（应用数学专业论文）非线性偏微分方程若干解法分析与应用.pdf

非线性偏微分方程若干解法分析与应用 摘要 随着科学技术的发展，对非线性问题的研究已经贯穿于信息科 学、生命科学、空间科学、地理科学和环境科学等许多领域非线性 科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且对社会的进步与发展有着 积极的推动作用 非线性问题是十分复杂的，要研究非线性现象，首先要根据实际 问题建立适当的数学模型而物理科学、工程技术和许多应用科学中 的数学模型以微分方程居多，因此研究各类微分方程的性质及解法就 成为了当前科学研究，尤其是非线性科学研究的热点问题之一 经过几十年的发展，已找到许多求非线性偏微分方程精确解，尤 其是孤子解的方法本文借助于计算机符号计算系统m a t h e m a t i c a ， 研究和讨论了首次积分法、相似变换法和非线性偏微分方程的 p a i n l e v e 性质完成了以下三方面工作：一、利用首次积分法求解了 f i t z h u g h - n a g u m o 方程，得到了一系列新的精确解，并且讨论了参数 取特殊值时的特解还求解了f i s h e r 方程，得到了四组精确解二、 分别用三种相似变换法分析了一类非线性色散一耗散方程，得出了方 程的几种不同形式的相似约化及一个新的相似解三、用w t c 方法 讨论了一类非线性色散一耗散方程的p a i n l e v e 性质，结果表明该方程 不具有p a i n l e v e 性质，因此不是p a i n l e v e 可积的 论文共分为四章第_ 章介绍了论文的一些背景知识和非线性偏 微分方程的几种常见解法，包括散射反演方法、双线性方法、t a n h 函数法、基于符号计算的一种统一的代数方法和齐次平衡方法等等 第二章首先介绍了首次积分法的基本原理和主要步骤，然后利用 这种方法求解了两个非线性偏微分方程对于一种重要的非线性反应 扩散方程f i t z h u g h - n a g u m o 方程，得到了一系列新的精确解，可以看 出首次积分法是寻找非线性发展方程精确解的最有效的方法之一，尤 其适用于不完全可积的模型以这部分内容为基础撰写的科研论文 “n e we x a c ts o l u t i o n st ot h ef i t z h u g h - n a g u m oe q u a t i o n ”已经被s c i 收 录期刊( ( a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ) ) 正式接受将这种方 法应用于f i s h e r 方程，得到了四组精确解，其中一组解与刘式适【2 习 等利用“试探函数法 得到的结果完全相同同时，利用这种方法， 我们还得到了更多结果 第三章介绍了三种最常用的相似变换方法，分别是经典无穷小变 换法，非经典无穷小变换法和c k 直接法以一类非线性色散一耗散 方程为例，分别利用这三种方法对其进行约化，得到了几种不同形式 的相似约化及一个新的相似解可以看出这三种方法既有相似之处， 又各具特色 ，第四章主要介绍了判断常微分方程p a i n l e v e 性质的a r s 方法和 判断偏微分方程p a i n l e v e 性质的w t c 方法另外还以k d v 方程为例， 介绍了如何利用p a i n l e v e 分析得到偏微分方程的b a c k l u n d 变换利 用w t c 方法对一类非线性色散一耗散方程进行分析，结果表明该方 程不具有p a i n l e v e 性质，因而不是p a i n l e v e 可积的 关键词偏微分方程精确解首次积分法相似变换p a i n l e v e 分 析 a n a i ，y s i s & a p p l i c a t l 0 nt os o m 匣匝t h o d s f o rso i gn o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t 队le q u a t i o n s a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p i n go fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , t h er e s e a r c hf o r n o n l i n e a rp r o b l e mh a sr u nt h r o u g hi n f o r m a t i o ns c i e n c e ，l i f es c i e n c e ， s p a c es c i e n c e ，g e o g r a p h i cs c i e n c e ，e n v i r o n m e n t a ls c i e n c ea n dm a n yo t h e r s c i e n t i f i ca r e a s ，b e c a u s et h i