（概率论与数理统计专业论文）函数型随机条件方差自回归模型的稳定性.pdf

摘要 8 0 年代以来，有关非线性时间序列模型的研究，由于它所具有广 泛的实际应用背景，受到普遍重视，目前已成为时间序列分析理论发 展的一个重要研究方向 但是在以往的时间序列模型的文献中，无论是线性时间序列模型， 还是非线性时间序列模型，其干扰为单一环境下的单一白噪声，而在 实际中，当环境变化时干扰也会随之而变针对这一情况，z h e n g t i n g h o u ，z h e n gy ua n dp e n gs h i ( 2 0 0 5 ) 提出了随机环境干扰下的非线 性时间序列和伴随遍历性的概念，并研究模型的伴随遍历性及其导出 序列的遍历性这一成果突破了环境的单一性及其干扰的单一性在 以上思想方法的基础上，对系统的延滞长度受到随机环境因素影响的 问题，笔者的导师提出了延滞受到一个有限状态马氏链控制的时间序 列模型 本文就承接上述思想方法，利用马氏化方法和一般状态马氏链的 基本理论，讨论了一类带随机延滞和受随机干扰的函数型随机条件方 差自回归模型的稳定性 本学位论文由以下五章组成： 第一章：介绍时间序列分析的研究概况和本文主要研究的函数型 随机条件方差自回归模型的定义以及本文的研究目的和论文结构 第二章：主要介绍一般状态马氏链的基本概念及马氏链的遍历性 理论等基础知识 第三章：针对带随机延滞的函数型随机条件方差自回归模型，研究 导出序列 似n 7 7 0 ) ) 的遍历性以及模型的伴随遍历性 第四章：针对受随机环境干扰的函数型随机条件方差自回归模型， 研究其导出序列舣。z ，) 的遍历性及模型的伴随遍历性 第五章：简要介绍函数型随机条件方差自回归模型的非遍历性，以 第四章模型为例 关键词小集，不可约，伴随几何遍历，随机延滞，非遍历 a b s t r a c t s i n c et h e1 9 8 0 s t h es t u d yo fn o n l i n e a rt i m es e r i e sm o d e lh a s a t t r a c t e du n i v e r s a la t t e n t i o nb e c a u s eo ft h ee x t e n s i v ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n b a c k g r o u n d ，a tp r e s e n ti th a sb e c o m ea l li m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o no f t i m es e r i e sa n a l y s i st h e o r y b u ta c c o r d i n gt ot h ed o c u m e n t sa b o u tt h et i m es e r i e sm o d e li nt h e p a s t r e g a r d l e s so ft h el i n e a rt i m es e r i e sm o d e lo rn o n - l i n e a rt i m es e r i e s m o d e l ，i t sd i s t u r b a n c ew a ss u p p o s e dt ob eas i n g l ew h i t en o i s es e r i e si n t h es i n g l ee n v i r o n m e n t , b u ti nr e a l i t y , w h e nt h ee n v i r o n m e n tc h a n g e s ，t h e i n t e r f e r e n c ec a nc h a n g ea l o n gw i t hi t i nv i e wo ft h i ss i t u a t i o n ，z h e n g t i n g h o u ，z h e n gy ua n ds h ip e n g ( 2 0 0 5 ) p r o p o s e dt h ec o n c e p t so ft h e n o n l i n e a rt i m es e r i e su n d e rt h er a n d o me n v i r o n m e n td i s t u r b