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一类非线性泛函的最小元 中文提要 中文提要 本文研究一类非线性泛函最小元这类泛函是一维含杂质超导模型的 g i n z b u r g - l a n d a u 泛函当g i n z b u r g - l a n d a u 参数趋于无穷时的极限这个泛函 在不同的参数条件下具有多个临界点，我们给出了判断这类泛函临界点是 最小元的一种方法，并且在不同的参数条件下得出了最小元的准确数目 关键词：g i n z b u r g - l a n d a u 超导模型，对称解，最小元 作者：杨丹瑜 指导老师：余王辉 m i n i m i z e r so fak i n do fn o n l i n e a rf u n c t i o n a l s a b s t r a c t m i n i m i z e r so fak i n do fn o n l i n e a rf u n c t i o n a l s a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo nt h e 删z e r so fak i n do fn o n l i n e a l f u n c t i o n a l s t h sk i n do ff u n c t i o n a l si st h el i m i to fo n e - d i m e n s i o n a lg i n z b u r g - l a n d a u m o d e lo fs u p e r c o n d u c t i v i t yw i t hn o r m a li m p u r i t yi n c l u s i o na st h eg i n z b u r g - l a n d a u p a r a m e t e rt e n d st oi n f i n i t y t h ef u n c t i o n a l sh a v em o r et h a no n ec r i t i c a lp o i n t s 盼 c o r d i n gt oy r l i o t l 8c o n d i t i o n so fr e l a t e dp a r a m e t e r s w 毫e s t a b l i s ham e t h o dt oi d e n t i f y t h em i n i m i z e r sa n df i n dt h ee x a c tn u m b e ro ft h em i n i m i z e ro nv a d o u sr e l a t i o n so ft h e p a r a m e t e r s k e y w o r d s ：g i n z b u r g - l a n d a um o d e lo fs u p e r c o n d u c t i v i t y , s y m m e t r i cs o l u t i o n m i n i - m i z e r i i w r i t t e nb yy a n gd a n y u s u p e r v i s e db yp r o f y uw a n g h u i y ，9 5 7 0 8 8 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任 研究生签名：奄蜘殖日期：三! 堡兰：堂 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作都、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：4 塑里日期：竺! ：! ：! ! 导师签名：链日期：型：丝夥 i 类非线性泛函的最小元一引言 一引言 本文研究变分问题 f ( 6 ) = 。e r a 础i 【0 n 州f ( n ) ， ( 1 - 1 ) 的解，其中 f ( 口) ：2 厂( 一 ) 2 一厂陋 l - - a 2o ) 】。， ( 1 2 ) j o j d h 0 1 0 ，们= 如h 1 【0 ，1 i la ( o ) = o ， ( 1 3 ) 这个问题与一维含杂质g i n z b u r g - l a n d a u 模型有关设总长度为2 7 的一 个超导材料薄膜，其中导体材料长度为2 d ( d 1 ，0 h 霉； 情形2 ，0 材 1 ，0 0 ； 情形3 ，0 h d 1 ，0 入。