（概率论与数理统计专业论文）有成批到达的离散时间一般重试排队系统.pdf

学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 麝无乐 签字日期：舢f 。年口月f 。日钳寡 立 、，、 ，j ， 氰、，纩 签 同 师 字 中图分类号：0 2 1 1 u d c ：5 1 7 学校代码：1 0 0 0 4 密级：公开 北京交通大学 硕士学位论文 有成批到达的离散时间一般重试排队系统 d i s c r e t e - t i m er e t r i a lq u e u e sw i t hb a t c ha r r i v e 作者姓名：殷允乐 导师姓名：王金亭 学位类别：理学 a n d g e n e r a lr e t r i a lt i m e s 学号：0 8 1 2 2 1 2 9 职称：教授 学位级别：硕士 学科专业：概率论与数理统计研究方向：排队论 北京交通大学 2 0 1 0 年6 月 - l 致谢 两年的研究生学习和生活中，我要特别感谢导师王金亭教授他以循循善诱 的授课方式和孜孜不倦的耐心辅导，教会了我很多新的科研思路和方法，使我受 益匪浅他严谨的治学风格，乐观积极、甘于奉献的生活态度，将永远是我学习的 榜样! 本论文是在王老师的精心指导和关怀下完成的无论是在研究生课程学习过 程中，还是在论文选题、研究、定稿的过程中，王老师自始至终给了我大力的支持 和帮助，在此向王老师表示深深的感谢 我还要感谢在我攻读硕士学位期间给予我帮助的院领导和老师，我同门的师 哥师姐师弟师妹和同窗的各位同学 殷允乐 2 0 1 0年61uu 月 厶叮，l 于北京交通大学理学院 中文摘要 摘要：离散时间重试排队理论是排队论中的一个重要分支近年来，由于离散 时间排队系统在数字通讯系统和网络等一些相关领域的应用越来越为广泛，更多 的学者致力于离散时间排队系统的研究许多计算机网络和互联网的运作都是以 离散时间为基准的，它们内部的所有行为都是发生在一些规则的时间点上其实 研究离散时间排队理论的重要原因之一是在模拟计算机网络和通讯系统时，离散 时间排队系统比其对应的连续时间排队系统更为合适，也更贴近于真实的情况 在现实生活中，离散时间排队系统已经广泛应用于模拟计算机和通信网络 在本文中我们一共分析了两个不同的离散时间重试排队系统模型第一个模 型是有不成功启动、成批到达、可控制进入的离散时间重试排队系统第二个模型 是有不成功启动、成批到达和反馈的离散时间重试排队系统在每个模型中，我们 讨论了在这个离散时间重试排队系统中的马尔可夫链以及它的遍历条件，并计算 出了该系统在稳态条件下的一些参数，并说明了一些参数对重试空间平均队长的 影响另外，在一些模型中，本文还给出了两个随机分解法则，并用定理对随机分 解法则做了进一步的解释 关键词0 离散时间重试排队；反馈；随机分解；可修；不可靠服务台； 分类号：0 2 l l a b s t r a c t a b s t r a c t ：d i s c r e t e t i m eq u e u e i n g s y s t e m sw i t hr e p e a t e dc u s t o m e r sa r ei m p o r t a n t b n n c ho fq u e u e i n gt h e o r y r e c e n t l y ，t h e r ei s ag r o w i n gi n t e r e s ti nt h ea n a l y s i so f d l s c r e t e - t i m eq u e u e sd u et ot h e i ra p p l i c a t i o n si nc o m m u n i c a t i o ns y s t e m sa n do t h e r r e l a t e d 批a s m a n yc o m p u t e ra n dc o m m u n i c a t i o ns y s t e m so p e r a t eo nad i s c r e t et i i i l eb a s i sw h e r e e v e n t sc a n o n l yh a p p e na tr e g u l a r l ys p a c e de p o c h s o n eo ft h em a i nr e a s o n sf o ra n a l y s i n g d l s c r e t e - t i m eq u e u e si st h a tt h e s es y s t e m sa r em o r ea p p r o p r i a t et h a nt h e i r c o n t