a n c ea n d a d j o i n te r g o d i c i t y , s t u d i e da d j o i n te r g o d i c i t yo ft h em o d e la n de r g o d i c i t y o fi t ss e q u e n c e sd e r i v e d t h i sa c h i e v e m e n tb r o k et h r o u g ht h es i n g l e e n v i r o n m e n ta n di n t e r f e r e n c e t or e s o l v et h ep r o b l e mt h a tt h ed e l a y w o u l db ea f f e c t e db yr a n d o mf a c t o r s ，b a s i n go nt h et h i n k i n go f t h ea b o v e ， m yi n s t r u c t o rp u tf o r w a r dat i m es e r i e sm o d e lt h a ti t sd e l a yc o n t r o l l e db y af i n i t e s t a t em a r k o vc h a i n i nt h i sp a p e r ，f o l l o w i n gt h ei d e aa n dm e t h o da h e a d ，a p p l y i n gt h e m a r k o v n i z a t i o na n dt h et h e o r i e so fg e n e r a ls t a t es p a c em a r k o vc h a i n i h a v es t u d i e dt h es t a b i l i t yo ft h ef u n c t i o n a ls t o c h a s t i cc o n d i t i o nv a r i a n c e a u t o r e g r e s s i v em o d e lw i t ht h er a n d o md e l a ya n dr a n d o ni n t e r f e r e n c e t h i st h e s i si sc o m p o s e do f t h ef o l l o w i n gf i v ec h a p t e r s ： c h a p t e r1 ：i n t r o d u c et h er e s e a r c hs t a t u sa b o u tt h et i m es e r i e s a n a l a y s i s ，t h ed e f i n i t i o no ff u n c t i o n a ls t o c h a s t i cc o n d i t i o nv a r i a n c e a u t o r e g r e s s i v em o d e la sw e l la st h ep u r p o s ea n ds t r u c t u r eo f t h i sp a p e r c h a p t e r2 ：i n t r o d u c et h eb a s i cc o n c e p t so f t h eg e n e r a l - s t a t em a r k o v c h a i n ，e r g o d i ct h e o r ya n do t h e rb a s i ck n o w l e d g e c h a p t e r3 ：s t u d ye r g o d i c i t yo f t h es e q u e n c e sd e f i v e d ( x 0 ) ，e ( f ) ) a n d t h ea d j o i n t e r g o d i c i t y o ft h i sm o d e l f o rt h ef u n c t i o n a ls t o c h a s t i c c o n d i t i o nv a r i a n c ea u t o r e g r e s s i v em o d e lw