（运筹学与控制论专业论文）用n—1个单参数李群求n阶自治系统首次积分.pdf

目录 声明 本人郑重声明，本论文的所有探讨研究工作都是在导师一一管克英教授 细心的指导下，由本人独立完成。论文中引用已知的结论均已在参考文献巾 列出未经本人许可，任何擅自更改、抄袭本论文内容的行为，都将承担相 应的学术和法律责任 目录 摘要 2 本文利用文3 1 给出的单参数李群理论，研究了一些自治系统在接受多 个相互独立的单参数李群时，如何求出系统的首次积分的问题研究的主要 内容和结果包括以下几个方面： ( 1 ) 当3 阶自治系统接受两个相互独立的单参数李群时，如何求出系统 的首次积分 ( 2 ) 考虑4 阶和5 阶自治系统分别接受3 个和4 个相互独立的单参数 李群时，如何求出系统的首次积分 ( 3 ) 推广结论，n 阶自治系统接受n 一1 个相互独立的单参数李群时， 如何求出系统的首次积分 关键词；n 阶自治系统；首次积分；单参数李群 目录 a b s t r a c t t h i st h c s i 8m a i n l yd i 8 c 1 1 s s c st h cp r o b l c mb yt h co n c p a l a n l c t c rl i c g r o u pt h e o r yi n 【3 t h a th o wt og e tt h ef l r 8 ti n t e g r a l s o fs o m ca u t o n o 1 y s y s c m sw h 。n h c ya d m i tm a n yo n o - p a r a m e t c rl i eg r o u p 8m u t u a l l yi n d c p c n d e n t t h em a i nc 0 1 1 t e n t sa n dr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) h o wt ol o o k i n gf o rt h e 矗r s ti n t e g r a lo ft h ct h i r da u t o m o n y8 y s t c m w h e ni ta d m i 拓t w oo n c - p 盯a m e 乞e rl i e 舻o u p 8m u t u a l bi n d c p c n d c 吼? ( 2 ) c o n s i d e rt h ef o r t ha n dt h e6 f t ha u t o m 。n ys y s t e mw h i c ha d m i ts e p e r a t e l yt h r e ca n df o u ro n c p a r a m e t e rl i eg r o u p sm u t u a l l yi n d c p c n d c n t ，h o w t o1 0 0 l c i n gf o rt h ef i r 8 ti n t e g r a lo ft h e m ? ( 3 ) e x t o n d i n gt h cr e s u l t w h e nt h e 礼一t ha u t o n o m ys y s t c ma d m i t s 乱一1 o n e p a r a m e t o rl i cg r o u p sm u t u a h yi n d e p e n d e n t ，h o wt ol o o k i n gf o rt h c6 r s t i 1 1 t e g r a lo f l t ? k e y w o r d s ：t h en t ha u t o n o m ys y s t e m ；f i r s ti n t e g r a l ；o n e - p a r a m e t e rl i e g r o u p 第一章引言 1 1 概述 1 9 世纪中叶，受a b e i 和l i o u v | l l c 工作的启示，挪威数学家s o p l l o u