（计算数学专业论文）强健的一维守恒型间断跟踪法.pdf

摘要 本文进一步分析、推广和提高文 2 9 中提出的守恒型间断跟踪法。该跟踪法是 以解的守恒性作为跟踪的机制，而不是象传统间断跟踪法那样利用r a n k i n e h u g o n i o t 条件。在 2 9 中，当将该方法运用到方程组的情况时只有一阶精度。这是因为在方程 组的情况，在被跟踪的间断处会有其它特征域的波，并且它们可能会穿过被跟踪的 间断，这会影响算法的高精度实现。文 2 9 中所设计的技巧只能保证一阶精度。在本 文中，我们设计了该算法在一维方程组情况的一种高精度实现，即通过合适地修正 间断两侧的数值解来将间断一侧的其它特征域的波传到被跟踪间断的另一侧，以此 来实现被跟踪间断线上的移动边界条件。我们通过在间断处解r i e m a n nf 可题得到那 些需要穿过被跟踪间断的其它特征域的波，并且采用了高阶的重构、高阶l a g r a n g c 插值和高阶的数值积分以及有限制的波分解等，来修正间断两侧的数值解。我们还 对算法作了严格的局部截断误差分析，证明了该算法是高阶精度的。 我们还讨论了间断相互作用可通过求解r i e m a n n 问题来实现，并讨论了1 r i e r i l a i l r l 问题分解出来的需要被跟踪的间断所对应的网格上的数值解如何来确定。我 们还设计了一些规则来处理多个间断的情况，把间断的移动和相互作用的无穷多种 情况进行了有限化，使得我们的算法可以做成一个强键的算法，它可以处理任意多 个间断的移动和相互作用。 最后，我们将此算法应用到一维的e u l e r 方程组上，其中处理了激波在固壁上 的反射，自发生激波，推广到多介质流体等，并对算法用f o r t r a n 9 0 语言按面向对象 的编程方式进行了程序实现。从而完成了一个几乎可以处理任何情况的和捕捉法几 乎一样强健的一维跟踪法。 关键词：守恒律，间断跟踪法，高阶精度，间断网格 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r w ef u r t h e ra n a l y z e i m p r o v ea n dd e v e l o pt h ec o n s e r v a t i v ef r o n t t r a c k i n gm e t h o dd e v e l o p e di n1 2 9 i nt h em e t h o di n 【2 9 ，d i s c o n t i n u i t i e sa l * et r a c k e d b ye n f o r c i n gt h ec o n s e r v a t i o np r o p e r t i e so ft h ep d e sr a t h e rt h a nb yu s i n gt h er a n k i n e - h u g o n i o tc o n d i t i o n t h em e t h o di n1 2 9 i so n l yf i r s to r d e ra c c u r a t ew h e na p p l i e dt o s y s t e m so fc o n s e r v a t i o nl a w s t h i si sb e c a u s ei nt h es y s t e me a s en e a rt r a k e dd i s c o n t i n u i t i e st h e r e & r ew a - t si no t h e rc h a r a c t e r i s t i cf i e l d sa n dt h e ym a yp r o p o g a t e8 ：r o s st h e d i s c o n t i n u i t i e s t h em e t h o di n 2 9 t r e a t st h i sp r o p o g a t e 。