（运筹学与控制论专业论文）单形的体积与几何不等式.pdf

摘要 凸体几何是现代几何学的一个重要分支，凸多胞形是凸体几何的主要研究对象 之一，而单形是凸多胞形的最简单的情况，本篇论文将把单形作为主要研究对象， 全文共分为四个部分。第一部分是引言，这一部分简明扼要地介绍了凸体几何 的发展历史和研究概况，介绍了国内外众多的数学工作者于凸体研究和单形研究所 取得的重要成就，使我们对该学科的发展背景有一个初步的了解。第二部分是文章 的主体部分，这一部分论述了单形的体积及其不等式。首先于第一节，我们介绍了 单形的体积公式，这作为后面论述相关体积不等式的一个基础。紧接着第二节，我 们介绍了单纯形中最简单的情况( 维数大于等于3 时) 有关四面体的一个重要的体 积不等式，并获得相关推论随后的第三、第四节，我们主要论述了与单形侧面积、 棱长和内点等有关的体积不等式。第三部分和第四部分主要是介绍自己所做的一点 工作其中第三部分主要是建立了关于单形宽度的杨路、张景中不等式的一个逆不 等式。第四部分论述了f r i t zj o h n 定理中一个凸体k 所包含的具有最大体积的内 接单位欧氏球的条件，从该条件出发，得到三个等价等式，并给出了证明。 关键词： 单形；体积；不等式 a b s t r a c t i i c o n v e xg e o m e t r yi sa l li m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r ng e o m e t r y c o n v e xp o l y t o p e i so n eo fm a i ns t u d yo b j e c t so fc o n v e xg e o m e t r y s i m p l e xi st h es i m p l e s tc a s eo f c o n v e xp o l y t o p e t h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o nw i l lr e s e a r c ht h ev o l u m eo fs i m p l e xa n d t h ei n e q u a l i t i e sa b o u ti t t h ea r t i c l ef a l l si n t ot h r e ep a r t st h ef i r s tp a r ti sf o r e w o r d ) w h i c hc o n c i s ea n d c l e a ri n t r o d u c e st h eh i s t o r yo fc o n v e xg e o m e t r y , t h eg e n e r a la s p e c to ft h es t u d y , a n dt h ei m p o r t a n ta c h i e v e m e n ti nt h ef i e l do fc o n v e xg e o n m t r ya n ds i m p l e xb yt h e m a t h e m a t i c i a n sa l lo v e rt h ew o r l d t h ei n t r o d u c t i o nw i l lm a k eu sh a v eap r e l i m - i n a r ya c q u a i n t a n c ew i t ht h eb a c k g r o u n do ft h ed e v e l o p m e n to ft h i ss u b j e c t t h e s e c o n dp a r ti st h ep r i n c i p a lp a r to ft h i sa r t i c l e ，w h i c hd i s c u s s e st h ev o l u m eo fs i r e - p l e xa n dt h ei n e q u a l i t i e sa b o u ti t w ei n t r o d u c et h ev o l u m ef o r m u l ao fs i m p l e xi n t h ef i r s ts e c t i o n w h i c hi st h eb a s co ft h ev o l u m ei n e q u a l i t i e sa b o u ts i m p l e xt h a t w ew i l ld i s c u s sa f t e r w a r d s u b s e q u e n t l yi nt h es e c o n ds e c t