（计算数学专业论文）基于包含度的模糊不确定性度量.pdf

蓖北大学硕士论文 摘要 信患辩学研究的主要问题就是消除不确定性，获得信息。德量信息量多少的 重要指标就是不确定性的大小，因此研究不确定性的度量问题便成为研究信息论 的最基本问题。信息的不确定性有多种形式：诸如随机不确定性、模糊不确定性、 分辨不确定性等。随机不确定性方露酶研究已褥到完善的发展与应用，随着生产 和科技的发展，信息的不确定性更加复杂化，多样化，特别是模糊不确定性阀题， r 益受到人们的关注。模糊信息论就是利用模糊数学这一工具来研究带有模糊不 确定性懿信息。麓和距离测度常被人们瘸来反映模糊不确定性。本文主要从模糊 集合间的相互包含关系出发，来讨论度量模糊不确定性的新方法。 在第二章，依据包含度与模糊熵的公理化定义，讨论了包含度的几个重要的 性质，对包含度与模期熵的相互关系进行了研究，得到了新的包含度公式和熵公 式，并举例说明新的包含度公式和熵公式具有更好的分辨力。 在第三章，基于普通模糊集相关理论，定义了直觉模糊集下的一熵、巧一 距离、拶一包含度，从包含度诱导出了熵和距离公式。并且绘出由壹觉模糊集的、 熵表示距离的定理和例子 关键词：模糊集，模糊熵，距离测度，包含度 i l 西叠乏大学硕士论文 t h em e a s u r e m e n to ff u z z yu n c e r t a i n t y b a s e i d i 糕l 程e l 珏s i o 魏g 魏d e s a b s t r a c t 霹l e 糯a i n a 呔鹾 i 藏f o 锄a 圭i o ns c e n c ei sl oc l e a fl h e 珏魏舷i 露l ya 柏擎l 凌e i 1 1 f o r m a i i o n h o wm u c ho ft h eu j l c e r t a i n t yi so n ei m p o n a n tj n d e xt om e a s u r e i n f b n n a l i o n s ot h eq l l a l l t i z a t i | o 髓o ft h eu n c e r t a i n t yi st h eb a s i ep o i n li ni n f b n 飘a l i o n l h e o f y l e 珏n c e n a i 髓l yo fi n 两渤a 耄i 。nh a s 掰熊yf 。蕊s ， s u c ha s p f o b a b i l i s l 主c u n c e r t a i n t y f b z z yu n c e r t a i n t y ；r e s o l u t i o n a lu n c e r t a i n t ya n ds 0o n ? n l er e s e a r c ho nt h e p f o b a b i l i l i cu n c e f t a i n l y 量l a sg d lf u l l yd e v e l o p e da n da p p l i e d + w i t ht h ed e v e l o p l 瓢e 藕to f s c i e n c ea i l dt e c h n o l o g y ，t h eu n c e r t a i n t yo fi n f o 潮a l i o nb a c o m em o m ea n dm o r e c o m p l i c a t i o n a n dd i v e r s i f i c a t i o n ， e s p e c i a l ly ， t h e f i l z z yu n c e r t a i n t y a r o s e m a i l y r c s e a f c h e 硌a l l e n t i o n h z z ym a l h e m a t i ca c l sa s 毳l o 证d e a l i 鸥w i l ht h e 主l l f o f m a l i o f & z z yu n c e r t a i n t y e n t r o p ya n dd i s t a n c em e a s u r cc a l la l s ob eu s e dl o f e f l e c tt h e f u z z yu n c e r t a i n t y s e v e f a la s p e c l s 醴唾l l 勰l i l a l i v e 燃e a s u r e so f 翘z z i 懿e s sh 砸b o e 珏s l u d i e d 纽凌i s p a p e r ： l i lc h a p t e rt w o ，b a s e do na x i o m a t i z a t i o nd e f i n i t i o n so fi n c l u s i o n 伊a d e s ，s e v e r a l p 约p e 纛l e so fi 珏e l 珏s i 潍謦鑫莲。