（运筹学与控制论专业论文）含k个圈的标号图计数的新结果.pdf

华南师范大学硕士学位论文答辩合格证明 学位申请人喳筮垫向本学位论文答辩委员会提交 题为盒鉴! 整竖整墨岛笪整塑盘壁墨的硕士论文， 经答辩委员会审议，本论文答辩合格，特此证明。 学位论文答辩委员会委员( 签名) 主席：& 蔓 细多年石月7 日 鍪一 含k 个圈的标号图计数的新结果 摘要：含有个圈的标号连通图的计数是一个公开问题，迄今为 止，只解决了当= 1 ，2 ，3 的情形本文解决了含有4 个圈的标号连通 图的计数问题 a b s t r a c t ：e n u m e r a t i o no fl a b e l e dc o n n e c t e dg r a p h sw i t h c y c l e si 8 a no p e np r o b l e m u pt on o w i th a sb e e ns e t t l e do n l yf o rk = 1 ，2 3 i nt h i s p a p e r ，w es o l v e dt h ee n u m e r a t i o np r o b l e mf o rk = 4 关键词：标号连通图，标号树，计数 1 引人几个表示法 记g ( n ，) 表示含有k 个圈的n 阶标号连通图所成的集，在不引起 误会的情况下我们简记为g ( 女) 对g g ( ) ，其k 个圈构成的子图我 们记为 对于图c ，如果把它的块用点表示，当两个块有公共点时，就把 代表这两个块的点用一条边连接，这样得到的图我们定义为图g 的块 图，简记为b ( g ) 记g ( 1 ) ( k ) g ( ) ，对任一g g ( 1 ( ) ，w 为k 个两两无公共点的 圈 记g ( 却( ) g ( 女) ，对任一ge - g ( 2 ( ) ，w 为个圈相交于一个点 的k 个圈( b ( w ) 是凤) 记g ( 3 ( k ) g ( 女) ，对任一g g ( s ) ( ) ，w 为k 个圈一个接一个地 相交于一点形成一条链的k 个圈( b ( w ) 是一条长为一1 的路) 记g 【4 ( k ) g ( ) ，对任一g g ( 4 ( ) ，w 为有一个圈与互无公共 点的一1 个圈都有一个公共点的个圈( b ( w ) 是k 1 肛1 ) 2 2 v ( k ) 计数的进展 在1 9 5 9 年，r e t r y 2 得到了如下公式 i g ( 1 ) i = ；i n 一1 1 p _ 1 旷， 其中【m 】，= m ( m 1 ) ( m r + 1 ) ( m r o ) 在1 9 7 2 年，t o m e s c u 目得到了 l g ( 1 ) 1 = 警蔷等。暑。，去， 其中第二个连加取遍了k 的所有剖分( 3 ，一，x p ) ，使 ja 3 + - 叶= k l3 3 + + p 一n i - 在1 9 8 9 年，凌捷 4 1 解决了c ( 2 ) 的计数问题，其结果如下 i g i = 掣薹鲁c 吾晶+ 聂焉， 。 t = o + 【 、。 7 p f 1 o p 其中第二个连加取遍2 的所有剖分( a ) = ( b ，b ) ，使 j 如+ + p = 2 i2 a 3 + 3 4 + + ( p 一1 ) a p = n i 一1 ， 第三个连加取遍2 的所有剖分( a ) = ( 扎， ，) ，使 jb + + a p = 2 i3 3 + 4 4 + + p p = 几一i 可是，以上公式太复杂且应用很困难在1 9 9 0 年，柳柏濂与张显 坤对上述公式进行了改进，并且解决了g ( 3 ( ) 的计数问题，从而解决 了g ( 3 ) 的计数问题其结果如下 定理a 【2 】 | g 【1 ) l = 嘉警禹( 一：。) 推论a 羽 f g 一薹函，( ”等1 ) 2 势叫一一， 其中【m 】，= m ( m 1 ) - ( m r + 1 ) ( m 2r o ) 定理b 2 i g ( q | = 丽t j ! n 互- 2 k ( n + 1 憎 p ) n p 一2 1 1 l ( ”：_ 1 ) 舱。， 推论b 1 l “ i g l = 掣+ 等薹高c n - p - - 3 ， 定理g 【2 】 g i = 茹，轰。