，使得 1 ) ，如果0 7 一d 西l ，则f ( d ) 有唯一的最小元口( z ) = h x ； 2 ) ，如果7 - d = 以a - ，则f ( a ) 有两个最小元，一个是直线解d ( z ) = i l z ， 另一个满足e ( d ) ；m ( 0 m m 1 ) 和( m ) 西- ，则f ( 口) 有唯一的最小元，且满足口7 ( d ) = m ( 0 m m 1 ) 和( m ) h ，使得 1 ) ，如果0 1 一d 而2 ，则f ( a ) 有唯一的最小元，且满足口，( d ) ，h ) ； 2 ) ，如果7 - d = 面2 ，则f ( 口) 有两个最小元，一个满足( d ) p ，h ) ， 另一个满足n ，( d ) = m ( 0 m 仇1 ) 和a 7 ( m ) 以b 则e ( a ) 有唯一的最小元，且满足一( 回= m ( 0 i n m 1 ) 和( m ) 0 啃形3 】：f ( 有唯一的最小元口( z ) ，且 1 ) ，如果7 一d 以岛，贝! | m i 口， 协，则0 口，( d ) m 1 。 l 在第二节我们将给出一些基本的已知结果，这些基本结果将在第三节中 用来证明定理一；在第三节中我们将主要通过仔细计算泛函r ( a ) 的有关一 阶导数和二阶导数，得出f ( a ) 的最小元的必要条件，并结合考察f ( 口) 在函 数a = a ( m ) 的图像的各单调分支上增减性，最终给出定理1 的证明 4 一类非线性泛函的最小元 一 引言 f 尻 知 0“i 图1 ( 情形1 ) ：积之ia n do 矗 呼 a !j、 芦1z 岛 弋一7 l m 图2 ( 情形2 ) ：0 矾 l ，0 0 = a 压= 晶 图3 ( 情形3 ) ：o 矾 l ，o 0 ，0 0 ，( z ) h ，a s p ( z ) 0 ，z 【d ，们( 2 1 ) 因为a ( m ) 与u c m ) 分别是定义在d ( a ) 上的多值函数，且p ( m ) c ( o ，+ o o ) ， a ( r n ) c ( 0 ，- i - c l o ) ，我们记 日( a ) = m d ( a ) i d ( m ) 是单点) ，( 2 2 ) d h ( a ) d ( a ) 一d 。( a ) ( 2 3 ) 为方便起见，当m d | ( a ) 时，我们仍用a ( m ) 和弘( m ) 表示集合中唯一的点 若o ( z ) 是( 1 7 ) 的解，则由姚【1 9 1 的结果，下述结论成立： 1 ) ，当m 兰a t ( d ) d ( a ) 时有 0 ，n ) “骨枷) = 等铮嘶) 叫m ) ， ( 2 - 4 ) 0 m d = n ( d ) o ( z ) 口( 7 ) = p ( m ) = 、1 一、厕 1 ，z ( d ，7 ) 。( 2 5 ) a ( 厕2 丽两高南， ( 2 e ) a ( m ) c 。( 取( a ) ) ，p ( m ) c 。( 玩( a ) ) ， ( 2 7 ) 0 g ( m 2 ) 1 ，0 m ； ( 2 8 ) 这里。铮”表示“当且仅当”，9 ( s ) 三2 s + 【1 8 d 2 1 2 2 2 是( 1 9 ) 所定义的 函数 6 一类非线性泛函的最小元 = 一些记号和已知结论 2 ) ，当m 兰( d ) ( a ) 一 吣时，有m = m l 或砌，且 g 旧) = o ，o r r t i j 1 ， ( 2 9 ) u c m , ) = 【l ，+ 。o ) ，a ( 他) = 慨，+ o o ) ，( 2 1 0 ) 口( z ) 1 = 口( 弘+ d ) ，n ，( z ) 三h ，z 、私+ d ， ( 2 1 1 ) ( 们= h 铮o 芝1 错7 弘+ d ，( 2 1 2 ) 其中佻和屈( = 1 ，2 ) 由( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 给出 3 ) ，当m 三! n 7 ( d ) = h d m ( a ) ，o ( z ) 兰 z 对于多解情形，函数a a ( m ) 的图像由多个关于a 的单调分支组成( 见 图1 、图2 和图3 ) 为了便于讨论，我们需要对这些单调分支给出标记 记 a - 兰 ( 仇，a ) i a = a ( m ) ，g ( m 2 ) 0 ，( m ) o ) ，( 2 1 3 ) a ：暑 ( m ，a ) i a = a ( m ) ，矿( 仇2 ) 0 ，a ( m ) o ，( 2 1 4 ) a + 三 ( m ， ) i a ；a ( 竹0 ，g ( m 2 ) o ) ，( 2 1 5 ) 凡兰( 仉a ( 佻) 一t 仉) 慨，+ o o ) ，如果仉0 i m ( a ) ，汪1 ，2 ( 2 1 6 ) a h 三 h ) a ( ，1 ) = 危) ( 0 ，+ o o ) ，如果h z ) m ( a ) ( 2 1 7 ) 这里m l ，m 2 ，历和岛由( 1 1 1 ) - ( 1 1 2 ) 定义 根据姚【1 9 】和余【手裥的结果，我们有： 情形1 t ( m ，a ( m ) ) l m d ( a ) = a - u a ：u a lu a ； 情形2 ： t ( m ，a ( m ) ) l m d ( a ) ) = a - u a ! u a l u a 2 u a + ； 情形3 ：“m ，a ( m ) ) j m d ( a ) ) = a - u a 2 u a + ，m 2 一m 1 7 一类非线性泛函的最小元 二一些记号和已知结论 。一_ _ _ - _ - _ _ _ _ - - _ - - _ - _ _ - _ _ _ ，_ _ _ _ 一 ( 参见图4 ) 注意，在a - 和a + 上，( m ) 0 ；在a + 上，( 仇) 0 ； ( m ) = 0 的点m 是a ( 仇) 的严格极小元此外，在a 。、a 2 和“上，函 数a = a ( m ) 的图像是随a 趋于无穷的半直线；在a 二上，当m 0 时， a ( m ) - + o o a 图4 ( 情形2 ) ：o d h 1 ，o 0 为了计算泛函( 1 1 ) 在其临界点上的一阶和二阶导数，我们需要对( 1 7 ) 的解关于参数m 求导我们用o ( 曩m ) 表示( 1 7 ) 的解，用。击”表示关于 m 的偏导数，用“”表示关于霉的偏导数则根据常微分方程初值问题关 于参数的连续可微性，容易验证 口口，口，嘉，丽o a * 删f d ，7 1x ( o ，h 1 ) ， 筹，( 鼢，口，删阶啪1 吲， 这里x 兰t ( 耳m ) p ，7 】( o ， 】i 口( z ，m ) = 1 8 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 一类非线性泛函的最小元 二些记号和已知结论 记6 ( z ，m ) 三掣，c ( z ，m ) 兰口，( 毛m ) ，则6 ( 墨m ) 是如下初值问题的解： 6 ，= ( 1 3 a 2 ) 日( 1 一0 2 ) 6 ，z p ，1 ，m ( o ， j ，口1( 2 2 0 ) b c d ) = 1 ，6 ( d ) = d ， 这里日( s ) 是h e a v i s i d e 函数 类似地，c ( 置m ) 满足 耶) ；f1 ，崆o 【0 ，s 。； 盟型掣：一娲( 存) ( m ) ，当m 见( a ) d m 这里n ( a ) 是a ( m ) 的单值域( 见( 2 2 ) ) 1 0 ( 3 , 2 ) ( 3 3 ) 一类非线性泛函的最小元 三主要结果的证明 证明：由户( m ，7 ) 的定义，有 =门) 一h i r i m 2hi2出一f【m雌一a2，o】2dxj0 ( 3 1 4 ) ，7 ) = 【d ，( z ) 一2 出一【m a x l 一( z ) ，o 】2 ( 3 4 ) j d 由o ( d ) ；仇和a i d ) = m d ， 因此， 声( m ，7 ) = 2 h 2 g , + 2 m 2 d 一4 胁( 7 ) + 2f i o z ) 】2 如 ，4 一f m 邮_ n 2 ( 破。 2 如 ；丽o f ( m = 蒯_ | i l 关( 7 ) + fn ，( z ) 篆( z ) 如 + z 如) m a x 1 - - a 2 ( 巩o ) 熹( 啦 = 删一| i l 丽8 a ( 7 ) + f n 扛) m a x 1 8 2 ( 巩。卜( z ) ) 袅( z ) 如 + 0 ，( 7 ) 袅( ，y ) 一a ( d ) - - 筹i d ) ： d ，n ) 一 j 黑( ，y ) 即( 3 2 ) 成立 如果m d l ( a ) ，y = 西( m ) + d ，则由( 2 4 ) ( 2 5 ) 可得( 7 ) = h ，口( ，y ) ： p ( m ) ( 0 ，1 ) 及【1 一矿( m ) 1 2 = g ( m 2 ) 对1 3 4 ) 关于，y 求导即得 筹( ”) = 一 1 - # 2 ( m ) j 2 = 吲仇。) ( 3 5 ) 因为 亟掣= 堂掣+ 堂掣棚m ) ， 。1 。- 一= - - 二- - 二二! 