（概率论与数理统计专业论文）美式期权定价的数值解.pdf

论文题目：美式期权定价的数值解 专业：概率论与数理统计 硕士生：梁嘉文 指导教师：区景祺教授 摘要 由于美式期权在到期日前的任何一天都可以实施，所以美式期权定价要比欧 式期权定价复杂得多，这主要是因为美式期权需要引入“实施边界”和有限水平 的最优停止问题。由于它的复杂性，美式期权一般没有分析解。就算找到了分析 解，其计算复杂性不利于实际的应用，因此不得不用数值模拟方法。 本文讨论两种荚式期权定价数值方法。第一种是加法模型方法，它通过与美 式期权定价分解公式相结合得到美式期权价格的近似值。第二种方法是最d , - 乘 m o n t e c a r l o 方法，它通过对条件期望函数的逼近，实施最优策略以得到美式期 权价格的近似值。这种方法最早由l a n g s t a f f 和s c h w a r t z 提出。本文与之不同的 是，我们采用第二类c h e b y s h e v 多项式和l e g e n d r e 多项式作为基函数，并对其 收敛性作进一步的拓展与讨论。 本文的主要工作：第一，讨论如何运用加法模型方法给美式期权定价，并把 该方法具体化；第二，分别以第二类c h e b y s h e v 多项式和l e g e n d r e 多项式为基 函数，证明了m o n t e c a r l o 方法在两个实施时刻的情况下均方收敛到美式期权现 金流的条件期望，在多个实施时刻的情况下，该方法是依概率收敛到这个条件期 望的。最后，通过简单的数据分析对以上两种方法做一个比较。 关键词 加法模銎结点位置最小- - y 孬m o n t e c a r l o 。第二类c h e 如s h e v 多项 武，l e g e n d r e 多项式 a b s t r a c t t i t l e ：n u m e r i c a ls o l u t i o no f a m e r i c a no p t i o nv a l u a t i o n m a j o r ：p r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s n a m e ：l i a n gj i a w e n s u p e r v i s o r ：o uj i n g q i p r o f e s s o r a b s t r a c t a m e r i c a no p t i o nv a l u a t i o ni sm o r ec o m p l i c a t e dt h a ne u r o p e a no p t i o nv a l u a t i o n ， b e c a u s ea m e r i c a no p t i o n sc a nb ee x e r c i s e da ta n yt i m eu pt ot h ee x p k a t i o nd a t e t h i s i n v o l v e s “e x e r c i s eb o u n d a r y ”a n df i n i t e h o r i z o no p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e m s b e c a u s e o fi t sc o m p l i c a c y , t h e r ea r eg e n e r a l l yn oa n a l y t i c a ls o l u t i o n sf u ra m e r i c a no p t i o n v a l u a t i o n e v e nt h o u 曲w ec a nf i n dt h i sa n a l y t i c a ls o l u t i o n ，i t sc o m p l i c a c yo f c a l c u l a t i o nm a k e si td i f f i c u l tt ob ea p p l i e di np r a c t i c e ，s ow eh a v et ou s en u m e r i c a l s i m u