sr e s e a r c hh a sn o to n l yg r e a tt h e o r e t i c a l s i g n i f i c a n c e ，b u t a l s o p r a c t i c a lm e a n i n gf o rt h e s o c i a lp r o g r e s sa n d d e v e l o p m e n t n o n l i n e a rp r o b l e mi sv e r yc o m p l e x t os t u d yn o n l i n e a rp h e n o m e n o n ， f i r s ta ta l l ，a p p r o p r i a t em a t h e m a t i c a lm o d e l sm u s tb ee s t a b l i s h e do nt h e b a s i so fa c t u a lp r o b l e m ，a n dm a n ym a t h e m a t i c a lm o d e l si np h y s i c a l s c i e n c e ，e n g i n e e r i n gt e c h n o l o g ya n dm a n ya p p l i e ds c i e n t i f i ca r e a sc o m e d o w nt od i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，s os t u d y i n gt h ep r o p e r t ya n ds o l v i n g m e t h o d so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e c o m eo n eo ft h eh o ti s s u e sf o rt h e c u r r e n ts c i e n t i f i cr e s e a r c h ，e s p e c i a l l yf o rn o n l i n e a rs c i e n t i f i cr e s e a r c h a f t e rd e c a d e so f d e v e l o p m e n t ，m a n ya p p r o a c h e sh a v e b e e nf o u n dt o s o l v en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w i t ht h e h e l p o fc o m p u t e rs y m b o l ss y s t e mm a t h e m a t i c a ，s o m em e t h o d so f s t u d y i n ga n ds o l v i n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc h r i s t e n e d t h ef i r s ti n t e g r a lm e t h o d ，s i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o nm e t h o da n dp a i n l e v e a n a l y s i s o rp a i n l e v et e s t t e c h n i q u ea r ei t e m i z e da n du s e d ，a n dt h e f o l l o w i n gt h r e ea s p e c tt a s k sa r ec o m p l e t e d ：f i r s t l y , b yu s i n gt h ef i r s t i n t e g r a lm e t h o d ，w eo b t a i n as e r i e so fn e we x a c ts o l u t i o n so ft h e 1 f i t z h u 曲一n a g u m oe q u a t i o n w ea l s os o l v et h ef i s h e re q u a t i o nw i t l lt h e s a m em e t h o d ，a n df o u rg r o u p so fe x a c ts o l u t i o n sf o rt h i s e q u a t i o na r e o b t a i n e d ， s e c o n d l y ，s i m i l a r i t y r e d u c t i o n sa n ds i m i l a r i t ys o l u t i o n so fa n o n l i n e a rd i s