（应用数学专业论文）平行板微管道间非牛顿流体的周期电渗流动广义maxwell与jeffrey流体模型.pdf

a ce l e t r o o s m o t l cf l o wo fn o n n e w t o n i a nf l u l d s b e t w e e nt w om i r o p a r a l l e l p l a t e s t h eg e n e r a lm a x w e l lm o d e la n dj e f f r e ym o d e l c a ol i h u i s u p e r v i s e db yp r o f e s s o ry a n gl i a n g u i s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，010 0 21 m a y , 2 0 1 1 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除本文 已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得内墓直太 堂及其他教育机构的学位或证书而使h j 过的材料。与我一同工作的同j 恙对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 日期： 翅 w tl 、sg 指导教师签名： 日期： 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将学位论文的 全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允许编入有关数据库进行 检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。为保护学院和导师的知识产权，作 者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须 征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公 开发表。 学位论文作者签名：璧童塑弪 指导教师签名： 日期：2 111 ：区 日 期： 平行板微管道间非牛顿流体的周期电渗流动 广义m a x w ei i 与j e f f r e y 流体模型 摘要 本文运用分离变量法求解了两平行板微管道中线性粘弹性流体的周期电 渗流动，其中线性粘弹性流体的本构关系是由广义m a x w e l l 模型和j e f f r e y 模 型描述的。将电渗力作为体力，解析求解了线性化的p o i s s o n b o l t z m a n n 方程， 柯西动量方程、广义m a x w e l l 和j e f f r e y 本构方程。通过计算机数值计算，分 析了电动宽度k ( 表示微管道的特征尺度与双电层厚度的比值) 、周期e o f 振 荡雷诺数r e 、无量纲弛豫时间a 。和无量纲延迟时间a 2 对速度剖面的影响。 结果表明：对广义m a x w e l l 模型来讲，给定电动宽度k ，在较低的振荡雷诺数 r e 和较短的弛豫时间a 1 情况下，速度剖面表现出牛顿流体的p l u g 1 i k e 剖面。 对于给定的雷诺数r e 和电动宽度k ，较长的弛豫时间兄l 导致e o f 速度剖面 较快的变化；同时，速度剖面的振幅逐渐增大。随着电动宽度k 的增大，对于 小的弛豫时间，速度的变化集中在e d l 的狭窄区域中。然而，随着弛豫时间 的增长流体的弹性显著增加，速度的变化可以延伸到整个流动的区域中。对 j e f f r e y 流体模型来讲，固定的振荡雷诺数r e ，当延迟时间如增大时，流体 在外加电场下变得更加快速。同样，对于给定的延迟时间2 2 w 较高的振荡雷诺 数r e 将会导致e o f 速度剖面的剧烈振荡，同时e o f 速度剖面的振幅显著减 小，在距离e d l 远的地方，e o f 速度几乎趋近于零。此外，随时间变化的速 度剖面给出了对这种流动特性的进一步认识。 关键词：e d l ；周期e o f ；广义m a x w e l l 、j e f f r e y 流体；平行板间微管道；振荡 雷诺数；弛豫时间；延迟时间 a ce l e t r o o s m o t i cf l o wo fn o n n e w t o n i a nf l u i d s b e t w e e nt w om i r o p a r a l l e l p l a t e s t h eg e n e r a lm a x w e l lm o d e la n dj e f f r e ym o d e l a b s t r a c t a n a l y t i c a ls o l u t i o n sa r ep r e s e n t e du s i n gm e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e