（应用数学专业论文）泛函微分方程的周期解与周期边值问题.pdf

摘要 本硕士论文研究二阶含自迭代形式的泛函微分方程蔺期解的存在性 与二阶泛函微分方程周期边值问题，周期解的存在性问题与周期边值问 题一直是微分方程理论的重要问题，吸引了众多学者进行研究，并且取 得了丰富的成果，尤其是对二阶微分方程的周期解的存在性与周期边值 问题的研究尤为突出本论文推广了相关文献的结果。 全文共分为两章 第一章研究了含有自迭代形式的二阶泛函微分方程 m ( 毒) 十吼 一瓦) + 9 p m ( 亡) ) = p ( t ) 周期解的存在性，其中a r ，7 i r ，g ，p o ( 露) ，p ( t + t ) = p ( 丢) 以拓扑度理论为主要研究工具，首先应用迭合度中常用的m a w h i n 定 理，通过一些构造和迭合度的计算，得出两个关键的引理应用引理得 出本文的主要结果，所得的结果推广了相关文献的结果 第二章研究了二阶泛函微分方程周期边值问题 l 一髫搿0 ) = y ( t ，髫( 主，z ( 黟( ) ) ) ，t 黔，司， 【z ( o ) = z ( t ) ，i ( o ) 一( 丁) 其中，c ( j r 2 ，置) ，0 o ( t ) st ， 以上下解方法和单调迭代技巧为研究工具，推广了新的上下解定义， 在上解不大于下解的前提下，通过建立比较原理，得出了此类微分方程 周期值边问题的极值解存在性结果，推广了相关的文献 关键词：周期边值问题；周期解；上下解；泛函微分方程；拓扑度； 单调迭代技巧 i a b s t r a c t i nt h i st h e s i so fm a s t e r ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n d p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h eq u e s - t i o n so fe x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n dp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si ss t u d i e dm a n ya u t h o r s ，e x p e c i a l l yt h eq u u s t i o n so ft h es e c o n d o r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 。t h e s er e s u l t se x t e n ds o m eo ft h ee x i s t i n g l i t e r a t u r e 珏i sc o n s i s t so ft w oc h a p t e r s + i nc h a p t e r1 ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rs e c o n d - o r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n m ( 玲+ 印8 一) + 譬( g = 尹 i = 1 w h e r ea i r ， r i r ，g ，p e ( r ) p ( t 十t ) 拦p ) b yt h em e a n so ft h eb r o w n e rd e g r e et h e o r ya n dm a w h i nt h e o r y , w ed e r i v e t w oi m p o r t a n tl e m m a s 。b yt h el e m m a s ，c r i t e r i ao nt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u - t i o n sa r eo b t a i n e d w eg e n e r a l i z es o m ek n o w nr e s u l t s ，a n do b t a i ns o m ee x i s t e n c ea n d n o n e x i s t e n c er e s u l t s 。 