（运筹学与控制论专业论文）具局部粘弹性的弹性系统的稳定性.pdf

具局部粘弹性的弹性系统的稳定性 摘要 本文研究粘弹性系统稳定性问题 在实际的工程应用中，大量的构( 部) 件可以归结为各种类型的弹性梁众 所周知，最简单的梁的模型悬e u l e r b e r n o u l l i 梁当梁的横截面的尺寸与其长度 棚比不能忽略时，需要考虑转动惯量的影响，此时梁的模型由r a y l e i g h 梁给出。 进一步，如果再考虑到由剪切力引起的偏差，就需要引入t i m o s h e n k o 粱的模型 对梁的搬动绷控制问题，人们已经进行了大量的研究。传统的方法是在边界或 内部引进反馈装置来控制梁的振动，以达到人们期望的髓标。特别是，由于共 撅能够弓l 起系统灾难性的破坏，可以运用上述方法来达到抑制振动的目的。 智能材料懿出现为实现上述垦的提供了毅的方法。例如，可以将锻能材料 做成的奉b 丁粘贴或嵌入到主结构中制戏被动或主动阻尼器，这就导致了具部分 粘弹性懿弹性结梅。这种结梅戆特点是，它的密度、弹性横量醒阻尼系数等在补 丁的边缘出现突变现象这将引起数学处理上嚣爨难。过去卡几年，对阻尼分 布在整个嚣域( 整体阻尼) 或迭界上的弹性系统的稳定性已经进行了很好的磷 究。僵最对阻嚣分布在区域内部f 局部阻是 酶情澎研究醵徽少。这方聪静工作 疑翠可以追溯蓟l a g n e s ef 4 0 和鞋of 2 踟，他们磷究了带局部分布控制静波方程的 精确能控性高维的情形范较复杂，指数稳定性还依赖酝域的尼侮性质，参觅 c h e ne ta 1 1 1 】。这方面的工作还可参觅z u a z u af 7 2 ，7 3 1 ，l i u 4 5 】。 不问的粘弹性材料具有不同的力学性质。两种典鳖的粘弹性物质楚k e l v i n v o i g t ( k 叫) 型和b o l t z m a n n 型的，它们分剐服扶k v 型应力一应变本构关 系 o ( x ，t ) 一( 搿) e ( o ，t ) + 6 ( z ) l ( o ，t ) i i ( 式中的“”表示对时间变量t 求导数) 和b o l t z m a n n 蛩应力一应变本构关系 ，t o ( x ，t ) = 7 雄( 。，t s 垮( 茗，s ) d s( e ( x ，一o o ) = 0 ) 2 o ( 咖( z ，t ) “( 茁) 上乳( s ) i e ( x ，t ) 一e ( 。，t s 腼， 这里，松弛涵数取为霹分离变量懿形式： q ( z ，8 ) = = n ( z ) + 6 ( # ) 9 ( 8 ) ，守( o 。) = 0 。 c 4 硝中稻核函数口( ) 也称为松弛函数k v 登应力一应交本梅关系可敝看成是 b o l t z m a n n 燮应力一应变本构关系中松弛函数取为 时的特殊情形。其中6 ( s ) 是d i r a c 函数。 具有粘弹性阻尼的系统的指数稳定性的研究，可参见f a b r i z i oe ta i ，2 0 1 ，l i u e ta 1 4 8 ，4 9 】和c h e n “a 1 1 4 】中的工作l i ue ta 1 在【4 7 】中详细地研究了具肖 k v 型和b o l t z m a n n 型局部阻尼的弦振动问题，并比较了这两种粘弹性阻尼以及 粘辩阻尼各自对振动弦的能量指数衰减的影响，得出了能量的指数衰减与阻尼 系数的连续性的依赖关系。对予具有局部糙弹性阻尼的离维波方程的能量的指 数衰减阀题，l i u e ta t 。【5 1 】秘r i v e r ae a l ，f 6 3 1 分别对k v 型釉b o l t z m a n n 型的情 形进行了研究，农假设了阻尼系数是光滑的并且嫩加了一些结构性条件的情形 下，褥到了指数稳定性的结皋。睁l 】孛使用的工具是【3 l l 中关予h i l b e r t 空闻中 疆绻国半群指数稳定的一个充分必要条l 牛，以及譬s 】秘f 4 8 l 孛弓l 入的频率域浆 子技巧。f 6 3 】中使用的工具是【l 键孛的抽象v o l t e r r a 方程方法。此外郾! 中逐耀 到了零历史数据的缀设。 本文研究静主要| 、嗣瑟萃拜结果如下 在整三室中，我们讨论具有局部k v 阻尼的t i m o s h e n k o 悬臂梁的能量指 数衰减问题，导出了描述梁的横超穰剪切振动的如下偏微分方程组： i i i 给志裙僖 p i b f 彤( 塑一妒) + d s ( ( v 一驴姐= 0 ， ( ；5 一( e x v 7 + d b 多7 ) 一【k ( 甜一妒) + d 。( 吐) ! = 0 ， 蝴| 。0 = 0 ，妒 。：o = 0 ， 泌( ! # 7 一妒) + d s 7 一谚) l 。：。= 0 ， ( e ，妒+ d 6 矽) l 。：0 删( z ，o ) = 训。( 。) ， 曲扛，o ) = 训l ( 岳) ， 妒( z ，o ) = 铷) ， 驴( 搿，o ) = 妒1 ( 。) ，( 2 ) 系统( 1 ) 的能量为 f ( 妇。