sf o r t h et i m ep e r i o d i ce o ff l o wo fl i n e a rv i s c o e l a s t i cf l u i d sb e t w e e nm i c r o p a r a l l e l p l a t e s t h el i n e a rv i s c o e l a s t i cf l u i d su s e dh e r ea r ed e s c r i b e db yt h eg e n e r a lm a x w e l l m o d e la n dj e f f r e ym o d e l t h es o l u t i o ni n v o l v e sa n a l y t i c a l l ys o l v i n gt h el i n e a r i z e d p o i s s o n - b o l t z m a n ne q u a t i o n ，t o g e t h e rw i t ht h ec a u c h ym o m e n t u me q u a t i o n ，t h e g e n e r a l m a x w e l lc o n s t i t u t i v e e q u a t i o na n dj e f f r e yc o n s t i t u t i v ee q u a t i o n b y n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n s ，t h ei n f l u e n c e so ft h ee l e c t r o k i n e t i cw i d t hk d e n o t i n gt h e c h a r a c t e r i s t i cs c a l eo fh a l fc h a n n e lw i d t ht od e b y el e n g t h ，t h ep e r i o d i ce o fe l e c t r i c o s c i l l a t i n gr e y n o l d sn u m b e rr e ，n o r m a l i z e dr e l a x a t i o nt i m e s2 1 c oa n dr e t a r d a t i o n t i m e2 2 0 9o nv e l o c i t yp r o f i l e sa r ep r e s e n t e d f o rt h eg e n e r a lm a x w e l lf l u i d ，r e s u l t s s h o wt h a tf o rp r e s c r i b e de l e c t r o k i n e t i cw i d t hk ，l o w e ro s c i l l a t i n gr e y n o l d sn u m b e r r ea n ds h o r t e rr e l a x a t i o nt i m e2 1c or e d u c e st h ep l u g l i k ee o fv e l o c i t yp r o f i l eo f n e w t o n i a nf l u i d s f o rg i v e nr e y n o l d sn u m b e rr ea n de l e c t r o k i n e t i cw i d t hk ， l o n g e rr e l a x a t i o nt i m e2 1c ol e a d st or a p i do s c i l l a t i n ge o fv e l o c i t yp r o f i l e sw i t h i n c r e a s e da m p li t u d e w i t ht h ei n c r e a s eo ft h ek ，t h e v e l o c i t yv a r i a t i o n sa r e r e s t r i c t e dt oa v e r yn a r r o wr e g i o nc l o s et ot h ee d lf o rs m a l lr e l a x a t i o nt i m e h o w e v e r , w i t ht h ei n c r e a s eo ft h er e l a x a t i o nt i m e ，t h ee l a s t i c i t yo ft h ef l u i db e c o m e s c o n s p i c u o u sa n dt h ev e l o c i t yv a r i a t i o n sc a nb ee