s 主s 莲l s c 毽s s e d 。a 羹d 羲珏薛s l 珏d y i 蕤g 凌e 您l 叙i o 蕤s h b e t w e e nf u z z ye n t f o p ya n di n c l u s i o ng r a d e s ，n f 燃rf b 册u l a so fe i l t r o p ya n di n c l u s i o n 伊a d e sh a v eb e e no b t a i n e d i tc a nb ef o u n dt h a tt h en e wf o r m u l a sh a v es t r o n g e r 砖s 0 | v i 蕤g 弦w 莨ye x a m p l e 。 i nc h a p t e rt h r e e ，b yu s i n gt h et h e o r yo ff u z z ys e t s ， w ed e f i n e di n t u i t i o n i s t i cf u z z y 盯一e n t r o p y ， 仃- d i s t a n c e sm e a s u r ea n d仃一i n c l u s i o n 謦a d e s s o m ep r o p e n 主e so f 氇e m 纛a v eb e e 羟d i s c 鼍薹s s e 也l 珏e a 鼓w 轰i l e ，l 囊el h e o f e m 醴d i s l a 麸c _ cl l l e a s 疆r ew h i 馥主s r e d u c e db ye n t r o p yw a s 百v e n ，s e v e r a le n t r o p ya n dd i s t a n c em e a s u r ef o r m u l a sw e r e r e d u c e dt h r o u g hi n c l u s i o ng f a d e s k e y w o r d ：f t | z z ys e s ，f b z z ye n l p y ，d i s t a n c e 搬e a s h f e ，l n c l t l s i o 飘黟a d e s l l l 螽北大学颈士沦文 西北大学学位论文知识产权声明书 本入完全了解学校有关保护知识产：敉的规定，即：研究生在校攻 读学位；l ) j 间论文工作的知识产权单位属于两北大学。学校有权保留并 向国家了f 关都| 、j 或桃构送交论文的复印件和电子舨。本人允许论文被 查阅和f 持阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采惩影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待勰密后适用本声明。 ， 学位论文作者签名：遮邋 。指导教师签名： 聋鱼! 垒 溯年多是二蜀 枷悔6 胃6 匿 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所星交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成巢。据我所矮，除了文孛特掰翔戮标注帮致落的楚方餮，本论文不包含其她太已经 发袭戚撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用道戆越辩。与我一藏工律的同志对本研究所徽的任何贡藏均已在论文中终了明确 的说砒j 并表示谢意。 学位论文作者签名： 年月豳 瑟北大学硕士沦文 第一章绪论 重。董闯逶背景 1 9 4 8 年，s h a n n o n 发表了著名的论文通讯中的数学理论 1 ，为信息论的 研究奠定了理论基础，经过半个世纪的发展，形成了较为完善的以通信理论为核 心的经典信息论。信息科学研究的主要问题就是消除不确定性，获得信息。在当 今的信息社会中，信息不确定性的内容更加复杂化，形式更加多样化，诸如分辨 不确定性，模糊不确定性等非概率不确定性的出现，暴露出经典信息论的局限。 如何解决模糊不确定性问题，曰益受到人们的关注。 z a d e h 教授于1 9 6 5 年提出了模糊集理论 2 ，为模糊不确定性的研究提供了有 力的数学工具。在随后的几十年中，得到了广泛的应用和发展。模糊概念可以用 集合来描述，即集合可以表现概念，一个概念有其内涵与外延，内涵指的是符合 此概念的对象所具有的共同属性，外延指的是符合此概念的那些对象的全体。模 糊集理论不对事物作简单的肯定与否定，丽是耀隶属度来反映菜一事物属于某范 畴的程度，用这种办法来表示客观存在的模糊性。虽然模糊集能较好的表示模糊 性，但它采用单值的隶属函数表示“一定程度上属于”的关系，即单值的隶属度 包含了元素隶属于集合熬证据，也包含了反对元素隶属于集合的证据，但不可能 表示其中的一个，更不可能同时表示支持和反对的证据，描述隶属信息具有不充 分性。