l a t e dm e t h o d s t h i sp a p e rd i s c u s s e st w on u m e r i c a lm e t h o d sf u ra m e r i c a no p t i o nv a l u a t i o n t h e f j r s tj sa d d i t i o n a lm o d e l ，w eu s et h ec o m b i n a t i o no fa d d i t i c l n a lm o d e la n da d e c o m p o s i t i o nf o r m u l ao fa m e r i c a no p t i o nv a l u a t i o nt oo b t a i nt h ea p p r o x i m a t i o no f a m e r i c a no p t i o nv a l u e t h es e c o n di sl e a s ts q u a r em o n t e - c a r l om e t h o d i tc a n o b t a i nt h e a p p r o x i m a t i o no fa m e r i c a no p t i o n v a l u eb ya p p r o x i m a t i n gt ot h e c o n d i t i o n a le x p e c t e df u n c t i o na n df o l l o w i n gt h eo p t i m a ls t r a t e g y t h i sw a sf i r s t p r o p o s e db yl o n g s t a f f a n ds c h w a r t zi n2 0 0 1 w h a tt h i sp a p e ri su n l i k el o n g s t a f fa n d s c h w a r t z si s ，t h i sp a p e ru s e ss e c o n dk i n dc h e b y s h e vp o l y n o m i a l sa n dl e g e n d r e p o l y n o m i a l sa sb a s i sf u n c t i o n s m o r e o v e r , t h i sp a p e rw i l lf u r t h e re x t e n ta n dd i s c u s s t h ec o n v e r g e n c eo fl s ma p p r o x i m a t i o n s t h em a i nc o n t r i b u t i o no ft h i sp a p e ri s ：f k s t ，p r o p o s eh o wt om a k eu s eo f a d d i t i o n a lm o d e lt o p r i c ea m e r i c a no p t i o n sa n de m b o d yt h i s m e t h o d ；s e c o n d ， m o n t e c a r l om e t h o d si sp r o v e dt ob em e a ns q u a r ec o n v e r g e n tt oa m e r i c a no p t i o n c a s hf l o wc o n d i t i o n a le x p e c t e df u n c t i o nw h e ni ti si nt h ec a s eo ft w o - p e r i o de x e r c i s e d a t e sa n dc o n v e r g et ot h i sc o n d i t i o n a le x p e c t e df u n c t i o ni np r o b a b i l r yw h e ni ti si n t h ec a s eo fm u l t i - p e r i