱方法自二十世纪七十年代早期 逐渐发展壮大【6 ，”。至今，大量的实际计算证明了谱方法的确是一种十分有效的 数值方法。谱方法已经和有限差分法、有限元法一起，成为偏微分方程求解的主 要数值方法，并被广泛应用于流体力学1 1 ”、计算物理、大气 1 2 , 1 3 l 、海洋h 1 等领 域。 谱方法的数值分析理论一直在不断地发展和完善 6 , 7 , 1 5 - 2 8 】。二十世纪七十年代 中期，谱方法在实际中的成功应用引起了学者们对其理论研究的兴趣。尽管至今 其理论研究与有限差分法和有限元法相比还有很大差距，但理论分析的发展仍然 促进了实际应用的进一步发展。g o t t l i e b 和o r s z a g 2 8 】的专著第一次系统地介绍了 谱方法的数学估计理论，从此真正开始了对谱方法的全面研究，该书涵盖了许多 方面的理论分析问题，例如非线性和变系数方程等。接下来十年中的发展由 c a u n t o 、h u s s a i n i 、q u a r t e r o n i 和z a n 9 1 9 8 7 所著的s p e c t r a lm e t h o d si nf l u i d d y n a m i c s ) ) 【6 j 一书所总结，该书主要介绍了谱方法在流体力学中的应用，特别是 数值实现时的算法细节。b e r n a r d i 和m a d a y 在1 9 9 2 发表的书则论述了应用多项 式进行谱逼近的估计理论，为谱方法的误差分析奠定了基础。l l o y d 撰写的f i n i t e d i f f e r e n e ea n ds p e c t r a lm e t h o d sf o ro r d i n a r ya n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) 4 j 简明 介绍了应用谱方法求解常微分方程和偏微分方程的理论知识，以及实现谱遁近的 2 西北t 业大学硕士学位论文第一章绪论 算法设计。另外，国内学者郭本瑜 1 6 - 1 s 1 对于谱方法的理论做了深入的研究，他基 于香港城市大学在1 9 9 6 年关于谱方法的八次演讲以及谱方法的应用编写了t h e s t a t eo f a r ti ns p e c t r a lm e t h o d s 1 7 1 a 该书不仅介绍了谱方法的基本思想及其理论， 总结了将谱方法应用于多维和高阶问题的方法，还给出了将谱方法与其他数值方 法进行耦合应用的技术。同时，该书将差分法中的广义稳定性理论成功地推广应 用于谱方法中，形成了应用谱方法数值模拟非线性问题的一般框架。向新民所著 的谱方法的数值分析1 7 】着重介绍了谱近似的相关理论知识，如泛函分析、快 速f o u r i e r 变换以及投影算子等等，并给出了谱方法的收敛性和稳定性理论，同 时还总结了谱方法的某些新进展。由于在实际应用中拟谱方法应用较多，因此赵 凌琪、白凤兰 1 9 1 特别对拟谱方法的收敛性和稳定性估计理论给予总结。还有许多 学者也特别对拟谱方法进行了研究，如其基函数问题以及误差分析等。 为了扩大谱方法的应用范围，有不少学者致力于将谱方法拓广应用于非规则 区域问题求解的研究。从7 0 年代开始已经发展出一些能够应用谱方法求解复杂 几何区域问题的新方法。例如映照法，即通过适当的变量变换将求解区域映射为 规则区域，但是对于形状比较复杂的区域寻求适当的变换往往难以具体实施；另 外还有拼接法，即把一个区域先分解成若干个简单的予区域，然后在每个子区域 上实施谱方法，最后联立求解。