（计算数学专业论文）滞后校正时间离散方法保强稳定性质的研究.pdf

摘要 本文主要研究滞后校正( d c ) 时间离散方法的保强稳定性质，并将其主要应用千经 半离散后的双曲型偏微分方程。我们分别讨论具有二阶，三阶和四阶精度的滞后校正时 间离散方法的保强稳定( s s p ) 性质然后我们给出一个运用s s pd c 时间离散配合加权 本质无振荡( w e n o ) 空间离散方法去解b u r g e r s 方程。 我们如下组织本文：第一章为引言，介绍问题的背景以及本文的主要思路；在第二章 中我们分别讨论具有二阶，三阶和四阶精度的d c 时间离散方法的s s p 性质；最后在第三 章中给出数值算例以及一些注记。 关键词：保强稳定性；滞后校正时间离散方法；加权本质无振荡( w e n o ) 格式；b u r g e r s 方 程 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h es t r o n gs t a b i l i t yp r e s e r v i n g ( s s p ) p r o p e r t yo fac l a s so f d e f e r r e dc o r r e c t i o nt i m ed i s c r e t i z a t i o nm e t h o d s ，f o rs o l v i n gt h em e t h o d o f - l i n e ss c h e m e s a p p r o x i m a t i n gh y p e r b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w ew i l ls t u d yt h es s pp r o p e r t i e s o ft h ed ct i m ed i s c r e t i z a t i o nf o rt h es e c o n d ，t h i r da n df o u r t ho r d e ra c c u r a c y ( 8 = 1 ，2 ，3 ) ， r e s p e c t i v e l y , a n dp r o v i d ean u m e r i c a le x a m p l eo fu s i n gt h es s pd ct i m ed i s c r e t i z a t i o n s c o u p l e dw i t haw e n os p a t i a ld i s c r e t i z a t i o nt os o l v et h eb u r g e r se q u a t i o n ， t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ：t h ef i r s tc h a p t e rp r e s e n t st h eb a c k g r o u n da n dt h e b a s i ci d e a s ；i nt h es e c o n dc h a p t e rw es t u d yt h es s pp r o p e r t i e so ft h ed ct i m ed i s c r e t i z a - t i o nf o rt h es e c o n d ，t h i r da n df o u r t ho r d e ra c c u r a c y ( s = l ，2 ，3 ) r e s p e c t i v e l y ；i nt h el a s t c h a p t e rw ep r o v i d ean u m e r i c a le x a m p l ea n ds o m er e m a r k s k e y w o r d s ：s t r o n gs t a b i l i t yp r e s e r v i n g ；d e f e r r e dc o r r e c t i o nt i m ed i s c r e t i z a t i o n ；w e i g h t e d e s s e n t i a l l yn o n - o s c i l l a t o r y ；b u r g e r se q u a t i o n i n 插图目录 3 1 b u r g e r s 方程初值条件为( 3 ，2 ) t = 0 , 6 n = 4 0 等距节点c f l 数为0 6 左边：三阶的d c 