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西南大学硕上学位论文 时滞反应扩散系统的边界控制 学科专业：运筹学与控制论 指导教师：谢成康教授 研究生：张阳阳 摘要 偏微分控制领域中一个值得研究的问题是对时滞系统的控制。一般时滞系统 的研究，对数学模型的依赖程度很高。目前较理想的控制方案主要是针对线性、 时不变和单输入单输出时滞系统。对偏微分时滞系统的研究还很少。 本文较系统地研究了一类时滞反应扩散系统的边界控制问题。注重其稳定 性，采用的基本理论是l y a p o u n o v 稳定性理论。整个控制过程，主要借助几 个重要不等式、递归估计、再生核空间数值分析、b a c k s t e p p i n g 设计方法、和 l y a p o u n o v 函数等研究方法。 特别对反应系数依赖于空间变量的时滞系统，做了一些有效的处理，比起 之前的工作，放宽了限制条件，更加具有现实意义。基本思路是借助一阶双曲 方程对输入时滞进行转化，将原时滞系统转变成不带时滞的p d e p d e 型级联 系统，再引入v o l t e r r a 可逆变换，把此级联系统转化成稳定的目标系统。利用 b a c k s t e p p i n g 方法设计控制器，在设计过程中产生了三个核函数，分别应用递归 估计法和再生核空间数值分析法，得到了核函数的适定性。 对系统的稳定性分析，是建立在s o b o l e v 范函意义下的，运用l y a p u n o v 能量 估计的方法，对原级联系统、目标系统和改进系统构造了三个l y a p u n o v 函数， 并巧妙构建三者间的泛函关系，说明了控制器能够保证原闭环系统状态全局指数 稳定。 最后，对实例进行了仿真模拟，验证了此边界控制的可行性。并对本文的工 作以及取得的主要成果进行归纳和总结，提出了有待进一步研究的问题。 关键词： 时滞；反应扩散系统；b a c k s t e p p i n g 设计方法；l y a p o u n o v 函数 两南大学硕十学位论文 a b s t r a c t d e l a y m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s s u p e r v i s o r ：p r o f c h e n g k a n gx i e n a m e ：y a n g y a n gz h a n g a b s t r a c t l m e t h et i m ed e l a ys y s t e mi sw o r t hs t u d ) r i n gi np d ec o n t r o ld o m a i n t h eg e n e a r a l r e s e a r c ho nt i m ed e l a ys y s t e md e p e n d so nm a t h e m a t i c sm o d e lm a i n l y a tp r e s e n t ， t h er e l a t i v e l yi d e a lc o n t r o ls c h e m em a i n l ya i m sa tt h et i m ed e l a ys y s t e mo fl i n e a r i t y , t i m ei n v a r i a n c ea n ds i s o h o w e v e r ，t h er e s e a r c ho nt i m ed e l a yo fp d ei sv e r y r a r e t h ed i s s e r t a t i o ns t u d i e so n ek i n do fb o u n d a r yc o n t r o lo ft i m ed e l a yr e s p o n s e d i f f u s i o ns y s t e m i te m p h a s i z e so nt h es t a b i l i t ya n db a s e so nt h el ) 7 a p o u n o vs t a b i l i t y t h e 0 1 i td r a w ss u p p o r tf r o ms e v e r a li m p o r t a n ti n e q u a l i t y , r e c u r s i v ee s t i m a t i o n ， n u m e r i c a la n a l y s i so fr e p r o d u c i n gk e r n e ls p a c e ：b a c k s t e p p i n gd e s i g nm e t h o d ，a n d l y a p o u n o vf u n c t i o ni