（运筹学与控制论专业论文）一种新的双目标广义dea模型.pdf

山东大学硕士学位论文 一种新的双目标广义d e a 模型 于莉莉 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 数据包络分析( d a t ae n v e l o p m e n t 髓m y s i s ) 简称d e a ，是数学、运筹 学、数理经济学和管理科学的一个新的交叉领域由a c h a x n e s 和 w w c o o p e r 等人于1 9 7 8 年开始创建，并被命名为d e a d e a 是使用 数学规划( 包括线性规划、多目标规划、具有锥结构的广义最优化、 半无限规划、随机规划等等) 模型进行评价具有多个输入、特别是具 有多个输出的“部门”或“单位”( 称为决策单元( d e c i s i o nm a k i n gu n i t ) ， 简记为d m v ) 间的相对有效性( 称为d e a 有效) 根据对各d m u 观察 的数据判断d m u 是否为d e a 有效，本质上是判断d m u 是否位于生 产可能集的q 生产前沿面”上，生产前沿面是经济学中生产函数向 多产出情况的一种推广使用d e a 方法和模型可以确定生产前沿面 的结构、特征和构造方，因此又可将d e a 看作是一种非参数的统计 估计方法；由于d e a 具有“天然”的经济背景，因此，依据d e a 方 法、模型和理论，可以直接利用输入和输出数据建立非参数的d e a 模型，进行经济分析；同时，使用d e a 对d m u 进行效率评价时，可 得到很多管理信息因此，d e a 领域的研究吸引了众多的学者然 而，总结先前d e a 的研究成果，发现其中还有一些问题未解决或解 决的不够好，如在d m u 的技术效率的测算中，投入型与产出型所测 算的技术效率在数值上就存在差别这不仅会影响对d m u 技术效率 的实际分析，而且对非有效d m u 的排序也有影响 本文在前人研究的基础上，所做的主要工作如下：一是提出了 一种新的双目标广义d e a 模型( n b i - g d e a ) ，考虑到决策者对投入指 山东大学硕士学位论文 标和产出指标的偏好，以投入效率k 1 0 和产出效率k 2 z 之比最小作为 目标，并在此模型下，定义了d e a 有效性与相应的生产可能集，证 明了n b i - g d e a 有效与相应多目标问题的非支配解之间的等价性； 同时，讨论了n b i - g d e a 模型下的规模收益状况，证明n b i - g d e a 有 效与g d e a 有效是等价的，分析规模收益情况的各种方法都适用于 n b i - g d e a 模型二是介绍了一种对有效d m u 进行排序的方法，在实 际生产活动中，对d m u 按一定标准进行排序也是进行分析评价的很 重要的一个方面，这种方法以d m u 对生产可能集的生产前沿面的影 响作为排序的依据，即除去某有效d m u 后，生产前沿变化越大，离 非有效d m u 越近，视为该d m u 越有效，本文采用该方法对某银行 2 0 个支行进行相对效率排序 关键词：数据包络分析；n b i - g d e a 有效；非支配解；排序 i i 山东大学硕士学位论文 an e wb i o b j e c t e g e n e r a l i z e dd e am o d e l y ul i n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r a 叫 a b s t r a c t d a t ae n v e l o p m e n ta n a l y s i s ( d e af o rs h o r t ) ，o r i g i n a u yf o r m u l a t e db ya c h a r n e s ， c o o p e ra n dr h o d e s ，m e a 6 u r e st h er e l a t i v ee f f i c i e n c i e sa m o n gt h ed e c i s i o nm a k i n g 如i 担、( d m u s ) 叠i 七hm u l t i p l e - i n p u ta n dn m l t i p l e - 0 ，协= 4 山东大学硕士学位论文 ( 可1 j ，物，蚴) r 0 ，x i = d m u i 对第 种输入的投入量，y r j = d m u i 对 第r 种输出的产出量，歹= l ，2 ，n ；江l ，2 ，r n ；r = 1 ，2 s 表2 1 12n z tx 2 z n y ly 2 为方便，记d m u i o 对应的输入，输出数据分别为x o = x j o ，y o = y i o ，1 知住评价d m u j o 的d e a 模型( c 2 r ) 为( 分式规划) fm 器 麓1 ，歹= 1 2 ，l ， it 主0 ，钞之0 ，t 0 ，口0 其中t ，= ( 口1 ，访，) t ，u = ( u l ，u 2 ，) t 分别为m 种输入和s 种输出的 权系数利用1 9 6 2 年c h a r n e s 和c o o p e r 对于分式规划的c h a r n e s - c o o p e r 变换 t ；z 墨一 0 ，u ：纫，p ：t u ， t j 。