s l i c 将群论应用到微分方程的可积性研究中来，李群理论是s o p h o u 8l - o 在研究 微分方程的积分曲线族在什么变换下不变时发现，创造丁连续变换群理论 现在一般称为李群理论经过数年的发展，现在已使得谚理论成为研究微分 方程可积性的重要理论之一用李群理论研究微分方程的可积性已经取得 了一定的结果对于l a g r a n g e 经典力学系统，由n o o t h e r 定理可知，当系 统接受一类单参数李群时可构造性地得到该系统的一个首次积分| 1 1 对 于2 阶自治系统，如果知道系统所接受的一个单参数李群，可用积分法求 出系统的一个首次积分【2 】对于高阶自治系统，如果知道系统所接受的一 个单参数李群，原则上可以通过坐标变换使该系统的阶数降低一阶2 1 但 这一坐标变换依赖于由该李群的生成元对应的一个常微分方程组的解，如 果该方程组不能用积分法求精确解，那么降低该系统的阶数就不能实现对 于n m 3 ) 阶自治系统，传统的李群理论证明了如果系统接受一个含r 个 参数的可解李群，则可将系统的阶数降低r 阶，当r = n 一1 时，系统就可 用积分法求解阻但降阶的实现仍依赖于求解由该李群的生成元决定的微 分方程组要找到给定系统所接受的一个多参数李群一般是不容易做到， 针对这一困难，文 3 】提出了一种附着于给定自治系统的李模( l cm o d u l c l 理论，给出了一种具体可行的判定一个n 阶自治系统接受某个单数李群的 方法。而且得到了系统接受一个单参数李群时的一系列理论结果，使得系统 接受个单参数李群时求系统的首次积分变得容易文 3 证明了下述的事 实，对于给定的n 阶常微分方程，着接受n 一1 个相互独立的非平凡的单参 实，对于给定的n 阶常微分方程，着接受n 一1 个相互独立的非平凡的单参 第一章引言 数李群，它们的生成元可张成一个以方程的首次积分为系数域的模结构，方 程所接受的任意其它单参数李群的生成元都在该模空间中 在李模理论的基础上，文f 4 】对接受两个单参数李群的2 阶非自治系 统，在一特殊的情况下，给出了一种计算首次积分的方法而文 5 找到了陀 螺系统所接受的一个单参数李群，利用该李群揭示了系统的广义齐次性，对 一般条件下的k o v a l c v s k a y a 的陀螺系统求出了关键的第四个首次积分f 1 3 】_ 本文对接受两个单参数李群的3 阶自治系统，在一般情况下，给出计算首 次积分的具体方法f 6 1 ，并在此基础上，把结论推广到高阶的情况 1 2 基本概念 介绍一下本文出现的几个基本概念 考虑n 阶自治系统 警= 噩( 轧。 鲁= x 2 ( 。2 z 。) z 。) 鲁= x 。( z l ，。2 ，z 。) 把此系统可简单记作i = ，( 。) ，其中。= ( z l ，她，z 。) 7 dc 彤，= d 出，t 【o ，+ o 。) ，对抛d ，( z ) = ( ( 蜀( ) ，。磁( z ) ，五。( z ) ) 7 是足够 阶的连续可微函数。( t ；。o ) 是系统( 1 ) 的满足初始条件z ( o ；z o ) = z o d 的解。如果对于所有的o ，都有，( z o ) = o ，则称z o 为系统( 1 ) 的奇点 如果，( z o ) o ，则称。o 为系统( 1 ) 的常点 定义1 1 如果函数f ( z - ，抛，z 。) 在系统( i ) 的任何积分曲线上保持 第一章引言6 常数，即对所有的t o 和z o d 都有f ( z 1 ( t ；。o ) ，如( t ；z f l ) ，z ，。( t ：z ( ) ) ) = c ( 知) ，则称f ( z l ，# 2 ，z ，。) 是系统( 1 ) 的首次积分 定义1 2 设是r 中关于原点对称的一个小区间，开域u 兄t 。上 的变换群g 中的元素g 满足下列单参数变换族口- j + 月m 。) 对任何z u ，有9 ( z ，o ) = z 扰) 对任何s 1 ，5 2 ，舌( s 1 ，s 2 ) ，z u ，有9 ( 9 ( z ，s 1 ) ，s 2 ) = 9 ( z ，多( s 1 ，5 2 ) ) 称满足上述条件的群g 为局部单参数李群 定义13 系统( 1 ) 接受单参数李群g 是指，经过群g 中的任何元素 g 变换后，把原来的积分曲线族仍变成同一族积分曲线。