i n u o u s t i i l l e c o u n t e r p a r t sf o rm o d e l l i n gc o m p u t e ra n dt e l e c o m m u n i c a t i o ns y s t e m s wd i s c r e t e t i n l e q u e u e l n gs y s t e m sw i t hr e p e a t e dc u s t o m e r sh a sb e e n w i d e l yu s e di nv i e wo ft h e i r a p p l i c a b i l i t yi nt h es t u d yo fm a n yc o m p u t e ra n dc o m m u n i c a t i o ns y s t e m si nw h i c h t i i i 屺i s s l o t t e d i nt h l sp a p e r , w es t u d yt w oq u e u e i n gs y s t e m s ，t h a ti s ，a d i s c r e t e t i m er e t r i a lq u e u e w j t hs 觚i n gf a i l u r e s ，b a t c h a r r i v e ，a d m i s s i o nc o n t r 0 1 ad i s c r e t e t i i l l er e t r i a lo u e u e w i t hs t a r t i n gf a i l u r e s ，b a t c ha r r i v ea n d f e e d b a c k i ne a c hm o d e l , w ea n a l y s et h em a r k o v c n a i nu n d e r l y i n gt h er e g a r d e d q u e u e i n gs y s t e ma n di t se r g o d i c i t yc o n d i t i o n t t l e n w e p r e s e n ts o m ep e r f o r m a n c em e a s u r e so ft h es y s t e mi ns t e a d y - s t a t e f i n a l l y , s o m en 啪e r i c a l e x 锄p l e ss h o wt h ei n f l u e n c eo ft h ep a r a m e t e r so ns e v e r a lp e r f o r m a n c ec h a r a c t e r i s t i c s i n s o m em o d e l s ，w eg i v et w os t o c h a s t i c d e c o m p o s i t i o nl a w sa n dg i v et h et 、v os t o c h 舔t i c d e c o m p o s i t i o nf o rf u r t h e re x p l a i n a t i o n k e y w o r d s ：d i s c r e t e - t i m er e t r i a lq u e u e ；f e e d b a c k ；s t o c h a s t i cd e c o m p o s i t i o n ； r e p a i r ；u n r e l i a b l es e r v e r ； c l a s s n o ：0 2 1 1 目录 中文摘要i i i a b s t r a c t i v 第一章绪论 1 l 排队论和离散时间重试排队理论的发展简介1 2 排队系统的基本概念2 2 1 排队系统的组成部分2 2 2 排队系统的表示方法3 2 3 排队系统的主要指标4 3 离散时间马尔可夫链4 3 1 定义5 3 2 互通性6 3 3 周期性7 3 4 常返性7 第二章有不成功启动、成批到达和可控制进入的离散时间重试排队 l o 1 模型的描述1 0 2 马尔可夫链1 l 3 随机分解2 0 第三章有不成功启动、成批到达和反馈的离散时间重试排队 2 l 1 模型的描述2 l 2 马尔可夫链2 2 3 随机分解2 9 结束语31 参考文献3 2 作者简历3 4 独创性声明3 5 学位论文数据集3 6 第一章绪论 1 排队论和离散时间重试排队理论的发展简介 自爱尔朗( a k e r l a n g ) 关于排队论的开创性工作以来，排队论经历了近百年 