同样这种方法只适合于求解简单区域上的问题， 如上型区域，即流体力学中的突缩或者突扩流问题的求解域；还有区域分解法1 2 ， 即将复杂区域分解为多块具有简单几何边界条件的子区域，在每一子区域上分别 应用谱方法，然后在子区域界面或重叠区域上进行相邻区域的解匹配，该方法中 选择一个合适的匹配算法是很关键的，匹配算法的不同不仅会影响数值计算的误 差同时会影响数值实现的难易程度；还有一些学者研究了混合谱方法p ，p a t c r a ”l j 提出了将谱方法和有限元法相结合的谱元法，该方法和有限元法一样具有很好的 几何区域适应性。另外还有学者提出了在空间和时间上采用不同基函数展开的混 合谱方法。上述这些方法部分地保持了谱方法的高精度性，比纯粹的差分法和有 限元法精度高，可以解决区域较为复杂的问题，并在流体计算中已有不少应用。 迄今谱方法已被成功地应用于众多工程领域，其中应用最为广泛的领域是计 算流体力学 3 2 5 0 ，从牛顿流体中的层流、混合层流乃至湍流，以及非牛顿流体的 计算，都有谱方法的众多成功应用。f o u r i e r 拟谱方法在求解不可压缩 n a v i e r - s t o k e s ( 简记为n s ) 方程中获得了很大的成功。特别是对于区域简单， r e y n o l d s 数较低的槽道流模拟居多，对槽道中的层流、湍流以及两相流和湍流近 壁区相干结构的研究 3 2 , 3 3 ，所得结果令人鼓舞。谱方法甚至被推广应用于复杂流 动的计算，如晶体生长的化学气相淀积复杂输运过程的模拟【3 4 i ，其计算结果与已 有文献以及实验结果吻合很好。湍流作为自然界中最常见的流动状态，其模拟非 西北 二业大学硕十学位论文第一章结论 常困难。对湍流的直接数值模拟，最早是o r s z a g 和其合作者应用谱方法进行的。 谱方法在对流扩散问题中的应用也相当广，王喜君、吴江航、张法高【2 0 】利用谱方 法的稳定性及其快速收敛性，应用拟谱杂交法得出了对流占优时对流扩散问题的 求解方法，并用数值实验证明了谱方法的有效性。任宗修、杨明波【2 l 】也用特征拟 谱方法对此问题进行了分析，从理论上说明了这种新型数值方法的优点。这些研 究结论对大气、海洋及江河污染的模拟，化工、冶金中传热、传质和湍流的运动 以及大气、海洋环流乃至海洋强温跃层变化问题的描述都做出了重大的贡献。工 程中常见的另外一种流场是混合层，对该流场拟序结构的研究具有重要的理论和 实际意义。林建忠等人应用拟谱方法对加入聚合物而产生的具有粘弹性的混合层 流场进行了研究，他们应用适当的滤波方法，得出了比理论方法更广的参数范围 内的流场运动特性 3 5 , 3 6 】。综上所述，谱方法在流体力学中各种重要流场，以及流 动中的某些特殊物理现象的模拟中都有许多成功的应用。这些应用都凸显了谱方 法的谱精度和指数阶收敛性，同时这些应用也促进了谱方法的不断发展和完善。 1 3 谱方法的研究意义 一方面，谱方法具有悠久的发展历史，其理论研究也取得了一些重要进展。 然而与限差分法和有限元法相比还相差甚远，尤其对非线性非周期问题求解的拟 谱方法还有很多问题有待迸一步研究和完善。另外由于谱方法的自身缺陷，使得 该方法在数值计算方面同样存在着大量问题有待探讨。例如，对于复杂区域问题 的求解难以实施，这是谱方法的最大缺陷；还有处理边界时方法复杂且稳定性差； 时间离散精度与谱精度不匹配；迭代计算时高频项增加引起的混淆误差增大；对 于间断问题的求解，谱方法不能保证谱精度1 6 】等。因此谱方法的理论分析还需要 不断完善，其数值计算方法还需要不断改进。 另一方面，谱方法在计算流体力学领域中已有的众多成功应用，证明了谱方 法相比于有限差分法和有限元法具有精度高、收敛快的特点。而计算流体力学的 发展使得对于更复杂、更精细的流场信息的捕捉尤为重要，因而高精度数值方法 成为学者们的研究热点。谱方法的最大优越性即为“无穷阶收敛性”，即如果原 问题的解无限光滑，那么采用适当的谱方法所求得的近似解将以 厂1 ( 为近似解 的展开项数) 的任意次幂的速度收敛于精确解；同时谱方法还具有准确的空间微 商，即应用谱方法时，对变量的空间微商可在谱空间利用逐项微分法或一些简单 的递推公式准确求得，这对于研究某些对r e y n o l d s 数敏感的问题，例如从层流 到湍流的转捩现象非常重要：另外谱方法在传播数值误差时没有相位误差，且能 得到整体区域上的近似解，而不是小区域上的解1 6 1 。