i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s sp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n d - o r d e r f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n j 一( 亡) 端，( ，z ( t ) ，z ( p ( 亡) ) ) ，t 夕一【o ，邳， i 茹f o ) = 鬈妁，o ) = ? ) 。 w h e r e ，c ( s 群，r ) ，0 竖o ( t ) 冬t w es h o wt h a tt h em 躐h o do fm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u ei sv a l i dt oo b t a i n t w om o n o t o n es e q u e n c e st h a tc o v e r g eu n i f o r m l yt oe x t r e m a ls o l u t i o n st h i ss e c o n d - o r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 。t h em e t h o do f u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sw i t h i i i r e v e r s e do r d e r i n gi se m p l o y e d b ye s t a b l i s h i n gc o m p a r i s o nr e s u l t s ，w eo b t a i nt h e e x i s t e n c eo fe x t r e m a ls o l u t i o na b o u tt h ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h er e s u l t e x t e n d ss o m eo ft h ee x i s t i n gl i t e r a t u r e k e y w o r d s ：p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；up p e ra n d l o w e rs o l u t i o n s ；f u n c ti o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；b r o w n e rd e g r e e ；m o n o t o n f 、i t e r a t i v e t e c h n i q u e i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人 翥论文作者繇泓学位论文作者签名：泐 孵如7 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究生在 校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本 人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书 2 不保密口 ( 请在以上相应方框内打“ ” 作者签名： 导攀。印1 3 3 9 日期：粥年r 月抽 日期：p 才年二月l z 日 泛函微分方程的周期解与周期边值问题 绪论 1 7 5 0 年，e l u e r 提出一个古典的几何学问题：是否存在一条曲线，它 经过平移、旋转后能与其渐缩线重合?1 7 7 1 年，c o n d o r c e t 讨论了这个 问题，导出了历史上第一个泛函微分方程此后，许多著名的数学家， 如b e r n o u l l i ，l a p l a c e 和b a b b e g e 等也都提出过类似的方程，鉴于这些方程 的复杂性，人们一直未能对它们进行有效地研究二十世纪七十年代以 来，在生物学、物理学、控制理论和工程问题中出现了类似的、甚至更为 复杂的方程，这促使人们开始认真地研究这种困难的问题 带有时滞的微分方程是泛函微分方程理论中的重要内容，人们发现 在动力学系统中，时滞通常是不可避免的，如电路信号系统、生态系统、 遗传系统、流行病传染系统、动物与植物的循环系统、商业销售系统、 运输调度系统、生产管理系统、自动控制系统等领域中都普遍存在着时 滞现象很多的问题都需用带时滞的微分方程来加以描述，因此，对时 滞微分方程的研究具有重要的理论意义和实际意义下面就本文的研究 背景和准备工作作一些介绍 1 非线性二阶微分方程周期解的存在性 