（运筹学与控制论专业论文）带随机波动率的lévy模型下美式看涨期权的定价.pdf

摘要 本文研究带随机波动率的t z , v y 模型下美式看涨期权的定价问题期权定价 是现代金融理论的核心内容之一期权的价格函数通常含有若干参数：标的资 产价格，敲定价格，利率，距到期日的时间和标的资产价格波动率等其中波动率 是最为关键的参数，它常用于描述期权价格在一定期间内的波动性b s 模型中 假设波动率为常数【l 】，而实际上波动率通常是一个随机过程描述波动率的方 式多种多样，其中之一就是假定它满足另一个随机微分方程，称之为随机波动 率h u l l 和w h i t e 等人将常数波动率推广到了随机波动率的情形【l l 】，文【2 4 1 又在 随机波动率的情形下给出了美式看涨期权的定价公式本文受到文【l l 】和c 2 j 4 】的 启发，将文【2 4 】的由布朗运动驱动的标的资产推广到由l e v y 过程驱动的标的资 产，利用等价鞅测度导出了在带随机波动率的“v y 模型下欧式期权价格函数所 满足的偏微分方程以及美式看涨期权价格函数在无分红和有分红或送配股 时所满足的偏微分方程，并证明了美式看涨期权的最优执行时间只能在到期 日或者每次分红或送配股除权除息前瞬闻，从标的资产的价格模型上推广了 文【l l l 和文【2 4 】的结论 关键词 美式期权，随机波动率 l 6 v y 模型，期权定价 a b s t r a c t w ef o c u so i lt h ep r i c i n go fa m e r i c a nc a l l0 l 岖p r o b l e mu n d e r 脚m o d e l w i t hs t o c h a s t i cv o l a t i l i t y o p t i o np r i c i n gi so n eo f t h e i m p o r t a n tc o n t e n t si nt h em o d e m t h e o r yo f f i n a n c e o p t i o n 幽i n c l u d es e v e r a lp a r a m e t e r s ：p r i c e s t r i k ep r i c e , i n t e r e s t r a t e , t i m et oe x p i r a t i o n , v o l a t i l i t ya n ds oo i lv o l a t i l i t yi st h ec r i t i c a lo n e 。i ti su s e dt o d e s c r i b et h ef l u c t u a t i o no fo p t i o np c ei nas h o r tw h i l e i nt h eb - sm o d e l , v o l a t i l i t yi s a s s u m e da sac o a s t a a t 1 , b u ti nr e a l i t y , i ti so f t o rs e e m e da sar a n d o mp r o g r e s s t h e r e a g cs e v e r a lw a y st od e s c r i b ev o l a t i l i t y , o n eo ft h ew a y si st oa s s u l n et h ev o l a t i l i t ys a t - i s f ya n o t h 凹s t o c h a s t i cd i f f 嘲t i a le q u a t i o n i ti sc a l l e ds t o c h a s t i cv o l a t i l i t y h u l la n d w h i t ee x t e n dt h ec o n s t a n tv o l a t i l i t yt os t o c h a s t i cv o l a t i l i t y 【li , r e f e r e n c e 【2 4 】g i v et h e a m e r i c a nc a l lo l a i o np n c i n gw i t hs t o c h a s t i cv o l a t i l r y i nm y t h e s i s , ie x t e n dt h eb r o w - n i a np r o c e s si nr e f e r e n c e 2 4 】t ol 嘶p r o c e s s ，g i v et h ep a m a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nt