（应用数学专业论文）污染环境下一类害虫治理模型的数学研究.pdf

学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位敝储虢绞硷 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：指导教师签名：主：丝 签名啡 矿f 年暨月垆 _ 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 随着工业化和城市化的快速发展，很多环境问题从隐性变为显性，从幕后走到了台 前，环境问题已经成为制约经济社会健康发展的重要因素。本文以日益严重的环境污染 为背景，建立了污染环境下的一类害虫治理模型，并系统地研究了所建模型的动力学性 质。 第一章介绍了本文的研究背景并给出了相关的预备知识。 第二章讨论了在污染环境中g o m p e r t z 害虫治理模型，其中假设污染物周期地排放 到环境中，害虫被周期地捕获，同时天敌由于环境中污染物的作用而减少。本章利用脉 冲微分方程的相关理论和分析的方法，研究了天敌灭绝周期解的全局吸引性和系统的持 续生存，并利用数值模拟验证了理论结果的正确性。 第三章建立了一个在污染环境中具有阶段结构的害虫治理模型，其中假设污染物被 脉冲地输入到环境中，天敌具有阶段结构且只有成年的天敌以害虫为食，同时假设污染 只对天敌有影响以及害虫被周期地捕杀，具体地分析了污染物的排放周期和排放量以及 害虫的捕获率对种群规模的影响，给出了天敌灭绝周期解和种群持续生存的条件，并利 用数值模拟验证了理论结果的正确性。 关键词：脉冲污染输入；害虫治理模型；周期解；灭绝性；持续生存 _ 。1 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ 。1 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ 。_ 。_ _ _ _ 。_ _ _ _ _ _ 。1 1 1 。1 。 辽宁师范人学硕士学位论文 m a t h e m a t i c a lr e s e a r c ho nap e s t c o n t r o lm o d e li nap o l l u t e d e n v i r o n m e n t a b s tr a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fi n d u s t r i a l i z a t i o na n d u r b a n i z a t i o n , m a n ye n v i r o n m e n t a l p r o b l e m sf r o mr e c e s s i v ei n t od o m i n a n ta n df r o mb e h i n di n t ot h ef r o n t e n v i r o n m e n t a l p r o b l e m sh a v eb e c o m ei m p o r t a n tf a c t o r so fr e s t r i c t i n gh e a l t h yd e v e l o p m e n to fe c o n o m i c s o c i e t y i nt h i st h e s i s ，b a s e do nt h es e r i o u se n v i r o n m e n tp o l l u t i o n , w ee s t a b l i s hap e s t c o n t r o l m o d e l i na p o l l u t e de n v i r o n m e n ta n ds t u d yt h ed y n a m i c so f s u c hs y s t e m i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dg i v es o m er e l e v a n tp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 。