周期解的存在性问题一直是微分方程理论的一个重要问题，吸引了 众多学者进行研究，并且取得了丰富的成果( 见【1 9 】) ，其中对低阶微分方 程尤其是二阶微分方程的周期解的存在性研究尤为突出，特别是对含有 偏差变元的d u f f i n g 方程周期解的存在性的研究日益深入，参见文献 1 - 3 人们最早研究的是半线性方程 矿+ g ( x ) = p ( t ) = p ( t + 2 7 r )( 1 ) 的2 丌周期解的存在性l o u d 1 】证明了当条件 m 2 1 ，即允许差分算子d 不稳定 的条件下，得到了方程( 8 ) 和( 9 ) 周期解存在的结论 关于自迭代泛函微分方程，1 9 8 4 年，e d e r 首先研究了电动力学一维 返回二体问题中的自迭代泛函微分方程 一 z 7 ( ) = ，( z ( z ( t ) ) ) ， 并提出了区间饱和解的概念 文献【9 】将该方程推广到方程 r 1 次迭代 z 他) ：，( z m ( 亡) ) ，礼n ，其中z m ( 亡) ：石f 云运再可 并讨论了该方程解的存在性与唯一性，得出较为完整的结论 受以上文献【1 1 5 】的启发，我们考虑问题：含有礼次自迭代形式且具 有偏差变元的d u f f i n g 方程在满足什么条件时周期解存在? 本论文第一章讨论了一类二阶含有自迭代形式且具有偏差变元的d u f f - i n g 微分方程 ( t ) + o t z 他一兀) + 9 ( z 【n 1 ( ) ) = p ( t ) ( 1 0 ) i = 1 周期解的存在性，其中a i r ，死r ，夕，p c ( r ) ，p ( t + t ) = p ( ) 主要以拓扑度理论为的研究工具，获得了该方程周期解存在的若干充分 条件 一3 硕士学位论文 2 非线性二阶微分方程周期边值问题 对于泛函微分方程的周期边值问题，上下解方法、单调迭代技巧，不 动点定理是重要的研究工具，见【1 6 - 2 0 1 2 0 0 3 年n i e t o 和r o d r i g u e z l o p e z ( 见【1 7 】) 讨论了如下泛函微分方程周期 边值问题 钆黧2 夕鼎州) 。 0 丑 ( 1 1 ) l 乱( o ) = u ( 丁) ， 、 他们推广了上下解的定义，利用单调迭代技巧得到了方程( 1 1 ) 极值解 的存在性定理文献【17 】的方法和技巧后来被一系列文章借鉴和发展 d i n g ，y a h 和h a n 【1 8 】用上下解方法和单调迭代技巧研究了脉冲微分方程 的周期边值问题 iu 邻) = g ( t ，铭( 亡) ，珏( p ( 亡) ) ) ，t t k ，0 t t ， a ( t k ) = x k ( u ( t k ) ) ，k = 1 ，2 p ( 1 2 ) l 乱( o ) = 钆( 丁) 2 0 0 4 年，h e l l 9 】讨论了如下微分积分方程周期边值问题 iu 7 ( t ) = g ( t ，u ( 亡) ，k u ( t ) ，s z ( 亡) ) ) ，t t k ，0 t t ， a ( t k ) = i k ( u ( t k ) ) ，七= 1 ，2 ，p ， ( 1 3 ) l 乱( o ) = u ( t ) 2 0 0 5 年，罗治国 2 0 】也考虑了方程( 1 2 ) 的极值解的存在性文中不仅 讨论了下解不大于上解的情形，同时考虑了下解不小于上解的情形 2 0 0 6 年，李建利 2 2 】进一步考虑了方程( 1 3 ) ，使用脉冲微分不等式， 得到了新的比较定理和极值解的存在性定理 2 0 0 7 年w a n g ，s h e n 和n i e t o 2 4 】使用上下解方法讨论了二阶泛函微分 方程周期边值问题 一u ( 亡) = m ，蚺u ( ) ，亡歹= o ，列，( 1 4 ) lu ( o ) = u ( ，札，( 0 ) = u 7 ( t ) ， 、7 泛函微分方程的周期解与周期边值问题 其中，c ( s r 2 ，r ) ，0 e ( t ) t ，t 了文中他们推广了上下解定义在 上解不小于下解的前提下，通过发展新的分析技巧解决线性化问题从而 得到了方程( 1 4 ) 极值解的存在性定理 本文第二章受文献 2 4 】的启发，继续讨论二阶时滞微分方程 ! 