（运筹学与控制论专业论文）基于模糊关系下的知识系统的研究.pdf

t h es e a r c ho ff u z z yk n o w l e d g es y s t e m sb a s e do nf u z z y r e l a t i o n s at h e s i ss u b m i t t e dt o d a l i a nm a r i t i m eu n i v e r s i t y i np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h e r e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e nc e b y t a n g j i a h u i ( o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n dc o n t r o lt h e o r y ) t h e s i ss u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rc h e ng a n g j u n e2 0 1 1 删、f , t8 9 5 9 9 t 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成博硕士学位论文 竺基王搓糊苤丕工的知迟丕筮丝婴窒：。除论文中 已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中 以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开 发表或未公开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：丛鹾窆 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连海事大学有关保留、使用研究生学 位论文的规定，即：大连海事大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士 学位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论 文全文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式 出版发行和提供信息服务。保密的论文在解密后遵守此规定。 本学位论文属于：保密口在 年解密后适用本授权书。 不保密一( 请在以上方框内打“ ) 论文作者签名：j 劾笙慧 导师签名： 日期：年月 日 中文摘要 摘要 自z a d e h 提出模糊理论以来，许多学者对模糊理论进行了一系列的研究，形 成了比较系统的模糊系统理论模糊系统是基于知识或规则的系统，是描述人类 语言知识的优越性并把人类知识库转化为非线性映射由此可以看出模糊知识系 统的研究在模糊理论中占着及其重要的地位先前已有学者对在概率下的模糊知 识系统进行了研究，从作为模糊规则不确定性的度量的角度，提出了模糊规则熵 与同一水平下模糊规则熵，从而实现了对模糊系统的构建与优化 本文是在模糊知识系统的基础上基于模糊关系下的模糊知识系统进行研 究在该知识系统下，对模糊关系矩阵的不确定性进行讨论，提出一种新的对模 糊规则评价的方法本文的主要研究工作分为两个部分： 第一部分，在模糊知识系统下定义整个论域在某个条件属性及在该条件下的 决策属性所组成的命题下的模糊熵并给出性质及其评价与群体与群体的符合程度 作为模糊命题的模糊熵及其性质，并给出评价； 第二部分，在模糊知识系统下定义个体在多个条件属性及其在这些条件下的 决策属性所成的模糊命题的模糊熵 关键词：模糊知识系统；模糊熵；模糊关系；模糊关系熵 英文摘要 a b s t r a c t s i n c ez a d e hp r o p o s e df u z z yt h e o r y ，m a n ys c h o l a r sh a v ec o n d u c t e das e r i e so f r e s e a r c ht ot h ef u z z yt h e o r y ，e v e nh a sf o r m e dt h eq u i t es y s t e m a t i cf u z z ys y s t e mt h e o r y f u z z ys y s t e mi sas y s t e mb a s e do nk n o w l e d g eo rr u l e s ，w h i c h i st od e s c r i b et h es u p e r i o r i t yo fh u m a