（运筹学与控制论专业论文）复杂网络广义同步理论与方法研究.pdf

a卜 劝口d 八 b s t r a c t c o m p l e x n e t w o r k s , i n c l u d i n g t h e s m a ll - w o r l d n e tw o r k s a n d t h e s c a l e - fr e e n e t w o r k s , a r e l a r g e s c a l e n e t w o r k s w h o s e s t r u c t u r e i s ir r e g u l a r , c o m p l e x a n d d y n a m ic a l l y e v o lv i n g in t i m e . s y n c h r o n i z a t i o n i s a p r o c e s s w h e r e in m a n y s y s t e m s ( e i t h e r e q u i v a l e n t o r n o n - e q u i v a l e n t ) 呐u s t a g iv e n p r o p e r t y o f t h e ir m o t i o n d u e t o a s u i t a b l e c o u p l i n g c o n fi g u r a t i o n , o r t o a n e x t e r n a l f o r c i n g . o w i n g t o t h e i n t e r a c t i o n s o f c o u p l e d n o d e s , t h e r e s e a r c h s o f t h e s y n c h r o n i z a t io n o n c o m p l e x n e t w o r k s h a v e g a i n e d r a p i d d e v e l o p m e n t i n r e c e n t y e a r s . h o w e v e r , m o s t o f t h e s e r e s e a r c h e s a r e s t i l l t h e o r e t i c a n d p a y l i tt l e a t t e n t i o n t o t h e c o m p l e x n e t w o r k s w h o s e n o d e s r e a li z e g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n . t h i s t h e s i s d e v e l o p s a n o v e l d e f in i t i o n o f g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n o n c o m p l e x n e t w o r k s c o n s i s t o f b o t h n o r m a l d y n a m i c s s y s t e m a n d c h a o t i c d y n a m i c a l s y s t e m s . wi t h t w o u s u a l m e th o d s d e t e c t in g g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n , t w o c r i t e r i a o f g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n o n n e t w o r k s a r e a d v a n c e d . s o m e c o m p l e x d y n a m i c a l d i s c u s s e d b r i e fl y a c c o r d i n g t o t h enu me r i c a l s i mu l a t i o n s o f a s ma l l m o d e l a n d a s p i k i n g n e uro n s wi t h