（运筹学与控制论专业论文）干扰解耦和极点配置问题的组合研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 一般来说，系统存在外界干扰是不可避免的所谓的干扰解耦，就是通过状态反馈消 除外界干扰对系统输出的影响作为解耦问题的一个方面，在过去的几十年，它得到了深入 的研究，也已经形成了很完善的理论但单纯的干扰解耦问题在实际应用中的意义并不是 很大实际应用中，总是希望所设计出的反馈法则能使反馈后的闭环系统满足一些合理的 要求，其中稳定性是最基本的要求当然，最理想的结果是反馈后系统的极点能任意配置， 这样的反馈系统拥有更好的时间响应特性 本文正是在干扰解耦问题的基础上，进一步要求所设计的反馈控制满足这些特殊的 要求在讨论该问题之前，先给出了相关的线性系统知识，其中主要是能控性，不变子空间， 能控性子空间等概念和性质，以及它们与极点配置的关系接着给出了几类特殊的干扰解 耦问题的可解性描述和反馈矩阵的构造本文主要以状态变换和矩阵分析为工具讨论这 些问题，主要的研究内容包括： 1 借鉴了w o n h a m 对多变量控制的几何研究方法，以矩阵为工具给出了相关命题 的描述和证明并在这些命题的基础上给出了带极点配置要求的干扰解耦问题 可解的充要条件其中，证明的过程包括了反馈矩阵的构造方法 2 考虑到反馈后闭环系统的系数矩阵具有特定的结构，本文通过利用状态变换简 化控制变量的系数矩阵，从而给出了该问题的一种简单求解过程 3 在能控和能稳两种条件下，用上面类似的方法给出了带能稳性要求的干扰解耦问 题的解 4 对带极点配置和稳定性要求的干扰解耦问题，给出了一个满足条件的反馈矩阵 的求解实例 关键词：极点配置；稳定性；干扰解捐；线性系统；反馈矩阵 干扰解耦和极点配置问题的组合研究 t h ec o m b i n a t i o np r o b l e mo nd i s t u r b a n c ed e c o u p l i n ga n dp o l ep l a c e m e n t a b s t r a c t g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h ed i s t u r b a n c eo ft h es y s t e mi si n e v i t a b l e b ys t a t e m e n tf e e d b a c k , t h es y s t e mc a ne l i m i n a t et h ei n f l u e n c eo f e x t e r n a ld i s t u r b a n c et ot h es y s t e mo u c d m t h a ti st h e 8 0c a l l e dd i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e m i nt h ep a s td e c a d e s ，i to b t a i n e da t h o r o u g hr e s e a d l , a l s oa l r e a d yf o r m e dv e r yp e r f e c t t h e o r y b u tt h ed i s t u r b a n c ed e c o u p l i n ga l o n ei sap r o p e r t yo f l i m i t e dv a l e o f u l m o s tc o n c e r ni nt h ed e s i g no f a n yc o n t r o ll a wi st og u a r a n t e et h a tt h ec l o s e d l o o ps y s t e mb e h a v e si nar e a s o n a b l ew a y n ef i r s tr e q u i r e m e n ti sc l e a r l yt oi n s u r es t a b i l i t yo f t h es y s t e m , b u to f t e nt h i si sn o te n o u g h ad e s i r a b l ea s s e ti st op l a c et h ep o l e so ft h ec l o s e d l o o ps y s t e ma ta r b i t r a r yp