o de x e r c i s ed a t e sb yu s i n gs e c o n dk i n dc h e b y s h e vp o l y n o m i a l s a n dl e g e n d r e p o l y n o m i a l s a sb a s i cf u n c t i o n sr e s p e c t i v e l y f i n a l l y , t h i sp a p e r c o m p a r e sw i t ha b o v e t w om e t h o d sv i as i m p l ed a t aa n a l y s i s k e yw o r d s ：a d d i t i o n a lm o d e l , k n o tp o s i t i o n , l e a s ts q u a r em o n t e c a r l o , l e g e n d r e p o l y n o m i a i s , s e c o n dk i n dc h e b y s h e v p o l y n o m i a l s n 第1 章引言 第1 章引言 众所周知，期权价格一般依靠敲定价格、原生资产价值、该资产的波动率、支 付红利利率以及到期日；见h u l l 。为了准确为期权定价，我们需要把所有这 些因素考虑进去。此外，当期权是美式期权时，提前实施的概率和最优提前策略 都应被考虑。这经常导致了非常复杂的计算，而且很难找到分析解。 由于分析解很难被找到，所以我们不得不用数值方法。最著名的数值方法， 毫无疑问是二叉树模型了：见c o x e ta l 【2 】。虽然二叉树模型结合了提前实施的 性质，但对多于两个随机因子的时候，这种方法在计算机上是不可行的。其问题 是若我们希望考虑多随机因素的情况，如把利率、分红、波动率、多个原生资产 都考虑进去，那么叉点是呈指数增长的。而其他方法，像有限差分方法，它不能 简单地推广到大于两个或三个随机因子的情形。一个可供选择的建议就是用模拟 技术。首先提出用模拟方法为美式期权定价并且提出要决定最优实施策略的， t i u e y 【3 1 是其中之一。b a r r a q u a n d 和m a r t i n e a u 【4 】发展了一种跟t i l l e y 方法关系 密切的方法，这种方法更容易得到推广。 另一种可供选择的途经是用某种公式来表示美式期权价格，这种途经的思想 是最优停止问题。由c a r r i e r e 【5 】提出的，利用反向归纳定理把美式期权定价问题 等价于若干个条件期望的问题。一般地，这是难于计算的，但c a r r i e r e 介绍了如 何把模拟方法与高级回归方法结合而得到近似解。 在这篇文章，我们讨论两种方法来计算美式期权价格的近似值。第一种方法 是加法模型。我们通过不断添加结点的加法回归与美式期权定价分解公式相结合 来得到美式期权价格的近似值。第二种方法是m o n t e c a r l o 最小二乘法( l s m ) ， 这种方法最早由l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 【6 】提出，他们并对只有一个因变量和一个 提前实施时期这种情况的l s m 方法的收敛性做出了证明。用l s m 算法为美式 期权定价，这篇文章所选取的基础函数不同于l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 所选取的基 础函数l a g u r r e 多项式，我们选用的是第二类c h e b y s h e v 多项式和l e g e n d r e 多项式。并且，我们把l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 对l s m 算法的收敛性证明推广到 第1 章引言 多个因变量和多个提前实施时期。 这篇文章的结构如下：第二章介绍几个主要的美式期权定价分析表达式：第 三章介绍加法模型的美式期权定价；第四章介绍l s m 方法并证明其收敛性；第 五章通过具体数据对加法模型与l s m 算法在荚式期权定价上作一个简单的比 较：第六章是本文总结。 