（运筹学与控制论专业论文）广义系统的奇异二次指标最优控制问题.pdf

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。? = - 口( 。? + b u ( ) z f oj = z 。 ( 5 ) 【p ( t ) = c z ( t ) 性能指标为： j = 7( 9 ( ) 可( t ) + , i t r ( t ) u ( t ) ) d t( 6 ) 其中a 彤”，b 月“”，c r “。z ，“，9 分别为状态，输入和输出。x 0 是给 定初始条件。 山东大学硕士学位论文 引理1 1 2 设( ，b ) 能稳，( c ，4 ) 能检，则r i c c a t i 方程 1 4 7 p + p a p b 日p + c 7 c = 0 有唯一半正定解。并且，此解是稳定化解( 即a b b 7 p 稳定) 引理1 1 2 即为文献 1 2 中的推论1 3 8 。由线性系统理论知系统( 5 ) 在性能指标( 6 ) 下的最优控制为t r = 一b r p z 。又由引理1 12 知若( a ，b ) 能稳，( c ，a ) 能检，则最优 控制t ，+ = 一b r p r 唯一且4 一b b 7 p 稳定，即闭环系统i ( ) = ( a b b 7 p ) x ( t ) 渐近稳 定。 系统( 5 ) 的一个摄动系统为 训= 1 + b 州。上。( 8 ) 【i ( f ) = f ) 性能指标为 ，= ( i - ( 1 i ( f ) + 面7 ( 皿( t ) j d t( 9 ) 其中j r n ，廖r r ，0 r ”。 鲫，盯射雠涨。若 譬一纠 管一纠 f i j j 性能指标( 6 ) 和f 9 ) 的最优值满足以2 ，z 。 证明：由引理1 1 2 知r i c c a d 方程( ? 1 有唯一半正定解p 。同理可知， r i c c a t i 方程 j + p4 - p j p 廖宫7 p + 0 7 0 = 0f 1 0 ) 有唯一半正定解户。注意，此时( 2 ) 式中q = e 7 c ，s = 0 ，r = ，( 4 ) 式 中审= 伊0 ，亏= 0 ，袁：，。则由引理1 1 1 知p 户。由线性系统理论知 z ) j f = z ；p z 。，。0 。= t j 户加。因此 州五彤。证毕。 现在我们给出半正定矩阵的一个有用性质 引理，s 设a e “n ，a 2 c n x m 若a i 吉 。，则a 。= 。 证明：对比lc - - c ”，有 蔷未 a 4 ；1 吉 暑。 = a a ；6 k lg 2 。 8 山东大学硕士学位论文 记：a l l = a x l = lo l 潞引= 其中n n h 一o 。c ，则有a 0 0 a l a l 0 a m o a m0 0 n 则d “ 三6 0 1 = 一。t a - 。s i a l a l _ 0 , 则n - = 。令已= ： ，则有 0 。 a0 a 2 - a m 0o 0 - o a 2 00 0 a m 00 01 l o o 。j 2 a a 2 a 2 0 a m 0 a 。( ) - - 0 o 则a 盯la ：a 0 2 = 一n 。面。，因此。= 。同理可证n = 。= = n m = 。因 此，对v l c ”有：a 2 = 0 。则4 2 = 0 。证毕 考虑如下广义系统 1 2 问题描述和转换 ie i c ( t ) = 4 x ( t ) + b u ( t ) ，e z ( o ) = x o 【v ( t ) = c z ( t ) + d u ( t ) 性能指标为 j ( u ，z ) = 口7 ( t ) y ( t ) d t ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中状态。( t ) 舻，输入缸( t ) r ，输出y ( t ) r m ，e ，a r ”，b r “7 ， c r ”，d r m ”。o 是给定初始条件。r a n k e = p ，0 p n ，r n r 。 规定允许控制一状态对的集为 j = ( 珏，。) l ，z ) 满足( 1 1 ) 式，“，z 分段连续且t ，( n ，z ) 。) 9 一n 吼此因 i | 。 ，_ r a 1，j 酊 一 鬈0 _，。