（应用数学专业论文）奇异型随机控制的反射模型和吸收控制模型.pdf

摘要 壹昱型塑l 垫蕉蓟痞蠡制论中的一个重要分支，献【，1 ， 垦堑夔型与哩堕蕉趔搓型作了进一步研究，在满足一定条 件下求出了其相应的最佳控制及其最佳邀旦重熬，从而进 一步丰富了控制论的内容。 关键词 奇异型随机控制；折扣费用；吸收控制模型；最佳控 制；状态过程；停时 2 一类反射型随机控制问题 这一节主要讨论了一类奇异型随机控制问题，在一定条件下 求出了其最佳费用函数 1 1 反射模型概述 设( 行，p ) 为一概率空间，川，t o 为概率空间上的一维标 准w i e n e r 过程，五= 口 w 0 ，0 s t 】为由m ，t 0 生成的口一 域用8 表示五适应，左连续，零初值的有限变差过程的全体对 v = 幅，t 0 】b ，熟知有正规分解：& = 付一，其中铲b 为单调，非降过程用最兰付+ f 表示6 的全变差过程控制过 程全包含在集合b 中，目标在时刻t 的状态为 卫i = 9 7 , + 叫f + 6 ，t 0 ，卫r( 1 1 ) 文献【2 】指出布朗运动w l 可解释为某一随即扰动，对( f ) 为 加在其上的在正( 负) 方向上的推动力，而甚= 口+ 为加至时 刻t 时整个控制量 文献【1 】中模型为较原始的模型，状态过程如式( 1 1 ) 所述， 费用结构为： u d z ) = bj ( 8 “ + ( q ) 出)( 1 2 ) 最佳控制问题即： 对某a 0 ，及兄，求p b ，使得 晖( 卫) 2 堪( z ) ( 13 ) 3 即 e z 。e 一口 d f ；+ ( z ；) d ) = ( i n 。fe ，：”e - a t d 矗+ ( 。t ) d t ( 14 ) 其中z ：= z + 川+ ? ( z ) 为r 上满足某些条件的一般函数 得出了区间c = ( 一b ，b ) ( d on o t h i n gi n t e r v a l ) 并构造出了最佳 控制一使得当日标在此区间内时，不进行作用；当日标在区间边 界上时，进行控制，使之不跑出此区间；如开始时恰好在此区间 之外，则加一个控制，使之跳到边界点上，然后象上面一样进行下 去，这样控制的结果使状态过程z ；象在士6 点反射的布朗运动 文献【1 】指出最佳控制过程关于l e b e s g u e 测度不连续，它们有奇 异部分，且可能在t = 0 时不连续 文献【4 】将文献【1 】中模型进行了推广，式( 1 2 ) 中费用结构中 r s 积分部分的被积函数为1 ，文献 4 】对其作了推广，使其变成了 一般函数这样，问题就变为： 状态过程如( 1 1 ) ，费用结构为 ，。 氓( z ) = e j c e - a t 9 ( x t ) d 6 + ( 瓤) d t( 1 5 ) 对某a 0 ，z r 求f p ，使得 ， e 上 8 一“ g ( 。? ) d 嚣+ ( 。；) d t 】2i n 8 fe j o 8 一“ g ( 以) 武t + ( 皿d ) j uc t d ( 1 6 ) 其中g ( 。) ， ( 。) 分别r 为上满足某些条件的一般函数，文献【4 1 证 明了对某些正r ，最佳控制存在，并具体构造出了此控制，而对 其余的z ，最佳控制不存在，并给出了相应的证明 4 文献【1 5 】在前面的基础上做了更一般的推广，使状态过程变 得更一般化，即设m u ( z ) ，a ( z ) 满足l i p s c h i t z 连续，即存在正常 数k ，使得，定 p ( z ) 一u ( y ) l + l 口( z ) 一o ( y ) l i z 一l ，比，y r 肛( z ) 为r 上的连续可导奇函数且满足条件 j 醇p ( z ) o 0 ，a 为给定正常数 o ( z ) 为r 上连续偶函数，它在r 上非降且满足o ( o ) 0 ， 其中的状态过程、一 z t2 z + 上p ( z ) d s + j ca ( 。，) d w ，+ 6 对最优控制问题证明了最优控制的存在性，并给出了相应的 最优费用函数对于我们要讨论的模型，首先由【3 】中给出。