的历史排队系统也称为随机服务系统，是研究服务过程和拥挤现象的随机模型 排队理论的发展历程大体如下：首先爱尔朗( a k e r l a n g ) 在2 0 世纪初用概率论的方 法研究了电话通话问题，并且建立了许多基本原则然后在3 0 年代中期，费勒 ( w f e l l e r ) i 子i 进了生灭过程，排队论才被数学界承认为一门重要的学科在二战期 间和二战之后，排队论成了运筹学这个新领域中的一个重要内容2 0 世纪5 0 年代初 肯德尔( d g k e n d a l l ) 对排队论进行了系统的研究，它使用嵌入马尔科夫链的方法 来研究排队论，使排队论得到了进一步的发展他首次用三个字母组成的符号表 示排队系统2 0 世纪6 0 年代起，排队论所研究的课题日益复杂化，许多问题不是很 难求得精确解，就是得到的结果非常复杂，不便于应用，因而近似方法成为研究的 主要方向 排队论是研究系统由于随机因素的干扰而出现排队( 或拥塞) 现象的规律性的 一门学科，它的产生和发展均来自实际的需求，这样也决定它今后的发展方向排 队论适用于一切排队系统，尤其在交通与运输系统、计算机、通信系统、存储系统 等方面应用得最为广泛 排队系统可以分为连续时间排队和离散时间排队如果到达间隔和服务时间 是非负连续随机变量，则称为连续时间排队在这类模型中，顾客到达或离去这些 事件的发生时刻可以是任何正实数：如果到达间隔和服务时间都是正整值随机变 量的排队系统，称为离散时间排队这相当于把时间轴分割成等长的部分，称为时 隙( s l o t ) ，在这里我们研究的对象主要是离散时间排队模型 在过去很多年里，学者们都专注于研究重试排队系统重试排队系统是指到 达的顾客发现服务台被占用时，进入重试空i 茸- ( o r b i t ) 等待并重试这样的排队模型 在许多现实的领域也得到了广泛的应用另一方面，离散时间排队模型在计算机领 域的重要性也得到了广泛的应用，并且随着电子计算机的不断更新和发展，变得 越来越重要 1 9 5 8 年，m e i s l i n g 首先在离散时间排队系统方向发表了第一篇论文 1 】之后有 许多学者在这一基础上做了许多工作到了1 9 9 5 年，y a n g 和l i 首次将重试排队拓 展到离散时间排队系统 1 2 】，发表了在离散时间重试排队系统中的第一篇文章后 来a t e n c i a 等人又发表了几篇关于顾客成批到达的离散时间重试排队 2 1 ，2 4 本文 就是在这些基础上研究了离散时间重试排队系统中两种不同的模型按照不同的 模型，本文共分为三章： 第一章，绪论，介绍排队论的发展史及一些基础知识 第二章有不成功启动、成批到达和可控制进入的离散时间重试排队 第三章有不成功启动、成批到达和反馈的离散时间重试排队 2 排队系统的基本概念 排队论是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指 标( 等待时间、排队长度、忙期长短等) 的统计规律，然后根据这些规律来 改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对 象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优 而产生排队现象的主要原冈是由于某些资源、设备或空间( 场地) 的有效性及社 会各部门对它们的需求，而诸如服务机构的管理水平低劣，服务台( 员) 的效率不高， 或顾客的无计划性等一些其他因素也造成了一些不该有的排队现象出现 排队论是研究大量服务过程的- - f - j 数学理论在社会生活中，我们会碰到许 多排队现象，比如到商场购物、在公共电话亭打电话、去图书馆借阅书刊、汽车到 汽油站加油、将有毛病的电器送维修部门维修等，这些问题都可以看作是顾客与服 务台之间的一种服务关系 2 1 排队系统的组成部分 从决定排队系统进程的主要因素来看，排队系统由输入过程与到达规则、排队 规则和服务机构组成 1 输入过程和到达过程一般情况下，输入过程是用( 顾客) 到达时间间隔来描 述的根据到达间隔时间所服从的分布，输入过程可分为几何输入( b e m o u l l i 输 入) 、定长输入、( 负) 指数输入、爱尔朗输入、负二项输入与一般输入而到达的过 2 程是指顾客到达系统的方式可以是单个到达、成批到达、依时到达、移态到达等 在本篇论文中主要研究是是成批到达 2 排队规则排队规则一般分为等待制、损失制、混合制在等待制和混合制 中通常又可分为先来先服务( f c f s ) 、后来先服务( l c f s ) 、随机服务( r o s ) 、优先非 抢占服务、优先抢占服务等在混合制中又分为队长( 容量) 有限、等待时间有限 此外，还有顾客服务后反馈以及共同占用、占而不用等等今后，如不特别说明总 认为系统的排队规则为等待制先来先服务 