高。量一1 ) ( r 3 - - 1 卜c r k - l - 1 ， 椎论c 1 f 2 】 g ( 3 ) | = 矗薹簪( n - p - 7 ) ( , n - p - 8 ) + 丽n ! 岛n 一8 可n p ( n - p - 3 ) ( n - p - 2 ) ( 2 n 一2 p 1 7 ) + 6 。 + 矗薹鼍竽( - p - 5 ) ( - v - 6 ) + 矗墓唧乒( n - p - 5 ) l ( n 一，+ 2 ) 本文主要研究了g ( 4 ) ( ) 与g ( 4 ) 的计数在开始研究之前我们需 要下面三个引理 引理l a l 含有个顶点$ 1 ，。2 ，。且d 慨) = d 。i = 1 ，2 ，n 的标号树的个数是 ( 。，一。，。”- 一1 ，：，。一，) 引理2 【3 】含有n 个顶点。，z 2 ，。且d ( z 1 ) = r 的标号树的个 数足 ( 引卜妒一r 引理3 1 3 n 阶完全图碥含有生掣个h a m i l t o n 圈 3 主要结果 定理1 i g ( 4 ) ( m ) i ( k 3 ) ：；：! !p t n - p - 1 x - ( r l 一1 ) 1 2 ( 2 1 ) 2p 。 3 , k - 1 慨一2m p ”。+ z ：。石而 证明：设个圈的长度分别为t 1 ，r 2 ，( r l m a x 3 ，k 1 ) ，您 3 ，t k 3 ) ，i v ( w ) l = p ，则有 r l + 7 2 + - + t k = p + 七一1 ， 且 m a x 3 ，后1 ) + 2 k 一2 p n 记m = g i g g ( 4 ) ( ) ，j y ( w ) = p ) ，则 i g ( a ) i = p = m a x 3 妻1 + 2 k 一2 ( ? p ) m ( ) i = r ) m ( 1 ) ，k 一 一 下面求i m 】 ( 1 )对任一g m ，把w 收缩为一个点z o ，则g 变成一棵阶为 n p + l 的标号树，我们称它为g 的凝聚树，其中d ( z o ) =( d g ( ”) 一 y ( ) d w ( ”) ) 记所有d ( x o ) = r 的n p + 1 阶标号树的集为肆，r = 0 ，1 ，n p 于是，m 中凝聚树的总数为 t = l 耳| 由引理2 知， i 耳l = ( “：i 1 ) c n 一，“一p r ( 2 ) 记p 阶w 的个数为( ) 因每一个w 对应于一个p 的剖 分( r l ，r 2 ，) ，( r 12 m a x 3 ，k 1 ) ，r 2 3 ，3 ) 于是有 唧卜。一。( ：) 掣( r 1 ) ( r 2 - 1 1 1 1 1 )n + ：p 十k l7 2 一 掣( 一n 2 二? + 1 ) 掣 5 r 2 一t k 1 1 一r k + 一21 掣2 一 ， ( l 一1 ) ! ( r l k + 1 ) ( 3 ) 把凝聚树中点z 。复原为w ，注意到每个w 对应于，个g m ，于是 i m | = t l v ( w ) - p ” 把上式代入( 1 ) 式，整理便得定理的结论 当k = 3 时，定理1 与定理c 计算的结果是一致的，即 d 4 ) ( s 特箬耋焉 ( r l 一1 ) = 旧3 ( 3 ) 6 靠2 鑫 4 c ( 4 ) 的计数 对于g ( 4 ) 的计算，为了便于表述，我们按w 中k 个圈的结构关 系来分类，一共有1 1 种类型( 如图1 一1 1 ) 情形一c 1 ( 4 ) 为g ( 1 ) ( 4 ) ( 图1 ) 根据定理a 可得 oooo g 1 ( 4 ) f = l g ( 1 ) ( 4 ) 图一1 情形二g 2 ( 4 ) ( 图一2 ) 记两个有公共点的圈为h 1 ，其余两个圈分 别为m ，凰下面求l g 2 ( 4 ) | _ o ooo 凰 图一2 设j y ( 日1 ) i = h ( k t25 ) ，i v ( h a l i = k i ( 。