w ef o r m u l a t eap e s t - c o n t r o lg o m p e r t zm o d e li na p o l l u t e de n v i r o n m e n tw i t h p u l s ep o l l u t a n ti n p u ta n dp e s tk i l l e da td i f f e r e n tf i x e dt i m e n en a t u r a le n e m ya m o u n ti s d e c r e a s i n ga s s o c i a t e dw i t ht h eu p t a k eo fp o l l u t i o n b yu s i n gs t a b i l i t yt h e o r ya n dc o m p a r i s o n t h e o r e m ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a la t t r a c t i v e n e s so ft h en a t u r a le n e m y e x t i n c t i o n p e r i o d i c s o l u t i o na n dp e r m a n e n ta r eo b t a i n e d t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sc o n f i r mo u r t h e o r e t i c a lr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ed y n a m i c so fa s t a g es t r u c t u r e dp e s tc o n t r o lm o d e li nap o l l u t e d e n v i r o n m e n tw i t hp u l s ep o l l u t i o ni n p u t ，n l en a t u r a le n e m yi ss t a g es t r u c t u r e da n do n l ya d u l t p r e d a t o r sf e e do np e s t s a s s u m i n gt h a to n l yn a t u r ee n e m ya f f e c t e db yp o l l u t a n ta n dp e s t sa r e c a u g h ti m p u l s i v e l y ，w ed i s c u s st h ed y n a m i c so ft h em o d e ls y s t e m a t i c a l l y i ti ss h o w nt h a t i m p u l s i v ep e r i o d ，t h ea m o u n to fp o l l u t i o ni n p u ta n dt h ec a t c l l i n gr a t eo fp e s t sc a nb r i n g o b v i o u se f f e c t so nt h ed y n a m i c so fs y s t e m n es h 衢c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a la t t r a c t i v i t y o ft h e n a t u r a le n e m y - e x t i n c t i o n p e r i o d i cs o l u t i o na n c lp e r m a n e n c eo ft h es y s t e ma r eo b t a i n e d t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sv e r i f yt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s k e yw o r d s ：i m p u l s i v ep o l l u t i o ni n p u t ；p e s t - c o n t r o lm o d e l ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；e x t i n c t i o n ； p e r m a n e n c e 辽宁师范大学硕十学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 1 绪论1 1 1 前言1 1 2 预备知识2 2 在脉冲污染环境中g o m p e r t z 害虫治理模型的动力学性质3 2 1 模型建立3 2 2 相关引理4 2 3 天敌灭绝周期解的全局吸引性4 2 4 持续生存7 2 5 结论和数值模拟8 3 在脉冲污染环境中具有阶段结构的害虫治理模型的动力学性质1 1 3 1 模型建立1 1 3 2 相关引理1 2 3 3 天敌灭绝周期解的全局吸引性和持续生存1 3 3 4 结论和数值模拟- 1 7 结 论一2 0 参考文献2 1 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 3 致谢2 5 v 辽j 。