p e r s i v e - d i s s i p a t i v ee q u a t i o na r ed i s c u s s e db yt h r e ed i f f e r e n t s i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d s t y p e so fs i m i l a r i t yr e d u c t i o n sa n d e q u a t i o na r eg i v e n r e s p e c t i v e l y , a n ds e v e r a l d i f f e r e n t an e ws i m i l a r i t ys o l u t i o no ft h i s t h i r d l y , a p p l y i n gt h ew t cm e t h o dt o an o n l i n e a rd i s p e r s i v e d i s s i p a t i v ee q u a t i o n ，w ef i n dt h a tt h i se q u a t i o nc a nn o tp o s s e s sp a i n l e v e p r o p e r t y , a n dt h e r e f o r ei ti sn o tt ob ec o m p l e t e l yi n t e g r a b l e t h ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e sf o u r c h a p t e r s i nc h a p t e ri ，s o m e b a c k g r o u n dk n o w l e d g ea n d s e v e r a lc o m m o n s o l v i n g m e t h o d so f n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ei n t r o d u c e d ，w h i c hi n c l u d e i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d ，t a n hf u n c t i o nm e t h o d ， au n i f i e da l g e b r am e t h o db a s e do nt h e s y m b o l sc o m p u t a t i o na n d h o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d ，a n ds oo n i nc h a p t e ri i ，t h eb a s i cp r i n c i p l e sa n dm a jo rs t e p so ft h ef i r s ti n t e g r a l m e t h o da r ee x p a t i a t e d ，a n dt h e nt w on o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r es o l v e db ym e a n so ft h i sm e t h o d as e r i e so fn e we x a c t s o l u t i o n sa r eo b t a i n e df o rt h ef i t z h u g h - n a g u m oe q u a t i o n i tt a i lb e a c c o u n t e df o rt h a tt h i sm e t h o di so n eo ft h em o s te f f e c t i v ea p p r o a c h e st o s e e kt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，e s p e c i a u y f o rn o n i n t e g r a b l em o d e l s t h er e s e a r c hp a p e rb a s e do nt h i sp a r t 一 n e w e x a c ts o l u t i o n st ot h ef i t z h u g h - n a g u m oe q u a t i o n ”h a sb e e na c c e p t e db y “a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n w ea l s oo b t a i nf o u rg r o u p so f e x a c ts o l u t i o n sf o r t h ef