时问离散格式；右边：四阶的d c 时问离散格式实线：真 解圆圈：s s pd c 格式十字：原来的d c 时间离散格式，3 8 3 2 b u r g e r s 方程初值条件为( 3 2 ) t = 2 0 n = 1 6 0 等距节点l 1 误差( 取 对数，以l o 为底) 实线：规则的d c 时间格式；虚线：s s pd c 时间离散格式 左边：三阶的d c 时间离散格式；右边：四阶的d c 时间离散格式，3 9 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名 年月 e t 致谢 本文是在我的导师舒其望教授和张梦搏教授的悉心指导下完成的。 自从二零零四年从我大学四年级保研以来，两位导师在学习和生活 上均给予我极大的关怀和帮助。从指导本科论文将我引入计算数学 的学习开始，到后来研究生学习、硕士论文的选题以及一直到最后 论文成文他们都投入了大量的时间与心血。几年来，导师系统地讲 授了有关计算数学的基本课程，指导我阅读了大量的相关文献，进 而使我进入计算数学研究的前沿领域。他们谦虚的为人、严谨的治 学和对问题敏锐的洞察力让我终身受益。感谢两位导师几年如一 日的辛勤培养，正是他们耐心而不间断的鼓励使我能够坚持完成学 业。 感谢徐岩、鲁亚东、沈俊、张斌、黄玲、夏银华、张瑞等师兄师姐在 学习上给我的帮助；感谢数学系2 0 0 0 级的同学们伴我度过漫长的七 年，有了他们使得科大的生活更加轻松愉快。 最后，感谢我的父母，没有他们在生活上无微不至的照顾和学业 ： 默默的支持我就不可能顺利完成学业。 2 0 0 7 年6 月 第一章引言 本文主要研究双曲型偏微分方程( p d e ) 的数值解法。一个典型的非线性的双曲守 恒律方程即是 t = 一，( 乱) 。( 1 1 ) 通常我们在讨论如上的偏微分方程的数值解时，都是先对方程做空间上的离散，得 到如下的关于时间的常微分方程( o d e ) 组， 地= l ( u ) ( 1 2 ) 方程( 1 2 ) 是从空间上对方程( 1 1 ) 的一个近似这里我们在( 1 1 ) 和( 1 2 ) 里虽然用了同 样的记号珏，但是它们代表的意义是不一样的。在( 1 1 ) 中，u = u ( x ，t ) 是关于z 和t 的函 数，而在( 1 2 ) 中，u = u ( t ) 是一个关于t 的函数( 或者向量) 。在对( 1 1 ) 作空间离散时，我们 一般可以选取的方法有t v d 方法【6 】6 ，w e n o 方法【7 】，以及间断的g a l e r k i n 方法( d g ) f 1 1 。 在本文中，我们总是假设( 1 2 ) 所用的空间离散方法对于一阶欧拉向前时间离散方法 在一个合理的时间约束 下是稳定的，即： 钍“+ 1 = 妒+ a t l ( u “)一( 1 3 ) a t a t o i i ”叶1 l i 0 矿| j 这里”i l 表示某种模或者半模。例如：f 6 】中的t v d 格式，i l 就表示总变差半模。 有时，我们需要对，作另一个近似，即用z 来逼近空间算子一，这样就得到 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 饥= l ( )( 1 6 ) 对于( 1 6 ) ，我们也总是假设：在( 1 5 ) 意义下，其空问离散方法在时间约束_ 卜( 1 4 ) 对一 阶欧拉向后时间离教方法 u n “= 矿一a t l ( u n )( 1 7 ) 是稳定的。 对( 1 1 ) 这样的守恒律方程，算予l 可以通过简单的改变风向来 寻到，这种操作方 法应用在e n o ，w e n o 以及d g 方法的例子我们可以参见【1 1 1 ，【7 】以及【l 】1 。 尽管我们假设( 1 3 ) 在( 1 ，5 ) 的意义下是稳定的，但是它对时间仅有一阶精度。相对于 高阶的空间离散方法，如w e n o ，d g 等，我们希望能有相应的高阶时间离散方法与之匹 1 第2 页中国科学技术大学硕士学位论文 刘媛 第一章引言 配。因此，我们希望为( 1 2 ) 设计一利，高阶的时间离散方法。如果这利一方法住如下的时间约 柬 a t c a t o ( 1 8 ) 下是稳定的。这样的方法就是保强稳定( s s p ) 的时间离散方法，并且我们町以定义 其c f l 数即为c 。 s s p 时间离散方法的发展可以追溯到1 9 8 8 年。f 1 0 j 和f n 】两篇文章分别针对多步法 和r u n g e - k u t t a 法而设计出了高阶的s s p 时间离散方法。在这两篇文章中，这种方法被 称为t v d 时间离散方法。