师范入学硕士学位论文 1 1 前言 1 绪论 许多实际问题的发展过程往往具有这样的特性，即系统经历一个短时间的外部作 用，但这个短暂的干扰时间同整个发展过程相比可以忽略不计，所以，从数学的角度 来描述这种发展过程要用到脉冲微分方程脉冲微分方程是在常微分方程的基础上发 展起来的，其突出特点是能够充分考虑到瞬间变化对状态的影响，能够更合理、更精确 地反映事物的变化规律，它是2 0 世纪末期发展非常迅速的一个数学分支近几年来， 许多学者对脉冲微分方程的理论及其应用作了广泛的研究i l 之0 1 ，发现在生命科学的许多 领域中，脉冲微分方程的理论和方法有很好的应用，甚至在生化制品的加工优化方案 中，也出现了很好的应用前景例如，我们可以应用脉冲微分方程的理论和方法来研究 制订合理用药的最佳方案：在传染病动力学中，提出预防疾病流行而制订免疫接种的最 优策略：在渔业养殖与森林管理中如何进行养殖、收获、种植和砍伐的优化方案，使得 既能保持持续生产又能有最好的收益：在植保研究中提出防治害虫的最优管理策略， 包括合理使用农药或培养天敌的优化方案：在环境保护中，用以研究如何更有效地保 护生物的多样性，等等 当今世界环境污染问题严重，对生态系统造成直接和间接的破坏影响环境污染使 种群的生存环境发生改变，使其基因突变，导致出生缺陷，产生畸形，也有可能导致种群 的变性，这使得种群在自然界的数量减少，乃至灭绝据估计，全世界每年有数千种动 植物灭绝为了评估环境污染对种群持续生存的影响，近年来，关于污染物连续排放 和脉冲排放的数学模型已有大量的文献研究【l 。，引之5 | ，取得了一些有意义的研究成果 本文以日益严重的环境污染为背景、脉冲微分方程为基础，建立并研究污染环境下的一 类害虫治理模型 第一章介绍了本文的研究背景并给出了相关的预备知识 第二章建立了污染环境中在不同固定时刻分别排放污染物和捕杀害虫的g o m p e r t z 害虫治理模型，其中污染物被周期地排放到环境中，害虫被周期地捕获，同时天敌受 污染物的影响而减少利用脉冲微分方程的稳定性和比较定理以及分析的方法，研究 了天敌灭绝周期解的全局吸引性和系统的持续生存，并利用数值模拟验证了理论结果 第三章研究了在污染环境中具有阶段结构的害虫治理模型的动力学性质，其中污 染物是脉冲输入的，天敌具有阶段结构且只有成年天敌以害虫为食，害虫被周期捕杀， 分析了污染物的排放周期和排放量以及害虫的捕获率对种群的影响，给出了天敌灭绝 周期解和种群持续生存的条件，并利用数值模拟验证了理论结果的准确性 污染环境下一类害虫治理模型的数学研究 1 2 预备知识 引理1 2 i t l l 考虑系统 了d c o ( t ) = 庇。( r ) 一g c o ( r ) 一，z c o ( t ) ， 掣一慨( ，) ， ( f ) = 0 ，a c e ( f ) = b ， f ( 胛+ ，- 1 ) t ，刀z + ， f = ( n + l o r ，2 z + 则系统( 1 1 ) 有唯一的正t 一周期解( ( f ) ，( f ) ) ，且系统( 1 1 ) 的每个解( c o ( r ) ，巳( f ) ) ， 当f 一佃时，都有( f ) 一西( f ) ，巳( f ) 一t ( f ) ， 其中 协羽，e - ( g + m x t - n + l - 1 ) t ) _ 型篙臻等p ， ，、 b e 一6 ( 7 - ( ”7 一 巳u 2 1 _ 二：；：历一j，。， f ( ( 刀+ ，一1 ) 丁，( ”+ ，) 丁】，力 ， 悱两等等杀巧， “ 。一f 旧，= 专， 引理1 2 2 2 7 ，2 硼假设函数”p c ( 足，r ) 不等式 f “7 ( f ) p ( t ) u ( t ) + ( r ) ，t ，r 0 ， “( i ；) 矾材0 i ) + 吃，f = 百t ， l 甜( o + ) 1 1 0 ， 其中p ，f p c 7 ( 墨，r ) ，吃0 ，魄u o 是常数，则对r o 有 砸甩或e x p ( 胁 + 【1 - i 巩e x p ( f p o ) 卉) 邢) a s + ( i - id je x p ( f ：p ( c ) d c ) ) h k s g f qo q t ，t q f 标注1 2 1 1 1 由于岛( r ) ，c e ( t ) 表示污染物的浓度，为了确保0 _ c o ( t ) l 和 o 乞( f ) 1 ，本文假设g 七g + m ，b l - e 山r 标注1 2 2 t l 】根据本文实际问题的生物意义，假定k 办 2 辽j 。