i o nw ei n t r o d u c e8 3 2i m - p o r t a n tv o l u m ei n e q u a l i t ya b o u tt e t r a h e d r o nw h i c hi s t h es i m p l e s tc a s eo fs i m p l e x w h e nt h ed i m e n s i o ni sg r e a t e rt h a no re q u a lt ot h r e e ，a n dw ea c q u i r es o m er e l e v a n t c o r o l l a r y i nt h et h i r da n dt h ef o u r t hs e c t i o n ，w ed i s c u s st h ev o l u m ei n e q u a l i t i e s a b o u tt h el a t e r a la r e a ，t h el e n g t h ，a n dt h ei n n e rp o i n to fs i m p l e x t h et h i r da n dt h e f o u r t hc h a p t e ri n t r o d u c et h ew o r ko fm y s e l fm a i n l y i nt h et h i r dc h a p t e r ，ia n dt h e o t h e rp a r t i c i p a t o r se s t a b l i s ht h ei n v e r s ei n e q u a l i t yo fy a n g - z h a n g si n e q u a l i t yf o r t h ew i d t ho fas i m p l e xt o g e t h e r i nt h el a s tc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ec o n d i t i o no n t h a tac o n v e xb o d yh a sa ni n s c r i b e de u c h d e a nu n i tb a l lo fm a x i m a lv o l u m e a n dw e a c q u i r et h et h r e ee q u i v a l e n te q u a t i o n s ，a n dg i v et h ep r o o f k e y w o r d s ：s i m p l e x ；v o l u m e ；i n e q u a l i t i e s 第一章引言 本篇论文的研究对象是单形，它属于凸体几何这个领域。凸体几何是把凸体作 为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支这里我们首先明确一下凸体的定 义。什么是凸体? 直观的几何说法通常就是：圆盘是凸体，实心的铅球是凸体，彻 墙用的方块砖头是凸体。当然，我们也可以举出一些反例，比方说，弯的镰刀不是 凸体，空心的铅球也不是凸体这些说法都不错，但都仅仅是一种直观描述，并没 有揭示凸体的实质含义我们用精确的数学语言定义凸体：凸体是一个具有非空内 点的紧凸集。至于非空内点和紧凸集的概念，这里就不详细叙述。 凸体几何作为几何学一个独立的学科分支，它起源于1 9 世纪末和2 0 世纪初， h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两位杰出的奠基者。2 0 世纪三十年代至五十年代，前 苏联著名数学家a d a l e k s a n d r o v 所做的一系列突破性的工作，大大推动了凸体几 何的向前发展。随后的几十年，凸体几何理论发展迅速，一些经典的古老问题陆续 得以解决，新的富于挑战性的问题大量产生。这期间它与数学的其他学科，如泛函 分析、群论、代数拓扑等相结合，产生了许多新的富于魅力的数学分支，其中最引 人注目的是它与泛函分析结合的产物b a n a c h 空间的局部理论，这被认为是现代国 际数学研究的主流方向之一j b o u r g a i n 运用几何分析的局部研究理论，彻底解 决了凸体几何的一些经典难题，并因此获得了1 9 9 0 年的f i e l d s 奖。1 9 9 9 年国际数 学家大会报告者m i l r n a n 运用凸渐进理论研究凸体之间的逼近问题，成绩斐然 国内，2 0 世纪五十年代，著名数学家吴文俊运用拓扑方法圆满解决了复合形 于欧氏空间嵌入的这一凸体几何的难题，成果举世瞩目，因而享誉世界。