（运筹学与控制论专业论文）基于小波神经网络的高炉炉温预报模型研究.pdf

浙江走学硕士学位论支 摘要 高炉炼铁是钢铁工业的上游主体工序，作为国民经济支柱产业的重要组成部 分，它对钢铁工业的发展与节能降耗都起着十分重要的作用。高炉冶炼过程是一 个高度复杂的过程，其运行机制往往具有非线性、时滞、高维、大噪声、分秆j 参 数等特性。 在高炉冶炼过程中，保持合理的炉温水平是高炉冶炼稳定顺行的关键。但是 出于高炉冶炼过程的复杂性，精确掌握炉内的温度分布尚不可能。因此，高炉冶 炼过程自动控制的难度究其原因是建立炉温控制数学模型的困难，而建立炉温控 制模型的难度则在于炉温预测模型建立的困难。高炉铁水含硅量【s f 是评定高炉 炉况稳定性和t i ! 铁质孱的重要指标，也足表自i j 高炉热状态及其变化的标忠。多年 术，为了有效地控制高炉冶炼过程，对铁水含硅鲢 s i l 预测力法的研究“是烁 铁科研中的重要课题。 小波神经网络是近年来得到迅速发展并形成研究热潮的时j 1 日j 序列分析新技 术。它将小波变换良好的时频域化特性和神经网络的自学习功能相结合，因而具 有较强的逼近能力和容错能力。在结合方法上，可以将小波变换作为前馈神经嘲 络的输入前置处理工具，即以小波变换的多分辨率特性对过程状念信号进行处 理，实现信噪分离，并提取出对预测结果误差影响最大的状态特性，作为神经网 络的输入，形成松散型小波神经网络。或者将小波函数作为基函数构造神经网络 形成紧致型小波神经刚络，通过自适应地调整小波基的形状实现小波变换，其t 1 1 _ 良好的函数逼近能力和模式分类能力。 本文以邯郸钢铁公司7 号高炉( 2 0 0 0 m 3 ) 在线采集的5 0 0 炉数据为研究对象， 应用小波分析和神经网络的两大类模型交叉结合的3 种方式对铁水含硅量 明进 行预测，并对预测结果做出比较分析。结果表明，紧致型小波神经网络在预测中 取得更佳的效果，对工长的操作具有指导意义。 关键词：铁水含硅量预测，小波变换，神经网络，小波神经网络，自回归 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t a st h em a i nu p p e rp r o c e d u r eo fm e t a l l u r g i c a li n d u s t r y , b l a s tf u r n a c e ( b f ) i r o n m a k i n gi sa n i m p o r t a n tc o m p o n e n to ft h ep i l l a ri n d u s t r yi nn a t i o n a le c o n o m y , w h i c hp l a y sas i g n i f i c a n tr o l e i n e n e r g y s a v i n ga n dt e c h n i c a ld e v e l o p m e n to ft h ew h o l ei n d u s t r y t h ep r o c e s so fi r o n m a k i n gi s h i g h l yc o m p l i c a t e d ，w h o s eo p e r a t i n gm e c h a n i s mi sc h a r a c t e r i s t i co fn o n l i n e a r i t y t i m el a g ，h i g h d i m e n s i o n ，b i gn o i s ea n dd i s t r i b u t i o np a r a m e t e r se t c t om a i n t a i nt h ea p p r o p r i a t et e m p e r a t u r ei nb fi sc r u c i a lf o ras m o o t hi r o n m a k i n gp r o c e s s d u et ot h eh i g bc o m p l e x i t y , i ti sa l m o s ti m p o s s i b l et om e a s u r et h ee x a c tt e m p e r a t u r eo fh o tm e t a l i nb f t h u st h ed i f f i c u l t yo fi r o n m a k i n gp r o c e s sa u t o m a t i o nl i e si nt h ec o n s t r u c t i o no f a ne f f e c t i v e p r e d i c t i o nc o n t r o lm o d e lt om a k ef o r e c a s to f t e m p e r a t u r eo fh