为了解决模糊集的这种缺陷，许多学者从不同角度提出了模糊集的扩展。 1 9 7 5 年，z a d e h 引入了区闻值模糊集 3 】，用一个 0 ，1 内的闭子送闻表示 一个元素隶属于一个集合的程度，其下端点表示对象属于的必要性，上端点表示 对象属于的可能性。保加利亚学者a t a n a s s o v 4 于1 9 8 6 年提如一种薪的模糊信息 处理理论一直觉模糊集，采用两个数来刻画一个元素属于模糊集的情况，引入隶 属度和非隶属度的概念。从而可以描述模糊集所不能反映的“非此非彼 的“模 糊概念，更加细腻地刻画了客观世界的模糊性本质，丰富了模糊集理论。1 9 8 9 年，a t a n a s s o v 和g a r g o v 5 指出区间值模糊集和直觉模糊集是模糊集推广中的两 个等价的一般化。 g a u 等 6 3 子1 9 9 3 年提离v a g u e 集，作为一种模糊信息处理理论。 l 西北大学硕士论文 在v ；g u e 集中，论域内的元素与论域上的集合之间的关系是“在一定程度之内范 围属f 二的关系”，它的隶属程度采用区间的表示形式，这个区间既给出了支持证据 的程度，同时也给出了反对证据的程度，而且能够表示和处理模糊集无法表示和 处理的模糊信息。b u s t i n c e 等 7 证明了v a g u e 集与直觉模糊集在定义上是等同的， 本质匕是一致的，只是采用了不同的表达方式。本文在以后的讨论中将不再区分 v a g u e 集与直觉模糊集，将两者统称为直觉模糊集。目前，直觉模糊集在模糊性的 表示和处理方面的优势逐渐受到重视，在理论方面，直觉模糊集得到不断的发展； 在应j j 方面，直觉模糊集主要在模式识别、聚类分析、决策和医疗诊断等领域取 得了较好的应用效果。 模糊集理论对于非概率信息论问题，特别是模糊信息论的研究发挥着巨大作 用。在模糊信息论中，一个重要研究方向就是有效度量模糊不确定性关系。模糊 测度中的熵，距离，相似度，贴近度，散度等作为度量模糊不确定性的传统工具， 被广泛采用，许多学者对其性质及相互关系作了深入研究，加深了人们对模糊不 确定性的认识。 基于模糊集理论，张文修等提出了包含度理论 8 ，在经典集合的包含关系中， 要么“包含”，要么“不包含，二者必居其一。这种极端的分界，将“关系 过 于简单化。例如，我们说“会飞的鸟是鸟”，因为“会飞的鸟”是“鸟”的一部分， 但是“鸟”并不一定是“会飞的鸟”，按照传统的包含关系，是不能得到“鸟会飞” 的结论的，因为确实有一些种类的鸟是不会飞的，这给人们思考问题带来很大的 限制。然而，事实上9 9 以上的鸟是会飞的，即鸟包含于“会飞的鸟”的包含度达 到0 9 9 以上。所以人们经常使用“乌会飞 的断语。将包含关系引入模糊集合中 并予以度量化，从而包容了“关系”的不确定性，成为研究不确定性推理和复杂 系统的新方法。y o u n g 和f a n 等均对包含度作了深入研究 9 1 0 ，形成了较为完 备的包含度公理化定义。 本文主要通过模糊数学中一些比较熟悉的理论，从模糊集合间的相互包含关 系出发，来研究如何运用包含度测量模糊不确定性。同时，指出目前存在的问题 及今后的研究方向，以便为大家进步研究提供参考。 2 西北大学硕士论文 1 2 基本知识简介 设彳是论域x 上的一个模糊集指的是，对于任何x x ，都指定了一个数 线o ) 【0 ，1 】与之对应，称心o ) 为x 对彳的隶属度，即存在一个映射： 心：x - 【0 ，1 】 x 一( x ) 这个映射称为4 的隶属函数。模糊集完全由隶属函数所刻画，特别当心的值域 为 o ，1 ) 时，彳便退化为一个分明集合。因此，分明集合是模糊集的特殊情况。 为叙述方便，我们记论域x 上的全体模糊集为f ( x ) ，全体分明集为p ( x ) 。 尺+ = 【o ，+ ) ，一个模糊集彳叫做彳的锐化，如果满足条件：对任意的x x ， 当心( 工) s 三时，有心o ) s 蝴o ) s 丢；当心o ) 苫三时，有心扛) 心( 石) 三。 彳称为彳的补集，即对任意的x x ，有心。( z ) = 1 一心 ) 。 在模糊集f 仁) 上定义下列运算 口 6 = m i n ( 口，6 ) ，口v6 = m a ) 【( 订，6 ) ，口，6 x 。 模糊熵是反映模糊集的模糊程度的量。距离测度是描述两个模糊集合差异程 度的量。相反，贴近度，也称相似度，是描述两个模糊集合相似程度的量。由于距 离测度与贴近度恰好分别从相互对立的角度描述两个模糊集合问的关系。因此， 本文只讨论距离测度。 刘学成( x cl i u ) 于1 9 9 2 年在文【1 1 】中给出了模糊熵，距离测度，贴近度的公理 化定义，引述如下。 模糊熵是一个映射p ：，( x ) 一 o ，1 ，它满足对任意的彳f ( x ) 有下面四条性 质： ( e p l ) p 似) = 0 营心 ) = o 或1 ，vx x ， ( e p 2 ) e ( 爿) 2 1 营心 ) 2 0 5 ，vx x ， ( e p 3 ) 口) e 似) ，其中彳为彳的锐化， ( e p 4 ) p ( 彳) = e ( 爿) 。 