3 ；i = 2 ，3 ) 记m = a l e c 2 ( 4 ) ，l y ( 皿) i = k d ( i = 1 ，2 ，3 ) ，下面求l m | ( 1 ) 对任一g m ，把甄0 = 1 ，2 ，3 ) 收缩为点劫0 = 1 ，2 ，3 ) ，便得 一棵阶为p = n k 1 一奶一k 3 + 3 的标号树t ，其中d ( x ，) = ( d a ( v ) 一 e v ( h d d h , ( ) ) ( i = 1 ，2 ，3 ) 记所有给定的d ( z ：) = d i ( 1 d 。p 一1 ；i = 1 ，2 ，p ) 满足d l + + d p = 2 ( p 一1 ) 的p 阶标号树的集为乃于是，m 中凝聚 树的总数为 t = l t d l d 1 + d p = 2 ( p1 ) 1 ( d ( 1 i = 12口 7 禹 m 叫 堕似 ( 2 ) 因为标号图日1 的个数为 ；警t ，( h i l ) ；半 叉标号图皿，风的个数分别为i 堕笋，i 虹所以不同的h i u h 2 u h 3 个数 i h i = h ! ( h 一4 ) - 垃拶监笋 = 鑫惫11 ( 七l 一4 ) ( 如一1 ) ! ( 惫3 1 ) ( 3 ) 把凝聚树中点筑( = 1 ，2 ，3 ) 复原为皿( z = 1 ，2 ，3 ) ，因为每一个 h 1 u 凰u 凰对应于；1 2 d 2 嫦d 个g m ，所以 i m | = ti s l - ；：2 扛 故 矧a ”暑n - 8 譬。- ? 。k 3 = n - k a 。( 三) ( ”i ( 一笔 p 。dk 1 + 女2p + 3 、k 1 ，、8 2、 “3 1 5 ，k 2 3 ，k 3 3 = 丽n , 岛n - 8 研h i , _ 2 。基。乜( k l - 4 ) 情形三g 3 ( 4 ) ( 图3 ) 记两个有公共点的圈为h d i = 1 ，2 ) 下面求 c 3 ( 4 ) 1 o oo o 图一3 设i y ( 甄) i = k i ( 5 ；= 1 ，2 ) 记m = a l e g 3 ( 4 ) ，i v ( 凰) l = 衄) “= 1 ，2 ) ，下面求l 吖i - ( 1 ) 对任一c m ，把h d i = 1 ，2 ) 收缩为点戤“= 1 ，2 ) ，便得一 棵阶为p = 一k 1 一k 2 + 2 的标号树丁，其中d ( x 1 ) =( d c ( v ) 一 v e v ( 玑) 8 、 l一 略 2 一 1 p 一 如 l d ， 1 1 知 l 理b由 d 皿( ”) ) 0 = 1 ，2 ) 记所有给定的d ( 翰) = 出( 1 也兰p 一1 ；i = 1 ，2 ，p ) 满足d l + ：+ d 。= 2 0 1 ) 的p 阶标号树的集为乃于是，m 中凝聚 树的总数为 t = 吲 由引理1 知， 刚= p - - 2 一，圹。) ( 2 ) 由情形二可知，标号图h 。与玩的个数分别为 ；11 ( b l 一4 ) 1 8 2 1 ( k 2 4 ) 所以，不同的h 1 u t t 2 的个数为 i h i = k l ! ( k l 一4 ) ；k 2 1 ( k 2 4 ) = 击k l ! k 2 1 ( k l 一4 ) ( k 2 4 1 ( 3 1 把凝聚树中点z i ( i = 1 ，2 ) 复原为风0 = 1 ，2 ) ，因为每一个 日1 u 飓对应于：1 字个g m ，所以 l m l = t1 日l k 1 1 ：2 故 丽n l n 刍- 8 丽n p _ 2 fn 卜呐 i - 八妃 k 1 + ，= n r + 2 女，5 ，“= 1 2 ) 情形四g 4 ( 4 ) 下面分三种类型讨论 子情形1戗( 4 ) ( 图一4 ) 记相交于一点的三个圈为t t l ，其余的圈 为飓下面求j g ：( 4 ) 1 图4 9 o 、 p i 娶一 b 2+ k 譬峭 = 4g 设i y ( h 1 ) i = k l ( k l27 ) 与l y ( 啦) i = 惫2 ( 乜3 ) 记m = g i g g j ( 4 ) ，i v ( h d i = k d o = 1 ，2 ) ，下面求| m | ( 1 ) 对任一g m ，把毋0 = 1 ，2 ) 收缩为点孔a = 1 ，2 ) ，便得一 棵阶为p = n h 一2 + 2 的标号树t ，其中d ( x 。) =( 如( ”) d 凰( u ) ) 0 = 1 ，2 ) 记所有给定的d ( x 1 ) = d t ( 1 d l p 一1 ；i = 1 ，2 ，p ) 满足d l + + d p = 2 ( v 一1 ) 的p 阶标号树的集为于是，m 中凝聚 树的总数为 t = i t d l 由引理1 知， 阮| = ( 。