o tm e t a li nb fs i l i c o nc o n t e n ti nh o t m e t a li sn o to n l ya ni m p o r t a n ti n d e xt oe v a l u a t et h es t a t u so fi r o n m a k i n gp r o c e s sa n dq u a l i t yo f h o tm e t a l ，b u ta l s ot h em o s ti m p o r t a n tp a r a m e t e rt or e f l e c tt e m p e r a t u r eo fh o tm e t a li nb ft o e f f e c t i v e l yc o n t r o lt h eb fi r o n m a k i n gp r o c e s s ，p r e d i c t i o no ft h es i l i c o n c o n t e n tb e c o m e sa n j m p o r t a n tq u e s t i o ni nd i s c u s s i o n t h em e t h o do fw a v e l e t n e t w o r k si sr e l a t i v e l yn e wi nt i m es e r i e sa n a l y s i s ，w h i c hi n h e r i t sb o t h t h ev i r t u eo fw a v e l e ti nr e g i o n a l i z i n go ft i m e f r e q u e n c yf i e l da n ds e l f - l e a r n i n ga b i l i t yo fn e u r a l n e t w o r k sa n dh a ss t r o n gc a p a b i l i t yi nf u n c t i o na p p r o x i m a t i o na n de r r o rt o l e r a n c et h e r ea r et w o c o m b i n a t i o n a lm e t h o d sf o rw a v e l e ta n dn e u r a ln e t w o r k st h ef ir s to n e c a l l e dw a v e l e tn e t w o r k s w i t hr e l a x e ds t r u c t u r ei st od e f o r mt h ei n p u ts e r i e si n t od i f f e r e n tl e v e l so fr e s o l u t i o ns c a l e sb yt h e w a v e l e tt r a n s f o r m ，a n df o re a c hl e v e lo fc o r r e s p o n d i n gi n p u tp a r a m e t e r s ，w eu s en e u r a ln e t w o r k s t og e tt h eo u t p u tv a l u e s ar e c o n s t r u c t i v et r a n s f o r m a t i o ni s a p p l i e dt ot h eo u t p u tv a l u e so fn e u r a l n e t w o r k sa n dt h e f o r e c a s t sa r eg e n e r a t e d t h eo t h e r - c a l l e dw a v e l e tn e t w o r k sw i t hc o m p a c t s t r u c t u r ej st os u b s t i t u t et h eb a s ef u n c t i o ni on e u r a ln e t w o r k sw i t hw a v e l e tf u n c t i o n a n dt h e w a v e l e tf u n c t i o ni sa d j u s t e da d a p t i v e l yt od ow a v e l e tt r a n s f o r ma n dn e wn e t w o r k sa r ee n a b l e d t h i sp a p e ru s e sd a t ac o l l e c t e df r o mi n t e l l i g e n tc o n t r o le x p e r ts y s t e mi