nk n o w l e d g eo f t h el a n g u a g ea n dc o n v e r th u m a nk n o w l e d g et oan o n l i n e a r m a p p i n g i tc a nb es e e nt h a tf u z z yk n o w l e d g es y s t e mh a so c c u p i e dae x t r e m e l yi m p o r t a n tp o s i t i o ni nt h ef u z z yt h e o r y p r e v i o u s l ys c h o l a r sh a v eb e e ns t u d i e di nt h ep r o b a b i l i t y o ff u z z yk n o w l e d g es y s t e m ，f r o mt h ea n g l eo ft h ef u z z yu n c e r t a i n t y o ff u z z yr u l e sm e a - s u r i n gt h ee n t r o p yo ff u z z yr u l e s ，p r o p o s i n gf u z z ye n t r o p yo ff u z z yr u l e sa n di nt h es a m el e v e lo ff u z z ye n t r o p yo ff u z z yr u l e s ，t h u sr e a l i z i n gt h ec o n s t r u c t i o na n do p t i m i z a t i o n o ft h ef u z z ys y s t e m t h i sa r t i c l ei sf o u n d a t i o ni nt h ea b o v ef u z z yk n o w l e d g es y s t e ma n dd o e sd e e p e r r e - - s e a r c h i nt h ek n o w l e d g es y s t e m ，ih a sr e s e a r c h e dt h eu n c e r t a i n t yo f t h em a t r i xo ff u z o z yr e l a t i o n s h i pa n dp r e s e n t e da n e wm e t h o do fe v a l u a t i n gt h ef u z z yr u l e s t h em a i n r - e s e a r c hw o r ki sd i v i d e di n t ot w op a r t s ： t h ef i r s tp a r t ，i nt h ef u z z yk n o w l e d g es y s t e mih a sd e f i n i t e dt h ef u z z ye n t r o p y m a d eo ff u z z yp r o p o s i t i o nw h i c hi sc o m p o s e do fc o n d i t i o na t t r i b u t e so ft h ef i e l da n d t h e d e c i s i o n m a k i n gu n d e r t h ec o n d i t i o na t t r i b u t e s e v e n ，ih a sg i v e np r o p e r t ya n d e v a l u a t i o no ft h ef u z z ye n t r o p y a n dw h a ti sm o r e ，ih a sd e f i n i t e dt h ef u z z ye n t r o p y w h i c hm a d eo ft h ef u z z yp r o p o s i t i o no ft h ed e g r e eo fc o n f o r m i t yo ft h eg r o u p sa n d g i v e np r o p e r t ya n de v a l u a t i o no f t h ef u z z ye n t r o p y t h es e c o n dp a r t ，i nt h ef u z z yk n o w l e d g es y s t e m ih a sd e f i n i t e dt h ef u z z y e n