h e e u r o p e a no p t i o ns a t i s f i e du n d e r 脚p r o c e s sw i t hs t o c h a s t i cv o l a t i l i t yb ye q u i v a l e n t m a r t i n g a l em e a b u f c ，d i s c u s st h ep o b l e mo ft h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a ld 孙l a t i o na m e r i c a n c a l lo p t i o ns a t i s f i e do i ld i v i d e n d - p a y i n ga n dp l a c i n gs t o c k su n d e r “v yp r o c e s sw i t h s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y , a n da l s oc o n c l u d et h a tt h eo p 血m d 盯c i s i n g 吐m eo fa i n e r i c a l l c a l lo p t i o n sc a no n l yb ea tt h et i m ei l i i 麟；d i a 蛐b e f o r ep a y m e n to ft h ed i v i d e n d 盯 e x p i r a t i o n t i m e j e x t e n d t h e c o n c l u s i o n o f r e f e r e n c e 1 1 】a n d r e f e r e n c e 2 4 o n t h e p r i c e o f u n d e r l y i n ga s s c t 8 k e y w o r d s a m c i i c a no p t i o n , s t o c h a s t i cv o l a t i l i t y , 1 名v ym o d e l ，o p t i o np r i c i n g 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l ，坚持以“求实、创新”的辑学精神从事研究工作 2 ，本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 ，本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 ，本论文中除引文和致谢的内容外。不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 5 ，其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢 意 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版： 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名： 日期： 第l 章弓l 言 第1 章引言 期权是一种可以买卖的金融产品，是买方向卖方支付一定数量的金额后 拥有的在未来一段时问内或未来某一特定日期以事先规定好的价格向卖方 购买或出售一定数量的特定标的物的权利，但不负有必须买进或卖出的义务 期权交易事实上就是这种权利的交易买方可以执行该权利也可以放弃该权 利，完全可以灵活选择 按期权的权利划分，期权可以分为看涨期权和看跌期权所谓看涨期权，是 指期权的买方享有在规定的有效期限内按某具体的敲定价格买进某一特定 数量的某种特定资产的权利，但不负有必须买进的义务所谓看跌期权，是指期 权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格卖出某一特定数量 的某种特定资产的权利，但不负有必须卖出的义务按期权的执行时间划分，期 权可分为欧式期权和美式期权欧式期权只能在期权到期日执行，而美式期权 允许期权持有者在到期日之前的任意时刻执行期权 1 1 期权的历史和现状 1 1 1 期权交易历史和发展 期权交易是金融衍生品交易重要组成部分在许多人心目中，期权是2 0 世 纪7 0 年代后才出现的种金融创新工具，但事实上具有期权性质的交易可以追 溯到很久以前早在公元前3 5 0 0 年，古罗马人和腓尼基人在货物交易的合同中 就已经使用了与期权相类似的条款但是，最早的有史料记载的期权交易是由 古希腊的哲学家萨勒斯( t h a l e s ) 进行的而1 7 世纪荷兰郁金香热使期权得以广 泛运用1 6 3 5 年，那些珍贵品种的郁金香球茎供不应求，加上投机炒作，致使价格 飞涨2 0 倍，成为最早有记载的泡沫经济这般投机狂潮却开启了期权交易的大 门郁金香交易商向种植者收取一笔费用，授予种植者按约定最低价格向该交 易商出售郁金香球茎的权利同时，郁金香交易商通过支付给种植者一定数额 的费用，以获取以约定的最高价格购买球茎的权利1 9 7 3 焦r 4 月2 6 日，芝加哥期 权交易所正式成立。