2 0 世纪 八十年代，杨路教授、张景中院士借用距离几何方法和计算机辅助证明，对凸体几 何的高维几何不等式与几何极值、初等图形的嵌入的研究等方面作了许多开创性的 工作( 见【7 7 ，7 8 ，7 9 ，8 0 ，8 1 等) ，获得了国际数学界的广泛好评。九十年代，冷岗松教 授取得了一系列有意义的结果( 见4 1 ，4 2 ，4 3 ，4 4 ，5 0 等) ，其中彻底解决了单纯形内 的最大超平行体的体积估计问题，被著名数学家v k l e e 教授评价为是对“这一领 域的实质性的贡献”。 单形作为凸体几何这门学科中的一个重要的研究对象，它的许多性质是研究凸 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 2 几何中其它许多凸体对象的一个基础，对单形的研究也由来已久。国内，自从1 9 7 9 年，中国科学技术大学常庚哲教授首次把n e u b e r 哥p e d o e 不等式介绍到我国后，我 国学者开始了对单形进行系统而深刻的研究，得到了许多有意义的成果。8 0 年代 初，杨路和张景中二位教授首先将n e u b e r g - p e d o e 不等式推广到n 维空间。随后， 张杨两教授率领的我国一批精英：毛其吉、左铨如、冷岗松、苏化明、杨世国、尹 景尧、周加农等对其做了大量的工作，其成果居于世界领先地位。九十年代，冷岗 松教授取得了一系列有意义的结果，见【4 1 ，4 2 ，4 3 ，4 4 ，4 5 ，4 6 ，4 7 ，4 8 ，4 9 ，5 0 等，为单形的 研究作出了重要贡献。这里将作要择要的说明。 从上世纪九十年代中期到本世纪初，短短的几年时间，冷教授对于单形研究所 做的论文长达十篇之多。他系统又深刻地研究和总结了单形的一些重要的基本性 质。精辟的见解，巧妙的构思，独特的方法，给同行留下了深刻的印象，受到国际 国内的广泛好评这里只举出其中的一些少量例子。 1 9 9 7 年冷岗松教授运用分析的方法，给出了p e d o e 不等式的一实质性的推广， 即将p e d o e 不等式推广为两个单形的n 一1 维侧面积与n 维体积的高维形式。此 结果是彭加贵不等式的高维推广f 5 0 。1 9 9 8 年冷岗松教授用独特的代数几何方法 解决了一个单纯形和它的极体体积的下界猜测的问题，从而为解决这样一个著名的 难题t 一个凸体和它的极体体积乘积的下界猜测，作出了重要贡献。冷教授的这一 结论是；对任意n 维单纯形，均成立不等式v ( k ) v ( k t ) 竺型；! 旦由于其 巧妙的构思，独特的证明方法，再加上结论形式的简洁而优美，从而获得张景中院 士的极高评价。 另外，值得一提的是冷教授彻底解决了单纯形内的最大超平行体的体积估计问 题。众所周知，单形与立方体相互嵌接的体积估计，算法问题是近期离散计算几何 研究的一个热点问题，著名数学家v k l e e 及合作者的一系列工作表明此问题与著 名的未解决问题一h a d a m a r d 的最大行列式问题( h a d a m a r dm a x i m u m d e t e r m i n a n t p r o p b l e m ) 紧密相关。冷教授对单纯形内的最大超平行体的体积估计问题的彻底解 决受到vk l e e 教授的极高评价，称其是对“这一领域的实质性的贡献”。 第二章单形体积不等式的研究概述 单形是凸体几何这门学科中的一个基本而重要的研究对象，它的许多性质是研 究凸几何中其它许多凸体对象的一个基础，对单形的研究也由来已久。国内，自从 1 9 7 9 年，中国科学技术大学常庚哲教授首次把n e u b e r g - p e d o e 不等式介绍到我国 后，我国学者开始了对单形进行系统而深刻的研究，得到了许多有意义的成果。8 0 年代初，杨路和张景中二位教授首先将n e u b e r g - p e d o e 不等式推广到n 维空间。随 后，张杨两教授率领的我国一批数学工作者：毛其吉、左铨如、冷岗松、苏化明、 杨世国、尹景尧、周加农等对其做了大量的工作，其成果居于世界领先地位九十 年代，冷岗松教授取得了一系列有意义的结果( 见 4 l ，4 2 ，4 3 ，4 4 ，5 0 j 等) ，其中彻底 解决了单纯形内的最大超平行体的体积估计问题，被著名数学家v k l e e 教授评价 为是对“这一领域的实质性的贡献”。 2 1 单形的体积公式 单形的体积是研究单形其他许多性质包括几何不等式的一个基础这一节首先 给出n 维单形体积的定义，随后用解析的方法给出n 维单形n 维体积的一个基本 公式，从基本公式出发，可以得到单形体积的其他一些表达形式。 定义2 1 1 设a l ，a 2 ，a k + 1 ( 1sk 茎n ) 是n 维欧氏空f 可舒中无关的点 ( 即瓦：蕊，五：i 瓦，一瓦：i 瓦是线性无关的个向量) ，则点集 r kk 、 x i x = 凡a 。