（计算数学专业论文）求解二维扩散方程的一类交替分组方法.pdf

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d i m e n s i o n a ld i f f u s l 0 ne q u a t l 0 n a b s t r a t l ： t h et h e s i sa sb e l o w g i v e s a na l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o df o rs o l v i n gt w o - - d i m e n s i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o nu s i n gt h es e c o n dk i n ds a u l y e va s y m m e t i c a ls c h e m e s ，a n d a n a l y z e si t ss t 曲i l i t ya n dt r u n c a t i o ne r r o r w h i c hs h o w st h em e t h o d i so fu n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t ya n dh a sb e t t e rt r u c a t i o ne r r o r t h er e s u l to fn u m e r i c a le x a m p l es h o w st h e m e t h o di ss u i t a b l ef o r p a r a l l e lc o m p u t i n g ，a n dc a na p p r o a c ht h ee x a c ts o l u t i o nb e t t e r t h et h e s i si sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r sa ss h o w nb e l o w c h a p e ro n e i st h e p r e f a c e ，w h i c hm a i n l yi n t r o d u c e st h ee v o l u t i o np r o c e s so f t h e a l t e r u a t i n gg r o u p m e t h o da n dt h em a i nc h a r a c t e r so f t h et h e s i sb ya u t h o r c h a p t e r t w oi sc o m p o s do ff o u rp a r t s ， p a r to n e g i v e st h em a t h e m a t i c a l m o d e la sb e l o w ，w h i c hi st h ei n i t i a la n db o u n d - a r yp r o b l e mo f t h et w o d i m e n s i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n ，a n dm a k e sg r i dd i s c r e t i z a t i o n o f t h ed o m a i n f 2 ：( 0 ，1 ) x ( o ，1 ) x ( o ，t ) i nt h et h e s i sh ，k ，a n dr d e n o t et h es t e pl e n 醇ho f 丝：旦垒十垂o 。x l l y 1 ，o t t o t o x 2 a 2 v 。 i n i t i a lv a l u e s ： u ( x ，y ，o ) = f f x ，y ) 。 b o u n d a r yv a l u e s ：u ( 0 ，y ，t ) = 9 1 ( y ，t ) ，u ( 1 ，y ，t ) 2 9 2 ( y ，t ) ； u ( x ，0 ，t ) = ( x ，t ) ，u ( x ，1 ，t ) 2 f 2 ( x ，t ) 。 