i s h e re q u a t i o nb yt h i sm e t h o d ，a n do n eo ft h e mi s s a m et ot h e “t r i a lf u n c t i o ns o l u t i o n ”f o u n db yl i u 2 3 1 a n dw er e c e i v e m o r er e s u l t sb yt h i sm e t h o da tt h es a m et i m e i nc h a p t e ri i i ，t h et h r e em o s tc o m m o n l yu s e dm e t h o d s ，i n c l u d i n g 2 c l a s s i c a ls i m i l a r i t yr e d u c t i o n ，n o n c l a s s i c a ls i m i l a r i t yr e d u c t i o na n dc k d i r e c tm e t h o da r ei n t r o d u c e d b ya p p l y i n gt h e s em e t h o d st oan o n l i n e a r d i s p e r s i v e - d i s s i p a t i v ee q u a t i o nr e s p e c t i v e l y , s e v e r a ld i f f e r e n tt y p e so f s i m i l a r i t yr e d u c t i o n sa n dan e ws i m i l a r i t ys o l u t i o na r eg i v e n i tc a r lb e s e e nt h a tt h e s et h r e em e t h o d sa r eb o t hs i m i l a r i t i e sa n dc h a r a c t e d s t i c s i nc h a p t e ri v , t h ea r sm e t h o dw h i c hi su s e dt oj u d g et h ep a i n l e v e p r o p e r t yo ft h eo d ea n dt h ew t cm e t h o dw h i c hi su s e dt oj u d g et h e p a i n l e v ep r o p e r t yo ft h ep d ea r es p e c i a l i z e d m a k i n gt h ek d ve q u a t i o n a sa ne x a m p l e ，w ei n t r o d u c eh o wt of i n dt h eb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o no f a p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nb yu s i n gt h ep a i n l e v ea n a l y s i s a p p l y i n gt h e p a i n l e v ep d et e s tt oan o n l i n e a rd i s p e r s i v e d i s s i p a t i v ee q u a t i o n ，w ef i n d t h a tt h ee q u a t i o nd o e sn o tp o s s e s st h ep a i n l e v ep r o p e r t y , a n dt h e r e f o r ei t i sn o tt ob ec o m p l e t e l yi n t e g r a b l e k e y w o r dp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e x a c ts o l u t i o n s ，f i r s ti n t e g r a l m e t h o d ，s i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o n ，p a i n l e v ea n a l y s i s 3 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任 本人签名： 缮墨袭 日期： 趔：墨 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在西年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位 本人签名： 导师签名： 适用本授权书。 