标志着期权交易进入了标准化，规范化的全新发展阶段芝 加哥期权交易所先后推出的股票的买权和卖权都取得了成功之后美国商品期 第l 苹弓i 占 货交易委员会放松了对期权交易的限制，有意识地推出商品期权交易和金融期 权交易1 9 8 2 年，作为试验计划的一部分。芝加哥期权交易所推出了长期匡债斯 货的期权交易1 9 8 3 年1 月，芝加哥期权交易所推出了s & p 5 0 0 股票指数期权。随 着股票指数期权交易的成功，各交易所将期权交易迅速扩展至其它利率外汇等 金融品种上1 9 8 4 年到1 9 8 6 年间，芝加哥期权交易所先后推出了大豆，玉米和小 麦等品种的期货期权除美国之外，全球有影响的期权市场还有欧洲期权交易 所，伦敦国际金融期货期权交易所，香港期货交易所，韩国期货交易所等期权市 场无论从品种上还是地域上都获得了长足的发展 期权交易在我国实际上已经有了很广泛的应用。比如国债回购，银行间票 据的调期等而我们最为熟悉期权交易莫过于2 0 0 5 年8 月在上海交易所公开上 市的宝钢权证但是宝钢权证只是一个以现货股票为标的的认购期权。因而与 完整意义上的期权交易相比还是不完善的 1 1 2 期权定价和波动率 随着期权交易的日益发展。期权定价成为金融理论的首要问题如今欧式 期权的定价已经有了较成熟的理论，而美式期权的定价现在主要使用的是数值 分析方法，常用的有二叉树法，有限差分法和蒙特卡洛模拟方法有限差分法即 通过数值方法求解衍生资产所满足的微分方程来为衍生资产估值，将微分方程 转化为一系列差分方程之后，再通过迭代法求解这些差分方程 在影响期权定价的因素中，波动率是十分关键的因素，也是最难以了解的 因素波动率通常用于描述价格在一定期问内的波动性一般用年度化的标准 差来表示波动率主要分为实际波动率，历史波动率，预期波动率。隐含波动率 在b s 模型中假设波动率为常数，但实证分析表明波动率常常依赖于时 间t 和标的资产价格s ( t ) 等因素。因此根据b s 模型得到的期权价格与其真实 价格相差很大用来获得期权的较精确价格的方法大致分为两类一类是仍依 据b s 模型来对期权定价，但要对其中的波动率作修正，根据市场上收集到盼 有关数据资料对波动率作出估计。以此估计值作为标的资产价格模型中的常数 波动率估计波动率的方法主要有历史波动率法和隐含波动率法等另一类是 将波动率看作一个随机过程，称之为随机波动率，直接置于标的资产价格模型 中，然后根据该模型推导出期权的价格处理随机波动率的方法主要有 ( 1 ) 将波动率看作是时间t 和标的资产价格s ( t ) 的一个已知函数口“，s ( t ) k ( 2 ) 将波动率看作是一个时间序列过程。 ( 3 ) 将波动率看作是另一随机过程y ( t ) 的已知函数盯( y ( t ) ) 一2 一 隳1 章引占 本文将以方法( 3 ) 来建立标的资产的价格模型 h u l l 和w h i t e 等人将波动率定义为由第二个布朗运动驱动的扩散过程。并 讨论了在这种随机波动率模型下。基础股票无分红的欧式期权定价问题，见 文【6 】和文【1 l 】在此基础之上，文1 2 4 】给出了在随机波动率模型下。基础股票有分 红并送配股的美式看涨期权定价问题 1 。1 3 本文主要结论 本文将文【2 4 】中由布朗运动驱动的标的资产推广到由“v y 过程驱动的标 的资产，得到相似的结论主要结论有 ( 1 ) 带随机波动率的“v y 模型下欧式期权的价格函数所满足的偏微分方 程。 ( 2 ) 带随机波动率的“v y 模型下美式看涨期权的价格函数在无分红和有 分红或送配股时所满足的偏微分方程， ( 3 ) 美式看涨期权的最优执行时间只能在到期日或者每次分红或送配股 除权除息前的瞬闻 1 2l 誊、，y 过程和泊松随机测度简介 1 l 白y 过程 设( q ，莎，p ) 是一完备的概率空间，x = ( x ( o ，t 0 ) 是定义在( q ，穸，p ) p 的随机过程，称随机过程x 为“v y 过程。