模糊集f ( x ) 上的距离测度是一个映射d ：f ( x ) f ( 彳) 一 o ，1 ，它满足下面 3 嚣北大学硕士论文 四条性质： p p l 器掣，踯。蠢棒，么羔对任意酶建嚣f 僻) ， ( d p 2 ) d 即，彳) 一o ，对任意的爿f ( x ) ， ( d p 3 ) d ( d ，d 。 m1 1 1 a x ( 矗( 爿，b ) ) 一l ， 对任：意的4 ，b f ( x ) ，d j p ( x ) ， p p 对在意的么，嚣，e f g ) ，如果满是叠c 8ce ，煲| j 有 d ( 爿，艿) 墨d ( 彳，c ) ，且d ( b ，c ) sd ( _ ，c ) 。 模糊集f ( x ) 上的贴近度是一个映射s ：f ( x ) f ( x ) _ 【o ，l 】，它满足下强四条 性质： ( s p l ) s ( 彳，曰) 一s ( 四，彳) ，对任意的彳，口f ( ) ， ( s p 2 ) s 翟，国。薹，对任意的z f ) ， ( s p 3 ) 5 ( d ，萨) 一m a x s ( 彳，嚣) ) 一l ，对任意的囊，君芦 。) ， 蝴，b ，( x ) ，则c 1 也是f ( x ) 上的包含度。 证明设爿c b ，则q ( 彳，b ) = 互兰霎毛害岛= 1 ，即q 满足c c p l ，； 由于c 。( x ， 。 ) = 虿三 毒害尚= 。，这表明c ，满足c c p 2 ，； 1 1 西北大学硕士论文 设爿c 口c c ，那么c 。( c ，b ) = 互三擘詈茜芑互三擘詈善鲁巧= q ( c ，b ) ， 从而c 1 满足( c p 3 ) ， 定理2 7 设c 为f ( x ) 上的包含度，c ：，c ，分别定义为 c ( 彳b ) 2 i i ：一v 4 ，b f ( x ) 1 + c 2 ( 彳，b ) 】1 1 一主c ( 彳，b ) i 乞( 彳，曰) = i ；当暑裔( 口 。) ，w ，b f ( x ) ， 则c ：，c ，都是f ( x ) 上的包含度。 乖明娄似干帝理26 。 2 3 包含度诱导的模糊熵 z a d e h 于1 9 6 8 年首次提出用模糊熵来度量模糊信息，并给出了具体形式 1 6 h ( 彳) = 一p ，心o 。) l 。g p ，彳f ( x ) 其中p r 是元素鼍出现的概率。但这一定义 不满足模糊熵的公理化定义。于是，d el u c 和t e 册i n i 1 7 于1 9 7 2 年参照香农熵 的形式，给出了模糊熵的公理化定义，并给出了满足该公理的模糊熵的具体形 式：h ( 彳) = 一k l 。g 以+ ( 1 一，) l o g ( 1 一以) 】，爿f ( z ) 其中k 是一个归一化因 子。根据d el u c a 和t e 瑚i n i 提出的公理化定义，学者们给出了许多其它形式的模 糊熵。k a u f 如a n 【1 8 】指出模糊熵可以通过该模糊集与离其最近的分明集之间的距离 来度量，并给出熵公式： 日( 彳) = 一( 1 l 。g 门) 妒( 以) l o g 妒( 以) ，其中妒( 心) = 肫j l ，f = 1 2 ，z ； y a g e r 1 9 则定义模糊熵为模糊集与其模糊补集之间的距离，即 日( q ，彳) = ( d 9 ( y ，y ) 一d 9 ( 爿，彳) ) 户9 ( y ，y ) ，其中l ，是一个分明集。 这些都大大加 深了人们对模糊熵的认识。 我国学者刘学成( x c “u ) 在 1 1 文中研究了模糊集的熵、距离测度、相似测 度等概念的公理化定义，提出了仃一熵、仃一距离测度等概念，丰富了模糊信息的 1 2 西北大学硕士论文 度量方法。一些学者也给出了熵和距离公式 2 3 2 4 。下面我们主要从包含度的 角度给出耕的焖公瓦。 定理2 8 设c 为一个f ( x ) 上可逆的口- 包含度，且满足对任意的彳，( x ) 有 c ( 丢彳。， 。 ) = c ( 彳。，丢彳。) ，若p ( 彳) = 专三芝专毛渊， 则p 是一个模糊熵。 证明 易知e 满足( e p l ) ( e p 2 ) ，现仅证其满足( e p 3 ) ( e p 4 ) 。 由定理1 知 。啪，= 戡渊苫篙一 一p ( 4 ) 。 又由定理3 知 和，一戡渊= 爿笨筹为 1 一c ( ( 彳n 彳h ，) ，( 彳u 彳。h ，) )1 一c ( 爿cu 彳c 。，彳cn 彳c 。，) = i 蒋画了同2 t 万面孑而丁 ：p ( 爿) 。 命题得证。 定理2 9 设c 为f ( x ) 上的包含度，且满足c ( 丢4 ， 。 ) 2c ( 4 ，三4 ) ， v 4 f ( x ) ，巳，e ：分别定义为 出) = 矧， 乞( 彳) =1 一c ( 彳n 彳， o ) 1 一c ( x ，彳n 彳) 7 f ， 则e 1 ，e ：都是模糊熵。 证明由模糊熵定义易得。 我们对定理2 9 中的包含度c 的条件进行限制，还可得到下面的推论。 