加p - b 2 ，d p 一。) ( 2 ) 设研的三个圈的圈长为f i ( r l 3 ， = l ，2 ，3 ) 且r l + r 2 + r 3 = k l + 2 ，则标号图皿的个数有 1 + 7 j + 3 = i + 2 r 3 = 1 ，2 ，3 刍( ：= ：) ( 掣掣掣 = k 9 1 6 1 t 、k 2 1 1 l 十3 0 ) 又由于标号图日2 的个数为垃笋，所以，不同的h 1 u 2 的个数 吲= 错( 砖一l l k l + 3 0 ) 学 = 南k l ! ( k 2 1 ) ! ( 砖一l l k l + 3 0 ) ( 3 ) 把凝聚树中点嗣a = l ，2 ) 复原为日 o = l ，2 ) ，因为每一个 皿u 飓对应于 f 1 砖个g m ，所以 故 m i = t 1 日i k t k 字 g 水肛善n - 8 。鼻4 - 。( 三) ( “俐f z i + 2 一，g 、月1 ，、月2 ， k l t ，3 = 茄薹岛。曼。州砖- l l k l + 3 0 ) 子情形2q ( 4 ) ( 图一5 ) 记一个接一个相交于一点形成一个链的 三个圈为h 1 。其余的圈为凰下面求1 暖( 4 ) l - 1 0 o o oo 图一5 臣i y ( 吼) i = b ( k l 7 ) 与j v ( h 2 ) i = k 2 ( k 2 3 ) 记m ： g g a i ( 4 ) ，y ( 皿) i = a d ( i = 1 ，2 ) ，下面求l j _ ( 1 ) 对任一g m ，把h i ( i = 1 ，2 ) 收缩为点粕0 = l ，2 ) ，便得一 棵阶为p = n k l k 2 + 2 的标号树丁，其中d ( x 。) =( d a ( ) 一 d h ，( 口) ) 0 = l ，2 ) 记所有给定的d ( z ：) = d i ( 1sd ：兰p l ；l = 1 ，2 ，p ) 满足d 1 + + d p = 2 ( p 一1 ) 的p 阶标号树的集为乃于是，m 中凝聚 树的总数为 由引理1 知 乃 ：f 9 _ 2 d l 一1 ，d 2 1 ，- ，如一1 ( 2 ) 设h 1 的三个圈的圈长为r 。h23 ，i = 1 ，2 ，3 ) 且r 1 + r 2 + r 3 = 女1 + 2 ，则标号图日1 的个数有 n 十，十3 = 1 + 2 1 3 ，= 1 ，2 ，3 扣1 k ( k l - 2 ) ( h 纠- r l - 1 ) 掣掣掣 = 扣 ( r 2 - 1 ) 1 + 勺十q ；k 1 + 2 r t 3 ，l2 ，3 又由于标号图h 2 的个数为i ! i 产，所以，不同的h 1 u h 2 的个数 恻= 击1 1 ( r 2 1 ) 学 = 击h ! ( 2 一1 ) ! ( r 2 1 ) ( 3 ) 把凝聚树中点z 。0 = 1 ，2 ) 复原为珏( i = 1 ，2 ) ，因为每一个 皿u 凰对应于! t 字个g m ，所以 i m i ；t - i h i ? - 碜 1 1 孔 p 一案 + 一 血“ f f 、， 故 g i ( 4 ) | = 】+ k 2 = ”p + 2( 三) ( ”- 乜k a ) 1 m ：型3 2 董罴k ，_ 1 ) 为( p _ 2 ) 2 。刍p + 2 “1 。，：皇“+ 。2 叫 子情形3 g i ( 4 ) ( 图一6 ) 记由两个圈有一条长为l 三l 所形成的三 个圈为1 ，其余的圈为此下面求i c i ( a ) 1 o 图一6 设l v ( h 1 ) | = k l ( k l 4 ) 与l y ( 巩) = k 2 ( k 2 3 ) 记m = g i g g 3 ( 4 ) ，i 矿( 皿) l = 也) 0 = 1 ，2 ) ，下面求l m | _ ( 1 ) 对任g m ，把h i “= 1 ，2 ) 收缩为点观( i = 1 ，2 ) ，便得一 棵阶为p = n k 1 一k 2 + 2 的标号树t ，其中d ( x ；) =e ( 如( w ) 一 v e v ( h i ) 妇，( f ) ) ( i = 1 ，2 ) 记所有给定的d ( 。) = d 。