t w o mo d u l e s . i n c o n c l u s i o n , t h e p r o s p e c t i o n o f g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n o n n e t w o r k s i s r 卜 a r a c t e r i z e d . t h e m a i n i n n o v a t i o n s o f t h i s d i s s e r ta t i o n a r e t o i n v e s t i g a t e t h e n e w t h e o ry a n d a p p li c a b l e me t h o d s o f g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n o n c o m p l e x n e t w o r k s . t h e r e s e a r c h e s p r o v i d e a s e r i e s o f in n o v a t i v e fr a m e w o r k , w h i c h e x p l o r e t h e n e w t o p i c i n t h e a r e a o f c o m p l e x n e t w o r k s r e s e a r c h . i t i s p r e c i s e l y b e c a u s e o f g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n c o n c e p t s a n d m e t h o d s , w h i c h i n t u rn c o n t ri b u t e t o a c o m p l e x n e t w o r k m o d e l c l o s e r t o t h e r e a l w o r l d , t h e r e b y i m p r o v e t h e c o m p l e x n e t w o r k o f t h e o r e t i c a l c o n t e n t . k e y w o r d s : c o m p l e x n e t w o r k s , s m a l l - w o r l d n e t w o r k s , s c a l e - fr e e n e t w o r k s , c h a o s , s y n c h r o n i z a t i o n , g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n , c o n d it i o n a l l y a p u n o v e x p o n e n t . n 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、 保存、使用学位论文的 规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本; 学校有权保存学位论文的印刷本和电 子版， 并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以 赢利为目 的的前 提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内 容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 :价协 朱 ,) 种 年今 月 沾日 经指导教师同意，本学位论文属于保密 ，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间: 年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: ( 最长5 年，可少于 5 年) 曝 乡咚 pt!