x - d i r e c t i o n ，y - d i r e c t i o n ，a n dt - d i r e c t i o nr e s p e c t i v e l y ，t h e nw e l e tm = l h ，s 2 l 女a l s o w e g i v e st h es e c o n dk i n ds a u l y e va s y m m e t r i c a ls c h e m e s o ft h ei n i t i a la n db o u n d a r y v a l u e sp r o b l e mo ft h ed i f f u s i o ne q u a t i o nf o ro n e - d i m e n s i o n a ls p a c ea n db r o a d e nt h e m t ob es u i t a b l ef o rt h ec o n d i t i o n so ft w o - d i m e n s i o n a ls p a c ew h i c hi sn e c e s s a r yf o rt h e t h e s i s d p a r tt w oi n t r o d u c e st h ec o n c r e t e g r o u p i n gs c h e m e sa sg i v e nu n d e rt w od if f e r e n t c o n d i t i o n sr e s p e c t i v e l ya sb e l o w a tf i r s t ，w el e tm 1 = 4 k i + 2 ，s - 1 = 4 k 2 + 2 ( h e r e k l ， 2 = 1 ，2 ) ，a n dw e p r o v i d e t h a tt h es o l u t i o no fn t hi sk n o w n n o wt h ep r o b l e mi st h a tw e 1 1c o n t r i v et og e tt h e s o l u t i o no f ( n + 1 ) t ha n d ( n + 2 ) t h t h ep a r tg i v e st h ec o n c r e t eg r o u p i n gm e t h o df o rt h e i n n e rp o i n t sa n dd e m o n s t r a t e si tw i t hac h a r t ( a ) a sb e f o r e i np a r tt w o ，w ep r o v i d em 1 = 4 k 1 ，s 一1 = 4 k 2 ( h e r e k i ，k 2 = 1 ，2 ) ，b a s e do n w h i c hw e g i v e st h ec o n c r e t eg r o u p i n gs c h e m e s a ss h o w ni nc h a r t ( b ) f r o mt h ec h a r t ( b ) v ec a ng e et h a tt h e r ea r en i n es c h e m e sf o rt h eg r o u p i n go f t h ei n n e r p o i n t s a sb e l o w ：( w es e ta ne x a m p l ew i t ht h e ( n + 2 ) t ho f c h a r t ( b ) ) ( 1 ) 4 x 4 u n i tf n a m e dg m s c h e m e ) ； ( 2 ) 4 x 2 u n i t t h es c h e m en e a rt ol i n ey = oi sn a m e da sg l y , w h i l et h eo n en e a r t ol i n ey = li sn a m e da sg r y ； ( 3 ) 2 x 4 u n i t t h es c h e m en e a rt ol i n ex = 0i sn a m e da sg i x w h i l et h eo n en e a r t ol i n ex = li sn a m e da sg r x ； ( 4 ) 2 x 2 u n i t t h eo n en e a rt ol e f t b o t t o mi sn a m e da sg 1 a n dt h eo n en e a rt o r i g h t b o t t o mi sn a m e dg 2 ，t h e o n en e a rt ol e r t o pi sn a m e dg 3 ，w h i l e t h eo n en e a rt or i g h t b o t t o mi sn a m e da sg 4s c h e m e p a nt h r e ei sc o m p o s e do fn i n ep a r t s e v e r yp a ng i v e sc o n c r e t ef i n i t ed i f f e r e n c e s c h e m e su s e db ye a c hu n i ta n df o r m st h eu n i tm a t r i xa n ds o