日期：趁正互 日期： 左t 。主 北京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 本论文主要完成了以下三个方面的工作：一、利用首次积分法求解f i t z h u g h n a g u m o 方程，得到了一系列新的精确解，并且讨论了参数取几个特殊值时的特 解，以此结果为主要内容的论文“n e we x a c ts o l u t i o n st ot h ef i t z h u g h - n a g u m o e q u a t i o n 已经被 a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ) ) ( s c i ) 正式接受还 用同样的方法求解了f i s h e r 方程，得到了四组精确解二、分别利用三种相似变 换法分析了一类非线性色散一耗散方程，得出方程的几种不同形式的相似约化及 一个新的相似解三、利用w t c 方法讨论了一类非线性色散一耗散方程，结果 表明该方程不具有p a i n l e v e 性质，因此不是p a i n l e v e 可积的 1 1 研究的意义与方法 由于线性问题本身的简单性，所以被经典科学认为是客观世界中的常规现象 和本质特征，有普遍规律，能建立一般原理和普适方法而非线性问题被看作是 例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或 采取特殊的方法做个别处理事实上，大自然和人类社会中充满了各种各样的非 线性现象，如j 云彩的形状、闪电的径迹、天气变化、海洋湍流、光纤通信、蛋 白质和d n a 作用机理等非线性是普遍的、本质的，线性才是特殊的、非本质 的；线性系统是对一部分简单非线性系统的理论近似，非线性才是现实世界无限 多样性、奇异性和复杂性的真正根源 随着科学技术的发展，目前对于非线性问题的研究贯穿于信息科学、生命科 学、空间科学、地理科学和环境科学等许多领域非线性科学不仅具有重大的科 学意义，而且对人类社会、生态环境、医学诊断、经济发展、信息与决策等都产 生了巨大影响，对社会的进步与发展有着积极的推动作用 要研究非线性现象，首先要根据实际问题建立适当的数学模型随着科学技 术的迅速发展，工程技术各个学科，如机械、化工、电机、能源、土木、通讯、 生物、自动控制、材料等领域都提出了大量的非线性数学模型传统的线性模型 在高科技发达的今天已显出种种弊端如最简单的振动模型 m x 。+ c x + k r , = f ( t ) ， 这里将阻尼力和恢复力分别规定为速度和位移的一次函数，方程是简单了，成为 线性方程，但在实际应用中存在很大的误差再如，一台复杂的机床，往往涉及 到很多结合面，由于结合面间的油阻尼及微观不平度引起的非线性恢复力使得线 非线性偏微分方程若干解法分析与应用 性模型不仅存在很大的误差，甚至根本不能应用又比如研究最优控制系统时， 即使对于最简单的线性定常系统，其最优控制也需要求解非线性的r i c c a t i 方 程另外，高楼建筑的振动与周围风场分布的相互作用，高楼建筑的桩基与周围 土介质的相互作用，化工中的质量传递、热量传递和动量传递，相变材料的热控 研究等等都涉及非线性数学模型的建立、求解和解的性质的研究 物理科学、工程技术和许多应用科学中的数学模型以微分方程居多从应用 角度讲，最好能得到方程的解析解，或者近似解析解，或者解的定性结论，当然 还有广泛采用的数值解不过要解这些方程往往并不容易，通常有以下几类方法： 一、求精确解，即试图运用各种技巧( 如利用对称性或一些巧妙的变换) 来 求得问题的精确解但实际上只有极少数的非线性问题能够求得精确解 二、定性分析，即对解的存在性、唯一性和稳定性问题进行讨论在当前大 量使用计算机进行数值计算的情况下，这对求解可能性和可靠性是一个必要的保 证如果一个非线性问题的解不存在、不唯一或不稳定，则要对问题的模型作重 新考察 三、数值解法，由于求非线性问题的准确解是很困难的，因此采用数值方法 求解是不可避免的，特别是当要解决的问题需要数字结果时事实上，大量的非 线性问题已经能够用数值计算来解决 四、渐近展开法，采取多次线性逼近方法，通过解若干次线性问题得出非线 性问题的近似解在这类问题中，往往含有一个小参数，对方程作关于小参数的 展开，得到无限多个线性问题，逐次求解若干个线性问题，即可求得很好的近似 解 上面每一类方法又包含若干具体解法，非线性方程是多种多样的，其解法也 是多种多样的除了一些发展多年的经典解法外，还不断涌现出各种新的解法将 不同的方法运用到不同的方程上，很可能获得一些新的结果，而这些结果又很可 能在通讯、医疗、经济等方面有重要的作用因此，研究非线性偏微分方程的解 法和解的性质不仅具有重要的理论意义而且具有重要的现实意义，成为非线性科 学研究的一个重要方向 本文主要研究寻找方程精确解的方法数学物理方程，尤其是在流体力学、 空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术中引出的非线 性发展方程，其精确解有着重大的理论和应用研究价值，许多数学家和物理学家 