一x t l ( t ) = f ( t ，z ( t ) ，z ( 6 i ( t ) ) ) ，t j = o ，卵，7 ( 1 5 ) iz ( o ) = z ( t ) ，z 7 ( o ) = z 7 ( t ) 极值解的存在性，其中，c ( s r 2 ，r ) ，0 p ( f ) t 在上解不大于下解 的前提下，得到了方程( 1 5 ) 极值解的存在性结果 一5 泛函微分方程的周期解与周期边值问题 1 含自迭代形式的二阶泛函微分方程的周期解的存在性 1 1 引言 对于二阶微分方程周期解的存在性，人们最先研究的是半线性方程 - 4 - g ( x ) = p ( t ) = p ( t + 2 7 r ) ，- l o u d 1 】在条件m 2 口夕( z ) p ( 7 n + 1 ) 2 g ( o ) = 0 下证明了方程该方程 至少有一个2 丌一周期解，其中p ，q 是正常数，m 是非负整数而r e i s s i n g 2 在条件m 2 6 ) ，幻r ，则 i 。l i mg ( x ) = k 2 ，( 1 3 1 ) z 十w一w 若圣l | 趣| 2 ，且 k 2 j j i = 未p ( 8 ) 矗s 0 使得i z ( r ) i m 3 否则i z ( 亡) i 兰+ o o 由( 1 3 1 ) ，( 1 3 2 ) 和( 1 3 4 ) 可知s u p x ( t ) = + o o ，i n f x ( t ) = 一o o ，于是 + o o = s u px ( t ) = i n f x ( t ) + i z 7 ( s ) l d s t i x 0 t 0 使得| l z l l x 0 ，当l t l t 2 l 矗 时i p ( 1 ) 一p ( t 2 ) i 0 ，x l ，z 2 一地，溉】，陬一x 2 l 露使得l 箩( 苫1 ) 一g c x ：) i 0 ，使得 g ( x ) - b ，v x - a ， x g ( z ) 0 ，v l x i a 则( 1 1 1 ) 至少有一个l 周期解 证明考虑含参数的方程 z ( 亡) + a 叩印一几) + 幻( z 【n 1 ( t ) ) = a p ( 亡) ( 1 3 8 ) i = 1 设z ( 亡) 是( 1 3 8 ) 的一个t - 周期解，积分可得 小少k 眦_ o 由定理1 3 2 的条件知存在尬 0 使得 ( 1 3 9 ) 9 ( z ) l m 1 ，比茎a ( 1 3 1 0 ) 记厶= t 【0 ，卅：x n j ( t ) a ) ，1 2 = 0 ，卅z , 则当t 1 2 时，g ( xc n l ( t ) ) 0 于 是 。 0 ，使得i z ( o ) l m 3 否则l z ( t ) i 三+ o o 如果j ( ) 兰+ c o ，夕( z m ( t ) ) 0 于是f9 ( z 【n l ( t ) ) 0 与( 1 3 9 ) 矛盾 如果了( 亡) 三一o o ，则9 ( z m ( 亡) ) 0 于是f 夕( z 【n ) 0 使得l x ( t o ) lsm 3 因此 乩i + 三z t f i 出尥+ t 2 = ：尬， - 1 4 一 f 秽 幽 一 。咖厂厶 ，i ，- 川 一 可 b f 矽 + 义 h ， f - 叶 娟厂，儿 = ， 泛函微分方程的周期解与周期边值问题 矿i 。 a 使得 i i x l l x 0 使得 g ( z ) 冬b ，v x a ， x g ( x ) 0 ，v a 则( 1 1 1 ) 至少有一个b 周期解 证明考虑含参数的方程 m z ( t ) + a a i x 7 ( 亡一兀) + a 夕( z ( ) ) = 卸( 亡) ，a o ，1 】 ( 1 3 1 3 ) t = 1 设z ( t ) 是( 1 3 1 3 ) 的一个周期解，积分可得 t 咖m 础_ 0 - ( 1 3 1 4 ) 由定理1 3 3 的条件知存在m 1 0 使得 1 9 ( z ) i 尬，y x - a ( 1 3 1 5 ) 记1 1 = t 0 ，卅：z ( 亡) 一a ) ，厶= 0 ，t i x l ，贝i j 当t 1 2 时，9 ( z 【n 1 ( ) ) 0 。 一厶抓洲( 纠出= z 夕( 剖( t ) ) d t 0 使得 g ( x ) ( r + ) l x l ，v h p ( 1 3 2 0 ) 我们可断言存在t o p ，习，瓶 0 使得 | 茹鳓) | 燧 否则由( 1 3 1 6 ) ，( 1 3 1 9 ) 知存在，7 ，f 0 ，列使得 z ( 叩) 蹴m 。a 儿xx ( t ) = + o o ，z ( ) = r a 。i j r nz ( ) = 一o o ，i x ( t ) l = o o - 若l z l o = z ( 叼) ，贝| j 嘲阳+ 乃蛐 _ t l x l 。 于是网。