iz ( 耳l 趔一妒1 2 + e x t v t 2 + p j ( o t 2 + x t 4j 2 ) d z ( 3 ) 引入空间； h o ( 0 ，l ) 一 姥h 1 ，三l 翘( 田= o ， h = l 2 ( 织l ) l 2 ( o ，) ， v = h o ( 0 ，l ) h o ( o ，己， i i ( w ，妒) l l 备一z ( 纠蚶1 2 + 厶f 妒j 2 ) d x ， l ( 螂，妒) l 哆蒜蜀! 州一1 2 + 霹工l 1 2 d 茹) ， ，u o 7 - i = vx 蹦 j i ( w ，妒，”，妒) f 毳= f f ( 甜，妒) f i + f i ( v ，妒) f 备 则议是一个h i l b e r t 空间。在7 - 中定义线性箕子4 如下。 口( 枷；沁灿，讪) ? - 卜彩k 死瑙( 一妒) + 玩”妒) 嚣2 ( 啦) t l r 警e i o o 十d b 够窟1 ( o ，) ，t ( l ) = 露f 三) = 0 ， | _ ( 钮t 妒，”，妒) 一0 ，妒，；，丢( + 丁) ) 。 则a 生成7 1 上的压缩岛一半群e 胤于是可以把( 1 ) 改写成7 - 1 中的抽象发展方 穆 ， ( 曲( 。) ，驴o ) ，i o ) ，妒o ) ) = a ( 叫 ) ，妒o ) ，”( 。) ，妒o ) ) ，( 4 ) 【( 伽( 0 ) ，妒( 0 ) ，削【0 ) ，妒( o ) ) = ( w 0 ，c p o ，t u l ，妒1 ) 我们作如下的假设： ( h 1 ) p ，k ，e i ，d b ，d 。l o o ( o ，l )p ，厶，k ，e i c o 0 ，d b ，d 。0 i v ( h 2 ) p ，e i ，k ，厶在【0 ，l 上分段连续， ( h 3 ) i , t x c o ，l i i d b 0 ，或者珐 g 番。 ( h 4 ) d s ( 上) 0 ，或者d 。( 助一彰( 上) = 0 ；并且d b ( l ) 0 ，或者d b ( l ) = 磁( l ) ：0 。 ( 5 ) j 竹c o ，翻，? 7 0 ，使得在f 0 ，l 上d 。肾捞6 。 ( h i ) p ，厶，k ，e i c o d o ，l 1 ；d ；，d b c 1 1 0 ，l 】；p 暂，厶e ，c 1 ，1 如，l ；d 。，d b 0 p ，k ，嚣，c o 0 ，这里，q 是常数。 ( h 3 ，) 在 0 ，l 】上d 。( ) 0 ，o h ( - ) 雾0 。 本章主要结果魏下： 定理t ：设譬1 ) 、( 珏2 ) 秘( 珏戏立，则由系统( 1 ) 确定的半群_ 4 t 是强渐 进稳定的，盛有i r cp ( 囊) 。 定理2 ：设( 珏l k ( 鞋3 ，) 、( 珏4 ) 和( 联5 ) 成立，援| l 由系统( 1 ) 确定的半群e a t 是指数稳定的。 慈篓二堕中，我们讨论具剪局郝b o l t z m a n n 阻尼的鼹端驻定的t i m o s h e n k o 梁的能量指数衰藏阅题，导出了接述梁鲍横起秘剪切撅动的如下积分一偏微分 方程组： p 面= ( g ( w 妒) 一d 2f 9 2 。( s ) ( 伽( 茹，t ) 一妒( z ，t ) 、j u 划( x ，t - - 8 ) + 妒( x , t - s ) ) d s ) ， 矗= ( e j 轳一。t z 0 。璺t s 鼍? ( z ，t ) 一妒( 鬈，t s ) ) d s ) ( 5 ) + j f ( 铆一妒) 一d 2f 9 2 s ( s ) ( 瓣( g ，t ) 一妒( 茹，t ) j u - - w ( 苫，t 一5 ) + p ( 苫，t 一占) 沁治， 鲫f = 0 = 妒 。= o = 钟k = = 妒| 。= 工= 0 系统( 5 ) 的能量为 e ( t ) = ；z 。( 耳f 加一妒1 2 + e ，i f 2 + p j 曲1 2 + 如 睁i z ) 妇 + ；上。b 如) z 。w 虮羚b 如) | z 。岛l y l _ 卵她， ( 6 ) v 这里y ( x ，t ，s ) ：= 叫( 。， ) 一叫( z ，t 一5 ) ，p ( z ，t ，8 ) ：= 妒( 。，一妒( z ，t s ) 。 引入空间： h = l 2 ( o ，l ) l 2 ( o ，l ) ， v = 明( o ，l ) 捌( o ，三) ， 酬备2 上( p l ”1 2 + 厶w ) 出， p ) 悒。上( k 一妒1 2 + e i i 妒，| 2 ) d z ， 嗽= 训f 叫，叫l 2 ( 5 ，) ，v 5 ( 。，l ) ， d 叫l 2 ( a ，l ) ， ( l ) = o ，i = 1 ，2 y = l 2 ( ( o ，o 。) ；w 2 ) 驴( ( o ，。) ；啊) ， ( y ，驯侈= z 。( s ) f l d 。( z ) 叭叩) 口( ) 1 2 d x 如 + z 0 。圳f d l ( 州( 酬2 掀 则h 、v 和y 都是h i l b e r t 空间。