之所以称之为t v d 时间离散方法，因为在讨论稳定性耐用的 是t v d 半模。随后，一般的s s p 时间离散方法开始发展，如p ，4 ，1 2 ，1 3 1 。文章【5 j 则总结 了2 0 0 1 年之前s s p 时间离散方法的整个发展过程。 在本文中我们研究一个最近得到发展的时间离散化方法的s s p 性质，即在f 2 1 2 中所提 出的滞后校正( d c ) 或者半隐式的滞后校正( s d c ) 方法。这个方法的好处在于，这是 一个一步方法( 即：计算n + 1 时间层的值时只需要第n 时间层的结果) ，并且能够容易地 且系统地将之构造到任意阶的精度。相比之下，r u n g e k u t t a 方法非常难构造很高阶的 精度，多步方法则需要更多的存贮窄间以及更难以改变时间步进值a t 重新开始计算。对 于d c 方法线性稳定性，诸如a 一稳定，a ( a ) 一稳定，或l 稳定等性质在【2 ，8 ，1 4 】已得到研究 但是在对形如( 1 1 ) 的具有不连续解的双曲方程设计数值解法时，仅有线性稳定性是不能 保证非线性稳定性质，于是我们希望我们的时间离散方法能有s s p 性质。 在本文中考虑的应用于解( 1 2 ) 的( s 十1 ) 一阶d c 时间离散方法可以如下表示首先我 们取t ( m ) ，m = 0 ，1 ，s ，使得t n = f ( o ) “1 ) ( m ) ( 。) = t n 十l ，将时间 步妒，t n + 1 1 ( 其中t n + 1 = t n + a t ) 分解为s 个子区问记a t ( m ) = t ( 州一1 ) 一t ( - 0 为子时间 步的步长，记u 为u ( t ( m ) ) 的b 阶逼近节点t ( m ) 可以取成等距节点，或者其他的节点， 如c h e b y s h e vg a u s s - l o b a t t o 节点以避免高阶时产生由等距节点上插值而引起的不稳定 性从矿出发，计算驴+ 1 的d c 运算法则如下： 计算初值 u ；0 = 矿 利用向前欧拉差分格式得到节点 ) 毛；l 处的具有一阶精度的近似解u l ： f o r m = 0 ，s 一1 乱p + 1 ) = u ( m + a t ( m ) l 托( m ) ( 1 9 ) 计算校正步 f o rk = 1 ，8 2 1 = 让” 刘媛滞后校正时间离散方法保强稳定性质的研究 第3 页 第一章引言 量b r m = 0 。s 一1 u k ”+ + 1 1 = u 密j + o k a t ( “( l ( u 暨j ) 一l ( 乱) ) + 蠕+ 1 ( ( “ ) ) ， ( 1 1 0 ) 其中 0 艮1( 1 ，1 1 ) 并且珊+ 1 ( l ( u k ) ) 是_ j s + 1 个点( 即，l ( ) ) ：o 关于子区间【t ( ，( m + 1 】的s 阶差值多项式 的积分，也就是积分 仁“砌肌 ( 1 1 2 ) 的一个逼近。 最后，, n + 1 = “翌l 。 上面的算法中，以= 1 的情况在【2 ，8 l 已经讨论过。在【1 4 1 中，格式发展为带有参 数0 0 k 1 ，这一项的增加仅仅是为了增强格式的线性稳定性，对参数以的选取并不影 响格式的精度。 在本文中，我们分别讨论具有二阶，三阶和四阶精度的d c 时间离散方法的s s p 性 质。然后我们给出一个运用s s pd c 时间离散以及【7 中w e n o 空间离散的数值例子去 解b u r g e r s 方程。最后我们给出一些结论。 第二章滞后校正时间离散方法保强稳定的性质 2 1 二阶的滞后校正时间离散方法 对于二阶的滞后校正时间离散方法，即：s = 1 。此时，时间区间【t ”，p 】中没有子区 间。我们可以给出d c 格式的显示格式如下： u ( 1 = 矿+ a t l ( u ”) 乱n + - ：矿+ 互1 t ( l ( 乱n ) + l ( 扎 ) ) 2 1 注意到格式( 2 1 ) 即为【1 1 1 中给出的最优的二阶s s pr u n g e - k u t t a 格式，并且文章 【4 】中还证明了此二阶格式在所有的二阶r u n g e - k u t t a 格式中是最优的。所以，对于格式( 2 1 ) ( 1 8 ) 中的c f l 数为1 。 尽管【4 ，1 1 】已经讨论了格式( 2 1 ) 的s s p 性质，这里我们还是再一次给出我们的讨论过 程以说明我们的在文q 所用的处理方法。本文t 一所用的方法与f a 2 q , 讨论s s pr u n g e - k u t t a 格式所用的方法一样。