冬t i x 7 k 若i z l o = 一搿( ) ，贝0 一? i f ) = - z ( 叼) + z ( s ) 幽r 广辞 于是| x l o t i x 7 l o 一1 6 1 3 。2 1 ) 泛函微分方程的周期解与周期边值问题 2 l z 7 l 。兰ti z ( t ) i d l ( 丁i 。i i ) i z 7 l 。+ o t1 9 ( z f n 】| ( 亡) ) i 出+ o ri p ( 亡) l d 亡 ( 丁l a i l ) l x ，i o + ( r + e ) t l x l o + i p ( t ) l d t i t + ( ，l + e ) 丁2 l l x ，| o + z i p ( t ) l d t 取0 e 0 使得i x l o m 2 于 是o t 尬 0 ( 3 ，与i x l o t i x 7 i o 矛盾所以( 1 3 2 1 ) 成立 尬+ 去丁眺 ( 1 3 2 2 ) 又 2 i x i o 矿( t ) l d t ( t h i ) 1 2 7 i 。+ 0 1i g ( 执) ) 1 名+ 2 揪) l d t ( t 1 0 i 1 ) l z ，1 0 + 上+ 如1 9 ( 少l ) ) l a t + z 1 i p ( t ) l d t ( t h i ) 1 以i o + 上( m ) l x t = l ( i ) l 出+ 小一却) l d 亡t 2 以t ) l d t ( t l a , i ) l x ，1 0 + t ( 件) 1 - 1 0 + t m a x ( i g ( u ) l ：l u l p ) + ，i p ( t ) l d t 1 ，u ( t l a , l l x 7 i o - i - 吉t 2 ( 7 + e ) i z i o + t ( r + e ) 舰 f t + m a x i g ( u ) i ：l u i j d ) + i p ( t ) l d t 这里i t = t o ，刁：i z h 】( 亡) i j d ) ，1 2 三【0 ，t 1 1 由t ( 銎1i a i l + t r ) 0 使得m o m 3 于是 i 尬+ 三t f l 。m + 丢t = ：舰 i x ”i o ( l a i l ) + m a x i g ( u ) l ：尬) + m a x i p ( t ) l = ：坛 后面的证明和定理1 3 1 类似 1 7 硬圭学绞论文 定理1 3 5 设g ( x ) 黩c ( r ，1 0 ，+ 。) ) ，g ( x ) 严格单调递增且方程露( 舅= 梦有 唯一解，z ：1 蚓a 2 ，则方程( 1 1 。1 ) 至少有一个叠周期解 证明：如定理1 3 1 定义x ，譬，越冀q 考虑含参数的方程 ( ) 十a a i x ( t t ) + 入g ( x n l 端却( 亡) ，a ( o ，1 1 ( 1 3 2 3 ) 设2 是( 1 3 2 3 ) 的一个餍期解，积分可得 一 7 g ( x n ( t ) ) d t2t p 。 ( 1 3 2 4 ) 、i t 搿( 霄) = m 。a h x x ( z ) ，z 恁) 黜毽鬻嚣( ) ，薯，善g 岭，霸 利是单调性有 爹冬雪( z 蛰) ) 。1 3 2 5 ) 于是若露) 芝窖一1 泐，其中g 一1 是g 的逆，同理茹惩g - 1 2 | 。7 | 9s j ! rt z ( | 0 茎( t 。e ! o , t ) j 。| 夺专z 丁| 寥( 啦( 妻) ) l 凌+ z r | 筘妻) | 斑 = ( t e l a , i ) l x ，| o + z9 ( z n ( 1 ) ) 栊十z i p ( t ) l d t r t r t ( r e f o , s ) t 芏7 | 8 + 邪+ o i p ( t ) l a t t ， 由? 墨l 吲 0 使得| | 孬麓。注意到| z l = 鬈( 雒) 或酬o = 一z ( ) 如果l z i o = ( 7 7 ) ，贝i j | x l o = 茹麓) f 落) 蠢擘一窜+ 观。 如果| x l o = 一茹，劂 | z l o = 一茹簟+ 7 茹7 9 蕊譬一密) + ? 琏。 j 所以存在0 使得os 慨， l x l 。| 甄| | 茹| o + m a x l a ( u ) l ：t a t 暴m 2 + m a xl p ( t ) = ：m 3 。 