3 服务机构服务机构主要指服务台的数目，有( 有限) 多个服务台时的方式是 并联还是串联，服务时间( 服务一个顾客所用到时间) 服从什么分布服务时间一般 分为定长分布、指数分布、几何分布和一般分布等 2 2 排队系统的组成部分 用x 表示顾客相继到达系统的间隔时间丁的概率分布，y 表示服务时间了的 概率分布，z 表示服务台的个数，聊表示系统内( 最大) 排队容量( 包括正在服务和 排队等待的顾客) 又令m 为负指数分布，d 为确定性分布，最为七阶爱尔朗( e r l a n 曲分布，g 为 一般分布，口为一般独立的分布，g e o 为几何分布 通常用记号x y z m ( 或o o ) 来表达排队系统为方便起见，当系统最大排队 容量为o o 时，就可以略写为x 】，z ，比如： g e o g 玎聊排队模型表示顾客到达的间隔时间为几何分布，服务时间为一 般分布，有聆个服务窗且系统容量为m 的损失制排队模型 g e o g 1 排队模型表示顾客到达的间隔时间为几何分布，服务时间为一般分 布，只设有一个服务台的等待制排队模型 g g 1 1 排队模型表示顾客到达的间隔时间为一般分布，服务时间为一般独立 分布，只设有一个服务台且系统容量为无限的等待制排队模型 g e o g e o i 排队模型表示每批有尼个顾客到达系统，且批与批到达间隔时间 是几何分布，服务时间为几何分布，只有一个服务台，且系统容量为无限的等待制 3 排队模型 g e o g e o n 排队模型表示顾客到达的间隔时间和服务时间均为几何分布，系 统内有刀个服务台 2 3 排队系统的主要指标 对一个排队系统的好坏进行评价要从顾客和服务机构两方面利益来考虑对 顾客而言，总希望等待时间和逗留时间越短越好，所以希望服务台个数越多越好 但是，对服务机构而言，增加服务台的个数就意味着需要加大投资，增加多了就要 导致浪费，那么增加多少最为合适呢? 顾客与服务机构考虑到自己的利益，非常 关注排队系统中的几个指标：系统的负荷水平、系统的空闲概率、队长、等待时间、 服务台的忙期因此，这几个指标就成了排队论的主要研究内容 度 1 系统负荷水平它是衡量服务台在承担服务和满足需要方面能力的尺 2 系统空闲概率它是表示系统处于没有顾客来到要求服务的概率 3 队长队长是指系统中的顾客数，也就是正在服务的顾客数与等待服务的 顾客数之和通常要求其分布和前两阶矩 4 等待时间从顾客到达系统时开始算起一直到他被接受服务时为止的这段 时间称为该顾客的等待时间，而称从顾客到达系统时开始算起一直到他被服务完 离开系统时为止这段时间为顾客的逗留时间，即顾客的等待时间与服务时间之和 我们也要求其分布和前两阶矩 5 忙期忙期是指空闲的服务机构从有顾客到达系统时开始算起一直到服务 机构又没有顾客时为止的这段时间与忙期相对应的是闲期它是指服务机构从开 始没有顾客时算起一直到服务机构又有顾客时为止的这段时间对于有玎个服务 台的系统，通常不用讨论其尼阶繁忙期零阶繁忙期称繁忙期忙期、闲期、后阶繁 忙期也是随机变量，一般也要讨论它们的分布与前两阶矩 当然，对于不同的系统，上述五个指标的重要性也是不同的，有时甚至是没 有意义的例如g e o g e o o o 系统与g e o g e o n n 系统，讨论顾客的等待时间都是 没有意义的 3 离散时间马尔可夫链 4 3 1 定义 设x = 咒( 川，n = o ，1 ，) 是定义在概率空间( q ，厂，p ) 上而取值在非负整数 e = n u 0 _ e o h 随机变量序列，用以= i 表示时刻r l 系统x 处于状态f 这一事件 则在以= i 出现的条件下，事件以+ 。= j 出现的条件概率为 岛( 刀) = 尸( 瓦+ 。= 卅鼍= f ) 又称它为系统x 的一步转移概率如果对任意非负整数f l ，之，屯中i ，及一切，l 0 有p ( e + 。= l 也= f ，以= 屯，| j = 1 ，2 ，n - 1 ) = p ( 以+ ，= l 以= f ) = 功( 刀) ( 1 3 1 ) 则称x 是一马尔可夫链( m 破o vc h a i n ) 若岛0 ) 与起始时刻刀无关，则称x 为齐 次马尔可夫链，并称式( 1 3 1 ) 为马氏性( 无后效性或无记忆性) ，即在已知”现在”的 条件下，”将来”与”过去”相互独立今后我们考虑齐次马尔可夫链的情况，简记 p i j ( n ) 为p u 易知岛on _ p u = l ，f o j 马尔可夫链x 的一步转移矩阵为 ip p q l 1 尸2 ia op l l if 马尔可夫链x 的刀步转移概率为 、1，、 l _ 【助j j ) p 扩= p ( 以= i k = f ) = 尸( 以+ 。