， ；= 1 ，a ：0 ll = 1l = 1j 称为以a 1 ，a 2 ，一，a + l ( 1 兰k n ) 为顶点的k 维单形显然，三维单形就是立体空 间中的四面体，并且n 维单形有n - t - 1 个顶点 a 1 ，a 2 ，- 一，a 1 ) ，和嚷+ 1 = ! o 笋 条棱以及n + 1 个n 1 维界面 定义2 1 2设n 为n 维欧氏空间r ”中的n 维单形，其顶点集为a = 3 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 4 a 1 ，a 2 ，一，j 4 。+ 1 ) ，顶点a i 与a j 之间的距离为。“，即i a ；a ，l = a o ，记 d i o i 2 0 1 。i m l n ! n + 1 0 则称d 为n 的c a y l e y m e n g e r 行列式。 定理2 1 _ 1 1 9 0 设n 为n 维欧氏空间舻中的n 维单形 积，d 为n 的c a y l e y - m e n g e r 行列式，则有 儿岩 y 为n 的n 维体 f 2 1 1 1 推论2 1 1设q 为n 维欧氏空间尼1 中的t t 维单形，过它的顶点a 。+ 1 的n 条棱的棱长分别为a l ，a 2 ，a又n 的n 维体积为v ，则有 其中 q 。 1 c o s d 2 1 v 一刍( 重啦) c o s o l l 2 l c o s o l n lc o s n 2 c o s o l l n c o s 0 2 n ( o l ”= z t a 。+ l a ，) f 2 1 2 ) 定理2 12 9 0 1 设n 为n 维欧氏空间r ”中的n 维单形，其n 维体积为v ，其 顶点集为a = a l ，a 2 ，a 。+ 1 ) ，顶点a 。+ 1 到点a l ，a 2 ，一，a n 所支撑的n l 维超平面的距离为h ，且a 。+ l 所对的界面的n 一1 维体积为s ，则有 v ：l s h ( 2 1 3 ) n 推论2 1 2 设q 为n 维欧氏空间r ”中的n 维单形，其n 维体积为v ，其 顶点集为a = a 1 ，a 2 ，a 。+ 1 ) ，顶点a 所对的n 一1 维界面的n l 维体积 l 0 碹 o 1 l 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 5 为最( 1 i n + 1 ) ，又n 的内切球半径为r ，则有 v = ：( 薹s ) r ( 2 1 4 ) 定理2 1 3 9 0 设a 1 ：a 2 ，a n ( n n + 1 ) 为n 维欧氏空间r ”中的 个点，记j a i a j l a i j ，d 为由点集 a 1 ，a 2 ，a n ( n n 十1 ) 所构成的 c a y l e y - m e n g e r 矩阵，则d e t d = 0 ，即当n n + 1 时，有 d e t d 0 11 10 n ；2 1 ；l 0 l n 2 。知 1 n 奄1n 刍2 0 = 0 f 2 1 5 1 推论2 1 3 设f 2 为n 维欧氏空问尼。中的n 维单形，其n 维体积为v ，其顶点 集为a = a 1 ，a 2 ，a 。+ 1 ) ，顶占、a 。与4 j 之l 司的距离为。“，即i a ；a j i = o d ， 又r 为n 的外接球半径，则有 y 2 r 2 = 而( - 1 ) d o ， ( 2 1 6 ) 其中 d o = 0 n ；1 n 2 0 0 2 2 关于四面体的一类几何不等式 四面体是高维空间( n 3 ) 中最简单的单纯形，它具有极直观的几何意义， 因此高维单纯形的一些具有带普遍意义的几何性质对于四面体容易有直观的几何表 示，同时由于直观性，四面体的一些基本性质推广到高维空间也比较自然和容易理 解。这一节建立了关于四面体体积的一个重要不等式。 + + 吼喙 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 6 定理2 2 1 8 3 j设p 为四面体a 1 a 2 a 3 a 4 内部任意一点，a i a 2 a ；a ：为 a 1 a 2 a 3 a 4 关于点p 的垂足四面体，k ，k ，k ，k 依次表示四面体p a 2 a 3 a 4 ， p a l a 3 a 4 ，p a l a 2 a 4 ，p a l a 2 a 3 的体积，吖，屹圪，以依次表示四面体p a 2 a a a ：， p a i a a a 4 ，p a x a 2 a 4 ，p a i a 2 a ：的体积，再设四面体a 1 a 2 a 3 a 4 与x 4 ；a ；a j 的- f t 积分别为v 和v ，5 l 孔0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为任一组正实数，则有 ( ；i i i 。