l v i n ge q u a t i o nt oe a c hu n i t r e s p e c t i v e l y a sb e l o w p r o v i d e dt h a tt h es o l u t i o no f n t hi sk n o w n w eh a v et h er e s u l ta sb e l o w ： ( ，+ r a 。) l , l i i 1 = ( ，一r b i ) 云? ，+ f ，： i nt h ee q u a t i o n ( i + 叫j ) d e n o t e st h eu n i tm a t r i x p a r tf o u rf o r m st h et o t a lm a t r i xo ft h ea l t e r n a t i n gg r o u ps c h e m eo f t h et h e s i so n t h eb a s i so fp a r tt w oa n dp a r tt h r e ea n dg i v e st h ea l t e r n a t i n gg r o u pf i n i t ed i f f e r e n c e 5 s c h e m ef o rs o l v i n gt h et w o d i m e n s i o n a ld i f t h s i o n e q u a t i o nu n d e rt w od i f f e r e n tc o n d i t i o n s t h ec o n c r e t es o l v i n g p r o c e s si sa l s op r o v i d e d ， a tf i r s t ，w ep r o v i d et h a t m 一1 2 4 k i + 2 ，s l = 4 k 2 + 2 ( k l ，k 2 = l ，2 ) ，t h e nw e h a v et h er e s u l ta sb e l o w ： ( ，+ r g l ) “= ( ，一r g 2 m 。 ( ，+ r g 2 ) 玑t + 2 = ( 1 一r g l ) “ h e r e ( + r g l ) 、( ，一r g 2 ) 、( ，+ r g 2 ) 、( ，一r g t ) a r ea l ld i a g o n a lm a t r i x s ，w h i c h i ss u i t a b l ef o r p a r a l l e lc o m p u t i n g o n t h es e c o n d c o n d i t i o n ，w e p r o v i d e t h a t m - 1 = 4 k i ，s - l = 4 k 2 ( k i ，k 2 = 1 ，2 ) a n dw eh a v et h er e s u l ta sb e l o w ： ( ，+ r g l ) u n + l = ( ，一r g 2 ) “n ( ，+ r g2 ) u n + 2 = ( ，一r g l ) “ c h a p t e r t h r e ec o n s i s t so f t w o p a r i ss h o w n a sb e l o w p a r to n ea n a l y z et h es t a b i l i t yo ft h ea l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o d ，a n dt h er e s u l t s h o w st h em e t h o di so fu n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t y p a r tt w o g i v e st h ea n a l y s i so f t h et r u n c a t i o ne r r o ro ft h em e t h o dw h i c hr e s u l t s t h a tt h et r u n c a t i o ne r r o ro f t h ea s y m m e t r i c a ls c h e m e si s + 2 + 七2 + + ；) b u t b y 七 s y m m e t r i c a l l yu s i n g l h e s es c h e m e sw e c a ns c c t h a t 云a i l d 妻v a n i s h t 。