o s i t i o n s ；t h es y s t e mc a nt h e nh a v eb e t t e rd a m p i n g ，r i s et i m ea n d m a n yo t h e rp r o p e r t i e s t h i sp a p e ri sj u s ti nt h ef o u n d a t i o no ft h ed i s t u r b a n c ed a c o u p l i n g , f i l r t h e rr e q u e s t i n gt h e d e s i g n e df e e d b a c kc o n t r o ls a t i s f yt h ed e s i r e dr e q u e s t s t 1 l i sa r t i c l em a i n l yd i s c u s s e dt h e s e i s s u e sb yu s i n gs t a l et r a n s f o r m a t i o na n dm a t r i xm e t h o d 1 1 l em a i nr e s e a r c hc o n t e n t si n c l u d e ： 1 r e f e r r i n gt ot h eg e o m e t r yr e s e a r c hm e t h o di nm u l t i v a r i a b l ec o n t r 0 1 w h i c h i s p o p u l a r i z e db yw o n h a m ，t h i sp a p e rg i v e st h ed e s c r i p t i o na n dp r o o fo fr e l a t e dp r o p o s i t i o nb y m a t r i xt h e o r y a n dt h e ng a v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n c yc o n d i t i o no ft h ed i s t u r b a n c e d e e o u p l i n gw i t hp o l ep l a c e m e n t , t h a ti se x i s t i n gaf e e d b a c kc o n t r o l l e rw i t hw h i c hw ec a l l e l i m i n a t et h ei n f l u e n c eo no u t p u t sa n ds i m u l t a n e o u s l ya s s i g n i n ga l lp o l e so fac l o s e dl o o p s y s t e m i s d e r i v e d i n f a c t , t h e p r o o f p r o c e s s h a s i n c l u d e d t h ec o n s t r u c t i o n m e t h o d o f f e e d b a c k m a t r i x ， 2 c o n s i d e r i n gt h er e q u i r e df e e d b a c km a t r i xm a k e st h em a t r i xo f c l o s e - l o o ps y s t e mh a v e s p e c i f i cs t r u c t u r e ，t h i sp a p e rg i v eas i m p l es o l u t i o no fc o n s t r u c t i n gt h ef e e d b a c km a t r i xb y u s i n gs t a t et r a n s f o r m a t i o nt or e d u c et h ef o r mo f i n p u tm a t r i x 3 i nt h ec o n d i t i o n so fc o n t r o l l a b i l i t ya n ds t a b i l i z a b i l i t y ，t h i sp a p e rg i v e st h es o l u t i o no f t