泛函微分方程的周期解彳周期边值问题 设9 ( z ) = p 的唯一解为, 7 记m = m + + + 矽i ，q = ( z x ：i i z l l x m ) ， 则z k e r lnt 5 l q 时z 是常数，= m 且 q n x = 9 ( z ) 一痧0 易知d e g ( q n x ，k e r lnq ，0 ) 0 ，于是方程( 1 1 1 ) 有一个周期解 1 4 说明与例子 本章的主要结果也适用于下述两类含迭代形式的泛函微分方程 ( t ) + 口 z ( 芒一死) + 9 ( z ( z ( ( z ( 芒j7 - ( t ) ) ) ) ) ) - - - - p ( t ) ， i = i ( ) + 芝二啦z ( 一) + g ( z ( z ( z ( t z ( t 一7 ( t ) ) ) ) ) ) = p ( ) ， i = 1 其中丁是t 周期函数 例1 考虑方崔 z + 互1 2 7 ( 亡一1 ) + j l z 7 ( 亡一2 ) + 夕( z 【n 】( z ) ) - - - - 1 + s i n 2 7 r 其中9 ( z ) = 2 3 ( e 。+ 1 ) 显然t = 1 ，且 l i m 9 ( z ) = - 1 l i m9 ( z ) = 2 ， z p 一z + + 痧= 0 1 ( s i n 2 刀 t + 1 ) 班= l 于是由定理1 3 1 可知( 1 4 3 ) 至少有一个1 周期解 例2 考虑方程 + 芴1z 他一7 r ) + 刑n = s i n 亡， ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) 硕士学位论文 9 ( z ) = z 2 1 ， o z 2 = 2 + 石1 c o s2 7 r t ( 1 4 6 ) 事实上g ( x ) = e z 恒正且单调单调递增，且t = 1 ，g ( x ) = 痧= 2 有唯一解， 于是方程( 1 4 6 ) 至少有一个1 一周期解 注例2 和例4 中g ( x ) 都不是线性增长的，因此我们的结果允许g 非 线性增长 例5 考虑方程 z + z 7 一1 ) 一z 7 ( 亡一7 r ) + x ( t z ( t 一7 - ) ) = c o s8 7 r t ，( 1 4 7 ) 易知t = ，a l = 1 ，a 2 = - 1 ，夕( z ) = z 满足定理1 3 4 的条件，由( 1 4 1 ) 和( 1 4 2 ) 知方程( 1 4 7 ) 有t 一周期解 一2 0 泛函微分方程的周期解与周明边值问题 2 二阶泛函微分方程周期边值问题 2 1 引言 对于泛函微分方程周期边值问题，上下解方法和单调迭代技巧是重 要的研究的工具，见文献 1 6 - 2 5 2 0 0 3 年n i e t o 和r o d r i g u e z l o p e z 讨论了一阶泛函微分方程周期边值问 题 lu 他) = g ( t ，仳( t ) ，乱( 目( t ) ) ) ，t 0 ，卅， lt 正( o ) = 让( t ) 他们给出了新的上下解定义，通过建立比较原理，得到了该问题的极值 解的存在性结果后来，他们的方法与技巧被一系列文章借鉴，见罗治 国 2 0 ，h e l l 9 ，李建利 2 2 】 2 0 0 7 年w a n g ，s h e n 和n i e t o 2 4 】讨论了二阶泛函微分方程周期边值问 题 l 一乱( t ) = s ( t ，让( 亡) ，钍( p ( t ) ) ) ，t 了= 0 ，刀， i 乱( o ) = 乱( t ) ，u ，( 0 ) = 乱( 丁) ， 其中，c ( j r 2 ，r ) ，0 o ( t ) t ，t 7 使用上下解方法，在上解不小于 下解的前提下，通过发展新的分析技巧得到了该方程极值解存在的若干 结论 受文 2 4 】的启发，在这一章中我们考虑二阶泛函微分方程 一邶) = m ，z ( ) ，z ( 目( 枞了= 【0 ，卅，( 2 1 1 ) lz ( o ) = z ( t ) ，z 7 ( o ) = 一( t ) 、。 极值解的存在性，其中，c ( 了r 2 ，兄) ，0 o ( t ) t 我们给出了问题( 2 1 1 ) 新的上下解定义，讨论了上解不大于下解的情况下，得出了方程( 2 1 1 ) 极 值解的存在性结果 硕士学位沦文 2 2引理 引理2 2 1 假设z c 2 ( 了，r ) 满足不等式 f ( ) + m x ( t ) + n x ( o ( t ) ) s0 ，t 了， iz ( o ) = z ( 丁) ，z 7 ( o ) 一( 丁) 其中m 0 ，n 0 ，0 e ( t ) t ，t 歹若 ( m + j v ) 于2 ( 2 2 1 ) 则x ( t ) 0 ，t 了 证明反证设对某些t 7 ，z ( t ) 0 考虑如下两种情形 情形1 ：z ( 亡) 0 ，t 了于是( t ) 0 ，t 了所以一( t ) 在了内非增 由z 7 ( o ) z ( t ) ，知( 亡) - - - - _ _ _ c ( c r ) 又z ( o ) = z ( 丁) ，知z ( 亡) 三o , t 歹 情形2 ：存在r 1 ，r 2 了，使得z ( r 1 ) 0 ，x ( r 2 ) 凳 所以( m + n ) t 2 2 ，与( 2 2 1 ) 矛盾若p = 0 或p = 正则 z ( o ) = z ( t ) 。