x p a n d e dt ot h ew h o l ef l o wf i e l d f o rt h ej e f f r e yf l u i d ，a sn o r m a l i z e dr e t a r d a t i o nt i m e2 2 c oi n c r e a s ef o rf i x e dr e ，t h e f l o wr e s p o n s et ot h ei m p o s e de l e c t r i cf i e l db e c o m e sf a s t e r t h i s i m p l i e st h a tt h e f l o wf e e l st h ep r e s e n c eo ft h ea ce l e c t r i cf i e l dv e r yq u i c k l ya n di ns h o r t e rt i m ea s 2 2 c oi n c r e a s e s s i m i l a r l y , f o rp r e s c r i b e dr e l a x a t i o nt i m e2 2 c o ，i n c r e a s i n go s c i l l a t i n g r e y n o l d sn u m b e rr el e a d st or a p i do s c i l l a t i n ge o fv e l o c i t yp r o f i l e s a tt h es a m e t i m e ，t h ea m p l i t u d e so ft h ee o fv e l o c i t yd e c r e a s eg r a d u a l l y a tt h ed i s t a n c ef a r a w a yf r o mt h ee d l ，t h ee o fv e l o c i t ya l m o s ta p p r o a c h e st oz e r o s m o r e o v e r , t h e t i m ep e r i o d i ce v o l u t i o no ft h ev e l o c i t yp r o f i l e sp r o v i d ead e t a i l i n s i g h to ft h ef l o w c h a r a c t e r i s t i co ft h i sf l o wc o n f i g u r a t i o n k e yw o r d s ： e d l ；t i m ep e r i o d i ce o f ；g e n e r a l i z e dm a x w e l l f l u i d s ； m i c r o 。p a r a l l e lp l a t e s ；o s c i l l a t i n gr e y n o l d sn u m b e r ；r e l a x a t i o nt i m e s ；r e t a r d a t i o n t i m e i i i 目录 中文摘要i 英文摘要i l 第一章引言1 第二章广义m a x w e l l 流体模型解析解3 2 1 公式的推导及解析解3 2 2 模型的分析6 第三章广义j e f f r e y 流体模型解析解1 1 3 1 公式的推导及解析解1 1 3 2 模型的分析1 4 第四章结论1 9 参考文献。2 0 致谢】! ：i 内蒙古人学硕十学位论文 第一章引言 微流体设备在微电子系统( m e m s ) 和生物传感器领域，如l a b o nac h i p 惦】，有很重要 的应用。当电解质与微管道管道壁相互接触时，就会引起壁面与电解质之间的电荷交换。这 依赖于微管道的化学成分和电解质在表面的化学反应过程。表面的电荷通过影响流体中阴离 子和阳离子的分布导致了双电层( e d l ) 的形成【3 】。带正电的离子很快地聚集在壁面附近，形 成了只有一个典型离子直径厚度的s t e m 层。紧贴着s t e m 层，形成了即含有阳离子又含有阴 离子的d i f f u s e 层，并且它的离子密度分布满足b o l t z m a n n 分布【4 】。当外加电场沿带电表面切 线方向时，在双电层( e d l ) 中的离子将会受到库伦力的作用而运动。这时由于流体粘性的作 用，可以移动的( 自由) 离子将会带动附近流体微团运动，最终形成了电渗流( e o f ) 。现在 电渗流被广泛地用于生物、化学和制药领域。在宏观尺度上经常是用机械泵产生压力，进而 用压力来驱动流体在长尺度的管道中流动。但是，在微尺度管道中，特别地，当管道尺度降 低至纳米量级和纳米量级之间时，利用压力驱动流动的模式由于管道直径的减小将会变得异 常困难。 