a c r o s so fw a v e si naf i r s t o r d e r f a s h i o n i nt h i sp a p e r w ed e v e l o pa h i g ho r d e rt r e a t m e n to ft h i sw 8 p r o p o g a t e - a c r o s s o nt r a c k e dd i s c o n t i n u i t i e sa n dt h u se n h a n c et h ea c c u r a c yo ft h em e t h o d w em o d i f yt h e s o l u t i o no nt h et w os i d e so ft h et r a c k e dd i s c o n t i n u i t i e sb yu s i n gh i g ho r d e rr e c o n s t r u c t i o n p r o c e d u r ea n ds o l v i n gr i e m a n np r o b l e m s a tt h et r a c k e dd i s c o n t i n u i t yp o s i t o n st of i n do u t t h ep r o p o g a t i n g - a c r o s sw a v e sa n dt h e nd i s t r i b u t et h e mt ot h es o l u t i o no nt h et w os i d e s i n t h ep r o c e s s ，w ea l s ou s eh i g ho r d e rl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n s ，n u m e r i c a li n t e g r a l so fh i g h e r o r d e r sa n dl i m i t e dw a v ed e c o m p o s i t i o n s 。w ep r e s e n tar i g o r o u sa n a l y s i so ft r u n c a t i o n e r r o r st os h o wt h a tt h em e t h o de q u i p p e dw i t ht h et r e a t m e n to fw a v ep r o p o g a t e - a c r o s si s h i g ho r d e r a c c u r a t ei ns o m es e n s e w ea l s od e s c r i b et h et r e a t m e n to fc o l l i s i o n so fd i s c o n t i n u i t i e s ，i nw h i c hr i e l n a n n p r o b l e m sa r e s o l v e dt of i n do u tt h ed i s c o n t i n u i t i e st h a ta r en e e d e dt ob ef u r t h e rt r a c k e d t h e nt h ec o r r e s p o n d i n gd i s c o n t i n u i t yc e l l sa r ed e t e r m i n e d c e r t a i nr u l e f sa r es e ti nd e a l i n g w i t hm o v i n ga n dc o l l i s i o n so f a r b i t r a r ym a n yd i s c o n t i n u i t i e s ，a n dt h e yf i n i t e l i z et h ep o s s i b l e c a s e sw ew i l lh a v ei nt h ea l g o r i t h m t h i sm a k e si tp o s s i b l ef o ru st ob u i l da “g e n e r a l p u r p o s e da n dr o b u s t ”f r o n t t r a c k i n gm e t h o d f i n a l l y ，w ea p p l y o u rf r o n t t r a c k i n gm e t h o dt ot h ee u l e rs y s t e mo fg a sd y n a m i c s ，i n w h i c hs h o c kr e f l e c t i o no ns o l i dw a l l si st r e