= i l = i ) x 的疗步转移矩阵为 p = ( 力) 容易验证它有如下性质： 砖o , z p 护= 1 j 且对v f ，j b 下述的k o l m o g o r o v - c h a p m a n ( 后简称k - c 方程) 成立 力棚) _ p 砖 量 若记只= p ( x o = 晚则易o ，p i = 1 ，我们称 b ，i c e ) 为齐次马尔可夫链x f 的初始分布，尸( 鼍= d 为齐次马尔可夫链x 的绝对概率利用全概率公式及马氏性 得 p ( 以= f ) = p ( 以= f ，= 尼) = p k 力 kk 且当m l - l ，力 o ) 的最大公约数，则称它为状态f 的周期若对一切 的疗1 ，有硝= 0 ，则约定4 = 0 0 当4 l 时，称f 是有周期的状态，当z = 1 时，称f 是有非周期的状态下面介 绍几个定理，证明略去 定理1 3 1 若f h ，则4h t 定理1 3 2 若状态f 有周期4 ，则必有正整数m ( 与f 无关) ，使得对刀m ， 奄荫t 0 定理1 3 3 若对某一m o ，有彬 o ，则对一切充分大的刀，有露i + 嘲 o 3 4 常返性 我们称 刀”= p ( 以= ，五，1 七刀ik = f ) 为自状态i 出发，经，z 步后首次到达j 的概率而称 乃= 刀帕 n = l 为自状态f 出发，经有限步后终于到达的概率如果乃= 1 ，则称 坞= 研帕 n = l 为自状态i 出发，最终到达j 所需要的平均时间为方便起见，简记为 j3 = q ，m j = m b 7 我们有如f 定义： ( 1 ) 若乃= 1 ，则称，是常返的；若乃 o ，这时 万， 就是平稳分布， 同时有乃= 瓦i 并且7 r 可由下述关系式唯一的确定 7 f = l 7 ，= 乃p u 如果马氏链x 的所有状态均是遍历的，则称该马氏链是遍历的马氏链或者， 如果马氏链的绝对分布 万罗 作为门的函数，当刀专时总收敛于平稳分布 万， ， 则称该马氏链是遍历链，特别的有下述定理 定理1 3 5状态有限、非周期、不可约的马氏链必定是一遍历链 定理1 3 6 对有限马氏链，若存在正整数，使对一切f ，j e ，有p ， o ， 那么，该马氏链是遍历的，且扣，) 是方程组 七 乃= 7 r j p o ，1 尼 j = l 乃 o 及乃= 1 的唯一解 定理1 3 7有限马氏链的平稳分布恒存在 9 第二章有不成功启动、成批到达和可控制 1 模型的描述 进入的离散时间重试排队 考虑一单服务台离散时间重试排队，将时间轴等间距分割，每一段称作一个时 隙( s l o t ) 进一步，在时间轴上标0 ，1 ，m 与连续时间排队不同的是，在离散时 间排队中到达和离开同时发生的概率不再是0 因此我们有必要设定到达和离开 同时发生时的先后顺序在以前的文献中，有这样的准则：( i ) 如果到达在离开之 前发生，则称之为l a t ea r r i v es y s t e m ( l a s ) ：( i i ) 如果离开在到达之前发生，则称 之为e a r l ya r r i v a ls y s t e ( e a s ) 这两个系统还可称之为a r r i v a lf i r s t ( a f ) 和 d e p a r t u r ef i r s t ( d f ) 规则在本文中，如无特别说明我们讨论第二种情形假设 队列中的所有活动( 到达、离开、重试、修理) 均发生在时隙的边界点上为了能够 用数学语言准确的描述这一模型，我们假定离开和修理的结束点发生在( 聊一，所) ， 而到达和重试发生在( m ，m + ) ：也就是说，到达、重试发生在边界点之后的瞬间，离开 和修理的结束点发生在边界点之前的瞬间当然，我们也可以用l a s 来研究与本 文相同的模型，这样我们会得到一个不同的结果 在这个模型中，顾客是成批到达的，且到达过程是服从参数为p 的几何过程假 定外部到达顾客以，个到达的概率为e i ，在到达的，个顾客中每一个顾客能够允许 进入服务系统的概率为a ，其中口( 0 ，1 】，巳表示到来的，个顾客最后进入到服务系 统刀个的概率，我们可以得到： c o = c t ( 1 - a ) 7 ， l = l 巳= 喜q ( 三) 口”c 一口，卜”刀 定义母函数c ( 功= q ，对应的刀阶阶乘矩为乞，令矿= p ( 1 - c o ) ，= l - p 宰 i = o 1 0 如果进入系统的顾客发现服务台忙或者出现故障，则顾客必须离开服务区，进 入到一个重试空间( o r b i t ) 等待，这些在重试空间里等待重试的顾客其重试的时间 间隔服从任意分布娩) 墨。，其对应的母函数为彳( x ) = x i ，在服务的过程中服从先 i = o 到达先服务的原则也就是说当服务台空闲时，只有排在最前面的顾客才能被允许 进入服务台，其余的顾客仍要在重试空间里等待当顾客进入到服务系统时，启动 服务台，服务台能够启动成功是概率为p ，启动失败的概率为0 = l p ，如果启动成 功，顾客立刻得到服务，接受完服务之后顾客立刻离开系统如果启动失败，服务 台立刻进行维修，同时顾客进入重试空间等待 在服务的过程中，服务时间是相互独立的服务时间服从一般分布h ， 墨。