谱方法的上述诸多优点说明， 两北r 业大学硕十学位论文第一章绪论 对于更深入细致地研究流体动力学问题，该方法具有无比的潜在优势。 综上可见，谱方法的理论研究还相对不太成熟，但随着计算流体力学和数值 模拟技术的不断发展，谱方法作为一种高精度的数值模拟方法又在计算流体力学 的进一步发展中具有举足轻重的作用。所以说研究谱方法在计算流体力学中的应 用，不仅对于谱方法本身而言相当必要，同时也具有重要的实际工程意义。尽管 目前对于谱方法的研究还存在诸多困难，但由于其高精度性和快速收敛性，该方 法的不断完善必将促进计算流体力学的发展，同时也将为谱方法的应用开拓更为 广阔的空间。 1 4 本文主要工作 本文的工作主要有以下几个方面： ( 1 ) 本文第一、二章详细概述了谱方法在计算流体力学领域中的研究现状， 给出了谱方法的基本思想、相关基础知识以及性能分析，并指出了谱方法在计算 中存在的主要问题及其发展动态。 ( 2 ) 本文第三章探讨了求解p o i s s o n 方程的谱方法逼近，推导了二维p o i s s o n 问题的c h e b y s h e vt a u 方法和c h e b y s h e vg a l e r k i n 方法的计算公式，实现了其数 值模拟。同时将数值结果与其精确解进行了比较，分析了数值结果的误差，从而 验证了谱方法的高精度性和快速收敛性。 ( 3 ) 针对实际工程和生活中经常遇到的非牛顿流体管道流，本文第四章应用 谱方法数值逼近了圆管内上随体m a x w e l l 流体的流动，很好地模拟出了非牛顿流 体管道流的速度过冲以及振荡现象，同时根据数值模拟结果分析了非牛顿流体的 粘性和弹性对其流动的影响。 ( 4 ) 针对谱方法难以用于非规则区域问题求解的难点，本文第五章首先给出 了光顺化边界谱方法的基本思想。说明了该方法和映照法一样，也可使纯粹的谱 方法能够求解非规则区域上的偏微分方程。且光顺化边界谱方法适用于任意非规 则区域问题的谱方法求解，相比与映照法具有更广的应用范围。然后，作者对于 具体的扩散方程分别应用映照法和光顺化边界谱方法进行了求解，并将所得的数 值解与其精确解进行了比较。所得结果说明映照法完全地保留了谱方法的高精度 性，且验证了光顺化边界谱方法的有效性和可行性。与此同时，还发现光顺化边 界谱方法的精度与参数值密切相关。 西北1 二业大学硕士学位论文 第二章谱方法的基本知识 2 1 谱方法 第二章谱方法的基本知识 谱方法是加权余量法( m e t h o do fw e i g h t e dr e s i d u a l s ，简记为m w r ) 中较完善 的一种。所谓m w r ，就是将未知量用关于基函数的截断级数展开来近似，然后 用截断级数展开代替精确解代入微分方程产生余量，再利用权函数让余量关于某 种范数达到最小，从而保证截断级数展开尽可能地满足微分方程。谱方法将未知 量用正交函数展开，在整个计算区域内把微分方程离散成代数方程组。而这些正 交函数是一些特殊二阶常微分方程的特征函数，在数学上这些特征函数又称为 谱，因此称其为谱方法。本节首先给出谱方法的基本原理。 设有微分方程 三( 村) = 厂( 材)( 2 一1 ) 上式中三表示微分算子，f ( u ) 是已知函数。下面介绍求解微分方程( 2 1 ) 式的谱 方法。 首先，将未知函数甜用一组选定的完备、线性独立函数族溉 。圳展开为 ”= 以九 女却 其中函数族舰) 。圳，称为基函数( 迹函数) ，u k ( 七= 0 , 1 ，2 ，) 称为函数“的展开系 数，展开系数与节点上的未知量无关。记函数“的有限项展开为“v ，即 ”= 巩丸 ( 2 2 ) i = 0 称其为函数甜的截断级数展开。所谓谱方法就是应用甜。