a t e d s p o n t a n e o u ss h o c ka r ec a p t u r e da n dt h e n t r a c k e d ，a n dm a l t i f l u i da r ec o n c e r n e d f o r t r a n 9 0l a n g u a g ea r e u s e dt oc o d et h ea l g o r i t h m i na no b j e c t o r i e n t e lf a s h i o n ，t h u s ，w eh a v eb u i l ta na l m o s t “g e n e r a l p u r p o s e da n d r o b u s t ”f r o n t t r a c k i n gm e t h o d k e y w o r d s ：c o n s e r v a t i o nl a w s ；f r o n tt r a c k i n g ，h i g ho r d e ra c c u r a c y ，d i s c o n t i n u i t yc e l l i i 求 上海大学 本论文经答辩委员会全体成员审查，确认符合上海大学博士学位论文质量要 答辩委员会名单 主任：( 工作单位，职称) 委员： 嵋钐匆暂 廖爰 复易是孑刍彳形巧知1少手岁岁 秘力一 碑灶 翔砺 答辩日期：细斗6 i g 虽贺 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰 写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名 第一章引言 随着计算机科学技术的飞速发展，计算流体动力学自2 0 世纪6 0 年代中期已 形成一门独立的学科分支，成为研究流体运动戴律，解决很多工程实际闻题的三大 手段( 理论，实验和计算) 之一。计算流体动力学( c o m p , l t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s 简称c f d ) 是利用计算机和数值方法求解满足定解条件的流体动力学方程( 组) 以 获得流动规律和解决流动问题的专门学科。而守恒型方程( 组) 及其数值方法做为 计算流体动力学的一个重要的组成部分也得到了快速的发展它所关心的是对其 有如下形式的守恒型方程( 组) 1 , + ，( u ) 。= 0 进行数值模拟。该守恒型方程( 组) 是由物理定律的积分形式得到的。其在工程技术 领域有着很广泛的应用，很多重要的物理和力学现象都可归结为守恒型方程组。 其中最著名的守恒型方程组是e u l e r 方程组( 2 2 6 ) ，它是由物理中的( 质量，动 量，能量) 三大守恒定律得到的，是空气动力学的基本方程组。其在航空，航天及 大气科学等领域中都有着很广泛的应用。 守恒型方程( 组) ( 1 ，1 ) 是拟线性双曲型方程( 组) 对于它，无论所给的初值 及边值条件如何光滑，它的解都会产生间断，而且间断既可以产生( 自发生激渡) 又可以消失。另外解还有连续部分，它可以是简单波，如压缩波，稀疏波等。间断 在物理和力学中就对应着激波和切向间断。激波在流体动力学中有着双重的重要 性，它既是人们关心的一种物理现象，又是求解流体动力学方程f 组) 时需加以关 注的数学特性。以上的这些特性给求解流体动力学方程组带来了数学上的和数值 模拟上的困难通常人们所使屠的数值方法是在假设解是光滑的前提下设计妁。 当解产生间断时，如果仍然用求光滑解有效的数值方法来求间断解，则往往会在 间断附近出现菲物理的振荡或间断磨损。数值解在间断附近出现非物理的振荡是 因为算法非线性不稳定，而在间断处有磨损是因为在间断附近算法含有过多的粘 性影响了精度。因此设计既稳定又是高阶精度的算法是守恒型方程( 组j 数值方法 所需要面临的问题。 求解方程组f 1 1 ) 的数值方法可分为两大类：间断捕捉法和问断跟踪法。 1 1 间断捕捉法 间断捕捉法的特点是；在计算的过程中不考虑间断的存在而在整个流体的任 何地方都用几乎同样的数值格式，借助方法所固有的数值耗散性效应( 或者数值 粘性效应) ，自动地捕获到所要计算的间断，它期望间断在数值解中表现为很窄的 过渡层。