z 。) 主：z i l k 刍( 妄z 。k 1 3 v 一2 ， (。2i=1 ，) z 。) z i l k 去 翰k ) ，( 2 1 ) l - = 1 “ t = l 当四面体a 1 a 2 a 3 a 4 为正四面体，p 为其外心，且z 1 x 2t 3x 4 时，等号成 立。 注意到点p 在四面体a l a 2 a 3 a 4 的内部，从而有k = v ，k = v ， 若令z ，= 。= z s = z t ，则我们会立亥4 得到关于垂足四面体的体积的一个重要不 等式，即 推论2 2 1 【9 3 1 条件同定理2 2 1 ，则有 v 嘉k ( 2 2 2 ) 当四面体a l a 2 3 a 4 为正四面体且尸为其外心时等号成立。 推论2 2 ，2 ( 8 3 条件同定理2 力j ，设四面体a 1 a 2 a a a 4 的顶点a 。所对的侧 面 2 - 6 0 高为k 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，在射线p a ：上任取一点鬈0 = 1 ，2 3 ，4 ) ，设四 面体a ：a ：a ：a ：的体积为v ”，令r ：= l j p a ：1 “= 1 ，2 ，3 ，4 ) ，则有 去( 塞鼍) 3 k 偿。， 当四面体a l a 2 a 3 a 4 为正四面体，p 为其外心，且r ：= 呓一r ；= 时，等号成 立 应用定理1 ，我们获得关于四面体体积的另一个几何不等式。 推论2 2 3 8 3 】 条件同定理2 2 ，1 ，则有 萎k 曼志y 2 ， 4 ) 当a l a 2 a 3 a 4 为正四面体且p 为其外心时，等号成立 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 7 2 3 关于侧面积和棱长的一类体积不等式 定理2 31 9 3 1设n 为n 维欧氏空间r ”中的t t 维单形，其t t 维体积为v ， n 一1 维界面五的n 一1 维体积为只0 = l ，2 ，一，n - f 1 ) ，弘 0 0 = 1 ，2 ，n + 1 ) ， 则有不等式 ( 喜玑) ”墓强n 3 nn + l n + l1 ，妒- 1 ) ， 江s m 当n 为正则单形且y 1 = y 2 一= y 。+ 1 时等号成立。 定理2 3 2 1 5 0 设n 1 与q 2 是n 维欧氏空间r “中的两个n 维单形，其中n 1 的n 维体积与n 一1 维界面 的n 一1 维体积分别为v - be ( i l ，2 ，n + 1 ) ，n 2 的n 维体积与n 一1 维界面的n 一1 维体积分别为v - b 爿( i = 1 ，2 ，n + 1 ) ， 再设y t o ( ；= 1 ，2 ，- ，n 十1 ) ，0 口茎1 ，则对这两个n 维单形，成立不等式 ( 喜虮霹。) “m + p 。m ，( 豢) 。薹( 囊) c v _ _ l 妒， c z 矗z ， 当n 1 与n 2 均为正则单形且y 1 y 2- = y 。+ 1 时等号成立。 若于式( 2 3 2 ) 中取n 2 为正则单形，则可得如下推论 推论2 3 1条件m - - i 定理2 3 j ，并设0 2 时，有 n 蚤+ l 霹篷n + l 碍趔) 2 等( 等) ；c 例掣，。剐 当且仅当n l 与n 2 均为正则单形时等号成立 霹 州 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 9 定理2 36 9 0 条件同定理2 3 5 ，且设由顶点集中的+ 1 个顶点所构成的k 维子单形的体积为( k ) ，则有 e ，警k + t 黔划啪， 1 1 1 垆) 掣巾s 加， 女) n 唉) 2 妒( n ，) f 垆 ，( 23 1 0 ) 0 2 l ，：l、f =， 其中 咖，垆嘶小一叫( 等) 。( 熹) r 当且仅当f h ( i 一1 ，2 ，- - ，m ) 为正则单形时等号成立。 定理2 3 7 9 0 】 设n - 与n 2 分别为n 维欧氏空间r n 中的两个n 维单形， 它们的n 维体积分别为和k ，且n l 的顶点a 。所对的界面的n 一1 维体积为 & ，n 2 的顶点b i 所对的界面的n i 维体积为f i ( 1 墨i n + 1 ) ，记s = 霹 n + 1 i = 1 ，f = 砰，则当n 2 时，有 n 刍+ l 。_ r 刍+ l ，2 一z 砰) 篆墨等( 号) ：( 吾口掣+ 导谚掣) ，( z s - ，) 当且仅当n 1 与n 2 均为正则单形时等号成立 注意到不等式 ( ；+ 导) 2 ( 删掣， 将该式代入式2 3 1 1 ，则也可得推论2 3 3 。 