h ed i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e mw i t l ls t a b i l i t y 4 a tl a s tg i v ea ne x a m p l ea b o u tas o l u t i o nt ot h ep r o b l e m , w h i c hi sa b o u td i s t u r b a n c e d e e o u p l i n gw j l bp o l e sp l a c e m e n ta n ds t a b i l i t y k e yw o r d s ：p o l ep l a c e m e n t ：s t a b i l i t y ：t h ed i s t u r b a n c ed e e o u p l i n g ：l i n e a rt i m e - i n v a r i a n t s y s t e m ；f e e d b a c km a t r i x i i 独创性说明 作者郑重声明：m 页- 圭- 学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文申不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：垃塞鎏日期：曼兰2 ： 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交 学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大 学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名：叠墨盗 靳繇烨 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 解耦问题概述 解耦【1 1 是控制理论中历史最悠久的问题之一，它的设计思想几乎和控制学科同时产 生解耦思想最初狭义的提法是不相干控制原则，它是由b o k s e n b o m ( 1 9 4 9 ) 、h o o d 和钱学 森0 9 5 4 ) 首先提出来的他们最先将矩阵分析法应用于多变量控制系统中，提出了不相干 控制的巧妙思想他们讨论的是一个关于飞行器控制的问题，即通过分别控制燃料与推进 器叶片角度来控制飞行器发动机的速度和功率，并使得两个控制系统各不相干一般情形 的解耦问题可分为两部分：干扰解耦和输入输出解耦输入输出解耦又称为”无交互作用 设计”。对线性系统和非线性系统的无交互作用设计是解耦问题的研究主流1 9 6 4 年，m o r g a n 在现代控制理论的框架下，正式提出m i m o ( 多输入多输出) 线性系统的输入输 出解耦问题。即著名的m o r g a n 问题该问题的研究大体分为两个阶段：第一个阶段从1 9 6 4 到1 9 9 2 年，讨论所= r ( 朋为输入变量个数，为输出变量个数) 的情况；第二阶段从1 9 8 2 年 一直持续至今，讨论掰 ，的情况 传统的解耦方法有对角矩阵解耦、状态变量法、相对增益法、对角优势和现代频率 法等其中对偶矩阵解耦是由b o k s c n b o m 、h o o d ( 1 9 4 9 ) 、钱学森( 1 9 5 4 ) 、k a v a n a g h ( 1 9 5 7 ) 、 m e s a r o v i c ( 1 9 6 0 ) 等人所建立和发展起来的对角矩阵是最经典传统的解耦方法，因为它能 非常方便地应用于多变量过程控制系统的解耦设计，而且由此得出来的结论都能很容易 地在实际工程中得到应用状态变量法是通过选择合适的状态反馈控制来实现的，由 f a l b ，w o l o v i c h ( 1 9 6 7 ) ，g i l b e r t ( 1 9 6 9 ) 等人所发展现代控制理论都十分欣赏状态变量法，目 前讨论这个方面的文章非常多对于变量数目比较多的高阶大系统，很宣于应用这种方法 进行理论上的分析，其应用往往是抽象化的对象但是在工程控制实践上应用并不多，没有 对角矩阵和相对增益法应用那么广泛相对增益法首先由b r i s t o l ( 1 9 6 6 ) 提出，然后主要由 s h i n s k c y ( 1 9 7 7 ) 、n i s e n f e i l d ( 1 9 7 9 ) 、m c a v o y ( 1 9 7 7 ) 等人所发展起来相对增益法又叫原始 