x o 可将分式形式的模型( c 2 r ) 化为等价的线性规划 l 7 n a x p t y o2h o 陬r ) 卜w 以t x j 。_ - 1 ，p t 啦0 弘1 2 鸭 i u 0 ，p 之0 和 f 厕n 乞 l 3 t 巧o z o ， ( d 伊r ) 嚣1 l 彩y o ， i i入0 ，歹= 1 ，2 ，n ，入e 1 定义2 1 1若( r ) 的最优目标值h o = 1 ，称d m u j o 为弱d e a 有 效( h o 称为效率指数) 5 山东大学硕士学位论文 定义2 1 2 若( f 和r ) 存在最优解u o ，矿满足“j o 0 ，矿 0 ，矿珈= l ， 则称d m 叻。为d e a 有效 利用线性规划的对偶定理和紧松定理，可以得到关于d e a 有效的等价定 义 定义2 1 3 若( d 伊r ) 的任意最优解口o ，增，j = 1 ，2 ，n ，都满足 n 住 萨= 1 ，吻碍= 0 o ，协碍；y o 则称d m u j o 为d e a 有效 上述的d e a 模型( 户r ) 和( d 伊r ) 是使用数学规划模型将经济学家f a r - t e l l 于1 9 5 7 年对于单输出输入的有效性度量方法推广到多输出多输入的 情况 利用( 您。冗) 和( 砌r ) 判断d m u 的d e a 有效性时并不直接早在1 9 5 2 年c h a r n e s 在处理线性规划的退化问题时，在非a r c h i m e d e s 域上引进了非 a r c h i m e d e s 无穷小的概念，给出了摄动法对于d e a 模型( 砌r ) ，c h a r n e s 和c o o p e r 给出了具有非a r c h i m e d e s 无穷小量s 的d e a 模型( c 詹) ： ( r ) p s ( 矿s 一+ e t 8 + ) 】 巧+ s = o z o ， j ；1 蛳一8 + = y o ， j = l 0 ，歹= l ，2 ，n ， 占+ 0 ，s 一0 ，口e 1 其中爸= ( 1 ，1 ，1 ) t 驴，e = ( 1 ，1 ，1 ) t e 。 事实上，存在一个正数e ，使得下面的定理成立： 定理2 1 1 若( d 刍。r ) 的最优解0 0 ，碍，j = 1 ，2 ，m 满足 口o = 1 ，s 一0 = 0 ，s + 0 = 0 ， 则d m l 为d e a 有效 2 2 生产可能集的公理体系和d e a 模型的扩充 在数理经济学的研究中，为了研究经济系统的结构，往往需要引进一些公 理设生产可能集为 6 山东大学硬士学位论文 t = ( z ，y ) l 投入z 点翠，可产出y e ； 关于生产可能集t ，有如下的一些公理： 公理2 2 1 ( 凸性公理) 若( z ，s ，) z ( 奎，刃t ，则【0 ，l 】，均有 a ( z ，3 ，) + ( 1 一口) ( 2 ， ) t 公理2 2 2 ( 无效性公理) 若( z ，! ，) t ，2 z ，争sy ，则( 2 ，劲t 公理2 2 3 ( 平凡公理) ( 奶，协) 正歹= 1 ，2 ，m 公理2 2 4 a ( 锥性公理) 若( 霸y ) za 0 ，则a ( z ，y ) t 公理2 2 4 b ( 压缩性公理) 若( z ，耖) z0 a 1 ，则q ( z ，可) t 公理2 2 4 c ( 扩张性公理) 若( z ，秒) z1 a ，则口( z ，y ) t 公理2 2 5 ( 最小性公理) 生产可能集t 是所有满足公理2 2 1 2 2 3 或 蔫翟公理2 2 1 2 ；23 和让4 a 2 2 4 c 中某一个的最小者 当引进3 个取值为0 或l 的参数以，如，如时，生产可能集t 有如下惟一 的形式： t = ( p ，3 ，) j菇ffiljffill)a3aa 012 1 以，) ， i ，n 、i 以i + 南( 一 n + ll = 以，f j = 1i ，歹= ，n ，n +i 特别有 ( i ) 当t 满足公理2 2 1 , - , 2 2 3 和2 2 4 a 及2 2 5 时有( 相应地，矗= 0 ) r = 卜， 妻? gj 壹= 1 妣心孔品柚) ( i i ) 当t 满足公理2 2 1 2 2 3 和2 2 5 时有( 相应地。