族中的不同曲线之 间可以相互变化，一条积分曲线也可以变成自已， 1 u 本文用到的重要结论 本文主要应用文 3 j 的一些结论，这里记为引理 就系统( 1 ) 而言，该系统对应一个偏微分算子 x = x - 矗+ 恐去+ 去 对于系统( 1 ) 任意的一个首次积分f 2 ( z - ，z 2 ，。) ，都有 x n ( 。i ，现，靠) = o 引理1 如果k = k l 击+ k 2 啬+ + k 。去，i = 2 ，3 ，n ，是某 些单参数李群的生成元，当且仅当存在函数b ；( g 。，z 。，z 。) ，使得李括号 i x ，吲= y k k x = b 。x 成立，系统( 1 ) 接受以k 为生成元的单参数李 群 引理2 若k 为系统( 1 ) 所接受的个单参数李群的生成元，n ( z ，z ”，z 。) 为系统( 1 ) 的一个首次积分，则k q ( 。- ，z 。，z 。) = 西( z - ，z z ，。) 仍 第一章引言 为系统( 1 ) 的一个首次积分或常数 7 引理3 若k ， = 2 ，3 ，n ，为系统( 1 ) 所接受的n 1 个相互独立的 单参数李群的生成元，它们与x 组成线性无关组( 在任何点均无关) ，则 n 陬，k = 呓- ，z z ，一，z 。) k + a 。，忙，z 。，一，z 。) x 女= 2 其中e 骞，i ，j ，= 2 ，3 ，n ，均为系统( 1 ) 的首次积分或常数，而且满足等 式( 冯= 一c 鼻成立，对于该系统所接受的任何单参数李群的生成元v 都可 以写成如下的形式： v = a ( z l ，z 2 其中o k ( z ，z z ，。) ，= 2 ，3 ，n ，为该系统的首次积分或常数 若k ， = 2 ，3 ，n ，为系统( 1 ) 所接受的n 一1 个相互独立的单参数 李群的生成元，则可构建方程组 x 1 + x 2 扎+ + x 。k = 0 k 1 + k 2 ，2 + 十 = 6 2 k l + m 2 ，2 + - - - + = 趣 k 1 + k 2 ，2 + + k 。厶= 6 。 其中6 l ，i = 2 ，3 ，n ，为系统( 1 ) 的首次积分或常数，而 ，i = 罢小，n 现 茗 。 + x n 第一章引百8 引理4 若存在一组常数或系统( 1 ) 的一组首次积分6 2 ，6 3 ，6 ，。使得 方程组( 2 ) 有非零解( ，正，厶) ，而且使得等式组 器= 差列乩。，m 成立，则可由 五：罢，t = 1 12 ，n 2 瓦，”1 ，2 ，” 求出系统( 1 ) 的一个首次积分 引理5 若k ，为系统( 1 ) 所接受的两个单参数李群的生成元，那么 ，作李括号之后所得到陬，k 】，必定是系统( 1 ) 所接受的单参数李群 的生成元 第二章用两单参数李群求3 阶自治系统的首次积分 2 1问题提出 对于”( ”1 ) 3 ) 阶自治系统，传统的李群理论证明了如果系统接受一个 含r 个参数的可解李群，则可将系统的阶数降低r 阶，当r = n 一1 时， 系统就可用积分法求解2 1 - 然而，要找到给定系统所接受的一个多参数李 群一般是很困难针对这一困难，1 9 9 8 年，管克英教授给出了一种附着于 给定自治系统的李模( “em o d u l e ) 理论【3 ，给出了一种具体可行的判定一 个n 阶自治系统接受某个单数李群的方法，而且得到了系统接受一个单参 数李群时的一系列理论结果。如果已知系统所接受的一个单参数李群，对求 系统的首次积分有什么好处对于2 阶自治系统，是显而易见，当知道该 系统所接受的一个单参数李群时，可以构造系统的积分因子，从而来求得系 统的首次积分。对于3 阶自治系统，当知道该系统所接受的一个单参数李 群时，该如何求系统的首次积分5 1 进而如果知道该系统所接受的两个单 参数李群，又该如何求系统的首次积分，文4 1 在一特殊的情况下，给出了 寻找首次积分的方法另外，当已知高阶自治系统所接受的一个单参数李群 时，该如何求系统的首次积分；若知道该系统所接受的单参数李群个数小于 方程的阶数时，又该如何求得系统的首次积分等等这一系列的问题。