如果 皿1 ) x ( o ) 一0 乱s ， 皿2 ) x 具有独立增量和平稳增量 a l 3 ) x 是随机连续的，即v a 0 和v s 0 罂p ( i x ( t ) 一x ( 8 ) l 口) = 0 2 泊松随机测度 设( q ，箩，p ) 是一完备的概率空间，( t 玩) t o 是穸的单增伊域流，( x ( t ) ，t 0 ) 是( q ，莎，p ) 上的一个玩适应k v y 过程记r o = r 一 o ，其中r 为实数集，对任 意给定的a 留( r o ) 定义 n ( t ，a ) = “o 8 t ；z 、x ( 8 ) 舢，0 1 ) 一3 一 其中ax c t ) = x ( t ) 一x ( t - ) ，记号4 ) 表示 中点的个数 对给定的。q 和t 0 ，n ( t ，) ( u ) 是( 硒，留( 硒) ) 上的测度，称n ( t ，) 为 与1 z , v y 过程( x ( t ) ，t 0 ) 相联系的泊松随机测度 对任意给定的a 留( 硒) ，( ( t ，a ) ，t o ) 是一泊松随机过程令v ( a ) = e ( n ( 1 ，a ) ) ，则( ) 是( 硒，留( r o ) ) 上的测度，称p 为过程( t ) ，t 0 ) 的i m v y 测 度 记 ，a ) = n ( t ，a ) 一枷( a ) ，称( ，) 为校正的泊松随机测度由 于( 霄( t ，a ) ，t o ) 关于( 玩) 。) o 是鞅，故( ( ，) ) 是鞅值随机测度 设x 是“v y 过程。则存在b r , a 0 使得0 有 x ( t ) = b t + a b ( t ) + z 同r ( t ，d 力， ( 1 2 ) j i i o 一 其中b = e ( x ( 1 ) ) ，b = 徊o ) ，t o ) 为标准布朗运动，n ( t ，) 为与x 相联系的泊 松随机测度且与b 相互独立 在本文中我们假设v ( r o ) 一l 为常数，在【c o o ) 上的 积分应理解为在b 酗) 一 o 上的积分且y ( f ) 满足如下方程 d y ( t ) = 口( m y c t ) ) d t + a d d ( t ) ，0 t t 曲( t ) = p d b ( t ) + 、7 f 7 d ( t ) ，0 t t ( 1 4 ) ( 1 5 ) 其中( t ) 是与b ( t ) 相互独立的另一个标准布朗运动。a 。卢，bm 均为常 数 p i o ，1 l 表示过程日( t ) 与过程台( ) 之间的相关系数一 另一种资产是无风险资产。它在时刻t 的价格为 ，t a ( t ) = e 印【r c u ) d u ，0 t t ( 1 6 ) j 0 其中r ( 亡) 0 是一适应过程，且与b ( ，w ( 力，霄( t ，) 独立称r ( t ) 为在时亥缸的无风 险利率，一般情况下。可取r ( ) 为复合泊松过程 注1 1 在以上模型中所涉及的过程均假定是右连左极的 利用( 1 4 ) 和( 1 5 ) 式可将风险资产在时刻t 的价格s ( t ) 所满足的方程改写为 d s ( t ) = s ( t 一) 山o ) ( i t + 矿( y ( t ) ) d b ( t ) + x n ( d t ，出) 1 ，0 t t ( 1 7 ) ， j c d y ( t ) = a ( m y ( t ) ) d t + 励d 丑( t ) + 、7 f ：i 尹d 协，( t ) ，0s tst ( 1 8 ) 其中b ( ) ，( t ) 是两个相互独立的标准布朗运动，p 1 0 ，l 】为常数 1 3 2 欧式和美式期权定价公式 欧式期权定价公式为 v ( t ，s ) = e ( e f r 叫“，( s ( 巧) i 舅) 垒( e 一帕郧) ) 美式期权定价公式为 w ( t ，s ) = s 1 粤e ( e f ( “) “，( s p ) ) l 。线) r ，k , t i 、7 垒，；裟马一( e f r 血，( s p ) ) ) r ，n , t i 、， 其中，( z ) 为连续的契约函数，如看涨期权，( z ) = 扛一七) + ，看跌期权，( ) 一 一$ ) + 岁a 表示在a r 中取值的只停时集，e ，表示关于某个等价鞅测度 在s ( t 】= s 条件下取期望 一6 一 第2 章期权价格满足的偏微分方程 2 1 使标的资产折现值为鞅的等价鞅测度 2 1 1 嬲( 正a ) ，嬲( t ) 的含义和指数鞅的概念 设x 是一“v y 过程，其m v y 测度为i ，对给定的t 0 , a 留( 蝻) ，考虑 从【o ，明a q 到r 的映射f 粥( z a ) 表示所有满足下述条件的映射f 组 成的集合 ( 1 ) f 是可料的， ( 2 ) 例如皇e ( 譬厶i f ( t ，z ) 1 2 ) 出) o o 特别地当f 是从【o 习q 到r 的映射时，简记为。