以= 1 ，如= 0 ) 码俨= 0 ，歹= l ，2 ，n k 研是闭凸锥，且i n t k 0 ，k 驴是k 的负极锥，( k l ，k 2 ) t 是正 的权重( k 1 0 ，兢 o ) ，分别表示决策者对减少投入与增加产出的偏好 a ，如，如是取值为0 和1 的参数，对于以，如，如不同取值可以得到具有 锥结构的d e a 模型c 2 r ，b c 2 ，f g 和s t 特别当w = k6 l = 0 时，即为 c 2 h w 模型；当v = e ? ，u = 皿，k = 霹时，即为通常的d e a 模型 闭凸锥是根据决策者的偏好而引入的表明不同的投入和产出指标重要 性程度的“偏好锥”；闭凸锥k 称为“偏袒锥”，用来表明决策者对某个或某 些决策单元的一种偏好倾向 关于具有锥结构的综合d e a 模型( d g d e a ) 和( d g d e a ) ，w e i ，y u 和b r o c k - e t t 等人作了系统的研究证明了d e a 有效( g d e a ) 与对应的多目标规划问 题相应与彬的非支配解的等价性；研究了相应的加法模型和多面锥的d e a 模型，等等不难看出，对具有锥结构的综合d e a 模型的研究包括了对所有 前述通常d e a 模型的研究 记生产可能集为 ，i 、 t ； ( z ，可) lf ? _ z ) ，a ( e t p + 如( 一1 ) 6 3 p + 1 ) = 6 i ，入一耳，h + l 0 1 0 山东大学硕士学位论文 上述d e a 模型( d g d e a ) 可写为 c g 一叫 烹k 出d ， 称为输入倾向的综合d e a 模型对称地可以得到产出倾向的综合d e a 模型 ( g d e a - o ) ( 烹乙州d 对于( g d e a - o ) 模型可以类似于( g d e a - i ) 模型，完全平行地进行讨论 i i 山东大学硕士学位论文 第三章双目标广义d e a 模型n b i - g d e a 本章主要研究双目标广义d e a 模型n b i - g d e a ，包括有效性定义， n b i - g d e a 有效与相应多目标问题的非支配解之间的等价性，以及该模型在分析 决策单元规模收益方面的应用 3 1n b i - g d e a 模型 考虑决策单元d m u j o ，l 两n 方便起见，记：v 0 = x j o ，y o = 在以 下模型中，目标函数包含投入指数0 和产出指数z 模型称为双目标广义d e a 模型( n b i - g d e a ) ： ( p 0 ) k l o k 2 z ( 裂z 知y o ) ，一y 入+ 。 5 1 ( e t a + 如( 一1 ) 如k + 1 ) = 毋， 入一k ，a n + l 之0 ， p 1 ，z21 。 通过c h a r n e s - c o o p e r 变换，即 设t 0 ，令0 = 孚，z = 詈，= 譬， 将以上分式规划变为等价的线性规划。 1 2 ( p n ) 7 n n k 1 毋 “( 一x 跏p - + c z o v y o ek 一跏+ 矗( e t p + 如( 一1 ) 如肌+ 1 ) = n t ， p 一j r 。，风+ l 0 ， 西st ，f2t ， k 2 t = 1 山东大学硬士学位论文 对( p ) 而言，约束条件中不需注明 0 ，妒0 ，因对结果没有影响其 对偶规划为； ( d n ) 7 7 1 以x 愚 8 t w t x 一铲y + 6 1 e t l l o k 1 w t z o - 风= k t ， 芦t 珈一岛一娩风= 0 ， 以脚+ 防一庞= 0 ， 6 1 6 2 ( - i ) 6 3 0 ， ( ，p r ) r 彤 伤20 ，侥0 其中，x = ( z 1 ，z 2 ，z n ) t 是m n 的投入矩阵，y = ( 可1 ，y 2 ，鲰) t 是 8 x n 的产出矩阵，巧= ( z 1 ，x 2 j ，z 删) t 是d m u j 的投入向量，歹= 1 ，2 ，n ， 玢= ( y 1 9 , y 2 9 ，舶j ) t 是d m u j 的产出向量，歹= l ，2 ，n ，e = ( 1 ，1 ，1 ) t z 矽z 璎如是闭凸锥，且，玩彤鼠。，驴n 如是形的负极锥对任意 ( u t ，) 1 w o ) ，有 u t 奶 0 ，p t 协 0 ，j = 1 ，2 ，n k 僻是闭凸锥，且i n t k 毋，k 。酽是的负极锥，( 免l ，k 2 ) ? 是正 的权重( k l 0 ，乜 o ) ，分别表示决策者对减少投入与增加产出的偏好 以，如，如是0 和1 参数，取不同的值可以得到不同的广义n b i - g d e a 模 型 闭凸锥是根据决策者的偏好而引入的表明不同的投入和产出指标重要 性程度的“偏好锥”；闭凸锥k 称为“偏袒锥”，用来表明决策者对某个或某 些决策单元的一种偏好倾向 k c 霹，因此一k d 群令芦= 击f o ，o ，j o , o ) 1 驴，而= 0 ，z = 万= 矿= 击，又万一k 。