配对法，它和对角矩阵法是工程应用最广泛的两种解耦方法尤其是s h i n s k y 成功地将此 方法应用于精馏塔控制，而他的成功又使这个方法更有吸引力，所以相对增益法又称为 b d s t 0 1 s h i n s k c y 方法对角优势法则是现代频率法的研究核心，在7 0 年代中期 r o s c n b r o c k ( 1 9 7 2 ) 等人研究了多变量控制中，有关频域和时域方法之间的关系，而频率法 原则是适用于单输入单输出系统因此研究问题的关键是如何解耦，而对角优势方法则是 解决频域和时域关系的桥梁这种方法在解决工业生产工程解耦问题是有效的，但是最大 的缺点是复杂，必须借助有图象显示的数字计算机进行辅助设计在8 0 年代这是个比较困 干扰解耦和极点配置问题的组合研究 难的问题，但是随着计算机处理速度的飞速发展，这个困难已经排除了比起现代控制理论， 其优点是物理概念较清楚，在设计中可以比较充分发挥人的主观能动性，其设计目标是被 控对象的对角优势而非对角化，因此是一种近似解耦方法，在很大程度上可以避免全解耦 方法带来的缺陷而且由于本身的近似解耦方法，很容易推广到不确定性系统的解耦控制 中，尤其是鲁棒解耦控制 8 0 年代，解耦问题的研究重点逐渐转到对非线性系统的讨论上来解耦问题的基础 是”不变子空间”的概念，在线性系统中为( 一，助一不变子空间，而在非线性系统中则变为 ( 厂，g ) 不变分布由于非线性系统的极端复杂性决定了这项工作记为艰难，即使是对于一 般的干扰解耦，解决起来也是非常困难的目前为止，处理非线性系统解耦问题的最有效的 数学工具是微分几何方法以及微分代数方法。它们在研究非线性控制理论方面获得了巨 大的成功，并使非线性解耦问题也取得了很大进展此外，还出现了针对具体非线性系统的 各种各样的解耦方法例如模糊解耦、神经网络解耦、自校正解耦等人工智能理论但是 目前的智能控制算法于工程应用还有一段距离 1 2 解耦理论新的发展和应用 1 2 1 在时滞系统中的推广 已有学者尝试把解耦控制方法推广到时滞系统中，但是基本上都是m o r g a n 问题在时 滞系统中的适当延伸t z a f e s t a s 与p a r a s k e v o p o u l o s ( 1 9 7 3 ) 把f a l b 与w o l o v i c h 的矩阵方法 推广到了时滞系统中并且考虑到了控制器的因果性问题这个方法研究的仅仅是具有同 倍率定常时滞的线性系统，并基于算子空间给出了相应的结果，由于复杂的算子理论的引 入使缛其结论形式非常好看，计算却非常复杂而且由于其原始方法的缺陷。在处理不确定 性因素时将遇到难以克服的困难，同时在处理控制器的因果性问题也显得力不从心因此 在时滞系统中产生了能量解耦的方法 能量解耦类似于r o s e n b r o c k 的现代频域法，是一种近似解耦方法它从被控系统的输 入输出能量关系上实现解耦，使得任何一个输入的能量主要控制对应的一个输出的能量， 而对其它输出能量的影响可能很小因此具有近似解耦方法的优点，即对被控对象的微小 摄动不敏感其实从解耦的时间特性来看，解耦控制又可以分为动态解耦和静态解耦虽然 动态解耦比较理想，但是其设计与实现的代价比较高输入输出的解耦是一种比较折中的 算法，其本质是一种状态空间法 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 1 2 3 鲁棒解耦控制 随着对解耦问题研究的深入，许多学者认识到，以前的方法大都以精确的系统模型为 前提条件，并且要求模型本身不存在大的摄动这样以往的研究忽略了一个重要的事实，任 何实际的系统模型都具有无法回避的不确定性，并且在环境及其它各种因素的影响下，模 型参数会不断地发生摄动，有时候会出现模型严重失配，这样有可能造成解耦控制器的失 灵因此随着对控制系统的要求越来越高研究不确定性系统的解耦问题已成为必然目前 鲁棒解耦的研究主要使用了以下几种工具：日”方法和结构奇异值理论( 理论) ； 线性矩阵不等式方法( l m i ) ；代数方法 近几年来，在系统鲁棒性领域出现了一些新的数学工具和研究方法，再加上鲁棒解耦 具有很强的实用性，对它的研究已成为目前非线性控制领域的一个热点问题 自a r k t m ( 1 9 8 4 ) 等人将对角优势推广到鲁棒对角优势以来，人们对鲁棒对角优势与鲁 棒稳定性的关系，鲁棒对角优势的实现等问题陆续作了些研究，总的来说研究结果并不多。 