nh a n d a ns t e e l c o r p o r a t i o na ss a m p l ed a t at oi m p l e m e n tt h ea l g o r i t h m s t h es a m p l ec o n t a i n s5 0 0d a t ap a i r s w e a p p l yt h et h r e em o d e l sb a s e do nt h et h e o r yo f w a v e l e ta n a l y s i sa n dn e u r a ln e t w o r k st od of o r e c a s t s a n dt h er e s u l t sa r ea n a l y z e d nd e t a i l i ti ss h o w nt h a tt h em e t h o do fn e u r a ln e t w o r k sw i t hc o m p a c t s t r u c t u r ec a ng i v eb e t t e rh i tr a t e so fp r e d i c t i o nf o rs i l i c o nc o n t e n t t h er e s u l t i sh e l p f u lf o r o p e r a t i n go f t f k e y w o r d s ：p r e d i c t i o nf o rs i l i c o nc o n t e n to fh o tm e t a l ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，n e u r a l n e t w o r k s ，w a v e l e t n e t w o r k s ，a u t o r e g r e s s i o n 浙江大学硕士学位论丈 第一章引言 本论文围绕国民经济的支柱产业钢铁工业，以其中具有复杂性代表的高 炉炼铁工艺的过程控制中的核心问题炉温预报与控制，探讨多种数学建模的 原理基础、方法以及剥实际高炉生产过程数据的处理和交叉建模，以期取得炉温 预测控制模型新的进展。 1 1 高炉炼铁工艺过程的高度复杂性 作为国民经济支柱产业之一的钢铁工业，最近几年随着中国经济的迅猛发 展，其产能也不断增加，2 0 0 5 年中固的粗钢产量更是达到了3 4 9 4 亿吨，成为世 界钢铁超级大国。产能的增加必然要对产品的质量提出更高的要求。高炉炼铁作 为钢铁生产流程的二游工序，为下游的炼钢工序提供质量合格的铁水，在现代化 钢铁联合企、业中有着重要晌地位和作用。 高炉是工业上最大的单体生产设备，其炼铁工艺自身的连续化生产流程是t b 诸多子工序组成，如图1 1 所示。 # ，削指令 主控室 卉目、累必 卷扬上料 布料系统 唢煤 高氟、鼓风 槽下配料 系统 f 齐息来 ： 炉顶混台煤气 口动分析 抖线( 料速) 小伴叭立、j | 、i s 漉帚臼础拎蝌 篓忘 到盘 图1 1 高炉炼铁工艺流程的控制图 从工艺流程的角度看高炉炼铁工艺主要包括以下作业和工序内容 1 ) 值班工长在主控室的“炉内作业”； 2 ) 炉前的出渣、出铁作业： 浙江大学硕士学位论文 3 ) 槽下原燃料的配料与称量子系统； 4 ) 炉顶卷扬的上料与布料子系统； 5 ) 热风炉的燃烧与送风子系统： 6 ) 富氧与喷吹煤粉子系统： 7 ) 高炉冷却水子系统； 8 ) 设备维护予系统； 9 ) 煤气采样与分析子系统； 1 0 ) 生产涧度协调，调度室配送渣罐、铁罐等； 1 1 ) 化验室化验原燃料、铁水、炉渣等化学成分： 1 2 ) 过磅站铁水称量系统等。 同时各个子工序间互相作用和影响，决定了高炉炼铁工艺过程的复杂性。 首先，高炉冶炼过程众多子工序包含着大量的影响因素，包括配料、上料、 布料、鼓风、富氧、喷煤、出渣、出铁等，各个坏节的影响参数多达数百项。其 次，高炉内部流体存在着复杂的相态，如从炉顶加入的铁矿石、焦炭呈固态，流 出的铁水呈液态，鼓入的热风和产生的高炉煤气为气念，三相流体之问不断进行 着动量、质量和能量的传递和转换。同时铁矿石在各种条件下进行着各种化学反 应，炉料从炉顶处下降，下降过程中受到上升煤气的阻力并被加热，越向f 温度 越高，各种反应随之发生。矿石逐步熔化形成软熔体，矿石中的铁元素被逐渐还 原出来。在滴落带，渣、铁熔化滴落，穿过焦炭层下降到炉缸区域，形成铁水和 炉渣。在这个炉料不断下降，煤气不断上升的过程中，流体的相态不断发生变化， 这个过程非常复杂。 高炉炼铁工艺流程的复杂性，集中表现为高炉炉况的复杂性，从而导致数学 建模的复杂性。例如，高炉冶炼过程中，在固体下落的同时气体要上升，如果气 体对固体的阻力太大，就会导致悬料等炉况事故发生。而若炉内化学反应状忿不 均匀，那么又会导致崩料等炉况事故的发生。同时，悬料和崩料等炉况故障状态 判断的边界又是非常模糊的，这更增加了高炉炉况识别的复杂性。