在各种几何形状的微管中，如平行板管道【5 1 、圆柱状微管 6 1 、环形区域管道【7 , 8 1 、椭圆形 管道【9 1 、矩形微管道1 0 , 1 1 】、t 形【1 2 1 和半圆形混合截面微管道【1 3 】，完全发展的微管道牛顿流体 e o f 在理论与实验方面已有很多研究。然而，像这种定常电渗流现象要求较高电压和较大场 强，这有可能给实验条件带来诸多困难。 最近，与时间有关的e o f 作为一个微流体力学驱动机制引起了越来越多学者的注意。 d u t t a 和b e s k o k 【1 4 】最早用解析的方法来探讨两个平行板之间周期e o f 。他们阐述了两平行板 问周期e o f 和斯托克斯第二问题之间的异同点。在不要求薄的e d l 厚度假设下，k e h 和 t s e n g t l 5 】研究了瞬时一维微管道中的电动流动，给出了微管道中电渗流速度和瞬时流率的解析 表达式。通过运用格林函数的方法，k a n g 等人【1 6 】解析给出了随时间变化的外加电场作用下微 管中的瞬时e o f 速度场。对于矩形微管道中的周期性e o f 流动，w a n g 等人【1 7 】给出了半解析 解。他们发现，周期性e o f 的速度强烈地依赖于振荡雷诺数、e d l 的属性和外加电场。 c h a k r a b o r t y 和r a y ( 墙】研究了圆形微管道中质量流率的控制问题。最近，对于周期e o f 带有重 合e d l 的广义模型由c h a k r a b o r t y 和s r i v a s t a v a 1 9 1 提出。他们拓展了q u 和“ 2 0 】的关于重合 塑鍪查叁兰婴主兰篁堡茎 e d l 的研究成果。最近，菅永军等人【2 l 】得到了环形微管道中周期e o f 速度分布的解析解， 讨论了两种极限的情况，即平行板之间和圆形微管中的周期e o f 。 以上所有提及的研究考虑的都是牛顿流体。但微流体设备经常被用来分析生物流体，这 些流体经常是长链分子的溶液。正是由于这些长链分子使得流体呈现出一些非牛顿流体的性 质，例如可以变化的粘性、记忆效应、法线应力效应、屈服应力以及迟滞流体属性。为了描 述非牛顿流体在微管道内的流动特点，首先应该给出合适的本构关系来表征动力学粘性和剪 切变化率之间联系，然后用更广义的柯西动量方程而不是纳维斯托克斯方程来描述非牛顿流 体的运动。非牛顿流体的电渗流动在理论上的研究较少，原因主要是流体本身复杂的本构关 系带来的解析上的困难。故这方面的研究主要限制在一些简单的非牛顿流体模型上。 d a s 和c h a k r a b o t r y l 2 2 ，2 3 1 首次研究了非牛顿的非弹性幂律流体的定常e o f 流动。同样的流 体模型被z h a o 等人【2 4 】运用于微管道狭缝中的定常e o f 方面的研究当中。他们获得了依赖于 幂律指数n 的速度剖面的解析表达式。v a s u 和d e 2 5 1 研究了高z e t a 电势矩形微管道中幂律流 体的e o f 问题。z h a o 和y a n g t 2 6 1 得到了在任意z e t a 势的壁面上，幂律流体电渗流的广义 s m o l u c h o w s k i 速度。t a n g 等人【2 7 】运用格子玻尔兹曼方法模拟了微管道中幂律流体e o f 的流 动。 然而，平行板微管道中粘弹性流体的周期e o f 问题还没有人讨论。本文首次得到了平 行板微管道中线性粘弹性流体广义m a x w e l l 模型和j e f f r e y 模型的解析解。给出了无量 纲化速度剖面的解析表达式。它们是振动雷诺数尺p ，电动宽度k ，无量纲弛豫时间a l 以 及无量纲延迟时间1 2 c o 的函数。 2 内蒙古大学硕i ：学位论文 第二章广义m a x w e l l 流体模型解析解 + 2 1 公式的推导及解析解 f i g 1 s c h e m a t i co ft i m ep e r i o d i ce o f f l o wo ft h eg e n e r a l i z e dm a x w e l lf l u i d si nam i c r o c h a n n e l 如图1 所示，考虑两板间距为2 h 、带负电荷的平行板微管道中不可压缩广义m a x w e l l 流体的非定常e o f 。微管道的长度为三，宽度为肌假设这两个参数远远大于微管道的高 度，即l ，w 2 h 。建立二维坐标系，令x 轴y 轴相互垂直并且分别与带电平面相切。同时， 我们规定下板位于y = - h 处，上板位于y = h 处。电解质溶液与固体壁面之间的化学相互作用 产生了e d l 。e d l 是一层非常薄的位于固体液体界面上的带电流体层。e o f 流动是被沿轴 线方向施加的场强为岛的交流电场所驱动。由于几何形体上的对称性，我们仅对于管道的 上半部分进行研究。若忽略沿工方向的压力梯度，那么一维的柯西动量方程可以表示为 p 掣= 一言成( y 岐o ) ( 1 ) 其中，u t y ，力表示沿z 轴方向的速度分量，p 是流体的密度，t 表示时间，玩表示应力张量， p 。表示电荷体密度，晟( f ) 表示交流电场。