即对 ( 11 ) 中所给出的状态过程丑= 。+ w t + f f ，其中口【a ，b a o 为给定常数且满足： a 2 6 + 口2( 17 ) 状态过程为： 一z 十ib x l d s + 如州t 1 1 8 1 相应的费用函数 ( z ) = e z 。e 一口 ( 以) d t + r d ，+ f d f i ) ( 1 9 ) 其中，l ( 。) 为r 上二次连续可导非负函数，且 ( o ) = 0 ，0 k 墨 ( z ) 墨k 。；k ，k 为给定正常数， ( 1 1 0 ) r ，f 为任意给定的正常数 求一f b 使得 ( z ) 2i 蓝酞( ) ，比r ( 1 1 1 ) 1 2 定理及其证明 6 引理1 1 设c 1 ，c 。为任意给定两实数，且一0 0 c 1 o 为一给定常数。 证明参见【1 3 】 注：由引理1 2 可知，随机微分方程( 1 8 ) 存在唯一左连续 适应过程解。 定理1 1 若式( 1 7 ) ，( 1 ，1 0 ) 成立，则存在唯一一对实数c 1 ，c 。 且一。 c l 0 b 时有a 1 0 a 2 重新整理上式： 譬士譬+ ( 6 + i 0 2 肚( 百0 2 6 _ a ) = 【；( 。+ 1 ) + ( 6 + 翻( 。一1 ) + ( 2 6 + 叮2 一a ) = o 由式( 1 7 ) 2 b + 口。一a 0 代入上式可得a l 1 引理1 3 对式( 1 1 0 ) 中h ( x ) 及上面的a 1 ，a 2 与y b 0 我们 有 i 1 l i m + z l l e 等d s = o 7 0 + 1 i i l l i m + $ 如岳甜d s = o i i i l l i m + z 卜1 后器出= 铧11 f _ o + 。dr l 一 i l i m + x h 2 + lf o * h * 0 ) d 5 = 鬻 8 证明：先证i ) 和i i i ) 因为a 1 1 ，l i 凹。- = l i 毋z - a 1 + 1 = o 。；再根据式( 1 i o ) 及 z u 十 ? 一u 十 洛比达法则有 一l i m + 纂= 姆菸= o 。 对i ) 及i i i ) 左边应用洛比达法则： l i m + 一f ：h ( s ) d s = l i m 高薪= 一掣= 。 l i m + 一一1 等址。畴器 = 击鲰华= 罴1 1 一a 1j _ o + 盘 一a 1 i i ) 和i v ) 的证明： 因为a 2 0 时，令卫= e ，t r ， ( t ) = ( e 。) = t ( 。) ，则有 d 塑z = 塑d t d 坐x = 塑d t 三= e f 塑d tz 。 堕习d面dydx2e 一) 恚一2 五。面8 。j 瓦 = e _ 【d e f 面d y ) 1 0 堕舻 + 出面 匆卜毽 一 譬 1 a e e | | = 型：一dh(e)zdt：晔t)。t。：啡t)dx d t 出 、 代入( 1 1 3 ) 式得 2e 4 ( 掣2 一百d w ( t ) ) + ( b + a 2 ) e f e 百d w ( t ) ”- q ) 婶m 沁f ) 。 或 譬w ) 一( c ) + ( b + a 2 ) 州”- 口) 坤) 州( e f ) = 。 2 。”( t ) + ( 6 + 嬖) 。，( ) + ( 6 一a ) w ( ) + ( e 。) ：。 ( 11 4 ) 显见( 4 ) 为一非奇次常微分方程，其特征根为 t ，- k 2 令妒( z ) 兰一a ，三- 一a te 1 1 + i i 当石e 1 ，则妒( o ) = 0 ，c ( 0 = 1 ) g ( f ) 兰一暑口一s ) 叭e 叩s 易证9 ( t ) 为( 11 4 ) 的特解，事实上有 百o - 2g ”( ) + ( 6 + i o - 2 ) g ，( t ) + ( 6 一d ) 9 0 ) + ，( e 。) = 一眨bt h ( e ，) ( 等沙o 。) + 去驴o 。