t r o p y ，m a d eo ff u z z yp r o p o s i t i o nw h i c h i sc o m p o s e do fm u l t i c o n d i t i o na t t r i b u t e so f i n d i v i d u a l i t ya n dt h ed e c i s i o n m a k i n gu n d e rt h ec o n d i t i o na t t r i b u t e s k e yw o r d s ：f u z z yk n o w l e d g es y s t e m ；f u z z yr e l a t i o n s ；f u z z ye n t r o p y ；f u z z y e n t r o p yo ff u z z yr e l a t i o n s 目录 目录 第1 章绪论1 1 1 研究的目的与意义1 1 2 国内外研究状况2 1 2 1 模糊系统极其模糊知识系统的研究状况2 1 2 2 模糊熵的研究状况3 1 3 论文内容及其结构安排4 1 3 1 论文主要内容一4 1 3 2 论文结构安排4 第2 章模糊数学基础6 2 1 模糊集合的一些概念和运算6 2 1 1 模糊集合的一些基本概念6 2 1 2 模糊集合的性质一8 2 1 3 模糊集合的运算9 2 2 模糊关系12 2 2 1 经典关系1 2 2 2 2 模糊关系1 2 2 2 3 模糊关系的运算1 2 2 3 模糊系统。13 2 3 1 模糊命题1 4 2 3 2 模糊i f t h e n 规则一1 4 2 3 3 模糊规则库l5 2 3 4 模糊推理机1 6 第3 章模糊关系和模糊规则的信息熵18 3 1 模糊熵18 3 2 模糊关系的信息熵19 3 2 1 离散的模糊关系的信息熵1 9 3 2 2n 一矩阵的模糊关系的模糊熵2 6 3 3 模糊规则的信息熵和蕴含算子的比较2 7 第4 章基于模糊关系的知识系统3 0 4 1 模糊知识系统定义3 0 4 2 基于概率下的推理规则的信息熵一3 0 目录 4 2 1 模糊决策逻辑的信息熵3 0 4 2 2 模糊规则的信息熵3 1 4 3 基于模糊关系下的信息熵3 3 4 3 1 模糊初等原子公式3 3 4 3 2 群体的模糊决策逻辑公式的信息熵3 4 4 3 3 个体在多个条件下的决策逻辑公式的信息熵3 8 4 3 4 应用举例3 8 第5 章结论与展望4 4 5 1 本文的主要结论4 4 5 2 前景与展望4 4 参考文献4 5 致谢4 9 研究生履历5 0 基于模糊关系下的知识系统的研究 第1 章绪论 1 1 研究的目的与意义 模糊理论是由l o t f ia z a d e 【l 】于1 9 6 5 年在( ( i n f o r m a t i o na n dc o n t r 0 1 ) ) 杂志上发 表了 f u z z ys e t ) ) 一文建立的，文中首次提出了模糊理论的一个重要概念：隶属 度函数；在1 9 7 3 年z a d e h 发表了分析复杂系统和决策过程的新方法纲要 2 1 建 立了研究模糊控制的理论基础，该文引入语言变量这一概念，并提出了一个重要 概念：用模糊i f t h e n 规则来量化人类知识近年来，模糊系统被广泛应用于各 个领域，从控制、信号处理、通信、集成电路制造到商业专家系统、医药、行为 科学等1 3 ，因此如何设计出一个具有良好性能的模糊系统已成为人们研究的一个 重要课题 模糊系统是基于知识或规则的系统，是描述人类语言知识的优越性并把人类 知识库转化为非线性映射模糊系统主要由四个部分组成：模糊规则库、模糊推 理机、模糊器和解模糊器模糊规则库由至少一条的规则组成，而一条规则又有 几个命题组成模糊系统的核心是推理规则，而推理规则的核心是组成规则的命 题，因此研究模糊规则的模糊命题对模糊规则的优化及其模糊系统的性能起着决 定性作用关于模糊推理规则的研究，国内外学者在这方面进行了大量的研究， 常见是把命题或规则作为模糊关系，并通过对模糊关系的研究来研究模糊规则 熵是一个近代的概念，是不确定信息度量的重要概念，一直受到人们的关 注1 9 4 8 年，s h a n n o n 在他创立的信息论中提出了用信息熵来度量信源的不确定 性；1 9 6 8 年z a d e h t 4 1 首次提出模糊熵这一概念，并把模糊熵定义为模糊集不确定 性的一种度量：在1 9 7 2 年，d el u c a 和t e r r a i n t 5 l 第一次提出与概率无关，并能正 确度量模糊集所刻画的对象的模糊程度的信息度量并首次提出了模糊熵应遵循的 四条最基本的公理，开创了模糊熵的研究的新的途径和方法尤其是近十年来模 糊熵的理论研究不断出现新的成果这些关于对模糊集的模糊熵的研究为模糊系 统在各个领域的应用奠定了结实的理论基础当前模糊熵被广泛应用于图像处理、 第1 章绪论 目标优化、信息提取、知识发现等方面，在模糊推理规则和模糊系统的研究则不 多见，特别是模糊关系的熵研究更少 模糊关系做为模糊理论中一个重要的内容，被广泛的应用于多个方面，比如： 模糊聚类、模糊推理及模糊控制“怎样判断和比较模糊关系? 