-,t 10 ( 最长 2 0年，可少于3 0 年) 年阵啤 层d一iq自 部密密 内秘机 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的 学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中已经注明引用的内容外， 本学位论文 的 研究成果不包含任何他人创作的、 己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己在文中以明 确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担 。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 徐* 禾 召 叼 年夕月 众 夕日 第一章 绪论 第一章绪论 英国著名理论物理学家史蒂芬 霍金在2 0 0 0 年曾说过一句名言: “ 我相信， 2 1世纪将是复杂性的世纪。 ” 这句话高度概括了下个世纪理论科学面临的任务 是处理各种复杂系统，也就是说我们要建立一套不同于过去的理论体系以面对 2 1世纪的科学挑战。 “ 复杂性”范式已成为科学研究的主流新范式。而作为复 杂性范式中新的研究模型，复杂网络在科学发展长河中逐渐凸现出来，显然具 有其发展必然性，并对复杂性科学的研究发展贡献出深远意义。 第一节引言 我们认为谈到近代复杂系统理论首先应该介绍诺贝尔奖获得者普利高津的 观点 1 2 1 。 他在 对科学的 挑战 和 时间之探索 两篇文章中 详细地谈了 他的 科学观。在谈到简单性和复杂性问题时，他认为西方的经典科学更多地强调了 还原论，而中国的古典哲学强调的是整体性，现在是到了强调两者结合起来的 时候了，也就是说科学研究应当进入由简单化向复杂性转化时代。为此，他提 出了耗散结构理论，按照这种理论，一个复杂系统应当由大量互相作用的基本 单元组成;这个系统应当 是开放的，可以与外界环境进行物质、能量和嫡的交 换，从而使系统在处于远离平衡态时表现出耗散结构，实现由混沌到有序的转 化。在分析这种耗散结构建立时，普利高津用到了分叉理论和随机涨落两种方 法。 与 普利高 津建 立 耗 散结 构的同 一时期， 德国 著名 物理 学家哈肯 13 1 也 研究了 这种由大量基本单元组成的复杂系统，并以此建立了协同论的理论。按照协同 论观点， 这类由大量基本单元组成的系统存在着彼此协同 作用，结果应当服从 伺服原理。 在具体研究某个复杂系统的某一行为时，基本单元的协同作用表现 为序参数， 这个序参数在讨论该行为时起到主导作用， 在系统演化时基本单元 的协同作用就表现为它们的行为被序参数所伺服。序参数的维数往往不是很高 的，因而可以通过对序参数演化的研究得到系统的整体性质。近年来数学上发 现的中心流形定理，无穷维动力系统中的惯性流形理论以及动力系统中慢变控 制快变的一系列结果从本质上来说都反映了这种伺服原理的思想。 第一章 绪论 上述两项对复杂系统处理的思想基本上出现在2 0 世纪6 0 年代未到7 0 年代 初。7 0 年代末出现非线性科学研究热潮又一次极大影响了复杂系统研究。复杂 系统中基本单元的相互作用必然导致其描述的数学模型具有非线性这个共性， 非线性科学的兴起来自 于对这个共性的研究。 研究结果表明，对于一个确定性 非线性系统， 不管 其维数如何，出 现混沌现象是 相当 普遍的4 ,5 1棍沌性质明 确 地指出了在确定性系统中完全可以出现类随机性质的解，打破了拉普拉斯确定 论，这是认识论上一个重大突破。实质上这个结果告诉我们采用纯确定性或纯 随机性观点来研究系统都存在片面性，对一个系统行为的研究需要把这两种方 法有机的结合起来，尤其对于复杂系统的复杂行为。从这儿我们也可以体会普 利高津提出由 简单性转化复杂性是超前的科学预测。 经过近几十年的研究，人 们对非线性系统的混沌行为有了较深刻的理解6 - 1 3 1 ， 加上惠更斯同步现象 14 1 的 发 现， 促使了 在2 0 世纪9 0 年代初混沌控制 1 5 - 1 7 1 和混 沌同 步 1 8 ,1 9 1 理论的建立和 发展。棍沌控制的原始思想是当一个系统处于混饨态时，其相空间所表现的混 沌奇怪吸引子中嵌入有无穷多的不稳定有序态，这种有序态可以通过系统参数 微调后在不改变系统本质特点的条件下得到控制。 换句话说，对于一个处于混 饨状态系统通过参数调节的控制方法，我们就可以实现向有序态的转化。同时 由 于有序态的数目 是无穷多个，故转化为各种有序态的可能性也有无穷多种。 我们应该看到近代复杂系统的理论虽然已经提出了几十年，也己经取得了 很大成果，但由于问题和困难是前所未遇的，所以 要真正成为一个比较完整的 系统理论还为时过早。