，故( _ ，蕊石，万，彳，刁1 是( p ) 的可行解，因此 ( p ) 的最优值h o 镪 引理3 1 1 ( 弱对偶定理) 设( p ，风+ 1 ，7 ，t ) 是( p ) 的可行解，( u ，p ，伽，历，岛，f 是( d ) 的可行解，则 k 1 芝角 证明设( p ，p n + l ，妒，l t ) ，( u ，弘，脚，风，庇，风) 分别是( p ) 和( d n ) 的可行 解 因 fx p - 毒, x o1 w ，w t ，) t 彬 一印+ 伽 7 1 3 山东大学硕士学位论文 故 u t ( x p o ) + ，( 一y p + o ) 0 ( 3 1 1 ) 因。 u t x p t y + 6 1 p , o e r 墨p 一k ， 故 ( u t x 一，y + 5 d , l o e t ) p 0 ( 3 1 2 ) 因 a 如( 一d 6 3 v o 0 ，p n 十l 之0 ， 故 ( ，1 6 2 ( - 1 ) 1 3 枷肌+ l 之0 ( 3 1 3 ) 注意到， “，t z o 一历= k 1 ，# t y o 一侥一k 2 风= 0 ，艿1 p , o - i - 风一屈= 0 ， 由( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 式，有 七l = ( “，r x o 一尻) 2 q 妇t ：g o 一7 弘t y o ：g oy o - i - 7 - # t 3 o 一幻吼= 西u 17 弘11 珈一俄 一j o i j , o e t p + r ( 危+ 娩角) 一风 = 一( 6 l 伽一( ，1 6 2 ( - - 1 ) 6 3 加+ l 细) + r ( 6 l 枷- i - 风+ k 2 风) 一风 下风一妒风+ - r k 2 & 傀 证毕 由引理3 1 1 ，容易得到以下结论 结论3 1 1 如果o ，p o ，朋，所，雳，腭) 是( d n ) 的可行解，且满足 腭= 瓮， 那么p o ，矿，朋，钟，田，壤) 是( d n ) 的最优解 具有锥结构的线性规划的对偶定理需在某些约束规格条件下才能成立， 因此，我们给出以下假设 1 4 山东大学硕士学位论文 假设3 1 1 设( 矿，理+ l ，u o ，t o ，t o ) 是( p n ) 的最优解，设集合 旷篓舶1 ) 一0 0 0 x o y p ：o 小0 h t p o 0 00t o0 ， k ，风，尾， l u r ( x 矿一) + ，( 一y+ 一珈) = ， = ，k 砖+ 1 = ， i 风( 扩一t o ) = ，侥( 一一) = j 在假设3 1 1 条件下，我们可以得到以下定理 定理3 1 1 ( 对偶定理) 设驴，以+ 1 ，u o ，t o ，t o ) 是( e n ) 的最优解，更i l ( d n ) 存在最优解( w 0 , p o ，墙，钾，艘，艘) ，使得 七l 扩= 腭 下面在n b i - g d e a 模型下定义( 弱) d e a 有效 c i ) 如果( p ) ( ( d ) ) 的最优值等于惫，称d m 为弱n b i - g d e a 有 朋= 瓮，( ，p 盯) re 彤 t = ，们【( x p k - 。，x i e w ，* , 。& s l ( n e r p + 5 ：2 ( - pp n + l 0 k 2 v 1 1 ) ? 砌+ 1 ) = 矗岛) il 一k ，sn = j f m 讥啪 【 “ 1 5 山东大学硕士学位论文 定义3 1 2 ( ( 弱) n b i - g d e a 有效) 如果( p ) ( ( d ) ) 的最优值等于惫，称d m 为弱n b i - g d e a 有效 容易证明以下定理 定理3 1 2 令( 口o ，z o ，a o ，碍+ 1 ) 是( p o ) 的最优解，那么为弱n b i - g d e a 有效当且仅当b o = 1 ，z o = 1 假设3 1 2 若可0 ，有( 0 ，y ) 隹t 设( 矿，入0 ，入1 ) 是( p o ) 的最优解，( 矿，以+ 1 ，扩，t 0 ，t o ) 是( d n ) 的最优 解，d m 的改进方向为： 葡：伊z 。：苦z 。，- - 1z 0 y 0 = 万t o 珈， 在假设3 1 2 条件下，与文献 2 l 】类似可以得到证明( 丽，面) 是弱n b i - g d e a 有 效的 3 2 - g d e a 有效与非支配解 本节主要研究弱n b i - g d e a 有效与相应多目标规划的非支配解的等价 性 考虑多目标规划 c 吲 竺凄黧t 定义2 2 1 令w 点? 相如果不存在( z ，耖) t ，满足 ( - 霉y ) ( - 知y o ) 仰l 那么( x 0 ，y 0 ) 是( y p ) 的相对于w 。