在高炉炉内不 断进行着高温物理化学过程，煤气流和固体、软熔体和液体在不断她对流运动中， 每一批入炉原燃料的化学成分也是不断变化的。外部环境对丌放型的高炉冶炼进 程也产生着影响。在这样错综复杂的生产环节链中某一个子工序的某些环节 浙江走擘硕士学位论文 出现波动或故障，都要影响到高炉的冶炼进程，导致高炉的不同运行状念。 高炉炼铁工艺和炉况的复杂性，使得高炉冶炼过程的控制也变得相当复杂。 高炉冶炼过程作为一个高度复杂的非线性动力学过程，仅从化学反应动力学角度 考察，炉内发生的主要化学反应就多达1 0 8 种 2 】，其复杂性可想而知。面从流体 动力学角度考察，高炉冶炼过程存在着三相混合可压缩的粘性流体，其流体动力 学方程完全是非线性的。此外，高炉冶炼过程所具有的时变、高维、分布参数等 复杂特性和封闭条件下的操作所带来参数检测上的困难，都使得高炉冶炼过程的 自动控制成为冶金自动化的技术难题。 】。2 高炉炼铁中炉温预测的重要性及其模型研究概况 在高炉冶炼过程控制中，炉温控制是最重要的控制，是高炉过程控制的基础 与核心技术。炉温控制在币常范围内，高炉就顺行。如果炉温控制发生波动，以 致形成“过热”或“过凉”的趋势，则容易诱发炉况故障。因此可以说，炉温控 制的好坏直接影响炉况的波动，而炉况状态又决定着炉温的控制模式。所以，高 炉冶炼过程自动控制的技术难度究其原因是建立高炉炉温控制数学模型的难度。 在高炉冶炼过程中，在严格意义上，“炉温”包括铁水的物理温度和化学温 度两方面。铁水物理温度出热电偶测量得到，而化学温度则以铁水含硅量f 厨 来 描述。但是在闩常高炉炼铁生产：中，“炉温”主要是指铁水台硅量 s 门。本文中 的炉温预测模型则按照炼铁工艺需要，建立铁水含硅量【西 的预报模型。 铁水含硅量 s f 是评定高炉炉况稳定性和生铁质量的重要指标，也是表征高 炉热状态及其变化的主要标志。铁水含硅量暇l 是由化验确定的。其目测值是由 工长通过目测铁水沟罩铁水的温度和铁花颜色束估计的。这要凭经验，误差大小 因人而异。虽然铁水耿样送化验室分析含硅量比较准确，但是化验结果要等半个 小时后才能得到。这样，在许多情况下发现铁水中的含硅量不符合要求时，就为 时己晚，已无法通过及时调节各输入参数来改善炉况和铁水质量，造成生产上的 损失。同时，炉温控制是种大时滞的预测控制，它要求工长对当前炉温的发展 做出一确的预测，采取正确的调控措施，那么在大约1 5 后i h 来的下炉铁水含 硅量 s i 爿能够符合质量要求。因此，探索炉温预测方法，对高炉铁水含硅量进 浙江大学硕士学位论丈 行预测，对提高高炉操作水平具有重要的价值。 多年来，为了有效地控制高炉冶炼过程，对铁水含硅量 s f 】预测方法的研究 一直是炼铁科研中的重要课题。据不完全统计，目前已丌发的高炉铁水含硅量 s f 的预报模型中，既有静态模型，又有动态模型，或者是两者的结合。根据其 预测原理的不同，大致可以分为： 1 ) 高炉炉热状态指数法 砒，模型| 】和e c 模型【4 1 就是这种方法的典型。w u 和e c 模型，是利用炉顶煤 气成分和铁水成分，借助于高炉物料平衡和热平衡计算高炉炉热状态指数，进而 反映高炉铁水含硅量 跚的变动特征。 2 ) 时问序列白回归模型法 基于数理统计的方法，以高炉铁水含硅量 s i 的历史数掘为基础，按照时间 序列自回归方法，结合参数建立线性或非线性的a r 预报模型。该模型在炉温平 稳的情况下，具有比较高的命中率。 3 ) 动力学模型法7 1 1 8 】 将高炉冶炼过程视为非线性动力系统，基于混沌理 ，以往线采集豹高炉铁 水含硅量 s i 】时问序列作为样本空蚓，预报值和实际值之间的相关系数为衡量指 标，建立高炉铁水含硅量嘟】的预测模型和控制模型，取得了较好的预测效果。 4 ) 网络模型法 比较典型的是神经网络模型【9 | 【l ”、0 1 n l 嘶网络模型埽叫、波网络模型【1 2 | 。神 经网络( n e u r a ln e t w o r k ) 是2 0 世纪8 0 年代后期发展起来的一门新兴学科，是 由输入层、中间层和输出层3 个基本部分组成。神经网络的主要特征是：大规模 的并行处理和分布式的信息存储：良好的自适应性和自组织性；极强的学习、联 想功能和容错能力。神经网络的特点决定了它在解决模式 ： 别和专家系统问题上 能够发挥重要的作用【1 3 j 。神经网络模型有h o p f i e l d 网络模型、f e l d m a n 网络模型 等几十种，但应用最广泛、最常用的算法是b p 算法。b p 算法是种比较成熟 的误差反向传播对权值进行训练的方法，它结构简单，工作状态稳定，易于硬件 实现，主要应用于多参数、非线性预报，尤其是对无法建立准确数学模型的复杂 浙江大学硕士学住论丈 事件，可以采用这种方法进行学习训练，以提供有效的数值预报。 贝叶斯网络( b a y e s i a nn e t w o r k ) 是一种基于网络结构的有向图描述。