不过我们应该注意到上述的一系列结果己经为我们从理 论上探索复杂系统提供了一些有益线索。 为了从理论探索复杂系统，我们首先要建立相应模型。复杂系统涉及到各 个方面问 题，因而讨论什么样的模型能从最广泛意义包含尽可能多感兴趣的问 题是很重要问题。从现有认识来看，不管那一种复杂系统都含有许多基本单元 和基本单元互相作用两部份，显然以这两个基本部份构成的模型应当对复杂系 统具有最广泛意义。很幸运我们从图论中找到了 这种模型，即现在常常提到的 网络。从图论观点来看，网络应当有结点和连接结点间的边线两要素组成。这 样如果我们把复杂系统中的基本单元看成结点， 把基本单元之间的相互作用看 成结点之间的连线，显然网络就可以看成复杂系统的一个最基本的数学模型。 当然对于不同复杂系统，由于背景不同，所建立网 络模型中结点和结点之间连 线的具体刻划是不同的。 第一章 绪论 接下来的问题是这样建立的网络模型有什么特点，能否用图论中己 经比较 熟悉的那些典型网络来处理?要回答这个问 题只有一个办法，既从实际的复杂 系统中去建立网络模型， 然后分析这样模型的 特点。这件工作也不是一件简单 的事， 因为复杂系统一般包含大量基本单位， 它们之间存在着千丝万缕的联系。 这些技术上问题，近年来由于信息理论和计算机科学迅速发展，使得其有实现 可能。 近年来， 通过全世界科学界共同努力， 对许多典型复杂系统经过科学处 理得到了相应的网络， 例如w w w网、i n t e r n e t 网、科学家合作网、生物学中的 各种网络等等，结果发现这些网络都具有和现有图论所研究网络不同的一些特 点， 而且这此特点几乎是复杂系统所建网络所共有的， 这些实际网络的典型共性 就是小世界网 络2 0 -24 1 和 无标度网络 12 5 -3 3 1 。 于是我 们可以 得出 一个结论: 要开展 复杂系统理论的研究的模型应当建立在有全新拓朴结构的网络， 即复杂网络上。 复杂网络既然是描写节点及其关系的模型， 所以人们就会很自 然的想到这 些节点连成网络之间会产生什么作用，这些节点会有什么样的集群行为。复杂 网 络同步理论 3 4 -4 0 1 就是 研究和解决这类问题的 理 论。已 知的 研究结果表明，复 杂网络的同步不仅与网络节点的动力学行为有关，而且还取决于该网络的拓扑 结构;在一定的条件下，足够强的祸合可以导致网 络节点间的完全同步，但这 一结果无法解释为什么即使有非常弱的祸合条件下许多网络仍然呈现出较强的 同步化趋势，并且在不同节点组成的网络中完全同步比较难，是不是就意味着 没有同步?答案是否定的。此时不同节点组成的复杂网络或者祸合比较弱的网 络还是存在同步的，这种同步就是复杂网络的广义同步。这个问题实际上就是 本文所研究的主题。 第二节混沌同步理论研究现状 “ 同 步( s y n c h r o n i z a t i o n ) ” 一 词 来 源 于 希 腊 词 根 ， 意 指“ 共 享 同 一 时 刻 ，n 科学 史 上最先 发 现的 同 步 现 象， 是1 7 世纪 荷兰 物理 学家惠 更斯 1 14 1在病 床 上发 现 两个挂钟同步摆动。这一发现开辟了数理科学的一个分支一一祸合振子理论， 并以此为切入点揭示了自 然界中相当普遍的同步现象及其机理，比如夏天荷塘 蛙鸣的同步和夜晚萤火虫闪烁的同步。 同步理论应用产生的影响在核磁共振仪、 颗粒破碎机、激光发生器及保密通信等诸多领域都有体现。 由于混沌系统具有对初始条件的敏感依赖性，长期以来人们一直认为混沌 第一章 绪论 系统不可控制，勿庸说同步化了。直到 1 9 9 0 年，美国 海军实验室的p e c o r a 和 c a r r o l l 8 ) 指出:当混沌系统能分解成两个子系统， 而且响应系统中 所有的条件 l y p u n o v e 指数均小于零时，在驱动系统和响应系统中 会有混沌同步现象产生， 并通过混沌电路模拟了混沌同步的过程。 混沌同步指的是两个( 或多个) 棍沌系统( 或者是等价的或者是非等价的) 由 于祸合或者外在驱动作用，而将各自的行为调整到一致。这种行为的一致可以 是系统轨道的一致也可以是各系统间实现锁相。 从棍沌同步系统之间相互作用的角度来看，混沌同步可以分为主从同步和 相互同步。主从同步发生在单向祸合中，有一个主系统( 或称驱动系统) ，一个 从系统( 或称响应系统) ，从系统受到控制，而主系统不受控制。 相互同 步发生 在双向祸合中，混沌系统相互祸合、相互控制，换句话说每个系统既是主系统 又是从系统。 