二一二，) l ，_ n 、 dm拂7l伊y r ” 所以由( 3 2 ) 和( 3 5 ) 即可得( 3 3 ) 口 一类非线性泛函的最小元 三主要结果的证明 我们已知：如果a ( 动是( 1 6 ) 满足a c d ) = m 的解当且仅当m d c a ) ， 7 以a ( m ) + d 因此如果我们把f ( 口) 中的口限制为( 1 6 ) 的解，则f ( 口) 可看 作为( m ，y ) 的函数，其中m d ( a ) ，7 顿a ( m ) + d ，也就是说户( m ，西+ d ) 可看作定义在a = 入( m ) 的图象上的二元函数 = a 的反函数m = 入一1 ( 入) 由若干个单调可微分支组成，这些分支可分别用( 2 1 3 ) ( 2 1 7 ) 中定义的集合 a 二，a + ，a + a 1 、a 2 和“表示( 见图4 ) 若记 户( a ) = 户( m ，、甄+ d ) ( 3 6 ) 则户( a ) 是定义在上述a 集合上的关于a 的函数 引理3 2 ：若户( 砷由( 3 6 ) 和( 3 1 ) 定义，且设由( 2 1 3 ) ( 2 i t ) 所定义的集 合非空，则有 掣；一西( m 2 ) 。，当( 吣) a 二或a 或“ 业d a ：o ，当( 仉，a ) ( d - - - 1 , 2 ) 或( | i l ，a ) “； ( 3 ” ( 3 8 ) l i r a 户( a ) = 一( 3 9 ) ( 仃i ”c a _ - 证明：由c 3 3 ) 可直接得c 3 7 ) 现假设c m , ，a ) a l ，则鲁= a 胁，+ ) = a ( m 1 ) 由( 2 1 1 ) 可得n ( z ，m 1 ) 1 = a ( v 石z l + d ，m 1 ) 且当【讵风+ 正1 1 时 n 协，m 1 ) 三h 因此 f ( 口( 毛m ，) ) ；2 厂( 一_ 1 1 ) ：如一厂陋( 1 0 2 ，o 】2 妇 j 0j d =广”(灿广4-a2,02 d z m a x 1 j 2 出 = ( n ，一7 1 ) 2一 2 出 j od 一类非线性泛函的最小元三主要结果的证明 即 户( a ) = 户( m l ， 飘+ d ) = 户( m 。， 飘+ d ) = 户( 岛) ，当( m 。，a ) a 。 所以当( m l ，a ) a l 时，( 3 8 ) 成立同理可证当( 他，”a 2 和( h ，a ) a 时，( 3 8 ) 成立 如果 m l g ，( m 2 ) o ) 非空，则0 h 乎，且集合 m l g ( 仇2 ) 0 ，z ( o ，州( 3 1 6 ) 引理3 3 ：设a c z ) = o ( 耳m ) 是( 1 6 ) 满足一( d ，m ) = m 的解，t ，( z ) 是 ( 3 1 3 ) ( 3 1 6 ) 的解，则 p f 巾) n ，p ) a z = t ，( 7 ) 。( 7 ) m a x 1 - a 2 ( ，y ) ，o ) + m v c d 虿) _ d 一( m 2 ) ，如果m d ( a ) ；( 3 1 7 ) 1 4 一类非线性泛函的最小元三主要结果的证明 = 一以 ( d ) ( m ) ，如果r n p ，( a ) ( 3 1 8 ) 证明：由( 2 2 3 ) 和( 3 1 3 ) 易得：( 功c ( z ) 一t ，( z ) ，( z ) 】= 一删( z ) c ( z ) ，z 【d ，y l 且口1 ，c ( z ) = 口，( z ) 满足( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 上述等式在陆，卅上积分并结合 ( 3 1 5 ) ，可得 t ，( z ) c ( z ) 一t ，( z ) 一( z ) = 一t ，h ) c ，( 7 ) 4 - p v ( s ) c ( s ) d s ，工 d ，们 ( 3 1 9 ) 在( 3 1 9 ) 中令z = d ，而由( 3 1 4 ) 一( 3 1 5 ) 可得t ，( d ) = 幽( d ) ，且已有c ( 。) = 口，( z ) ， ，( 霉) = 矿( z ) = a ( x ) m a x 1 一口2 ( z ) ，o ，( d ) = m ，9 ( s ) = 2 s + ( 1 一s d 2 ) 2 2 h 2 ， 综上可得( 3 1 7 ) 用a ( x ) 除( 3 1 9 ) 两边，然后在f ，卅积分，有 器一器( 7 ) d ( y ) f f d 丽d 8 + p f 舞r 巾) c ( 帕( 3 2 0 ) 把( 3 1 7 ) 代入到( 3 2 0 ) 中，则得 p f 面, d 、x 矛f 小m 曲如= t ，c 回 熹+ 竺茅f 高舞) 一端( 3 2 1 ， ( 3 2 1 ) 的右边可以用b = 舞表示，事实上我们已有6 ，( z ) c ( z ) 一6 ( z ) c ，( z ) = m g ( m 2 ) ，z 【d ，川用c 2 ( z ) 除等式两边，然后在【d ，1 1 上积分 - - f 4 ： 南熹一景= 知m 2 ) ，南 。