它具 有复杂系统建模能力，还具有能学习并数量化事物阳j 的概率关系、学习推理速度 快的优点。贝叶斯网络模型就是利用贝叶斯网络在处理复杂不确定性方面的优 势，结合高炉冶炼过程各个参数的因果关系建立起来的。 应用神经网络和贝叶斯网络预测的结果标明，模型在炉温波动较大的情况 下，仍具有较高的命中率。 小波网络( w a v e l e t n e t w o r k ) 是基于小波分解的网络结构，具有良好的时域 和频域的“显微镜”功能，可以对信息成分采取逐渐精细的时域与频域处理。信 号可以通过小波分解一层一层地分解到不同的频率通道上。分解后的信号在频率 成分上比原始信号单一，并l y f l , 波分解对信号做了平滑，因此分解后信号的平稳 性比原始信号好得多，对于信息的分析研究具有明显的优势，能够得到较好的预 测结果。 5 ) 模糊预测法1 1 4 心1 浚方法是将模糊数学理论和随机系统理论联系在起，结合在线采集的乍产 数据，建立一籍套高炉铁水含硅量 所】的预报模型。并l 矿以将此模糊逻掣 系统f 门 学习和推理与神经网络的学习和并行计算能力结合起来，使得系统得到更好的预 测效果。 在时间序列分析中，线性模型的研究同趋成熟，且取得有效应用。而高炉冶 炼过程是一个非线性、大噪声的动态过程，动态模型更能反映高炉动态变化特征。 但这些模型也有不足之处，如动力学中的混沌模型，虽然混沌信号可以通过重构 体现在嵌入空间的一个低维流形上，其重构的轨迹可以预测，但混沌吸引子的内 在行为具有相当的不规则性和十分复杂的几何结构，且混沌现象具有对初始条件 的敏感依赖性，只要初始条件稍有差异或微小扰动，则会使系统的最终状态现 巨大的差异。 神经网络模型在国内炉况波动比较大的中、小型高炉上运用并不理想，尤其 基于b p 神经网络来实时地预测时，主要是由传统神经网络的学习算法而引起的， 从而影响预测模型的可靠性和准确性。因此，在探索新的预测模型时，可以将优 势互补的方法结合起来，使得预测能取得更好的效果。 浙江大学硕士学位论支 1 3 论文的主要内容 建立小波神经网络模型进行炉温组合预测 高炉炼铁中，铁水含硅量 踟的形成过程实际上可以分解成平稳的随机过程 和受控过程两个部分。炉温作为平稳的随机发展过程是出众多影响因素形成的惯 性发展过程，而受控过程则是对风温、风量、喷煤量等控制变量和料速、透气性 等状念变量的调整，以期达到对高炉炉况和炉温发展趋势的调控，从而保持炉温 发展的平稳状念。高炉炼铁的基础自动化为保持炉温n 勺平稳发展创迅了基础条 件，但是如果不能矿确地预测和调控炉温，仍然难免炉温发生剧烈波动。本文应 用小波分析和神经网络相结合的方法进行铁水含硅量的分析和预测，目的就是为 炉温的平稳控制提供保障。 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同 时具有理沦深刻和应用广泛的双重意义。这是一个时闻和频率的局域变换，因而 能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算能够对函数或信号进行多尺 度细化分析( m u l t i s c a l e a n a l y s i s ) ，解决大量困难问题。小波分析在数学领域本 身的许多学科以及信弓分析、图像处理、量子力学、计算机i j 别、数 j l j ：胍缩、 c t 成像、地震沏探数据处理、边缘检测、音乐与语者人工合成、机械敝障珍断、 大气与海洋波的分析、分形等方面都己取得了具有科学意义和应用价值的重婴成 果。小波变换可以将各种交织在一起的不同频率组成的混合信号分解成不相同频 率的块信号，在时域和频域上具有良好的局部化性质，从而被誉为“数学显微镜”。 它能够将一个信号分解成信号对空间和时间的独立部分，同时又不丢失原信号所 包含的信息，并且可以找到j 下交基，实现无盈余的信号分解。由于分解后的信号 在频率成分上比原始信号单一，并且小波分解对信号做了平滑，因此分解后信号 的平稳性比原始信号要好得多，对信息的分析研究具有明显的优势。 人工神经网络有非常强的学习能力和非线性映射能力，经过适当训练能使其 充分逼近任意复杂的非线性关系。与其他方法相比，它具有苴接性，为解决大复 杂度问题提供了种相对来说比较有效的简单方法。人工神经网络比较容易解决 具有上百个参数的问题，与实际生物体中存在的神经网络相比，程序模拟的神经 网络当然要简单得多。 浙江大学碰士学位论文 小波神经网络是将小波分析理论和神经网络理论结合起来的一种网络结构。 它继承了两者的优点，具有良好的函数逼近能力和模式分类能力。同时，它避免 了b p 神经网络结构设计的盲目性和局部最优性等非线性优化中的问题，大大简 化了训练，具有较强的函数学习能力和推广能力。 本文针对高炉炼铁中铁水含硅量f 跚时自j 序列的多时间尺度和非线性特征， 提出了将小波分析和人工神经网络结合起来进行炉温组合预测的思路。论文阐述 了小波分析与神经网络理论的基础，建立松散型和紧致型小波神经网络预报模 型，并应用相关的计算程序处理了邯郸7 号高炉的实际生产数据。