i t ht h er a n d o md e l a y c h a p t e r4 ：i nv i e wo ft h es i t u a t i o nt h a tf u n c t i o n a ls t o c h a s t i c c o n d i t i o nv a i l a n t ea u t o r e g r e s s i v em o d e lw a sr a n d o md i s t u r b e d ，w es t u d y e r g o d i c i t yo f t h es e q u e n c e sd e d v e d ( x , ，z , ) a n dt h ea d j o i n te r g o d i c 时o f t i l i sm o d e l c h a p t e r5 ：i n t r o d u c e t h en o n e r g o d i c i t yo ff u n c t i o n a ls t o c h a s t i c c o n d i t i o nv a r i a n c ea u t o r e g r e s s i v em o d e l ，t a k i n gt h em o d e lo f t h ec h a p t e r i va sa ne x a m p l e k e yw o r d ss m a l ls e t ，i r r e d u c i b l e ，a d j o i n t g e o m e t r i ce r g o d i c i t y , s t o c h a s t i cd e l a y ，n o n - e r g o d i c 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名：塑致盔 日期； n 6 年且月厶日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 名：馘名：秘吼出山上日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 时间序列分析简介 第一章绪论 所谓时间序列，从较广义的意义上说，是指被观测到的依时间次序排列的数 据序列，也称动态数据例如：某地区的年降水量序列，年国民生产总值序列等等 这些数据由于受到偶然因素的影响，往往表现出随机性，相互之间存在某种统计 上的联系从概率论的角度来看，用随机过程来描述最为合适随机过程被定义为 一簇随机变量，即 x ，t t ，其中丁表示时间的变化范围对每个固定的时刻 t ，置是一个一元随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。当 t = o ，l ，2 ， 时，随机过程可以写成 x ，r = o ，l ，垃， ，称之为随机序列由于 t 代表时间，所以此类随机序列也称为时间序列由此可见，时间序列是一类特殊 的随机过程，即离散参数随机过程 近年来，计算技术和计算机的发展为时间序列分析注入新的活力，使之成为 自然科学、社会科学各领域中不可缺少的数据分析工具现代时间序列分析已经 发展为用随机过程理论和数理统计的方法，研究随机序列所遵从的统计规律，并 用以解决实际问题当前，时间序列分析方法在我国的气象、天文、地质、生物、 医学、冶金、机械、经济、管理等部门和领域得到广泛的应用尤其在经济界， 越来越多的实际工作者开始了解并运用时间序列分析方法 1 2 时间序列分析的研究概况 时间序列分析是一个及其广泛的研究范畴，对它的研究可以一直追溯到2 0 世 纪早期现代统计学的萌芽之初从起源直至2 0 世纪7 0 年代后期，时间序列分析得 到了迅速的发展，特别是对线性时间序列的研究已经取得了系统和丰富的成果 然而线性时间序列模型有着诸多的局限性例如它们无法产生带有非对称周期的 数据、它们通常是时间可逆的、当使用这类模型时，预测好坏的程度通常是与时 硕士学位论文 第一章绪论 问序列当前位置无关，诸如此类 对非线性时间序列模型，由于它突破了线性时间序列模型的上述局限性两逐 渐被重视起来2 0 世纪6 0 年代后期，非线性时间序列分析在b o x j e n k i n s 提出一 套比较完善的建模理论及方法之后便迅速发展起来在经济、环境、生物和气象 等倍受人们关注的领域，非线性时间序列已经显示出其解决实际问题的重大作用 因此。