nt h ew h o l ec o n t r o lp r o c e d u r e e s p e c i a l l y , c o m p a r e dw i t hf o r m e rr e s e a r c h ，t h et i m ed e l a yp r o b l e mw h o s e r e s p o n s ec o e f f i c i e n td e p e n d so ns p a c ev a r i a b l ei sd i s p o s e de f f e c t i v e l y ，a n dt h el i m i t i n g c o n d i t i o ni se x t e n d e d s o ，t h e r ea r em o r er e a l i s t i cs i g n i f i c a n c e t h eb a s i cm e t h o d d r a ws u p p o r tf r o mt h a to n e o r d e rh y p e r b o l i ce q u a t i o n st r a n s f o r mi n p u tt i m ed e l a y t h ef o r m e rt i m ed e l a ys y s t e mi st r a n s f o r m e dt oap d e p d ec a s c a d es y s t e m w i t h o u tt i m ed e l a ys y s t e m t h e nt h ei n v c r t i b l et r a n s f o r mo fv o l t c r r ai su s e da n d t h ec a s c a d es ) ，s t e mi st r a n s f o r m e dt oas t a b l et a r g e ts ) r s t e m t h ed e s i g np r o c e d u r e g e n e r a t e st h r e ek e r n e lf u n c t i o n si nu s a g eo fb a c k s t e p p i n gm c t h o dd e s i g nc o n t r o l l e r t h et h r e ek e r n e lf u n c t i o n sa r ea p p l i e dw i t hr e c u r s i v ee s t i m a t i o na n dn u m e r i c a la n a l y s i so fr e p r o d u c i n gk e r n e ls p a c ea n dt h ew e l lp o s e d n e s so ft h ek e r n e lf u n c t i o n si s o b t a i n e d t h es y s t e ms t a b i l i t ya n a l y s i si sb a s e do nt h es o b o l e vf u n c t i o n a l l y t h ee n e r g y e s t i m a t i o nm e t h o di su s e da n dt h et h r e el y a p u n o vf u n c t i o n sa r ec o n s t r u c t e db y f o r m e rc a s c a d es y s t e m ，t a r g e ts y s t e ma n di m p r o v e ds y s t e m b e s i d e s ，t h ef u n c t i o n a l 两南大学硕十学侍论文a b s t r a c t r e l a t i o n sa m o n gt h et h r e el y a p u n o vf u n c t i o n sa r ed e t e r m i n e ds k i l l f u l l y t h ec o n t r o l l e rc a ng u a r a n t e et h ew h o l es i t u a t i o ni n d e xs t a b i l i t yo ft h ef o r m e rc l o s e d l o o p s y s t e mi sp r o v e d a tl a s t ：t h ee x a m p l e sa r es i m u l a t e d ，a n dt h ef e a s i b i l i t y 。