本章及 后几章将陆续来研究这些问题 9 第二章用两单参数李群求3 阶自治系统的首次积分 儿 现在设g ( 。，g 。，z 3 ) ， = 2 ，3 ，均为常数。由引理2 构造如下方程组 + x 2 ，2 + x 3 ，3 = 0 + k 2 ，2 十k 3 一b 2 + k 2 ，2 + 3 ，3 = 6 3 其中假设( 6 2 ，6 3 ) 为一常数组， = 豢， = l ，2 ，3 我们有下述定理成立 ( 5 ) 定理l 如果系统( 3 ) 接受k ，b 为生成元的两个单参数李群，而且 等式( 4 ) 中g ( z ，z 2 ，) ， = 2 ，3 ，均为常数，为使方程组( 5 ) 有非零解 ( ，- ，2 ，矗) ，而且使得等式组 堕；堕塑：堑堕：垫 a 0 2a z l la z 3a 茁1 a 茁20 茁3 成立，不全为零的常数组( 6 2 ，6 3 ) 应满足的充要条件是 岛k 十c j b = 0 ， 证：( 必要性) 由于6 。，b a ，均为常数，k ，k 为系统所接受的两个相互独立的单参数 李群，由引理5 可知，k 也是系统所接受的单参数李群的生成元，用 这个生成元作用到首次积分q 上，得到下面等式： 【，u 】n = n 一碥q 一一b 2 = 0 而用，1 = c f o x + q k 十q u 作用到同一个首次积分n 上，有 k ，】q g 6 2 + 岛6 3 ， 故有等式 c 2 b 2 + g 3 b 3 = o x k ，illi_，、_ll-ll 第二章用两单参数李群求0 阶自治系统的首次积分 定理必要性得证。 ( 充分性) 由对称性，只须征明等式 8 | la r 1 a z 2 a o l 成立即可由c r a m e r 法则可从方程组( 5 ) 解得 = ； o x 2x 3 6 2k 2k 3 6 3 2 3 将上述两式分别对z 。，z 。，求偏导数有 器= 一6 ：( 一壶舞 + 6 。( 一壶差 筹= 如( 一击等 一6 s ( 一击舞 厶= ； x 2x 3 k 2k 3 x 2x 3 k 2 3 x 1 x 3 k lk 3 x lx 3 k 1k 3 将上述两式分别记为( 6 ) ，( 7 ) ，并设 a = 一6 2 x 2 x 3 k 2 k 3 + 6 3 x 10 托 k l6 2k 3 l6 3k ， - 1a 。d a 0 2 1 a j 两 1 0 。da o l x 2 x 3 2 3 x 2 x 3 k 2 3 x 2 x 3 k 2 k 3 x l x 3 k 1k 3 x lx 3 k 1k 3 1 2 第二章用两单参数李群求3 阶自治系统的首次积分 口：一“ g = 一6 2 x 1 x 3 k 1 3 x 1x 2 1 3 + 6 2 + 6 3 x 1 肖3 1 3 x l 凰 k l k 3 将( 6 ) ，( 7 ) ，两式同时乘以护相减并整理，得到下式 d 2 ( 罄一酱) 一以f 一 一b ( 一 一g ( 一 k 1 3 k 1 3 x 2 x 3 k 2 3 k 1k 3 k 1k 3 x 2 局 u 2k 3 lk 3 k i 3 x 2 x 3 k 2k 3 1 组j 0 0 2 鱼l 0 0 l 2 垃j 阮2 。 盟纽l 渤 k 2 3 2 3 x 1x 3 f 白f 白 k 2 k 3 2 3 x l x 3 1 3 2k 3 k 2 3 x 1x 3 k l 比3 将上式右方三个括号内的式子分别记作f ，只g ，即有 a x ， q 组i 鱼盐 0 2 2 2 纽j _ 0 0 1 曼 a 0 2 啦il 如i 。 d 2 ( 差差) - _ ( 肼肌 x 1x 3 u l k 3 x 2x 3 k 2 3 x 1x 3 1 3 x 1 x 3 k 2 3 x lx 3 ik 3 x 2 x 3 2 3 蚴 如l 镪) 逝 a 0 1 卺) 磐) 第二章用两单参数李群求3 阶自治系统的首次积分 由假设知 设 k ，x 】= b 2 0 l ，。