我们再引入乘积空间 7 - 1 = v hxy 赋以如下范数： i l z l l ；, = 1 1 ( t o ，妒，”，妒，p ) i l 备= | i ( 叫，妒) i l 吝+ l i ，妒) i l 备+ ij ( ，o ) 1 1 则觎也是h i l b e r t 空间定义咒中的线性算子a 如下： 出= ( 啪，；1 t ，去c n 丁，, v - y s , 妒以) 口( 4 ) = z 就 ( 口，妒) u ( 肌，口。) f ( ，o ) = 口( ，0 ) = 0 ， t ：= ( 叫一妒) 一岛0 卯s ( 一e ) d s 日1 ( o ，己) ，。 r ：e i 妒，一d l ，。9 1 。日，d s h 1 ( o ，l ) j 0 ( 7 ) 则a 生成“上的压缩q 一半群e a 于是可以把( 5 ) 改写成丸中的抽象发展方 程： j ( ) = a z ( t ) 我们作如下的假设：对i = 1 ，2 ， v i ( 8 ) ( 9 1 ) 玑c 2 ( o ，。) n c o ，o o ) 且j 。l x ( o ，。) ； ( 9 2 ) 在( o ，。) 上吼 o 舰。 o ； ( 9 3 ) 存在常数k l 0 ，在( o ，o 。) 上g i 。一l g ( 9 3 7 ) 存在常数k 2 k 1 ，在( o ，o 。) 上肌。一k 2 9 i 。； ( 9 4 ) 玑( 。) = 0 。 我们还作如下的假设： ( h 1 ) p ，i p ，k ，e 1 ，d 1 ，d 2 l o 。( o ，l ) ；p ，i p ，k ，e 1 c o 0 ；在( ，l 上，d l ，d 2 0 ， 在 0 ，0 ： 上，d l = d 2 = 0 ； ( i - 1 2 ) n 厶，k ，e i ，d 1 ，i ) 2 c o , 1 f o ，z l ；p ( k + d 2 比( o ) ) ，厶( + d 1 肌( o ) ) ( = 1 ，1 f 耻，三j ； ( h 3 ) p k ，i p e i ec 0 ，1 【o ，o 】。 定理3 ：设( 9 1 ) 一( 9 4 ) 、( 9 3 ) 、( h 1 ) 一( h 3 ) 成立，则由系统( 5 ) 确定的半群e a t 是指数稳定的。 在箜二羔重中，我们讨论具有局部b o l t z m a n n 阻尼的两端固定的e u l e 卜b e r n o u l l i 梁的能量指数衰减问题，推导了描述梁的横向振动的如下积分偏微分方程： 卜一( e l w - n z 0 。烈s ) ( ( 州h ( x , t - - s ) ) d s ) ”， 【叫f z = o = w l z = o = 甜f z = l = 鲫7 f r = l = 0 ， 系统( 9 ) 的能量为 e ( t ) = 芝1 肛1 曲1 2 + e i m 2 ) 出+ ；z 。) 1j ( 风 y n ( 蛳) 恸s 这里扛，t ，s ) = w ( x ，z ) 一”扛，t s ) 引入空间： h = l 2 ( o ，) ，l 备：，p f u f ：出， y = g g ( o ，l ) ， m 侈= n e 1 1 w ”1 2 d x ， j f ， ( 9 ) ( 1 0 1 佴7 = 叫1 叫日2 ( 6 ，l ) ，v 占( o ，l ) ，、d 6 叫”l 2 ( 。，l ) ， ( 工) = 删( 上) = o ， 1 1 w l i 静： d 。i ”1 。出， k 职( 0 吣吼 = 上。) i f 现l y 阳础， 分别赋以范数”、i h 、”和1 y 后，v 、h 、w 和y 都是h i l b e r t 空间令 咒= v h y ij z i f 毳= j i ( w ，”，y ) l l 戋= fj 础f l 寻+ f l ” f 备+ f 矿| f 多， 则咒是一个h i l b e r t 空间。定义钝中的线性算子4 如下： 肛( ”，t , v - y 。) 。c 舻e t - i vev , y sc y , y ( x , o 一) = 。徽象啪三，) 则a 生成丸上的压缩g 一半群e m 于是可以把( 9 ) 改写成钎中的抽象发展方 程： 0 ( ) = a 4 t ) ( 1 1 ) 我们作如下的假设： ( 9 1 ) g c 2 ( o ，o o ) n c 【o ，o 。) 且兽。l 1 ( o ，0 0 ) ； ( 9 2 ) 在( 0 ，o 。) 上9 0 ，9 。 o ； ( 9 3 ) 存在常数k 1 0 ，在( 0 ，o 。) 上乳。- k l g ； ( 9 3 7 ) 存在常数k 2 k 1 ，在( 0 ，0 0 ) 上9 8 。一七2 乳； ( 9 4 ) 夕( 。) = 0 。 我们还作如下的假设： ( h 1 ) p ( ) ，e x ( ) ，d 6 ( 。) 己。( o ，l ) ；p ( t ) ，e i ( ) 2c o 0 ；在( ，己 上d b ( ) o ，在 【0 ，q 上风( ) = 0 ； ( h 2 ) p c 1 、1 【0 ，l i ，e j ，d b c o , i i o ，l 。 