定理2 3 8 7 4 ，9 2 设n 为n 维欧氏空间尺”中的n 维单形，它的n 维体积 与其顶点a t 所对的界面的n l 维体积分别为v 和最( 1 isn + 1 ) ，则有 y 一( 譬) 矗f f f i = i 最) 两 s 耻， 且当该单形为正则单形时等号成立。 定理2 3 9 1 9 0 1设n 为维欧氏空间彤。中的n 维单形，它的n 维体积与其 顶点a ；所对的界面的n 一1 维体积分别为v 和s ，m ，r + 0 = 1 ，2 ，n + 1 ) ， 0 0 1 ，则有 ( “+ 1 n 刈删， 蓦哮) 卜叫。 。 + 一 蜘 、， 2 ， p 噶 ，i， m 阻 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文1 0 当n 为正则单形且m 1 = m 2 一= m 。+ l 时等号成立，其中 咖，驴c ，( r , - 1 ) ( 1 - o ) ( 筹) 8 定理2 3 1 0 5 0 设n 为n 维欧氏空间r 8 中的n 维单形，它的n 维体 积与其顶点a 。所对的界面的n 一1 维体积分别为y 和s ( i = 1 ，2 ，n + 1 ) ， 0 0 茎l ，则有 f n 厶+ l 吐0 12一n+l掣d(枷)v半，(23142 31 4 ) ( 厶吐) 一掣d ( n 目) v 半， ) i = 1 = 1 当且仅当n 为正则单形时等号成立，其中 d ( n ，0 ) 叫( 南) ； 定理2 3 1 1 1 5 0 设f 2 l 与n 2 分别为n 维欧氏空间r ”中的两个单形，其顶 点集分别为 a 1 ，a 2 ，一，a 1 ) 和 b l ，b 2 ，一，b 。+ 1 ) ，顶点a ：和b 。所对的n 一1 维界面的n 一1 维体积分别为最和只( 1 i n + 1 ) ，又n 1 与f 2 2 的n 维体积 分别为u 和k ，o 0 1 ，记s = 霹，f = 碍，则有 ”e1霹(喜碍一z碍)知a)(善产+善产)，(2315)i 霹l 碍一2 碍i ；。，臼) ( 丢k 鼍严+ 昙f ) ， ( 2 = 1 j = l， 。、“1 ， 当n l 与n 2 均正则时等号成立，其中d ( n ，目) 的定义同上 推论2 3 4条件同定理2 ，则有 羔gf n 厶+ l 。0 2 群1 d ( 。，趴k k ) 业，( 2 _ 3 1 6 )gl 厶，j 一2 群j d ( n ，目) 似k ) 学，( 2 3 1 6 ) i = 1 b = 1 当n 1 与q 2 均正则时等号成立 定理2 3 1 2 1 6 9 设n 为n 维欧氏空间r ”中的n 维单形，只为单形n 的 顶点a 所对的n 一1 维界面的n l 维体积( 1 i n + 1 ) ，又n 的n 维体积 为v ，外接球半径为r ，则有 ( 墓只) ”1 两舞一。r ， 皿s 肿， 等号成立当且仅当n 为正则单形 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 1 定理2 3 1 3 1 7 9 1 设q 为n 维欧氏空间彤中的n 维单形，n 的顶点a ；所对 的界面的扎一l 维体积为只( 1si 茎礼十1 ) ，项占、a 。与a j 之间的距离为i a 。a j l ， 即l a ，a j l ；n 甜( 1 墨i j 札+ 1 ) ，则有 薯砰而击酽 等号成立当且仅当n 为正则单形。 ( 2 3 1 8 ) 定理2 3 1 4 1 5 0 1 设n 为n 维欧氏空间船中的n 维单形，r o l ，2 ，n + 1 ) 是q 的各n 一1 维界面的n l 维体积，对o 一 甲 州：l 0 1 +忆 d + 礼 ，l 一 日 蟹 小m 一 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文1 2 定理2 3 1 7 1 6 9 设f 2 为n 维欧氏空间彤中的n 维单形，其n 维体积与 t t l 维界面的n l 维体积分别为v 7 和只“= l ，2 ，n + 1 ) ，又n 的棱长为 a l j ( 1 i v 等号成立当且仅当s ”1 的球心与g 重合。 定义2 3 2 设n 为n 维欧氏空问r 8 中的n 维单形 面的单位法向量为。( 1si n + 1 ) ，记b = d e t ( e l ，e 2 ， 则把a r c s i n i d i 叫做单形n 的顶点a 。的n 维空间角。 又n 的质点a ； ( 2 3 2 7 ) 所对的界 ，n + 1j ， 哪 3 心沪 州 击 d 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文1 3 引理2 3l 90 设n 为n 维欧氏空间r “中的n 维单形，其n 维体积为v ， 又n 的顶点a ；所对的界面的n 一1 维体积为s ( 1 茎i n + 1 ) ，且设顶点a 。