而实际应用的例子就更少相对给人的印象似乎不确定系统的多变量频域法已经陷入了 困境 1 2 3 智能解耦控制 近年来，如何实现具有非线性、多变量、强耦合的复杂工业工程的解耦控制已经引起 了控制界的关注，神经网络、模糊技术、专家系统等人工智能理论开始被引入解耦控制领 域在各种神经网络和模糊技术及理论中，解耦控制有着其独特的应用和影响从本质上说。 智能解耦是传统控制系统解耦方法在智能控制中的应用。并没有新的数学创新如 w a t t a , i k d aa n dh a s s o u n ( 1 9 9 7 ) 等人对海明联想存储器提出了基于神经网络的解耦方法柴 天佑( 2 0 0 0 ) 在神经网络方面提出了许多解耦方法大多数由于算法复杂，不易于工程实现 1 2 4 自适应解耦控制 在七十年代末期，解耦控制和自适应逐渐开始相结合在多输入多输出系统中的自适 应解耦问甄m c d e r m o t t 和m c l l i c h a m p ( 1 9 8 6 ) 大致解决了这个问题他们从方式上将自适 应解耦分为开环补偿解耦和闭环解耦；开环补偿解耦和自适应分离，方法简便；闭环解耦 的约束条件很多，但能同时实现解耦和自适应控制，他们说提出的方法是近似解耦方法 1 9 8 7 年，w i t t e n m m k 利用预补偿器的方法，使得多输入多输出系统实现了完全解耦 理想开环解耦算法存在着零极点，解多组高阶方程，升高系统阶次等问题，简化开环解耦可 以解决这些问题，但是同样也存在着物理可实现问题，因而只能静态解耦 干扰解耦和极点配置问题的组合研究 1 2 5 非线性系统解耦 实际上能由线性系统精确描述的系统实际上少之又少，绝大多数过程本质上是非线 性的近十余年来，用微分几何方法处理非线性系统取得了一系列精彩的结果，微分几何方 法对于非线性系统的重要性相当于线性代数对于线性系统，这一观点己为控制界普遍认 同而非线性控制系统的研究方法，从诞生到发展，几乎都是和解耦问题联系在一起的，通 过解耦问题可以大致把握现代非线性系统控制设计理论发展的主要线索和重要结果 解耦控制是多变量系统控制的有效手段，解勰控铡理论于六十年代末提出，到七十年 代，国外已经将它应用于化工、石化、造纸等设备和装置，取得了卓有成效的结果，在日本 八十年代开始，解耦控制在工业过程控制中的应用已经相当普及 解耦控制在理论上也有重要的意义反馈的目标增加解耦这一任务，以实现非交互控 制。是当前重要的研究专题 1 3 干扰解耦问题概述 干扰解耦是解耦问题的一个重要分支所谓干扰解耦，就是设计控制器以克服外界干 扰对系统输出的影响一般来说，控制系统存在干扰是不可避免的所以干扰解耦问题在许 多实际控制系统中有重要的应用例如，对于船用雷达系统，为保证雷达正常工作，要求雷 达的定向与海浪的干扰无关为了达到这个目的，人们常常希望设计雷达的定位控制系统， 使它能够干扰解耦 干扰解耦问题的描述1 2 l ： 考虑受到外部干扰的线性系统 i 圣= 血( r ) + b u ( t ) + s q ( f ) 1 y = c h 力 其中g ( ) 为干扰输入 系统称为是干扰解耦的，如果c ( 盯一彳) s = o ，即系统的输出与干扰无关干扰解耦的 目的是通过设计状态反馈控制率村= f x ，使得闭环系统是干扰解耦的，即 c i 盯一4 一a f ) 一s = 0 干扰解耦与输入输出解耦有十分紧密的联系，但又有其独特的性质和解决方法，它是 通过选择合适的状态反馈来实现的干扰解耦问题( d d p ) 在最近的几十年中得到了广泛 的研究它最先由b a s i l e 和m a r r o j i ( 1 9 6 8 ) 、w o n h a m 和m o r s e 4 1 ( 1 9 7 0 ) 解决接着， s c h u m a c h e r 习( 1 9 8 0 ) 、a k a s h i 和i m a i ! 耐( 1 9 8 1 ) 解决了带动态可测反馈的干扰解耦问题 ( d d p m ) w i l l e m s 和c o m m a u l t t 7 1 ( 1 9 8 1 ) 解决了带动态可测反馈和内部稳定的干扰解耦问 题( d d p m s ) 大连理工大学硕士学位论文 结构系统，即线性系统由( 彳，曰，c ) 表示，其中一，e c 是固定零点或自由参数我们很自 然的会将结构系统和有向图联系在一起结构属性即对几乎所有的参数都成立的属性在 过去的3 0 年里，结构属性得到广泛的研究如l i n 【8 1 ( 1 9 7 4 ) 的结构能控性、 r e i n s c h k e m ( 1 9 8 8 ) 和 v a l ld e rw o u l d i ”1 ( 1 9 9 1 ) 等人关于一般的无限结构可由相伴图简化 的问题通过结构属性方法解决干扰解耦问题由c o m u u a u l t ! ”】i ”1 ( 1 9 9 1 。