第2 章美式期权定价的最优停止问题、p d e 方程和分解公式 第2 章美式期权定价的最优停止问题、p d e 方程和分 解公式 2 1 最优停止问题 很多文献已经得到了标准美式期权的分析表达式，如b c n s o u s s a n 【7 】和 k a r a t z a s 【8 】都给出了完整的推导。给定敲定价格k ，一个标准美式期权的收益为 g ( s ) ，其中s 是在实施时间t 的资产价格，g ( s ) = ( k - s ) + ( 看跌) ： g ( s ) t ( s k ) + ( 看涨) ，z + e m a x o ，0 ) 。在b l a c k s c h o l e s 所假设的市场环境及 资产价格过程s 动态条件下，f 【o 丁】的美式期权价格为： p ( t ，s ) = s u pe e ”“g ) i 置= s 】 ( 2 一1 ) r j 其中z ，是取值于t 与t 之间的停时集合；上式的条件期望关于风险中性测度。 s = s oe x p ( ( r 一6 一d 么) f 盯e ( 2 - 2 ) 是几何布朗运动。在( 2 2 ) 式中， 耳，t 吣是标准布朗运动，r 是利率，6 代表 由资产支付的红利率，盯表示波动率。 2 2 偏微分方程( p o e ) 最优停止问题( 2 1 ) 的终止持有( 提前实施) 区域e 是由所有满足ss 6 ( f ) ( 看 跌) ，s 6 0 ) ( 看涨) 的( f ，s ) 组成，( o s fa t ) 。除了d = o ( 不支付红利) ，6 ( ) 是单调连续可微函数；见a i t s a h l i a 和l a i 9 。( p o ，s ) ，坼) ) 满足自由边界条 件的偏微分方程( p d e ) 为： 7 第2 章美式期权定价的最优停止问题、p d e 方程和分解公式 o _ e 竹一d ) po p + 三积2 宴：r p ( t , s ) e e o t 、o s2o s 2 ( 2 3 ) p ( f s ) = 郴) 且西o p = 邦) s 一啪 ( 2 3 ) 式中，g ( s ) 一1 ( 看跌) ，g ( s ) = 1 ( 看涨) 。通过有限差分方法可解得p ( f ，s ) 和6 ( r ) ，可参看b r e n n a n 和s c h w a r t z 1 0 或姜礼尚 1 1 ，其更好的结果在 1 2 和 1 3 。 2 3 分解公式 j a c k a 1 4 ，c a r r ，j a r r o w 和m y n e n i 1 5 推出了美式看跌期权价格只( f ，s ) 可 以分解为两部分，一部分是欧式看跌期权价格，另一部分是由于合约增加提前实 施条款而需要增付的期权金： 只o ，s ) 2 艺o ，s ) + f r k e 一“n i d z ( s ，6 ( f ) ) ，t l 一6 s e 一“n i d - ( s ，6 ( f ) ，t ) l i d t ( 2 4 ) 其中，“) 表示标准f 态分布函数， d 1 0 ，y ，f ) ：l n ( x y ) + ( r 了- 6 + a 2 一2 ) t o 、，f d 2 0 ，y ，t ) = d l o ，y ，t ) 一0 4 t 当6 ) 0 时，通过美式期权看跌一看涨对称结果，美式看涨期权有相应的公式 q p ，s ) ；b l a c k s c h o l e s 1 6 已经推出了关于欧式看跌期权价格巴( f ，s ) 和看涨 期权价格c r ( f ，s ) 的公式。 从上面的最优停止问题、偏微分方程和分解公式可以看出，确定边界6 0 ) ， 准确地把6 ( f ) 计算出来是美式期权定价的关键所在。从数学上来说，美式期权的 定价问题是一个自由边界问题。在这里所谓的自由边界，它是这样一条需要确定 的交界线，它把区域 o s s * ，o sr s t 分成两部分，一部分是继续持有区，另 第2 章美式期权定价的最优停止问题、p d e 方程和分解公式 一部分是终止持有区。这条自由边界在金融上称为最佳实施边界。对每个美式期 权的持有人来说，需要知道曲线的位置以便制订出最佳的实施方案。令人感到遗 憾的是：美式期权与欧式期权不同，它的p d e 不可能得到显式解，并且自由边界 6 ( f ) 也很难通过显式表示。