8 0 年代以来，有关非线性时间序列模型的研究，由于它所具有广泛的实际 应用背景，受到普遍重视，目前已成为时间序列分析理论发展的一个重要研究方 向纵观国内外在这一方向上的研究概况，前期工作大多局限于对几类典型非线 性时闻序列模型的参数辨识算法和建模方法等进行研究，一些代表性的工作 如：n i e h o l l s 和q u i n n ( 1 9 8 2 ) 对随机系数自回归模型的讨论，g r a n g e r ，a n d e r s o n ( 1 9 7 8 ) ，以及s u b b ar a o 和g a b r ( 1 9 8 4 ) 对双线性模型的分析，h a g g a n ，q z a k i ( 1 9 8 1 ) 关于指数自回归模型的讨论。此外还有t o n g ( 1 9 8 3 ) 关于门限自回归模 型的研究，p r i e s t l e y ( 1 9 8 0 ) 的状态依赖模型等但是，相对来说，关于非线性模 型本身概率性质的研究开展的比较少，也缺乏一种比较统一的分析和处理方法 2 0 世纪7 0 年代，特别是近十几年来，有关一般状态马氏链稳定性理论的研究 得到蓬勃发展，取得了一系列精细的研究成果，这为非线性时间序列模型的理论 研究提供了新的方法和手段正是在此基础上，一般非线性时间序列模型的马氏 链表述及其稳定性分析的研究得以逐步开展，目前这方面的工作正处在一个快速 发展的阶段由于非线性时间序列模型在统计推断过程中具有重要作用，获知非 线性时间序列模型的稳定性越来越重要时间序列模型的稳定性条件能够通过寻 找其伴随马氏链的遍历性得到许多文献借助于一般状态空间马氏链的理论和方 法来讨论非线性时间序列模型的稳定性，如t o n g ( 1 9 9 0 ) ：b h a t t a c h a r y aa n dl e e ( 1 9 9 5 ，1 9 9 9 ) ：c l i n ea n dp u ( 1 9 9 9 ) ：l e e ( 1 9 9 9 ，2 0 0 0 ) 及其它一些文献 国内的有安鸿志、陈敏( 1 9 9 6 ) 在非线性时间序列模型的稳定解，遍历性理论以 及非线性检验方法等方面取得了一系列的研究成果：盛昭翰、王涛、刘德林( 1 9 9 3 ) 在非线性时闻序列模型的定性分析方面取得了一系列的研究成果为研究时间序 列模型的遍历性，许多学者如f o s t e r ( 1 9 5 3 ) ，t w e e d i e ( 1 9 7 5 ，1 9 8 3 ) ；n u m m e l i n e ( 1 9 8 4 ) ，m e y na n dt w e e d i e ( 1 9 9 3 ) 等发展了所谓的f o s t e rl y a p u n o v 漂移条 件在一系列的研究工作中，c h a n ( 1 9 9 0 ，1 9 9 3 ) 和c h a na n dt o n g ( 1 9 8 5 ，1 9 9 4 ) 最先应用熟知的马氏漂移条件研究了一般自回归非线性时间序列模型的稳定性 特别地，他们给出了自回归函数l i p s c h i t z 连续的模型的稳定性条件对于双线 性模型，极限回归模型，指数回归模型。函数系数自回归模型等特殊类型的平稳性 和遍历性必要条件或充分条件在a na n dh u a n g ( 1 9 9 6 ) ，c h a ne ta 1 ( 1 9 8 5 ) ，c h e n a n dt s a y a ( 1 9 9 3 ) 和t o n g ( 1 9 9 0 ) 等中给出 2 硕士学位论文第一章绪论 近来，针对传统的时间序列模型中的干扰为单一的白噪声序列，而没有考虑 系统的干扰可能受到环境影响的事实，中南大学概率统计研究所侯振挺教授等学 者首先提出了系统干扰受到环境影响的随机环境干扰下的模型，并给出了许多很 好的结果在以上思想方法的基础上，对系统的延滞长度受到随机环境因素影响 的问题，笔者的导师提出了延滞受到一个有限状态马氏链控制的时间序列模型 1 3 函数型随机条件方差自回归模型的简介 在a r c h ( g a r c h ) 模型中，预报误差e ，的条件方差啊都是蠢i ，e 2 ，的函 数，或者是e 。2 ，蟊9o i l 和啊+ 啊。的函数下面将预报误差巳的条件方差直接表 达成原序列x t - l ，x t - 2 ， x t 一，的函数，即 e 留i t 一。，t 一：， = e k i t 一。，x t 一，j = 妒2 k 一。，x t _ ，) ( 1 1 ) 或者说假定e t 的条件方差只与x t 。