这一问题在实 践中是个重要的课题一些相关研究已经涉及到度量模糊关系的不确定性上： y a g e r 提出相似关系的不确定性度量并论述了它在问卷设计上的应用 6 1 ；h e m a n d e z 和r e c a s e n s 在y a g e r 提出的理论的基础上提出了相关熵和条件熵的度量的公式与 这一度量在模糊决策树的应用【7 】；y u 提出了一些模糊关系的一般性不确定性度量 4 4 1 并应用它们来定义多个分类器系统的分集与粒计算的粒度 鉴于上述原因，我打算利用定义模糊关系的熵来度量模糊命题的不确定性， 进而研究模糊命题之间的关系的不确定性及其优化 1 2 国内外研究状况 1 2 1 模糊系统极其模糊知识系统的研究状况 模糊系统是一种基于知识或规则的系统它的核心是由一个或多个i f t h e n 规则所组成的知识库一个模糊的1 f t h e n 规则就是一个用连续隶属度函数对所 描述的命题的1 f t h e n 形式的陈述例如，下面就是一个模糊i f t h e n 规则： 如果一个人的血脂高，则血压比较高 这罩，“高 和“比较高 分别可以用隶属度函数进行描述模糊系统就是 通过组合模糊1 f t h e n 规则构造而成 也就是说，构造一个模糊系统首先就是要得到一组来之专家或基于该领域知 识的模糊1 f t h e n 规则，然后把这些规则组合到一个模糊系统中不同的模糊系 统可以采用不同的组合规则【3 】 模糊系统最常见的有三种：纯模糊系统、t s k ( t a k a g i s u g e n o - k a n g ) 模糊系统 和具有模糊器与解模糊器的模糊系统现在比较常用的是具有模糊器与解模糊器 的模糊系统 2 基于模糊关系下的知识系统的研究 现在，国内外学者对模糊系统进行了大量的研究，模糊系统的核心是模糊推 理规则，因此模糊系统的推理规则的优劣与数量对模糊系统的性能的好坏起着决 定性作用模糊系统的设计常见的有以下几种方法：1 、查表法，也就是利用专家 的知识经验设计模糊系统；2 、梯度下降法【3 1 ；3 、递推最小二乘法【3 1 ；4 、聚类法 【3 ，8 l ；5 、遗传算法【9 ，1 0 1 ( g a ) ；6 、神经网络法【1 1 1 ；7 、利用粗糙集理论 1 2 1 对模糊 系统进行研究这些方法不是独立的，大量的学者利用上述方法中的多种方法来 研究模糊系统，如遗传算法与神经网络法相结合0 3 j 4 1 ，遗传算法与聚类法相结合 5 ，m 1 ，粗糙集法与神经网络法相结合等等 模糊知识系统作为模糊系统的一分支，现在大量的研究是对概率下的模糊知 识系统的研究，如一般的模糊知识系统与同一水平下的模糊知识系统的研究 1 2 2 模糊熵的研究状况 熵( e n t r o p y ) 是一个历史比较长的概念，最早给出熵的明确定义的是科学家 c l a u s i u s ，他把熵引进热力学中，用它来描述热量可转变为功的程度，也就是热力 学第二定律后来b o l t z m a n n 进一步把熵引用到微观中，推导出熵的热力学中的表 达式t 圳：b o l t z m a n n 关系，他提出熵并不一定局限于无限系统中，而是一个通用 的，可以凌驾于具体系统之上的联系微观与宏观的系统概念 1 9 4 8 年，s h a n n o n ( 香农) 创造了信息论并在信息论中定义了信息熵( 香农熵) ， 它的核心为“信息量”正是用b o l t z m a n n 信息熵来描述的，只不过香农用它来描述 一个非物理的系统香农熵定义为一个离散信源发出符号之前收信者对信源存在 的平均不确定性，该不确定性是用先验概率分布p = p l ，p e ，见) 来描述的，因此 香农熵描述了一个概率分布的不确定性程度【5 3 】之后，又有许多人陆续提出一些 新的概念和公式来补充和完善香农熵，如1 9 6 0 年r e n y i 提出了不完备概率分布的 p e n y i 熵以及口一熵1 7 1 ；1 9 7 0 年d a r o e z y 提出熵埔1 ；1 9 7 1 年a r i m o t o 提出了， 熵 1 9 1 ；1 9 8 9 年p a l 提出了基于指数函数的熵 2 0 1 ；1 9 9 1 年r a t h i e 和t a n e j a 提出了 位，) 熵【2 1 1 1 9 7 2 年d el u c aa n dt e r m i n i 提出非概率下模糊熵的定义并给出模糊 熵的四条公理【5 1 3 第1 章绪论 此外，有关模糊信息方面的研究都受到了香农熵的影响，很多学者想把信息 熵的理论应用到模糊数学中，从而提出了模糊信息论 2 2 , 4 5 1 、全信息论1 2 3 1 、广义信 息论 2 4 1 等1 9 7 5 年k a u f m a n 用模糊集a 与其最近的清晰集合an 聊的度量去定义 模糊熵【2 6 】；1 9 7 8 年t r i l l a s 和r i e r a 引入了n 函并给出了它的模糊熵 2 7 1 ；1 9 7 9 年 y a g e r 认为一个模糊集彳的熵是它与它的补集彳。