事实上，我们假设( 1 ) 式中d e b y e 层上的电荷 分布不会受到随时间变化的e o f 的影响。对于广义m a x w e l l 流体本构关系满足如下关系【2 8 】 一啦d 一掣 掣卜 伪 塑鍪直查兰堡! ：兰垡堡塞 其中五l 表示流体的弛豫时间，r o 是零剪切率粘度。在等式( 2 ) 中，t 时刻的应力依赖于先前时 刻矿的速度梯度。然而，由于本构关系中被积函数是指数函数，所以距离t 近的t ，时刻的状 态对结果的影响最大。因此，流体对于近期的“记忆”强于它对以前时刻的“记忆”。这种 现象称为“衰退记忆”效应【2 8 1 。将( 2 ) 式代入( 1 ) 式得到 p t o u ( y , t ) 4 舾 _ 字 警肌见哪， 交流电场和周期e o f 的速度可以写成如下的复函数形式 “，r ) = 锨函。- 柳 ，e o ) = 贸 岛p f 叫) ( 4 ) 式中，贸 ) 表示周期e o f 函数的实数部分，c o 表示交流电场的振荡角频率。将( 4 ) 式代入( 3 ) 式后，我们得出 加t 毗叫) = f 。怪e x p _ 半 h 掣扩卜见炳奴 作参数焚抉：s = t t ，十是式( 5 ) 变为， 册士叫掣f 妒e 砌十见即时耐 旧 接下来，我们计算对于s 的积分， 册叠讪p = 掣( 而7 0 ) + 成扣波川 ( 7 ) 对于低的e d l 电势j i c ，可以运用d e b y e h f i c k e l 的线性化近似估计。在物理学方面，这 就意味着指电势能远低于热能。通过求解带有适当边界条件的p o i s s o n b o l t z m a n n 方程，最 终求得我们熟悉的净电荷密度分布【2 9 】 删一2 蹦谢后- ( 警) l 2 式中，是电解质溶液的介电常数，v o 是壁面的z e t a 电势，n o 是液体离子浓度，z v 表示电荷 化合价，e 表示电子所带的电荷量，如表示玻尔兹曼常数，r 是绝对温度，1 k 表示e d l 的 厚度。将f 8 1 式代入( 7 ) 式，在等式两边同时乘以e k o t 去掉实部符号，得到： 4 内蒙古人学硕士学位论文 可d 2 u o ( y ) - | 掣掣= 政2 9 o 丽c o s h ( k y ) t ( 1 + i 丑6 a ) 咖2 i 7 7 0i 7”c o s h 旧j7 7 0 此方程的边界条件如下， u o ( y ) l y ：胃= o 掣b ：o 咖v ” ( 1 0 ) 引八一组尢重利化参数： 歹= 吉，k = 脚，n o ( y ) = u 吒o ( y _ a ) ，= 一拿，r e = 、p o o f h 2 ( 1 2 ) 上式中，k 称作无量纲化的电动宽度，它表征微管道的半宽度这一特征长度与d e b y e 长度 的比值；u e o 表示牛顿流体稳定的h e l m h o l t z s m o l u c h o w s k ie o f 速度；r e 是电振荡雷诺数。 运用等式( 1 2 ) ，电渗流方程( 9 ) 和相应的边界条件( 1 0 ) 一( 1 1 ) 可以无量纲化为如下形式， 掣也e ( 1 + 即慨咖搿搿纠 ( 1 3 ) 瓦) i 列= 0 趔舻o a y ，v 等式( 1 3 ) 是一个关于复函数瓦修) 的二阶非齐次的偏微分方程，设系数 i r e ( 1 + i a c o ) = 0 + 泸) 2 其中，a 和是实数。它们由下面的等式给出 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 口= 厚 瓜两却 1 ，2 ，= 舟瓜研却 1 2 ， 方程( 1 3 ) 的通解可以表示为 内蒙古大学 瓦o ( y ) - - t c l p ( 口+ 班) 歹+ c 2 e 一( 口+ 啦 将通解( 1 8 ) 带入等式( 1 3 ) ，然后令c o s h ( 巧) 项的系数对应相等。那么，常数a 可以表示如下 j 一 一足2 ( 1 + i 3 1 c o ) 彳2 k 2 - ( a t + i f l ) 2 c o ! s h ( 一k ) ( 1 9 ) 将等式( 1 9 ) 带入到通解( 1 8 ) 中，然后运用等式( 1 4 ) ( 1 5 ) 表示的边界条件，我们就得出了常数 c l 和c 2 的具体形式 c l = c 2 = 丽蕊面k 2 0 f + i 3 q 丽c o ) ( 2 。) 最终，我们获得了无量纲速度表达式 捌= 揣 帮一丽c o s h ( k 歹) ， 2 2 模型的分析 在上节中，我们已经得出了微管道中广义m a x w e l l 流体周期电渗流的解析解。它们主 要依赖于三个无量纲参数。这些参数是电动宽度k = h x ，表征特征尺度管道半宽度与d e b y e 长度的比值；周期e o f 的振动雷诺数r e = p 铲q o ，以及无量纲弛豫时间a l 。 尽管我们的结果是由无量纲参数来给出的，但在实际的工程问题中仍然需要指出一些 典型的有量纲参数的取值。