为此作了大量工作 一方面，精确解可以用于设计和检测数值求解算法精确解在添加人为的边 界条件后得到的特解可以用于检验一些数值算法的正确性和可靠性，其重要意义 不容低估 北京邮电大学硕士研究生学位论文 另一方面，精确解可以用于预测和解释某些重要的物理现象精确解本身是 与某些物理现象相对应的孤立波现象之所以得到科学家的广泛承认，就是因为 k o r t e w c g 和d ev r i e s 通过k d v 方程的一个精确孤波解解释了r u s s e l l 观察到的水 波现象 1 2 非线性偏微分方程的几种常见解法 从七十年代开始，非线性数学物理研究领域颇具特色的成就之一就是创造了 求非线性偏微分方程精确解特别是孤立波解的各种精巧方法，如散射反演方法、 h i r o t a 双线性算子方法、b a c k l u n d 变换法、d a r b o u x 变换法、j a c o b i 椭圆函数展 开法等等下面我们介绍几种常见的寻找精确解的方法 1 散射反演方法【l 】 散射反演方法是求解可积非线性系统的重要方法，它的基本思想是将这类非 线性问题通过常微分算子和本征值转化为线性问题来求解1 9 6 7 年，g a r d n e r 等 人( 简称g g k m ) 在研究k d v 方程时，利用量子力学中s c h r o d i n g e r 方程的反 散射论证( 正散射问题和反散射问题) 将k d v 方程的初值问题转化为三个求解 线性方程的问题，得到了n 孤子解，这种处理问题的方法称为反散射法1 9 6 8 年，l a x 分析了g g k m 用于求解k d v 方程初值问题的上述思想，整理提出了用 反散射方法求解其他偏微分方程( p d e ) 的更一般的框架，同时指出，用反散射 方法求解p d e 的前提是找到该方程的l a x 表示( l a x 对) 1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 利用l a x 的思想，用反散射方法求解非线性s c h r o d i n g e r 方程，第一次 用实例证明了反散射方法的更一般性1 9 7 2 年，w a d a t i 用类似方法求解了m k d v 方程1 9 7 3 年，a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u r 编制了用反散射方法求解大批 偏微分方程的软件包1 9 7 5 年，w a h l p u i s t 和e s t a b r o o k 提出了含有两个非线性偏 微分方程的延拓结构法该方法的一个重要应用是：借助l i e 代数可以得到方程 的l a x 表示，这为用反散射方法求解方程提供了必要条件 2 双线性方法【 1 9 7 1 年，h i r o t a 引入了双线性方法，用于构造许多方程的多孤子解和 b a c k l u n d 变换1 9 8 8 年，b o i t i 等人研究了( 2 + 1 ) 维模型，提出了孤立子解的一 种特例- - d r o m i o n 结构随后，人们证明其他( 2 + 1 ) 维方程也拥有d r o m i o n 结 构1 9 9 3 年，r o s e n a u 和h y m a n 为了研究非线性色散模型的影响，提出k ( m ，n ) 模型，并且给出了该方程在分段连续情况下的c o m p a c t o n 解，该解具有弹性碰撞 等有趣的类似于孤立子解的性质1 9 9 6 年，楼森岳教授用h i r o t a 方法研究了一 个( 3 + 1 ) 维k d v 型方程，证明了该方程拥有丰富的类d r o m i o n 结构 非线性偏微分方程若干解法分析与应用 3 t a n h 函数法 2 1 这种方法首先被楼森岳教授等用于求解复杂的方程，之后被m a l f i e t 系统化为 构造非线性方程孤波解的t a n h 函数法 对于给定的非线性方程 p ( u ，“。，“曩，u x t ) = 0 ，( 1 - 1 ) 根据t a n h 函数法，方程( 1 1 ) 的解“可表示为 u ( x ，r ) = u ( f ) = 口。一( 1 - 2 ) l = 0 其中e ( x ，t ) = t a n h ( k 善) ，孝= x + c t ，z 为一正整数，可通过平衡方程( 1 1 ) 的非线 性项和最高阶导数项得到，| | ，c ，口。，吒为待定参数将( 1 - 2 ) 代入方程( 1 - 1 ) 并令 各个矿的系数为零可得到一个关于尼，c ，口o ，a 。