近似函数，求出式( 2 2 ) 中的未知展开系数即可得方程( 2 1 ) 式的近似解。具体实施过程为，将“代入微 分方程( 2 一1 ) 式，将产生的误差称为余量( 残差) ，并用震”表示，即 r ”= l ( u ”) 一f ( u ”) ( 2 3 ) 再选择另一组完备线性独立函数族 ，。圳。作为权函数( 检验函数) ，要求权 6 西北j ：业火学硕士学位论文第二章谱方法的基本知谚! 函数与基函数满足如下正交关系 m 西：影 叫， 式( 2 4 ) 中积分区域q 为求解区域。然后对余量加权积分并要求其值为零，即 n 工( “) 一( “) 帆施= o ( 2 - 5 ) 由于基函数和权函数已知且满足( 2 4 ) 式，因此积分后的( 2 5 ) 式是关于展开系数 以( 七= 0 , 1 ，) 的代数方程组。如果微分算子上是线性的，则所得代数方程组 是线性的；如果微分算子上是非线性的，则所得代数方程组是非线性的。求解代 数方程组并将所得玩( k = 0 , i ，) 代入( 2 2 ) 式就得到微分方程( 2 一1 ) 式的近似 解。 应用谱方法进行数值逼近将会产生截断误差，也称为谱方法的固有误差。记 为峨( 甜) ，即 如( “) = 甜一= 玩丸 k = n + l ( 2 6 ) 截断误差r 。( , ) 的大小取决于谱展开精度。对于非线性方程或者变系数问题，有 限项谱展开不仅会产生截断误差，同时也会由于非线性项的存在而产生附加误 差，这种误差称为混淆误差。混淆误差是由非线性项离散后进行卷积求和时混有 的高频成分引起。通常在卷积求和时应用2 3 法则或者相位移法来消除混淆误 差。 与有限差分法和有限元法不同的是，谱方法中基函数取为整体区域上的无穷 可微函数( 关于基函数将在2 2 节中详细介绍) 。选定基函数以后，根据权函数选 取方法的不同，将谱方法分为g a l e r k i n 方法，t a n 方法和c o l l o c a t i o n 方法三类。 以下将分别介绍这三种方法。设有 f “，+ l u = ，( “) ，x q “( o ) = ”o ，x q ( 2 - 7 ) l b “：0 ，x 触 其中是区域q 上的线性微分算子，b 是一组( 假定有优个) 定义在区域边界a q 上的局部或者整体上的线性边界微分算子。下面以( 2 - 7 ) 式为例，分别给出这三种 方法的一般逼近框架。 7 两北1 业人学硕士学付论文 第二章谱方法的基本知识 2 1 1g a l e r k i n 方法 g a l e r k i n 方法有时就称为谱方法。在g a l e r k i n 方法中，权函数与基函数一样， 但要求基函数族 丸 。刮中的任意一个函数都满足微分问题的边界条件，即 占( 以) = 0 ，七= 0 , 1 ，2 ，z a q 因此近似解( 2 2 ) 式自动满足微分问题的边界条件，此时只需微分方程的余量加权 积分为零，即所需求解的“满足 如? + l u s ) 争k 视= 扩母k 娩， no 【“( o ) = “o ， k = 0 ，1 ， ( 2 8 ) 由于g a l e r k i n 方法中基函数和权函数相同，可以用多种不同的方法对所求 问题进行离散。可以说g a l e r k i n 方法是m w r 法中最完美的一种，有限元法通 常是用这一原理。该方法可以用于非线性问题的求解，但对于复杂非线性问题应 用该方法却是不可行的。 2 1 2 t a u 方法 t a n 方法类似于g a l e r k i n 方法，也取基函数作为权函数，不同的是不要求基 函数满足边界条件，而是利用边界条件再补充一些方程，从而得到使近似解既满 足微分方程又满足边界条件的封闭代数方程组，即 fj ( “，+ 三甜) m = ，m ，k = o ，1 ，n - m ，x q | n o “( o ) = 甜o _ v ( 2 9 ) i 曰 ) = o ，m 个边界方程，x 鼬 【 求解( 2 9 ) 式可得近似解甜”。 