2 ， ：而否磊( 7 ) 一磊2 互m ( m 2 ) 上i 苫研 ( 3 。2 2 ) 把( 3 2 2 ) 代入( 3 2 1 ) 可得： j a r d x z 。小) 0 ，( s ) d s = 而1 ( d ) 袅( 7 ) 叫硼 ( 3 2 3 ) 1 5 一类非线性瑟函的最小元三主要结果的证明 由( 2 4 ) 和( 2 5 ) ，当m 历( a ) 时，口( 7 ) = 弘( m ) = 、；i 丽( o ，1 ) ， 所以- 2 1 1 一p 2 ( m ) 扯( m ) ( m ) = m g ( m 2 ) 因此由( 3 1 7 ) ，可得 一 ，口( s ) 口，( s ) d s = p ( m ) 1 一p 2 ( m ) 】扣( 7 ) 一p ( m ) t ，( d ) 】 ( 3 2 4 ) j d 由( 3 2 3 ) 和( 3 2 4 ) 可推出 p 小枇， 丽南丽m ，f 南) 出 刮d ) 睬卅砌) ( 3 2 5 ) 当m d ( a ) 且口( z ) 是( 1 6 ) 的解，则由( 2 4 ) 可得，y = 偶( m ) h - d ，一n ) = h ， 口( 以a ( m ) + d ，m ) = p ( m ) 最后个等式关于m 求导，则有以7 l ( m ) + 袅( ，y ) = ( m ) ，再结合( 3 2 5 ) 可得( 3 1 8 ) 口 引理3 4 ：设f ( 0 ) 是定义在空间( 1 3 ) 上的泛函，口( z ) 是( 1 6 ) 的解，记 m 兰( i t ( 回， 1 。假设m 口( a ) 如果a 7 胁) 0 ，则a ( x ) 是f ( a ) 的局部严格极大元； 如果( m ) = 0 ，则d ( z ) 不是f ( a ) 的局部极小元或局部极大元 2 。假设m ( a ) 如果m = m l 伽l ，则o ( z ) 不是f ( a ) 的最小元 证明： 1 。假设m d c a ) 且a ( m ) o ，贝00 口( z ) n ( 7 ) = p ( m ) 0 使得如果u ( z ) 础【o ，j ，一n i i 础【0 卅 e o ， 则i 口( z ) 一w ( z ) l 0 ，因此如果 ( m ) 0 由( 3 1 2 ) ，j ”( o ) = ，( “) 赠p ，( 缸) _ _ - - - ， 0 u t 因此我们可取足够小的且仅依赖d 和7 使得j ”( ) 0 ，l e l 享因 为当0 j c o ) 特别f p ) = j ( 0 j ( o ) = f ( d ) ，也即当 归一a l l x - q o ， l f ( n ) 且u 口，因此口( z ) 是f ( o ) 的局部严格 极小元 如果c r a ) 0 ，则由( 3 1 8 ) 可得y 0 通过类似的讨论可得到c r a ) 0 时a ( z ) 是f ( 口) 的局部严格极大元 假设币见( a ) 且( 而) = o ，则而是a ( m ) 在d 一( 入) 上的严格极小点， 因此如果m 佩，m d 一( a ) 则口，( 7 ，m ) h ，这里n ( z ，m ) 是( 1 7 ) 的解 等式o ( 以a ( m ) + d ，m ) = u ( r a ) 两边关于m 微分，可得袅( 偶 ) + d ，赢) = p 7 ) 因为，( m 2 ) 0 由( 3 2 ) 可得喾( m ，1 ) 0 ，m d 一( ”且m 讯，再 由( 3 1 ) 可得a ( z ) 不是f ( a ) 的局部极小元或局部极大元 2 0 假设m d 仉( a ) ，则由( 2 1 1 ) 可得a ( - y ，m ) i ，再由( 3 2 2 ) 可得 p f 出m ) d z = 竺警塑 ( 3 - 2 7 ) 如果m = m l 忱，则，( m 2 ) 0 ，由( 3 2 7 ) 得p 历 时，a = a ( m ) 的图象包括a ：和a 。两个可微的分支，且这两个分支在点 ( m l ，尻) 处相交由( 3 7 ) 和( 3 8 ) ，当a 递增时，户( 入) 在a ：上是严格递减 的，而p ( a ) 在a l 上是常数，因此若8 是( 1 6 ) 的满足o ，= m 。= m 2 的解， 且，y d 钜历，则f ( 口) 不可能取到最小值口 定理1 的证明：我们以情形2 为例来证明定理l ( 见图2 ) ，情形l 和情 形3 的证明是类似的函数a = a ( m ) 的图象包括a ：，a + ，a + ，a 。和a 。五个分 支，这些分支关于a 可微( 见图2 ) 由引理3 4 ，如果( 口，( d ) ，丧h d ) ) a + - 或a l ，则( 1 6 ) 的解口( z ) 不是t ( a ) 的最小元当7 一d 良( ) 因为“有界且由( 3 8 ) 1 8 一 p 。