师范人学硕+ 学位论文 2 在脉冲污染环境中g o m p e r t z 害虫治理模型的动力学性质 2 1模型建立 目前，随着人类开采活动的日益加剧，破坏了一些原有的生态环境中的生态平衡， 由环境污染所引起的生态环境的破坏问题越来越受到重视因此，研究在人类外界因 素干扰作用下生态环境受破坏的问题有着重要的理论意义和现实意义 对于害虫治理系统，我们知道害虫的控制可以通过喷洒农药，也可以依靠天敌 但在污染环境中，有些天敌受污染的影响严重，而害虫几乎不受影响例如青蛙是天 牛、蝗虫等的天敌，但农药和制菌剂等的使用造成水污染，严重伤害青蛙的生殖系统， 使其生殖能力大大下降，水污染也使受精卵、蝌蚪大批死亡，致使青蛙的数量减少瑞 典进行的一项新研究表明，雄性蝌蚪在类似自然界中含雌性激素的污染物环境下，最 终会长成雌性青蛙但另一些雄性蛙虽然有卵巢，却无输卵管，变成了终身不孕的“阴 阳蛙”实验结果表明，世界上近三分之一的青蛙物种，可能因环境污染面临灭绝的危 险这使得我们必须控制污染物排放的周期和数量，以保证天敌种群可以持续生存 另外，治理害虫时，农药喷洒过多，会使害虫大量减少，但同时也对环境造成了 严重的污染，所以，在捕杀害虫时我们尽量选择对环境没有污染的方法，从而不至于对 天敌造成伤害 基于以上的生物背景，本章假设害虫以g o m p e r t z 方式增长且不受环境污染的影响， 天敌的种群规模因环境污染而减少，并且分别在不同的固定时刻排放污染物和人工捕 杀害虫，以脉冲微分方程为基础，建立如下模型： 了d x ( t ) 书l n 翥一篇， 一d y ( t ) ：九熙叫( f ) 一f c v 1 c 。( ，) j v ( f ) ， 一= 几一一v j 一ji l ， d t 1 + a 石( ，) 7 一一 1 v c o 厂( t ) = 姒f ) 一g c 。( f ) - m c o ( f ) ， 掣圳以晚 ( 船+ ，一1 ) r ，r l z + ， 么 t n t 。 ( 2 1 ) la x ( t ) = 0 ，a y ( t ) = 0 ，a c o ( f ) = 0 ，a c 。( f ) = b ，r = ( 刀+ ，一1 ) 丁，刀z + ， i 石( ，) = - 8 z ( f ) ，y ( ，) = 0 ，a c o ( f ) = 0 ，a c 。( ，) = 0 ，r = n t ，疗z + 其中o ， l ，x ( r ) 和j ，( f ) 分别表示t 时刻害虫和天敌的种群数量：乞( ，) 表示f 时刻环境 中的污染物浓度：c o ( t ) 表示f 时刻生物体内的污染物浓度：p 表示没有天敌时害虫的 g o m p e r t z 内禀增长率：k 表示环境容纳量：q 表示天敌的捕食率：仅表示天敌捕获害 虫的饱和度：九表示被捕食的害虫转化为天敌的转化率：1 ，表示天敌的死亡率：厂表示 天敌由于体内污染物而导致内禀增长率的降低率：b 表示在时刻t = ( n + 1 1 ) t 排放的污 染物量：6 ( 0 6 1 ) 表示在时刻，= n t 捕获害虫的比率，其余参数意义见文献 1 污染环境下一类害虫治理模型的数学研究 2 2相关引理 证明令矿( f ) = 九x ( ，) + y ( f ) + c o ( f ) + 巳( 吐因为警p x ( r ) h l 嘉，文k 足。，且 0 6 1 ，x ( n t + ) x ( n t ) ，则当f 专0 0 时，x ( t ) k 令d = m i n t ，g + 朋，h - k ) ， 当 掣咖m m 筹彳郴厶懒 其中l o = x f j k e b f掣一d矿o)+厶f(州一1)t,tnat l t 涮三笳骤一矿) + 6 ，扛 小1 ) l 瞰) v ( o + ) e _ d t t , t * _ 加o c o ( t ) 一2 p 一2 ( 2 8 ) 令r = m a x n , t ，n 2 丁) ，根据系统( 2 1 ) 的第二个方程和系统( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，我们可以得 到当， 丁+ 时， 螋d t 蛳篇篙十m e ：黼) 1 + a m + 1 ) 一 “7 考虑下面的比较方程 型d t 铂器1 篙十m - 2 撇) 、 + a 们+ 1 ) 一 “ 可解得v ( t ) = e i x 高q ( i r l 而+ c i ) 1 一，( p - c 2 ) 【，一r ) 由( 2 5 ) 可知，九尘芝玉生一丫一( p 一2 ) 0 ，使0 x 一。 ( 2 1 0 ) 联合( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) ，得 x 一4 1 ，对于系统( 2 1 ) 的任恿解( x ( ，) ，y ( f ) ，c o ( t ) ，c e ( t ) ) ，存在正常 数m + ，使得y ( f ) m 证明 因为孵2 1 ，我们很容易得到 c 等札c k c 南删争o 而且可以选择充分小的破，。，：，满足 九g _ ! 羔 丫+ 厂( b + 2 ) ， ( 2 1 3 ) l 十u 巾一若l ， 其中 。= k e x p 卜丁q m ：渺p t 万i n ( 1 - 5 ) ) t o ， 7 污染环境下一类害虫治理模型的数学研究 便得当， 7 i 时， x ( f ) z + o ) 一。e x p l n ( k e 一- 正佃) + 等堑兰碧) 一。= 。一， 由引理1 2 1 ，存在乏 o ，2 0 ，当f r 2 时 c ：o ) 一2 c 0 ( f ) y ( ，) 啪丽o - - 1 十朋+ s 2 ) 】 y o ) y ( 瓦) e x p i 【九g 了羔一丫一厂( b + ：) o 一瓦) ) 由( 2 1 3 ) 知，当，一佃时， y ( ，) _ 栩与y o ) 有界性矛盾 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 因此，对任意正常量，o ， y ( t ) t o ) ，满足y ( t + ) ：m 2 ，且堕掣 ， x ( ，) o 一l 成立，取凡z + 满足e x p ( z q _ l - y - f b ) n t 1 ，令t 。= f 。+ 巩丁，则存 在0 ef t , f + 丁】，使得少( f ) = y o + ) = m ：，y ( f ) 聊：，广 f 碱， 矛盾故必有0 ( 广，广+ 丁。】 由系统( 2 1 ) 的第二个方程及引理2 2 1 得 掣一o + 丘) y ( f ) ，f ( f ，e ) 则 y o ) y ( t + ) e x p - ( 7 + 归) ( r f ) 】m ：e x p - ( ? + 丘) ( r 一f + ) 】= m ：e x p - ( ? + 扛) ，1 r 】= 所 由( f ，0 ) 的任意性知，对一切， t o ，有y ( t ) m 证毕 定理2 4 2 如果吼， 1 ，那么系统( 2 1 ) 是持续生存的 证明 令o ( f ) ，y ( ，) ，c o ( t ) ，c a t ) ) 是系统( 2 1 ) 的任意一个解 由( 2 1 0 ) 得 x ( t ) x 一。，由定理2 4 1 可知，当t 足够大时y ( t ) m 由引理2 2 1 ，当t 足够大 时有x ( t ) k ，y ( t ) l 由定义2 4 1 ，系统( 2 1 ) 是持续生存的证毕 2 5 结论和数值模拟 令p = 3 ；k = 2 ；q = 0 8 ；l = 0 7 ；7 = 0 4 ；b = 0 1 ；k = 0 5 ；m = 0 4 ；t = l ；厂= 1 8 6 = o 2 ；0 【= o 5 ；h = 3 ；g = 0 2 ；此时r 2 = 1 0 2 3 6 6 6 1 ，由定理2 4 2 知系统( 2 1 ) 是持续 8 辽宁师范人学硕士学位论文 生存的( 见图2 1 ) ：如果其它参数不变，增加污染物的排放量至b = 0 9 ( r 1 = 0 9 7 5 1 5 1 1 ) 或增加害虫捕获率至6 = 0 8 ( r 1 = 0 9 4 2 1 9 4 1 ) ，系统( 2 1 ) 的 天敌灭绝周期解是全局吸引的( 见图2 2 ：图2 3 ) ；当减少脉冲周期至t = 0 1 ( r ，= 0 7 1 3 9 6 3 1 ) ，其它参数不变，系统( 2 1 ) 的天敌灭绝周期解也是全局吸引的 ( 见图2 4 ) 数值模拟说明污染物排放量和周期以及害虫的捕获率对种群持续生存的 影响较大，所以在实际问题中，要注意控制污染的排放以及对害虫的捕获，以保护种群 不趋于灭绝 雄) 2 5 0卸2 7 d卸 2 9 03 1 1 3 ) ，f ) l li _f l0fj 图2 1 系统( 2 1 ) 解的时间序列图 f i g 2 1 ：t i m es e r i e so fs y s t e m ( 2 1 ) w i t hp a r a m e t e r s 1 3 = 3 ；k = 2 ；q = 0 。