该类方法的思想比较简单，便于编写程序古典的人工粘性法以及各种 具有数值耗散性的有限差分方法都属于此类近十几年来，人们研究设计了一系 列求解方程组( 1 1 ) 的高分辨率间断捕捉法，如t v d 格式、t v b 格式、e n o 格 式、p p m 格式和带子网格技巧的e n o 格式及w e n o 格式等，见 6 ， 1 5 f 1 8 ) 4 0 】等用这些差分格式计算得到的数值结果的精度比较高，基本上消除了在间 断附近的非物理的振荡现象，同时对间断的磨损程度也比较低但是间断捕捉法 不能分辨出间断在网格内的确切位置和解的结构，并且在间断附近数值解的精度 是o ( 1 ) 阶的 1 2 间断跟踪法 与捕捉法不同的是，间断跟踪法( f t o n tt r a c k i n g ) 是把间断作为移动的内边界 来处理。这样整个求解区域就被间断线分为若干区域，在每个区域中，解被假设 为是光滑的，用计算光滑解有效的数值方法来求解这些区域中的数值解，而间断 的移动要满足r a n k i n e - h u g o n i o t 条件。这可通过求解r i e m a n n 问题计算间断的移 动速度，从而就可以确定间断在每一时间层上的间断位置。但这样处理之后，方 程组( 1 1 ) 的守恒性一般不能保证。 较早的跟踪法思想可见r i c h m y e r 和m o r t o n ，见f 3 7 1 在过去的三十多年中， 人们研究设计了很多这种类型的间断跟踪法，见 4 】， 7 一 1 2 我们称这类方法为传 统的间断跟踪法而关于跟踪法如何在一维空间的实现可见 1 4 ， 2 4 1 ，( 2 5 ， 3 4 】和 4 2 】等。传统的间断跟踪法可对解的光滑部分和间断位置同时获得高精度。但是 算法很复杂，并且用该类方法求解方程组( 1 1 ) 时会遇到下列问题： ( 1 ) 由于将间断作为移动的内边界来处理，必然会用到非正规网格因此当网 2 格变得很小时就不可避免的会遇到由于c f l 条件难以满足而发生的“小网格”问 题； ( 2 ) 传统的间断跟踪法假设解是分片光滑的，数值解的高精度和高分辨率依赖 于每一时阅层上的间断位置的精确计算而当方程组( 1 1 ) 的解比较复杂，用分片 光滑函数不能准确描述时，用该类算法就难以处理，例如当解在一个很小的区域 内就有好几个自发生激波时，就属于这种情况； ( 3 ) 在处理间断的相互作用时，该类方法主要借助于求解r i e m a n n 问题，但 在将该类方法推广到高维空间时，如何求解高维r i e m a n n 问题也是一个难以解决 的问题。 1 3 守恒型间断跟踪法 近几年来，茅德康( 见 2 8 】， 2 9 】，【3 0 ， 3 1 】等) 研究设计了一种基于解的守恒 性质的间断跟踪法，它是利用守恒性来确定问断位置而不是象传统的间断跟踪法 那样利用r a n k i n e h u g o n i o t 间断条件。其基本思想来源干对间断捕捉法的如下观 察： ( 1 ) 对间断捕捉法，当解光滑时，差分格式与方程组( 1 1 ) 是相容的，但当解含 有间断和计算中产生很大的误差时，守恒性能够帮助控制误差，从而使得即使相 容性不再成立时，也能够求得正确的间断位置( 见f 2 2 ) 。只是这些方法在计算中 用到了间断两侧的数据，从而有震荡和磨损的问题。 ( 2 ) h a r t e n 的子网格技巧( s u b c e l lr e s o l u t i o n ) f 1 5 表明守恒性能够帮助确定间 断在网格内的确切位置 以上的两种观察是这一种守恒型间断跟踪法的思想基础。 目前将该方法应用到一维空间中已得到了很好的结果，可见【2 9 ， 3 0 f 3 n f 3 2 和f 3 3 1 。与传统的间断跟踪法相比较，该方法具有如下优点： ( 1 ) 如果把此方法看作是一种数值技巧，则该技巧可用到任意的间断捕捉法上 去，其作用相当于为基本格式在间断处提供了最优的人工粘性和人工压力因此 比较适于按间断捕捉法的风格对该方法编制程序； 3 ( 2 ) 由于该跟踪法利用解的守恒性作为跟踪的机制并采用了“幽灵( g h o s t ) ” 技巧，从而该方法的整个计算始终在正规网格上进行，因此克服了一直困扰着大 多数间断跟踪法的“小网格”问题，在很大程度上简化了传统的间断跟踪法编程 简洁，稳定性也很好，并且使得建立一个一般的能处理任意情况的间断跟踪法成 为可能； ( 3 ) 由于保证了守恒性，因此对间断的相互作用和自发生激波的处理简单、精 确和稳定我们的算法有。网格堆积”的技巧来处理多个间断的相互作用，并且可 以处理自发生激波，详见本文第三、四章和f 29 1 该算法正在向二维的情况推广，已取得了很大的进展。