，缓( t ) 基于“v y 过程的随机积分具有如下重要性质： ( 1 ) 若f ( t ) 镅( 刃，则( 后f ( 仳) d b ( 缸) ，0 t 是连续的平方可积鞅； ( 2 ) 若日z ) 兹( e 舢，则( 露厶日( u ，z ) f i l ( d u ，血) ，0 t t ) 是平方可 积鞅 设y 是一随机过程，称e l = ( e y ，t 0 ) 为随机指数过程如果随机指数过 程e y 是鞅，则称e y 为指数鞅 2 1 2 使标的资产折现值为鞅的等价鞅测度 设风险资产在t 时刻的价格s ( t ) 满足方程( 1 7 ) 和( 1 8 ) ，它的折现值亏( t ) 定义 为 雪( t ) = e - 石( 砷d 。s ( t ) ，0 t 其中r ( t ) 为无风险利率对折现值雪( t ) 应用蚴公式得 d 雪c t ) = d ( e 一后7 血s ( t ) ) = e - - 詹r “) 血d s ( t ) 一r ( t ) e r ( ) d u s ( t 一1d t e - - j ：一曲d - s ( t 一) “( ) d t + 盯( y o ) ) d b ( t ) 一1 一 ， + x 霄c a t ，如) 一r ( t ) 叫 j t = 雪。一) 【( _ i ( t ) 一r ( t ) ) d t + a c y c t ) ) d b c t ) + z ( 疵，如) 】( 2 1 ) 由文【7 】知，若f ( t ) 满足条件 ( q ) m ( o 嬲( t ) 且e ( e 印( f 产( t o d 啦) ， h , j ( e y , ( 0 ，0 t t ) 是指数鞅 舯 脚一f(u)db(u)一珂f2(u)dujoj o ， 以 ，i m ( t ) = ) 一言 ， 若日0 ) 满足条件 鼢) 氏俨( z ) l ，( 出) y ( t ) ) 胁( y ( t ) ) s ( 一) a t ， + o ，( 1 + z ) s ( t 一) ，y ( d ) 一y o ，s ( t 一) ，y ( t ) ) 】霄( a t ，d z ) ，c ， + 【y ( ，( 1 + z ) s ( t - ) ，y ( t ) ) 一y ( t s ( t - ) ，y ( t ) ) ，c z s c t - ) 爰v ( t ，s ( t 一) ，y ( t ) ) 】矿( d z ) d t = 【爰y ( t ，s ( t 一) y o ) ) + 裘y ( t ，s ( t 一) ，y ( t 一) ) r ( t ) s o 一) + 南即，即_ ) y ) ( m y + a a ( t ) ) + ；暑y ( t ，s o 一) ，y ( t ) ) 盯。( y o ) ) 铲。一) + 譬嘉y 似州，y 带 + 赢y ( t ，s ，y ( t ) ) 胁( y ( 2 ) ) s ( 。一) ，0 0一 + ( y ( t ，( 1 + z ) s ( t - ) ，y o ) ) 一y ( t ，s ( t - ) ，y ( t ) ) ，c z s ( t 一) 未丫 ，s ( t 一) ，y ( t ) ) ) 矿( d x ) d t + 【象y ( t ，s ( t 一) ，y c t 一) ) 口( y ( t ) ) s o 一) + 昌即，即吨y ( t ) ) 例d 矿。) + 南盹- ) ，邢) 妒厅硒州t ) ， + 【y ( t ，( 1 + x ) s ( t - ) ，y ( t ” ，c v ( t ，s ( t 一) ，y ( t ) ) 】膏( a t ，d z ) ( 2 1 0 ) 对矿以s 0 ) ，y ( t ) ) 应用蚴公式可得。 d l t ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) = d ( e 一厝r “y ( t ，s ( ，y ( t ) ) ) = e 一后血d v ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) 一r c t ) e 一后扣 “v ( t ，s ( t 一) ，y ( t ) ) d t e - c , r ( 帕“ d v ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) 一r ( t ) v ( t ，s c t 一) ，y ( o ) d t 将( 2 1 0 ) 式代入上式得 d v ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) = a ( t ) a t + f l ( t ) d b ( t ) + f 2 ( t ) d w ( t ) + 日( t ，z ) 霄( 出，d z ， ， ，c 其积分形式为 矿( t ，s ( ) ，y ( o ) 一矿( 0 ，s ( 0 ) ，】，( o ) ) = rg ( 胁厶旧( u ) + z 眦炒 + r f 卿删毗血2 ( 2 1 1 ) 其中 g ( f ) = e 一石r m f - r ( t ) v ( t l s ( t 一) ，y ( t ) ) + 爰矿( t ，s ( t 一) ，y ( t ) ) + r ) s o 一) 未y ( t 晕。