1 3 西北大学硕士论文 推论2 1 设c 为f ( x ) 上的可逆包含度，则w f ( x ) ，q ( 彳) = p ：( 彳) 。 证明由定义2 2 易得。 定理2 1 0 设c 为包含度，且满足对任意的d p ( x ) ，c ( d ，d ) = c ( d ，d ) = o ， 定义巳为 巳( 爿) = c ( 彳，彳) c ( 彳，彳) ，w ，( x ) ，则巳是模糊熵。 证明e ，满足( e p l ) ，( e p 4 ) 是显然的。下面证其满足( e p 2 ) ，( e p 3 ) 。 巳( d ) = c ( d ，d ) c ( d 。，d ) = o ，v d p ( x ) ，乞满足( e p 2 ) 。 当心眯三时，c ( 以彳) c ) ) ，c ( 州) = c 彳) ) = 1 当心咖三时，c ( 州) 芑c 彳) c ) ，c ( 以彳) = c ) 。) - 1 ， 因此巳( 4 ) = c ( 州。) c ( 以彳) c ( 彳) ) c ) 。，彳) = 巳( 彳) ， e 3 满足( e p 3 ) 。 命题得证。 定理2 1 1 设c 为包含度，e 4 定义为 气( 彳) = c ( 彳u 彳，彳n 彳) ，蝴f ( x ) ， 则e 4 是模糊熵。 证明由模糊熵定义可证。 在定理2 1 1 ，2 1 2 的基础上，结合定理2 5 ，还可得到如下结论。 推论2 2 若c 为f ( x ) 上的包含度，满足蝴，b f ( x ) 有 ( 1 ) c ( c ，彳n b ) = c ( c ，彳) c ( c ，b ) ， ( 2 ) c ( 彳u b ，彳) = c ( b ，彳) ， 则巳= e 4 。 2 4 模糊熵诱导的包含度 很多学者在由距离，相似度诱导熵方面，做了大量工作 2 卜2 2 ，获得了一定 的结果，而在熵诱导包含度方面的工作却并不多见，虽然文献 1 2 在讨论贴近度 与包含度相互诱导的同时，也给出了由熵所诱导的包含度公式，但略显繁杂。这 里，依据包含度与模糊熵的公理化定义，给出更为简单，有效的包含度公式。 1 4 西北大学硕士论文 百先，找1 | j 给出模糊集上仃一炯阴疋义。 定义2 4 【1 1 】 模糊熵p 称为盯一熵，若p 满足：蝴f ( x ) ，d p ( x ) ， p ( 彳) = p ( 彳n d ) + p ( 彳n d ) 。 定配1 3 设踟- j 熵且c ( 伽) _ 1 + 华h 罢) ，帅叫n 则c 是f ( x ) 上的盯- 包含度。 证明我们先来验证c 是f ( x ) 上的包含度。 当时，c b 曲+ 0 华h 妒确足( c 叫； c ( x ，a ) = o ，c 满足( c p 2 ) ； 设彳cbc c ，贝u 有c ( b ，彳) = 1 + p ( 罢) 一e ( 罢) 1 + e ( 罢) 一e ( 罢) 。c ( c ，彳) ； 同理c ( c ，b ) 2c ( c ，爿) ，c 满足( c p 3 ) 。 下面证c 是f ( x ) 上的盯- 包含度。 抓( 椰舢d ) _ ( 华n d ) - p 。) ， c ( 椰舢d c ) = m ( 华眇h 扣) o 从而有c ( 彳n d ，b n d ) + c ( 爿n d ，b n d ) - 1 0 华h 铲( 珥 由定理2 4 知：命题成立。 定舰1 4 剐椭，且c ( 伽) - 1 + 一半) ，帅叫砧 则c 是f ( x ) 上的口一包含度。 j 诈明与常理213 娄似 1 5 西北大学硕士论文 定理2 1 5 设e 为模糊熵，且c ( 彳，b ) 一 则c 是f ( x ) 上的包含度。 证明 当彳cb 时，c ( 爿，b ) = c 满足( c p l ) ； c ( x ，f 2 j ) = o ，c 满足( c p 2 ) ； ( 半h 罢) ，蝴，b ，( x ) ， m ( 华) - e ( 匐m 叫2 2 设彳c 曰cc ，勇s 么。s p ( 罢) se ( 罢) se ( 导) s 1 ，贝u c ( b ，彳) = 命题得证。 叫华) 一e ( 罢) i 2 ji2j = c ( c ，爿) ，c 满足( c p 3 ) ， = 1 ， 例 假设论域x = ，z ：，屯) ，x 上的四种模糊模式分别为4 = o 3 ，o 6 ，o 3 ) ， 4 = o 7 ，o 4 ，o 1 ) ，4 = o 4 ，o 8 ，o o ) ，其中待测模式b = o 4 ，o 5 ，o 1 ) ，现研 究b 包含于4 ，4 ，4 的程度。