见 2 8 1 1 4 问断跟踪法的耪度问题 上节所述的守恒型间断跟踪法在单个守恒律凸流函数时很容易做到高阶精 度，这是因为此时间断两侧的流体本质上是相互独立的，因此两侧可用高阶插值 值来计算从而保证算法的高精度( 见本文第三章的讨论) 。然面将该方法推广到方 程组的时候却发生了困难。对方程组的情况，在被跟踪的间断附近会有其它特征 域的波，并且它们可簏会穿过被跟踪的闯断，这会影响算法的高精度实现文f 2 9 7 中的算法设计了种所谓的“清理( c l e a n u p ) ”的技巧来处理波传播，但此技巧只 能保证一阶精度 如前所述，我们的间断跟踪法把间断作为移动的内边界来处理因此这里的 问题实质上是怎样合适地处理边界条件而不会失去精度这也许对众多间断跟踪 法来说都是一个困难 在比较早的间断跟踪法中，例如f 1 4 j ，f 3 4 l 和f 4 2 i ，它们大多都不是守恒型的 并且都只有一阶精度。c h e r n 和c o l e l l a 在文f 3 1 及l e v e q u e 和s h y u e 在文【2 3 j 和f 2 4 中都提出了守恒型的间断跟踪法这两种方法都采用了自适应的阿格并且 被跟踪的间断被设置在非正规网格的边界上。第一种方法通过修正在非正规网格 的边界上的数值流函数来稳定计算，然后将数值流函数的差按特征场中的波进行 分解，并将分解得到的波分配到间断两侧的解中与第一种方法不同的是，第二 4 种方法采用了一种波传播的差分格式在每一网格的网格边界上解r i e m a n n 问题 得到从此边界处向左边或右边传的波，然后解就由从左，右边界的传出的波来修 正。在以上两种方法中，在一个时间步长中设置间断的网格边界是固定的，然而 精确的间断是移动的，由此引起的局部截断误差是o ( h ) 。因此，我们相信这两种 方法实际上是一阶精度，尽管第二种方法的作者认为他们的方法是二阶精度。 最近，g l i m m 和他的合作者们设计了一种二阶精度的并且采用了自适用网格 的守恒型间断跟踪法，见f 7 1 。该方法考虑了在一个时间步长中被跟踪的间断的移 动情况。但是该方法比较复杂，并且我们认为很难推广到高阶去a s l a m 在f 1 ) 和 f 2 1 中提出了另一种完全不同的间断跟踪法，此方法采用了“等值面( 1 e v e ls e t ) ” 方法和。幽灵( g h o s ) ”技巧来跟踪间断。然两我f 发现当将该方法推广到方程织 的时候仍然只有一阶精度。 1 5 本文的工作和结构 本文的主要工作： ( 1 ) 本文作者在博士学习期间，在导师的指导下，设计了该算法在方程组情况 时的一种高精度实现。其基本思想如下：如前所述在被跟踪的阊断附近会有其它 特征域的波并且它们可能会穿过被跟踪的间断，因此我们需要做的事情就是将这 些波找出来然后将它f f j 分配到间断两御的解中，从而使得它们能够穿过被跟踪的 间断，但必须以高阶的形式进行。在文f 2 9 中作者设计的“c l e a n u p ”的技巧是分 别以间断左、右两侧的网格平均做左、右状态解r i e m a t m 问题，然后用解r i e m a m l 问题分解出来的波将间断网格上的网格平均做线性分解，最后将分解得到的常数 状态分配到间断两僦的解中。这样其它特征域的波就能够穿过被跟踪的间断。但 是由于r i e m a n n 问题的左、右状态逼近间断两侧的解只有一阶精度并且线性分解 也只有一阶精度，因此此技巧只有一一阶精度若要做到高阶精度，并且仍按此思路 进行，则需要解广义i r i e l n a n n 问题，即其左、右状态分别逼近间断两侧的解是多 项式逼近，并且间断网格上的网格平均必须分解成多项式的形式。但是这样做很 困难，是不现实的。所以在本文所设计的技巧中为了避免解广义r i e m a t m 问题， 5 我们采用某些重构的过程对间断两侧的解进行逼近，用重构得到的在间断位置处 的值做左、右状态解r i e m a n n 问题为了避免将间断网格上的网格平均做分片多 项式分解而保证高阶精度，我们采用了高阶l a g r a n g e 插值和高阶的数值积分及有 限制的波分解等。