定理4 ：设( 9 1 ) 一( 9 4 ) 和( h 1 ) 成立，则t rc p ( a ) ，a 的豫解集，因此e t 是 强渐进稳定的。 定理5 ：设( 9 1 ) 一( 9 4 ) 、( 9 3 ) 、( h 1 ) 一( h 2 ) 成立，则由系统( 9 ) 确定的半群。a 是指数稳定的。 在箜三童中，我们讨论具有局部b o l t z m a n n 阻尼的高维波方程 r，。1 p ( z ) 乱v + 卜) v u b ( x ) 上g s ( s ) ( v u ( z ，t ) 一v u ( z ，t s ) ) 叫 = 0o q 0 t o 。 让牡o ，z 赢，一。 t o 。， ( 1 2 ) u ( 。，t ) = u o ( x ，t ) ，也( z ，t ) = u l ( x ，t ) ，z q ，o 。 0 ，在( 0 ，o 。) 上g 。一h 吼； ( 9 4 ) g ( o o ) = 0 ； ( 9 5 ) 存在常数2 k l ，在( 0 ，0 0 ) 上g ；。一k 2 9 。 我们还作如下的假设： ( h 1 ) p ( ) ，n ( ) ，6 ( - ) l ”( n ) ，在q 上p ( ) 之肋 0 ，口( ) 2 口o 0 ，在而1 上6 ( ) = o ，在 q 1 = q q 1 上6 ( ) 0 ，在q 2 = q q 2 上6 ( ) b o 0 ，这里q lc cq 2c cq ； ( h 2 ) 烈t ) ，n ( ) ，b ( ) c o 1 ( q ) ，v 【p ( o + 6 9 ( o ) ) c o ，1 ( q ；妒) ； ( h 3 ) 存在常数c 0 ，使得在q 上1 v b i e 狐； x ( h 4 ) 存在口( ) = ( 叮1 ( ) ，g 。( ) ) t c 1 ，1 ( n ；耐) ，使得在q 上岛劬( ) = 白g f ( ) ，i ，j = 1 ，n ；存在常数a 0 ，使得 ( z 口a 劬+ 魂n 劬+ 岛a q t + p v ( ；) q 6 ”) a i 。o i lq 2 。 n n 这里，国= 去，j 。是n 礼单位矩阵。 定理6 ：设( 9 1 ) 一( 9 4 ) 、( h 1 ) 成立，则i r cp ( a ) ，a 的豫解集，因此e c _ 是 强渐进稳定的。 定理7 ：设( 9 1 ) 一( 9 5 ) 、( h 1 ) 一( h 2 ) 成立，则由系统( 1 2 ) 确定的半群e m 是指 数稳定的 注记：除第二章以外，在其余各章中，我们都假设了阻尼系数在交界面上 是连续的。当它们为间断时的相应问题还悬而未决。 x i a b s t r a c t t h em a i nw o r kd o n ei nt h i sd i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w 8 ： i n c h a p t e r 1 ，w ec o n s i d e rav i b r a t i n gn o n - h o m o g e n e o u sb e a mw i t ho n es e g m e n tm a d eo f v i s c o e l a s t i cm a t e r i a lo f k e l v i n v o j 群t y p ea n d o t h e r p a r t sm a d eo fe l a s t i cm a t e r i a lb ym e a n s o ft i m o s h e n k om o d e l ( i ti sw e l lk n o w nt h a ti ft h ec r o s s s e c t i o nd i m e n s i o n so ft h eb e a m i 8 n o tn e g l i g i b l ec o m p a r e dw i t hi t sl e n g t h ，i ti sn e c e s s a r yt oc o n s i d e rt h ee f f e c to ft h er o t a t o r y i n e r t i a f t r t h e rm o r e ，i ft h ed e f l e c t i o nd u et os h e a ri sn o tn e g l i g i b l e a l s o ，t i m o s h e n k o b e a mm o d e ls h o u l db ei n t r o d u c e d + ) w eh a v ed e d u c e bm a t h e m a t i c a le t u a t i o n sm o d e l i n gi t s v i b r a t i o na n ds t u d i e dt h es t a b i l i t yo ft h es e m i g r o u pa s s o c i a t