一) ，y ( t 一) ) + ( a ( m y ( t ) ) 勘) 南吣s ，y ( t ) ) + ；椰( t ) ) s 2 ( t ) 暑”s ( t - ) 州) + 争杀眦州删) 船 + 跏( y ) ) s ( t 一) 赢y ( t ，s ( t 一) ，y ( t ) ) ， + ( y ( t ，( 1 + 功s ( t 一) ，y ( t ) ) 一y ( t ，s ( t - ) ，y ( t ) ) j c z s ( t - ) f f - 晏v ( t , s ( t 一) ，y 。) ) ) 矿( d z ) 1 ， 月( t ) = e 一咖扣m p ( y ( t ) ) s ( t 一) 罴y ( t ，s ( t 一) ，y ( t 一) ) + 励品y 心s ( t 一) ，y ( t ) ) l 跳) = e - 詹帕p 万孑品即，s ( t - ) ，y ) ， n ( t ，。) = e - - 石7 扣) 血i y ( t ，0 + z ) s c t 一) ，y o ) ) 一v ( t ，s ( t 一) ，y o ) ) 】 引理z 1 设g = ( g ( t ) ，0 t t ) 是满足条件e ( 层。l g ( u ) l d u ) 的适应 过程，则g 是鞅的充分条件是耽【0 ，t l ，a c t ) = o ，a s 。 证明充分性是显然的，下证必要性设g 是鞅，由于v 0 8 t e ( rg ( m 防) = 础z g m ) d 钍+ f g ( 牡) d 札) f 只】 1 8一 。 = g ( u ) d u + e ( a c u ) d u l 只) ， 因此e ( cg ( 让) 池i 。纪) = 0 ，o s ， 由条件f t 觑砸定理有 e ( g ( 缸) 慷) 池= 。，a ， 于是 g “c - h 溉j c e ( g ( u ) i 六灿= o ， 因此由眈6 e 凹雠微分定理有e ( g ( 8 ) 1 。咒) ；0 ，t 1 8 又因g 是适应过程，故 g ( s ) 一0 m 8 8 o ，刁移 田i - 详1 l j 瓦左您戊石皿弟一。= 。凹坝明为轶，凼此田引理2 1 知v t 【0 ，邳，g ( t ) = 0 ，口 于是我们得到下述定理 定理2 1 设欧式期权价值函数y 0 ，8 ，暑) c i , 2 , 2 ，则y 满足下述偏微分方程 j 0 v r s o y 州m 刊例嘉y + 知炉嚣y + 胁c 咖磊y + 争茅y + z ”( v * - v - 船爰y 矿( 血) 一1 5 一 第2 覃期权价崭满足的偏微分方程 = 朋，v ( t ，s ，y ) 【0 ，刁r + xr ( 2 1 2 ) 其中 v = v ( t ，( 1 + z ) 8 ，! ，) ，矿( d 。) = e 目陋) 扩( d z ) ， 终值条件是 y s ，y ) = ，( s ) ，0 ( 2 1 3 ) 对任意给定的牡( t ，s ，y ) c 1 2 ，2 。定义二维非齐次跳跃扩散过程( 2 9 ) 式的无 穷小生成算子a 如下 a ，s ，v ) 垒雌) s 未u ( 如，) + 陋( m 一) + 肼( 纠品u ( 铀，s ) + 知) s 2 昙心，s ，咖+ 胁磊绯，s ，们 + 譬导 卅z ”川- 俄们 叫如埘一z s 妄仳他删) m 血) 则( 2 1 2 ) 式可以改写为 晏y + a y r ( t ) y = o ，v ，毛y ) 【o ，司r + r ( 2 1 4 ) 所以欧式靳极的价格甬麴清足幻- f 偏糍辞甫程 妻2 鬟：乏0 v ( 岛s ，们 o , 7 1 r + x r , ( 2 1 5 ) iy ( 正岛f ) = ，( s ) ，v s 0 7 第3 章美式看涨期权的定价 3 1 不分红利情况下美式看涨期权的定价 在本章中我们将标的资产看作是某支股票以y ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) 和w ( t , - s ( o ，y ( t ) ) 分别表示欧式看涨期权和美式看涨期权在时刻t 的值 定理3 1 设契约函数f 酝) 是凸函数且f ( 0 净0 则在不分红利的情况下，美式期 权与欧式期权价格相同，即v t 【o ，刀， v ( t ，s ( t ) ，y c t ) ) = w ( t ，s c t ) ，y ( t ) ) ( 3 1 ) 证明因f ( x ) 是凸函数且f ( o ) = o ，故对任意给定的q 【0 ，1 1 ，都有，( n 。) 