，x t _ 2 , x t 一，有关为了理论研究和统计分析的 方便，还进一步假定巳= q 矾h - l ，札，j ( 卜2 ) 其蚓为白噪声鼽满足 冬嚣竺盎独立 ( 1 - 3 ) h 与m ，s o ，并记，寸彳：若p k 4 ) = o ，v n _ l ，则称x 不可达集合a ，并记 x 4 - a 定义2 3 2 设缈肘+ 是( x ，f ) 上的一个非平凡、盯一有限测度，b f 为 妒一正测集，即妒p ) 0 ，称集b 是妒一连通的，如果对b 的任意妒一正测子集彳， 有x 一4 ，v x e b 如果整个状态空间x 是p 一连通的，则称 以) 是妒一不可约的 并称伊是 以) 的一个不可约测度 硕士学位论文 第二章预备知识 如果测度妒相对于测度伊是绝对连续的，即对于4 f ，当0 ) 0 时，必有 烈4 ) 0 ，则一个伊一不可约的马氏链必为妒一不可约的。由此可见，不可约马氏 链的不可约测度并不唯一为了使之惟一化，我们引入最大不可约测度m 如下： ( i ) 溉 是肘一不可约的： ( i i ) 如果 z 是妒一不可约的，则妒必是相对于m 绝对连续的： c t t t ，m 。，= 。jm ( x ：喜b ，4 ，= 。 以后我们说马氏链 以 是不可约的，总是相对于最大不可约测度而言 定义2 3 3 设e ，局，易一。为f 中一组不交集，称其是 以 的一个长度 为d 的循环集，如果对f = o ，1 ，d - l 及v x e e ，有p b ，e ) ；l ，j = i + l ( m o d d ) 引理2 3 1 设 以 为矽一不可约链，则必存在 。 的一组循环集 凰，e ，。，使得( i ) x - u e , 为伊一零测集： ( i i ) 如c 。，c i ，巳一，为 以 的一组循环集，贝l j d , l d ( 整除) 设岛，e l ，易一l 是满足引理2 3 1 的条件( i ) ( i i ) 的一组循环集，则当d = 1 时，我们称 以 为非周期的马氏链：如d 1 ，则称 以 具有周期j 在讨论由时间序列模型所决定的马氏链的遍历性质时，常需要判定非周期性。 有以下的定理 引理2 3 2 设 矗 为伊一不可约的马氏链，它是非周期的当且仅当存在 彳f ，且妒0 ) o ，对彳的每一个矿一正测集b c 彳。妒但) 0 ，都存在整数聆，使 得对任何x b ，有g ，b ) 0 ，p g ，占) 0 定理证明见 3 3 由前面的讨论知，从不变概率分布旯出发，通过转移概率构造的马氏链是平 稳的下一节将要讨论的遍历性刻画了马氏链的转移概率向其平稳分布的收敛性 态为了研究非线性时间序列模型是否有平稳解，此解是否为遍历等问题，一个重 要的途径是借助与研究马氏链的遍历性来解决在研究马氏链的遍历性时，如下 8 硕士学位论文第二章预备知识 的小集的概念起看重要的作用，它对各种遍历性质，如h a r r i s 遇历、几何遍历等均 具有良好的“代表”特性故在此仅根据本文的需要，先给出小集的定义，然后介 绍两个小集的判别定理 定义2 3 4 一个非空集c ，称为马氏链口。) 的小集，如果存在一个正整 数七、正常数6 和概率测度名，使得对任意的彳f 和工c ，有尸g ，4 ) 6 五0 ) 引理2 3 3 设僻。 是一个伊一不可约的非周期马氏链，则有 ( i ) 如果集c f ，水) o ，且满足：存在b ef ，加) 0 和正整数 m = 脚0 ) l ， 使得对任意的彳c 占，妒0 ) o ，都有赠g ，4 ) 0 n c 一定是 以 的一个 小集 ( i i ) 有限个小集的并仍为小集 ( i i i ) 存在小集列a 。，玎1 ，使得以个x 证明见( n u m m e l i n ( 1 9 8 4 ) 推论2 1 ) 引理2 3 4 设扛。 是弱连续的马氏链，即对一切有界连续函数 g ：x - - 争r 1 ，g ( y 妒g ，咖) 关于x 是连续的，则一切矿非零测集的相对紧集是小 集 证明见文献 3 3 2 4 一般状态马氏链遍历性定义及判别准则 这一节在舻一不可约的条件下，介绍马氏链的有关定义和定理 定义2 4 1 设y m + 是一个非平凡测度，+ 竺扫f i m ( b ) o ，且存在集 b , u ，+ ，使得l ，p ) 0 ，使得 ( i ) e 娃r c k l 爿j 一。= x g g ) 一c l ，v x 芒c ： ( i i ) e 备阢】以。