的可区分程度2 8 1 ；1 9 8 8 年d u j e t 引入分离和模糊集的分离势的概念并给出了它的模糊熵 2 9 1 ；1 9 9 2 年p a l 定义了指 数函数形式的模糊熵 2 0 l ；同年刘学成提出模糊熵的一般化公式定义，对模糊熵与 贴近度和区分度的关系进行研究【3 0 】；1 9 9 8 年y h c h e n 和w j w a n g 提出了模 糊熵与模糊集形状之间的关系，讨论了比例算子，伸缩算子与饱和算子与模糊熵的 关系【3 1 1 ；2 0 0 2 年范久伦在模糊熵公理定义和测度理论基础定义了模糊熵 3 2 1 ；2 0 0 5 年胡丹与王加银提出了知识系统下推理规则的信息熵【3 3 】；2 0 0 9 年胡丹等人提出了 模糊关系的信息熵并提出了模糊规则熵的新的定义1 3 a 1 ；2 0 1 0 年陈刚和陈小弟提出 了同一水平下模糊规则信息熵的定义f 3 5 1 1 3 论文内容及其结构安排 1 3 1 论文主要内容 本论文主要是在模糊知识系统下，用模糊熵来描述模糊命题的不确定性，进 而研究模糊命题的优化与命题与命题之间的不确定性根据传统的知识系统提出 了新的模糊知识系统的定义，同时给出在新的模糊知识系统下的模糊初等原子公 式、决策逻辑公式的定义及其他们的熵的定义本文主要研究两个方面的内容： 群体在模糊知识系统下的模糊熵及其性质并研究在模糊知识系统下的群体的性 质；个体在模糊知识系统下的模糊熵的定义 1 3 2 论文结构安排 全文共分为五章，具体安排如下： 第1 章绪论：首先阐述了本文研究的目的与意义；接着介绍了模糊系统与模 糊知识系统研究状况；模糊熵的研究状况；最后介绍了论文研究内容及其结构安 排 4 基于模糊关系下的知识系统的研究 第2 章模糊数学基础：介绍了模糊集、模糊关系的基本概念与性质；模糊系 统与粗糙集理论中传统的知识系统的基本概念与性质； 第3 章模糊关系和模糊规则的信息熵 第4 章基于模糊关系的知识系统：分为两个部分：第一部分概率下的模糊知 识系统下的模糊推理规则的熵，并利用模糊熵给出了模糊规则的评价、优化的方 法；第二部分是为本文重点，分为两个部分： ( 1 ) 不同定义下的群体的模糊关系的模糊熵的定义及其性质与优化及其群体 与群体的符合程度的模糊熵及其性质，并给出评价 ( 2 ) 定义一个体在多个条件下的模糊熵的定义 第5 章结论与展望：对全文进行总结，指出本文的不足之处，最后对以后的 研究工作给出进一步的探讨与设想 5 第2 章模糊数学基础 第2 章模糊数学基础 模糊理论是由l o t f ia z a d e t l l 于1 9 6 5 年在i n f o r m a t i o na n dc o n t r 0 1 ) ) 杂志上发 表了( ( f u z z ys e t ) 一文建立的从此，模糊理论就一直处于各派的激烈争论之中， 一些学者认可了这一理论并开始着手在这一新领域中进行研究，还有一些学者认 为“模糊化 与基本的科学原则相违背直至1 9 8 0 年丹麦的f l s m i t h 公司成功 的将模糊控制应用到水泥窑的自动控制中，为模糊理论的实际应用开辟了崭新的 前景【3 0 】从此，模糊理论特别是模糊系统的研究不断出现新的成果，特别是在智 能控制方面，现在已生产出了模糊热水器、模糊电饭锅、模糊洗衣机、模糊空调 器、模糊空气进化器、模糊电动剃须刀等掣3 1 1 2 1 模糊集合的一些概念和运算 2 1 1 模糊集合的一些基本概念 经典集合表示有明确外延的“非此即彼 的清晰概念，它的特征函数仅取0 ， 1 两个值当取1 时表示对象符合对应集合表示的概念；当取o 时表示对象不符合 对应集合表示的概念例如，以整数集为论域，则0 、1 、2 0 、9 9 、1 0 0 0 、9 8 7 4 都 1 属于整数集，它们的特征函数值都为1 ：而2 、妻、1 5 则不属于整数集，其特征 z 函数值为0 但现实生活中存在大量的没有明确外延的、“亦此亦彼”的模糊概念例如， 以体重的集合为论域，由于“体重轻 、“体重重 是没有明确的外延的模糊概 念，不能简单的用“是 或“否来回答，因此“体重轻的集合、“体重重的 集合”就不能用经典集合来表示为表现这类概念，有必要将经典集及其运算加 