8 ；k = o 7 ；y = 0 4 ；b = o 1 ；k = 0 5 ；m = 0 4 ；t = 1 ；f = 1 8 6 = 0 2 ；仅= 0 5 ；h = 3 ；g = 0 2 ； 如 拗2 7 02 8 0卸3 0 0 3 e - 3 4 2 5 e - 3 4 2 e 1 3 4 1 6 e - 掣l 1 e - 3 4 5 e 3 5 o 图2 2 系统( 2 1 ) 解的时间序列图 f i g 2 2 ：t i m es e r i e so fs y s t e m ( 2 1 ) w i t hp a r a m e t e r s p = 3 ；k = 2 ；q = 0 8 ；九= 0 7 ；y = 0 4 ；b = 0 9 ；k = 0 5 ；m = 0 4 ；t = 1 ；f = 1 8 6 = 0 2 ；0 【= 0 5 ；h = 3 ；g = 0 2 ； 9 污染环境下一类害虫治理模型的数学研究 硼) 2 5 d2 6 02 7 0瑚2 9 03 0 d ) ， 2 5 d抛2 7 02 8 02 9 03 0 0 图2 3 系统( 2 1 ) 解的时间序列图 f i g 2 3 ：t i m es e r i e so fs y s t e m ( 2 1 ) w i t hp a r a m e t e r s p = 3 ；k = 2 ；q = 0 8 ；l = 0 7 ；y = 0 4 ；b = 0 1 ；k = o 5 ；m = 0 4 ；t = 1 ；厂= 1 8 6 = 0 8 ；c t = 0 5 ；h = 3 ；g = o 2 ； 雄) y i ：?3 l 洲 图2 4 系统( 2 1 ) 解的时间序列图 f i g 2 4 ：t i m es e r i e so fs y s t e m ( 2 1 ) w i t hp a r a m e t e r s p = 3 ；k = 2 ；q = o 8 ；九= 0 7 ；丫= 0 4 ；b = 0 1 ；k = 0 5 ；m = 0 4 ；t = 0 1 ；f = 1 8 6 = 0 2 ；a = 0 5 ；h 之3 ；g = 0 2 ； 1 0 | | | 一 | | | | 一 | | | | | | 辽j 。师范大学硕士学位论文 3 在脉冲污染环境中具有阶段结构的害虫治理模型的动力学性质 3 1 模型建立 本章研究污染环境中天敌具有阶段结构的害虫治理模型，在上一章的基础上，我 们假设天敌具有阶段结构且其种群规模因污染物的排放而减少，害虫以l o g i s t i c 方式 增长且不受环境污染的影响，并假设分别在不同的固定时刻排放污染物和捕杀害虫， 建立如下模型： 百a x ( t ) 币( 岬一警) 一鬻岩， 型：九掣一九piqx(t-t)y2(t-c)一办(f)一编(f)乃(，)，dt l + 仪工“)1 + o t x ( t t ) 型：沁qx(t-x百)y2(t-x)-ty：(f)一(f沙2(，)，dt 1 + a 工o f ) 。、 竽= 蛐卜g c o ( 沪( r ) ， 掣一雌) ， 缸( f ) = o ，觚( f ) = 0 ，蚬( f ) = o ，a c o ( f ) = o ，巳( r ) = 6 ， a x ( t ) = - - 6 z “) 弘i t ) = 0 。n “) = 0 ，矗“) = 0 ，血。“) = o ， ( n + l - 1 ) r ，z + ( 3 1 ) t 力丁 。 f = ( n + l - 1 ) t ，z + ， t = n t ，刀z + ， 其中 0 0 ( i ) 如果 吩，贝0l i m x o ) = 4 - 0 0 f - 斗+ 引理3 2 2 存在常数l 0 ，对于系统( 3 1 ) 的每个解，当f 足够大时满足 x ( t ) k ，m ( f ) 三，y 2 ( t ) 三，o ) l ，c 。o ) l 证明令v ( t ) = l x ( t ) + y i ( t ) + y 2 ( t ) + c o ( t ) + c e ( t ) 因为_ d r f ( t ) 1 3 x ( r ) ( 1 一塑k 堕、- ， 戈l x = k - o ， 另外o 6 1 ，x ( ，2 丁+ ) x ( 玎r ) ，则 r 一时，x ( t ) k 令d = m t n d ，丫g + m ，h - k ，当f ( n + l - 1 ) t ，n t 时有 掣 厶。吼 其吩鼍产 f 掣“ ，( 州啦l t 渊三豺。