在以下的计算中，典型参数的取值如下【3 1 3 2 】：p = 1 0 3 k g m 一， r o = l o k g m 。1 s 一，h = 1 0 0 i _ t m 。同时，外加电场频率的变化范围是从0 到1 6 k h z ，与之对应的 角频率6 2 的变化范围是从0 到1 0 4 s 。因此，雷诺数r e 可以从o 到1 0 0 之间取值。根据参 考文献2 8 3 0 ，弛豫时间a l 的取值很广泛，在本文中的取值范围定为1 0 4 s 到1 0 3 s 。 当k = 2 0 ，图2 展示了在不同的弛豫时间2 1 0 9 ( o 2 ，0 5 ，1 0 ，3 0a n d5 0 ) 下，不同的振荡雷 诺数r e 对应的广义m a x w e l l 流体的半管道速度剖面。从图2 中可以看出，对于较低的振 荡雷诺数r e 和较短的弛豫时间2 , t o ，经典的类似h e l m h o l t z s m o l u c h o w s k i 的e o f 速度剖面 6 内蒙古大学硕十学位论文 会出现 参见图2 ( a ) ( c ) 】。速度剖面的变化部分都集中在了紧贴壁面的狭窄的e d l 区域。 对于给定的弛豫时间a l c o ，增加振荡雷诺数r e 将会导致e o f 速度剖面的快速振动。与 此同时，e o f 速度剖面的振幅逐渐减小。产生这种现象的原因是耗散时间尺度远远长于振 动周期。因此，流体的运动没有足够的时间扩散到微管道的两壁面中间的平面，并且e o f f i g 2 n o r m a l i z e de o fv e l o c i t yp r o f i l e so fg e n e r a l i z e dm a x w e l lf l u i da c r o s sh a l fc h a n n e lw i d t hf o r s e v e r a ln o r m a l i z e dr e l a x a t i o nt i m e sx lc of o rd i f f e r e n to s c i l l a t i n gr e y n o l d sn u m b e rr e ( k = 2 0 ) ( a ) r e = 0 0 l ，( b ) r e = 0 1 ，( c ) r e = 1 0 ，( d ) r e c l o ，( e ) r e = 5 0 ，( 0r e = 1 0 0 的速度变化被限制在紧贴两固体壁面的薄层中。此外，对于广义m a x w e l l 流体，较长的弛 豫时间2 1 c o 意味着较大的弹性效应和较小的恢复能力。由于广义m a x w e l l 的“衰退记忆 7 s。：参苫覃”譬luo百暑至a s。：套笤至”鞫l uoi”l石 小 暑、：匹。一o，*啊皇coi毋e石 内蒙古大学硕上学位论义 现象，对于给定的振荡雷诺数，增加的弛豫时间2 1 c o 导致e o f 的速度剖面在外加电场的作 用下更加容易地振荡。因此，从图2 中我们可以看到速度剖面更快速地振动。 图3 4 分别绘出了r e = 1 0 和r e = 1 0 0 两种情况下，对于不同的k 和不同的弛豫时间a l c o 的速度分布。一般而言，较短的弛豫时间意味着较小的弹性。从图3 我们可以看到：在小 的弛豫时间下，随着k 值的增加速度的变化被限制在紧贴e d l 的狭窄区域。但是，随着弛 豫时间的增长流体的弹性变得显著。并且由于弹性是流体的整体物理性质，速度变化可以 延伸到流动的全体区域。此外，速度的振幅随着弛豫时间的逐渐增大而变大。对比图3 和 图4 ， f i g 3 n o r m a l i z e de o fv e l o c i t yp r o f i l e so fg e n e r a l i z e dm a x w e l lf l u i da c r o s sh a l fc h a n n e lw i d t hf o r s e v e r a le l e c t r o d y n a m i ckf o rd i f f e r e n tn o r m a l i z e dr e l a x a t i o nt i m e s k l o o ( r e = 1 0 ) ( a ) k l t o = 0 2 ，( b ) 7 q a _ = 1 0 ，( c ) 九l = 3 5 ，( d ) k l = 6 0 内蒙古人学硕上学位论文 f i g 4 n o r m a l i z e de o fv e l o c i t yp r o f i l e so fg e n e r a l i z e dm a x w e l lf l u i da c r o s sh a l fc h a n n e lw i d t hf o r s e v e r a le l e c t r o d y n a m i ckf o rd i f f e r e n tn o r m a l i z e dr e l a x a t i o nt i m e sk l c o ( r e = 1 0 0 ) ( a ) 九l c o = o 2 ，( b ) k l c o = 1 0 ， ( c ) k l c o = 3 5 ，( d ) k t c o = 6 0 我们可以很容易地看出：较高的振动雷诺数r e 导致速度剖面的快速振荡。 