以拓广，这就引出了模糊集合的概念模糊集合是用来表达模糊性概念的集合， 是经典集合的拓广 对于一个模糊概念，简单地说某个对象是否符合这个概念是没有意义的而应 该是说成某个对象符合这个概念的程度z a d e h 认为具有上述特性的模糊概念可以 6 基于模糊关系下的知识系统的研究 用模糊集来表示，并提出将经典集中的特征函数拓广为隶属函数，将特征函数值 域 o ，1 ) 拓广为区间 0 ，1 】，用 o ，1 】中的数来表示对象与模糊概念相符合的程度 在经典集理论中，我们可以用u 表示一个集合，a 是u 上的一个经典子集， 我们通常用列举法、描述法和隶属度法来描述集合a 列举法，即把集合中的元 素全部写出来，一般有限集合用列举法表示；描述法，即描述为集合中元素所具 有共同性质，它可以用来表示有限集又可以表示无限集所以比较常用在描述法 中，集合a 可以表示为a = 缸u k 满足某些条件 ；隶属度法，该表示法引用了集 合彳的o - 1 特征函数，称它为集合彳的隶属度函数，用( x ) 来表示也就是我们 可以用特征函数以( x ) ：u 一 o ，1 ) 来描述集合彳，即： 聃) = 托鬟 ( 2 1 ) 在上面的公式中，z 属于a 与不属于么是非常明确清晰的，赋值也是明确清晰 的0 或1 如果特征函数心( x ) 中的像不是点集 o ，1 ) 而是区间 0 ，1 】，那么集合彳我 们称为模糊集合 定义2 1 设在论域x 上，称映射 以( 功：x - - + o ，1 】 x 专鸬( 力 ( 2 2 ) 确定了一个论域x 上的模糊子集a v xax ，称, u a ( x ) 【o ，l 】为工对彳的隶属度函 数以( 曲称为模糊集彳的隶属函数 当心( 曲的值越接近1 时，表示x 隶属于集合彳的程度越高；当心( 石) 的值越 接近0 时，表示x 隶属于集合彳的程度越低；当儿( x ) 的值等于1 或0 时，表示x 属 于么或不属于彳，即4 就是经典集所以经典集就是模糊集的特殊情况，模糊集 是经典集的拓广 模糊集彳主要有以下形式的表示法【3 ，6 】： ( 1 ) 论域x 上的模糊集么可以表示为一组元素与其隶属度值的有序对的集合，即 a = ( x ，儿( x ) ) l x r ( 2 3 ) 7 第2 章模糊数学基础 或表示为彳= 似 ) x ，其中“，”不是表示积分，只是一个记号，表示x 上隶 工 属度函数为( x ) 的所有点x 的集合 ( 2 ) 论域x 是有限集时，也可以表示为： 彳：丝! 苎! + 丝! 苎2 + + 丝4 1 益!( 2 ，4 ) 五屯吒 或表示为模糊向量彳= ( 心( 葺) ，鸬( 屯) ，以( 吒) ) 其中“+ 不是求和，只是一种 记号，表示x 上隶属度函数为( x ) 的所有点x 的集合 定义2 2 3 6 1 设a 是论域x 的一个模糊集，兄 0 ，1 】，令 鸣= x x l 心( x ) a ) ( 2 6 ) 以= x x l ( x ) 允) ( 2 7 ) 称以为a 的五截集称4 为a 的力强截集 以与4 都是清晰集合以包含了论域x 中所有隶属于a 的隶属度值大于等 于五的元素：以包含了论域x 中所有隶属于a 的隶属度值大于兄的元素 特别，称4 为a 的力支撑集，记为s u p p a ，即 s u p p a = x e x p 彳( 工) o ( 2 8 ) 称4 为a 的核，记为k c r a ，即 k c r h - - x e x p 一( x ) = 1 ) ( 2 9 ) 若缸硝，则称彳为正规模糊集 我们容易得出4 = x ，当口 时有：以c 以c 以 2 1 2 模糊集合的性质 模糊集合的运算满足下列性质【4 9 1 ： ( 1 ) 幂等律a na = a ，彳u 彳= a ( 2 ) 交换律彳u b = b u a ，a n b = b n a ： 8 基于模糊关系下的知识系统的研究 ( 3 ) 结合律a u ( b u c ) = ( a u b ) u c ，a n ( b n o = ( a n b ) n c ； ( 4 ) 分配律( a u b ) n c = ( a n b ) u ( a n c ) ； ( 彳n b ) u c = ( 么u 丑) n ( 彳u o i ( 5 ) 吸收律( a ub ) na = a ，( a n b ) u a = a ； ( 6 ) 复原律( a ) 。= a ； ( 7 ) 对偶律( a u b ) 。= a 。n 曰。，( an b ) 。= a u b 。