，对应 的母函数为s l ( x ) = s u 薯，对应的刀阶阶乘矩为卢。维修时间也是相互独立的， i = l 维修时间服从一般分布 j ：， ：，对应的母函数为是o ) = s 2 ，而，对应的刀阶阶乘矩 i = l 为厦在这里我们假定o p o ， 万2 ，i ，t = l i 理尸 q = 2 ，乞朋= f ，二= 尼】，i l ，k 1 ，h 易得出平稳状态下的柯尔莫哥洛夫方程如下： 7 r o ，o = p * j r o 。o + p ，l 。o 7 r o 。f ，i = p 切o 。f + l ，女+ p 乃 l i + p 乜7 9 2 l i ，i l ，k 1 ， k - i 乃 f t = p o c k + l 墨j ，。+ j 葡s l i f 小l + ( 1 - 8 0 ，i ) p o e t + i s u _ i + ，= 0j = l + 万川+ ( 1 _ 8 0 ，。) kp 吼扎纠+ i l 斗蛐 1 = 1 + p p s l ，f 7 2 ，i 乒+ l ，i 1 ，k 0 ， 七 1 = 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) p o q + l s l 。，7 l 。l ， k - i + ( i - 8 0 ，。) 矽q 以，万2 ，l ，。一 i = 0 ( 2 3 ) 万：i ，。：p 瓦j ：，万。，。+ 一p * o s ：，7 r o ，l ，。+ ( 1 4 ，。) k - i 。op 瓦j ：，泸，+ kp o c t j ： 州 ，- lj = lj = l + 一p * a o o s ： 啪+ ( 1 一瓯，。) 芝p 西屯死雌一，+ 一p * a oo s 2 i 。+ ( 1 4 ，。) 艺p c ，一， ，= l，= l + p 2 “i ，t ，i 1 ，k 1 ， 一致化条件为： 7 o 。0 + i = 1k = l j ，t + f = l 。= 1 f = ik = l 为了求解这一方程组，我们引入以下母函数： 疗一 0 0 一 ( 2 4 ) 9 6 b ( z ，z ) = 。z 磊( x ，z ) = 乃工。矿a ( x ，z ) = 7 r 2 。石7 z ， 及辅助母函数： i = lk = li = l 正= o 1 2 i = ik = l + 七 万 。脚 九，( z ) = 7 f o 砧z 兢，( z ) = 乃j j z 欢，舡) = 7 9 2 ，j 。z ，f 1 k = lk = ok f f i l 将( 2 2 ) 一( 2 4 ) 式同乘以矿，然后对k 求和得： 九，( z ) = p ，川( z ) + p 乜魂，。( z ) + p 乜屯，( z ) 一p 半q 7 r o o ，i 1 ， ( 2 5 ) 他) - p z * o m 咖半帆觚卅醴鼍譬血水) + 【；+ p c ( z ) 】9 6 l 斗。( z ) + 兰! 生塑二：气 圣业臼s u 欢，。( z ) + 丛尘譬! 鱼p s i , i r o , 0 纠， z ( 2 6 ) 欢，i ( z ) = c ( z ) 一c o p o s 2 ，f 九( 1 ，z ) + p 宰o s 2 ，九，l ( z ) + p c ( z ) 一p c o + p 鸭，破，l ( z ) 斗 p + p c ( z ) 欢 f + l ( z ) + p c ( z ) 一p c o + p 夙2 ，j 欢，l ( z ) + 【p c ( z ) 一p c o p 半a o o s 2 ，f 7 r o 。o ，i 1 将( 2 5 ) 一( 2 7 ) 同时乘以，然后对i 求和： 半们，z ) = 两砸) 刮办“沪碱“卅两砸) 一嘞】丸“z ) 一p 母【爿( x ) 一a o z o o ， 丑半剑似，z ) = 芋吲蛳+ 学矽驰肌z ) + 旦旦里2 口sc x ，一c ；+ p c c z ， 珐，。c z ， ( 2 7 ) ( 2 8 ) + 丛尘坐出臼s ( 石) 欢。( z ) z + 兰! 生塑= - 竺鱼 二星二鱼口s ( z ) 7 r 。， ( 2 9 ) z 丑字剑小，z ) = 一p * o s 2 ( 诋小吲厩( 碱( 1 ，z ) + p c ( z ) 一p c o + 而】鹂( 功_ 万+ p c ( z ) 挑。