格式( 2 1 ) 的第一个等式已经是向前欧拉格式的形式，所以我 们只需要将( 2 a ) e o 的第二个等式转化为向前欧拉格式的凸组合即可。由此，我们取任意 的。1 ，0 2 ，使得 a 1 0 ，q 2 芝0 ，o t l + o l 2 = 1 ，( 2 2 ) 然后我们将( 2 1 ) 中的第二个等式等价写为 t ，+ i ：a 1 矿+ j 1 t l ( 矿) + n 2 u n + 互1 l ( “i 1 ) 再将锄扩这一项中的矿用由( 2 1 ) 第一个等式得出的矿代换就得到 1 锄- + 等龇，) 怕( 斗k 1 蚍1 ) 。， 显然( 2 3 ) 是两个向前欧拉时间离散格式的凸组合。根据我们前面所给出的假设，在( 1 5 ) 意 义下，一阶的向前欧拉时间离散格式在时间步长约束( 1 4 ) 下是稳定的，则格式( 2 3 ) 在如下 的时间步长约束下也是稳定的， 1 厩s a t o 第6 页中国科学技术大学硕士学位论文 刘媛 第二章滞后校正时间离散方法保强稳定的性质22 三阶的滞后校正时间离散方法 由此我们可以知道如果要求格式( 2 1 ) 在时间步长约束( 1 8 ) 下是s s p 的，n ( 1 8 ) 中的c 最大 可以取为 一n 急，z 。2 ) ( 2 4 ) 这里q l 和0 2 是满足条件( 2 2 ) 的任意数。我们可以通过解如下的优化问题来确定c 的取值 可以参见 1 2 】 其约束条件为( 2 2 ) 以及 c = n l a xz ( a l ，0 2 2 a l 。( 1 2 c e 2 ) ，2 a 2 z ( 2 5 ) ( 2 6 ) 然后，我们选取用m a t l a b n 内部程序f m i n i c o n 来解优化问题( 2 ，5 ) ( 2 6 ) ，其结果恰 为：当a l = 0 2 = 时，c = 1 。这就与【4 】中所得的结果一致。当然，因为我们所需解的模 型很简单，所以没有必要一定用m a t l a b 来解。但是到了高阶的d c 格式时，需要解的模型 相对要复杂很多，那时m a t l a b 程序将会给我们带来很多方便。 注记2 1 1 我们将偿j ，中的第二个等式改写为等价形式偿彰的唯一目的即是计算格 式偿j j 的c ! f 擞，讨论它9 7 s s p , i g 质。但是在实际的计算中，形式比较简单的俾j ，更容 易操作 2 2 三阶的滞后校正时间离散方法 对于三阶的滞后校正时间离散方法，即：s = 2 。此时，在时间区间陋”，t ”+ 1 】内有一个 分点，将其划分为两个子区间，由于对称性，该点就取在妒，t “+ 1 】的中点t 于是我们有 t ( 0 ) = f n ，p = 矿+ a t ，一= t “+ 1( 2 7 ) 刘媛滞后校正时间离散方法保强稳定性质的研究第7 页 苎三兰堂生堡垩堕望苎堂查兰堡堡堡查竺些堕! ! ：! 三竺竺堡墨竺垩堕望墨堂查查 这样，我f f 缸i 1 ) = 矿+ 】可以得到三阶d c 时间离散方法的显示格式： u p = 1 + 互1 t l ( i 1 ) u 9 = 矿+ ；t ( 主l ( 矿) + ；l ( u 1 ) 一壶l ( u ( 2 ) ) ) = u n ；吣t ( l ( 札 ) 一l ( u i l ) ) ) + u ( 1 ) = u n g - i 1 t ( 丧渊+ ；稍) ) - u n + l + t ( 狮5 1 ) ) 一l ( 毋，) ) + l ( “) + ；l ( u i u ) + 毫l ( u ( 2 ) ) o ( u “) + 孑( 毋) + 为便于我们的讨论，我们将格式( 2 8 ) 写为如下的等价形式 u i l ) _ 矿+ m n ) 乱：2 ) = 让h 尹1 耐1 ) 牡1 1 ) = 乱”+ 互1 t 5 产( u “) + 吾2 l ( u p ) 一西1 己( u p ) ) 乱乎= u n + 乱擎) = 矿+ 2 b i a t ( 二c “) ，一三c u ( 1 ) ，) + ；t ( c 牡”，+ 5 4 l c u 1 ，+ j l l c “( 2 ) ，) 2 9 ；t ( 主l c “，+ 百2 l c “，一西i 己e 毋，) 扩+ 1 = 矿+ 尹1 。t ( l c u ，一l c 毋，) + 互1 t ( ；l c u “，+ 百4 l c 毋，+ ；l c 札乒，) 和二阶的d c 格式一样地处理，我们需要把格式( 2 9 ) 中的每一个等式都改写为向前( 或 者向后) 的欧拉时间离散格式的凸组合。( 2 9 ) 中的前两个等式已经是向前欧拉格式的形式， 显而易见，为保证它们是s s p 的，其c f l 数最大可以取到c = 2 。