1 9 9 3 ) 和v a l ld e r w o u l d t ”1 ( 1 9 9 1 ，1 9 9 3 ) 做了相关研究 实际上，干扰解耦是把几何方法发展到系统理论的出发点，同时它在分散控制、非交 互式控制、模式参考跟踪控制、皿最优控制和上乙最优控制这几个重要问题上扮演主要 角色几何方法的引入对控制问题的研究做出了重要贡献，该方法是以不变子空间为基础。 由w o n h a m ! “1 ( 1 9 8 5 ) 和b a s i l e 、m a r r o | ”1 ( 1 9 9 2 ) 推广其后，不少学者用该方法对带有其它 特殊要求的干扰解耦问题作了研究几何方法的优点是，它避免了问题分析过程中的大量 矩阵运算，同时几何处理能够较快地提出进行综合的新方法，且得出的结果很直观 w o n l m m 用几何方法给出了干扰解耦问题、带极点配置的干扰解耦问题和带稳定性 要求的干扰解耦问题可解的充要条件，但没有给出求解后两个问题反馈矩阵的具体构造 方法 1 4 本文的主要研究内容 本论文主要使用矩阵分析和不变子空间、能控性子空间等方法作为处理手段。通过状 态变换简化线性定常系统的相关矩阵，并在此基础上讨论反馈矩阵的参数选取以使得反 馈后闭环系统满足某些合理属性并且干扰解耦问题能解 全文共分四章第一章是绪论，主要作为引言和概要，力图对解耦控制理论，干扰解耦 问题的发展历史作一些系统介绍第二章对线性系统、不变子空间、能控性、反馈和极点 配置、( 4 ，口) 一不变子空间、能控性子空间和干扰解耦等问题作了一些概述第三章讨论 了系统能控性和干扰解耦的关系第四章对带极点配置或稳定要求的几个干扰解耦问题 作了可解性分析，并分剐给出了反馈矩阵f 的构造方法，最后给出了两个个计算实例 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 2 1线性系统与不变子空间 下面先给出线性系统的初步知识 本文主要考虑有限维、定常( 即时不变) 线性系统，它们以下列方程为模型： j ) = a x ( t ) + b u f f )( 2 。1 ) 贝，) = c x ( t ) 0 20 ) ( 2 2 ) 这里爿f i x , b 晨，c 月”，状态工r ”，y e r p 控制私( ) 是取值于r 4 的函数其 中( 2 1 ) 为该对象的状态方程，( 2 2 ) 为该对象的观测方程对于系统( 2 1 ) ，可以将其简记 为口，b 】1 2 1 ，因为一旦矩阵a ，b 给定，系统( 2 1 ) 就绘定了同样地，由( 2 1 ) 和( 2 ，2 ) 组成的 系统可记为【4 ，b ，c 】若( 2 1 ) 满足初始条件 x ( o ) = x o 则( 2 1 ) 式意味着 工( f ) = e 4 x o + f p 伽b u ( s ) d s ，f o ， 更一般地有 x ( o = p 州咱k + ( 口郇1 ) b 甜o ) a s ，t o - 0 ，t o 下面介绍不变子空间和状态变换这两个概念，它们是下面作进一步基础 对子空间v c r ”，如果a ：r ”一r “且a v c v 则称v 是彳一不变子空间显然，任何映 射都至少有两个不变子空间，即零子空间和全空间科对于中间维数的子空间矿，即 d ( 矿) = p 且1 s p 0 ，假设足表示在某个输入函数“的作用下在时刻，的状态的集合即 墨净鸳r 4 ：存在输入群使得玲= 务 给定状态方程工( f ) = a x ( t ) + b u ( t ) ，我们称矩阵 ba b a - i b 大连理工大学硕士学位论文 是 4 ，司的相伴能控性矩阵令b ：= i m b ，以及 ( k = # i m f ba b 彳舻1 b 咿】 ( 2 3 ) 子空间c 么= 叫做系统【4 ，b 】的能控子空间根据( 2 3 ) 式( 以及凯莱一哈密 尔顿定理) ，显然有4 c k c c 么，即c k 是4 一不变的容易证明，事实上，c 么是包含i m b 的最小4 一不变子空间同时系统的能达状态集和能控子空间有如下关系： 定理2 1 1 6 1 ”1 墨a i b = 下面将给出系统能控和能稳的定义，并且可以得到，对原来系统的状态方程作非奇 异的状态变换将不改变能控性 定义2 1 1 若= r “，即系统【4 ，捌的能控子空间是全空间，则称系统【爿，明是能控的 定理2 2 ( 1 6 1 ”1 设te 丑是非奇异的，并且系统【彳，明是能控的，那么 t a t - i , r b 也是能 控的 定义2 2 【1 6 1 如果在( l2 1 ) 中j 的特征值都在左半平面，即特征值的实部都小于0 ，则 称系统 彳，研是能稳的 对不能控的系统，可以得出，对系统作一定的状态变换，存在一个低维的能控系统 下面的定理给出了其理论描述 定理2 3 ”6 1 给定系统【4 ，明，假设d i n l ( ) = ，那么存在状态变换丁使得 ( a ) 状态变换后的系统有下面的形式 t a t - i = 瞌射t b 柳 亿a ， 这里互。