l 本章目的是求解广义系统的奇异乙q 问题，即寻找控制一状态对( + ，矿) 了使得 作如t 假设：， ( a 1 ) r a n k 三三虽f = 凡+ 一，即系统( n ) 脉冲能控- c a z ，r n 扎e o 茎墨3 = n + p + r ( a a ) r a n ki s e abi = n ，g s e + ，即系统( 1 1 ) r 一能稳n ( a 4 ) r a n ki 疆c 卅二f 一+ r ，怔p 定义1 2 1 若存在另一个广义系统：主：= j i + 亩u ：e i + d u 和两个非奇异 矩阵m ，n r 儿n 使得z = n 土，m e n = 言，m a n = a ，m b = b ，c n = c ， 则系统( 1 1 ) 和宝是限制系统等价的( r e s t r i c t e ds y s t e me q u i v a l e n t ，简记为r s e ) 由于r g 砧k e = p 扎，则存在非奇异矩阵m ，n 妒。“使得 枷= 矧 ( 1 3 ) 竺兰 ，m b = 善： e = e - c j ，n l 。； z x 2 1 c a ， a l l 即口，b l 舻”，c r m 舶，。l 舻，。2 胛一9 由e z ( o ) = z o 和( 1 3 ) 0 4 ) ，有 m e z c o ，：m e 一z c 。，= 1 0o x l , o , l = z 1 7 = m 舶 因此。f 0 1 ：f 1m 如。记：r i 0 0x l ：f 厶01 m z o 。则系统( 1 1 ) r s e 于如下系统 因此。l ( o ) = 【厶j 如记 l j 。则系统( 1 1 ) e 于如f 系统 ( 1 5 ) i 2 a a p。l i l 令 。 a 地 m 直 中 对 其 一 辫羞以 山东大学硕士学位论文 性能指标为 ( u ，( x l ，x 2 ) ) = 可7 ( t ) ( t ) d t( 1 6 ) j 0 允许控制一状态对的集为 矗= ( “，( 工l ，。2 ) ) ( 珏，扛，z 2 ) ) 满足( 1 5 ) 式，u ，z z ，z 2 分段连续且 ( u ，( 现，z 2 ) ) 盟 q r 、9，【，( 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ：= = ：= = = = = ：= ： ： ： 证明； ( ( i ) h ( i i ) ) 由于 因此我们只需证明 q 2 2 o h r a n k ( c 2 2 + d k 2 ) = r 娲阱观一一积 艺讣m 。，即 岛。 芝： 口= 。令 k v 2 2 2 。= 口，则由 笼i 列满秩和“。 知口n 由( 1 7 ) 式知h b 2 憎 0 则有h 疡 卢= 。故 ia q o 2 b 。2l 芦= u 此与( i i ) 矛盾 ( 必要性) 假设r a n k i a 岛2 2b 。2i b b 7 t - t b b 7 ( 丁一1 ) r t - i 西雪r ( 丁一1 ) r 怫小 f 占。吾：一直。唐t 1 【 一雪：亩； 一望1 。 一b 2 彤j 则有一直2 岛0 又b 2 研0 ，故b 2 = 0 ，则 丁咱：f 反1 【uj 由( 4 0 ) 式知 篇孵纠雕甲m # 。孵剖0 丫 即 r r c r c 丁 冬：1 卜- 目o1 a 2 jl 00j t t e t e t t ，苔c ：t h - 。a 。：锚1 2 0 2 1 1ij 0 o o如。 _ b v扎：吼。 一 r，l_l 协孔盈 ：邢 ：a 。 、j 畅趣唧心 -。l ，j r 2 1j ：a 0 0 趣一， 尚函 d d r l r 垤 一 o ：a：a，0 一 一：日嘶：b j-j1jtl a 0 -l 惰 = 贝 r ， a ，如 r = a0 = a 知 3理 由 山东大学硕士学位论文 由引理1 3 ，1 知( a ，b ) 能稳，又 ， r 。n t s 厶一a 亩 = r a 札m t _ 1 s 一a 台 l 吾羔i ) = r a n k 8 7 0 a 1 。7 二：言j = n v s e + 故s i 一 2 行满秩，v s e + 注意，( i 。，雪1 ) 完全能控，即fs i a l 。l 行满秩， v see ，故 ，、 r n n t s 厶一五吾】= r n 亿t 丁1 s 昂一五吾 l 吾呈1 ) ：r n n f3 7 一a t a 1 2 二b 1 ：p ，v s e + l 0 8 一山u j 则( a ，雪) 能稳类似可证( 0 ，a ) 能检，由推论1 ，1 1 知系统( 2 3 ) 和系统( 3 8 ) 的最优指 标满足厶。五。讲文j = ，j = 五，故赫。证毕 推论1 4 1 设系统( 1 1 ) 满足( a 1 ) ( a 2 ) ( a 3 ) 系统( 3 2 ) 满足( a 5 ) ( a 6 ) 。若s 陋q 2 2 ) s ( 亩2 2 ) ，贝。系统( 3 2 ) 兄一能稳，即r 口n s e a 豆 = 扎，v s e + 。 例1 考虑如下广义系统 1o o1 0o 0 1 5 算例 。= 0 川札x 2 1 性能指标为 l ，( u ，( z l ，茁2 ) ) = 71 ，( t ) y ( t ) d t ，十o 。 