通过多种预报 模型对比结果表明，应用紧致型小波神经网络进行铁水含硅量预报能够得到符合 生产控制要求的结果。 浙江大学硕士学位论文 第二章小波分析基础 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) e n d , 波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是2 0 世纪 8 0 年代后期迅速发展起来的应用数学分支，汲取了诸如泛函分析( f u n c t i o n a n a l y s i s ) 、数值分析( n u m e r i c a l a n a l y s i s ) 、傅立叶分析( f o u r i e r a n a l y s i s ) 、样 条分析( s p l i n ea n a l y s i s ) 、调和分析( h a r m o n i ca n a l y s i s ) 等众多数学分支的精华， 在理论上已经构成了比较系统的框架。 本文主要是利用了小波变换中基于多分辨率分析的m a l l a t 算法埘原始数 ：l 】： 信号进行小波分解和重构。因此，本章从连续小波变换的定义和重构出发，由小 波基的“冗余”引出了离散小波变换的定义和重构，并在此基础上考虑了可以输 入任意长度和简化计算复杂度的最大重复小波变换。由此得到多分辨率分析，提 出m a l l a t 分解和重构，为本文的模型建立提供了小波理沦基础。 2 1 连续小波变换( c w t ) 定义2 1 设，( r ) ，( f ) 是平方可积函数，且( f ) 的傅立叶变换o e ( t ) 满足 条件： 吼吲虮q = 旨d 1 ) ，表示用伸展了的( ，) 波形去观察 整个厂( f ) 。反之，当口减小时( 0 口 1 ) ，则以压缩了的( ，) 波形去衡量厂( f ) 的 局部。所以，随着尺度因子从大变到小( o a 1 ) ，小波变换的时窗就增宽，而频宽就变窄。 虽然。( ，) 的时窗、频窗的中心、宽度随着口、b 在变化，但在时频棚平面 塑兰查主堡主兰竺笙墨 一 上，时窗和频窗所形成的区域( 即窗口) 的面积为： 1 a t a c a = a a t r 4 哆2 a t p 略 它是不随a ，b 的变化而变化的。 综上所述，易知在时一频相平面上，小波变换( 口，6 ) 的时频窗是面积相等 但长宽不同的矩形区域。这些窗口的长、宽是相互制约的，它们都受参数口的控 制，而尺度参数口是与小波变换( 口，6 ) 所反映原信号，( r ) 的频率成分相关的量a 当d 较小时，彤( g ，6 ) 反映的是f = b 时附近的高频成分的特性。当g 较大时 w t ( 。，6 ) 反映的是仁b 时附近的低频成分的特性，所以有这样的对应：盯：小斗大 频率甜：大专小。这限像丌始时分析的那样，“旆平”状的时一频窗是符合信 号低频成分的局部时一频特性的，而“瘦窄”状的时一频窗是符合信号高频成分 的局部时一频特性的。 因此，时一频相平面上的窗口分布如图2 ，1 所示1 1 9 】。 l j 1 啦 l _ _ 口 a t 一 甜 p at l 矗国 1 a t、 q 7 上 7 图2 1 小波变换的时一频平面 2 浙江大学硕士学位论文 2 2 离散小波变换( d w t ) 2 2 1 连续小波变换的冗余和再生核1 2 。j 由小波的反演公式可知，厂( f ) 可由它的小波函数，( 。，b ) 精确地重建，也可 看成将( ，) 按“基”。( f ) 的分解，系数就是，( f ) 的小波变换。但是“基”叫( f ) 的参数口，b 是连续变化的，所以。( f ) 之问不是线性无关的，也就是既，它们 之中有“富余”的，这就导致彬( 。，6 ) 之问有相关性。 对于“= 日l ，b = b i ，有 ，( q ，h i ) 2 。厂( ，) 、( ，瑚 = 专( e p 懈慨心) 蝴) 瓦i 砑 。瓦i b w iw 旭6 ) ( 从一( r ) 面励协拍 = f 专( 咖) l ( 帅啪i ) d a d b 舯 ，( a , a l , b , b t ) = 专从以) 丽。 上面说明( n b ) 处的小波变换( q ，6 i ) 可以由半平面o d ，一* b 0 是常数， ( ，) = n 。2 少( f k b o ) ，- ，a z ， 则称( 女) = e ，( f ) 万劢为，( f ) 的离散小波变换。 离散小波变换是尺度一位移相平面的规则分靠的离散点上的函数，与连续小 波变化相比，少了许多点上的值，因此，自然就会引起如下两个问题 1 ) 离散小波变换( ，) 是否包含了函数，( ，) 的全部信息，或者说，能不 能由( _ ，女) 重构原函数( r ) ? 2 ) 是否任意函数厂( f ) 都可以以。( f ) 为“基”表示出来，即 厂( f ) = q ，。矿卅( f ) ， ，k z 4 浙江大学硕士擘位论丈 如果可以，c j 。是什么? 2 2 3 小波框架与r e i s z 基 定义2 , 4 设妒( r ) 是基本小波函数，妒。