= x sc 2 ，v x e c 则慨 为遍历的 定理2 4 2 设 以 为不可约的、非周期的马氏链如果存在一个非负可测函 数g ，一个小集c 和常数c 1 0 ，g 0 ，0 0 ，v te r 1 定理2 5 1 若存在集合4 ，取”，曰。) 上的非负有限可测函数矿g ) 及 o ，m ) 上 的非负可测函数口( ) ，使得 1 ) 对情形i ) 有旷g ) 一吩】s 口舡一y 1 1 ) ，v x ，y r ”且 c , = l d l 口0 刚) ，( f n ，( 出) s u p 吨) b 4 。) ，对一切 x a ，矿留g ) ) y b ) + c ： p ) 彳或，矿仃g ) ) 矿g ) + cg r ”) ，且当x 4 时，矿仃g ) ) 矿b ) + c 贝对应于情形i ) 或i i ) ，由( 2 - 8 ) 式定义的 x 。 是非遍历的 硕士学位论文第三章带随机延滞的函数型随机条件方差自回归模型的遍历性 第三章带随机延滞的函数型随机条件方差自回归模型的遍 历性 3 1 引言 在第一章我们简单介绍了函数型随机条件方差自回归模型的概念下面着重 讨论一类函数型随机条件方差自回归模型 p “= 厶以) + z 以一- ) + + ，以_ ，) + 铱一“啊，h t 一，)( 3 1 ) 【，虬，垃，r 在上面的模型中延滞是固定的，然而在实际情况下，当随机环境发生变化时，延滞 也会随之变化为了更好地符合实际情况，本章考虑以下的带随机延滞的时间序 列模型 啊“= 厶o ，) + ，i o 一) + + 厶。柚0 ，- 辱e + 1 ) ) + s “妒如，一，h z ，9 + i ) )( 3 2 ) i h o ，t l “，h 一，r 并运用“补充变量”的马氏化方法和一般状态空间马氏链的基本理论得到了该模 型( 伴随) 几何遍历的一个充分条件 3 2 模型描述及基本引理 设，f ，p ) 为一概率空间，令e = l ，2 ， r ) 为一有限集合，日记为e 的所有子集生成的仃一代数。如 f o ) 为定义在( q ，f ，p ，) 上的不可约，非周期的 齐次马尔可夫链，状态空间为佤脚 对模型p m = f o ( h ，) + o “) + + f , o 枷o ，一，o 州) + 占m 矿o 一，”， ，一，o + 1 ) ) i h o , h - l h er 1 2 硕士学位论文第三章带随机延滞的函数型随机条件方差自回i 闩模型的遍历性 其中z ：月1 _ r 1 的b o r e l 司测函数， 尹：r ”专r 1 的正的b o r e l 司测有界 作如下假定4 ) 加以f o 与叠，f 2 0 相互独立： 如) v t 0 ，7 0 ) 与j i l o 相互独立： 以) ，7 ( f ) 与钒，k r 相互独立，g 。与瓴，k r ) 相互独立： 4 )v t 1 ，h ，f o 有处处为正的下半连续的密度函数 ( ) ： 记最为仿o ) ，o 的一步转移概率，即弓= p b ( f + 1 ) = ，p 7 0 ) = f ) ( 3 3 ) x f f v t2o 记x o ) = 以，吃。，啊。) ，称似( r ) ，玎巍f o 为模型( 3 2 ) 的导出序列， v n 1 记r ”为栉维欧氏空间，记玩为r ”_ 蛐b o r e lo r - - 代数 引理3 2 1 似o ) ，7 0 巍f o 是一个定义在( q ，f ，只) 上以( r x e ，b r + lx h ) 为状态空间的齐次马尔可夫链 证明：设a = a ox a l x a ，b r + i ，v 人d e e “x h ， g ，x t - i ，j r ，- ，f ) r + 1 e ，g t ，x l - 】，x i 一，i i ) r 7 “x e ，k = t - 1 ，t - 2 , - , 0 故 只 0 ( f + 1 l 叩( f + 1 ) ) a d i 伍( f l ，7 ( ，) ) = g ”，吐( 石( 七l ，7 取) ) = g 。，j 。，) = 只虬ea o ，h t + 。a ，口( f + 1 ) = 卅 玎( f ) ) = ，靠，吐伍7 7 ) ) = k ，) = e 抚g ，) + + z k 一，) + 岛+ 。d 毫，x t 一，) a 。，而a 。，一一，+ 1 a ，扣， 只敞o + 吐砸+ 1 协人d 帜( f ) ，叩( f ) ) = g ，x ，。，x ，i ) j = 只纯+ e a 。岛a 。，魄q - ，a ，节( f + 1 ) = _ ，i c x o ) ，刁( r ) ) = k ，薯一。