口，( z ) 对任意给定的停时r 瓦r ，g a b ( t ) o 知o e - - f 似1 因此有 f ( e f r ( u ) d u s c t ) ) e - r 血，( s ( 研) 又因为雪= e - - 露小) d l s ( 幻是鞅，于是由条件期望的性质、j 蝴不等式 和d o o b 停止定理有 v ( t ，s ) ，y ) ) 一f ( e j ，r “) 8 u ，( s ( 即) i 五) = e e ( e f u m ，( s ( t ) ) 限) 阮 = e e 一髟r “灿e ( e f r ( u ) d l ，( s ( 刃) 孵) 阮) e t e - fr 恤) d t e ( ，( e f r “s ( 习) l j _ r ) i 五) = e e f ( 时血e ( ，( e 詹7 “) “雪( t ) ) l j ) l 五 e e f 一时“，( e ( e 石( 乜) d i 雪( 即 ) ) i 五) = e e f r 扣) d l “e g “) d i e ( 雪( 即l 再) ) 阮) 一1 7 一 一e ( e f 砷“，( 7 ( ”心雪( 丁) ) 阮) = e ( e j ；巾灿，( s ( r ) ) i 五) 由7 的任意性有 v ( t ，s ( t ) ，y ( t ) ) s u p ，秭，e ( e f7 ( “) d “，( s ( r ) ) j 五) 一w ( t ，s ( ) ，y ( t ) ) 另一方面显然有 v ( t ，s 0 ) ，y ( t ) ) w ( t ，s ( ) ，y 0 ) ) 从而定理3 1 得证1 注3 1 ( 3 1 ) 式表明t 是一个最优停时，也即是美式期权的最优执行时间，因 此美式期权无须提前执行 注3 2 看涨期权的契约函数为f ( x ) = p 一) + ，显然它满足定理3 1 的条 件因此对于看涨期权，在不分红利的情况下，美式期权和欧式期权同价，从而美 式看涨期权价格也满足偏微分方程( 2 1 5 ) 3 1 2 有分红并送配股情况下美式看涨期权的定价及最优执行时 间 设美式期权的契约函数为，( 功= 仁一目+ ，假定在时刻t l 【0 ，邛有一次 分红并送配股，卢【o ，l 】为现金红利率，送股比例为巩o ，配股比例为如20 ， 配股价与时刻t 1 前瞬间的股价s ( t t 一) 的比例为r ( 0 ，1 ) 根据除权除息前后市 值相等的原则，除权除息后股票的报价为 记 s m ) = 罱篇s - ) ( 3 2 ) l 一口4 - 如 口2 百丽 称口为分红送配股率易证0 口1 一1 8 一 ( 3 3 ) 第3 章美式羲涨期权的定价 由( 2 5 ) 及肋公式得 s ( t ) = s ( 0 蛔( 厂r ( u ) d u 一；j oj o 以莉u ) ) 池 ) = s ( o ) e 印( 一妻矿( y ( u ) ) d z too + 仃( y 心) ) d b + ( t ) + z 亿( 1 + z ) 膏( t ，d z ) j 0j c 。too “i n ( 1 + z ) 一叫矿( 出) ) ( 3 4 ) j c 于是在时刻厶有分红并送配股的股价过程满足 s ( t ) 一 s ( o ) e 印( 后r ( “) d 札一 j ：盯2 ( y ( 缸) ) d 让 + 露盯( y 扣) ) d b ( t ) + j j n ( 1 + 膏( t ，d z ) + t j p n ( 1 + 功一耐王，( d z ) ) 0 t t l a s ( t - 一) e a 顽j ：r ( u ) d u 一 j ：矿( y ( u ) ) 血 + 露仃( y ( u ) ) d b ( t ) + j h ( 1 + z ) ( t ，d ) + t j p n ( 1 + z ) 一司矿( d 妨) ，t l t s z ( 3 5 ) 考虑以上述股票为标的资产的美式看涨期权对任意给定的t 【0 ，明，美式 期权在时刻t 一的值为 h 7 一，s ( t - ) ，y ( t 一) ) ；m d ，( s ( t 一) ) ，e ( 矸，( t ，s ( d ，y ( t ) ) l z t - ) ) ， 其中五一一n 。o 五。由( 2 8 ) 式知y ( t ) 的几乎所有轨道都是t 的连续函数，而在 时亥啦! j ( t 1 ) = 口s ( t 1 一) ，于是 e ( w ( t x ，s ( t 1 ) y ( t 1 ) ) i 五。