悯 一；( 6 + 譬) 【上。硝( e 兰1 一e h 。- ，+ 石兰石e b 。) ) d 卅 。一 一( 6 一口) 参厶b h ( e ) 妒( t s ) d s + ( e 。) = 一f l ：bh ( ( 一熹扣卜。+ 熹驴卜i ) ) d s - h ( e 1 ) 一吾( 6 + 譬) f z 丑州e 兰1 一e d t - s ) + 万兰石e 如。) ) d s 】 _ ( 6 一口) ；z 口 ( 叫凼+ 州e f ) ：一；f b i ( 叫岩【一孚邓+ 瓤- ( 6 _ a ) 汕 一；名。j l l ( 叫i e t - 瓦s l o 丁2 碍+ ( 6 一a ) 】d s = 。 进步可得，常微分方程( 1 1 4 ) 的通解， w ( t ) c 1e a l t + c 。e 一吾。咿( f s ) ( e ，) 出 再令。：e t ，对w ( t ) 做变换：设“= e ，则b “e 。 u 且( t ) 兰w ( t ) ：c 1 正a t + z + 丕b i b 训 一砉熹州丽1 以一- bi 五。n l “j 丽“ ：叩，+ 吾志辫如 令 一三0 - 2 熹等如 a 2 一a lj b 钍1 2 + 。 c 。一z + 燕z b 等圳 晓叫瓢) j 户。裟如晓2 一【习而再；1 ” 由式( 1 1 2 ) 易知 。 z 8 鬻虮o o ，舢 b o o 如 再 办 h 如 一 一h矾土一 q 一沁 掷石孓三护 ，二 + 矿 b c r 瓜+ 0 一 q 进步可知0 c 2 1 可得 ，味嘲。) = 抵 2 a 2 一l i r a + z h 等如 盯2 ( a 2 一a 1 )l i m f 。斟如 h ”( 0 ) 2 a 1 l h ”( 0 ) 2 a 2 1 1 一a 1d 2a 2 一a 11 一a 2 口2a 2 一a 1 2 a 1 ”( o ) ( 1 一a 2 ) 一2 a 2 h “( o ) ( 1 一a 1 ) 叮2 ( 1 一a 1 ) ( a 2 一 1 ) ( 1 一a 2 ) 2 ”( o ) ( a 1 一a 2 ) 盯2 ( 1 一a 1 ) ( a 2 一a 1 ) ( 1 一a 2 ) 2 ( o ) 0 - 2 ( a 1 卜l ( 1 一a 2 ) 故有0 0 利用式( 1 1 4 ) 可得到u b t ( 日。) ：0 ，最后定 义函数 。( z ) = 掣+ 岳。( s ) 幽，当z ( o ，玩】时； 掣，当a ：o 时； 则。( z ) ，? 茼足性质： 下0 - 2 x 2 v 益( z ) + 6 z ，( z ) + ( 。) = 口，( z ) ，z 【o ，b ，】 ，( o + ) = 警，。( o + ) = 0 ， t ( 曰1 ) = u b - ( 研) = z ，v ni n 一+ ) = 而 0 ， 喵( b i ) = u 历s ( 日1 ) = 0 易证- ( 。) 四次连续可导，且设，( 工) = v 鼓( 。) ，则易证，( z ) 满足方程 一2 2 ：二： ，”扛) + 【k + 2 a 2 卫】，( 卫) + 【2 6 + 盯2 一口】，p ) + i l ”( 卫) = o 因为i ( o + ) = 噬( 0 + ) o 故存在o 0 又根据已知条件f 17 ) 2 b + 口2 一a 0 所以 l ，= ! 芸二，”( $ ) + b x + 2 0 a ：r ( z ) + 2 b + 盯2 一a i ，( 王) o ，岳( 0 训 令q = 一玩，岛= b 。，再定义函数 v ( x ) = v b ( 一卫) ，z ( 一o o ，0 ) b ，( z )，口( 0 ，) 1 6 根据前面讨论可知v ( x ) 满足定理1 1 中诸性质由此及证定 理1 1 成立 引理1 4 若式( 1 7 ) ，( 1 1 0 ) 成立，则存在r 上二次连续可导函 数u ( x ) ，及常数c 1 ，c 。