速度随时问的变化是微管道中广义m a x w e l l 流体周期e o f 的重要特性之一。图5 给出 了在一个周期( c o t 从0 变化到2 石) 内，对于不同的振动雷诺数r e 和不同的弛豫时间2 1 0 3 的瞬时速度剖面。这些结论是将等式( 2 1 ) 带入等式( 4 ) ，然后取速度的实部最后得到的。从图 5 可以清楚地看出：对于较短的弛豫时间2 1 c o 和较小的振动雷诺数i 沁，流场扩展到一个与 两壁面的相邻的宽的区域中，速度剖面在周期性外加电场的作用下快速变化 参见图 5 0 ) ( 明。但是，随着弛豫时间2 1 缈和振动雷诺数r e 的增加，流场被限制在紧贴两平板的狭 窄区域中。在距离e d l 远的地方，e o f 速度几乎趋近于0 【参见图5 ( g ) 一( h ) 。通过数值计算， 我们发现：在给定振动雷诺数r e 和弛豫时间五1 0 9 下，电动宽度k 对于广义m a x w e l l 流体速 度剖面的影响与牛顿流体的情况一样。也就是说，在远离壁面附近的e d l 处，大的电动宽 度k 导致趋近于0 的流速。为了简便，这一点没有在本文中进一步说明。 9 内蒙古大学硕十学位论文 d i m e n s i o n l e s sd i s t a n c ey d i m e n s i o n l e s sd i s t a n c ey 3 砥 。? 、，i 、 - - - - - 一e t = 0 “o t = 7 【辟 o t 5 a 陀 一d = 3 m 4 一一一d2 o t = 湖 o o t = 掀 1 d = h 辟 oo 20 40 6 0 8 d i m e n s i o n l e s sd i s t a n c ey d i m e n s i o n l e s sd i s t a n c ey d i m e n s i o n l e s sd i s t a n c ey f i g 5 n o r m a l i z e de o fv e l o c i t yp r o f i l e so fg e n e r a l i z e dm a x w e l lf l u i d a c r o s sh a l fc h a n n e lw i d t hf o r s e v e r a li n s t a n t a n e o u st i m e sf o rd i f f e r e n to s c i l l a t i n gr e y n o l d sn u m b e rr ea n dr e l a x a t i o nt i m e s 九l ( k = 3 0 ) ( a ) r 卸1 ，k i o d = 0 2 ，( b ) r f l 5 ，l 1 0 = 0 8 ，( c ) r e = 2 0 ，九1 炉1 4 ，( d ) r e = 3 0 ，九l 俨2 0 ，( e ) r e = 1 0 ，九l 舻3 0 ， ( 0r e = 1 5 0 ，九i 萨4 0 ，( g ) r e = 3 0 0 ，h 舻5 0 ，( h ) r e = 1 0 0 0 ，x l o d = 6 0 1 0 爱一生套蕾。墨，_譬暑。丽l五 ”融协 弓；甍一刍参苗o2r一譬i口is-eo 一 内蒙古大学硕上学位论文 一一 第三章广义j e f f r e y 流体模型解析解 3 1 公式的推导及解析解 对于j e f f r e y 流体，柯西动量方程相同，本构关系满足如下关系式【2 8 】 孥叫。卜五纠 ( 2 2 ) 其中_ 是驰豫时间，如是延迟时间，如= 锄，f ) 砂是应力张量，r l o 是零剪切率粘度。交 流电场和周期e o f 的速度可写成如下的复函数形式 e o ) = 孵 8 泐) ，甜，r ) = 贸函。k 砌 ，( 2 3 ) 式中，孵 ) 表示周期e o f 函数的实数部分，国表示交流电场的振荡角频率。在( 2 2 ) 中同 除以兄l ，得到 鲁+ 砉= 专掣眇) + 友瓦d 贸州= 音掣吼咖嘲缈) 】 ， 对( 2 4 ) 式积分，得到 一署掣口 贸 扩”呦肌c ， 若假设在f = 一o o 处的流场无扰动，则在( 2 5 ) 式中的c = 0 。 从而( 2 5 ) 式变为 一署掣p 南 踹m 砷乙 - _ 等掣吨踹 内蒙古人学硕上学位论文 叫。丁d u o ( y ) 吨蹦p 泐 将( 2 3 ) ( 2 6 ) 代入( 1 ) 式，得 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 对于低的e d l 电势l ：f ，可以运用d e b y e h f i c k e l 的线性化近似估计。