o fb o u n d a d ；c o n t r o li s c o n f i r m e d t h ec o n t e n t sa n dm a i na c h i e v e m e n t so ft h ed i s s e r t a t i o na r es u m m a r i z e d ， a n dt h ef a r t h e rr e s e a r c hi sp r o p o s e d k e y w o r d s ：t i m cd e l a y ；r e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m s ；b a c k s t e p p i n gc o n t r o ld e - s i g n ；l y a p o u n o vf u n c t i o n u 1 摘 要 a b s t r a c t 目录 第1 章绪论 1 1 课题研究背景及现状 1 2 。b m 2 k s t e p p i n g 控制器设计原理概述 1 3 本文研究的主要内容 第2 章预备知识 2 1 基本不等式 2 ：2 再生核空间 2 3 稳定性 2 4 一阶双曲方程与时滞系统 第3 章反应系数依赖于空间变量的时滞系统的边界控制1 0 3 1 问题的提出及控制设计1 0 3 2 核的求解1 2 3 2 1 反步求解偏微分方程1 2 3 2 2 求解核函数k ( x ，y ) 1 4 3 2 3 求解核函数7 ( z ，y ) 1 5 3 3 稳定性分析1 7 3 4 仿真模拟2 6 结语2 8 参考文献 攻读硕士学位期间的工作 致谢 2 9 3 2 3 3 i 一 1 1 2 4 5 5 6 6 8 西南大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 分布参数系统大量存在于我们的生活中，包括电磁场、温度场等物理场，弹 性梁型的运动体，大型加热炉和汽轮机，化学反应器中的物质分布状态等。这些 受控对象或控制器需要用分布参数描述，在实际控制中除受控对象外，执行机构 也可能是分布参数系统的形式。但是在分布参数控制系统中引入反馈作用比在集 中参数系统中复杂得多，而且由于大多数情况下控制器和榆测装置都采用集中参 数模式，对于分布参数系统就更不易实现完整的状态反馈和输出反馈，系统的能 控性和能观测性都比较弱。分布参数控制系统的综合设计问题的不确定性很大， 在这个领域中可用来解决工程实际问题的成果还不多。因此，分布参数系统的控 制问题得到了广泛的重视，控制学者们为此做了大量的工作，提出了各种各样的 控制方法，这极大地推动了分布参数控制理论及其应用的发展。 本章主要参考了【1 1 、2 1 、 7 】、【2 0 】、f 3 2 1 、f 3 5 等文献。 1 1课题研究背景及现状 由于状态空间与状态变量概念的引入，可以直接用微分方程来描述控制系统 的运动规律。状态空问的方法比曾经在控制领域占主导地位的频率域理论更加具 有一般性、严密性，可以深刻的反应系统内在的结构，并应用到任何一个具体的 控制系统中去。现代控制理论发展很快。目前集中参数系统的控制设计与分析都 已经形成了一套完整的理论体系，并在实际应用中得到了广泛推广。 随着科学研究领域逐渐扩大，科学技术要求越来越精确，更多系统的运动 规律需要用分布参数方程来描述。多年来，分布参数系统理论的建立和发展引 起了国内外控制学科学者的极大兴趣。b a i a k r i s h n a n 建立了这一问题有价值的 基本理论体系，并开创了把半群方法应用于分布参数系统控制问题研究的先河 ( 见i s 一f 1 0 1 ) ；关肇直、张学铭、宋健等由线性算子的紧扰动的理论与半群理论得 到系统可镇定的条件以及可控、可观测的条件；钱学森最早使用无穷阶传递函数 讨论热传导过程的分布参数问题；对于分布参数系统的辨识，王耿介曾建议用于 石油探测中，并提m 用边界定位作为控制研究的方法。由于物理本身和技术水 平的原因，很多控制只能在系统边界上实现，边界控制问题便得到越来越多的 学者广泛关注和研究。近十年，国内外，如mk r s t i c ，a s m y s h l y a e v ，郭宝珠， 刘伟久等人在偏微分方程边界控制问题上已经作出了很多可供参考的重要成果 ( 见1 2 1 - 1 5 1 ) 。现代偏微分方程和泛函分析理论成果的应用，为分布参数系统建立 西i 柯大学硕士学传论文 1 2 b a c k s t e p p i n g 控制器设计原押概述 了严格的理论基础，提供了有力的研究工具。在分布参数系统的镇定、最优控 制、能控性和能观测性以及分布参数的辨识和滤波问题上，都已取得类似于集中 参数系统的成果。 7“ 一一 在系统运作过程中包含因在某种场内传递而造成时滞，这种系统的时滞现 象广泛存在于现实世界中，时滞系统的数学模型属于无穷维泛函微分方程范 畴，相对于常微分方程，系统具有复杂的特性和动态性能，这对系统分析和 相应的控制系统综合问题提出了巨大的挑战。