g c t h e r a sa 卜 e s u l t ，t h et r u n c a t i o ne r r o rg e t sb e t t e r c h a p t e r f i v eg i v e st h ec o n c r e t en u m e r i c a le x a m p l ea n dt h en u m e r i c a lr e s u l t a c o m p a r i s i o no f a b s o l u t e de r r o r s ( a e ) a n dp r e f e r e n c e e r r o l f si sp r o v i d e da m o n gt h em e t h o di n t r o d u c e d b y 【11 】，t h em e t h o d i n t r o d u c e db yt h ea u t h o ra n dt h ee x a c ts o l u t i o n k e yw o r d s ：a l t e r n a t i n gg r o u pm e t h o d ，d i f f u s i o ne q u a t i o n ，u n c o n d i t o n a l s t a b i l i t y ，p a r a l l e lc o m p u t i n g 6 求解二维扩散方程的一类交替分组方法 第一章：引言 许多大型科学与工程计算问题，最后都归结为求解复杂的偏微分方程或偏微 分方程组，而其数值解法一般分为两种：显式方法和隐式方法。其中，显式方法 适合并行计算，但它是条件稳定的，实际计算时，时间步长和空f u j 步长都要受到 很苛刻的限制；而隐格式虽然稳定性好，但需要解联立的线性代数方程组，不便 于在并行机上直接使用，特别是有些复杂的多维问题，计算规模特别巨大，需要 在多处理器的并行机上计算。因此，构造具有并行本性的差分方法就有着非常重 要的理论意义和现实意义。d j e v a n s 和a r b a b d u l l a h 【1 4 】利用s a u l y e v 型非 对称格式，设计了适合于并行计算的交替分组显式( a g e ) 方法，该方法将所求解 内点分成若干独立计算组，每组采用特定的格式组台，而在同一组内，将两种非 对称格式相互组合，如下图( 1 1 ) 和( 1 2 ) ， 若已知第n 时间层上的数值解，要求第n + l 层上的解时，可将( i ，n + 1 ) 和 ( i + 1 ，n + 1 ) 两点作为一组求解，同时使用t t 虱( 1 1 ) 和( 1 2 ) 所示的两种非对称格式。 组合的结果会使两个非对称格式的部分截断误差相互抵消，从而可提高解的 精度。 二r 叭i j i 一1 ，n i ，n 图1 1 i ，n i + l ，n 图i 2 随后张宝琳【5 9 ，1 2 】等人提出了交替分段、分块的显一隐方法。本文利用第二 类s a u l y e v 型非对称格式，给z 3 - 出了二维扩散方程的一类交替分组格式，并分析了 该方法的稳定性：数值试验表明，该分组求解方法有较高的精度，适合于并行计 算，且具有较高的截断误差的阶。 山东大学硕士学位论文 第二章交替分组方法 1数学模型和基本差分格式 ( 一) 数学模型： 我们考虑如下二维扩散方程的初边值问题： 娶：粤+ 拿 o x 】，一y l ，0 t 1 1 t 。 ( 2 1 ) 一= 一+ _ u x ， y l ， lo l z i ) 西巩2a 二v 。、 初始条件 边值条件 u ( x ，y 0 ) = t l x ，y ) 。 u ( o ，y ，t ) = g l ( y ，t ) ，u ( 1 ，y ，t ) 2 9 2 ( y ，t ) ； u ( x ，0 ，t ) = ( x ，t ) ，u ( x ，l ，t ) 2 f 2 ( x ，t ) 。 我们首先要将空间区域q ：( o ，1 ) x ( o ，1 ) ( o ，t ) 进行网格剖分，将x 轴m 等分， y 轴s 等分。记x 方向空间步长为h = 1 m ，y 方向空间步长为k = 1 s 。时间步长 为f ；f ，本文中我们可令h = k ，x ，- - - i n ( i = 0 ，1 ，一m ) ，y ，= j k ( k 2 0 ，1 ，n ) ， r 。- - n c ( n = o ，1 ，纠r ) 。用( i ，j ，n ) 表示坐标为( i h ，j k ，n t ) 的点，上述问题在( j ，1 ) 的数值解汜为“i ，记网格比f 圭( 嘉+ 古) ，1 = r 加2 ，也= r 肚2 ，则可有 ，= 亡( ，l + r 2 ) a ( 二) 基本差分格式： 为了得出交替分组格式，我们先给出一维情形下第二类s a u l y e v 型非对称格 式：( 设a x = ，缈= k ) 丛a 蔓t = 三2 ( 堕掣h ： 型二蟹：三( 型二塾芒! 型+ a t2。h 2 型芸：望盟) 2 生兰堕：三i 型二! ! 拿盟+ 丛型车生监) a t2、h 2 h ( a ) ( c ) 出奎盔堂堡主堂生丝苎 型卫：上( 丛二善丛+ 丛l 二型：量玛( d ) a t2、h二h? 