2 ，嚣3 ) x f 比，x = b 3 1 ，。2 ，z 3 ) x 3 【k ， = g k + g x t = 2 d = 一嵋3 8 2 + k 3 日3 + c j ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) 根据李括号的定义，将( 8 ) ，( 9 ) ，( 1 0 ) ，三式左端分别乘以k 3 ，。，x 。，相加 消去含z 3 的导数项并且合并同类项得到下述等式： 一例k ，捌+ 吲k ，矧+ 玛阮吲一e 击一f 杀一g 击，( 1 1 ) 将( 8 ) ，( 9 ) ，( 1 0 ) ，三式代入( 儿) 式左端得： k 3 【，x + 3 f k ，x + 扎f k 由此可进一步得到以下三个等式 e = d 置+ q 弱k 1 + 岛玛k 1 f = d 局+ q 弱k 2 + 岛x 3 k 2 一g = d 玛+ g 托+ 岛凰 将( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，( 1 5 ) ，三式分别乘以a ，b ，g ，然后相加，又得到下式： 一( a e + b f + g g ) = d ( a x l + b 。磁+ g k ) + g 0 ( a k l + 口k 2 + e k 3 ) + 岛恐( a 碥1 + b k 2 + g 3 ) 再注意到以下三个等式： a y l + 日x 2 + g 弱= 0 ，a 1 + b 2 + e k 3 = d 6 2 ，a k l + b k 2 十g 3 = 拍3 叫埘 k1 “ ( 。：|! x 卜 xc o xb 嵋 一 l j 瞻 第三章用3 个单参数李群求4 阶自治系统首次积分 3 14 阶自治系统的推导过程 考虑4 阶自治系统： 孥= u i ( 。1 ，z 2 ，。3 ，z ) 警= k 。( z - ，勋，奶，z a ) f 1 7 1 鲁= 3 ( 吼) 鲁= 4 ( 钆蛳) 该系统( 1 7 ) 对应一个偏微分算子 4“ u 2 善k * 去 ( 1 8 ) 对于系统的任一首次积分q ，都有q = 0 设 k 2 善去，诘z ，s ，a ， ( 1 9 ) 为系统所接受的3 个相互独立的单参数李群的生成元，其中，i ，k = 1 ，2 ，3 ，4 ，为z l ，z 2 ，黝，。4 ，的函数 d = h 1u 2 k l k 2 k lk 2 j h 3 u 4 k 3 坛 k 3 k 4 k 3 o( 2 0 ) 第三章用3 个单参数李群求4 阶自治系统首次积分 3 14 阶自治系统的推导过程 考虑4 阶自治系统： 孥= u i ( 。1 ，z 2 ，。3 ，z ) 警= k 。( z - ，勋，奶，z a ) f 1 7 1 鲁= 3 ( 吼) 鲁= 4 ( 钆蛳) 该系统( 1 7 ) 对应一个偏微分算子 4“ u 2 善k * 去 ( 1 8 ) 对于系统的任一首次积分q ，都有q = 0 设 k 2 善去，诘z ，s ，a ， ( 1 9 ) 为系统所接受的3 个相互独立的单参数李群的生成元，其中，i ，k = 1 ，2 ，3 ，4 ，为z l ，z 2 ，黝，。4 ，的函数 d = h 1u 2 k l k 2 k lk 2 j h 3 u 4 k 3 坛 k 3 k 4 k 3 o( 2 0 ) 第三章用3 个单参数李群求4 阶自治系统首次积分 系统的一个首次积分这时由引理2 构造如下方程组 u u + h 2 ，2 + 3 ，3 + k 4 ，4 20 + k 2 + k 3 ，3 十4 ，4 2 b 2 ( 2 5 ) + k 2 ，2 + 3 + u 4 2 k 1 + k 2 ，2 + u 3 + v ：1 4 = b 4 其中氏， = 2 ，3 ，4 ，为系统( 1 7 ) 的首次积分或常数，而 = 罢，z ，s ，a 定理2 如果系统( 1 7 ) 接受以，k ，k 为生成元的单参数李群，而且等式 ( 2 4 ) 中锩( 。