于是，我们只需把( 2 9 ) 中 剩下的关于u ，让孑，乱 和矿+ - 的等式改写为向盼( 或者向后) 欧拉时问离散格式的凸组 矿 ，l l 1 2 8 、矽q 学“ 5 一心，一地、一心 厂r，一、 ，迪，泌洳 第8 页中国科学技术大学硕士学位论文 刘媛 墨三兰堂重堡兰堕望查整童竺竺丝兰兰竺兰竺 墼兰三竺竺丝量竺兰些望童兰童兰 =；=一一 合即可。为叙述的简洁，我们这里只给出( 2 9 ) 中最后一个等式，即关于矿+ 1 的等式的处理 过程，其他等式的处理与之相似。 萏先，我们选取 。呈l 0 ，。箍0 ，一3 2 , 3 o ，o 毁20 ， a 毁+ 口露+ n 嚣+ q 珏= 1 ，、( 2 l o ) 以及 础0 ，凡3 ( 2 , 2 0 ，鹰譬0 ，3 。( 2 ，。) + 艘+ 属碧= d 嚣， ( 2 1 1 ) 然后( 2 ，9 ) 中最后一个等式的右边第一项扩就可以等价地写为 矿： 毁+ 口缝+ 。嚣+ a 鳃) 矿= ( 础+ 趔+ 础+ a 嚣+ a 爨+ 口数) 扩 再将“n 用由( 2 9 ) 中的等式得出的结果作替换，最后我们得到 矿+ l2 为简 p 十( 茹5 峨1 烀翱一独l a s ( 2 ，s ) ) + a 器“拿，+ ( ；一z 一t n 嚣一j i 。毁) t l c u ， + p + ( ：+ 斋象) 舭潜) + p 十 + 陋+ ( 勰一拶2 一劫) 蛳i l + p + ( 去烀斗似掣， 1 a t l ( u ”) l j 1 纪( 缸 ) i ( 2 1 2 ) j a 数：a 恐，。毁：q 器，n 绁= q 毁，。毁= 詹3 , t ，n _ ：i = 础，。毁= 删( 2 1 3 ) 以及 6 毁= 啦= 6 揪= ；一尹1 。一妒1 。嚣一百1 。嚣，a 毁= 石1 + 斋器， ，。5 ：2 ：2 ；石1 一h 2 43 , 2 一翱一刍毁扫可i r s ( 2 如) 皿 一缨+ 矽1 。嚣一嚣一：i d ( 2 ) ，。毁= 刍a 嚣一撼 划媛滞后校正时间离散方法保强稳定性质的研究第9 页 第二章滞后校正时间离散方法保强稳定的性质 5 22 三阶的滞后校正时间离散方法 这样，等式( 2 1 2 ) 可以记为 矿+ 1 = ( 嘏谚+ 啦t l ( 谚) ) 幻 同样地，我们可以得到 这里 其中 以及 这里 其中 以及 这里 毋= ( ；巧+ 蟛i t l ( ) ) n 料= 气a o ，) ，d i ： = o 罐， 6 ：2 7 = 甄5 一互1 。裟一1 2 a 。o ) 口黜0 ，a 壤20 ，。o r 2 ( 1 3 ) 0 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 1 ( 2 1 7 1 ) 6 韶= 一甄 q 搿+ 吐器+ o = 1 ( 2 1 8 ) 毋) _ ( 啦+ 螵t l ( 矽) ) ；j ( 2 1 9 ) 。攫= o 纽，n 键= 口暴，o 镪= 血器，。缨= q 毁， 。犯= ：一翱一翱一夏5 。器，。i 2 = ；一：0 1 - ；毁7 1 毁， ( 2 z 。) 啦= ：+ 甄1 8 毁，峨= i 1 巩 d 器0 ，a 2 2 , 2 0 ，趟碧2o ，口毁0 ，d 累+ n 象+ 8 器+ 口2 = 1 ( 2 2 1 ) 罐) - ( j 蟛+ 螵也( ) ) j n 器= 属1 2 ，n 蠕= 砖2 ，o 镶= 风x ， 6 器= 甄5 一三2 4 j 3 , 。，一_ “3 1o 3 - ) 独一弘l n 0 。) ， a 器= 务器一石1 血撄，。暴= ；一尹1 ，a 堪 ( 2 2 2 ) n 器= 口攫，n 爨= o 嚣， 。：= 尹1 。一3 c n , 3 一浆一嚣一互i 心n ( 加0 嘲= 一面1 ( 2 2 3 ) 第1 0 页中国科学技术大学硕士学位论文刘媛 第= 章滞后校正时问离散方法保强稳定的性质2 ，2 三阶的滞后校正时闾离散方法 其中 并且 o 2 0 ，一3 0 , 2 20 ，a 器0 ，o 2 + a 浆+ a 撼= 1 ( 2 2 4 ) ，f 1 3 a ( 1 ，1 ) 0 ，f 1 3 a o ，2 ) 0 ，瞒x 0 ，f 1 3 0 1 ) 4 - a ( 1 ) + 瞒2 = q 2 ( 2 2 5 ) 如上所示，我们就把格式( 2 9 ) 中的每一个等式都等价地改写为了向前( 或者向后) 欧 拉差商格式的凸组合其中到底是向前欧拉格式或者向后欧拉格式由( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 9 ) 和( 2 2 2 ) 中气b j ( o & 的正负决定由式中气b j ( i k ) 的形式我们容易看出，6 浆，碹x ，6 昂以及蟛在任何 情况下都是非负的，而6 搿和6 要非正，余下的6 矬的正负未定，这样我们在利用m a t l a b 做 优化问题时就有了很多种选择，即我们可以使这些正负未定。