e dw i t ht h ee q u a t i o ns y s t e m d e s c r i b i n gt h et r a n s v e r s ea n ds h e a r i n gv i b r a t i o no ft h eb e a m w eo b t a i nt h ee x p o n e n t i a l s t a b i l i 每u n d e rc e r t a i nh y p o t h e s e so fs m o o t h n e s sa n ds t r n c t u r 越c o n d i t i o no ft h e v i s c e l a s t i c i t y c o e f f i c i e n t so ft h e s y s t e m a n do b t a i nt h e s t r o n ga s y m p t o t i cs t a b i h t yu n d e rw e a k e rh y p o t h e s e s o ft h ec o e 臻c i e n t s i n c h a p t e r2 ，艄c o n s i d e rav i b r a t i n gt i m o s h e n k ob e a mw i t hl o c a lv i s c o e l a s t i c i t yo f b o l t z m a n nt y p e w eh a v ed e d u c e dm a t h e m a t i c a le q u a t i o n sm o d e l i n gi t s v i b r a t i o na n d s t u d i e dt h es t a b i l i t yo ft h es e m i g r o u pa s s o c i a t e dw i t ht h ee q u a t i o ns y s t e m w eo b t a i nt h e e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yu n d e r c e r t a i nh y p o t h e s e so fs m o o t h n e s sa n ds t r u c t u r a lc o n d i t i o no ft h e c o e f f i c i e n t so ft h es y s t e m ，a p p l y i n gt h er e l a x a t i o nf u n c t i o ad e c a y se x p o n e n t i a l l y t h i sr e s u l t d o e sn o tn e e dt h ec o n t i n u i t yo ft h ed a m p i n gc o e 璇c i e n ta tt h ei n t e r f a c e i n c h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rav i b r a t i n ge u l e r - b o n o u l l ib e a m w i t hl o c a lv i s c o e l a s t i c i t yo f b o l t z m a n n t y p e w e o b t a i nt h ee x p o n e n t i a l s t a b i l i t yu n d e r c e r t a i nh y p o t h e s e so fs m o o t h n e s s o ft h ec o e f f i c i e n t so ft h es y s t e mb y ，a n da l s oo b t a i nt h es t r o n ga s y m p t o t i cs t a b i l i t yn n d e r w e a k e rh y p o t h e s e so ft h ec o e f f i c i e n t sb ym e a l l so ft h er e s u l ti n 3 0 1 i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rah i g hd i m e n s i o n a ln o n - h o m o g e n e o u sw a v ee q u a t i o nw i t hl o c a l x i i v i s c o e l a s t i e i t yo fb o t z m a n n 妙p ed i s t r i b u t e dn e a rt h eb o u n d a r ya f 2o fab o u n d e ds i m p l e - c o n