一 一类非线性泛函的最小元 三主要结果的证明 得p c a ) 在a 2 上是常数，则4 ( a ) 在a + u a 2 上有界而由( 3 9 ) ，当a a - 且a 一+ 时，丸( a ) 趋于一o o ，因此存在a 2 知使得当b a 户+ ( a ) ，p _ c a ：) = 户+ ( a 。) 且尝d 2 ) 妥( a z ) 由c 3 7 ) ( 3 8 ) 可得： 裳卅以帮，当( 州) a ：或a + 裳_ 0 ，当( 叫) a 2 ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 因为当( m ，a ) a 二时，( m 2 ) 0 ，a c m ) 0 ，而当( m ，a ) a + 时，( m 2 ) 0 ， a ，( m ) 0 因此由( 3 2 8 3 一( 3 2 9 ) 可得当a 知时案( a ) 一祭( a ) a ：时，良c a ) 俩。，则f ( 口) 只有在( 1 6 ) 的解满足( 0 ，( d ) ，击( 7 一d ) ) 二时取到最小值，并且a _ - c ( m ，a ( m ) ) i o m m 1 ，( m ) o ) ，a + t j a 2 c ( m ，a ) i ，1 2 s m ”因此定理1 中的情形2 得证 1 9 一类非线性泛函的最小元 参考文献 参考文献 【1 1 1g i n z b u r gv l l a n d a ul d ，o nt h et h e o r yo fs u p e r c o n d u c t i m t y , z h e k s p e r i m i t h e o r f i z 1 9 9 0 2 0 ，p p 1 0 6 4 - 1 0 8 2 ( e n g l i s ht r a n s l a t i o n ：i nm e nd ， p h y s i c s ( l d l a n d a u ，e d ) ，1 9 6 5 ，h a r r ，p e r g a m o n ，o x f o r d ，p p 1 3 8 - 1 6 7 ) 【2 j c h a p m a ns j ，h o w i s o ns d o c k e n d o nj r ，m a c r o s c o p i cm o d e l sf o r s u p e r c o n d u c t i v i t y , s i a mr 耵1 9 9 2 ，3 4 ( 4 ) 。p p 5 2 9 - 5 6 0 【3 】d uq ，g u n z b u r g e rm d p e t e r s o nj s ，a n a l y s z sa n da p p r o x i m a t w no f 饥e 岱n z b u r g l a n d a um o d e lo is u p e r c o n d u c t i v i t y , s i a mr e c 1 9 9 2 ，3 4 ( 1 ) ，p p 5 4 - 8 1 c h a p m a ns j ，d uq g u n z b u r g e rm d ，a 伍n z b u r g l a n d a ut y p em o d e l o is u p e r c o n d u c t i n g - n o r m a lj u n c t i o n si n c l u d i n gj o s e p h s o nj u n c t i o n , e u r o j n l o f a p p l m a t h e m a t i c s ，1 9 9 5 ，6 ，p p 9 7 - 1 1 4 i s y a n gy 。t h e 盘n s b u r g l a n d a ue q u a t i o n sl c r ras u p e r c o n d u c t i n g 髓吼a n dt h e m e i s s n e re f f e c t , j m a t h p h y s ，1 9 9 0 ，3 1 ( 5 ) ，p p 1 2 8 4 - 1 2 8 9 【6 】a f t a l i o na c h a p m a ns j ，a s y m p t o t i ca n a l y s i so lt h eb i f u r c a t i o nd z a w a m f o rs y m m e t r i co n e d i m e n s i o n a ls o l u t i o n so t h eg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n s 。