，z ：，z 3 ，姐) ，i ，j ，= 2 ，3 ，4 均为常数，为使方程组( 2 5 ) 有非 零解( ，l ，2 ，3 ，4 ) ，而且使得等式组 娑：婺幻：1 ，2 ，3 ，4 8 z ia 2 t “ 成立，不全为零的常数组( b 2 ，扫3 ，k ) 应满足的充要条件是 曝。2 + 曝6 3 + 6 4 = o ，强k + 岛b + 岛6 4 一o ，强6 2 + 噶如+ 6 4 2 。 证：必要往) 由于6 2 ，6 3 ，“均为常数，并且瞰，k t i ，j = 2 ，3 ，4 也是系统e 嗽 受的单参数李群的生成元，用这个生成元作用到首次积分q 上，得到下面 等式： i ，u n = 巧n k k q = k 一u 6 t 2 o 而用 眠吲= 磁u + 铝k + 喏+ c 尝k ，lltil，、iill【 第三章用3 个单参数李群求4 阶自治系统首次积分 作用到同一个首次积分n 上，有 故有等式 定理必要性得证 k ，k 】n = + c 导6 。+ “ c 昌6 2 + 噶6 。+ 6 4 = o ( 充分性) 由对称性，仅以罄= 罄的证明为例 定义：a 1 = a 3 = 0 2k 3 u 4 6 2k 2k 3 4 6 3k 2 k 3 u 4 b 4k 2u 3 k 4 h 1m 2 0 k 4 k l v k6 2k 4 k 1 26 3k 4 k lu 26 4k 4 a 2 = a 4 = u l 0 m 3 4 k l6 2k 3u 4 1b 3k 4 u lkk 3k 4 lh 2 3 o k lk 2k 36 2 k l k 2 k 3b 1k 2h 36 4 由( 2 5 ) 式可解得： = 等，江1 ，2 ，3 ，4 u 即有 = 鲁，如= 鲁分别对z 。，茁1 求导数并相减有下式成立： a a 止a la d 1a a l a 2a d la a 2 a z 2如1d 2 如2 。d 如2 。d 2 阮1d 如1 f 2 6 1 f 2 7 1 第三章用3 个单参数李群求4 阶自治系统首次积分 把上述等式右方括号内的式子分别记为： e ，岛，马，马 2 2 d 2 ( 差一差) 一幅也岛“。e 3 卅幽 ( 2 1 ) ) 根据( 2 2 ) 式经计算得： a 1 2 1 2 k ，k + a 1 3 1 2 u ， + a 1 4 1 2 u ， + a 2 3 1 2 【k ，坞 十a 2 4 1 2 k ，】+ a 3 4 1 2 i k ，k 】 把( 2 3 ) ，( 2 4 ) 两式代入到( 3 0 ) 式，并设 f 3 0 1 d l = a 1 2 1 2 8 2 + a 1 3 1 2 五十a l d l 2 8 4 十a 2 3 1 2 q 2 + j 4 2 4 1 2 q 2 + a 3 4 1 2 q 3 则有下式成立 于是有等式 d 2 = a 2 3 1 2 ( 盔+ a 2 4 1 2 + 4 3 4 1 2 ( 强 d 3 = a 2 3 1 2 ( 氇十a 2 4 1 2 + a 3 4 1 2 蒜 d 4 = a 2 3 1 2 c 氇+ a 2 4 1 2 十a 3 4 1 2 氇，( 3 1 ) ( 3 2 ) 届= d i u ；+ d 2 k ；+ d 3 i + d 4 u 。 一1 ，2 ，3 ，4 ，( 3 3 ) 把( 3 3 ) 式代入到( 2 9 ) 式，又因为c 骞= 一c 夤，经计算得 d 2 ( 籍一籍) = 一( a 1 e + a ：马+ a 3 b + 。置) 一一d 【a 2 3 1 2 ( c 刍6 2 + ( 氇6 3 + k ) a k 毫 e 。 旦舰 巨 。 | i 虹酞 + d +kd+ u d 第三章用3 个单参数李群求4 阶自治系统首次积分 + a 2 4 1 2 ( g 乞如+ ( 氇6 3 + ( 恐6 4 ) + a 3 4 1 2 ( i 6 2 + 岛6 3 + g 玉6 4 ) 一圳2 3 1 2 ( g 磊幻+ c 6 3 + g 譬3 6 4 ) + a 2 4 1 2 ( 琶6 2 十( 强b + ( 琶6 4 ) + a 3 4 1 2 ( g 刍望m 季弛萋囊篓霎l j ! ! 