( z ) 虹p c ( z ) 一p c o + p * a o o s 2 ( x ) 办1z ) + p c ( z ) - p c o - p 幸口o 瞩( x ) o ( 2 1 0 ) p 宰九( 1 ，z ) = ( 1 - 口o ) 吮，( z ) 一巩，。( z ) + 一p * ( 1 - a o ) b 2 ，( z ) 一p 木( 卜a o ) z o o ， 将其代入到式子( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 到： 型趔吮( x ，z ) 一p - p c ，( z ) - 万- - , o s i ( x ) 九脚 xp z + 去 c ( 矿c o + 一p * a o ( 1 刊炉驰) - 【西c ( z 小心) + 考以沪c 0 + 赢( 1 - c ( 砌胤讹( z ) + 竽p a o o s l ( x ) ；t c o 。， ( 2 1 1 ) 半缈，z ) = 学一p * 0 s 2 ( x ) 痧o + c ( z ) - c o + 一p * a o ( 1 叫z ) ) 确州；懈( z ) 枷 + 毒【c ( 矿岛+ 赢( 1 _ c ( z ) ) 酚z ( 城心) + 【c ( z ) 一l l p a o - o s 2 0 ) 7 r 0 o ( 2 1 2 ) 令( 2 8 ) 中x = 一p ，( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 中x = 一p + p c ( z ) 得： p 半【彳( ；) 一a o z o 。= 一万( 1 ，z ) + 两a ( 一p 木) 一口0 】破，。( z ) + 两么( ) 一 唬，。( z ) ， 掣p 枣a o o s l ( p 堆( z ) 坑。= 半劢s ( 万怛m z ) + f ! 垒型l 二二曼l 至掣p s ( p + p c ( z ) ) - 等 万+ p c ( z ) 】) 9 6 i 。( z ) + 坐堕过巫塑二兰垃a 墨( ；+ p c ( z ) ) “z ) ， z 1 4 【1 一c ( z ) 】p 木a oo s 2 ( p + p c ( z ) ) z o 。o = 【1 一c ( z ) 】p 宰0 s 2 ( p + p c ( z ) ) q b o 。l ( z ) + 【c ( z ) 一c o + p * a o ( 1 一c ( z ) ) 】6 嘎( p + p c ( z ) ) 识1 ( z ) + c ( z h + p - ；a o ( 刊慨c 加以沪铷懈杠 通过求解上面三个方程，可以求出九，。( z ) ，办，。( z ) ，欢，。( z ) ： 九，( z ) ： ! ：丝堕二鱼些：! 竺塑型二塑塑二鱼些监! ，( 2 1 3 ) l【z)2一p-叮poa(z)s,(p+pc(z)+pzoa(z)s2(p+pc(z)-p*z(p+pc(z)。z1 j 九= 面丽嵩躺蔫翳鬻茉“2 丸脚2 面丽丽再z ( 1 雨- c 而( z ) ) p 磊* p 涵a ( p 瓦* ) o i s 2 ( p 瓦+ p 萨c ( z 万) ) 丽面丽哳( 2 1 5 ) 其中a ( z ) = p * a ( p 枣) - c ( z ) p * a ( p 宰) + c ( z ) - c o ， r ( z ) = o s l ( p - i - p c ( z ) ) + z o s 2 ( p + p c ( z ) ) 下面我们给出两个引理，证明很容易得到，我们将在后面用到它们 引理2 1 ( 1 ) 当0 z 0 成立， 当且仅当n 鹕 1 + 等外 ( 2 ) 当n + 见 1 + 旦静f 。时，下列极限存在： p 母 孕幸( p + p c ( z ) ) 一p ( c ( z ) 一c o ) o s , ( p + p c ( z ) ) + z o s 2 ( p + p c ( z ) ) 2 1 p o a ( z ) s , ( p + p c ( z ) ) + p z o a ( z ) s 2 ( p + p c ( z ) ) 一p 水z ( p + p c ( z ) ) 一一p 木 p 弩。一( 1 一c o ) o o n 一成) ( 1 一c o ) 0 ( 1 一p l p 2 ) 一p 弩，( 1 一a ( p 宰) ) l i m：! ! 二坐幽型( 翌：! 垫! 翌匦型： 2 斗1p o a ( z ) s , ( p + p c ( z ) ) + p z o a ( z ) s 2 ( p + p c ( z ) ) 一p 枣z ( p + p c ( z ) ) 1 5 一 旦：皇丝( 翌! ! ! ( 1 一c o ) o ( 1 一n p 2 ) 一p 弩l ( 1 一a ( p 木) ) l i m ：三! ! 