m 【o i n 7 1z ( t ) z ( 丁) ， c ( 亡) = 芴t 1 “nt ( t 一亡) 1 ，亡歹 ( 2 2 2 ) 则y ( t ) z ( 芒) 不难证明 ( o ) ：可( 丁) ，剪，( ( ) ) ：y ，( t ) ：兰j 坚掣， y + m y - i - n y ( o ( t ) ) = z ( t ) + m x ( t ) 4 - n x ( o ( t ) ) + ( c ( 亡) + m c ( t ) + c ( 口( 亡) ) ) ( z 7 ( o ) 一z 7 ( t ) ) 0 利用引理2 2 1 知y ( t ) 0 ，t 了于是x ( t ) o ，t 了证毕 引理2 2 3 考虑方程 焉刮t ) - 丁m 您x( 0 ) - n 圳x ( o ( t 矾) ) 。l 挺z ( 2 2 3 ) iz ( o ) = z ( 丁) ，z 7 ( o ) = ( t ) ， 、7 其中m o ，n 0 ，是常数，满足n m 0 ，n 0 且褥足 虿t 2 ( m + ) 1 ， m ( ；) 2 定义如果q ，p c 2 ( 了，r ) 满足 l q ( 亡) ，( t ，口( t ) ，q ( 口( t ) ) ) 一n ( 亡) ，t 了， 【a ( o ) = q ( t ) ， 其中 口c t ，= 苫+ m c + c 。p 。，。q ，。t ，一q ，。，j ，三： 昌三三：；： 泛函微分方程的周期解与周期边值问题 其中 j 一( ) f ( t ，p ( ) ，p ( 目( ) ) ) + 6 ( t ) ，t 了， ip ( o ) = p ( 丁) ， 6 c 亡，= 吕+ m c + c 。p 。，。，一。t ，孑 三；差； ；： 则称o t ，p 分别是( 2 1 1 ) 的下解和上解 定理3 3 1设o t ，p c 2 ( 了，月) 是( 2 1 1 ) 的下解和上解，且满足下列条 件 ( 日1 ) p q ，t 歹； ( 吼) 对于p ( 亡) 孟z q ( z ) ，卢( 护( 亡) ) 雪y q ( p ( ) ) 有下式成立 f ( t ，z ，y ) 一f ( t ，牙，雪) m ( x 一牙) + n ( y 一雪) ， 则存在序列 q n ) ， 尻) l i m q n ( 芒) = p ( 亡) ，l i m 尻( 亡) = r ( t ) 在7 上分别一致收敛于p ( t ) 和r ( ) ，其中q 。= q ，尻= 卢，且p ，r 分别是方 程( 2 1 1 ) 在函数区间咿，o t 】= 钆c 2 ( 了，r ) ：卢( ) u ( 亡) q ( ) ，t 了) 内的 最大解和最小解 证明对任意r 【，囱，考虑方程 i z ( t ) 一m x ( t ) 一z ( 护( t ) ) = f ( t ，r ( 亡) ，r ( 日( t ) ) ) 一m r ( t ) 一7 ( 臼( t ) ) ，t 歹， 【z ( o ) = z ( t ) ，z 7 ( o ) = 一( t ) 、 ( 2 3 1 ) 由引理2 2 3 知( 2 3 1 ) 有唯一解z ( ) ，下面证明p ( t ) x ( t ) q ( t ) ，t 了 记p = z o t ，当q 7 ( o ) q 7 ( t ) 时， a ( t ) 兰0 ，t 歹 一f ( t , o t ( 亡) ，口( 俐) ，( 2 3 2 ) 【q ( o ) = q ( t ) ，q ，( 0 ) q 7 ( t ) 、7 硕士学位论文 于是 一p l l m p n p ( o ( t ) ) y ( t ，7 ( ) ，r ( p ( t ) ) ) 一y ( t ，q ( ) ，q ( 口( t ) ) ) 一m ( r o t ) 一( r ( p ( t ) ) ) 一d ( p ( 亡) ) 0 ， p ( o ) = p ( t ) ，( o ) p ，( t ) 由弓i 理2 2 1 知p ( t ) 0 ，