矗”，亘r ” ( b ) 变换后的能控性子空间是 觋= h 阱弘 ( c ) 系统瞳，豆1 是能控的 2 2 ，2 能控性与极点配置 仍然考虑系统 “f ) = 血( ，) + b u ( t ) ，f 0 ( 2 5 ) 假设我们通过取 干扰解耦和极点配置问题的组合研究 u ( t ) = 蹦f ) + 1 ，( 0 ，t 0 ， ( 2 6 ) 来任意修改( 2 5 ) 式，其中v ( ) 是新的外加输入，f ：r ”一r ”是任意一个映射这里把f 叫 做状态反馈显然，引进状态反馈的结果是，把( 2 5 ) 式的【彳，明变为 a + b f ，b 】对于这样 的变换，可以给出一个简单而有用的结果，即状态反馈不影响能控性 命题2 1 f 引对任一状态反馈f ：一r ”有 = 特别地，如果 4 ，明能控，那么 a + b f ，明也能控 在应用中，引入状态反馈是为了按照某种预期的准则( 如，达到稳定或者调整响应的 速度) 来改变不能控的自治系统x ( 力= a x ( t ) 的动态特性有时，这样的准则可以作为改变 系统矩阵彳+ a f 的谱的条件例如，为了稳定性，要求 m a x r e ：i ，：a 盯( 彳+ 丑f ) ) 0 ： 而为保证限制振荡频率的快速响应，则要求 m a x r e a ：a c r ( a + 朋) 1 1 7 1 ( 2 1 0 ) 则称婀为系统【彳，明的一个能控性子空间因此，孵恰好是 a + b f ，b g 】能控子空间文 中采用符号c ( a ，曰，掣) 或简记为c ( ) 表示【4 ，曰】的能控性子空间的全体所组成的类 对于的每个子空间k c r ”，我们用c ( 互e 髟) 表示包含在k 中能控性子空间的全 体，于是v c ( 4 ，e k ) ，当且仅当 v c k ， 且存在映射f ：一舻和g ：肜寸秽，使得 v a + b f i i m b g 对系统x o ) = 血( f ) + b u ( t ) 来说，一个能控性子空间飒c 7 r ”是由下述性质表征的：对 每个x 孵，存在连续控制甜( f ) ( o s t 冬1 ) ，使得，当“o ) = 0 时，有爿，) 贸( o s f 1 ) ，并且 x ( 1 ) = 石这就是说，每个状态石孵都是自原点出发沿着不离开孵的受控轨线能达的事实 上，若吼是一个能控性子空间，则根据( 2 t o ) 知系统 m + a p i9 l ，b g 】是能控的 命题2 3 f ”1 子空问吼ec ( a ，e r ”) 的充分必要条件是，存在映射f ：f r ”，使得 孵4 + b e i i m b r a g ( 2 1 1 ) 回忆一下，记号f ( a ，鼠矿) 或f ( v ) 表示满足( 彳+ b f ) v c v 的映射f 所组成的集合那 么f ( 矿) a 的充分必要条件是，矿为( 彳，曰) 一不变的如果吼c ( a ，b ，r “) ，则显然有 f ( o ，于是可以得到，( 2 1 1 ) 的表示对任意的f f ( 吼) 成立 命题2 4 0 7 1 若孵c ( a ，b ，r 4 ) ，则对于每一个映射f f ( 孵) 有 吼= 最大能控性子空间和最大不变子空间有如下关系： 命题2 5 设v = s u p3 ( 彳，b ，k e r c ) ，虢= s u p c ( d ，b , k e r c ) 如采f f ( a ，b ，k e r c ) ，则有 9 1 一+ b f l i m b ：、v + 下面将给出的三个命题在文献【l 】中有类似的描述，该文献主要用的是用商空间和诱 导映射的方法，并以不变子空间为基础给出的是一种抽象的描述方式，本文将以矩阵的观 点给出它们的描述和证明 干扰解耦和极点配置问题的组合研究 命题2 6 设【a ，明能控，矿双4 最) ，且d ( 功= v ，对re f ( v ) ，天是栉一v 个复数组成的 对称集合，那么 ( a ) 存在非奇异矩阵r ，使得 r c 4 + b f o ) t - l = 吾歪 ，绉= 囊 且有【互，龟】能控 ( b ) 存在f v ( v ) ，使得 ，i v = f o i y 而且 a ( a + b f ) = 仃( 丑) o 五 证明：( a ) 取 v t ，) 是y 的一组基，将其扩充为r ”的一组基似，k ，k 。