。 我们采用如卜的差分记号 记函。= f 。，二一n 圣扩笪 丛k 兰；勺，。 。 ，” 珏坚芷挚 嘞= 盟等盥 易推出二维情形下s a u l y e v 型非对称格式为 4 矿圭( 占：。一t ，。+ 盈l + 6 王n 一占j ，。+ 0 ”1 ) 毋，吉( 占一占；，。+ 哦卅一i n 一勺，。o o 肿1 ) 舀旷圭( 州一t 卅l + 占i , n + 6 2 , ”一勺，。+ _ 肘1 ) 函旷吉( 占：。一t 卅l 城矿子i n 一+ 一”1 ) 4 ，。= 三( 霹。t ，6 i , 川+ 砖川一+ 6 j , n + 1 ) j = 互1 一, 6 2 川一t ，。+ 国”1 + 6 知一勺，。+ 勺肘1 ) 瓯旷圭( 5 一唾川俩一万抽一勺，。+ 5 川+ 1 ) 6 t , n = 曩1 。1 2 ，月一6 i , n + 1 + 6 i , n + 占j 2 ，n + i 6 i , n 丢( 6 己一i 。城川t + 磅川 一屯。+ 白”1 ) 吒h + 1 + 6 j , n ) 函，。= 委( 万：川一岛，。+ 占柚+ 1 + j i 川一占j 卅l + 万加) 占f ，。= ；( 占j 。+ l 一6 i , n + 1 + 占。，。+ 万，2 ”+ l 一万j ，。+ 1 + 6 j ，一) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 15 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 19 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 t1 1 ( 2 1 12 ) ( 2 1 1 3 ) j n l 一 ， 月k “ 一； 旧 乃 一 + 一 一 硒 沪， 十 h 玩 旧 矗 件 月 正； 占 以暖 卜一2 l| 11月 蠡 占 山东大学硕士学位论文 函旷三( j 钿一j 抽城，州+ 磅。一艿j , n + l 4 - 勺 4 ，。= 三( 川一t 肿。+ 函，。+ 磅。一勺”。+ 吩，。) 函，。= 告( 占己一t 卅l + 6 和+ 磅。一占j 卅1 + 5 j ，。)函，。2 寺( 占厶一t 卅l + 6 f ，n + 吒n 一屯川+ ，n ) 分别对应如下图2 1 2 1 6 l ，】， 圈2 i 1 1 j ，n + 耍戛瓦凳 上述1 6 个s a u l ，y e v 型非对称格式即是本文所采用的基本格式a r 2 1 1 4 ) r 2 ，1 t s ) ( 2 1 1 6 ) 2 交替分组模式 套嘉军述黧薷霎然蒜i 踹嚣3 。裂搿1 瑞臀剖分的 基础上，将所求内点分成几个独立计算的点组，对每个点组，瑚口j 利，f j o 爷 山东大学硕士学位论文 s a u l y e v 型非对称格- 的组合求出差分疗程存咳j i 组的所有内点的解。 我们分两种情况h 论： ( 一) m t = 4 k ，+ 2 ，s l - 4 k ! + 2 ，( k 1 ，k1 2 l ，2 ) 设n 为偶数，假设第n 层上的数值解已知，在求第n + l 层和第n + 2 层上方 程的数值解时，我们在这两个时间层上构造交替分组差分格式，如图( 2 2 1 ) 所示 ( 不失一般性，可取k = k ：= 1 ) ： ( 1 ) 在第n + l 层 将该层上的内点分成( 。十1 ) ( k ：+ 1 ) 个独立计算组，从在至右，自下向上( 这 里为4 个独立计算组) ，分述如下： 当i ：( 1 ，2 4 七) ，j = ( 1 ，2 4 t ：) 时，共有k k ：个点组，每组都用g m 组 有( 4 x 4 ) 个内点： 当i ：( m - 2 ，m - 1 ) ，j = o ，2 4 女：) 时，共有女2 个点组，每组都用g r x 格式， 有( 2 x 4 ) 个内点： 当j ；p 2 ，s 1 ) ，i = ( 1 ，2 4 女1 ) 时，共有乜个点组，每组都用g r y 格式，有 ( 4 x 2 ) 个内点； 当i ：( m 一2 ，m - 1 ) ，j = ( s 。，s 1 ) 时，有1 个点组，用g 4 格式，有( 2 x 2 ) 个内点。 ( 2 ) 在第n + 2 层t 如图所示： 该层也有( 七，+ 1 ) ( i ：+ 1 ) 个独立计算组，分述如下 山东大学硕士学位论文 当i _ ( 1 ，2 ) j ( 1 ，2 ) 时，有1 个点组，刚g l 恪式有( 2 x 2 ) 个内点： 当滓( 3 ，4 4 k 。+ 2 ) ，j = ( 1 ，2 ) 时共有k 个点蛰【，每组都用g l y 格式，有 f 4 x 2 ) 个内点： 当j = ( 3 ，4 4 砭+ 2 ) ，i = ( 1 ，2 ) 时共有! 个点组，每组都用o l x 格式，有 r 2 x ：4 ) 个内点； 当i _ ( 3 ，4 4 k + 2 ) ，j = ( 3 ，4 4 k + 2 ) 时，共有七，k ：4 - a m ，每组都用 g m 格式，有( 4 x 4 ) 个内点。 