的非支配解 为证明等价性，考虑一对对偶规划； 1 6 ( p 1 ) m 凹( t t s 一十产s + ) s t x p + s 一= z o ， k 2 y p 一8 + = y o 6 l ( e t p + 如( 一1 ) a 3 p , ，+ 1 ) = 占l t ， p 一k + ，肌+ l 之0 ， ( s t ，亭+ ? ) 丁一w ， t r 乜7 = 1 山东大学硕士学位论文 和 ( d 1 ) r a i n p t z o 一# t y o + 伤) s t k 2 w r x k 2 d t y + 6 1 e t 正 一历+ 乜尾= 0 ， 一6 l 脚+ 隗= 0 ， 6 1 如( 一1 ) 如，l o 0 ， ( ( u r ) t ，( i “一 ) t ) r v 吒 历0 ，危o 其中( ，铲) t i n t w 、 k 和彬是多面体，因此在继续证明之前，必须做出以下假设 假设3 2 1 设( 矿，熊+ l ，8 0 - ，s 0 + ，t o , f o ) 是( p 1 ) 的最优解，假设 ，l l 芭k ，( 砑，碍) r 彬h 4 0 ， 芦1 之d ，如2o ， h t p o = 0 ，7 l 手s o 一+ 碍s 0 + = 0 ， 砑p 1 = 0 ， 历( t o t o ) = 0 ，尾( k 2 r o 一1 ) = 0 是闭集 显然，( p 1 ) 和( d 1 ) 对偶定理在假设3 2 1 的条件下成立因此，以下引 理成立 引理3 2 1 ( 对偶定理) 令( p o ，以+ 1 ，8 0 一，8 0 + 矿，一) 是( p 1 ) 的最优解因 此，( d 1 ) 必存在最优解( - 芦，丽，两，瓦) 满足 ，s 一+ 产暑+ = 矿知一矿伽+ 瓦 引理3 2 2 令( x o ，y o ) 是( 泞) 的相对于的非支配解，那么存在 ( _ ，万，_ ) 满足 忌2 矿x k 2 f i t y + 6 1 f i 面e t z 矿蜘一k 2 - 万t y o + 击6 1 面= 0 ， 以如( 一1 ) 6 a 而0 ， ( 矿，矿) t i n t w 引理3 2 3 如果存在p 汀，p 时) t i n t w ，使得( x o ，y o ) 是 f r a i n 0 0 7 z i 1 0 t y ) l - s t ( 。，y ) - z 】7 肋 + 勉致 一一一 y ( 一 一 叫 姒一 一 山东大学硕士学位论文 的最优解，那么( z o ，；1 0 ) 是( v p ) 的相对于w + 的非支配解 定理3 2 1d m u j o 为n b i - g d e a 有效当且仅当( z o ，y o ) 是( v p ) 的相对 于形的非支配解 证明方面，设( z o ，跏) 是( y p ) 的相对于w 的非支配解由引理3 2 2 ， 存在( _ ，蕊翮满足 如矿x 一矿y + 6 1 f f 6 e t 正 矿z o k 2 f i t y o + 击6 l 面= 0 ， 6 1 6 2 ( 一1 ) 南面0 ， ( 矿，矿) t i n t w 设 。 p = m a x 蔑，彘) ， u o = 譬，矿= 玺，朋= p 蕊 ， 钟= w o t z o k l ，鹾= 6 l 朋+ 钟，腭= 击( p 时蜘一腭) 容易验证，( u o ，矿，朋，钟，艘，艘) 是( d n ) 的个可行解，且 艘= 壶( 珈一朋) = 瓦1 ( 七一o t z 。一俨珈+ 魂朋) ) = 惫 因此，d m u j o 为n b i - g d e a 有效 另方面，设d m u m 为n b i - g d e a 有效，存在p 旧，p 盯) r i n t w ，p 8 ，钟，艘 满足 穰= 惫， o 旺x 一y + 6 l 一战k 。 俨知一钟= 知l ， p 时珈一留一乜房= 0 ， 矗朋+ 钟一腭= 0 ， 6 1 如( 一1 ) 如朋， ( u 凹，弘o t ) r i n t w 钟0 ，醒0 从而有 w o t x o - - p o t y o + 6 1 p 盘= 忌l + 硝一艘一乜鲁+ 趣一腭= o ( 3 2 1 ) 对任意( z ，) t ，存在( s ，s + t ) r 一w 。，p 一k ，加+ 120 ，且6 l ( ，p + 6 2 ( 一i 3 p + 1 ) = 以，使得 ( 二) 二( 茹) ， 1 8 山东大学硕士学位论文 有 一，可三器z i 卫3 。t 1 y 一) p 僻孙 2 固 = p 时x 一+ 盯s 一+ p 汀s + ) p 叫 因 咛，) t j 疵c 形( 3 一t ，s 耵) r 一w 。