n e c t e dd o m a i n ( 2 r “w eh a v es t u d i e dt h es t a b i l i t yo ft h es e m i g r o u pa s s o c i a t e d w i t ht h ee q u a t i o ns y s t e m w eo b t a i nt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yu n d e rc e r t a i nh y p o t h e s e so f s m o o t h n e s sa n ds t r u c t u r a lc o n d i t i o no ft h ec o e f f i c i e n t so ft h es y s t e ma n do b t a i nt h es t r o n g a s y m p t o t i cs t a b i l i t yu n d e rw e a k e rh y p o t h e s e so ft h ec o e f f i c i e n t s t h es t r u c t u r a lc o n d i t i o n o b t a i n e dh e r ei ss i m i l a rt ot h a tg i v e ni nf 5 2 】w ed on o ta s s n m ez r od a t u mi nh i s t o r yw h i c h u s e di n 6 3 k e yw o r d s ：t i m o s h e n k ob e a m ，e u l e r b e r n o u l l ib e a m ，w a v ee q u a t i o n ，v i s c o e l a s t i c i t y , k e l v i n v o i g tt y p ed a m p i n g ，b o l t z m a n nt y p ed a m p i n g ，函一s e m i g r o u p ，h i l b e r ts p a c e s t r o n g a s y m p t o t i cs t a b i l i t y ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , f r e q u e n c yd o m a i nm e t h o d ，m u l t i p l i e rt e c h n i q u e 致谢 在本文完成之际，作者衷心感谢导师刘康生教授几年来的精心培养。在导 师的悉心指导下，我在学业和科研工作上有了长足的进步。导师严谨的科学态 度，隧秘豁达熬人生观，溪跃的科学思想是我学习的楷模。师恩厚重，无以回 报 愿在】以后鳇工终孛加倍努力，不攀受导师= 的期望 衷心感谢陈叔平教授对我的关心与指导。他的严格要求秘启发性的掺导健 我受益匪浅 感谢美国m i n n e s o t a 大学数学与统计系的刘壮一教授的指点和帮助，本文的 思想和方法直接来源于他和刘康生教授最近几年的工作。 感澍我的礤导露一东j 乏师范大学数学系的荔夯教授和陈任昭教授，是他 裾带领我进入分布参数系统领域。 几年来，和宋洪才、章春国、于欣、叶德平等各位师觅弟一怒生活霖学习， 互相关心帮助，建立了深厚的友谊，在此表示感谢。 感谢好友姜世成和吕康锻夫妇帮助照看我的儿子。 最后，衷心感游我的亲友和家入对我的支持积鼓励，尤其悬我的妻子刘秀 环，在我求学期闻，克服种种鑫难，独皂承担起全都家务积抚葬教育j l 子的羹 任，使我能够安心学习。 c h a p t e r 0 i n t r o d u c t i o n 0 1 b a c k g r o u n d a n dh i s t o r i c a lr e v i e w t h es t u d yo fv i b r a t i o na n dd a m p i n gi sc o n c e r n e dw i t ho s c i u a t o r ym o t i o n so fb o d i e sa n d p a r t i c l e sa n da t t e m l a t i o no ft h o s ev i b r a t i o n s e n g i n e e r e dm a c h i n e sa n ds t r l l c t l t r e sh a v ei n c o m m o nw i t hn a t u r a lp h y s i c a ls y s t e m st h e p r o p e r t yo fb e i n gs u b j e c tt ov i b r a t i o na l lo rp a r t o ft h et i m e r e c e n ts c i e n t i f i ca n dt e c h n o