，使得成立 i )a u ( z ) 竿，”( 卫) + b x u ( 。) + ( 。) ，工r i i )一r u ( 工) 1 ，u ”( z ) 0 ，x 兄 i i i )c , u ( x ) 盎竿c ，”( 卫) + b x u ( 茁) + ( 。) ， c t ，c 2 】 i v )u p ) = - - r ，u “( z ) = 0 ，口c t v )矿( 工) = z ，u ”( z ) = 0 ，z g 证明：定义函数 c 厂( 工) 兰 咯，一r ( q e 1 ) ，。c 1 ； 矿( 。)，c 1sz c 2 以。+ f ( z c z ) ，z g ； 由定理1 1 及v ( x ) 的构造易知i i ) 一v ) 成立现只需证i ) 成立： 首先证明一个结论，即 u ”( c 1 ) = 0 令 ( c 1 ) 一( a 一6 ) r 矿”( c 2 ) = 0 = h i ( c f 2 ) ( a 一6 ) f 对i i i ) 中方程两边同时求导得， 口v ( 贯) = t 0 - 2 2 ；2 + ( a 2 x + k ) 矿”( 口) + 彬( 。) + 忡) 1 7 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 由u ”和) o ，【c l ，c 2 】及u ”( c 1 ) = u 。( c 2 ) = 0 ，知u ( g 1 ) o ，u ”( c 2 ) 0 ，从而 。c ，( q ) 。! 墨u ”，( q ) + b u ，( q ) + ，( g ) b u ，( q ) + ，( g ) 即证 ( c t ) - ( - a 一6 ) r 又a u ( e 2 ) = 竿c ，”( q ) + b u ( ) + ( q ) b u ( 岛) + ( 晚) 即证 ( q ) 芝( a b ) l ， 当。= c 1 时，可证a u ( c t ) = 一b c l r + h ( c 1 ) ， 当。 c 2 时， ! 妻兰u - ( 。) + b x u ( 。) + p ) 一a 矿扛) = 妇+ ( 。) 一a u ( c 2 ) 一c , l ( z q ) = b l z + 扛) 一a l ( x c 2 ) 一b e 2 1 一 ( c ) = ( 和) 一，l ( c ；) ) 一扛一c 2 ) ( a l b 1 ) ，( c 2 ) ( f c j ) 一f ( a 一6 ) ( z 一岛) 0 1 8 综上所述，即证i ) 成立，引理证毕 定理1 2 若式( 1 7 ) ，( 1 1 0 ) 成立，q ，岛及u ( x ) 如引理1 5 所给出。则有 i ) 当c 1 z c 2 时，舅= o t 为一最佳控制，这里岛为引理 1 1 中所给出； i i ) 当。 c 2 时，嚣= 嚣( c 2 ) + ( 。一c 2 ) 如，o ) 为最佳控制， 其中f ( c 2 ) 为初值为c 。时，按i ) 中方法做出的最佳控制； 当。 0 ，对e - t 。t v ( x t ) 应用d o l e n c e d a c k m e y e r 变换公式 9 ； e “卜) = f 0 te - a ! - a 啡f ) + 字哪。) + b x t u ( 乱) ) 出+ z 8 - 口。c r ( 缸) a c t 七| e - a | t u i ( 2 7 t ) 6 r x t d 眦 j 0 + 【厂( 缸) 一u ( ) 盈】( 1 1 8 ) o _ t k r 其中z x u ( z 。) = u ( 对) 一矽( & ) ，a x t = 取+ 一& 对f b ，。r 若有 氓( z ) 2f j ob ” h ( a q ) d t + r d 寸+ t a t ? = 。o 则显然有u ( x ) u i ( z ) 若砚( 。) 0 都有膏e - a t h ( x t ) d t o 。，又因为七( z ) k ， 1 9 由已知穿抖中；。