+ f - 1 ) 丁) + 6 ，扛 + l 向- 1 ) t 丁, 眦) v ( o + ) e - a t + i ：l 。e - a ( t - ) 虮蝴萎肌扩趴卜伽小。n ， 1 2 辽宁师范人学硕十学位论文 熄郴争+ 筅e 乩 _ + 。 d 。一1 所以y ( ，) 是一致最终有界的因此，由v ( t ) 的定义可知系统( 3 1 ) 是一致有界的证 毕 引理3 2 3 t 1 5 】如果6 1 一e - p 7 成立，那么系统 i d r ( t ) 书( f ) ( 1 一警川， 【x ( r + ) ：( 1 6 ) x ( ，) ， f ：，? 丁， 有唯一一个全局渐近稳定的正周期解 x o ) = i 二言 ! 三器，r ( 咒丁，( 玎+ 1 ) 丁】 因此，如果6 1 一e - 9 r 成立，则系统( 3 2 ) 存在一个天敌灭绝周期解 ( x ( f ) ，0 ，c o ( t ) ，c ：( ，) ) 在本章中，我们假设6 o ，( 与初始值无关) 和有限时间t o ，使得对系 统( 3 2 )每个 正 解 ( f ) ，y 2 ( ，) ，c o ( t ) ，巳( ，) ) 都有当 f t o 时， m x ( t ) m ，m y 2 ( t ) m ，m c o ( t ) m ，m c a t ) m 成立，则称系统( 3 2 ) 是持续 生存的 令 耻而岩k 毒而， ( 3 4 ) ( 丫+ 五p ) ( 仅+ g l ( 6 ，丁) ) 其中 p = 甚g 焉篙- ( g 蔫+ m ) t 南酣，= 警1 - 8 p ( 办一一，z ) ( 1 一p) ( 1 一p 一6 r ) 6 八。一7 一p p r 定理3 3 1 如果孵。 l ，则系统( 3 2 ) 的害虫灭绝周期解( x ( f ) ，0 ，西( ，) ，z ( ，) ) 是全局 吸引的 证明由吼， c ：( f ) 一l p 一1 ( 3 6 ) 由系统( 3 2 ) 的第一个方程我们有 j 警伞( ，一参t ：n t , 瞄+ ， 【a x ( t ) ：6 x ( f ) ， f ：，z 丁，z z + 考虑下面的比较系统 污染环境下一类害虫治理模型的数学研究 i d z ( t ) 乖( 1 一警) ，f 埘，刀z + ， ( 3 7 ) 1 6 z ( t ) ：_ 6 z o ) ， f ：，2 丁，刀z + 根据引理3 2 3 ，我们知道 z(，)=xo)=了二言!器，r(”丁，(胛+1)丁】， 是系统( 3 7 ) 的唯一一个全局渐近稳定的正丁一周期解 根据引理1 2 2 ，存在一个正整数2 和一个充分小的正常数：，满足当 f ( n t ，( 玎+ 1 ) 丁】，玎 2 时 x o ) x o ) + ：i k f ( ：1 吾- i 5 i 丽- e - 9 r ) + ：= t 1 ( 3 8 ) 由( 3 6 ) ，( 3 8 ) 和系统( 3 2 ) 的第二个方程，我们可得到当f 丁+ t 时 鱼攀翌九p 一疵_ 罢l 儿( f 一百) 一( y + 厶( p 一1 ) ) 儿( f ) ( 3 9 ) “l l 十u l l i 考虑下面的比较方程 _ d u ( t ) ：九p 一卉_ ! 旦一“o t ) 一0 + 办( p 一1 ) ) “( f ) ( 3 1 0 ) a l i 十o i , t l 由不等式( 3 5 ) ，我们知道沁诎黑 o ( s 【一c ，0 】) ，由泛函微分方程的比较定理和解的正性，我 们有l i m y ，( ，) = 0 ，- - _ o o 不失一般性，假设0 儿( f ) i ( f ) 一2 ( 3 1 2 ) 令卜佃，联合( 3 8 ) 和( 3 1 2 ) 可知 1 4 辽j 。师范大学硕士学位论文 _ 一一 z ( t ) - 8 2 x ( f ) x ( f ) + 8 2 ( 3 1 3 ) 令g ：一0 ，我们有才( ，) 寸z ( ，) ，所以 工o ) 一2 1 ，我们可以选择正常量聊：，。和2 使得 x q e - 卉旦 丫+ ( 曰+ s 2 ) ， ( 3 1 6 ) 1 + a o 一 和6 o p ( 1 一p 一p 叫2 ) 掣= ( x q e - d 志十编眦m 矿出孙df 小x 仅( o 工两) 耽( 。渺 定义 w ) = 删+ k q e - a 。l 志y ：( o ) a o 依据( 3 2 ) 的解计算y ( f ) 的导数，有 了d v ( t ) = ( k q e - 出志十l c o ( ，) ) 圳-讲 l + 0 【x 【f j ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 儿( ，) 0 ， 存在互