我们分别用文献【1 2 】中的包含度公式 “郇) - 帮鬈，科引即) ， l 1彳= 0 一 c ：( 伽) = 丢砉心( h ( 玉) 蝴( t ) ，1 ) ，蝴胀，( x ) ， 与本文所诱导的包含度黼，b ： = 1 + p 一文华声一孙里 1 6 c一2一彳一2 尘0 一 一 一 彳一2一c一2 兰 b一2一彳一2 上卜 彳一2一b一2 0 “ 一 b一2一彳一2 玉_ 竺华 生叫 西北大学硕士论文 妨取e ( 彳) 专妻 竺翌粤4 蚓，其结果如下表所示： m a x ( “爿( ) ，h ( t ) ) 一“”一“一 表1 琴 444 c l ( b ，彳，) 、 o 90 9o 9 c 1 ( b ，4 ) o 9 6o 9 60 9 6 c ：( b ，4 ) 0 9 3 6 30 9 7 2 20 9 8 2 5 c 3 ( b ，4 ) 由表1 可知c 1 ，c ：均无法区分出4 f 对b 的包含程度，而通过c 3 我们可得出肯 定的结论，即j e i 包含于4 的程度最大。 1 7 西北大学硕士论文 第三章直觉模糊集的包含度、熵、距离 3 1 预备知识和约定 首先，我们回顾一下有关直觉模糊集的基本概念 2 7 。 设x 是给定论域，则x 上直觉模糊集表示为：4 = ( x ，心( x ) ，叱( z ) ) 卜x 其中 心( 石) ：x 一 o ，1 ；( 石) ：x 一 o ，1 ，且os 以( z ) + ( 工) s1 ，v z x 。儿( x ) ， ( z ) 分别代表元素石对彳的肯定与否定隶属度。 显然，对于模糊集彳有( x ) = i 一心( x ) ，即彳= ( x ，心( z ) ，1 一心( x ) ) k x 我们将论域x 上的全体直觉模糊集构成的集合记为椰( x ) 。 在本章中，为叙述方便，我们约定： g = ( x ，o ，1 ) 慨x ： x = ( z ，1 ，o ) 魄x 。 设彳，曰上融( x ) 则 彳与b 的交集记为彳n b = m i n ( 心 ) ，如 ) ) ，m a x ( 心o ) ，口 ) ) k x ) 。 彳与b 的并集记为彳u b = m a x ( 心( z ) ，如( z ) ) ，m i n ( 叱( 工) ，( 工) ) k x 。 彳包含于口记为彳cb 营坛x ， 心( x ) s 如( z ) 且叱( z ) ( 工) 。 彳的补集记为彳。= ( x ，叱( 工) ，心( x ) ) 卜x 。 彳= b 魄x ，心( 工) = 心( 石) 且( z ) = ( z ) 。 称乃( x ) = 1 一心( 石) 一叱( 工) 为z 在彳中的直觉指标( 或直觉指数) ，它表示元素x 隶属于集合彳与否的不确定程度。 在直觉模糊集上定义下列运算 口 6 = m i n ( 口，6 ) ，口v6 = m a x ( 口，6 ) ，口，6 o ，1 。 3 2 直觉模糊集椰( x ) 上的包含度 我们在第二章中讨论了有关模糊集上包含度的性质，对于直觉模糊集上的包 含度问题，目前，研究才刚刚起步。因而，本节我们将给出直觉模糊集上的包含 度定义。 1 8 西北大学硕士论文 定义3 1 实函数c ：椰( x ) 椰( x ) 一【o ，1 ，称为椰( x ) 上的包含度，若c 满足 对任意的彳，b ，c 椰( x ) 有： ( 1 ) c ( 彳，b ) = 1 当且仅当彳cb ， ( 2 ) c ( 彳，彳) = o 当且仅当彳= x ， ( 3 ) 名翻c bc c ，则c ( c ，彳) gc ( c ，b ) ，c ( c ，彳) sc ( b ，彳) 。 定理3 1 设( 彳) 2 善( 心( t ) + 1 一( 葺) ) ，且定义 “邶) ：j 褊舢f 2 j ，帅咧砷 【1 彳= a 则c 1 是臃( x ) 上的包含度。 证明( 1 ) 若彳c 且，则彳n b = 彳，从而笪等掣= 1 ；反之，若( 彳u b ) = ( 彳) ， 由于m a ) 【( 心( x ) ，心0 ) ) 2 ) ，卜m i n ( 0 ) ，o ) ) 21 一 ) ， 又由上列各式的非负性知：m a x ( 儿0 ) ，如 ) ) = 如o ) ，m i n ( o ) ， ) ) = ) 。 故以 ) s ) ，o ) ) ，从而知爿c b 。 ( 2 ) 当心 ) o 时：c ( 彳，彳) = o 营心( 工) + 1 一叱( x ) = o 可推得：心( x ) = 1 ， ( x ) = o ；所以彳= x 。 ( 3 ) 翱c ，灿( c 川= 耥s 怨- c ( c 。 同理有c ( c ，彳) sc ( b ，彳) 。 命题得证。 定理3 2 设( 彳) 2 荟( 心( 毛) + 1 一( 毛) ) ， c ：，c 3 定义为 以伽，- 躲= ， 1 9 西北大学硕士论文 c ，( 彳，b ) = 则c ：，c ，都是臃( x ) 上的包含度。 证明与定理3 1 类似。 a=b=x 其它 ，蝴，b 椰( x ) ， 在直觉模糊集上，我们l 司样司以给出由包含度诱导的新包含度公式。 定理3 3设c 舯( x ) 上的包含度，c 。，c 5 定义为 c 。( 彳，b ) = c ( 彳，b ) c ( b ，彳) ，蝴，b 上骼( x ) ， c ；( 郇) = 善篙，( a 。) ，蝴，b 椰( x ) ， 则c 4 ，都是邢( x ) 上的包含度。 证明 仅证c 4 是椰( x ) 上的包含度。类似。 ( 1 ) c 。