的多项式方程组，由此可得到 忌，c ，口o ， 然而，利用这种方法只能得到非线性方程孤波型解，如果用t a n c k # ) 替换 t a n h ( k ( ) ，可得到t a n 形式的解，但需要做大量的重复运算，如果方程根本不存 在这种解，所做的工作将是徒劳的为了解决这些问题，出现了扩展的t a n h 函 数法 这种方法的关键思想是充分利用带有一个参数的r i c c a t i 方程 妒= b + 伊2 ，( 1 3 ) 其中：- - d 鸳，b 为一待定参数使用( 1 3 ) 的解替换t a r t h 方法中的t a n h 函数， 其他过程类似于t a n h 函数法的处理反复利用方程( 1 - 3 ) ，可将伊的所有导数用9 的多项式来表示，而r i c c a t i 方程( 1 - 3 ) 具有三种类型的一般解 9 = 一届t 砒= 砖，一c o t h 二碡，b 0 ( 1 6 ) 我们看n ( 1 2 ) 中的t a a h 函数仅是( 1 4 ) - - - ( 1 6 ) 的一种特殊情况。利用r i c c a t i 方程的另一个好处是参数b 的符号可用于判断所得行波解的数量和形状据此， 无需额外费力便可得到非线性方程新的以及更一般的行波解 4 基于符号计算的一种统一的代数方法1 2 1 范恩贵教授发展了这种基于符号计算的一种统一的代数方法，可用于构造各 种行波解，包括孤子解、有理解、三角函数周期解、w e i e r s t r a s s 和j a c o b i 椭圆函 北京邮电大学硕士研究生学位论文 数双周期解 对于给定的非线性偏微分方程 尸( “，“，“f ，u 。，“曩，z ) = 0 ， 用下列一阶微分方程代替r i c c a t i 方程( 1 3 ) 矽= s ( 1 7 ) ( 1 - 8 ) 其中f = 1 ，为一正整数，c 0c l ，一，c ，为待定常数与t a r d a 方法或广义t a n h 方法不同，这种方法涉及两个平衡数即和，在一般情况下，平衡最高阶导数项 和非线性项将给出n 和，之间的一种关系例如，对m k d v 方程 u f + u 2 u z + 虬嚣= 0 ， 我们得到 ，= 2 ( n + 1 ) ( 1 - 9 ) 显然，任给一个以我们可得到一个r ，从而导致一种假设如在( 1 - 9 ) 式中取以= l ， 可得到，= 4 ，因此我们可寻找m k d v 方程如下形式的解 “= 口o + 口1 缈，9 = s c o + c i + c 2 伊2 + c 3 尹3 + c 4 妒4 我们看到，随着刀的增大而增大，方程( 1 7 ) 的行波解依赖于方程( 1 8 ) 的可解 性，其系数满足关于d ，a i ，c j 的某一代数方程组刀和，i 越大，所得到的解越一般， 但随着n 和，的增大，求解这种方程将变得越来越复杂目前我们仅考虑一种有 趣的情形，= 4 ，即 伊= 占c o + c 1 矽+ c 2 缈2 + 巳伊3 + c 4 q ，4 ( 1 - 1 0 ) 方程( 1 t o ) 在不同情况下，具有如下各类行波解： ( i ) 当c ，= c o = c l 时，方程( 1 1 0 ) 具有钟状孤子解、三角函数和有理函数解 9 = 再s e c 办嘛) ， 驴= 再s e c 怖) ， c 2 o ，c o 妒一丽一刮 刈。 ( 1 - 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 - 1 3 ) ( i i ) 当c ，= c 。= 。，c o = 若2 时，方程( 1 - 1 。) 具有扭状孤子解、三角函数和有理 非线性偏微分方程若干解法分析与应用 函数解 缈= 麽鼬( 序) ， 缈= 压t a i ：， c 2 0 ，c 4 0 ， 妒：一_ 害i ，c 2 = o , c 4 o 妒一丽一2 刈 ( i i i )c 3 = q = 0 时，方程( 1 一l o ) 具有三种j a c o b i 椭圆函数解 9 = 9 = ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 辱卜嚣等一北m t 乃 刀( 辱 ， c o ：j j ， 。， c - 2 。， 一纠孚孝卜。， m 2 ， 9 妥，c 2 ：0 ( 1 - 2 2 ) 一，9 。万c 2 ( v ) 当c 4 = 0 ，c 3 0 时，方程( 1 - 1 0 ) 具有w e i e r s t r a s s 椭圆函数解 降蹈岛 m 2 3 ， 其中9 2 = - 4 c l 勺，9 3 = - 4 c o c 3 北京邮电大学硕士研究生学位论文 解代替t a n h 函数当c l = c 3 = 0 ，c o = 1 ，c 2 = 一2 ，c 4 = 1 时，方程( 1 - l o ) 具有解 伽m f ，此时这种方法退化为t a n h 函数法，即t a n h 函数法仅为上述方法的一个 特殊情况( 1 1 4 ) 当c 1 = c 3 = 0 ，c o = b 2 ，c 2 = 2 b ，c 4 = 1 时，方程( 1 - 1 0 ) 退化为k i c c a d 方程，此时上述方法退化为广义t a n h 函数法 5 齐次平衡方法【3 ，4 】 齐次平衡方法是由王明亮、李志斌教授提出的构造非线性演化方程孤波解的 一种非常有效的方法，也称拟解法依据该方法，可事先判定某类非线性偏微分 方程是否有一定形式的精确解存在，如果回答是肯定的，则可按一定的步骤求出 它来因而齐次平衡原则具有直接、简洁、步骤分明的特点，再者，还适于用计 