一) = e ( w ( t 1 - ，q s ( t l 一) ，y ( t l 一) ) i j 一) = i 矿( t 1 一，口s ( t l 一) ，y 0 1 一) ) 因此在除权除息前的瞬问，期权的值为 i 矿( t 1 一，s ( t 1 一) ，y ( t x - ) ) = 竹l n z ，( s ( t 1 一) ) ，w 7 ( t l 一，a s o i 一) ，y ( t 1 一) ) ) ( 3 6 由于时间区间( o ，t 1 ) 上股票没有分红及送配股，因此由定理3 1 知荚式期 权与欧式期权价值相同，从而美式期权值也满足偏微分方程( 2 1 5 ) 如果在时 亥拈1 美式期权未被执行，则在时间区间陋l 幻上。可设该期权为以t 1 为起点，以t 为 到期日的期权而在该区间上股票也没有分红及送配股，因此由定理3 1 知，美式 期权与欧式期权价值相同，从而美式期权值也满足方程( z 1 5 ) 因此在时刻t 1 有 分红并送配股的美式看涨期权的最优执行时间只可能是t l 一或z 而在t l - - 时刻 执行期权的条件是 w ( h ，口s ，l ，) ，( s ) 综上可得以下推论 推论3 1 设美式期权在时刻t l 有分红并送配股，其分红送配股率为 对0 t t l , 美式看涨期权的价值函数满足方程 是( t ，s ，寥) + a t w ( t ，s ，们一r ( t ) w ( t ，3 ，| ，) = 0 ， v ( t ，s ，耋，) 【o ，t 1 1 r 卜r w 7 l 一，s ，秒) = 竹l n z ，( 8 ) ，i 矿( t l 一，q s ，耋，) ) ， v ( 8 ，暑，) r + k 对t l t t 。荚式看涨期权的价值函数满足方程 期权的最优执行时间只可能是t 1 一或z 在时刻t 1 一执行期权的条件是 w ( h ，o t $ ，| ，) ，( 5 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 现假设在期权的存续期内有n 次分红及送配股，时间为o = t o t l 啡 熙 叫 时 哪呶 朋嚣忡 m 棚 刷淼 第3 荦美式霸涨期权的定价 “l 对应的分红送配股率分别为 o k - - - - 笔涨沁1 一，扎 ( 3 ，) 类似上述讨论易得以下推论 推论3 - 2 设美式期权在时刻t i 有分红并送配股，其分红送配股率分别 为啦= l ，n 对岛一1 t 如( ；l ，n ) 美式看涨期权的价值函数满足方程 是( t ，s ，可) + a w ( t ，s ，) 一r c t ) w ( t ，s ，l ，) = 0 ， v ( t ，8 ，掣) i t , 一1 ，t ) r + r 缈慨一，5 ，们= m 凹 ，( 8 ) ，w ( t t - ，啦s ，v ) ， v ( s ，y ) r + r 对kst z 美式看涨期权的价值函数满足方程 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 期权的最优执行时间只可能在t l - - , 幻一，k 一或z 在时刻如一执行期权的条 件是 w 他，c r i b ，y ) ，( s ) 叭 k 叫 p 哪圾 器m h 吖滁 参考文献 lj o h nc h u n ，o p t i o n s , f u t u r e s ，a n do t h e rd e r i v a t i v e s , 清华大学出版社，2 0 0 1 2k w o k , y i c , m a t h e m a l i c a lm o d e l so ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ，s p r i n g e r - v e r l a g s i n g a p o r e 1 9 9 8 3b l a t t b e r g i l c a n dg o n c c l c s , n j c o m p a r i s o no ft h es t a b l ea n d 咖d e n td i s - 仃i b u t i o n s 觞s t a l i s t i c a lm o d e l sf o rs t o c kp r i c c s j b u s i n c s s , 4 7 ( 1 9 7 4 ) 。2 4 4 2 8 0 4 s c o t t , i o 。o p t i o np r i c i n gw h e nt h ev a l i a n c h a n g e sr a n d o m l y ：t h e o r y , e s t i - m a r i o na n da na p p l i c a t