( 彳，曰) = 1 当且仅当c ( 爿，b ) c ( b ，彳) = 1 ，因为osc ( 彳，b ) sl os c ( 彳，b 。) s1 ，所以无论c ( 彳，b ) = 1 还是c ( 曰。，彳) = 1 均可得彳cb 。 ( 2 ) c 。( 彳，彳) = c ( 么，彳) 。c ( 爿，4 。) ，c 。( 彳，彳) = o 当且仅当c ( 彳，彳。) = o ，即彳：x ， ( 3 ) 翻c 占cc ，则c c 曰c 彳。，从而有 c ( c ，彳) sc ( b ，彳) ，c ( c ，4 ) sc ( c ，口) ， c ( 彳，c ) sc ( b ，c ) ，c ( 彳，c ) sc ( 彳，曰) ， c 。( c ，彳) = c ( c ，彳) c ( 爿，c ) sc ( b ，彳) c ( 么，b ) = c 。( b ，彳) 。 同理有c 4 ( c ，彳) sc 。( c ，b ) 。 3 3 直觉模糊集的熵和距离 本节我们将给出直觉模糊集上的仃一熵和口一距离的定义，并对其相关性质进 行讨论。 定义3 2 实值函数e ：椰( x ) 一 o ，1 称为直觉模糊集的熵，若e 满足下列条 件： ( 1 ) 对任意的d p ( x ) ，e ( d ) = o ， ( 2 ) 对任意的x x ，若心( 石) ；( x ) ，则p ( 彳) = 1 ， i 叫 一u 一 一 西北大学硕士论文 ( 3 ) 对任意的彳，b 邢( x ) ，x x ， 当( 石) s ( 工) 时有：线( x ) s ( 工) ，( z ) ( 工) ； 当心( x ) 苫( x ) 时有：心( x ) 2 如( 工) ，( x ) s ( z ) ， 则e ( 彳) s p ( b ) ， ( 4 ) 对任意的彳椰( x ) ，e ( 彳) = e ( 彳) 。 例蜘k e 川，小) = 寺薹糊，w 咧砷则 p 为臃( x ) 上的熵， 其中m ) = ( 1 一( t ) ) 。 定义3 3 设e 是臃( x ) 的熵，如果对任意的彳椰( x ) ，d p ( x ) ，有 e ( 彳) 一p ( 彳n d ) + p ( 彳n d ) ，则称p 是椰( x ) 上的仃一熵。 根据上述定义，我们可得到下列命题。 命题3 1 设x = t ，工：，) ，q ，e ：分别定义为 巳(彳)=昙砉黼畅(而)呦(而)一心(葺)v(而)， p z ( 彳) = 丢砉( 一l 一( ) 一( t ) 1 ) ， 则q ，e ：都是椰( x ) 上的仃一熵。 距离测度是用来描述直觉模糊集之间的差异程度的量，许多学者在最近几年 提出了许多种具体的距离测度。 设彳= ( ，乙( ) ，厶 ) ) i 葺x 】，b = ( t ， ) ，厶瓴) ) i x ) 为论域 x = 怯，x ：，z 。) 上的两个直觉模糊集。基于直觉模糊集的几何解释，s z i m i d t 和 勋c p r z y k 于文【2 9 】中提出了下面四种距离测度。 h a m m i n g 距离： d 椰，b ) = 主善【i ) 一( 薯) i + i 厶( 薯) 一厶( 薯) l + i 乃 ) 一( 葺) i 】 e u c 】i d e a n 足巨离： 2 1 西北大学硕士论文 似，b ) 。丢砉【l ( 瓴) 一毛“) ) 2l + l ( 厶 ) 一厶( ) ) 2 i + i 帆“) 一“) ) 2i 】 正贝0h a m m i n g 距离： 岳即，曰) 2 去善【h ) 一 ) i + i 厶“) 一厶“) i + i 乃“) 一“) 1 1 正则e u c l i d e a n 距离： ( 彳，曰) = 去薹 i ( f 小f ) - “州( 九( “( w ( 州吨( 洲i 】 这些距离测度满足距离的公理化定义，且正则e u c l i d e a n 距离具有很好的几何性 质，但现实生活中有的情形并不如此。比如，对论域x = “，z ：，吒) 中的三个集 彳，曰，c ，其中彳= ( l o ，o ) ，b = ( o ，l o ) ，c = ( o ，o ，1 ) 。如果我们用十人投票模型来解释， 则为：么= qo ，o ) 代表十人一致同意投给某一人，b = ( 0 1 ，o ) 代表十人反对投给这 个人，而c 一( o ，o ，1 ) 代表十个人都保持中立态度。在这种情况下，我们可以直观的 认为彳和c 之间的差异比爿和b 之间的差异小，而用我们的e u c l i d e a l l 距离来测量 则彳和c 之间的差异与彳和b 之间的差异相等，这显然是不太合理的，因而在本 文中采用目前普遍公认的公理化定义。 定义3 4 称映射d ：臃( x ) 椰( x ) 呻 o ，1 为直觉模糊集上的距离，若d 满足对 任意的彳，b ，c 椰( x ) 有下列性质： ( 1 ) d ( 彳，b ) = d ( b ，彳) ， ( 2 ) d ( 彳，彳) ；o ， ( 3 ) d ( d ，d 。) = 1 ，d p ( x ) ， ( 4 ) 若彳cb c c ，则d ( 彳，c ) 苫d ( 彳，b ) ，d ( 彳，c ) d ( b ，c ) 。 