随着混沌同步理论的蓬勃发展，不到二十年的时间人们从不同的角度提出 7 不同的混沌同步现象， 即完全同步( c o m p l e t e s y n c h r o n i z a t i o n , c s ) 或者相同 同步( i d e n t i c a l s y n c h r o n i z a t i o n , i s ) + 8 1 ， 相同步( p h a s e s y c h r o n i z a t i o n , p s ) 4 1 ,4 2 1 , 滞后同步( l a g s y n c h r o n i z a t i o n , l s ) 4 ， 广义同步( g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n , g s ) (4 4 ， 阵 发 滞后同 步( i n t e r m i t t e n t l a g s y n c h r o n i z a t i o n , i mo ) 4 3 ,4 5 1 ， 缺陷 相同 步( i m p e r f e c t p h a s e s y n c h r o n i z a t i o n , i p s ) i46 1 ， 和 几 乎同 步 ( a l m o s t s y n c h r o n i z a t i o n , a s ) 4 7 等 等。 完全同步是最先发现也是形式最简单的混沌同 步， 表示两个混沌系统的轨 迹完全相同，此时子系统的条件l y a p u n o v 指数为负。 广义同步研究的是两个不同系统的同步现象，两个系统的输出之间不是完 全相同的关系，而是存在一种泛函关系。 相同步是指两个不同的振子系统达到锁相的状态， 但振幅的相关度又很弱。 滞后同步是介于相同步和完全同步的一种同步， 指的是两个系统输出相差 的 趋 近 于 一 个 时 间 常 数 z 4 ， 这 表 明 两 个 系 统 既 锁 相 又 锁 模 阵发滞后同步是指两个系统大部分时间处于滞后同步状态， 但是偶尔会出 现局部非同步阵发，此时对应着全局收缩方向上的l y a p u n o v 指数为正。 类似地，缺陷相同步指的是相同步域中存在相移。 最后，几乎同步描述了两个系统变量子集之差趋于有界状态。 第一章 绪论 第三节网络同步理论研究现状 假定一个网络中 所有个体的状态都是周期变化的，例如从发光到不发光， 那么看一似巧合的同 步现象可以用数学语言来描述。 其中，每个个体是一个动 力学系统，而诸多的动力学个体之间存在着某种特定的祸合关系。实际上，在 物理学、数学和理论生物学等领域，祸合动力学系统中的同步现象已 经研究了 很多 年。 控制论的 奠基者w i e n e r 就曾 分析过同 步化现象4， 而生 物学家w i n f r e e 则是被公认为同步问 题 研究的一位开拓者14 9 1 . w i n f r e e假设每个节点只 与它周 围有限个节点之间存在强力作用，这样振子的幅值变化可以 忽略，从而将同步 问 题简 化成 研究 相位 变 化的问 题。 在此基础上， 日 本学者k u r a m o t o 5 0 1 做了 重要 的简化: 一个具有有限个恒等振子的祸合合系统， 无论系统内部各个振子之间的 祸合强度多么微弱，它的动力学特性都可以由 一个简单的相位方程来表示。此 后，k u r a m o t o 模型成为了 研究网络系统相位同步的经典标准模型。但 2 0世纪 的工作大多集中在具有规则拓扑形状的网络结构上， 研究这些结构比 较简单的 网络，可以使得人们将研究重点放在网络节点的非线性动力学所产生的复杂行 为上，而暂时不去考虑网 络结构复杂性对网络行为的影啊。也有一些学者也讨 论了 在随机祸合网 络中的同步5 1 ,5 2 。 下面将从以 下四个方面对复杂网 络同步发 展现状进行综述。 1 . 3 . 1规则网络中的同步 在过去的几十年里， 关于祸合振子网络同步方面的研究主要集中在规则祸 合网络， 人们通常研究的有三种: 一种是最近邻祸合网络， 在邻近祸合的网络拓 扑结构中，由n个结点以 周期边界条件最邻近围成一个圈构成; 一种是全局祸 合网络在全局祸合的网 络拓扑结构中， 每一对结点是直接连接的; 另外一种是星 型祸合网络，在星状祸合的网络拓扑结构中，所有的节点都和同一个节点 ( 中 心节点) 有 连 接， 齐观 晓 5 3 指出 如果中 心振子 与其 它振子相同 ， 随着祸 合系 数 的变化会产生不同步一 弱同步一 强同步以及完全同步，如果中心振子与其它振子 不同，则随着祸合系数的变化会产生不同步，间歇性同步以 及层状同步，一种 新的混沌同步现象。 