墓首 喜薹毫j 童坌j 系鋈蓁囊蒡譬置溢矗i 鏊i i 莹霪蠹髦霉i j 一二羹蠢鹤糍r 毫薹薹；引理 2 构造如下方程组： - + 2，2 十t t + h 。 = 0 k 1 十k 2，2 十+ k 。厶一d 2 k l + k 2厶+ + k 。，n = 6 ； ( 4 0 ) k t l 十v锄，2 十+ 碥。厶= k 其中6 ，= 2 ，3 ，n ，为系统( 3 6 ) 的首次积分或常数，而 五：竺，江1，2 ，n j 22 面”1 ，2 ，“ 定理3 如果系统( 3 6 ) 接受以，k ，k 为生成元的单参数李群， 而且等式( 39 ) 中c 当( 。l ，。z ，+ ，。) ， ， = 2 ，3 ，n 均为常数，为使 方程组( 4 0) 有非零解( ，t ，厶，厶) ，而且使得等式组 婺：婺幻吐2 ，。， 锄一眠“。一 。“ ” 成立，不全为零的常数组( 5 2 ，6 3 ，k ) 应满足的充要条件是 第三章用3 个单参数李群求4 阶自治系统首次积分 2 g n = ： 2 、i ( b 3 6 4 ) a r c t a n ：袤；豸一6 ( 6 。一k ) l 。9 + 3 ( 2 6 3 6 4 ) 工d 9 【茹2 + 可2 + 2 一z 一掣z z 。】 可直接验证n 即为我们所求的一个首次积分 第四章用n _ 1 个单参数李群求n 阶自治系统的首次 积分 考虑n 阶自治系统： 茁n ) z n ) ( 3 6 ) 鲁= ( 轧，。) 该系统对应一个偏微分算子 x = x - 岳+ 恐去+ + x 。去 令墨= h i ( z 1 ，。2 ，篁。) ，i = i ，2 ，一，礼贝4 有 智= h 1 ( 钆 訾= 2 ( 札。2 ， z n ) 。n ) ( 3 7 ) ：挚= k 。( 。，z 。，。) 记该系统对应的偏微分算子 m ：产h 。0 ：x 篙 抛 对于系统的任一首次积分n ，都有n = o 第四章用n 1 个单参数李群求n 阶自治系统的首次积分 3 0 由于b 2 ，b ，6 。均为常数，并且瞰，k 2 ，2 j = 2 ，3 ： 7 z 也是 系统所接受的单参数李群的生成元，用这个生成元作用到首次积分q 上， 得到下面等式： k ，k 】f 2 = k k n 一巧k q = “6 一嵋6 。= 二。 而用 瞰，k = g 导k + 嘴+ - 、十四k 作用到同一个首次积分q 上，有 【k ，k q = 岛6 2 + 铝6 3 + + 6 。 故等式 铝k + 铝b 十十四b 。= o 定理必要性得证。 ( 充分性) 由对称性，仅以麓= 籍的证明为例 定义ta 1 0 u 2 k 3 如k 2k 3 b 2k 3 k 。 k 。 。 磊“2 坛o - - 。 a 2 = u 1 0 3 k 16 2k 3 k l6 3k 3 k 。 k 。 k 。 第四章用月，个单参数李群求n 阶自治系统的首次积分 3 l l 2 0 lk 26 。 k lk 2b 3 蛞。 k ，。 12 lk 2 。一l 0 6 2 k l 。一lk 一1 k 。一j岛 由( 4 0 ) 式可解得： = 鲁，i _ 1 ，2 ，n 即有 = 鲁，丘= 争分别对z 。，z - 求导数并相减有下式成立； 差一筹一参差+ ；瓮+ 参筹；筹 c t - ， a z 2a z l d 2a z 2 。da 现。d 2 1 9 譬】 d a z l 、1j 将( 4 1 ) 式两端同时乘上d 2 整理得下式成立 第四章用月，个单参数李群求n 阶自治系统的首次积分 3 l l 2 0 lk 26 。 k lk 2b 3 蛞。 k ，。 12 lk 2 。一l 0 6 2 k l 。一lk 一1 k 。一j岛 由( 4 0 ) 式可解得： = 鲁，i _ 1 ，2 ，n 即有 = 鲁，丘= 争分别对z 。，z - 求导数并相减有下式成立； 差一筹一参差+ ；瓮+ 参筹；筹 c t - ， a z 2a z l d 2a z 2 。da 现。