， 有 u 叮s 一- i - ，8 - - 之0 由( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 式，有 u 旧z p 旰耖之( u o t x p o t y ) p 因p 一k ，u 时x p 时y + n e 丁p 8 k ，有 凹x p 泞y + 以e 翻) p2 0 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 进而有 时x p o t y ) p 一$ l e t # o p 三二豁h - 兹- ：l 芝麓鑫 慨2 = 一n 1 ，e x r疗1 订b 一r o n _ l ，x - - 6 1 # 0 t 由( 3 2 4 ) 、( 3 2 5 ) 和( 3 2 1 ) 式，对任意( z ，耖) t ，有 u o t z 一【上0 t y之( u o t x 一卫o t y ) p 一6 1 s t 一瓦1u 1 脚0 = c d 0 t x 0 一曰珈 故( x o ，y o ) 是 fr a i n ( u p o t x p 时3 ) 【s t ( z ，y ) t 的最优解，其中( u 汀，p 汀) t i n t w 从而由引理3 2 3 得到，( x o ，y o ) 是( y p ) 的相对于彤的非支配解 定理证毕 上述一系列的定理说明，弱n b i - g d e a 有效与相应多目标规划的非支配 解是等价的 1 9 山东大学硕士学位论文 3 3 决策单元的规模收益分析 d e a 模型的个重要用途就是评估决策单元的规模收益情况，包括规模 收益递增，规模收益不变和规模收益递减三种在微观经济学中，对于规模收 益状况的研究传统的方法是使用生产函数( 对于单输出的状况) ；对于多种产 出的情况， 1 9 8 4 年b a n c k e r 2 6 】首先使用输入d e a 模型c 2 r 和b c 2 评估决 策单元的规模收益状况，2 0 0 2 年w e i ，y u 和l u 2 7 ，对于具有偏好的、更般 的综合d e a 模型从生产可能集出发，给出了关于规模收益为递增、不变和递 减的严格定义，对于具有锥结构的输出d e a 模型g 2 r ，b c 2 ，f g 和s t ，给出 一些充分必要条件 下面的定理说明n b i - g d e a 模型的最优解是相应g d e a 模型最优解的一 定数量倍，因此两种模型评估决策单元的规模受益状况的方法是相同的 定理3 3 1 考虑n b i - g d e a 模型( d n ) 和以下g d e a 模型s 七一 竺黧 那么，d m u j o 为弱n b i - g d e a 有效当且仅当它为g d e a 有效，且( d n ) 的最优解是( d g d e a ) 的最优解的正的数量倍 证明设d m u j o 是弱n b i - g d e a 有效的，( u o ，弘o ，墙，钟，璎，壤) 是( d n ) 的最优解注意到k l + 腭 0 ，有 万= 南伊上府丽u o o k l + 劈2 u 2 研p2 ，加2 丽 显然，由d m u j o 为弱n b i - g d e a 有效可得，( _ ，7 j f ，丽) 是( d g d e a ) 的可行解， 且 矿z o + j l 而= 南0 汀z o + 6 l 弘8 ) = 丽南霹( l + 钟+ 艘一钟) 因此，d m u j o 是弱g d e a 有效的，且( d n ) 的最优解是( d g d e a ) 的最优解的 ( 七l + 艘) 倍 另方面，设d m u j 。是弱g d e a 有效的，( - 万，一) 是( d g d e a ) 的最优 山东大学硕士学位论文 解有 矿z o + 魂而= 矿珈， 矿x 一矿y + 6 1 e 刁丽k 矿珈= 1 ， 6 1 如( 一1 ) 6 3 面0 ， ( 矿，矿) t 形 从而，( d n ) 存在最优解o ，矿，弘8 ，钟，理，留) ，其中 u o = 声，p = 庠，勰= 厢， p z 彘，彘) 且 露= 瓦1 、p o t 珈一鹾) = 击( 七一( w 。t x o - - # o t y o + 矗朋) ) = 乏 因此，d m u i o 是弱n b i - g d e a 有效的，( d n ) 的最优解是( d g d e a ) 的最 优解的p 倍 定理证毕 因此，可以使用文献 2 7 】的类似方法评估决策单元的规模收益分析，在此 不详细叙述 2 1 山东大学硕士学位论文 第四章对决策单元进行排序 本章介绍一种对有效决策单元进行排序的方法，并使用此方法对某银行 2 0 个分行进行相对效率排序 4 1 方法介绍 d e a 方法是以相对效率概念为基础的一种非参数统计方法，判断个决 策单元是否为d e a 有效，本质上是判断该决策单元是否落在生产可能集的生 产前沿面上直观地看，一个决策单元与生产前沿面距离越近，该决策单元的 相对效率值越大，该决策单元就越有效，在生产前沿面上的决策单元，即d e a 有效的决策单元，与非d e a 有效的决策单元相比，对生产可能集和生产前沿 面的影响要大在此思想基础上，g