按照上述分组模式，在相邻两层上求解时应用的非对称差分格式交替使用， 可产生较好的对称效果和较高的精度。 ( 二) m 一1 = 4 k i ，s l = 4 k 2 ，( k l ，k ! 。1 ，2 ) 设n 为偶数，同样，为求差分方程正在n + l 层和n + 2 层上的数值解，我们 在两个时间层上构造如下交替分组差分格式如图( 2 上2 ) 所示( 取k ，5 k z 。2 ) 如+ 1 ) t h 图2 2 2 ( 1 ) 在第n + l 层 将该层上的内点分成七k ：个独立计算组，从左至右，自下向上t 每组都用 g m 格式，有( 4 x 4 ) 个内点。 ( 2 ) 在第n + 2 层 如图所示。将眩层上的内点分成( 。+ 1 ) ( 女! + 1 ) 个独立计算组，如下分别采用 不同的差分格式 当i - - ( i ，2 ) ，j = ( 1 ，2 ) 时，有1 个点组，用g l 格式，有( 2 x 2 ) 4 - c j 点： 当i - - ( 3 ，4 4 一2 ) ，j = ( 1 ，2 ) 时共有。一1 个点组，每组都用g l y 格式，有 4 x 2 ) 个内点； 当i = ( m 一2 ，n l - 1 ) ，j = ( 1 ，2 ) 时，有1 个点组，用g 2 格式，有( 2 x 2 y 个内点； 当j - - ( 3 ，4 4 七2 2 ) ，i - - ( 1 ，2 ) 时共有k 2 一1 个点组，每组都用g l x 格式，有 ( 2 x 4 ) 个内点； 当r 3 ，4 4 k 一2 ) ，产( 3 ，4 4 k ! 一2 ) 时，共有( 盘一1 ) ( 2 1 ) 个点组， 每组都用g m 格式，有( 4 x 4 ) 个内点； 当i - - - ( m - 2 ，m 1 ) ，j = ( 3 ，4 4 k 2 2 ) 时共有k 2 - 1 个点组，每组都用g r x 格 式，有( 2 x 4 ) 个内点； 当r 1 ，2 ) ，j = ( s 2 ，s ，1 ) 时，有1 个点组，用g 3 格式，有( 2 2 ) 个内点： 当j 爿s 2 ，s 1 ) ，i = ( 3 ，4 4 k 一2 ) 时共有七，- 1 个点组，每组都用g r y 格式， 有( 4 x 2 ) 个内点： 当i - ( m 2 ，m 1 ) ，j = ( s - 2 ，s 1 ) 时，有1 个点组，用g 4 格式，有( 2 2 ) 个内点。 同样地，k + l 层和k + 2 层所用的差分格式交替使用，可使一部分截断误差相 互抵消，从而产生较好的效果和较高的数值解精度。 3 独立计算组上的差分格式及系数矩阵 我们设= 叫 2 ，r 2 = f 七2 ，r = ( + ，2 ) ，为简便记，又设h = k ，即x 方向 和v 方向步长相等，则有m = s 及r 1 = r 2 = r ；利用上述第二类s a u l y e v 型非对称 格式，我们将分别给出如下九种分组差分格式及其单元系数矩阵 ( 一) g m 组格式及其系数矩阵的形成： 在一个如图( 2 3 1 ) 所示的4 x 4 的单元组合中，我们以( i ，j ) 为起点，按照先排 省奎盔主堡主兰堡兰苎 x 轴后排y 轴的顺序依次排列，直到( t + 3 ，j + 3 ) ：在这1 6 个点 ：依次用差分格式 ( 2 1 1 ) 一( 2 11 6 ) 1 i j - 原方程进行离散，从j 阿得到g m 组格式如_ 卜： 4 + 3 、 ( i ，j )( i + 3 , j ) 图( 2 3 1 ) ( 1 + r ) “j l n + l 厂杈n 川+ l = ，l “+ ，2 “抽+ ( 1 - 3 r ) 以t , j 哼材+ 号“ ( 2 - 3 1 ) 一号“i 州, j + ( 1 + 碱：，呷r n 埘+ l r 2 2 u 。n 州+ l = r 2 “- l + 三以t , j ”- 2 r ) “+ 号“+ - 一1 “n + 。l + ( 1 + 2 r ) ，u z n 聊+ l r 2 lu l n 删+ l r 2 2u l n 删+ l + l ( 2 3 2 ) = r 2 “0 2 , j - 1 + ( 1 2 r 妞0 2 ，+ “0 3 ，+ 号“0 2 ，+ l ( 2 3 3 ) 一号“+ ( 1 州n n + l 厂号n + l 川乙 = 它“0 3 , j - i + ( 1 3 ，m 冬3 ，+ n “0 4 ，j + 詈“l n + x j + t + 三u i + 2 , j ( 2 3 4 ) 一r 2 2u 。n 。+ 1 + ( 1 + 叫n 川+ l 一号w 瑞十1 _ n 一+ l = r l “工l ，+ 1 + ( 1 2 ，姐：+ l + 等“：+ j r t “o l ，+ l ( 2 3 5 ) 生奎盔兰堡主兰垡笙苎 等“川n + l + ( 1 曲) “n + l + 号j + 旦2 t , 川 ，。