d 2 1 9 譬】 d a z l 、1j 将( 4 1 ) 式两端同时乘上d 2 整理得下式成立 第四章用n j 个单参数李群求n 阶自治系统的首次积分 3 2 d 2 ( 碧一罄) = a _ 1 1 1 3 k 3 k 3 苦争 t 謦a - 酱s k - 辫 碥- 智k 。 k ，磐h 。 l u 1 辨k 。 罄k 。 h 。 k 。 。 。 。 。 k 。 k 。 。 k 。 k j 馨 + + + 皿 a 0 2 2 组 0 0 2 2 2 3 k 3 等磬k a 玺z s 酱k 。k 。 辫k 。 号争圬。 q 组 a # 2 i 血 如2 1 纽 a 0 2 h 2 k 2 2 h 3 k 3 3 u 。 k 。 ，。 。 k ，。 k 。 。 。 。 。 警 第四章用n 1 个单参数李群求n 阶自治系统的首次积分 3 3 k 3 k a k 3 k 。 。 蟾。 + 瓮，s 等警k 。 警碥， m 。 k 。 l 。 f 4 2 1 ( ( 4 2 ) 式对4 ，5 阶自治系统时都成立。对于n 阶自治系统，只是猜想。) 把 ( 4 2 ) 等式右方括号内的式子分别记为：蜀，f 2 ，及，则有 d 2 ( 差一罄卜郴- 吐岛“晶 ( 4 3 ) 经计算4 ，5 阶自治系统总结规律得： 设 仇= 如：哝，= 2 ，3 ，n ， ， l j = 2 t 把 阢，= c 嘉 ，。，- 一，z 。) k = 1 代入( 4 4 ) 式，则有下式成立； n 仇k = 1喜最矗 ( 4 4 ) 旦如 已 。m 1 | 睚 吩 a 。蚪 哚 a 。峭 + 巩 a 。脚 = d 第四章用n i 个单参数李群求n 阶自治系统的首次积分 3 4 于是有 e = d 1 h 。+ d 2 k 。+ - + d 。k z = 1 ，2 ，n( 4 5 ) 把( 4 5 ) 式代入到( 4 3 ) 式，计算可得： d 2 ( 甏；一罄) = 一( a 1 e + a z 岛+ - - 十a 。e 。) = 一d 【a 巧1 2 ( 喋6 2 + c 璺如+ 斗c 墨k ) z 工i ，j = 2 ，一，n 因为d o ，又由于c ：；= 一磷， 差一碧= ：杰缸( 嘞+ 噶，峭k 小q ”铂，n 列仕葸l z ，兰n 郡召 差一差= ：亳喇喏b + 嚷+ 删k j 又由于d 0 ， ( c 弓6 2 + c 嚣b + ，- + k ) = o 工i ，j = 2 ， 故有 差一罄扎 定理充分性得证 证毕 定理充分性的证明有缺陷，( 4 2 ) 式很难证明，只是对4 ，5 阶自治系统 的规律进行归纳总结得到的结论对于n 阶自治系统( 4 2 ) 式还没有给出更 为简洁的证明我们对n 阶自治系统在巳知系统接受n 1 个相互独立的单 似2 | | j n ， 第四章用n 1 个单参数李群求n 阶自治系统的首次积分 3 7 v + = o 0 ( ：。c 戥) a 1 2 ，。一l 。a 1 3 。一l 。 a 。一1 1 。一l 。一( ：2 ( ? 器l 。b 。) u v + 为! 警卫阶方阵，n ，卢为1 2 笋维列向量，并且有下述等式成立 d o 0d 0 0 00 d = d ，必 其中j 是单位矩阵，两边同时取行列式，因为d o ，所以i v l o ，进而可 知矩阵y 是非奇异的把那些混合偏导数的差看作未知量，欲保证( 4 8 ) 式 只有零解，则必须满足 x 结束语 论文主要研究了一些自治系统在接受多个单参数李群的情况下，如何 求系统首次积分问题 首先，针对3 阶自治系统接受两个单参数李群，如何求系统首次积分 然后，考虑4 阶和5 阶自治系统分别接受3 个和4 个单参数李群，如 何求系统首次积分 最后，推广结论到n 阶自治系统接受n 一1 个单参数李群，如何求系 统首次积分 这些都是在系统所接的相互独立的单参数李群的个数比自治系统的阶 数小1 的时候，而且假设那些单参数李群都是已知的情况下，给出如何求 系统首次积分的方法如何寻找一个自治系统所接受的单参数李群也是一 个重要的问题，这也是下一步将要进行研究的工作。 参考文献 1 】a r n o l d ，vi ，m a t h e n m a t i c a l m e t h o d so fc l a s s i c a l m e c