2 ( z ) ( o ) 芋z 2 ，k 币i w i r a c k 2 e a re - z ? d t c o5 t s t u ( 。) 有界，从而根据f l o 】知 e z 2e “( 丑) 出= 。 又由e j 产e 一 ( ) d t o 。，及 ( z ) k x 2 可得e 铲e z ? d t e 铲e - a t h ( x t ) d t 0 ， 当t a 时有厅e “b z ? d t 0 ，厂( z ) m 护+ 。故可 得到 e e l l c 厂( 商，) sm e e 一“2 “。炙+ e 一峨_ 0 ，”_ o o 此b 寸将d o l e n c e 公式中的t 换为已，根据引理1 ，4 可得 e 一以矿( z l ) _ 口( z ) z 矗e “【- ( 洲，f 。o t e - a t u , ( 觑) 蚶 一f o r e - “u , ( 工t ) d f + f 0 t ne 一“矿( 丑) 仃工。d _ 妣 j 一f o t e - o , t h ( z t l d t 一e a t r 矗 一z le “l 暂+ z 霸e 一矿( 咖锄妣( 1 2 0 ) 令霸一。，两边取期望，可单调收敛定理和控制收敛定理得 u ( 互) 吹( 。) = b j ( 。e 一“ ( ) 出+ r 酊+ f 断) i ) 当z 【c 1 ，c 2 j 町，田引埋l 一1 知c 1s 巧= z + j ；b x ：d s + 矗o z ，d w ，+ 靠c 2 ，再由e ，( 。) 的构造及对式( 1 1 8 ) 和z ；的连续性 得 e 一。7 u ( z ；) 一u 扛) 2 oe 一“( 一 ( z ：) ) 出+ o e 一“u ( 。；) a 蟒+ 一t e - a t u t ( 耳) ? 一，j ( 。o te - a t u s ( x 加z ；d w ， = 一r e - h ( z ? ) d 一z n e 一口f r d ( 7 + 一z o t e - a t f 蝣一十z t e t m 矿 ；) 盯。：咖 f t 矿【z ) = e e 一“u ( z ；) + e 五e 一“ ( z ；) d t + e o re - r 峻+ + ee e _ “i d f f 令t o o ，根据单调收敛定理和控制收敛定理，即证 ，( z ) = 曰z 。e 一口 r d 簋+ + f d g 一+ o ；) d t l = 氓p ) i i ) 当z c 2 时 哦( z ) = e z 0 。- 0 4 ( 。；) d t + r d $ i ；+ + i d a ；一l =e f ( 0 , o o ) e - h ( z ；) 出+ r d 器+ + f d 一l + ef ，e 1 。f 蝌一 j o 】 ” = u ( c 2 ) + f 扛一c 2 ) = u ( x ) 2 1 当2 7 0 ，当仃 0 ，由靠的定义有 x r h = x + c r 一善r 0 根据 1 1 中页定理3 1 9 及性质知 e 。= e = 0 对上面式子两边取期望从而得到及，。= x e 毒，。0 ，亦即 e 孝。x ，在利用单调收敛定理，t 斗0 0 从而得到e 善。x ，将其 代八z ( z b 得， u ( x ) = 五e 亭“+ p 2 x + p = u ( x ) 进一步还有哿u ( x ) u ( x ) ， x o , o o ) i i ) u ) = u 。 ) = e f e - “ ( x ? ) 础+ a d 毒f + 8 一：p 】 这里告j 如定理条件所述， x j ：x + 盯u 一 ? ，r ：兰i n f t o ，x + 盯w ，一g ? s o 由f j 及f ：的定义知r ：= 0 ，因此有 u f ( x ) = 目卜一“ a ( x j ) 出+ 狱? ) 押“川 = 旭卜“d 毒f + p = 肛o l e “d 毒f + p = a x + p = u ( x 、 综合f ) ，i i ) 即证定理2 1 b ) 当p 掣，o ) 时的情形，下面引进三个辅助函数 z 口 w 竺击灿( 孚”劝忡灿 八( x 净孚( w b m ) c o s h ( 等小w ”s i i l l l ( 孚x )仃 仃u 掷夸w 。