也就是说，美式期权定价的分析表达式对定价是没多 大的实际意义的。因此，数值解的引入显得非常重要。 第3 章加法模型的美式期权定价 第3 章加法模型的美式期权定价 在这部分，我们先简单介绍加法模型方法或称为加法回归样条方法，此方法 的详细叙述请参看f r i e d m a n 和s il v e r m a n 1 7 。然后，把美式期权分解公式与 其相结合，得出美式期权价格的近似值。 3 1 一维加法模型 研究变量y 与变量x 之问的关系，现已知n 对观测值( y ix i ) o = 1 ，2 ，) 般情况下，可以假设： y ；f ( x ) + e 其中，是需要被估计的函数，e 是有零期望的随机误差项。一般情况下，常用的 模型是线性回归，即假设f ( x ) = a x + 6 ，参数n 、b 通过最d , - - 乘法求得。 在这罩我们不采用线性回归，而是采用分段光滑法；见 1 7 。对于一个固 定的结点数h ，我们目标是确定各个结点的位置使得均方误差a s r 达到最小的 值，a s r 定义如下： 爿船= 专扣一，2 f ( x 1 应该被选为在给定的结点上都是连续且分段线性的。给定一个结点位最集， 就有多种途经去构造相应的分段线性函数，使得a s r 最小。这就牵涉到选择一族 连续的基函数6 0 ) ，1 s h s h 。那么， ，o ) 2 口。+ 荟4 一魄“) 3 1 参数，a 。可通过最小二乘法估计出来。 我们可以选取多种具有适当连续性的基函数集，但为了减少计算复杂性，选 第3 章加法模型的美式期权定价 取这样的一种基函数瓯0 ) 是方便的： 玩0 ) = 0 一f ) + ( 3 - 2 ) 其中t h 是第 个结点。从上式可见，每个0 ) 只有一个结点为参数，因此，增加、 结点不断增加，直到某些最大值日。的出现，那么，这就产生了一列 。 我们选取使得归纳十字有效法则g c v 最小的h 。，相应的结点数不妨记为 倒。祥侧郴麟圳蚓。一， 我们可取d ( h ) = h + 1 、d ( h ) = h + 2 、d ( n ) - 3 h + 1 等；见 1 7 。 在得到日。( 0 s n ms h 。，) 之后，我们采取“后向分段消元法”。我们轮流地 消去一个结点，得到( h 。一1 ) 个结点的模型集，我们选择g c v 最小的那个模型作 为新的( h 。- 1 ) 个结点的模型。在新模型再次轮流地消去一个结点，得到新的 ( h 。一2 ) 个结点的模型。直到g c v 不能再小，( h 。一n ) 个结点不能再消去为止。 令h = h 。一i t ，我们有： ，o ) = n 。+ 荟8 6 k ( 工) 7 第3 章加法模型的美式期权定价 3 2 最小张成的区间 确定最小张成的区间，其目的就是在保持一定精度的前提下，把观察区间缩 小，从而可以简化运算。最简单的实施办法就是把x 按升序排列，然后把第m 个 点作为结点( 电为0 ) ，那么下一个结点为o + 枷，即相邻两个结点f b j 为k m ( k 为整数) ，这样我们可以得到n m 个结点( 而不是毫无准则地确定结点) 从而简化了计算的复杂性和无规则性。 通过简单的抛硬币讨论，可得到m 的一个合理值。假设y 。= ，“) + ( 1 s is n ) ，t 是服从零期望的对称分布的随机变量。那么取正或负都是等机 会的。设l 是。是取正或负时区i 日j 的长度，则m 应该大于3 ( 保守起见，取 m ，2 5 ) 。其中l 是l 的最大值。 进一步，可取 m ( n ，a ) = - l 0 9 2 一( 专) l n ( 1 一口) 】2 5 ，o 0 5 s as o 1 ；见 1 7 的2 3 节。 3 3 计算所要考虑的问题 对每个h ，0 ，在运用第h 阶前向“逐级”方法过程中，在给定前面h 1 个 结点位置的情况下，找出第h 个结点的最佳位置是必要的。对于一个给定的结点 位置增量6 【i ，有n m h 1 个位鼍可供第h 个结点选择。在每个候选的结点位置 中，我们结合最小二乘法和a s r 可得到篇h 个结点的位置。因此，我们需要计算 大约n m 个线性最小二乘式为每个结点定位置。看上去这个运算量较大，但大 多数的计算结果可通过检测特点序列的结点位置集获得。这个特定序列允许快速 更新方程联合( 3 2 ) 式一起运用。