的 n 维空间角为a ：，则有 量s i n a l ：熹s i n a 一舞s i n a ：幂挲 皿。船， 2。+ l( n v ) ”1 引理2 3 2 1 9 0 设n 为n 维欧氏空间r “中的n 维单形，其, 维体积为v ， 又n 的顶点a 所对的界面的n 一1 维体积为最( 1 isn + 1 ) ，再设 l ；为顶点 a 所对应的正实数，为n 的顶点a ，- - ba j 所对的二n l 维超平面所夹的内 二面角，则有 v 2 恤一1 ) 竺 n3n( 薹 g _ 巩 当且仅当下述的矩阵q 的所有非零特征值均相等时等号成立 q = t y t i 一、历i 而云c o s 目1 2 、历i 而百c o s 口2 1”2 一两i 而i c o s o n + l ，1 一、历i ：而c o s o n 扎2 ( 2 32 9 ) 、币瓦鬲c o s o in + l 两而丽c o s 日2 卅1 引理2 3 3 9 0 设n 为n 维欧氏空间邪中的n 维单形，其n 维体积为v 由顶点a i ，a ，a b 所构成的三角形的面积为岛，则有 v ( 警) 飞熙，) 矗， 仁s 瑚， 当且仅当n 为正则单形时等号成立。 引理2 3 4 9 0 设a a b c 的边长为。，b ，c ，面积为s ，口( 0 ，1 ) ，以扩，b 9 ，c 9 为三边可以构成一个三角形，设该三角形的面积为岛，则有 岛 ( 圹伊 当且仅当a a b c 为正三角形时等号成立。 ( 2 33 1 ) 靖萨瓦 由鬲 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 4 引理2 , 3 5 9 0 设f 2 为n 维欧氏空间r ”中的n 维单形，其n 维体积为v 顶点4 。与a j 之 司的距离为。d ，即i a 。a j i a i j ，口( 0 ，1 ) ，则有 当且仅当q 为正则单形时等号成立，其中 妒( n ，日) n n 学1 妒，口) v 等， ( 2 33 2 ) z 。岫暇 ，( 熹) 等 定理2 3 2 0 9 0 1 设n 1 与n 2 分别为n 维欧氏空间r ”中的两个n 维单形， 它们的棱长分别为a 玎与( 1 冬i j n + 1 ) ，n 维体积分别是h 与k ， 口。( 0 ，1 ) ( i 一1 ，2 ) ，则有 。萎，n 玎2 0 ，( 。戛6 矛一n 学1 丽b 妒( 叫- ) 一+ 西a 妒( 州。) 汐，l s l ( j 曼n + ll s k 2 蔓n + 1 一一 ( 2 3 3 3 ) 当且仅当f 2 l 与n 2 均为正则单形时等号成立，其中 a= n 磬1 ，b =b 琴2 ， 妒( n ，目) 的定义同引理2 ，5 推论2 3 5条件同定理2 3 2 0 ，则有 戛。，n琴z(，。萎。，。净一n喏z)妒(n，堕)一萨，(z。刖)19i j n + 11 f n + 1 。 7 当且仅当n l 与n 2 均为正则单形时等号成立，其中v ( n ，口) 的定义同引理2 7 5 引理2 3 6 1 8 9 设n 为n 维欧氏空间r “中的n 维单形，其顶点集为 4 1 ，a 2 ，一，a 。+ 1 ) ，从顶点集中任意取出个k + 1 顶点a 4 奶- - ，a 。+ ，所构 成的子单形的k 维体积为k ，则当1 k f n 时，有 叫赤( 害) 击( 兰) 矗( 童i 南， 仁。脚， 当且仅当所有的f 维子单形均正则时等号成立。 诺 +蜓9 ， 霄 n 挺 一 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 5 引理2 3 7 8 9 设q 为n 维欧氏空间r ”中的n 维单形，其n 维体积为v ，其 顶点集为 a 1 ，a 2 ，a 1 ) ，从顶点集中任意取出个k 4 - 1 顶点a 钉。a 一，a 褂。 所构成的子单彤的k 维体积为垤，若记m 一畿嚣，则有 mk 毳、f m 嵋矾一( n + l k ) v l ) 1 ( n ，k ) v e ， ( 2 3 3 6 ) 味) ( 啄砷一+ l 一) l ( n ， ，( 2 当且仅当n 为正则单形时等号成立，其中 咖，胪嘶小一坳( 害) 。( 羔) r 定理2 3 2 1 1 8 9 设f 2 1 与n 2 分别为n 维欧氏空间印中的两个n 维单 形，且它们的n 维体积分别为h 和k ，顶点集分蒴1 为 a 1 ，a 2 ，a 。+ 1 ) 与 b 1 ，b 2 ，一，b 。+ 1 ) ，由n l 的七+ 1q - y i 点a 。，a ，a ；。+ 。所构成的子单形的k 维体积为l f 舢，由n 2 的+ 1 个顶点鼠。，鼠。， b 。