c o s h ( 孚班孚( w 卅s 州墨o - x )盯盯 其中，s i n h ( x ) = _ ex _ e - x ，c 。s h ( x ) ：_ e x + e x 引理2 2w ( x ) 及其三阶导数在r + 上非负，且w ( x ) 为方程 a u ( x ) ：霎u “( x ) + ( x ) 的一个特解，对a o ，存在，睢- - b 0 的， 使得w ( b ) = 丑，且满足0 w ( x ) s 五，x o ，b 】：m ( x ) ，x o ，别单 调下降，m ( 0 ) = 0 证明：先证第一部分，利用积分号下求导定理，对w ( x ) 求导得， w = 一孝扣h ( 警( 一m 凼 继续进行积分号下微分法得 w ”( x ) ：一! i ( x ) 一2 4 2 i aj ：s i n h ( 2 x 2 a a ( x - - s ) ) ( s ) d s 仃。盯。 一 u w ”一争o 。专舾h ( 孚( 一渺西 因为h ( x ) s 0 。z r + 故 s i n h ( ! 堕( 工一5 ) ) o ，c 。s h ( x 2 a ( x s ) ) o ，x r + ，j o ，x 】， 从而易知w ( x ) ，w ( x ) ，w “( x ) ，w ( x ) 均为r + 上连续可导函数，有 w ( x ) 及其导数知 譬w 州加叫垆了4 7 - d 灿孚”呦琊胁m ) 叫一志灿( 孚( 一顺蛐) = 帅) 由此即知w ( x ) 为给定方程的一个特解 由式2 3 矗( r ) 0 且矗。( x ) 0 ，x r + 故可找到口 0 及三 0 当x 2x 一时， ( x ) 一仃，而易证c 。s h ( ! 兰竺( x 一5 ) ) 1 ， 从而显然可证： w ( x ) 斗， x 。 又由w ( x ) 的式子可知w ( 0 ) = 0 ，从而可知存在b 0 ，使得 w ( b ) = 五下面再证b 的唯一性， 令x l = i n f x 0 ， ( x ) x l 时， ( x ) 0 ，即得b 的唯性 且b x ，亦由此可得到0 w ( x ) 五，x 【o ，别由m ( x ) 的定一知， 彳( o ) = - - w “( o ) c 。s h ( o ) + 4 2 a ( w ( o ) 一丑) s i n h ( o ) 根据w 1 ( o ) ：o 及s i n h ( 0 ) ：；：o 可知m ( o ) ：o ，对m ( x ) 求导 得 肌) ”( 懒h ( 堕x 川( 。) 延。i 1 1 1 1 ( 堕z ) + w “孚s i i l l l ( 等咖等( w 。卅c 。s h ( 乎x ) 口口d仃 ：一w 。( x ) c 。s h ( - - - 霉- x ) + ( x ) - 2 ) c o s h ( - - 霉- x ) 当z 0 ，x i 】时，从而有例= 一罂五c 。s h ( 马 o 时，只是连续的：当t = o 时，若x b ， 则只发生即时跳，使得z * = b ：当t = o ，x b 时，只是连续的也就 是说，只只在x ，= b 或x b ，t = o 时发生变化 引理2 4 当p o 2 m ( b ) ，o ) ，且式( 2 3 ) ，( 2 4 ) 成立时，存在r + z a 上二次连续可导函数g ( x ) 及b o 满足： i ) g ( o ) = p ： i i ) i ，( x ) a ：当x e 0 ，a 0 ) 时： i i i ) v “( x ) 0 ，当x e o ，0 0 ) 时： i v ) _ ( x ) = a ，u ”( x ) = o ，当x b 时： v ) a y ( x ) 罢；f t ( x ) + ( x ) ，当x o ，。) 时： v i ) 盯l ，( x ) = 嬖，( x ) + ( x ) ，当x o ，6 时 证明：当p 芝竽! 