f i , t 。h ( ，o 。，5 h 。正数也可以使它们为 负数根据我们对向前欧拉差商格式( 1 3 ) 和向后欧拉差商格式( 1 7 ) 所做的关于稳定性的 假设( 1 5 ) ，我们需要在6 缎为负数时将其对应的算子l ( u ：1 2 _ ) 替换为l 矬) ，以保证当我们 选取c f l 数为下述目标模型所得的解时，格式( 2 9 ) 在修改后的时间约束( 1 8 ) 下是s s p 醮j 。 嘞 j ll b ”：il 其约束条件为( 1 ，1 1 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 2 1 ) ，( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 和【1 2 】的处理方法一样，我们将上述模型等价写为： c =m a xz 心：，班 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 其约束条件为( 1 ，i i ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 2 1 ) ，( 2 2 4 ) 以及( 2 ，2 s ) ，并且，对相关的t ，j a n dk 有， 壤z 嘤 ( 2 2 8 ) 再通过m a t l a b 的f m i n c o n 程序即可求出当c 达到最佳解时，参数蜞，趟：，2 以 k o k 的取值，进而判断相应的，b ( o 。k 的正负正如前文所讲，当啦为负时，我们把它所对应 刘媛滞后校正时间离散方法保强稳定性质的研究 第1 1 页 第二章滞后校正时间离散方法保强稳定的性质22 三阶的滞后校正时间离散方法 f f l l ( u j 一, k ) 替换为三( “羰) ，即得到在c f l 条件( 1 8 ) 下酌最侍s s p 格式为 u = 铲+ l ( 矿) u 1 2 ) = u h 地i 1 ) u 妒= ( 。耖+ b i ! b t r u ) ) + i a o ) “i l + b p j & t l ( i ”) ) + 斗n6 ! ：2 t z ( u u 尹= ( o 镪矿+ 6 铭t 三 ”) ) + ( n 铭札i ”+ b i p , t z ( u ( 1 ) ) ) + ( n 是i 2 ) + 6 撄己o 【2 ) ) ) + ( 。暴缸+ b ( 2 1 2 i $ 1 ( u ( 2 1 ) ) 毋= ( 。器“+ 6 ! ：! ；z ( 矿) ) + ( n l u i d + 6 i 兰儿( 乜p ) ) + ( 铭让p + 6 终z ( u p ) ) + ( 胡乱+ 啦t l ( u ( 1 ) ) ) + ( n 暴札+ b 暴a t l ( u 尹) ) 矿+ 1 = ( 。毁矿+ 6 钮舭( 矿) ) + ( 。蹬“p + 6 i l z ( u ；u ) ) + ( n 铭“p + 6 铭z ( 让p ) ) + ( a 毁u 妒十6 毁儿( u ) ) + ( n 毁u 1 2 ) + 6 毁l ( n 尹) ) + ( 。毁u + 峭t l ( u 5 1 ) ) ) 其中，壤，。b ( o ， 由( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 7 ) ，( 2 2 0 ) 和( 2 2 3 ) 所定义，且 q 毁= 0 2 9 1 2 口爨= 0 2 4 5 3 础= 0 2 6 8 6 砖薯= 0 0 8 1 1 口= 0 2 9 1 1 ， a 5 ；1 2 = 0 5 0 2 6 ， a 毁= 0 2 4 5 7 ， 砖黧= 0 1 1 2 0 ， o 缨= 0 , 1 3 7 4 ， a 避= 0 , 3 6 6 4 ， a 恐= 0 0 0 0 0 ， a 昱= 0 , 0 7 3 6 ， p f l ：o ) = o 1 2 8 4 ， ( 2 3 0 ) q 器= o 2 4 3 5 ， o t = o - 8 3 9 3 ， 如= o ，7 8 8 4 此时，格式( 2 2 9 ) 一( 2 3 0 ) 的c f l 数为c = 1 2 9 5 6 。于是，我们就证明- f 女n t g n 。 定理2 2 1 当c f l 数c = 1 2 9 5 6 n ，三阶的滞后校正时间离散格式偿2 9 ) 一偿，3 0 ) 在时间步 长约束以印下是保强稳定的。 