例冽 设x 一 五，z ：，毛) ，d 定义为 d ( 伽) = 击 ，w ，b j f 胚( x ) ， 舭为椰( x ) 上的距离。其中p 1 一) ，吼( ) = 丛掣。 定理3 4 设d 是一个鹏( x ) 上的一个距离，d 定义为 西北大学硕士论文 d 伽) = 端， 则d 是一个椰( x ) 上的距离。 证明由定义3 4 即可得证。 同理，我们还可得到下面的定理。 蝴，b 椰( x ) ， 定理3 5 谢，b 腓( x ) ，当( 工) s ( x ) 时，彳c 口；当心( x ) ( z ) 时，b c 彳， 则d ( 彳，彳) d ( j 5 f ，b 。) 。 在文献【1 1 】【2 1 】【2 4 】中，已详细讨论了模糊集上的盯一距离测度，而有关直觉模 糊集上的盯一距离还未见研究，下面给出直觉模糊集上仃一距离的定义。 定义3 5 设d 舯( x ) 上的距离，满足 d ( 彳，曰) = d ( 彳n d ，且n d ) + d ( 彳n d ，曰n d ) ，蝴，b z 骼( x ) ，d p ( x ) 则称d 是椰( x ) 上的盯一距离。 下面，我们将根据鹏( j ) 上仃一距离的定义，讨论仃一距离的若干性质。 命题3 2 设d 为椰( x ) 上的仃一距离，则 ( 1 ) d ( 4 u d ，b u d ) = d ( 彳n d ，b n d ) ， ( 2 ) d ( 彳u d ，b u d 。) = d ( 彳n d ，b n d ) 。 证明 由于d ( 么u d ，b u d ) = d ( 彳u d ) n d ，( 曰u d ) n d 】+ d ( 彳u d ) n d 。，( b u d ) n d 】 = d ( d ，d ) + df 彳n d 。，口n d 1 ， 即 d ( 彳u d ，b u d ) = d ( 彳n d ，曰n d ) 。 同理d ( 彳u d ，b u d 。) = d ( 彳n d ，曰n d ) 。 定理3 6 设d 是椰( x ) 上的距离，则下列命题等价： ( 1 ) d 为鹏( x ) 上的d 一距离 ( 2 ) d ( 彳，b ) = d ( 彳u d ，曰u d ) + d ( 彳u d ，b u d ) ，d p ( x ) 。 证明由命题3 2 即可得证。 设x = ，x ：，吒) ，对任意彳，b 椰( x ) ，彳= ( x ，心( ) ，( t ) ) k x ， b = ( x ，占( t ) ，( 誓) ) i 薯x ) ；4 = ( x ，爿( t ) ，1 一一( t ) ) l 一x ) ， 西北大学硕士论文 4 = ( x ，( 薯) ，1 一叱( t ) ) l 薯x ) ，e= 件占( t ) ，1 一如( t ) ) l 五x ) ， b ：= ( z ，( t ) ，1 一( ) ) i 誓x ) ，则有如下命题： 定理3 7 设d 为臃( x ) 上的盯一距离，d 1 定义为 d 。( 彳，b ) = 兰上鱼掣 则d ，是邢( x ) 上的仃一距离。 证明由盯一距离的公理化定义即可证明。 3 4 直觉模糊集上的熵和距离的相互诱导 下面我们给出直觉模糊集上的熵和距离的相互诱导定理和公式。 定理3 8 设口( 石) = k 爿( x ) 一心( 石) i + 1 ( z ) 一( 工) i ，x x ， 厂( 工) 在 o 2 上单调递增，值域为 。，昙 ，七苫1 ； g ( 工) 在 。，2 上单调递减，值域为 昙，1 】，七1 ； 且对给定的，满足，( ) + g ( ) 昙，1 】， 定义d ( 彳，b ) = e ( 彳。b ) ， 心。层( x ) = ，。日( 工) ， 叱。且( x ) = g 。口( z ) ，彳b = ( x ，心。丑( z ) ，。曰( 石) ) k x ) ， 彳，b 椰( x ) ，则d 是臃( x ) 上的仃一距离。 证明 易证其满足定义3 4 的( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 。现证其满足( 4 ) 。 蝴c bc c ，那么，心( x ) s ( 石) s c ( 石) ，且叱( 工) 乏( x ) 芑( x ) ，溉x 。 由于i 心( x ) 一心( x ) i s i 心( 工) 一c ( z ) l ，i ( x ) 一( x ) 卜i ( x ) 一( x ) i ， 设 b ( 工) = l 心( z ) 一( 工) i + l ( z ) 一( z ) l ， 岛( 石) = k ( 戈) 一心( x ) | + i 叱( x ) 一( 工) i 那么幺( z ) s 幺( z ) ，厂。b ( x ) s ，。吼( z ) ，g 。q ( x ) 乏g 。( x ) ， 彳b = ( x ，厂。q ( z ) ，g 。b ( z ) ) k x ) ，彳。c = ( x ，。如( 工) ，g 。吼( x ) ) k x ) ， 西北大学硕士论文 因为