，x t - ，f 剪 = 只抗“) + + 乃k 。+ b t + 。烈一，一，) e a 。，t 人。，t 一。人，扫， 所以 c 矾l 刁o 强f o 为马氏链，由的平稳性知道，它是时齐的证毕 以p g ，f ；人，d ) 记马氏链肛e ) 叩o 巍f o 的一步转移概率，即 尸 ，；人，d ) = p ( 彳o + 1 ) 刁o + 1 ) ) a d l 伍( f ) ，刁( f ) ) = g ，f ) ( 3 4 ) 以p ( “g ，i ；a ，d ) 记厅步转移概率，即 硕士学位论文 第三章带随机延滞的函数型随机条件方差自回归模型的遍历性 p “g ，i ；a ，t ， ) = p 肛o + 蚪1 1 7 ( f + 疗”a l ，l 伍0 1 7 7 0 ) ) = g ，f ) 2 荟l + - p g 名西，| j ) ，b 川p a d ) ( 3 - 5 ) 其中牙= 瓴，五，一) r ”1 ，i , j e e ，a = a ox a l x a ，耳“，k = 0 , i ， 下面讨论马氏链 似o x 刁( f 强，o 的n 步转移概率的表达式 引理3 2 2 马氏链 伍0 ) i 叩( f 强f o 的厅步转移概率有以下表示形式： 当1 蔓玎r 时 户 g ，i ；a ，l ，) ) = 血厶，( ) 气气也 l = n 与，k l e g i 。哎堡剥南叱哎销南地- 2 ) 。堡杀笋 麦r 慨- 3 ) o & 丝磊掣 志她) ( 3 嘲 当疗= r + l 时 p ( ，+ l 惭曲 ) - 。罂 ， 生云筹笋1 ) 南地) 。电口，帆c c ，帆c f ，u ， ，错 南声l 掣 志地， 伊， 当厅r + 2 时 邶_ 础 ) - 。，秘 k 厅( 生群 南觑- i ) l 销 南飙) l 惴 志舨， f 。 掣 南觚， c 。一s ， q ：k ，而，) ( 七l 功，厶h ) ：圭 g 。) k d e ，k 0 f ，一：j , r e e 1 4 硕士学位论文第三章带随机延滞的函数型随机条件方差自回归模型的遍历性 i 正删) + 艺正( 靠。) 当l d + 。时 。f , ( a , c i 幽r z “ i 艺五( 。) ，当k d 一一埘 。，i 杪椰，y n - l , x o , x k d + i - d j 当l j 匕i 时 2 “2 1 州，y + “l 当k + 1 d 行一埘【杪，卜d ，y 肛“b + 。声兰j + s d s 行一心习 让明：第一步，证明l 疗r 时的疗步转移概翠的表达式( 3 6 ) 式成立 马氏链积( f ) ，叩o 巍f o 的一步转移概率为： p ，毛人，c ， ) = e 似( f + 1 l 玎( f + 1 ) ) a ( ，i 伍o ) 叩o ) ) = g ，f ) = 只如“a 。，啊e a 。，啊+ 卜，人，7 ( f + 1 ) = 爿啊= x o ，h t 一，= ，7 0 ) = f = p 饥) + + 乃h ) + 岛+ 。以b ，_ ) 人。，x o 人i ，x ，。a ，扣。 = 鼽毗 巫訾学 而b 俐c 而由( 3 6 ) 知当以= l 时，k l = 歹，厶慨) = 以k ) ，彩。= k ，t ，x ，) 此时水，o 人，( ， ) = 鼽助i 。d 巫案铲 而翮1 蒯 由( 3 - 9 ) 及( 3 一1 0 ) 知，当h = 1 1 i 寸( 3 - 6 ) 成立 假设对拧一l ( 3 n r 1 ) f f ( 3 6 ) 式成立，那么第玎g ，) 步时有 p g ，f ；面，毛) = k l e e l 匕。冉万( v ，一而。歧羔 丧掣 硒未习卢协。) p ( “，k 。；a ，“ ) = i 卉= n - i 氏“。也，委墨t ，i - 2h i 三气署誉掣 ；南协。) i 。醋 南。厅 生甏掣 志觚， 硕士学位论文第三章带随机延滞的函数型随机条件方差自回归模型笪遍历丝 其中国：一。：k ，v l ，v k ) 忙：功，矗雠。) = 釜以k ) k e ，= _ ，聆二e id 一1丘+ z f 以“i - d + k ) + 艺五( k x 当l d s k ：时 气知。1 慨。l 芰：妣删 ， i ( y n - d - 1 ， ，y - 2 ，v o ，k + ，d j 当1 d k 2 时 峨4 1 2 1 。纠，以一i - d + k a + ：) 当_ | 。：s d 玎一2 时 那么p g 名a ，d ”2 磊【一p 仁。