第一章 绪论 1 . 3 . 2小世界网络的同步 汪晓 帆和陈关荣指出 3 5 ， 对于任何一 个给定祸合强 度， 节点 足 够多， 节点 为连续动态系统的小世界网络能够达到同步.最近邻网络适当增加连接，网络 的同步能力能够大大的增强，也就是说小世界网络比规则网络更趋近于同步. 1 . 3 . 3无标度网络的同步 汪晓帆和陈关荣指出3 6 .，同阶的网络中，无标度网 络比局部规则祸合网 络 更容易同步，这有助于解释为什么真实的大规模网络更趋近于同步。他们还指 出，对于任意去除节点，无标度网络同步更具有鲁棒性，而有目的的去除度大 的点，无标度网络同步就非常脆弱。 1 . 3 . 4加权网络的同步 无权网络上的研究表明，网络的同步能力与网络的平均最短距离和集聚系 数密切相关，而在网络中适当加权与无权网络相比可以 大提高网络的同步能力 【“ ” 。 因为 网 络 节点的 平均度和点 强 度的 弥 散程 度 决 定了 网 络的同 步能 力 5 6 则加权网络同步的一个关键问题是在给定网络拓朴结构的的前提下，权重的匹 配能够优化网络功能。 第四节本文的内容创新与结构安排 本文所有工作就紧紧围绕这个复杂网络展开。网络的同步作为复杂网络的 重要研究方向业已引起人们相当的重视，相关的研究新成果也层出不穷。我在 硕士研究期间， 主要研究复杂网络的广义同步 ( 见第三章和第四章) ， 我针对现 有复杂网络的完全同步不足以描绘复杂世界千变万化的联系，提出了复杂网 络 广义同步的定义，为人们了解复杂网络联系提供了一个全新的平台。 本文的组织结构安排如下: 第一章陈述了复杂网络研究方向的学术背景及意义，即勾勒出人们为研究 复杂性科学提出复杂网络及相关课题的思路:并对混沌同步和网络同步理论的 研究现状进行了综述。 第一章 绪论 第二章介绍了预备基础知识，即学习了混沌理论、混沌同步及广义同步、 复杂网络模型和复杂网络同步等基础理论。 第三章引出了复杂网络广义同步的概念，讨论了复杂网络广义同步的产生 机理，并对其意义进行理论描述。 第四章针对广义同步的概念，列举出两个实例进行仿真，一个实例是以 l 4d r e n z 系统为结点的小世界网络的广义同步研究，第二个实例是以 尖峰神经元 网络组成模块化复杂网络的广义同步研究。 第五章是本文的结论部分。 第二章预备 基础 知识 第二章预备基础知识 第一节混沌理论基础 法国物理学家h . p o i n c a r e 在研究保守系统天体力学时， 发现太阳系三体引 力相互作用时能产生惊人的复杂行为，确定性方程的解具有不可预见性。 h .p o i n c a r e之后的大批数学家和物理学家为混沌理论的建立作了 大量的奠基性 工 作 1 . 1 9 6 3 年， 洛 伦兹 很 l o r e n z , 1 9 1 7 ) 6 1 在 大 气 科 学 杂 志 第 二 十 卷 上 发 表 决定性非周期流 ， 被认为是现代混沌研究的开端， 而其本人也被誉为混沌 之父。1 9 7 5 年，李天岩与约克共同发表 周期三意味着混沌 7 1 ，第一次把混 沌当作一个数学名词，给出了严格的数学定义。自2 0 世纪6 0 年代，l o r e n z 提 出l o r e n z 系统以来， 混沌理论的研究取得了一系列的重要成果， 混沌理论主要 分为以下三个方面的研究。 2 . 1 . 1混沌的定义 混沌是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则的，类似随机的现象。从 数学上讲，对于确定的初始值，由动力学系统就可以 推知该系统的长期行为， 甚至追溯其过去形态。但是大量的实例表明:有很多系统，当初值产生微小变 化时，其系统的长期性态有很大的变化，即系统对初值的依赖十分敏感，产生 所谓的 “ 蝴蝶效应”现象。一般而言混沌是指在确定性的非线性系统中，不需 要附加任何随机因素亦可出现的类似随机的行为。其最大特点就在于系统的演 化对初始条件十分敏感，从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的。 由于人们对混沌系统的认识还不充分，至今还没有统一的严格的定义，目 前已 有的定义只是从不同的角度描述混沌运动的动力学特性，下面介绍两种常 见的定义。 