h o l a mr e z aj a h a n s h a h l o o 等c 2 8 】提出一种 新的有效决策单元的排序方法 该方法依据决策单元对生产前沿面的影响进行排序，即除去某有效决策单 元后，生产前沿变化越大，离非有效决策单元越近，视为该决策单元越有效， 这种方法对非有效决策单元的依赖性更强以文献【2 9 】中的例子为例，分析图 4 1 ，第一幅图显示的是原始俨r 前沿面，d m u 5 ，d m 砜，d m u 3 ，d m u 8 是有 效决策单元，后三幅图分别是除去d m 现，d m 砜，d m 现的生产前沿面可 以看出，与其他有效决策单元相比，除去d m 玩后的生产前沿面变化更大， 距离非有效决策单元更近，因此，d m u s 比其他有效决策单元更有效， 山东大学硕士学位论文 其中 x 1 ，y w i t h o u td m u 3 x 1 缸 w i t h o t i td m u 4 表4 1 决策单元的投入产出数据 下面说明如何运用该方法测算决策单元的效率，本文采用双目标模型 ，m j 、 r a i n 以，b = 0 一石一g ( s f + 3 产) = lr = l 5 t 一 z 嵇+ o x o 一町= 0 ，t = 1 ，m ， j e j - o 嘶一z 奶咆一s 产= 0 ， ，一( 6 0 ，j j 一【6 ) ， 3 f20 ，i = 1 ，m ， 8 0 ，r = 1 ，8 ， 0 1 ，z 1 d 厶，厶表示非有效决策单元的集合； b 五，五表示有效决策单元的集合 有效决策单元的效率得分可以表示为； 玩囊 q 6 = 堕! ! 一 礼 t = 1 ，s ， 山东大学硕士学位论文 元表示非有效决策单元的数目 钉，s 是决策单元到生产前沿面的距离，跣，b 与非有效决策单元a 和有 效决策单元b 之间的距离成反比，因此有效决策单元b 的相对效率得分q b 与 各个非有效决策单元和生产前沿面的距离成反比，即若除去某一决策单元， 生产前沿面变的与非有效决策单元更近，则该决策单元越有效 4 2 数值例子 以文献f 2 8 】中某银行2 0 个支行的数据为例进行相对效率排序，投入指标 选取职员、技术和场地三项，产出指标选取存款、贷款和费用三项首先，采 用c 2 r 模型对决策单元进行评价，将决策单元分为有效和非有效两类，原始 数据和c 2 r 相对效率见表4 1 ( 表中投入产出数据已经过归一化处理) 然后，利用前一节的模型计算有效决策单元的效率得分，结果见表4 2 由表4 2 可以看出，利用本文方法对七个c 2 r 有效决策单元进行排序的 结果，d m u 7 是最有效的个 山东大学硕士学位论文 表4 1 决策单元的投入产出数据 山东大学硕士学位论文 表4 2 决策单元排序 山东大学硕士学位论文 第五章结论与展望 在使用d e a 方法测算决策单元的相对效率时，为避免出现输入型技术效 率与输出型技术效率不一致的情形，需要综合考虑输入缩小比率和输出扩大 比率本文在前人研究的基础上，提出了一种新的双目标广义d e a 模型( n b i - g d e a ) ，考虑到决策者对投入指标和产出指标的偏好，以投入效率k t 8 和产出 效率k 2 z 之比最小作为目标，并在此模型下，定义了d e a 有效性与相应的生 产可能集，证明了n b i - g d e a 有效与相应多目标问题的非支配解之间的等价 性，讨论了n b i - g d e a 模型下的规模收益状况另外，本文介绍了一种对有效 决策单元进行排序的方法，该方法以d m u 对生产可能集的生产前沿面的影响 作为排序的依据，即除去某有效d m u 后，生产前沿变化越大，离非有效d m u 越近，视为该d m u 越有效 需要说明的是，对于双目标广义d e a 模型n b i - g d e a ，本文以投入径向缩 小和产出径向扩大，即p e l ，石e 1 时的情形为例进行的定义和证明，对非 径向的情形，即p e m ，z 酽，k t 点即，k 2 e 8 时，同样可以进行研究 由于d e a 方法不需要预先估计参数，在避免主观因素和简化运算、减少误差 等方面有着不可低估的优越性，而且，d e a 具有天然的经济背景，使用d e a 对决策单元进行效率评价时，可得到很多管理消息，因此，在经济背景下对双 目标广义d e a 模型n b i - g d e a 进行完善与改进，是下一步研究的重点 2 7 山东大学硕士学位论文 参考文献 d i e w e r t ，c a p i t a la n dt h et h e o r yo fp r o d u c t i v i t ym e a s u r e m e n t ，a m e r i c a ne c o - n o m i cr e d e w ，5 ( 1 9 8 0 ) ，2 6 0 - 2 6 7 莫剑芳，叶世绮，基于d e a 的资源配置状况分析，运筹与管理，1 