西，七一) p 卜。p ，- ；a “ ) = k i e e 。气密占“一札。歧卫崔高i i 子盟 碉1 协。) 卧h ，匕硌 错 志缈一) 【。酣 南i 丛；铲 志瓶， = n 氏( ) 气气。， ，z ” e e l 。七气掣 南觚儿“铡) 南地t ， l 一“剥 志帆卜【0 喘 志觚， 所以( 3 6 ) 成立 第二步，证明当栉= r + l 时n 步转移概率的表达式( 3 - 7 ) 式成立由( 3 - 6 ) 知 帅 ；枷吐，( v 螺弦【。 铲 南 工。吖生杀志严。【。哎错 南地) 那么，p “g 囊a ，d ) 2 三“，g ，。布，鼻p p ，一；a d ) = 丕【，气珥r 占“一札羔之丧掣 两者习。) 硕士学位论文第三章带随机延滞的函数型随机条件方差自回归模型的遍历性 螺弦嘞【， 铲) 南鲰。) 【。 ( 生意笋 南肌卜u 丝；掣 南鲰， = 。，骆”& 小剖 杰盹) 【。七掣 高施一。j j ( 丛；掣 志， 所以当h = r + l 时( 3 - 7 ) 式成立 第三步，证明当n r + 2 时玎步转移概率的表达式( 3 - 8 ) 式成立由( 3 7 ) 知 加慨；础 ) _ k 骆气。，j i ( 生：掣 志r + l y 屯- i e 6 y y w r + l ， r 、w ， l 。 气掣) 高肌卜l 气丢志删 妒慨a ，2 善p g ，。西， 妙p ，毛；a = 荟l 气 ：l 艿( v ，一钆堡之雀掣 而未习。) k 丢扩_ 错 志地) 。巧掣 南肌卜_ 堕群) 志蒯 = “毛扩【错 志地+ i ) 【，攻铡 南地卜l 攻错 南) 从而( 3 - 8 ) 对n = r + 2 时成立 假设( 3 - 8 ) 对n l o ，r + 2 ) 步成立，那么第胛步时有 州础 ) = k a , - 丢弦。1 4 错1 志l 地。)t d 1 e o r v 加， r 、w 一， 硕士学位论文 第三章带随机延滞的函数型随机条件方差自回归模型的遍历性 o 则有纵。x a ( a x 矗 ) o 设a x b 。x h 且。a “矗n 0 v & n r “x e 因为 矶、f o 是不可约 t 8 硕士学位论文 第三章带随机延滞的函数型随机条件方差自回归模型的遍历性 明， 3 n o 0 ，便得v n n o 伺秽 o 所以孤，如，k , - i e ，便得气巳b ，一“ o 由引理3 2 2 知 心j ；a 狐，【 ( 塾诌南舰。) l 0 ， 故肛o ) ，印o 强f o 是以+ 五一不可约的 由引理2 3 2 知似o ) ，刁o 巍f o 是非周期的 引理3 2 4 设 伍o ) ，7 7 e 巍f o 是模型( 3 2 ) 的导出序列，k 是r ”1 中的一 个有界集合且所。伍) 0 ，则v f e ，k f ) 是马氏链肛o ) ，可o 巍f o 的小集 证明：令人协耳+ x h ，且纵。x 2 ( a x t ，” o 由加 f o 的不可约性知 3 n 。 o ，使得锄，毋 o 所以了女1 一，k i e 使得气矗b p k ，户o 对v g ，f ) r ”1x e ，由引理3 2 2 知 川晰圳峨小( 生群 南觚- 1 ) 0 记 酏m 币铡 高 o 矛盾所以日取，0 o 从而 6 艇 j p o g ，f ；凡t ， ) 0 由引理2 3 3 知k 矗 为一小集 3 3 模型的伴随遍历性 定义3 3 1 设模型( 3 - 2 ) 有唯一不变概率分布，且对初始状态凰= x g r “凰o ) ，由模型( 3 2 ) 迭代产生的墨的概率分布为e 。，如果 劂k 。一硎，= o 则称模型( 3 - 2 ) 为伴随遍历的进一步，如果还存在常数 p , o p l ，使得蜘p 一只。- d ，= o ，则称模型( 3 2 ) 为伴随几何遍历的 2 0 硕士学位论文第三章带随机延滞的函数型随机条件方差自回归模璋! 的遍历性 运用一股状态与氏链的基本理论，我们得到了以f 的关于模型( 3 2 ) 的类似于带固 定延滞的时序模型的伴随几何遍历的一个充分条件 定理3 3 1 在模型( 3 - 2 ) 中，若满足： ( 1 ) v o i r ，i ，g 】 i 叫+ q ，窆 - 0 ( 2 ) v t3 1 0 ，司i o ，3 ：吼 f 1 一窆丑 一t 耐| j ：1 ，2 ，r 一1 j q ：乃+ 谢 q ， i - - o 取满足上述关系的t l o ，口1 ，口， 2 i 硕士学位论文第三章带随机延滞的函数型随机条件方差自回归模型的遍历性 则o 鱼筮立巡