j 0 ( 4 1 ) - _1lltj11tj 1，j、j 1 0 1 l 0 o r。l r。l r，lr：l + = 1，j 1j 皿勋 ri，l “ r z o 1 o 1lli r【1lj o o o 1rl 0flfj l 1 0 1 o ril1 o 0 r，lr0lr【 = 1，j 1 2 z p。，l ，l-，j 。l -，l 山东大学硕士学位论文 易证系统c a ，满足c a ，c a 。，c a s ，c a t ，。令矿= ： ，则 a 船岛 v = 。， ：j = 。 由计算知a ； 三： ，百= ； ，亏 = ! ，； ，亩= ：= ； ， q ，= 二。： ，q ，。= 【一1 ，q ：z = - 。由第二节结果知系统c a ，可被变换为如下 系统 f 未。： 三。： 。+ ： 也，。c 。，： ：f 未- = 三。： 。t + ： 也，z - c 。，= ： 驴( 一lo 卜 ( 4 2 ) 卅- 性能指标为 其中。：和z ；满足 和 系统( 4 1 ) 的最优代价为 以( 也，z 1 ) ：+ 。( 口r 口+ 。t 砬) d t j0 铲匕蚺，礤咿b = t 一。k j ( u + ，( z ：z ；) ) = 。：( o ) p z l ( o ) = 2 糠 防 “ 撇引统系 。 故 ：叫 l 2 则卜 、卜： o l 盯 2 0 知式 | | 町 p 得 鼬 慰 施 槽 叶 = 如 解 旧 髓 1j，j t： 工 工 、l 1 1 ，j 22一 p，1_，。1 i | t 珏 山东大学硕士学位论文 系统( 4 1 ) 的闭环系统为 = d e t 故 显然有 10 01 o 0 。 。1 ： 00 810 l 2s + 10 l = ( oo l j ” o 0 1 3 1 舞 = i s + 1 3 一1 1 3s 一1 1l 121 l 。( e ，a + b k ) ：。( a 一荫： 一；+ 丁, 7 i ，一互1 一孚i ) g d e g r e e d e tf s e 一( a + b k ) = 2 = r a 7 z k e 、d e t ( s e 一( a + b k ) ) 0 故系统( 4 1 ) 的闭环系统正则，稳定，无脉冲模。 2 4 例2 我们仍然考虑例1 中的系统( 4 1 ) 。设系统( 4 1 ) 的一个摄动系统为 1o 01 o o | 纠= o9 9 - 3 = 09 9 - 10 01 ： oo ，f 0 9 90 9 8 f 01 壬1 炉【lo - j 儿童。j i 扑 纠 0 + 矗 离小 ( 4 3 ) _。l l _，。l 酣d | l 1j 、j kb+a es -【 又 如 1，j 1，j l 0 1 1j rll 1 0 o -，。l 。l 山东大学硕士学位论文 性能指标为 j ( 5 ，( 面l ，童2 ) ) = 口7(t)fltt)dt00 r 十 j 0 易证系统。s ，满足c a s ，c a s ，令矿= ：。1 ，则 a ：亩： 矿： 。 f ：。11 = 。 由计算知五= 一。：。：】，吉= ： ，6 = ：。言8 ， 乱= 裟嚣卜。= 7 0 2 卜剖，则 s ( $ q 2 2 ) = 00o 一2 0110 o1o0 2oo 一1 s ( e q 2 2 ) = 0 09 6 0 4 1 o 0 2 0 2 9 8 1o 00 ol 易证s ( e q 2 2 ) s ( 囝2 2 ) 则由定理1 。4 2 知j o p t2 t 事实上，通过解r i c c a t i 方 程 户j + a 二7 p 一+ c ：7 c ：一p b ：b ：7 户：0 有 故 户：f l 嘲。o1 1 00 9 8 j 厶t = ( o ) p 叠l ( o ) = 1 9 8 9 2 t = 2 1 6 结语 本章研究的是广义系统的奇异线性二次指标最优控制问题( 即l q 问题) 。给出了保 证唯一最优控制一状态对存在的条件，并将最优控制综合为状态反馈。所得闭环系统正 则，稳定，无脉冲模并给出了广义系统的最优代价比较定理。 892 0 o o 02 第二章广义系统带最坏干扰抑制的奇异l q 问题 2 1 重要引理 考虑线性系统 壬( 。) = a ( 印。( ) + b 1 ( ) 训( ) + b 2 ( t ) ( t ) ， z ( o ) = z 。，t i o , t i ( 4 4 ) 性能指标为 j = 。r ( t ) s z ( t ) + ( z 7 ( ) q o ) 茁( t ) + u 7 ( ) r ( t ) “( 。) ) d t ( 4 5 ) 其中状态z ( t ) r “，干扰叫( t ) 硝，输入“( ) r ，一4 ( ) r “，日l ( c ) 即”， 晚( t ) r n x r ，s 0 ，q ( t ) 0 ，m r