这种策略牵涉到横坐标值递减的潜在结点位置 以及利用如下事实的优点： 0 - t ”) - ( x f ) + = 0 = z t ” x s t f ”s x s t ( 3 3 ) 第h 个最小二乘式可通过解如f 等式得剑： b n ：c ( 3 - 4 ) b 是 个基函数的 阶协方差阵，c 是基函数相应的 维协方差向量， 日，；至岛“) 【6 j ) 一b j l ( 3 - 5 ) 日p = 岛“) 【6 j ) 一 c f ；萝 。一y ) b j ( t ) ( 3 - 6 ) c ； 。一 ( t ) 其中，匠是6 ，的平均值，歹是y l 的平均值。向量解n 。3 1 , - - , 吼) 是( 3 1 ) 式的参 数，结点为f l ，气， ，4 职= 妇，口) 一艺口 o ( 3 - 7 ) 计算( 3 4 ) ( 3 7 ) 需要注意的是： 为了节省计算量，只需c 和玩( 1 5 js ) 被重复计算，这是因为只有第h 个 结点的位置改变了。 如果被定位在t ：f 的结点的数量已被计算出来，那么，由( 3 3 ) 式，结点在 t 。t f ”( 1 ”t l ) 的简单更新序列产生 钒= 沙垌。驴m 埘小4 荟似肌。墨t 。那 么，q o ”) 。g ( f ) + ( f 一f ”) s 。+ 。薹，“一”) ( y t 一歹) b m m ”) s 。曼，“) 鸭“) 一6 j ) ，1 s j 小1 b s 。( t 。) ；协( t , 2 - t 4 2 沁+ 2 。) v + ，堇“州 3 4 多维加法模型 设x ；瓴，x ，) ， y = ，僻) + e = ，( 墨，砟) + e ， 我们假设 ，( x ) 。 暇) + + a ( x ，) ，那么l ，= ( 墨) + + l ( x ，) + e a 它与一维加法模 9 第3 章加法模型的美式期权定价 型的思想是一致的，只是当中的前向后向结点位置方法、最小张成区间都由n 个观察值变成了p n 个观察值。并且， b jc h ) ( x ) ；0 j 】一f ，( j ) + ，1 s hs h ，1 5 j ( h ) s p ， j ) 锄+ ，卅) 】+ 3 5 加法模型的美式期权定价 对分解公式( 2 4 ) 作变换： “= 一( r ：f ，= t t ，z = i ( s k ) ，p = r i 0 2 ，0 = 6 r ( 3 8 ) 那么，边界6 ( r ) 在新坐标下变成了手 ) ，而分解公式变为： 只( f ，s ) 。足( f ，s ) + k p e p “r e j v ( 三喜至三) 一口e - ( e p s u 2 ) z j v ( 三窑至三一了i ) 出 吃 - 4 s 。“- 4 s 一“ ( 3 9 ) 由分解公式知美式看跌期权可表示为欧式看跌期权最与其关系不大的剩余部分 ( 增付期权会) 之和。这可把最看作为加法模型中权数为1 的基函数。简记 p = 只，p = 最，出l a i 和w o n g 1 9 ，有： f p = p + l l e ” 0 ) + a ( z ) + 厶( ) ) i = b i ”2 z 一( p 一印一三) “) 3 1 。 其中正。) j a + 薹县。) 2 a + q n + 蓦q + 。一”) + ，2 ( z ) 2 荟吃，( z ) 。岛z + 反z 2 + 葛岛+ ，。一z “) ： 7 厶( 甜) 。再岛，( m ) 2y - 山+ r ：2 + 荟y ：+ ，( m 一“) ： 1 0 第3 章加法模型的美式期权定价 “n 、z d 、c o 7 分别是和l ，) 、协，z ， q ，) 的结点。a ，口j ，岛，y 是回归参数，需要通过最4 , - 乘法估计出来。特别地，对于较小的t ( 如：在先 于到期目的5 个交易日内，在一个有2 5 3 个交易同的假设下，+ s 素，p n 可l ：l ：t p 近似。若f + ，轰( 等价地川c - 5 2 5 3 ) ，我们可用( 3 - l o ) 式近似。观察( 3 - l 0 ) 洲叭；蓐 j v ( 1 1 二上二_ 二) 只是观测值，毒是由( 3 1 0 ) 式得到的估计值。