l o g i c a la d v a n c e sh a v eg e n e r a t e ds t r o n gi n t e r e s t ， n e wp e r s p e c t i v e s ，a n df l l r t h e rd e v e l o p m e n ti nt h ef i e l do fv i b r a t i n gs y s t e m sg o v e r n e db y p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s y s t e m sg o v e r n e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf p d e s ) ， i n t e g r a l - p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q n a t i o n s ( i p d e s ) ，f l m c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( f d e s ) ， a n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si na b s t r a c ts p a c e s ，a t ec o m m o n l yr e f e r r e dt oa sd i s t r i b u t e d p a 。 r a m e t e r s y s t e m s ( d p s s ) e l a s t i cs t r u c t u r e 8h a v eb e e nu s e dw i d e l yi ne n g i n e e r i n g t h es t u d yo fs t a b i f i t ya n dc o n t r o l l a b i l i t yo f e l a s t i c s y s t e m s i so n em o r e i m p o r t a n tf i e l di nt h et h e o r yo fd p s s i ne n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s ，s i n c er e s o n a n c ea n ds u s t a i n e do s c i l l a t i o n so fs t r l m t n r a lv i b r a t i o n sm a yr e s u l t i ns t r u c t u r a ld a m a g e ，d a m p i n gi si n t r o d u c e dt or e d , m et h ed e s i r a b l er e s o n a n c e a c t u a l l y , d a m p i n gi sn e a r l yo m n i p r e s e n ti na l lv i b r a t i n gs y s t e m s ，o w i n gt om e d i u mi m p u r i t i e s ，s m a l l f r i c t i o n a la n dv i s c o l l se f f e c t s ，o ra r t i f i c i a l l yi m p o s e dd a m p i n gm a t e r i a lo rd e v i c e s w h e n d a n a p i n gt e r ma p p e a r si nt h ee q u a t i o n sp e rs e ，w ec a l l i td i s t r i b u t e dd a m p i n g w h e n d a m p i n gt e r ma p p e a r si nt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w ec a l li tb o u n d a r yd a m p i n g i ti s w e l lk n o w nt h a tac o m m o n p r a c t i c et os t a b i l i z eac o n t r o l l e dd p s i su s i n gv e l o c i t yf e e d b a c k l c o n t r o lt oc a l l s ed a m p i n ga n dm a k et h es y s t e md i s s i p a t ee n e r g y t h i sp r o c e d u r ei sc a l l e d s t a b i l i z a t i o n ( f o rm o r ed e t a i l s ，w er e f e rt oc h e na n dz h o u 1 2 ，1 3 】) c o n s e r v a t i v ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( c e d e s ) e 1b eu s e dt om o d e lw a v ep r o p a g a t i o n s m e c h a n i c a lv i b r a t i o n sa n dq u a n t , n mp h e n o m e n a b o u n d a r yc o n t r o l d a m p i n gf o r c p d e sh a sb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y ( s e er u s s e l l 6 4 a n dl i o n s 4 3 ，4 4 ) t h ec o n s i d e r a - t i o no fl o c a l l yd i s t r i b u t e dc o n t r o lo fc p d e ss e e m st oh a v eb e e ni n i t i a l e db yl a g n e s e 【4 0 i n1 9 8 3 f o rt h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t ya n du n i f o r me x p o n e n t i a ld e c a yp r o p e r t yp r o b l e m s ， m u c hw o r kh a sb e e nd o n e ( s e el a g n e s e 【4 0 ，c h e ne ta 1 1 1 h a r a n x 2 6 ，h e 【2 8 ，k i m ( 3 5 ，3 6 l ，k o m o r n i k 【3 8 l ，z u a z l t a ( 7 4 ，a n db a r d o s e ta 1 ( 5 】a n dt h er e f e r e n c e st h e r e i n ) t h e s e t w op r o p e r t i e sa r er e l a t e de a c ho t h e r l i u 4 5 1s t u d i e dt h ee q u i v a l e n c eb e t w e e ne x a c tc o n t r o l l a b i l i t ya n de x p o n e n t i a ls t a b i l i z a b i l i t yf o ra n a b s t r a c t , c o n s e r v a t i v es y s t e mw i t hb o u n d e d c o n t r 0 1 f o rr e l a t e dr e s u l t s ，w er e f e rt h er e a d e r st oc h e n 7 ，8 ，9 ，1 0 1 ， i nt h ep a s tt e ny e a r s ，t h e r eh a sb e e nm u c hi n t e r e s ti nt h ep r o b l e mo fe x p o n e n t i a ls t a - b i l i t yf o re l a s t i cs y s t e m s w i t hd a m p i n gd i s t r i b u t e do n l yi nas u b d o m a i nf b e i n gc a l l e dl o c a l d a m p i n g i t , i sw e l lk n o w n t h a tt h es o l u t i o no ft h ew a v ee q u a t i o nw i t hf r i c t i o n a ld a m p i n g 0 i n q ( 0 ，。) ， 0i na q ( 0 ，o 。) ( 0 11 ) d e c a y se x p o n e n t i a l l yi nt h ec a s eo fg l o b a ld a m p i n g ，i e ，n ( ) a 0 0a e i nq ，w h i c h m e a n st h a tt h ed i s s i p a t i v ee f f e c t , i sw o r k i n gi nt h ew h o l ed o m a i nq w h e no ( ) 0a 息i nn a n d 订f - ) 0o n l yi nas u b d o m a i nucn ，i e ，t h ec a u s