详细情况可见第三章我们用这一高精度的算法对相当数量的 例子进行了数值模拟，结果是十分满意的 ( 2 ) 作者还对算法作了严格的局部截断误差分析，证明了该算法是高阶精度 的 ( 3 ) 作者将此算法应用到一维的e u l e r 方程组( 2 2 6 ) 上，其中处理了激波在 固壁上的反射，自发生激波，推广到多介质流体等，并对算法用f o r t r a n 9 0 语言按 面向对象的编程方式进行了程序实现从而完成了一个几乎可以处理任何情况的 和捕捉法几乎一样强健的一维跟踪法 本文的结构如下： 第一章是引言；第二章描述了流体力学中的守恒型方程( 组) 及有限体积法中 的有关的一些基本的概念和理论知识；第三章详细而叉系统地描述了守恒型间断 跟踪在一维空间中的实现，特别是本文的提高部分一算法的第( i i i ) 步计算，即如 何处理移动边界条件；并对算法的每一步计算所产生的局部截断误差进行了严格 的分析证明；第四章描述了将该算法应用到一维e u l e r 方程组( 2 2 6 ) 时的一些问 题，包括被跟踪的间断位置的计算，处理了当一个被跟踪的激渡碰到圃壁时的反 射边界问题，自发生激波，并将该方法推广到多介质流体的情况，以及算法的程 序编制；第五章给出了一些数值算例来检验我们的算法；第六章是结论 6 第二章基本的概念和理论 作为对以后几章的准备，在本章的第一节我们将给出流体力学中的有关守恒 型方程( 组) 的一些基本的概念；在本章的第二节我们给出了求解守恒型方程( 组) 的有限体积法中的一些基本的概念和理论，并介绍了g o d u n o v 型方法。本章的主 要概念和理论可参见 4 7 j ， a l ，f 5 j f 2 2 和 2 6 j 2 1 守恒型方程组 如引言中所描述的具有如下形式的一维空间的偏微分方程组 饥+ ，( 札) 。= 0 ，( 2 1 ) 稚为守恒型方程组，其中性= 如t 钍：，珏。) 是关于。和t 的m 维的矢量函数， 称为守恒量，或状态变量，如流体动力学中的质量，动量和能量。更精确点就是 t t ， 是第j 个状态变量的密度函数。鬈2 呦( z ，f ) 出表示的是该状态变量在区问陋t ，z 2 f 中在时刻t 的总量。我们称这些状态变量是守恒的指的是譬u j x ，t ) d x 关于t 是 不变的。f ( u ) = ( ( 乱) ，f 2 ( u ) ，f m ( 扎) ) 称为流函数。当m = i 时，( 2 ，i ) 式郎为 单个守恒律。该守恒型方程( 组) 是由物理定律在任意两点茁和现之间的如下积 分形式 景札( z ，t ) d x = ，( “( 轧t ) ) 一f ( u ( x 2 ，z ) ) ( 22 ) z l 得到的。 ( 2 2 ) 表示在区间旧z 。 中总的流体的量( 如质量，动量，能量等) 的变 化仅仅与两端点处的流有关，这就是守恒的基础，其中，( “( 。- ，t ) ) 和，( u ( 现、t ) ) 分别表示在z l 和现点的流入流出的量 方程组( 2 1 ) 在下述意义下是双曲型的：若mxm 的j a c o b i a n 矩阵 撕) = ( 小船 有m 个实的特征值，并满足以下条件 7 f 2 3 n 1 a l ( u ) sa 2 ( u ) s - a 。( u ) ， 并且有一个由m 个线性无关的右特征向量构成的完备集若有 l ( ) a 2 ( 札) 2 时 可能无解。若u ( x ，t ) 是方程组( 2 1 ) 的间断解，如果对于所有的熵函数7 7 ( 札) 和对 应的熵流妒( 札) 在弱形式的意义下满足不等式 f 2 。1 6 1 则称u ( z ，t ) 是方程( 2 1 ) 的满足熵条件的弱解。( 2 1 6 ) 的弱形式为：对于所有的 ( 。，t ) 锑( 且r + ) 且( z ，t ) 0 有 ，。r ，_ 。c 轨( 。，。) 叩( 珏知，t ) ) + 啦扛，) 妒( ( z ，t ) ) d n ；d t 三o ( 21 7 ) 成立 另外还有其它形式的熵条件，具体可参见 2 2 和 2 6 1 2 1 5 r i e m a n n 问题 守恒型方程组( 2 1 ) 的r i e m a n n 问题是具有如下形式初值的初值目题： 均( 。) ： 姐“o ；( 2 i s ) i 蛳z 0 ， 其中啦和钟，是两个常数状态，分别称为r i e m a n n 问题的左状态和右状态我们 将用符号r i e ( u l ，札，) 来表示上述p d e m m m 问题 p d e m a n n 问题( 2 1 8 ) 的解包含了m 个波，激波，切向间断，或者是中心稀疏 波，它们之间由m 一1 个常数状态相连，即左边足够远处是常数状态饥，右边足 够远处是常数状态珥，和m 一1 个中间状态钆：，u ；，乱一l ，见 2 l 】， 2 0 】和 5 j 2 1 6 e u l e r 方程组 最著名的守恒型方程组是e u l e r 方程组，它是描述流体运动规律的基本方程 组，其在航空，航天，大气科学等领域有着很广泛的应用下面我们简单介绍一 维e u l e r 方程组是怎样由物理定律得到的假设在一长的管道中充满了气体，并 且气体的密度或者速度穿过管道的每一个横截面都是常数。