1 . l i - y o r k e 意义的混沌 李天岩 ( t . y l i )和约克 ( j . y o r k e )在 1 9 7 5 年提出l i - y o k e 意义的混饨 即: 第二章预 备 基础知 识 设连续自 映射厂 : i -+i cr, i 是r中一个子区间。如果存在不可数集合 s ci 满足: os 不包含周期点; 任 给x x , s s ( x , # x 2 ) ， 有 a . 悠s u p i f ( x ,) 一 f ( x 2 ) i 0 b . li m in f i f ( x ,) 一 . ( x 2 ) 1= 0 这里. ( ) = f c f ( . . . f ( ) ) ) 表示r 重函 数关系。 任 给戈e s 及f ( ) 的 任意 周期 点p e l ， 有 浊su p i f , ( x , ) 一 f , ( p ) i 0 则称f 在s 上是混沌的。 上述定义只说明子集s的点相当分散又相当集中;并且子集s 不会趋近于 任意周期点。 李天岩还指出 对于闭区间i 上的 连续自 映射. ( ) ，如果 存在一个 周期为3的周期点，就一定存在任何正整数的周期点，即一定存在混沌现象。 这个定义预言了非周期轨道的存在性。 但是， l i - y o r k e 定义的缺陷在于集合s 的 勒贝 格测度有可能为零，即这时混沌是不可观测的，而人们感兴趣的则是可观 测的情形， 此时s 有一个正测度。 2 . d e v a n e y 意义的 混沌 1 9 8 9 年d e v a n e y 给出 了 一 个 更 直 观 更 便 于 理 解的 混 沌 定 义 $ 1 设x是一 度量空间， 一个连续映 射f ( ) :x- + x称为x上的 混沌，如果 满足下列条件: f ( ) 具有对初值的敏感依赖性: . ( ) 是拓扑传递的 a- ) 的 周期点 在x中 稠密 定义中: 条件说明了 混沌系统的初值敏感性， 意味着初值为x 和y 的 两点， 无 论其 距离 多 近， 在f ( ) 作用下 两者的 轨 道可能分开很大的 距离， 这是 混 沌的 本质特征，由 于计算误差存在，也隐含表明了混沌系统的不可长期预测性;条 件拓扑 传递性意味着任一点的 邻域在f ( ) 作用下将遍历整个度量空间x， 也 就是说它不能 被细分或不能被分解为 两 个在f 下相互影响的子系统， 即 不可分 第二章预 备 基 础知 识 解性: 条件和描述了混沌系统的 伪随机特性;条件周期点的 稠密性却又 表明了混沌系统的确定性和规律性。这个定义说明貌似随机实则有序是混沌系 统的特性。 2 . 1 . 2混沌行为的刻画:l y a p u n o v 指数 由于混沌没有严格一致的定义，至今没有一个解析方法对混沌特性进行判 定。由于混沌具有许多一般的动力系统所没有的特性，如混沌吸引子，正的 l y a p u n o v 指数，复杂的p o i n c a r e 映射， 连续的功率谱等，因此人们主要根据混沌 的这些特性用数值方法来判断一个系统或序列是否混沌，l y a p u n o v 指数方法就 是这样其中一种方法。 l y a p u n o v 指数是用来度量相空间中 两条相邻的轨迹随时间变化按指数规律 吸引或分离的程度，这两条轨迹有不同的初始点。混沌运动的基本特点是运动 对初始条件极为敏感。两个极靠近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方 式分离，l y a p u n o v 指数是描述这一现象的定量指标。 对于一维映射 . . , = ax.) ( 2 . 1 ) 考虑 初 值x o 和它的 邻近值x , + 8 x o ， 由 映 射作 一次 迭 代后， 这 两点间 的 距离 为: s x , = i. f ( x o + 8 x o ) 一 f ( x o 卜 d f ( x o ) d x 8 x o ( 2 . 2 ) n 次迭代后，这两点之间的距离则变为 、 一 f (0 )( x (, + 8 x o ) 一 p .) (x o l d f ) ( x . )。 _ =. 口x o= e - 8 x ( 2 . 3 ) 取极限n 峥 00，则有 l e =l i m i n8 x ， :_ i j d f (n ) ( x 0 ) i = 月 uu- ul l i 8 x o - n ! d x ( 2 . 