( 1 也s p 1 ；i = 1 ，2 ，p ) 满足d 1 + + d p = 2 ( p 一1 ) 的p 阶标号树的集为乃，于是，m 中凝聚 树的总数为 ( 2 ) 先求标号图皿的个数，我们令这三条路长分别为f 1 ，f 2 ，f 3 ， 则有l l + 1 2 + 1 3 = k 1 + 1 ，( k l 4 ) ，其中t i 1 “= 1 ，2 ，3 ) ，且它们当中 有且只有一条路的长度准许为1 所以标号图皿的个数有 咖浆 + 一 而掣 | | 、l， 1一 南 2 一 1 p 一 如 l d ，ii、 = 乃 知 【 理 己j由 一! 鱼也二! z = i 1 掣掣 = 岩( ：) 一掣 = 鲁( 1 3 ) ( l + 2 ) 又由于标号图h 2 的个数有i ! ! 掣，所以，不同的研u 凰的个数 日j = 等( h 3 ) ( l + 2 ) 生专型 = 击11 ( 如一1 ) ! ( l 一3 ) ( l + 2 ) ( 3 ) 把凝聚树中点铂0 = 1 ，2 ) 复原为碍0 = 1 ，2 ) ，因为每一个 h 1 u h 2 对应于1 1 趔2 个g m ，所以 故 g i ( 4 ) 因此 m i = t - 日? 字 ( h n ) (n - 也k 1 ) l m ：4 n 8 1n l - 8 厕r i p _ 2k 。l ( 。k 。l 1 8 岛研。，曼一，+ ： = 丧薹稀。曼。州m ；- l l k l + 3 0 ) + 矗薹岛。点。而。点。+ 。( r 2 - 1 ) + 型4 8 书p = 2 正( p - - 2 ) ! 。b 曼。吣一撕+ 2 ) 情形五g 5 ( 4 ) 下面分五种类型讨论 1 3 l 3 l一 2 l l ( 、 l一 1h 一 一b 七 ，-l、 、 2 l 一 一 h h ， 、， h 2 ， p景弋 1 6 菇茏 吒+ h 葚础 子情形1 g j ( 4 ) 为g ( 2 ( 4 ) i 图一7 ) 根据定理b ，有 图一7 峨l 2 悬蓦铲( 一p 。5 ) = 2 蒌善一譬 n - p - 5 5 手 p 2 j 1qj 孽；f1 p = 1 qj 子情形2 锘( 4 ) 为g ( 3 ( 4 ) ( 囤8 ) 根据定理c ，有。 o o o o 嚷( 4 ) f 2 茄宝箭 2 甄n ! 量n 爷笋 图一8 一1 ) ( 一1 ) n 十”2 十勺+ r 42p + 3 r 3 ，234 奄干三喜形：盯丌譬婴苎。，兰：翌任一g eg i ( 4 ) ，是一个有三个圈相 萋蓁：。急，芰四个圈与前三个圈有一个异于爵苦交言的县姜i 晶善? “ 下面求 g 2 ( 4 w 矾刚因 1 4 图一9 设四个圈的长度分别为r 1 ，v 2 ，r 4 ( r i 3 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 记m ： g i g g 2 ( 4 ) ，i y ( ) l = p ) ，则 | g 2 ( 4 舻p 壹= 9 ( ”p ) m ( 2 ) 下面求m | _ ( 1 ) 对任一g m ，把w 收缩为一个点z o ，则g 变成一棵阶为 n p + l 的标号树，其中d ( x o ) =( d g ( ”) 一d w ( ) ) 记所有d ( x o ) = r 的n p + 1 阶标号树的集为耳，r = 0 ，1 ，n p 于是，m 中凝聚树 的总数为 = 吲 由引理2 知， 了l l = ( n ：i 1 ) ( 竹一p ) “一p r ( 2 ) 求p 阶w 的个数( w ) 因每一个w 对应于一个p 的剖分 剖分( r l ，r 2 ，r 4 ) ，于是有 v ( w ) = 击( ；) ( i 二：) 掣( = ) 掣 ( j ) 掣 ( 3 ) 把凝聚树中点x o 复原为，注意到每个w 对应于p r 个g m ，于是 i m j = t ( w ) p 把上式代入( 2 ) 式，整理便得 1 5 掣 您0 = 一 一 蚍 p 上 ； 卅一 嘉譬曩 篇 。