t a u 方法是g a l e r k i n 方法的一种修正方法，该方法强制近似解满足问题的边 界条件，通常用于非周期边值问题的求解。l a n c z o s 5 1 1 给出了该方法，尽管对非 线性问题由于其复杂性而不能采用这种方法，但对于常系数问题t a u 方法是一种 极其有效的数值方法。 8 西北丁业人学项士学位论文第二章谱方法的基本知识 2 1 3c o l l o c a t i o n 方法 c o l l o c a t i o n 方法，即配点法有时也称为拟谱方法。设在区域q 及其边界a q 上 给出了一组互不相同的配点h ，k j 。其中，为配点h 的坐标集合，j = j 。w j ， 其中以为区域内部配点以的坐标集，以为区域边界上配点吒的坐标集，且有 以n 以= 妒，d e t 做阮”。0 。该方法中权函数取为以上述配点为中心的 d i r a c 一万函数，因此所求近似解”满足 fl “万( x - - x k ) 施；巧 一) m ，v t 以 “( o ) = 材o p ( u n ) 万 - x k ) d i 规= 0 ，v 七以 l 劬 由d i r a c 一5 函数的性质可知式( 2 1 0 ) 等价于 l u ( 瓢) = f ( x 1 ) ，v k 以 材。( o ) = 甜o ( 2 1 1 ) b u ( 工i ) = o ，v k j 6 式( 2 1 1 ) 是关于未知量“的展开系数的方程组，由该方程组所得近似解使得微分 方程在配点上精确成立。 c o l l o c a t i o n 方法是m w r 法中最简单的一种方法。大量的研究证明，选取适 当的基函数以及配点是提高求解精度的关键。通常为了使相应的数值求积公式具 有高精度性，一般取配点k k 。，为g a u s s 点。该方法可用于边值问题和具有空间 周期性的偏微分方程的求解，且易于求解变系数以及非线性问题。在实际应用中 由于该方法计算量少，且实施方便，因此应用更为广泛。 2 2 基函数6 ，7 】 基函数和权函数的选取是应用谱方法进行数值计算的首要问题，也是关键问 题。由于权函数的选择依赖于基函数，因此问题的核心是基函数的确定。基函数 的选取不仅依赖于问题的求解区域，同时也与所求函数的特性有关。基函数的选 取不同不仅会影响数值结果的精度，也会影响数值算法的有效性，因此选择适当 9 西北t 业大学硕士学位论文第二章谱方法的基本知识 的基函数是非常重要的。在具有空间周期性或统计平均性的空问方向，基函数通 常取f o u d e r 级数；其它情形，如果可能则尽量找到适当的坐标变换将问题转化 为周期性的，这时依然用f o u r i e r 级数展开。不得已时则可选择其它函数，例如 区间 一1 , 1 】上的c h e b y c h e v 多项式和l e g e n d r e 多项式，或者是定义在区间( ，0 0 ) 上的h e r m i t e 多项式和区间 o ，+ o o ) 上的l a g u e r r e 多项式。下面给出谱方法的几种 常用基函数及其相关知识。 2 2 1f o u r i e r 级数 谱方法中常用f o u r i e r 三角级数来近似周期函数。 1 连续f o u r i e r 展开 f o u r i e r 级数是区间 o , 2 n 】的正交三角函数，其表达式为 九( 的= e t k ：，k = 0 , 1 ，2 ， 且满足如下正交性 肌x ) 一痧a x ) a x = 2 碗长七耸纠_ o 1 ，2 ， 其中 谚( x ) = e ，= 0 , 1 2 一 由此可知乇去奴c 工) 。k = o 构成区间n z 刀，上的标准正交系。