( ，) = a o2 ( 一7 ，- k b o ) ，k z ，若 对于任何f ( t ) r ( 尺) ，有 a l v l l 2 。) 1 b 2 ，o a b o 。 则称 。( f ) 。，构成了一个小波框架。 若 妒肚( ，) 。还是线性无关的，即当c 肿y m ( f ) = o 时，必有c 。= 0 ， 则称 小( 叫。为r e i s z 基。 事实上，对于上节提出的两个问题，若问题1 ) 成立，则问题2 ) 肯定成立。 假设问题1 ) 成立，即对于厂( ，) l z ( r ) ，可由( ，) = ( 厂，肿) 重i f o f ( t ) 有 邝) = ( 厂，卅) 儿， 其中痧m ( ，) 称为肚( f ) 自i x , t f p 4 t 它也是某小波矿( f ) 的伸缩平移系，则对任何 g ( t ) l 2 ( 尺) ，可以得到： ( g ，厂) = ( f ，g ) f ( 帆。) 畋船) j , k ， 于是有g = ( 西妒， ) y ，j ，这就说明，任意g ( f ) r ( 月) ，可由哆，。( ，) 线性表出， j p 这即是问题2 ) 成立。因此，对于上节中的两个问题，只需要讨论问题1 ) 即可。 由直观就可知，x r j 于不加限制的尺度i r a j 辐a o 、时间间隔b 所得到的小波函数 o f 卅( ，) ，相应的离散小波变换( ，t ) 不定包含了( ，) 的所有信息，此时，由 ( ，尼) 就不一定能重构厂( ，) 。因此，要想由离散小波变换( ，七) 重构厂( ，) ， 就需要对虬，- ( f ) 有所限制，而满足小波框架定义就是对虬，。( f ) 的种限制。 e 舻 _ 铲 b ! ， 似 净? g 、 _ p p 帆 嘶 裂k 情 i i = 浙江大学硕士学位论文 下面我们对满足框架条件的离散小波变换( ，) = ( 厂，h ) 来讨论，( f ) 的 重构问题。 1 ) 当a = b = 1 时，有 们) = ( ，膏) 。( r ) 事实上，此时 25 渺蝴) i 由此可以知道 卅( ，) 。构成r ( r ) 的标准正交基。所以 巾) = c 肼( f ) ( 厂，。) = c ( 卅，。) ， 由于当( 歹，女) ( ，”) 时，( 卅，。) = 0 ，所以 c o 。，= ( ，杪。) m n z 卜是有 弛) = ( 厂，妙n ( ，) ) y n ( ，) 因此可以得到a = b = 1 时，小波框架是小波正交基。 2 ) 当a = b l 叫，有 朋) = a 。( 厂，坩( r ) ) 。( f ) 3 ) 当爿b ，但s ：旦一1 1 时，则有 月 m ) 。赤磊( 加肿( f ) ) 卅， 其中r 是了笔8 州阶的，这种框架成为几乎紧框架，这旱就不赘述了。 4 ) 当a b ，也不是几乎紧框架时，有 巾) = ( ，朋) 蚝( f ) 其中，驴卅( f ) 是杪卅( f ) 的对偶小波。 当a b 时，( ，小( ，) ) 缈m ( f ) 就不能保证与厂( f ) 相等，记 g ( f ) = ( 厂，卅( o ) y 坩( ，) _ 可， 堑兰苎一兰翌l _ 二已兰l j 竺三一 则f = f - g = f 。( f , q 小( f ) 渺* ( ，) = ( ，小( f ) ) f 。“( ，) j e z 又记f + 1 妒h ( ，) = 妒h ( f ) ，则 ，( f ) = ( ，妒小( f ) ) ( f ) ， e z 若妒。( f ) 是帆f ) 的伸缩平移： 驴m ( ，) = d o2 驴( t 一) 则可以得到 几) = ( - 厂，。( r ) ) 护小( f ) 。 上面4 条说明了在各种情况之下，由小波框架表示函数或由框架对应的离散 小波变换重构函数的公式，其中厂( f ) = ( ，( f ) ) 旷卅( ，) 是般情形的表达 式，但它不能直接应用需要首先寻求妒卅( f ) 的对偶小波妒m ( f ) 。 定理2 2 设 。( f ) 。：是界为a ，b 的小波框架，记 可= ( 厂，y 甜( f ) ) 妒坩( f ) ， 则。( ，) 的对偶小波妒小( f ) = f 一y 硝( f ) 也构成一个框架，且 b - 2 i ( ，驴肚) i 爿“2 。 一般t i t b i t 4 、波框架，- ( f ) 并不j f 交，甚至还可能线性相关a 因此，框架所 对应的离散小波变换所含信息是有冗余的。在紧框架下： 厂( f ) = w 舢，女) ( f ) t 而在( ，k ) 处的离散小波变换为： 町( ，o ，) = 【。厂( r ) ( f 眇 = 抛z 。w f ( j 舰删， 浙江大学硕士学位论文 = 1 , 丢z w l ( j ，女) 蚧朋丽 = 专町( ，t ) ( ，k ，j o ，k o ) ，l ，女e z ：j ：毒6 fk ( j ，k ，j o ，) = 时( ，) 和。 