长期以来，时滞系统一直是控制 学界关注的热点问题。从s m i t h 首次提出针对时滞的预估计控制方法以来，相 继出现了自适应控制方法、智能控制方法、p i d 控制等。近几十年，o d e 系 统输入时滞或者输出时滞的研究得到很好的发展，形成了成熟的控制设计构架 ( 见 2 3 - 2 9 ) 。z a r t s t e i n 研究过线性系统时滞的控制( 见 2 1 1 ) ，y a f i a g b e d z i 和 a e p e a r s o n 对线性自治时滞系统进行了反馈稳定性分析( 见f 2 2 ) ，l m i r k i n 将 近似方法应用于设计分布式时滞的控制律( 见f 3 0 1 ) 。p d e 时滞系统的研究也有 了一定进展。在研究梁方程稳定性的时候，郭宝珠等人处理过输出时滞的情况 ( 见 3 5 1 ) ；mk r i s t i c ，y y z h a n g 和c k x i e 等也研究过反应扩散方程的时滞问 题( 见 3 2 ， 3 6 ) 。 具有时滞的偏微分控制，是一个新的领域，偏微分时滞系统控制问题的结论 还很少，目前还有很多悬而未决的问题，因此该领域需要学者深入研究。 1 2 b a c k s t e p p i n g 控制器设计原理概述 b a c k s t e p p i n g 设计方法又称反推设计方法，由k o k ot o v i c 等人于1 9 9 1 年首先 提出，引起了众多学者的重视，得到广泛的应用，并被推广到自适应控制、鲁棒 控制、滑模变结构控制等领域。它既综合考虑控制律又考虑自适应律，是针对不 确定性系统的一种系统化的控制器综合方法，是将l y a p u n o v 函数的选取与控制 器的设计相结合的回归设计方法，使整个闭环系统满足期望的动静态性能。其基 本设计思路是从一个高阶系统的内核开始( 通常是系统输出量满足的动态方程) ， 设计虚拟控制律保证内核系统的某种性能，如稳定性、无源性等；然后对得到的 虚拟控制律逐步修正算法，但应保证稳定性能；进而设计出真正的镇定控制器， 实现系统的全局调节或跟踪，最终使系统达到期望的动静态性能指标。 b a c k s t e p p i n g 方法最先是针对单输入系统提出的，其后被推广到多输入系 统，但系统结构仍需满足所谓的块严格反馈条件，这在很大程度上限制了这一方 2 西南大学硕士学位论文1 2 b 孙c k s t c p p i n g 控制器设计原于甲概述 法的应用范围。受到这种b a c k s t e e p i n g 设计思想的启发，当前偏微分边界控制理 论也借助这一设计方法处理管流控制、化学反应控制、热传导控制以及许多高维 偏微分控制等。其核心思想是由简单系统的稳定性推出复杂系统的稳定性，并在 转换和匹配边界的反向递推过程中，设计得到最终的控制器以及需要的控制律。 在设计控制的过程中需要用到积分器，使得虚拟的中间控制量步进式的跨过被控 系统。我们先看一个简单的不稳定偏微分方程的b a c k s t e p p i n g 控制设计，如下的 反应扩散方程 i t t ( x ，t ) = ? l , x x ( z ，t ) + 入1 z ( z ，t ) u ( o ：t ) = 0 u ( 1 ：t ) = u ( t ) ( 1 2 1 a ) ( 1 2 1 b ) ( 1 2 1 c ) 其中入是一个任意常数，u ( t ) 是控制输入，开环系统( 1 2 1 a ) 和( 1 2 1 b ) 在 入7 r 2 的情况下是不稳定的。入u 是不稳定的根源，边界反馈的目的就是消除这个 扰动项。b a c k s t e p p i n g 方法的主要思路就是利用v o l t e r r a 积分变换 ，z w ( x ，t ) = 乱( z ，t ) 一尼( z ，y ) u ( y ，t ) d y ( 1 2 2 ) j 0 以及反馈控制 u ( 1 ：t ) = 南( 1 ，) 钆( y ，) d g ( 1 2 3 ) j 0 把系统( 1 2 1 a ) 和( 1 2 1 b ) 转变成目标系统 w t ( x ，t ) = w 茁霉( z ，t ) w ( o ：t ) = 0 w ( 1 jt ) = 0 目标系统是稳定的，其稳定性将在下一章介绍。 图1b a c k s t e p p i n g 控制设计的系统结构图 3 ( 1 2 4 a ) ( 1 2 4 b ) ( 1 2 4 c ) 西南大学硕士学位论文 1 3 本文研究的丰要内容 值得注意的是边界条件( 1 2 1 b ) ，( 1 2 4 b ) 和( 1 2 3 ) ，( 1 2 4 c ) 被( 1 2 2 ) 所确定。 综上所述，要设计得到控制器( 1 2 3 ) ，就需要找到反步变换，关键就在于变换中 的核函数k ( x ，y ) 的求取。b a c k s t e p p i n g 边界控制的系统结构图如图1 所示。 