在物理学方面， 这就意味着指电势能远低于热能。通过求解带有适当边界条件的p o i s s o n b o l t z m a n n 方程， 最终求得我们熟悉的净电荷密度分布【2 9 】 删一曲。硐c o s h ( k y ) ，黼- ( 警) l ，2 ( 2 8 ) 式中，是电解质溶液的介电常数，是壁面的z e t a 电势，n o 是液体离子浓度，z v 表示电荷 化合价，e 表示电子所带的电荷量，k b 表示玻尔兹曼常数，t 是绝对温度，1 k 表示e d l 的 厚度。将( 2 8 ) 式代入( 2 7 ) 式，在等式两边同时乘以州，去掉实部符号，得到： 可a 2 u o o , ) 一i p 6 00 + i & o ) ) l 曲) = 警蹦蹦 ( 2 9 ) 此h - 程的边界条件如下， u o t y ) l ，：h = o 趔k od y 。一” ( 3 0 ) ( 3 1 ) 引入一组无量纲化参数： 歹= 吉，k = 脚，捌= 岩，u = e 驴吼 o e o “e = i p o o h 2 ( 3 2 ) 上式中，k 称作无量纲化的电动宽度，它表征微管道的半宽度这一特征长度与d e b y e 长度 的比值；表示牛顿流体稳定的h e l m h o l t z s m o l u e h o w s k ie o f 速度；r e 是电振荡雷诺数。 运用等式( 3 2 ) ，电渗流方程( 2 9 ) 和相应的边界条件( 3 0 ) ( 31 ) n - j 以无量纲化为如下形式， 1 2 内蒙古大学硕i j 学位论文 掣一m 篙枷一2 ( 业1 + i 如c o1 ) 删c o s h ( k ) 瓦) i 芦。= 0 _ d 瓦o t y ) b ：o a f 等式( 3 3 ) 是一个关于复函数瓦) 的二阶非齐次的偏微分方程，设系数 汛、l + i 2 f f o i t 2 c o ) = 。+ 泸) 2 、 j 其中，n 和是实数。它们由下面的等式给出 6 = 丑计2 j 方程( 3 3 ) 的通解可以表示为 玩) = g p ( 口+ 妒涉+ c 2 p 一位+ 泸涉 + 么c o s h ( 匆) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 将通解( 3 8 ) 带入等式( 3 3 ) ，然后令c o s h 晦) 项的系数对应相等。那么，常数a 可以表示如下 一 一k 2 0 + 以彩) 彳2 k 2 - ( a + i f l ) 2 ( 1 + i ! 五c o l ) c o s h 一( k ) ( 3 9 ) 将等式( 3 9 ) 带入到通解( 3 8 ) 中，然后运用等式( 3 4 ) 一( 3 5 ) 表示的边界条件，我们就得出了常数 c l 和c 2 的具体形式 c l = c 2 = 瓦面面而k 20 瓦+ i y 面q c o ) q 磊两 4 。) 孔2 一五而而万酊瓦瓦i 石i 两 w 最终，我们获得了无量纲速度表达式 隔历 内蒙古大学硕j ：学位论文 捌= 丽k 2 ( 1 + i a i ( - u ) 鬻一丽c o s h ( k y ) ( 4 1 ) 3 2 模型的分析 在上节中，我们已经得出了微管道中广义j e f f r e y 流体周期电渗流的解析解。它们主要 依赖于四个无量纲参数。这些参数是电动宽度k = h x ，表征特征尺度管道半宽度与d e b y e 长度的比值；周期e o f 的振动雷诺数r e = p m 序仞o ，以及无量纲弛豫时间2 , c o 和延迟时间2 2 0 ) 。 在实际的工程问题中，振荡雷诺数r e 、弛豫时间2 1 和延迟时间尼c o 的取法依赖于以 呷o ，a la n d2 , 2 【3 2 , 3 3 】，一般地，延迟时间a 2 要比弛豫时间五l 小。在近似计算中，我们主要讨论 上述各参数对速度剖面的影响。 当k = 3 0 ，2 2 c o = 0 1 ，图6 展示了在不同的弛豫时间2 1 ( 0 2 ，2 , 5 ，8 ，a n d1 0 ) 下，不同的振 荡雷诺数r e 对应的广义j e f f r e y 流体的半管道速度剖面。从图6 中可以看出，对于较低的 振荡雷诺数r e 和较短的弛豫时间a l ，经典的类似h e l m h o l t z s m o l u c h o w s k i 的e o f 速度剖 面会出现 参见图6 ( a ) - ( c ) 】。对于上述给定的弛豫时间2 1 w ，不断增加振荡雷诺数r e 将会导 致e o f 速度剖面的快速振动。与此同时，e o f 速度剖面的振幅逐渐减小。产生这种现象的 原因是耗散时间尺度远远长于振动周期。因此，流体的运动没有足够的时间扩散到微管道 的两壁面中间的平面，并且e o f 的速度变化被限制在紧贴两固体壁面的薄层中。此外，对 于给定的振荡雷诺数，增加的弛豫时间a l c o 导致e o f 的速度剖面在外加电场的作用下更加 容易地振荡。 1 4 内蒙古人学硕上学位论文 d i