4 ) 明 ) ( x (,) _ d x d f ( x o )d f ( x r ). . . . d f ( x . - j 击 l e 称为l y a p u n o v指数， 代所引起的指数分离中的指数 代表相邻点之间的距离在多次迭代中平均每次迭 第二章预备基础知识 当l e 0 时， 相邻点最终按指数方式分离， 这意味着运动轨道的局部不稳定，如果轨道有整体的稳定因素，则在此作用下 反复折叠， 形成混沌吸引子。 因此l e o 可以作为混沌运动的数值判据。l e由 负变正表明系统运动由稳定向混沌的转变。如果l e= o ，则系统具有稳定的状 态模式，这样的系统又叫保守系统，l e= o 对应于系统的分岔点。 如果非线性系统具有一个正的l y a p u n o v 指数，那么它应该是混沌动态系统， 而具有两个以上正的l y a p u n o v 指数的系统则称为超混沌系统。 2 . 1 . 3两种典型的混沌系统 自l o r e n z 发现并提出第一个混沌模型以来， 人们己经发现并提出许多离散 和连续的 混 沌系统的 模型5 7 - 6 4 ，为混沌系统的 研究 提供了 越来越多的 模型参考 和依据。以 下简要分析混沌控制与同步研究中常见的两种离散和连续的混沌系 统的动力学行为。 1 . l o g i s t i c 系统 l o g i s ti c 系统是 简单迭代系统产生混沌的典型代表， l o g i s ti c 系统又称虫口 模型，是一个源于人口统计的动力学系统，其系统方程可写为如下形式 x + , = .f ( c , x) = +n ( 1 一 x) 其中x 为 系统 变量， f 为 系统参 数。当c e ( 3 .5 , 4 1 ， ( 2 . 9 ) 初始条件x ( 0 ) e ( 0 , 1 ) 时， 上 述系统呈现出 混沌动力学行为， 该系统的 状态变量x以0 , i ) . 图2 . 1 为l o g i s ti c 系统的 分岔图， 可以 看出随 着系统参数。 的 变化两 个系统 都不断出 现倍周期分岔，直至出 现混沌现象。 图2 .2 为l o g i s t i c 系 统( 1 ) ， 当 c = 4 ， 初 值x , ( 0 ) = 0 .2 ， x . ( 0 ) = 0 .2 0 0 0 0 0 0 1 时 ， 两个时间序列的演进轨迹， 可以看出初值的稍微变化， 系统在迭代2 0 次后轨迹 大不相同，体现了混沌系统的初值敏感性。 第二章预备 墓 础 知 识 第三节复杂网络模型 2 . 3 . 1图论基础知识 由 于关于网 络的基本数学概念来自 于图 论6 5 ,6 6 1 。 本小节就学习网络所需的 必要的数学概念做一个介绍。 一张图 或网 络g是由 两个集合组成，它们分别 称为网络的结点集合v ( g ) 和结 点间的 连线 集 合e ( g ) ， 其中v ( g ) 二 执， 、 ， 一 ， v,) ， 这里v , ( z 二 1 ,2 . . . . . . . m 是网 络的结点， n 代表网 络大小。 如果( “ ， 协e - ( g ) c v ( g ) x v ( g ) ， 则表示结点 u 和结点v 之间 存在一条连线( 在这儿通常约定要求不存在结点连结自己的连线 和两个结点之间不存在有两条或两条以上连线) 。 按照连线不同性质， 可以进一 步把网 络分成不同 类型的网络。 如果连线上不带权重， 且没有方向，则把网 络 称为无向网络; 如果连线上不带权重， 但是有方向 的， 则称此网络为有向网络。 类似地，如果连线是有权重，进一步按照连线是否 有方向， 可把网络分成无向 加权网络和有向加权网络。 现在我们用无向网络为例来说明图论中描述网络结构的一些基本概念。这 些概念可以自 然地推广到其它网络。 ( 1 )对 于 无向 网 络， 我 们 可以 定 义由 它 的 连 线 决 定 的 邻 接 矩 阵a = ( a , ) , 其 中 矩 阵 元 素a . = 1 ， 如 果( v v j ) e s ( g ) ; 反 之 ， a , = u ， 如 果 ( v , , v j ) 9 e ( g ) 。 显然，对于无向网络，邻接矩阵a为一对称矩阵。 显然这个矩阵反映了网络中 结点间的全局连接情况。 ( 2 )网 络的 平 均 路程 长度( t h e a v e r a g e p a t h l e n g t h i n n e t w o r k s ) 。 不失 一般性可以认为网 络为连通的，如果网络是不连通的话， 仅把下面描述略作修 改即 可 。 记 结 点 之间 的 一 条 连 线的 长 度为1 ， 我 们 称