和连续小波变换的情况类似，上式表明了( ，k o ) 处的小波变换与其他离散点 ( ，幻处的小波变换的关系，它可由周围其他点的小波变换“线性表出”，而这个 “周围”就是由k ( ， ，k o ) 所决定，使得，( ，k ，j o 。k ) 不为零的所柯点( ，) 1 ： 的小波变换都对( j o ，k o ) 点处的小波变换做出“贡献”，称这罩的k 为离散小波变 换的再生核。 2 2 4 离散小波变换| 2 2 1 从理论上讲，小波系数形。等于x ( f ) 与。( ，) 的卷积，但山于实际中x ( f ) 为 一些离散点，所以。，是通过d w q l ，由滤波系数计算得到而不需讨算。( f ) 。 设x 是个n 维向量，其元素为实值的时删序列h ，t = 0 ，n 一1 ) ，其- 1 l ： n = c x 2 ”，其中c 为常数，为j 卜整数。x 的级部分d w t 是一个由1 4 = w x 给出的f 交变换，其中是一个由d w t 系数构成的维向量，w 是一个定义了 d w t 的n x n 维实值矩阵( 若= 2 ”，m 。= m ，则得到完全d w t ) 。d w t 系 数向量和矩阵w 可按下列方式分割： w = 暇，一，】7 w = 【w i ，w 2 ，w n ，】 其中眠= j 。，k 。= x ，m = l ，m 。，这罩呒，是一个帆= _ 2 “维的与尺 度o = 2 ”- 。上的变化相关的小波系数参量；是一个虬n 维矩阵：是一个 m 。维与尺度= 2 “上的平均相关的尺度系数向量：n 。是一个m 。n 维矩阵。 向量x 也可出d w t 系数向量合成： 浙江大学硕士学位论文 啦1月l “ x = w 矿= ”+ v 。7 ，= 见，+ s 。 n i = 1m l 上式定义了的多分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，简称m r a ) ，即将爿 m 分解为+ 1 个n 维向量b ，= ，= l ，m 0 ) 和。= ，。，称见，为 对应于尺度k 的用级细节( d e t a i l ) ，鼠。为对应于尺度九的级平滑( s m o o t h ) 。 实际应用中，并不明确形成d w t 矩阵w ，d w t 系数向量缈的计算是应用 小波滤波器和尺度滤波器通过塔形算法进行的。个具有偶数非0 长度上的滤波 器 勺，= 0 ，l l 如果满足 和 l - i 岛= o 1 = 0 鼽：。= f j n = 0 其它 则称之为小波滤波器，上式表明小波滤波器具有币交性。 尺度滤波器 g ，= 0 ，一1 是小波滤波器定义的，即 苫，= ( 一1 ) “h i 。， 尺度滤波器满足 和 自岛。= o 。 设日( ) 是 鼻 的转换函数，即 定义 n = 0 其它 ，z l i ( ) = 铲。叫= 妒“删 ，l 嘲，= o 疗( _ ，) = i h ( s ) 1 2 浙江大学硕士学住论文 为 的- y 力。瑁益凼数，则i r 父性普价十 敢m ：( f 十尹1 = 2 设g ( ) 和0 ( ) 分别为尺度函数 g ，) 的转换函数和平方增益函数，则有 町) = 膏( 丢- 厂) 由此可得 町) + g ( f + 吉) = 2 疗( ，) + 0 ( f 1 ：2 小波滤波器 岛) 是一个高通滤波器，其通带为百1 i j i 圭，尺度滤波器 g ，) 是 一个低通滤波器t 其通带为o - i 厂| j 1 。 设，s f 郴，。，。一，r ，塔形算法的第啪步是通过埘匕。中的 虬一1 个元素的循环滤波器并保留具有奇数下标的滤波值，得到第卅级小波系数 岷。，和尺度函数k 。，分别为： 。= 岛m + 。 ，。= g ，叱2 。h 。 其中，月= 0 ，n 。一1 ，“a r o o d6 ”按如下定义：如果口为整数。 10 d b 一1 则a m o d bs 口。如果a 是其它的整数，则口m o d b ；d + n b ，其中月是满足 0 日+ n b b 一1 的一个整数。由。构成向量，由，。构成向量，即 岷，s 【k 柚，呒_ ，“一t r ，； 舯吒，一，】。令；工，塔形算法从 埘= 1 丌始循环计算得到脚= 2 ，r r t 。时的m 0 个小波系数向量咖= l ，m 。) 和 一个尺度系数向量，。 虽然在实际应用中，rk 。是由塔形算法计算得到的，但理论上讲， 也可直接由得到： 一 堂兰垄兰塑主兰堡堡墨 k i = x ：。+ 。 其中 ，) ， g 。 分别为m 级等价小波滤波器和尺度滤波器( 丘，= h ig 2 g ，) 其宽度均为l 。，= ( 2 ”一1 ) ( 上一1 ) + 1 。h 州，“的转换函数分别为 m 一2 h 。( 厂) = h ( 2 ”l 厂) 恐0 ( 2 7 ) g 。( f ) = 兀c ( 27 厂) 且有h ，( 厂) = h ( f ) ，g l ( f ) = g ( f ) 。 滤波器 九“) 是一个带通滤波器，其通带为1 2 “_ ( i l l _ ( 1 2 。