e u r o j n lo fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ，1 9 9 9 ，1 0 ，p p 4 7 7 - 4 9 5 【7 1h a s t i n g ss p ，a n o t h e rl o o ka tr e c e n tr e s u l t sc o n c e r n i n gb i f u r c a t i o n 伽o n e d i m e n s i o n a lm o d e l so fs u p e r c o n d u c t i v i t y , e u r o j a lo fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ，2 0 0 0 1 1 ，p p 1 2 1 1 2 8 【8 】 y uw ，u n i q u e n e s s 吖s y m m e t r i cs o l u t i o n sy o rt h eo n e d i m e n s w n a lg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n so js u p e r c o n d u c t i v i t yw i t hh i g hk a p p a 。c h i n e s ej o u r n a lo fc o n 一类非线性泛函的最小元 参考文献 t e m p o r a r ym a t h e m a t i c s ，2 0 0 1 ，2 2 ( 4 ) ，p p 3 1 5 - 3 3 0 【9 】y uw t ，a 册p t o t i cm i n i m i z e r sf o rt h eo n e d i m e n s i o n a lg i n z b u r g - l a n d a um o d e l o fs u p e r c o n d u c t i v i t y , n o n l i n e a ra n a l y s i s ，2 0 0 1 ，4 5 ( 3 ) ，p p2 9 5 - 3 0 8 1 0 】y uw ，a s y m p t o t i cb e h a v i o r so ys o l u t i o n s o rt h eo n e d i m e n s i o n a lc i n z l m r g - l a n d a ue q u a t i o n so s u p e r c o n d u c t i v i t y c 1 1 i n e s ej o u r n a lo fc o n t e m p o r a r ym a t h - e m a t i c a ，2 0 0 0 ，v 0 1 2 l ，n o 1 ，p p 1 - 1 4 【1 1 1 a f t a l i o na ，o nt h em i n i m i z e r so yt h eg i n z b u r p l a n d a ue n e r g yf o rh i g hk a p p a ： t h eo n e - d i m e n s i o n a lc e ，e u r o j n lo fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ，1 9 9 7 ，8 p p 3 3 1 - 3 4 5 【1 2 1b e r e s t y c k ih ，b o n n e ta c h a p m a ns j ，as e m i - e l l i p t ws y s t e ma r i s i n g 饥 t h et h e o r yo ，s u p e r c o n d u c t i v i t y ，c o m m a p p l n o n l i n e a ra n a l 1 9 9 4 ，1 ，p p 1 - 2 1 f 1 3 d i n gs ，l i uz & y uw ，av a r i a t i o n a lp r o b l e mr e l a t e dt ot h eg i n z b u r g - l a n d a um o d e lo fs u p e r c o n d u c t i v i t y “冼n o r m a li m p u r z t yi n c l u s i o n s i a m j m a t h a n a l ，1 9 9 8 ，2 9 ，p p 4 8 - 6 8 1 4 1d i n gs ，l i uz & y uw ，p i n n