尽管格式( 2 2 9 ) 一( 2 3 0 ) 的c f l 数相对较大，但是此格式需要计算1 0 个l 或l 而【4 ， 1 1 1 中给出的三阶的s s pr u n g e k u t t a 方法，只需要计算3 个l a p 有c f l 数为1 。相比之下， 三阶的s s pd c 格式( 2 2 9 ) 一( 2 3 0 ) 效率低些。当然，由于我们运用t m a t l a b 中的内部 函数，所以并不能保证这样的一个结果就是理论上c f l 数能达到的最佳值。故定理2 2 1 给出的是一个能保证格式是s s p 的c f l 数的下界，也许格式在一个较大的c f l 数下也可 以保持s s p 性质的。 如果我们在解优化模型时的目标是尽可能少的计算工或者厶则我们必须要求那些 正负未定的b 垃尽可能多地为正。这样，我们利用m a t l a b 计算可知，至少需要计算9 个l 2 2 y i中国科学技术大学硕士学位论文 刘媛 第二章滞后校正时问离散方法保强稳定的性质22 三阶的滞后校正时阀离散2 - 法 或z ，优化模型才会有解。也即，格式至少要计算9 个l 或z 才能是s s p 的。根据这样的结 果，我们得到的格式为 帮= 矿+ 尹1 l ( 矿) 锃( 2 ) ：。 1 ) + 产1 酬1 ) = ( 。镏矿+ 6 嚣龇( 矿) ) + ( 。泓1 + b i ) a t l ( 缸i l ) ) ) + ( 。豫u 1 2 ) + 6 错t z ( u p ) ) 甜尹= ( 。5 1 2 ；! 矿+ 6 犍龇( 矿) ) + ( 。l 埘+ b 1 2 a t l ( “i l ) ) ) + ( 。镪“阶噶龇( “+ ( 缨札+ 嘲t l ( u 哟 仳5 1 ) = ( 。5 ： ：；矿+ 6 ；：2 ：j 比( 矿) ) + ( n 撄i 1 + 6 i ：3 t l ( “i 1 ) ) + ( 。器u p + 6 器纪( u ( 2 ) ) ) + ( 。2 j u 妒+ b 5 1 ) 3 a t l ( 札) ) + 0 器u + 6 器z 尹) ) i t n + l = 扩+ 弼蚴) + ( 。；纠+ b ( 。1 ) a t 酬1 ) ) + ( 。辫_ - h c 2 ) h t z ( 钍( 2 ) ) ) + ( 0 毁毋+ 。b 。( d 一a t l ( “5 1 ) ) ) + ( 嘏u 垆+ 6 毁t l ( u 尹) ) + ( 0 毁毋十b 一。( 1 ，) a t l ( ) ) 其中系数蜞和蜞由( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 7 ) ，( 2 2 0 ) 和( 2 2 3 ) 定义，并且 。黜= 0 5 8 3 3 ， 。爨= 0 1 6 5 0 ， 删= 0 1 5 5 0 ， 础= 0 2 8 2 7 ， a 墨= 0 2 0 4 1 ， a 瓣= 0 6 2 6 6 ， 嘏= 0 3 6 5 4 ， 趔= 0 0 6 0 2 ， o 舞= o 4 3 1 0 ， 8 爨= 0 3 0 6 5 ， o 鲤= 0 0 5 9 3 ， o 纽= o 0 0 0 0 ， 础= o 3 6 0 3 ， ( 2 3 2 ) o 嚣= 0 1 6 5 2 ， 、 0 l = 0 8 9 9 0 ，0 2 = o 9 1 1 5 此时，格式( 2 3 1 ) 一( 2 3 2 ) 的c f l 数为c = 0 8 9 9 0 。显然地，此格式相比于格式( 2 2 9 ) 一 ( 2 3 0 ) ，有一个比较小的c f l 数，而它却只比( 2 2 9 ) 一( 2 3 0 ) 少计算了一个l 或者z ，所以此 格式的效率较之更低。 现在我们来讨论一下【2 ，8 1 中所给出的d c 时间离散格式，也即格式( 28 ) 中的日l = 刘媛滞后校正时间离散方法保强稳定性质的研究 第1 3 页 第二章滞后校正时问离散方法保强稳定的，f 生质 2 2 三阶的滞后校正时问离散方法 0 2 = 1 的情况。用类似的处理方法，我们可以得到格式 让! l = “+ 二圮( 矿) u # = u i l + ；a t l ( 钍i l ) “妒= ( 。器矿+ 6 船t z ( 扩) ) + 毋= ( 。( 1 0 ，2 l nj _ h ( o ) a + y 、“) ) + + ( d 铭( 2 + 6 铭纪 ( 2 让5 1 ) = ( o i ( 0 3 ) u nt 飞( 0 3 ) u - u n ) ) + + ( 龆让+ 6 暴t l ( 让 矿+ 1 = ( 。