； ( 8 ) o 1 律若彳是u 的一个子集，则么u u = u ，彳u 囝= a ，a n u = a ， 彳r 、o = a 2 1 3 模糊集合的运算 定义2 3 设a 与曰是定义在论域x 上的模糊集合， ( 1 ) 若v x x 时，以( x ) 心( 功，则称b 包含么或么含与召，记为ac b ( 2 ) 若v x x ，以( 力= ( x ) ，则称么等于口，记为a = b 显然，“c 与经典集中的包含关系的性质是一样的，都具有自反性、反对称性 与传递性 定义2 4设a 与b 是定义在论域x 上的模糊集合，则模糊集彳与b 的并集 也是模糊集，记为a u b ，其隶属度函数为以u 口( 石) = m a x ( , u a ( x ) ，心( x ) ) ；模糊集么与 曰的交集也是模糊集，记为a n b ，其隶属度函数为心n 口( x ) = m i n ( , u ( z ) ，以( x ) ) ；模 糊集彳的补集也是模糊集，记为，其隶属度函数为心，( x ) = l 一以( 石) 上面定义彳和召的并集是包含彳和曰的“最小的模糊集；么和曰的交集是 包含彳和曰的“最大 的模糊集所以定义2 1 4 只是定义了模糊集合的一种算子， 还可以有其他算子 下面将给出模糊集的并集、交集、补集的其他运算 定义2 5设a 与曰是定义在论域x 上的模糊集合， ( 1 ) 模糊补 令映射c ： o ，1 】一 0 ，1 】表示由模糊集a 的隶属度函数映射到其补集的隶属度函 数，即 9 第2 章模糊数学基础 c 【以( 瑚= 伤( 功 ( 2 1 0 ) 也就是c 【以( x ) 】_ 1 - f l ( x ) 函数c 必须至少满足以下两个条件： 公理l ：c ( o ) = 1 ，c ( 1 ) = 0 ( 有界性) 公理2 ：当口，b 【o ，l 】时，若a 6 ，则有c ( 口) c ( b ) ( 非增性) 这里，口，b 分别表示模糊集合彳和曰的隶属度函数 我们称满足公理1 、公理2 的函数c 都叫模糊补 下面是一些比较常用的模糊补： s u g e n o 模糊补【4 5 1 ： 巳( 口) 2 而1 - a ( 2 11 ) 其中兄( - 1 ，o o ) 是参数可以看出c a ( a ) 表示一类模糊补，当参数名取值不同时就会 得到不同的模糊补 y a g e r 模糊补4 6 j ： c w ( 口) = ( 1 - a ”) u ” ( 2 1 2 ) 其中w e ( 0 ，0 0 ) 是参数可以看出c 。( 口) 也表示一类模糊补，当参数w 取值不同时就 会得到不同的模糊补 ( 2 ) 模糊并s 一范数 令s ： o ，1 x 0 ，1 卜【0 ，1 】，表示由模糊集a 的隶属度函数和曰的隶属度函数映射 到4 和占的并集的隶属度函数，即 s 【以( 功，心( y ) 】= 儿u 口( x ，y ) ( 2 1 3 ) 函数s 必须至少满足以下四个条件： 公理l ：s 0 ，1 ) = 1 ，s ( 0 ，口) = s ( a ，o ) = a ( 有界性) 公理2 ：s ( a ，6 ) = s ( b ，口) ( 交换性) 公理3 ：如果口a 且6 s b ，则s ( a ，b ) s j ( 口，b ) ( 非减性) 公理4 ：s ( s ( a ，6 ) ，c ) = s ( a ，s ( b ，c ) ) ( 结合性) 我们称满足这四个公理的函数s 叫做s 范数 1 0 基丁模糊关系下的知识系统的研究 下面是一些比较常用的s 一范数： d o m b i 的s 范数【4 7 j ： 叭啪卜面i 丢币 ( 2 1 4 ) 其中，兄( o ，o o ) 是参数 d u b o i s p r a d e 的j 范数f 4 3 1 ： 咖 6 ) = 业m 蒜a x ( 篙a ( 2 1 5 ) l 一1 一d ，口) 其中，口【0 ，1 】是参数 ( 3 ) 模糊交一f - 范数 令映射t ： o ，1 x o ，1 】专 o ，l 】，表示由模糊集彳的隶属度函数和b 隶属度函数映 射到彳和b 的交集的隶属度函数，即 玎一( 功，( x ) 】= 卢n 蜃( 石) ( 2 1 6 ) 函数t 必须至少满足以下四个条件： 公理1 ：f ( 0 ，0 ) = o ，t ( a ，1 ) = t ( 1 ，a ) = a ( 有界性) 公理2 ：f ( 口，6 ) = t ( b ，口) ( 交换性) 公理3 ：如果a a 且6 6 ，贝, l j t ( a ，6 ) t ( a ，b ) ( 非减性) 公理4 ：t ( t ( a ，6 ) ，c ) = t ( a ，t ( b ，c ) ) ( 结合性) 我们称满足这四个公理的函数t ： 0 ，1 x o ，1 卜吖0 ，1 】叫做t 范数 下面是一些比较常用的t 一范数： d o m b i 的t 范数： ( 口，6 ) 2 j：i乏二i；：巧1 ( 2 1 7 ) 其中，名( 0 ) 0 0 ) 是参数 y a g e r 的f 范数： 0 ( 口，b ) = l - r a i n 1 ，( ( 1 - a ) ”+ ( 1 - b ”) ”】 ( 2 1 8 ) 第2 章模糊数学基础 其中，w e ( o ，0 0 ) 是参数 2 2 模糊关系 2 2 1 经典关系 定义2 6 t 3 6 1 设x 和】，为两个非空经典集，x y = ( x ，y ) l x x ，y y ) 为x 与】， 的积集若rcx xy 则称r 为x 到y 得一个二元关系，简称关系 r 作为论域x x y 的经典子集，所以对经典集的交、并、补的运算及特征函 数表示法适用另外，r 还有“逆 运算与“合成 运算 定义2 7 t 3 6 j ( 1 ) 设r 是工到】，的关系，令 r = ( y ，功r x l ( x ，y ) r ) ( 2 1 9 ) 则可以看出r - 1 是】，到x 的关系，我们称r - 1 为只的逆关系 ( 2 ) 设r 是x 到】，的关系，q 是】，到z 的关系，令 r o o = ( 五z ) x x z1 3 y ys t ( x ，y ) r ，( y ，z ) q ) ( 2 2 0 ) 则可以看出g o q 是x 到z 得关系，我们称r o q 为r 与q 的合成 2 2 2 模糊关系 定义2 8 t 3 6 1 若r 是论域x xy 的模糊集，则称足为石到y 的模糊关系，即 r = ( ( x ，y ) ，, u r ( x ，j ，) ) l ( 五y ) x x y ( 2 2 1 ) 其中，, u r ：x 】，_ o ，1 】 当x = ( 五，x 2 ，) ，y = ( 乃，y 2 ，虼) 为有限集时，v ( 五，y j ) x y ，记 = 尺( 五，乃) ，则o 勺1 ，且r 可用矩阵( 吩) 表示 2 2 3 模糊关系的运算 x 到】，的模糊关系r 是x xy 上的模糊集，则模糊关系的运算为 3 1 ： 若j i c ，墨，是是x xy 上的模糊集，v f t 时r 是x 】，上的模糊集，则有 ( 1 ) r isr v ( x ，y ) x 】，墨( z ，y ) r ( x ，y ) ； 1 2 基丁：模糊关系下的知识系统的研究 ( 2 ) r = r v ( x ，y ) x xy ，墨“y ) = 足( 工，j ，) ； ( 3 ) ( 墨ur ) ( x ，y ) = 墨( z ，y ) vr ( z ，y ) ； ( 4 ) ( r in r ) ( x ，y ) = r ( x ，y ) 人是( x ，y ) ； ( 5 ) ( 吕r ) ( x ，y ) - 倒vr , t x ，y ) ； ( 6 ) ( 2 置) ( x ，j ，) 2 会r ( z ，y ) ； ( 7 ) r 。( x ，y ) = 1 一r ( x ，y ) ； ( 8 ) 兄= ( x ，y ) x x 】，l r ( x ，y ) 兄) 前面讲到经典集的关系有“逆”运算与“合成 运算，模糊关系也有逆关系与 合成运算 定义2 9 t 3 1 ( 1 ) 设尺是x 到y 的模糊关系，定义尺- 1 的隶属函数为 尺以( y ，x ) = r ( x ，y )v ( y ，曲y x x ( 2 2 2 ) 称】，到x 的模糊关系r _ 为尺的逆关系 ( 2 ) 设r 是x 到y 的模糊关系，q 是y 到z 的模糊关系，定义r o q 的隶属 函数为 r o q ( x ，z ) = y ，y ) ，z ) ) v ( 五z ) r z ( 2 v 写- v t ( r ( x q ( y2 3 ) 称r o q 为r 与q 的合成，其中，r 表示任一f 范数最常用的为以- f i g i 种： ( 1 ) 最大一最小合成： ( 石，z ) 2 学曲( 段( 砒心( y ，z ) ) ( 2 2 4 ) ( 2 ) 最大一代数积合成： , r 0 0 ( x 9z ) = m o 梦l u , , c x ，y ) 心( y ，z ) 】 ( 2 2 5 ) 2 3 模糊系统 模糊系统是由四个部分组成：模糊规则库、模糊推理机、模糊器和解模糊器其 中模糊规则库是模糊系统的核心；模糊规则库又由模糊i f t h e n 规则组成；条 模糊i f t h e n 规则可以表述为： 1 3 第2 章模糊数学基础 i f ，t h e n 由此可以看出模糊命题是模糊规则的核心 2 3 1 模糊命题 模糊命题一般分为两类：子模糊命题和复合模糊命题子模糊命题是一个单独 的陈述句“石为彳”也叫原子模糊命题复合模糊命题是由原子模糊命题通过连接 词“且”、“或”、“非”连接起来构成而成的原子命题与复合命题都可以理 解为是一种模糊关系对于复合命题我们可以确定他们的隶属度 5 h 5 9 1 ： ( 1 ) 模糊交( 且) ：令彳和口分别为x 和】，上的模糊集合，x xy 中的模糊 关系a r 、曰用语言表述为： x 为么且y 为b 是一个复合模糊命题，其隶属度函数为 以n 矗( 而y ) = f 【儿( 石) ，心( y ) 】 ( 2 2 6 ) 其中，t ： 0 ，1 x 0 ，1