1 3本文研究的主要内容 反应扩散模型是一类非常重要并且应用十分广泛的偏微分方程，它描述人体 或动物等复杂组织的发育形成过程，生态学中物种数量的变化，以及许许多多的 化学反应。热传导的模型最为直观常见，在许多试验中，热源从高温处向低温处 传播，在空间分布中极度变化、扩散，使整个空间分布温度极其不平衡。又加上 控制输入长时间的滞后，此类模型更加复杂。本文针对反应系数依赖于空间变量 的时滞系统，做了一些有效的处理，比起之前的工作，放宽了限制条件，更加具 有现实意义。 全文分为三章： + 第一章简述了课题研究的背景及现状、b a c k s t c p p i n g 控制器设计原理以及本 文研究的主要内容。 第二章预备知识介绍了本文所涉及的基础理论，包括晕要的不等式、稳定性 的概念和再生核空间，为后面的研究讨论做好准备；还介绍了一阶双曲方程与时 滞系统存在的联系，通过一阶双曲方程对时滞的简化，可以使原时滞系统转变成 不带时滞的级联系统。 第三章是在第二章讨论时滞的基础上，引入反应系数依赖于空间变量的反应 扩散方程的输入时滞问题，首先借助一阶双曲方程对输入时滞进行转化，将原时 滞系统转变成不带时滞的p d e p d e 型级联系统，再引入v o l t e r r a 可逆变换，把 此级联系统转化成稳定的目标系统。利用b a c k s t e p p i n g 方法设计控制器，在设计 过程中产生了三个核函数，分别应用递归估计法和再生核空间数值分析法，得到 了核函数的适定性。对系统的稳定性分析过程中，运用能量估计的方法，巧妙构 造了三个的l y a p u n o v 函数，构建其泛函关系，说明了控制器能够保证原闭环系 统状态全局指数稳定。最后，对实例进行了仿真模拟，验证了此边界控制的可行 性。并对本文的工作以及取得的主要成果进行归纳和总结，提出了有待进一步研 究的问题。 4 两南大学硕七学位论文 第2 章预备知识 第2 章预备知识 2 1 基本不等式 本节将介绍几个著名的不等式。 y o n g 不等式对任意的e 0 和( z ，y ) r 2 ，有 z y 弘l p + 二q e q 其中p l ，q 1 ，且满足( p 1 ) ( g 1 ) = 1 。特别的，令p = q = 2 ，e 2 = 2 a ( a 0 ) ，则不等式变为 x y a x 2 + 去y 2 h & l d e r 不等式对任意的u 和w ，在q 上有连续微分， l 上t 舢如l ( zm 阳z ) ；( z q 如) j 即 i i f g l l l 。i i f i l l ，蚓k 其中p 1 ，g 1 ，且满足石1 + ；= l 。 c a u c h y - s c h w a r t z 不等式( h 6 l d e r 不等式的特殊形式) 令p = q = 2 ， 则不等式变为 卜如f ou 2 d x ) ；( 弘d z ) 5 q = 【0 ，1 ， w i r t i n g e r 不等式( p o i n c a r e s 不等式的一种变形) 对任意在 0 ，1 】上连续可微的函 数w ，有 1 w 2 如叫2 ( 。) + 砉1 砭如 a g m o n s 不等式对任意函数w ，1 ，有 z m 【o a x l 】i 叫( z ，t ) 1 2 2 ( o ) + 2 l l w ( t ) l l l l w = ( t ) l l ， 蹦，t ) 1 2 w 2 ( 1 ) + 2 l l w ( t ) j l l l w = ( t ) i 这些不等式都可以任意变形，在本文控制器的设计过程中起了很大的作用。 5 塑塑圭堂垡堡奎 2 2 再牛核窄问 2 2 再生核空间 这里给m 本文中要用到的几个再生核空间。 ( 1 ) 翟 o ，1 】全 7 ( y ) | 7 ( y ) 是 o ，1 上绝对连续实函数，且，y ，( y ) l 2 o ，1 】) ，其内 积定义为 r 1 ( 7 ( y ) ，( ) ) 孵= ( v f l + 7 7 7 ) 匆，”，删f o ，1 文【3 1 j 中证明了w o ，l 】是一个再生核空间，并给出其再生核表达式 1 吼( s ) 2 两矗( c o s h ( s + y 一1 ) + c o s h ( i s 一可| - 1 ) ) 其中再生核心( s ) 对孵 o ，1 】中的元素具有再生性，即 ( 7 ( s ) ，心( s ) ) 。= 7 ( s ) ：v - r ( s ) 孵f o ，1 ( 2 ) 暇o o ：1 全( 7 ( 可) l7 ( o ) = 7 ( 1 ) = o ，r ( y ) 是f o ，1 】上绝对连续实函数，且 ，y 朋( ) l 2 o ，1 ) ，其内积定义为 b ，；| 3 、) w ? o = | h 8 + 3 7 8 i + 3 3 “8 “+ y 8 m 、) d 翟+ 其中v7 ，w 2 j o , 3 o ，1 】，w , 2 0 3 o ，1 】是一个再生核空间。 ( 3 ) 嚷o o ，1 垒 7 ( 剪) l7 ( o ) = 0 ，y 7 ( ) 是 o ：1 】上绝对连续实函数，且y ( y ) l 2 o ，1 】) ，其内积定义为 ，1 ( 7 ( ) ，p ( ) ) 崆。= 正( 7 p + 2 7 7 7 + 7 f l ) d 炒，v 3 ，p 墨o o ，i 】 t ，0 其中w 2 o , 2 o ，1 是一个再生核空间。 ( 4 ) 二维再生核空间 ( ，) ) 全叼【o ，1 o 叼 o ：1 具有再生核为晚( ) 兄( 叩) ，其中d = o ，1 o ，1 。 2 3稳定性 在分析偏微分方程的稳定性之前回顾一下基本的常微分方程的稳定性。 ( 2 3 1 ) 描述的是一个简单的线性常微分方程： 圣= a x ，x 1 1 竹 6 ( 2 3 1 ) 西南大学硕士学位论文 2 3 稳定性 对于方程( 2 3 1 ) 的平衡点z 。= 0 ，如果存在两个正数q 和入，使得 x ( t ) l l o l l z ( o ) l l e 一：t2t o 其中x ( 0 ) 是初始值，则称该平衡点z 。在t o 是指数稳定的。 注：这里的”i f 是欧几里得范数。 如果在邻域uc 酞“内存在一个具有连续一阶导数的标量函数y ( x 1 ， 且v ( 0 ) = 0 ，并满足 ( 1 ) y ( x ) 为正定函数； ( 2 ) 它沿系统解的导数矿( z ) 在邻域u 内负定， 那么原点x 。= 0 为渐近稳定的。 注：需要指出的是，指数稳定性蕴含着渐近稳定性，但渐近稳定性并不能保证指 数稳定。 在检验稳定性的时候，我们通常借助l y a p u n o v 方程，即对于任意给定的正 定对称矩阵q ，存在正定对称矩阵p 满足 p a + a 丁p = 一q ( 2 3 2 ) 那么可以选取l ) r a p u n o v 方程v = z 丁p z ，即v = 一z 丁q z ，我们只要找到p 就 很容易说明系统的稳定性。对于偏微分控制系统的稳定性分析既有相似处又不尽 相同，可以借助这种分析方法抽象的应用于偏微分控制系统。因为我们无法对 无限维的方程( 2 3 2 ) 求解p ，这里的状态变量空间不是欧几里得空间而是函数空 间，状态变量的范数也不是欧几里得范数而是函数范数。我们知道，在有限维空 间中范数都是等价的，而无限维空间中的范数，如l 1 ，l 2 ，l o 。等等都是不一 样的。一般地，我们是在s o b o l e v 空间中用能量估计方法分析偏微分方程的稳定 性。 现在我们借助能量估计法分析一个简单的偏微分方程的稳定性 “赴( 丁，t ) = 1 口z 。x ，l ! ) ，z ( 0 ，1 ) w ( 0 t ) = 0 w ( 1 ，t ) = 0 1 西南大学硕十学位论文2 4 一阶双曲方程与时滞系统 考虑l y a p u n o v 函数v = j 1f ow 2 ( x ，t ) d x ，对t 求偏导，有 矿= 面d v = f x w ( z ，) 伽t ( z ，) 如 = 一z 1 吼如 一三p 一 4 ，o 一 o ，i = l ，2 ，3 ， ( 3 2 1 5 ) 引理3 2 2 吼) 墨1 在w i ( d 1 ) 中完全。 证明设盯( y ，t ) 啊( d 1 ) 满足( 吼吼) = 0 ，i = l ，2 ，3 ，则 ( 仃，l + r ) = 0 所以 ( l 盯，r ；( y ) r t 。( ) ) = ( l a ) ( y i ，t i ) = 0 由 ( 玑，t i ) ) 墨1 在d 中稠密得：在d 中，l a = 0 。由假设方程( 3 2 1 3 ) 的解唯一 可知，三为单射，所以o r = 0 。口 引理3 2 3 方程佃2 5 j 的解为 触：壹匿训圳玩 i = 1l j = l j 证明由 ( ，a j ) = ( p ，l + r s ) = ( l 3 ，弓) = ( f ，r 协( ! ，) r o ( t ) ) = f ( y y ，巧) 可得： 所以 ( p ，瓦) = ( ，) = 5 0 f ( y j ，t j ) c y ，t ，= 喜c ：万，万= e ；霎f - 5 0 f ( y j t s ) 1k j = 1 瓦i = 1t = j 引理3 2 4 抛物型偏微分方程p 2 j 别在孵中有解 7 ( 可，) = 角( ) + 0 0l i ，( 协，岛) h 忙z “ r1 i = 1l j = 1 j 1 6 耍堕- 火堂堕兰堂笪笙奎 3 3 稳定性分析 3 3 稳定性分析 首先，找到逆变换( u ，u ) h ( w ，z ) “( 州) = 吣+ 工川比地z 0 ，1 u ( z ，) = z ( z ，) + 士g ( z y ) z ( y ，t ) d y + f 0 1 5 ( z ，) “，( y ，t ) r 勿，z 1 ：1 + 。 通过类似前面的计算得到核函数f ( z ，y ) 满足如下双曲型偏微分方程