所构成的子单形的k 维体积为k 2 ( 砷，则有 量喻蚋f 妻嘿一( n + 1 一) 嵋1 ( p ( n ，) ( v l2 ) w ”，( z 3 _ 3 7 )昭【砷( 吩一( n + 1 一) 嵋l ( p ( n ，) ( v ，_ 3 7 ) 当且仅当n 1 与n 2 均为正则单形时等号成立，其中m 与妒( n ，) 的定义同引理 2 3 ，7 。 令k = n l 即得推论2 3 3 ，令= 1 即得推论2 3 6 推论2 3 6 设n 1 与n 2 分别为n 维欧氏空问r ”中的两个n 维单形，且它们 的n 维体积分别为h 和嵋，棱长分别为o 。和玩0 = 1 ，2 ，暖十。) ，则有 喜讯c 莹a + l 岫轮以。叫( 熹n 蝣，( 2 3 3 8 ) n i ( 鸳一n 砖) n 2 ( n 2 1 ) ii 备) ( u ) i ， ( 2 t - = l 仁= l 、。 等号成立当且仅当n 1 与均为正则单形。 引理2 3 8 5 0 设n 为n 维欧氏空间r “中的n 维单形，其n 维体积为v ， 顶点a t 所对的n 一1 维界面的n 一1 维体积为& ( 1 isn + 1 ) ，则当0 ( n 2 - 1 ) ( 赢1 iy 半，( 2 3 3 9 ) i = 1 ( 厶o 。) 一2 算( n 2 1 ) ( t ；_ i 赫 y 半，( 2 - = 1 ， 、。一7 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文1 6 当且仅当q 为正则单形时等号成立。 定理2 3 2 2 8 9 】设0 目茎1 ，其余条件同定理2 f 2 1 ，则有 皑( 曝( 旷m + 1 一女) k 12 妒( n ，e ) ( v l v 2 ) 警， ( 2 3 4 0 ) 当且仅当q l 与f 2 2 均为正则单形时等号成立，其中 砌，胁c 叫叫，( 害) 。( 蔫) ；r 定理2 3 2 3 f o o j 设f 2 l ，n 2 ，n f 为n 维欧氏空间彤中的f 个n 维单形， 的顶点集为 a 玎，a a 3 一， ( 。+ 1 ) ，) ，由顶点集中的+ 1 个顶点所构成的k 维 子单形的维体积为( ) ，又吗的n 维体积为k ( 1 ，1 ) ，p 1 ，如， ，巩为 正实数，且日1 十口2 + - r + 巩一1 ，则有 i i ( 喵晴) )+ 1 一) n k ；嚣) 妒( 亿女) i i 妒， ( 2 3 4 1 ) 当且仅当n 1 ，n 一，q 均为正则单形时等号成成立，其中m 一鹾k + + 1 l 定理2 3 2 4 6 5 j 设n 1 与n 2 分别为n 维欧氏空间舻中的两个n 维单形，它 们的n 维体积分别为k 和k ，棱长分别为o 。和饥( i = l ，2 ，锈+ 1 ) ，则有 5癸陲吩一ib州)(nz+n-4e b 2 2 a ) ( 蔫) ；( 噼( 2 342)1 1 7l 吩一il n 加+ 1 ) ( ) ( = 兰击) ( h k ) ；( 2 t =、# =， 5 癸偿纠毗) 扣项n ，( 熹) c 喊仁。粥， 其中等号成立当且仅当n l ，n 2 均为正则单形。 定理2 , 32 5 1 1 5 】条件同定理2 ，彩，若口e ( 0 ，1 ，则有 。萎0 1 孑( 1 1 l k n + l 秘嘴1 列一嘏扛，) ( 器) 警( 嘲警， 1 鱼 2 或n = 2 ，0 日 1 时，等号成立当且仅当n l 与n 2 都是正则单形 定理2 3 2 6 1 3 9 1 ( v e l j a n - k o r c h m i r o s 不等式) 设n 为n 维欧氏空间舻中的n 维单形，其n 维体积为v ，其棱长为a i j = i a 。山l ( 1 i j n + 1 ) ，则有 v 嘉( 字) 5 。如n 争，( 2 3 4 5 ) 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 7 当且仅当n 为正则单形时号号成立。 定理2 3 2 7 3 9 设n 是n 维欧氏空间册中的n 维单形 长分别为v 和吼o = 1 ，2 ， n + 1 ) ) ，则有 ( 5 醉卜器k 等号成立当且仅当n 为正则单形。 定理2 3 2 8 1 9 5 1 设n 是n 维欧氏空间r “中的n 维单形 长分别为v 和n ；( = 1 ，2 ，j n + 1 ) ) ，则有 毗卜击器k 其中风1 是与棱长有关的常数。 定理2 3 2 9 8 4 1 设n 是n 维欧氏空间r “中的n 维单形 长分别为v 和o 0 = 1 ，2 ，；n ( n + 1 ) ) ，则有 其 1 维体积和棱 ( 2 3 4 6 ) 其n 维体积和棱 ( 2 34 7 ) 其n 维体积和棱 阿n 。一十黼 8 湍v s a s ， 当且仅当n 为正则单形时等号成立其中a2 “甲t o z ，8 1 n l “ 定理2