算机符号计算系统进行计算，且得到的是精确的结果 下面我们概述一下齐次平衡法的基本思想和步骤为简单起见，仅以一个未 知函数、两个自变量的情形为例来阐明，对若干个未知函数及多个自变量的方程 组的情形，可类似地表述 给定一个非线性偏微分方程 尸( “，“，以，u 曩，u x l ，u u ) = 0 ， ( 1 - 2 4 ) 这里尸一般是其变元的多项式，其中含有非线性项及以线性形式出现的最高阶偏 导数项一介函数妙= 9 ( x ，t ) 称为方程( 1 2 4 ) 的拟解，如果存在单变元的函数 厂= f ( p ) ，使厂( 矽) 关于x ，的一些偏导数的适当的线性组合，即 甜( 毛r ) = 竺丢笛堕+ ( 伊) 关黾和r 的低于小+ 刀阶偏导数的适当的线性组合 ( 1 - 2 5 ) n 戥 u ( x ，f ) = f “”( 9 ) 秽+ 伊( x ，) 的各种偏导数为变元的低- 于m + n 次的一个多项式 ( 不够( 伊) 及其导数)( 1 2 6 ) 精确地满足( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 和( 1 2 6 ) 中的非负整数m ，刀，单变元函数f 弓f ( f a ) 以 及函数= v ( x ，t ) 都是待定的将( 1 - 2 6 ) 式代入方程( 1 - 2 4 ) 后，可通过下述步骤确 定它们： 第一，使最高阶偏导数项中包含的缈( x ，f ) 的偏导数的最高幂次和非线性项中 包含的关于伊( x ，f ) 的偏导数的最高幂次相等，来决定非负整数m 及n 是否存在( 若 m ，n 中存在负数，当m + 刀 1 ，由方程( 2 - 1 8 ) 和方程 ( 2 一1 9 ) 可以推出d e g a l ( z ) = k + l 和d e g a o ( z ) = 2 k + 2 ，从而方程( 2 1 7 ) 中多项式 一x 3 + + 1 ) x 2 - a x a l ( x ) 的次数是k + 4 ，多项式a ( x ) a o ( x ) 的次数是3 七+ 2 ，由 3 七+ 2 = k + 4 可以推出k = 1 ，产生矛盾 下面我们分别讨论这两种情形 情形一：当d e ga ( x ) = 1i ! id e g a l ( x ) = 2 时，假设a ( x ) = t z l x + o i o ( 口l 0 ) ， 口l ( x ) = a 2 x 2 + a l x + ( a 2 0 ) ，由方程( 2 - 1 8 ) 和方程( 2 一1 9 ) 可以得到( t o = a 1 2 v ， = 2 a 2 和 非线性偏微分方程若干解法分析与应用 口。c x ，= 丢：口z 2 - - 1 ，x 4 + 1 ( 2 + 2 a - l ，a 2 + 3 口口：，x 3 。2 2 。， + 去( 口；- v a l 一2 a + 2 a o 口2 ) x 2 + ( 口。口l 一1 ，口o ) x + d 其中d 是积分常数将a i ( x ) 、a o ( x ) 和口( x ) 代入方程( 2 1 7 ) 并i rx 。( i = 5 , 4 ，3 ，2 ，1 ，0 ) 的系数为零，得到 口；一2 a 2 = 0 ， ( 2 2 1 a ) 工 、 一6 v + 9 a l 一1 4 ( 1 + a r ) a 2 + 1 0 v a ；- 1 5 a l a ；= 0 ， ( 2 - 2 1 b ) 4 ( 1 + 口) 1 ，+ 3 a o 一5 ( 1 + o t ) a l + ( 9 口一2 v 2 ) 口2 + 1 0 v a l a 2 6 口? 口2 - 6 a o a ；= 0 ，( 2 2 1 c ) 一4 v 口一2 ( 1 + a ) a o + ( 4 口一2 v 2 ) 口l + 3 v a ；一口? + 8 v a o a 2 - 6 a o a l a 2 = 0 ，( 2 2 1 d ) ( 口一2 1 ，2 ) 口o + 3 v a o a l a o a ；- 2 d a 2 二0 ， 2 d r d a l = 0 解方程组( 2 2 1 a ) - - ( 2 - zl f ) ，可得 d = 9 ，擘= 三( 1 一西) ， j ：o ，口：昙( 1 + 西) ， z 口o = o 口2 = 一五口1 = 压； 口o = o ，口2 = 压，口l = 一压； d = 0 ，口= 2 一西，= o ，口2 = 压，口l = - 2 ( 压一1 ，) ； d = 0 ，口= 2 + 西，口o = 0 ，口2 = 一压，口l = 2 ( 压+ v ) ； 1 ，1 2 i l l 一 = 三f 1 + 2 、 ，口= 一1 + 届，= 压一2 v ，口2 = 一压，口l = 2 v ； ，- - - - 1 一西，口o = 一压一2 v ，口2 = 压，口l = 2 v ( 2 - 2 1 e ) ( 2 2 1 0 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 - 2 6 ) ( 2