唧 刑一 砩 子情形4 g 2 ( 4 ) 为g ( 4 ( 4 ) ( 图一1 0 ) 根据定理1 ，有 g 3 ( 4 肛要塞高 图一1 0 子情形5 g 2 ( 4 ) ( 图一1 1 ) 对任一g g 2 ( 4 ) ，w 是一个是一个由两 个圈有一条长为z 兰1 的路形成的三个圈，第四个圈与前三个圈有一个 公共点的图下面求l g 2 ( 4 ) | _ 设由两个圈有一条长为l 兰1 的公共路所形成的3 个圈的顶点总 数为k l ( k l 4 ) ，剩下的那个圈的顶点个数为k 2 ( 2 3 ) 记m = gf g g 5 ( 4 ) ，l y ( ) = p ) ，则 g 5 ( 4 批妻f n h | _ ( 3 ) p = 6 p 下面求 m | ( 1 ) 对任一g m ，把w 收缩为一个点x o ，则g 变成一棵阶为 n p + l 的标号树，其中d ( z o ) =( d g ( ”) 一d w ( ) ) 记所有d ( z o ) 一r 矿f 1 1 6 的n p + 1 阶标号树的集为耳，= 0 ，1 ，n p 于是，m 中凝聚树 的总数为 t = 吲 由引理2 知， ， i 了； = ( 他：i 1 ) c n p ，n 一，一r ( 2 ) 求p 阶w 的个数( w ) 由情形四中的子情形3 可知，由两 个圈有一条长为l 1 的公共路所形成的含有k ，个顶点的3 个圈的个 数有 等( 卜3 ) ( 2 ) 所以 唧卜岛。( 三) 冰- 叫( ) 掣 2 蒜k l + k ，= p + l h ( 13 ) ( 。】+ 2 ) ( 3 ) 把凝聚树中点z o 复原为，注意到每个对应于p r 个g m ，于是 m l = t n ( w ) p 7 把上式代入( 3 ) 式，整理便得 g 5 ( 4 护嘉耋高已州卜3 ) ( ， 因此， = 盎薹哗铲r ；5 ) + 矗耋符。三一( r 2 - 1 ) ( n 1 ) + 矗耋符。一+ 。( p - 心) + 菇n l 刍n 丽n - v - 1 。三一。( 嵋_ 3 r ，+ 2 ) + 蒜耋箭科。k l ( k 1 - - 3 ) ( k l + 2 ) - 1 7 定理2 g ( 4 ) i = 蒜薹赫( 一。p 。) + 番薹蹁。暑，( k l - 4 ) + 酉n tn 岛- 8 两n p 。：曼。h 2 ( h i - 4 ) ( k 。一4 ) + 盎墓商。曼一。 - l l k l + 3 0 ) + 砸n ! n 岛- 8 研n ，_ 2 + 蒜薹稀。曼 1 4 ，k 2 + 盎薹1 咩铲fp =、 + 甄”! p 。= 、9f “( n n - - p 9 ) 一1 1 ，+ 。： ( r 2 1 ) ( v 3 ( r 一3 r l + 2 ) + 丽n 刍n 1 丽“- p - ih 上k 2 = p + l ( i - - 3 ) i ：惫1 + 2 ) 1 ) 证明： i g ( 4 ) l = l g l ( 4 ) 1 + i g 2 ( 4 ) i + i g 3 ( 4 ) i + i g 4 ( 4 ) i + l g 5 ( 4 ) 参考文献 【l 】fh a r a r y g r a p h i c a le n m n e r a t i o n a c a d e m i cp r e s sn y a n dl d 1 9 7 3 2 1 l i ub o l i a n ，z h a n gx i a n k u n o nt h ee n u m e r 8 t l o no fl a b e l e d g r a p h sw i t hkc y - c l e s jo fm a t hr e sa n de x p c 0 1 1 ，n o4n o v ，1 9 9 1 ，5 3 5 5 4 3 3 】it o m e s c u l s r u d e a n u i n t r o d u c t i o nt oe o m b i n a t o r i e sc o l l e t 81 9 7 5 1 0 0 一11 1 l i n gj i e e n u m e r a t i o no nt h el a b e l e dg r a p h sw i t hkc y c l