l u 篡t + 句l + ir 2 “川t t + 1 + 二 专缟1 t 岛h + ( 1 m 荡r r ：l u 。n 脚+ l “一r 。u ，t 蝴r + l ! = 争o + 移，小+ ( 1 却+ t r ，2u 。n 删+ l 一了r l “苎0 “+ ( 1 + 扫如总，“一您曷也 ( 23 6 ) f 23 7 ) + ( 1 - 2 r ) “i n 3 , j + 1 + ，1 “0 4 + l ( 2 3 _ 8 ) 一吃“廖1 + ( 1 + 功“访n + l2 一i r l ”+ l + 1 妒一了r 2 “护n + l 3 = 1 “+ 2 + ( 1 砌) “，+ 2 + 号“+ 2 + 号“抽 ( 2 3 - 9 ) ；芦2 + ( 1 + 知x n + l + l + 2 一q 珥荡+ 2 一i r 2 n + l l 十3 = 帮r 1 和+ ( 1 一，- ) “+ z + 争+ ， 一捌旷毗“1 + ，3 0 m d + 脚z 州轭 娼+ 2 串, 删e , - 1 + 3 = ( 1 - r ) 一2 j + 2 + q - 尘。“+ 2 + 号“+ 3 一碱h i 呶+ ( 1 + 嘁+ z 专勘 ( 2 3 1 0 ) 号“+ 2 + ( 1 - 2 咖。+ 2 + 詈“+ 3 + ，1 ”+ 2 ( 2 3 1 2 + ， 2h “ “ n 一2 + ， 3，h “ 也一2 = 1 6 一事n 矿+ l ( t 州n 朋a - i 一号“葛 = ，1 啦! 小3 + r 2 2 u 咖n2 + ( 1 3 r ) _ 3 + 三啦! + 3 + 您略“ ( 2 3 - 1 3 ) 一j r 2 叶州1 专鹏+ ( 1 十嘛一，l 勘1 = 号+ 2 + 熬n 朋+ ( 1 砌) “+ 3 + r 2 “+ 4 ( 2 3 1 4 专一n 廿蝴 蜘 = 詈“+ 2 + ( 1 - 2 r ) “+ 3 + 号“+ 3 + 您“+ 。 3 1 5 专z 瑞+ z 廿r ) f f - + 幻- + 3 = 号“孙z + “k 妒+ ( 1 - 3 ，) + 3 + ，1 吼妒删。州叫6 若设五i ，= ( u ；，“a l ，“a 2 ，“a 3 ) 7 ， “；+ 女= ( “0 + 女，“i ”+ l , j + k u 0 2 ，j 巾“+ i ) 7 ( 啪1 2 ，3 ) i ：，= ( f ，砰，露：，碟，) 7 ， f ? = ( “：+ r 2 “? ，一1 ，2 “n l ， “，n + 2 j l ，吒h 乙j + 如越n t + ”- 1 ) 2 ， 蝶。= ( ，1 “。0 ，0 ，“。n ，1 ) 7 吆2 = ( “o ，o ，甜) 1 ， f 二3 = ( “三u “+ r 2 u _ ! ：j + 4 ，2 “品j + 4 ，吃“三2 j + 4 ，r 2 “二3 j + 4 + ，l “0 4 j “) 7 ， 则由上面1 6 点格式可以得到如下结果 ( i + r a l ) - - “n ，j * = ( j r b i ) 五：j + - - f - n j 。 其中，各矩阵的含义如下： ( 2 ，3 1 7 ) 一1 = a 1 12 1 1 2 0 o = 悖 山东大学硕士学位论文 0 1 ，2 1 0 0 1 2 2 0 0 一“2 3 ( 二) g l x 组格式及其系数矩阵的形成 口l3 口i 二 0 一l 2 0 0 0 0 0 1 2 如图( 2 3 2 ) 所示，v 1 ( 1 ，j ) 为起点，按照先x 轴后y 轴的顺序排列，直到( 2 ，j + 3 ) 。 由于8 点组可看成为1 6 点组的一部分，在这八个点上依次可选择运用( 2 1 1 ) 一 ( 2 1 1 6 ) 等1 6 个基本s a u l y e v 型非对称格式格式中的8 个。 ( 1j + 3 )垡j + 3 ) ( 1 ，j ) ( 2 ，j ) 图( 2 3 2 ) 若设一u i ”, j 1 = l “n + l ，“n + + l l ，“；：；，”；：；) 7 ， 口口 口口 厉夙 rill b 1lll o o o v 一 2 1l，j 2 。舭。叫刘。舭o o o o 0 1 o o 0 叫o o o o o o 。 i | = 2 4 l l a 4 2 o v o o 一 2 v 0 o 0 一 ，。，。，l = 2 b 1，j 、l，“1 o o v 2 彳彳 2 2 2 2 。一：邶。，舭。o：加o o 邶 爿爿爿 ，一 3 4 爿a a ，_ 爿4 啦：o o 啦，o o 啦2 o o啦，o o 一 一 一 一 一 2 2 v o o 一 。l = 3 4 2 2 v o o _。1 = 3 8 7 当奎奎兰堡主兰竺笙兰 1 2 ”i + 卜( a ii * ，“；屯) 7 ( k = o ，1 ，2 ，3 ) n 吐嗡嗡，嗡丫 f2 ( w 川+ r , u o ”i ，峨2h + 懈，曙l = ( r l “o n 扩+ i l