5 1 2 ：矿+ 6 毁t z ( 矿) ) + + ( 端毋+ 。b 2 0 ，4 ) a + t t o 。2 0 ) ( 。i i ( 啦 ) ) + ( 。嘤 ) ) 十 f 。i l ) ) + u h 6 i ：2 龇( “：1 ) ) + ( 。错乱p + 6 f j 三( u 踟 札i 1 + 6 ( 2 三( “ 1 ) 1 ( o 犍u ? + 础l ( 乱n ) u l d + 6 i 2 地) ) + ( n 铭( 2 ) + b ；2 ) a a t l ( u 2 ) ) ) ( o 踟孑+ 嘲t z ( u 字) 1 扎p + 6 i 1 2 t z ( u ( 1 ) ) ) + ( 。罐乱( 2 ) + b ) 4 a t l , ( “p ) ) ( 。毁“黔峨龇( “+ ( 。戥“5 1 ) + 6 5 ；：2 圮( u 5 1 ) ) ) ( 2 3 3 ) 其中系数螟a n dv j b j ( 0 ，km ( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 7 ) ，( 2 2 0 ) 和( 2 2 3 ) 给定，且 趣2 - 0 3 3 3 3 ， o 魏= 0 1 9 7 7 ， 础= 0 2 1 2 4 ， 船= 0 0 5 7 7 ， o 翘= 0 3 3 3 3 a 措= 0 5 6 3 6 。撼= 0 1 7 4 2 艘= 0 0 8 7 2 趔：o 1 4 0 5 a 避= 0 2 5 5 2 n 曼= 0 1 0 9 2 趔= o 1 4 0 5 ， 篓三裟： 仁s a ， 0 1 = 1 0 0 0 0 0 2 = 1 0 0 0 0 此格式的c f l 数为c = 1 0 4 1 1 。然而，它需要汁算1 1 个l 或三，所以，相比于格式( 2 2 9 ) ( 2 + 3 0 ) ，它的效率较低。 同时，我们也讨论在0 1 = 0 2 = 1 时，格式为s s p 时所需要计算最少l 或者z 的数目。 结果显示，我们至少需要计算9 个三或三。所得格式的形式与( 2 3 1 ) 一致，其中的系数。接 和6 矬由( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 7 ) ，( 2 2 0 ) 和( 2 2 3 ) 给定，并且 趔= 0 5 8 6 6 ， o 爨= 0 1 1 7 0 ， 砖2 = 0 1 2 9 8 ， 础= 0 2 9 4 5 ， 一2 ( 1 , 2 ) = 0 2 0 5 8 a 辨= 0 6 1 3 3 3 ( 2 , 1 ) = 0 3 7 8 6 艘= 0 0 5 9 9 此格式的c f l 数为c = 0 6 4 9 1 。 口翁= 0 4 7 7 3 ， a 避= 0 3 1 1 2 ， 瑶= o 1 7 9 9 ， 口疑= 0 0 8 1 1 ， 趣3 ( 0 = 姐0 3 5 3 5 。，, ( 。删 0 1 = 1 0 0 0 0 ，口2 = 1 0 0 0 0 第1 4 页中国科学技术大学硕士学位论文 刘媛 第二章滞后校正时目离散方法保强稳定的性质 s 2 2 三阶的滞后棱正时间离散方法 最后，我们讨论三阶d c 时间离散格式( 2 8 ) q 0 2 = 0 的特殊情况。之所以此情况比 较特别，是因为在如= 0 时，我们不需要计算n ，于足就会少计算一个三或者三。类似 地处理方法使我们得到格式 乱i 吒矿+ m n ) 钍( 2 ) = 让h 狮i l ) 缸= ( 。跚铲+ 6 钮t 三( 矿) ) + ( 。蹬u i ”+ 磷l i 纪( 让；”) ) + 让5 2 ) = ( 。i ；2 矿+ 6 躁 三( 矿) ) + 豇：1 ) + 6 ：2 f 三( “i 1 ) ) ) + ( n 是“p + 6 铭圮( “c 。2 ) ) + ( 。撄u ! 1 ) + 6 韶l ( u 2 ) 矿“= ( n 毁矿+ 6 豫e ( 矿) ) + ( o i l 2 “i 站+ 6 滋z ( 札i d ) ) + + ( o 毁u 尹+ 6 毁l ( u ) ) + ( 。毁u 尹+ 6 毁儿( “妒 其中系数识a n d 蠼：由( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 7 ) 和( 2 2 0 ) 给定，且 0 1 2 = 0 , 3 2 3 8 ， a 终= 0 1 7 7 4 ， 础= 0 0 7 5 7 ， 口敬= 0 3 2 3 7 q 要= 0 2 8 2 5 硼= 0 2 0 3 8 嘏= 0 1