旦，o ) 时，有m ( b ) 孕 0 删：s i n h ( 堕啪h ( 堕6 ) - c 。s h ( 巫6 ) s i l l l l ( 堕6 ) ：0 p ，( 石) ：巫。i n h ( 堕6 ) s i i l l l ( 堕x ) _ 堕c o s h ( 巫6 ) c o s h ( 巫x ) o 当x o ，b 】时， 从而f o ( x ) 0 ，x 【0 ，b 】 由上面讨论知旷( z ) 0 ，x 【o ，6 】：但u ”( 6 ) = 0 ，从而有 u “( z ) 0 ，z o ，6 ：又u ( 6 ) = 五，从而u ( x ) 五，此即证i i ) 一i v ) 最后证v ) ，v i ) 成立： 当x o ，b 】时， 譬u ( x ) + m ) = t t x 2 c y 2 西a ( 一b ) 7 2 as i n h ( 孚x ) + 一c r2 g2 m ( b ) 1 2 ac 。s h ( 丝x ) + w “( x ) + ( x ) 2 2a 盯2、盯 7 2 、7、7 = 譬 ( 6 ) s i r d l ( 孚x ) + 譬m ( 6 ) c o s h ( 孚x ) + 删( x ) 刮乏 ( 6 ) s i n h ( 孚卅i 0 - 2 脚o s h ( 乎小w ) = a u ( x ) 即证v i ) 成立 当x 6 时，首先由v f ) 可知a u ( 6 ) = 霎u ”( 6 ) + ( 6 ) ： ( 6 ) 由式( 2 3 ) ( x ) 0z r + ：知h ( x ) h ( b ) ，x 6 ：故根据u ( x ) 的构造当 x b 时， a u ( x ) = a u ( b ) + a 2 ( x 一6 ) = h ( b ) + 瑾兄( x 一6 ) 2 矗( x ) = 罢；c ，。( x ) + ( x ) 即证v ) 成立综上所述，引理2 4 证毕 定理2 2 当p 掣，o ) 且式( 2 3 ) ，( 2 4 ) 成立时，设u ( x ) z 口 及b 如引理2 4 所述，则有 i ) 当0 x b 时，= 0 ，为一晟佳控制，这里只为引理2 3 中所 给出 i i ) 当x b 时，掌j = 善? ( 6 ) + - b ) i 。 为一最佳控制，其中等( 6 ) 为 初值b 时，按f ) 中方法做出的最佳控制 i i i ) u ( x ) x r + 为相应的最佳费用函数 证明：任意t 0 ，对e - a t u ( x ，) 应用d o l e n c e d a d e m e y e r 公式得， p d ( n “) 【，。，。) 一u ( x ) = r “p 一“ 一口u ( _ ) + 1 7 了2u ”( 一) 衍 一f “e 一“u ( x ，) d 4 ，+ r “p 一“u ( x ，) o - d w , + u ( z ，) 一u + ( x ，) a x ， 0 1 ；t e a ( t z 。) p + f r + e - a l h ( 一) d r + rp 一“蒯毒，一 r oe - a t u ( x ，) a d w l z 9 ) 根据的定义，当f 【o ，t at o 时，x ，0 ，故由引理2 4 ，当x 0 时，o c ：时，对初值x 马上实行一次 控制爵，使之跳到c ：点，然后再从c ：点出发，按自然状态继续运 动，直到到达c 。点或c ，点时再实行一次控制f ? ，使状态过程在c 。点 或c ：点发生瞬时反射且保持在区间【c 。，c ：】中，然后又继续运动，直 至达到c 。点或c ：点时再实行一次控制g ，使状态过程在边界点瞬 时反射，且保持在区间c ic ：】中，这样一直进行下去。 当初值x c ：时用图直观地解释一下， 对于吸收型随机控制模型 0 时刻状态过程置发生即时跳， 当尸0 时，最佳控制过程使得在 使得x o + = 0 。 当pel c r 2 m ：a ( b ) ，。 