1 ( 2 0 0 2 ) ， 4 二4 5 陈嵩，用d e a 法评价高校办学效益的研究，预测，1 ( 2 0 0 0 ) ，7 7 - 7 9 c h a r n e sa ，c o o p e rwwa n dr h o d e se ，m e a s u r i n gt h ee f f i c i e n c yo fd e c i s i o n m a k i n gu n i t s ，e u r o p e a nj o u r n a lo fo p e r a t i o n a lr e s e a r c h ，2 ( 1 9 7 8 ) ，4 2 9 - 4 4 4 r d b a n k e r ，a c h a r n e s ，w w c o o p e r s o m em o d e l sf o re s t i m a t i n gt e c h n i c a l a n ds c a l ee f f i c i e n c i e si nd e a m a n a g e m e n ts c i e n c e ，3 0 ( 9 ) ( 1 9 8 4 ) ，1 0 7 8 - 1 0 9 2 f a r er ，g r o s s k o ps an o n p a r a m e t r i cc o s ta p p r o a c ht os c a l ee f f i c i e n c y j o u r n a l o fe c o n o m i c s ，8 7 ( 1 9 8 5 ) ，5 9 4 - 6 0 4 s e i f o r dlm t h r a l lrm r e c e n td e v e l o p m e n ti nd e a 、t h em a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n ga p p r o a c ht of r o n t i e ra n a l y s i s j o u r n a lo fe c o n o m e t r i c s ，4 6 ( 1 9 9 0 ) ， 7 - 3 8 c h a r n e sa ，c o o p e rw w ，o o t a r yb f o u n d a t i o no fd a t ae n v e l o p m e n ta n a l y s i sf o rp a r e t o - k o o p m a n se f f i c i e n te m p i r i c a lp r o d u c t i o nf u n c t i o n s j o u r n a lo f e c o n o m e t r i c s ，3 0 ( 1 9 8 5 ) ，9 1 - 1 0 7 c h a r n e sa ，c o o p e rw w ，w e iql as e m i - i n f i n i t em i l l t m r i t e r i ap r o g r a m m i n g a p p r o a c ht od a t ae n v e l o p m e n ta n a l y s i sw i t hm a n yd e c i s i o n - m a k i n gu n i t s c e n - t e rf o rc y b e r n e t i cs t u d i e sr e p o r t ，c c s5 5 1 ，s e p 1 9 8 6 c h a r n e sa ，c o o p e rw w ，w e iql f u n d a m e n t a lt h e o r e m so fn o nd o m i n a t e d s o l u t i o n sa s s o c i a t e dw i t hc o n ei nn o r m e df i n e a rs p a c e s j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a l a n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，1 5 0 ( 1 9 8 5 ) ，5 4 _ 7 8 。， y ug ，w e iql ，b r o c k e t tp ag e n e r a l i z e dd a t ae n v e l o p m e n ta n a l y s i sm o d e l a n n a l so fo p e r a t i o n sr e s e a r c h ，6 6 ( 1 9 9 6 ) ，4 8 9 c h a r n e sa ，c o o p