，) ， 记丁一= 【m ，】，则由v e j ( a , b , r “) ，有 脚b f o ) t - i = 瞌 根据命题2 2 ，有 互，垦】能控 绀砧恸耻。品p o , 惫 ( b ) 【互，豆】是能控的，那么存在户：r ”_ 掣，使得 盯( 互+ 岛户) = 天 定3 ( f ：- - 昂十户【o 厶一，】丁，则 k - t - 1 = 最r 1 + 研。厶一，】 = 隐黔p 仆睫 所以有f i v = 磊f 矿，且 则 盯( 4 + b f ) = a ( a 。1 ) 0 a 一 ： 口 呻 o_ f 1j】削一划司 rl，1，kh 坞岖。4。4。4。以 _ 4 o _ o _，l pl = = r盼 + 4r 大连理工大学硕士学位论文 命题2 7 设孵c ( a ，b ，r ”) ，并且d ( 孵) = p 1 。取“，为吼的一组基，将其任意扩充 为r ”的一组基“9 - - * k ，v v + l ，) 取r 1 = 【v l ，以】，则对于每个由p 个复数组成的对称 集合人，总存在映射f ：f 一兄”且f f o i ) ，使得 r ( 爿+ b f ) t - i = l 舌乏l 且口q ) 瓢 证明：假设 。飒五+ 占1 i m 口n 孵( 2 1 2 ) 选择g ：r ”寸r “，使得 i m b g = i m b n g t ( 2 1 3 ) 由暖是乜+ 职) 一不变子空间，由命题2 2 有 r c 4 + b r o ) r = 1 乏 ， 又i m b g 吼。所以 一阱 则 d i m ( b o 。b o 。筇1 b o 。 ) = p 所以【4 。，】能控那么存在五：孵斗r ”，使得 盯( 以l + 岛i e ) = a 取 f ：= 瓦+ g e 0 i t 则 t ( a + b f ) t - 1 = t ( a + b f o ) r 。+ t b a f i z , o 玎4 = 降0 划0 似。【如jlj 忆9 。 4 。+ 岛t 曩4 ，i - - 0如j 所以，f 便是具有所要求性质的映射 口 下面，作为命题2 7 的逆命题，下面给出对给定的子空间是否为能控性子空间的判别 准刚 干扰解耦和极点配置问题的组合研究 命题2 8 设孵r ”是一个d ( 吼) = p 1 的子空间，取“，v p 为吼的一组基，将其任意 扩充为r ”的一组基“，k ，k i ，一，i 5 ( t 一= h ，】，假设对于每个由p 个复数组 成的对称集合a ，都存在映射f ：科专五”，使得 r c 4 + b e ) r 1 = 吾歪 且仃q ，啾， q 4 ， 那么，吼c ( a ，b ，r ”) 证明：取定f o f ( 吼) ，根据命题2 2 则有 r t 4 + 8 f o ) r = 12 ， 且f f ( 倪) 的充要条件是烈f p o 娜c i m b ：a 吼取g f ”，使得i m b g = i m b n 吼则 存在e ：孵寸r ”，使 口g e = 烈f 一只) 锨 又 t b g = 阱 因而( 2 1 4 ) 意味着，对每个人，由 t ( a + b f ) t 一1 = t ( a + b f o ) t 一+ t b ( f f o ) t 一1 = t ( a + b f o ) t 一1 + r b g f l r 一1 = 弦0 圳0pl如jlj 1 ：4 。+ 岛。露如+ 岛。最1 l 0 如 j 有 仃( 4 。+ 玩，丘) = a 根据定理2 4 ，系统【爿+ 尉i ，粥】是能控的，因此 吼厶l i m b g 彳+ 矾i i m b ：a 舛 从而孵是一个能控性子空间 口 命题2 8 给出的能控性子空间的判别法则，在理论上有重要的应用，但在实际计算过 程中有很大困难由命题2 4 和能控性子空间的定义，下面给出一个较简便的判别方法： s t e p h 验证4 孵亡吼+ i m b 是否成立，若是则执行s 钯p 2 ，否则转到s t e p 4 大连理工大学硕士学位论文 s t e p 2 ：构造只使得似+ b d 孵c 孵； s t e p 3 ：验证 = 孵是否成立，若是则说明吼是能控性子空间，否则 转到s t c q a 4 ； s t e p 4 ：9 t 不是能控性子空间 大连理工大学硕士学位论文 3 干扰解耦与能控性 3 1 干扰解耦问题( d d p ) 考虑