时，若初始状态x a ，对初值x 马上实行 一次控制靠，使之跳到b 点，然后再从b 点出发按自然状态继续运 动，直至达到b 点时再实行一次控制孝? ，且保持在( o ，b 】中，或运 动0 点被吸收，停止运动，否则继续运动下去。 若o x b 时，从初值x 点出发，直至达到0 点被吸收停止运 动，否则一直运动到b 点发生瞬时反射，使之保持在( o ，6 】之中， 直至运动到0 点被吸收。 以下当o xsb 时用图直观地解释一下。 参考文献 1 】k a r a t z a s i ac l a s so f s i n g u l a rs t o c h a s t i cc o n t r o l p r o b l e m s a d v a p p l p r o b 15 ( 1 9 8 3 ) 2 2 5 2 5 4 2 b e n e s v e s h e p p l a a n d w i t s e n h a u s e n h s s o m e s o l v a b l es t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e m s s t o c h a s t i c 4 ( 1 9 8 0 ) 1 3 4 1 6 0 3 j m h a r r i s o n a n dm i t a k s e r i n s t a n e o u sc o n t r o lo f b r o w n i a nm o t i o n m a t h o p e r , r e s 8 ( 1 9 8 3 ) 4 3 9 4 5 3 4 刘坤会一类奇异型折扣费用模型之推广。系统科 学与数学9 ( 2 ) ( 1 9 8 9 ) 11 3 1 2 3 【5 】k r y l o v n vc o n t r o l l e dd i f f u s i o np r o c e s sa p p l i c a t i o n so f m a t h1 4 ( 1 9 8 0 ) s p r i n g e rn e wy o r k 【6 k a r a t z a s i e q u i v a l e n t m o d e l sf o rf i n i t e - f u e l s t o c h a s t i cc o n t r 0 1 s t o c h a s t i c s1 8 ( 1 9 8 6 ) 2 4 5 2 7 6 7 】s e s h r e v e j p l e h o c z k y a n dd r g a v e r o p t i m a l c o n s u m p t i o nf o rg e n e r a ld i f f u s i o nw i t l la a b s o r b i n ga n d r e f l e c t i n g b a r r i e r s s i a m j c o n t r o la n d o p t i m i z a t i o n 3 9 2 2 ( 1 ( 1 9 8 4 ) 5 5 7 5 8 n i k e d a a a n ds w a t a n a b e s t o c h a s s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n dd i f f u s i o n p r o c e s s n o r t h h o l l a n d a m s t e r d a m ( 1 9 8 1 ) 9 】d o l e a n s d a d e c a n d m e y e n e a i n t e g r a l e s s t o c h a s t i q u e sp a rr a p p o r t a u x m a r t i n g u l e s l o c a l e s s e m i n a i r ed ep r o b a b i l i t e si v