令z 表示沿管道的距 离，并且p ( 茁，t ) 是气体在z 点处t 时刻的密度密度用以下方式来定义，即气体 在任意部分o i 和z 2 之间的总的质量由以下的密度的积分给定： ，# ， t 时刻在睁l ，z 2 】中气体的质量= p ( 茁，t ) 出( 2 1 9 ) ，z 2 如果我们假设管壁是不可渗透并且质量既没有产生也没有减少，则气体的质量在 某一部分中的变化量仅仅是由流过端点z i 和现的气体的流量来决定的。 令 ( 。，t ) 是气体在点和时刻的速度，则气体流过这一点的速率或者流量 1 2 由下式决定 在( z ，) 的质量流= p ( z ，) ( z ，) 气体的质量在k - ，z 2 中的变化率由茁1 和z 2 处的流量的差来决定 爰e 2 p ( x , t ) d x = p ( 酬帆旷如加( 酬， 这是质量守恒定律的积分形式。 假设p ( x ，t ) 和 ( z ，t ) 都是可微的函数，则可得 ( 2 ，2 0 ) ( 2 2 1 ) 0 妄如牡瓦0 ( 加，咖( 删) 如_ 0 ( 2 2 2 ) 由于( 2 2 2 ) 对任意一部分陋- ，z 2 和任何时刻都成立，因此被( 2 2 2 ) 中的被积函数 必须等于零，即 肌+ ( o r ) 。= 0 ( 2 2 3 ) 这就是质量守恒定律的微分形式，也称为连续性方程 按同样的方式可推导出动量守恒方程 ( p v ) + ( p v 2 + p ) 。= 0 ，( 2 2 4 ) 及能量守恒方程 易+ ( v ( e + p ) ) 。= 0 ，( 22 5 ) 这儿p 是气体的压力，e = i 倒2 + p e 是总能量密度。 ，2 是总能量中的动能部 分，而e 为内能密度。在上面方程的推导中我们考虑了压力作用对动量变化的影 响及压力做功对能量变化的影响。 把以上方程结合起来就得到e u l e r 方程组 + 删 m ，+ p v ( e + p ) 1 3 ( 2 2 6 ) 、 e u l e r 方程组是n a v i e r - s t o k e s 方程组去掉流体的粘性和热传导后得到的简单 形式。n a v i e r , s t o k e s 方程组是抛物型而不是双曲型的，其解永远是光滑的，当流体 的粘性和热传导很小时，就可用粘性逐渐消失的双曲型方程组来逼近n a v i e r - s t o k e s 方程组 在e u l e r 方程组中我们假设气体是化学和热力学平衡的，则内能是压力和密 度的已知函数 e = e 国，p ) ，( 2 2 7 ) 这称为气体的状态方程，是涉及气体具体性质的热力学量之间的关系式，是由气 体本身的性质决定的e u l e r 方程组必须与状态方程( 2 2 7 ) 结合起来才得到封闭 的方程组。对理想气体( 粒子之间的相互作用很微弱以致该作用可以忽略不计的气 体) 来说，内能只是温度的函数，即e = e ( t ) ，而由理想气体定律知温度t 与p 和p 有关，即p = r p t ，r 为常数。一个很好的近似形式是 e = 岛t ，( 2 2 8 ) 其中岛是一常数，表示单位体积上的比热此式表明，内能与温度成正比，这样 的气体称为多方气体。对多方气体来说，状态方程只与气体的比热比有关，即 = 勺c i ，( 2 2 9 ) 称为比热比，其中岛为单位压力上的比热。这样的气体也称为“- y l a w 气体”多 方气体的状态方程为 p = h1 ) e 一去2 ，( 2 3 0 a ) 6 或者 p = a ( s ) p y ，( 23 0 b ) a ( s ) 只是熵s 的函数。熵s 定义为 s = c t _ f 叼( p 矿) + 常数 易验证熵s 是“的凸函数。则状态方程( 2 3 0 ) 变为 p = p ( p ) = 孟矿， 1 4 f 2 3 1 ) f 2 3 2 1 其中危= k e 5 他，k 是一常数。如果熵在任何地方都是常数 简化为只有两个方程的方程组，称为等熵方程组 ( p p v ) 。+ p v ) 。一o ， 则e u l e r 方程组就 此时状态方程( 2 3 2 ) 中的丘是常数。 对多方气体来说，我们可求得e u l e r 方程组( 2 2 6 ) 的j a c o b i a n 矩阵为 ，( 札) = 其特征值为 0 1 1 ，y 钉 其中c = 、仲p 是气体的声速，则e u l e r 方程组有三个特征方向， 征场和三类特征线。