由3 2 节，最小结点距为： m ( 3 n = - l 0 9 2 一嘉l i l ( 1 一捌2 5 o 0 5s 叩姐1 分别对“，z ，m 找出一个新结点，并使它们能得到最好的分段最4 , - 乘表达式。 找到“”，z ”，1 后，则“，z ，2 的候选位置都有 n m 一1 个( 【m 】表示不 大于n m 的最大整数) 。不妨设： ：2 = “1 + 枷，z ：孙；z o + 枷，盛2 = 珊o + 肼，k = 1 ，【n m i - 1 我们先令 h p = “o + ( 【m 卜1 ) m ，z = z m + ( 【l f l 1 ) m ，毹2 = ”+ ( n m i 一1 ) m 分别为“，z ，m 的第二个结点，则得到一个分段表达式，并计算其g c v 。然后取 k = 【n m 一2 ，1 ，则产生了其他的分段表达式和相应的6 c v 。我们取最小的g c v 所对应的“5 2 ，z ，为真正的第二结点m o ，z 忙，但。然后找第三个结点，如此 下去，便得到最大的也j 正，j 。，记为口“，：m a x ，口“。 重复第1 ，2 步，找不同的点为第一结点，则1 寸z ；u - - ，u t v 。m 8 x ，i ，j ：“) ) ，找 第3 章n n 法模型的美式期权定价 出最小的g c v 相应的那个u ? “，i ，? “，j ：“) ，记为( ，：，：，l ) 。 在得到( ，：，j ：，：) 之后，我们采取“后向分段消元法”0 我们分别轮流地消去 “，z ，m 的结点，选出最优的l ，- ，：，j 。对于“，我们轮流地消去其一个结点，而z ， 的结点不变，则得到了j ：一1 个结点的模型集。我们选择g c v 最小的那个模型作 为新的模型。在新模型早，我们再轮流地消去h 的一个结点得到了j j 一2 个结点 的模型，直至c c v 不再减小、，：一t 个结点不能再消去为止。- + j 。= j ：一女，则，。 是最优的。固定，。，按上述方法分别消去z ，的结点，可得到最优的- ，：，j 。 那么，按一t 述步骤，应用计算机可方便地算出p 的近似值。 第4 章最小二乘m o n t e c a r i o 算法 第4 章最小二乘m o n t e - c a r io 算法 l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 6 曾用最d - - 乘m o n t e c a r l o 方法( l s m ) 为美式期 权定价。在基函数的选取上，他们用的是拉格朗同( l a g u e r r e ) 多项式。他们的文 章只证明了只有两个实施时刻这种情况的收敛性。这里，我们把它拓展到多实施 时刻的情况。 4 1l s m 算法在美式期权定价中应用的简单介绍 l s m 的目的就是提供分轨道逼近最优停止法则。这种最优停止法则可使美式 期权价值最大化。为了更好地表达出l s m 算法的思想，我们集中讨论这样一种情 况：美式期权只在k 个时刻0 t ls t ：s s t 。= r 实施，并且在每个实施时刻考 虑最优停止策略。当然，现实中的美式期权是可以连续地可实施的；只要令k 充分大，l s m 算法就能用于逼近这些期权的价值。在期权的到期日，如果是赚钱 的，期权持有者会实施期权，否则，他们会让期权过期。在到期日之前的实施时 间t k ，期权持有者必然选择是否马上实施期权还是继续持有期权并在下次实施时 间再重新决定是否实施期权。如果投资者马上实施的价值是大于或等于继续持有 期权的价值，那么期权价值是可以被最大化，因此这是非条件的：见d c u f f i e 2 0 ： 在时刻，马上实施的现金流是可被投资者所知的，而且马上实施的价值等 于这现金流。当然，期权持有者是不知道在时刻继续持有期权的现金流的。由 无套利定价理论，继续持有期权的价值，或等价地说，直到f 后才实旌的期权价值 是等于保持贴现现金流贴现关于风险中性测度的期望。有了上面的表述，最优实 施问题就简化为比较马上实施价值与这个条件期望的问题。当马上实施价值是正 的且大于或等于条件期望时，期权应马上实施。 第4 章最d - - 乘m o n t e c a r l o 算法 4 2 美式期权定价框架 由最优实施策略，美式看跌期权口3 写为： y ( o ) = m f f re i e - m a x ( i s ( ，f ) ，o ) 】 ( 4 一1 ) 这个最大化走遍所有停时rst ，它是适应于由股票价格s ( ，f ) 生成的流，r 是贴 现率( 或无风险利率) ，i 是敲定价格。