二! ( 三驶星兰丝( 星兰丝1 2 翌丛三塑一 2 + 1p o a ( z ) s i ( p + p c ( z ) ) + p z o a ( z ) s 2 ( p + p c ( z ) ) 一p 堆z ( p + p c ( z ) ) z p 木o a ( p 木) 白 = = = = 兰三三：= = = = ( 1 一c o ) o ( 1 一p l p 2 ) 一p 弩l ( 1 一a ( p 串) ) 由引理2 1 可知，辅助函数九，( z ) ，吮，。( z ) ，欢，。( z ) 是定义在z 【0 ，1 ) 上，当z = l 时，这些 概率母函数具有连续性，当且仅当角+ p z l + 旦寄白 将( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 代入到( 2 8 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 中，我们可以得到母函数： 九( x ，z ) 一虹彳( x ) 一彳( _ ) 】p 木z p 宰( ；+ p c ( z ”一p ( c ( z ) 一c 0 ) 矽s ( ；+ p c ( z ) ) + z 酝：( ；+ p c ( z ) ) 】h 。 x p 宰p o a ( z ) s , ( p + p c ( z ) ) + p z o a ( z ) s 2 ( p + p c ( z ) ) 一p 木z ( p + p c ( z ) ) 】 破( 五z ) 一墨( 石) 一墨( p + p c ( z ) ) z ( p + p c ( z ) ) ( 1 一c ( z ) ) p 奉p a ( p 宰) 锄o ，o x 一( p + p c ( z ) ) p o a ( z ) s , ( p + p c ( z ) ) + p z o a ( z ) s 2 ( p + p c ( z ) ) 一p 奉z ( p + p c ( z ) ) 。 欢( x ，z ) 一曼( x ) 一s 2 ( p + p c ( z ) ) x z ( p + p c ( z ) ) ( 1 一c ( z ) ) p 木p a ( p * ) o z t o ，o x - - ( p + p c ( z ) ) p o a ( z ) s 1 ( p + p c ( z ) ) + p z o a ( z ) s 2 ( p + p c ( z ) ) 一p 枣z ( p + p c ( z ) ) 运用一致化条件万。+ 九( 1 ，1 ) + 破( 1 ，1 ) + 丸( 1 ，1 ) = l ，我们可以求出： h 。= 巡虹篙篇坐坳 引理2 2 马尔可夫链 匕，m n 是遍历的，当且仅当： ：m 帮卵 马尔可夫链在平稳状态下的母函数为： 1 6 九( x ，z ) 一缸彳( x ) 一4 ( _ ) 】p 木z p 幸( ；+ p c ( z ”一p ( c ( z ) - c o ) o s , ( 一p + p c ( z ) ) + z 石s 2 ( p + p c ( z ) ) 枷，。 魂( x ，z ) x - - p 奉p o a ( z ) s l ( p + p c ( z ) ) + p z o a ( z ) s 2 ( p + p c ( z ) ) 一p 卓z ( p + p c ( z ”】 s ( x ) 一s ( p + p c ( z ) ) x ( p + p c ( z ) ) ( 1 一c ( z ) ) p 木p a ( p 木) o z o ，o = ： = 一= ，= ： = 7 = ，一 x - ( p + p c ( z ) ) p o a ( z ) s l ( p + p c ( z ) ) + p z o a ( z ) s 2 ( p + p c ( z ) ) 一p 木z ( p + p c ( z ) ) 丸( x ，z ) ：s z ( x ) - s 2 ( p + p c ( z ) ) 一兰! ! 堕三鬯二尘塑：型! 1 2 丝! ：! ： x 一( p + p c ( z ) ) p o a ( z ) s l ( p + p c ( z ) ) + p z o a ( z ) s 2 ( p + p c ( z ) ) 一p 木z ( p + p c ( z ) ) 其= 出虹篙篇坐蜊 推论2 3 ( 1 ) 当服务台空闲时，o r b i t 中的顾客数的边缘母函数为： 万o o + 九( 1 ，z ) p a ( p 木) p s ( p + p c ( z ) ) + z o s 2 ( p + p c ( z ) ) 】( p 宰+ p 毒c ( z ) 一c b ) 一z p 宰a (