对于一个定义在 【o ，2 石】上的函数甜，其连续f o u r i e r 级数展开式为 s u = 玩九 其中f o u r i e r 展开系数玩的定义为 沪去肛o ) e - k x 出，七_ o + 1 ，埒 ( 2 1 2 ) 如果函数甜在【o ，2 石】上且分段连续，即r i e m a n n 可积，或者更一般的l e b e s g u e 可积，就可作连续f o u r i e r 展开，定义其f o u r i e r 系数。式( 2 - 1 2 ) 定义了- 系y t 3 和“ 1 0 西北工业丈学硕士学位论文第二章谱方法的基本知识 有关的复数，称为的f o u r i e r 变换。实际计算中对于周期函数的近似有时也会 选择正弦或余弦函数作为基函数。连续f o u r i e r 余弦和连续f o u r i e r 正弦展开系数 的定义分别为 铲去e 4 出) c 。s k x d x ，七_ 0 ，+ 1 ，珥 以= 2 1 万j 0 2 r u ( j ) s i n k r d x ，后= o ，1 垃， 对同一函数u ，这三种变换的展开系数满足 u k2 a l k l 一，k = o ，：k l ，盟， 如果函数”为实值函数，则吼b k 也为实数。而且有蟊一。= 玩。 在实际数值模拟中，通常用三角级数的有限项展开式来近似函数, ，即 昂“= 以p “ ( 2 1 3 ) 谱展开最重要的自由度是展开项数，容易看出展式( 2 1 3 ) q h 求和级数共有n 项， 我们把目“称为函数“的阶f o u r i e r 截断级数。当函数u 无限光滑且具有周期 性导数时，p 的误差减小速度低于1 n 的任意次幂。这个性质通常被称为谱精 度，又叫做指数阶收敛或无限阶精度。 谱方法中经常还需要对未知函数的空间导数进行级数展开，此计算可以在物 理空间进行也可在变换空间进行，在变换空间中 s u = f 纸九 从而 即截断级数展开和求导运算是可交换的。 2 离散f o u r i e r 展开 在许多实际应用中，很多时候上述基于f o u r i e r 级数的连续展开难以实现。 因为函数的f o u r i e r 系数通常是未知的，从而需要用某种近似得到，一般是通过 物理空间的信息来计算变换空间的量。为此就提出了离散f o u r i e r 级数( 即三角插 值多项式) 和离散f o u r i e r 变换。 首先，对任意的整数n 0 ，引进如下点集 西北亡业大学硕士学位论文 第二苹谱方法的基本知识 圹粤，：o ，l ，- 1 一，n1 ( 2 - 1 4 ) - 1 ( 2 - 1 4 ) - 2 育，2 ，- ， 作为节点，则【o ，2 7 r 的复值函数“基于这些点的离散f o u r i e r 展开系数为 玩= 专篓哪，一n 2 s k 0 ，函数群的n 次截断级数多项式是 矗“= 以p 由多项式系扫。 的完备性知，对任意“置 - 1 ，l 】存在 i l u - 目“忆寸0 ，当专0 0 应用谱方法逼近时，经常会用到数值积分，尤其是在离散级数展开时。为了 保证数值精度，通常应用g a u s s 积分公式，另外在c o l l o c a t i o n 方法中经常选g a u s s 点为配点。在此首先给出三种常用的g a u s s 积分公式，并在介绍具体的常用多项 式时给出相应的g a u s s 点。 1 积分公式 ( 1 ) g a u s s 积分( 开型) 如果节点k ，是+ 1 次多项式p ，+ 。的解，且 w ，挺。是如下线性方程组的 解， 荟nc 。，_ = 1 1 x k 以帆 则 p ( x j ) w j = f l p ( 功w ) d x ，o k n ，坳e p 2 + i ，2 u 称 堪。为权函数，且其值非负。 ( 2 ) g a u s s - r a d a u 积分( 半开型) 如果节点= 1 和b ) 羔1 是如下+ 1 次多项式的零点， q ( x ) = p ，+ l ( z