在任何数值算法为美式期权定价，第一 个步骤便是假设时间是离散的。因此，我们假设可实施期权的时刻有k 个，实施 时刻为t 。= o z ( 面，f ) 。因此，在序列的任何点实施都是次优的，只有取极限时才 得到最优的结果。尽管条件期望近似式收敛，但最优停时将不会被正确地找到。 假设l 保证了这种问题发生的概率为零。因此，如果p ( z ( 站) ) 一f 和，) ) = 0 ， 第4 章昂小二乘m o n t e c a r l o 算法 0 k s k ，则几乎必然有如下结果：若碟 ，f ) 收敛到f ( ，f ) ，则讵确的停时是 可以最终找到的。 命题1 在假设1 下，当n 一。时，n ( 0 ) 收敛到n ( o ) ，那么曙( o ) 依概率收敛 到v ( 0 1 。 引理1 对于t 。，t k = 1 ，kr 有： 1 c ( ，a ( t 。) ) - c ( c o ，芦( f ”i 墨i ；i z ( ，) i i ；1 t 陋t m 。卜一t 。t m 芦“x s 醅c 石t m ”一c - 卜一c 苫c m 山”。c 。，” 其中，a 和卢是系数向量，妒是x ，) 的向量映射。 证明见c 1 6 m e n t 2 2 。 命题l 的证明：只需证寺冀c ( q ，甜( 。) ) 一研c ( 峨n ( 。) ) 】，( 一* ) ，便得到收 敛结果。由假没l ( i ) ，因为x ( ) ，1sns n 相互独立，则c ( 峨，口( o ) ) 也相互独 立可知荟c ( q ，口( o ) ) 。耳c ( q ( o ) ) 】( _ ) ( 4 - 1 4 ) 令吼= 专耋【c ( 鸭，( o ) ) 一c ( q ，n ( 。) ) 】，由引理l 可得 g l s 专耋i c ( 叫焖) _ c ( ( 。) ) s 专耋蓑i z ( q ，t ) i k 荟- 1 1 。什，。圳婀。引一硝。圳， 由条件铭( o ) 一口( 0 ) ( 一* ) ，则群( ，) 一f ( 峨) ( 一。) 。因此，对，o 有熙s u - i 曰k 熙s u - 吉羹耄i z ( ，) l 蓦t 舰。廿，。圳圳 其中最后的等式可由假设1 ( i ) 和大数定理得到，再令s 一0 ，由假设1 ( i i ) 依概 e 州 午w 瞄 i v 禽 、j ，l z 。v 岛 e = 第4 章最4 , - 乘m o n t e c a r l o 算法 率有熙s u p i g i ee 荟阶，) 紫m 廿m 圳叫2 0 ，则依概率有 熙l 吼卜0 ( 4 1 5 ) 由( 4 一1 4 ) 、( 4 - 1 5 ) 式可证得结果。 口 上面的命题i 说明了，在假设l 下，如果条件期望近似式收敛，那么期权的价格 近似式收敛。 4 6 条件期望近似式的收敛性 关于l s m 算法，只有比较有限的理论结果叫获得a 一个问题是前面所介绍的 回归所涉及的独立性问题。这种独立性限制了我们运用l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 文章里的第一个命题，这是因为当系数被估计出来后，z ) 不再有独立性。当 z ( ，) 是正的且大于等于彤( ，t 。) ，系数也已被估计出来时，由实施法则所 得到的各轨道的贴现现金流不是相互独立的。第二个问题是，m 应趋于无穷 而得到条件期望近似式的收敛性，即姑( ，- ) 一f ( j ) ( ，m m ) 。 为了简化问题，假设期权只有两个实施时刻，除了f 口) = 仃) = t ( 因f ：= t ) 之外，在( 4 - 3 ) 式和( 4 7 ) 可分别写为： r 瓴) 一f l x l z ( 。 ) 。，扣 ) + t x l z ( 。 ) 。，( 。 ) ( 4 1 6 ) 7 k “) 一f l x l z ( 。 h 凡( 。 ) ) + t x l z ( 。 ) 。( 。 ) ) ( 4 1 7 ) 在时刻f 1 ，其目的就是为了逼近真实的条件期望f ，f 1 ) 。若有已知的 k 。， ( 4 6 ) 式的项数m 增加时，e h 假设以及d ( ，f i ) 一f ( c o , t 1