三类特征线分别为 三个特征值分别对应的右特征向量为 易检验第二个特征场是线性退化的，因为 v a 2 ( ) = 甜一c = u = 嚣+ c r 3 ( “) ( 23 3 ) ( 2 3 4 ) f 2 1 3 5 1 对应有三个特 ( 2 3 6 1 f 23 了1 ( 23 s ) d伽n ，卜訾学 跏咖 。如撕 g 岛国 、l10 c c t 1 卜，t _ 。字 ，-ff_-li、 ，j-f_lii-l_i-1，、 e c t l 一 一 。字 ，ieii_l-_ll、 p 叫咖。 从而有v a 2 t 2 三0 所以在第二特征场中形成的既不是激波也不是稀疏波而是 切向间断，它是线性间断，并且间断的传播速度就是特征速度a 2 一 a 而第一和 第三特征场是真正非线性，所以形成的是稀疏波或激波 切向间断分隔介质成两个部分，没有介质的质点流过这个面在切向间断面 上只有密度是跳跃的，而速度与压力是连续的例如介质面( 间断两侧为不同的介 质) 、音速线等 c a )f b ) 宙2 2 理想的和实两 的擞渡面 激波是一种客观存在的现象，如炸弹在空中，地下和水中爆炸，超声速飞行 体在大气中飞行都将产生激波激波在宏观上表现为一个高速运动的高温，高压 高密度曲面介质是穿过波阵面的，并且穿过该曲面对介质的压力、密度、速度和 温度等物理量都发生急剧的变化，即所谓的“突变”或。跃变” 在数学上，激渡间断面表现为一个没有厚度的曲面( 线) ，各个物理量的空闯 分布函数在间断面上发生跃变，如图2 2 ( a ) 所示。但实际上，激波是具有一定厚 度的，即通常所说的激波波面宽度，该宽度约为几个分子平均自由程在该区阁 内各物理量发生迅速的变化，但仍是连续的，如图2 2 ( b ) 所示。这是因为实际的 物质具有粘性和热传导等性质，其耗散效应保证了物理量变化的连续性。数学上 的间断解是由于在描述流体运动的方程组中略去了粘性和热传导所产生的结果。 当我们研究的是介质在远远大于分子自由程尺度上的宏观运动，而不关心上 述小区间内物理量的变化时，可以把该区间作为一个数学平面来处理，则在该面 上各物理量就发生如图22 ( a ) 所示的“跃变”显然各物理量跃变前后的值应满足 理想流体力学方程组的间断面关系，即质量，动量，能量守恒关系式。介质运动中 1 6 的这样的间断面就h q 做激波。在激波上是各物理量本身产生间断，因此激波是强 间断 n纱 o 圉2 3e u l e r 方程组的a i e m a n nf 可题 接下来看e u e r 方程组的r i e m a n n 不变量。因为u 和p 穿过切向间断是连续 的，所以它们都是关于函数u 的第二个特征值的r i e m a n n 不变量。因为熵s 沿着 粒子的轨线是常数，因此在第一和第三特征场中穿过任何的稀疏波或其它的简单 波都是常数，所以熵是这两个特征场中的r i e m a n n 不变量。对这两个特征场还分 别有另外一组r i e m a n n 不变量。所以多方气体的e u l e r 方程组的r i e m a n n 不变量 为 1 一r i e m a n n 不变量：s ，t ，+ 刍， 2 一r i e m a n n 不变量：u ，p ， ( 2 3 9 ) 3 一r i e m a n n 不变量：s ，u j 鲁 如前所述e u l e r 方程组的第一和第三特征场是非线性的面第二特征场是线性 退化的，则r i e m a n n 问题的解包括三个波和四个常数状态，见 5 1 【2 1 和 2 0 】：左 边足够远处是常数状态u f ，右边足够远处是常数状态钍，在这两个常数状态之 间有一个右向中一c , - 波和一个左向中。t - 波，可能是稀疏波也可能是激波，这由左、 右状态砒和珥决定。这两个中心渡之间又有两个常数状态 茚= ( 硝，t ，i p i ) 和 u ：= ( 库， ；群) ，它们通常被称为中间状态，并且它们由一个切向间断分开( 如 图2 3 所示) 。因为穿过切向间断只有密度有跳跃，而速度和压力是连续的，所 1 7 以两个中间状态变为“f = ( p + i ，矿，p + ) 和u ：= ( 辟，u + ，p + ) ，即。，= v r + 一矿， 硝= 群= p + 求解r i e m a n n 问题，关键是求切向间断两侧的左、右状态缸；和札：如果左 或右中心波为稀疏波，则用r i e m a n n 不变量来确定左或右中间状态与左或右状态 之间的关系；而如果左或右中心波为激波，则左或右中间状态与左或右状态之间 适用r a n k i n e - h u g