（计算数学专业论文）多项分数阶常数分方程数值方法及其应用.pdf

厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究 成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由 此论文而产生的责任 声明人( 签名) ：尹军影 炒7 年岁月夥e l 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定 本学位论文属于 1 保密( ) ，在年解密后适用本授权书 2 不保密( ) ( 请在以上相应括号内打” ”) 作者签名：荆日期：砷年 箩月上；日 导师签名：童1 蓉日t 日期：勘。7 年月id 日 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 摘要 近年来，分数阶微积分在数学模型中的应用越来越普遍，许多 科学工程领域都涉及到分数阶计算，例如：生物系统【2 5 】，物理学【1 6 】， 化学和生物化学【2 6 】，水文地理学应用 1 4 】，分数阶控制【2 4 】，聚合体流 变学 2 0 】和黏弹性分数阶导数【1 8 】等带有分数阶阻尼的非线性动力 学系统在工程学、地震波衰减和聚合体流变学【2 0 】中也非常重要 与整数阶模型相比，分数阶模型的显著优点在于它有着深厚的物理 背景，因此，取代于一般整数阶导数而含有分数阶导数的黏弹性模 型是一个比较热门的研究课题我们知道带有黏弹性阻尼的分数阶 模型很早就吸引了研究者的注意，但是，由于缺乏较恰当的数学方 法，对分数阶计算的理论分析和数值方法的研究还是比较困难的课 题 本文考虑了多项分数阶常微分方程数值方法问题第二章，考 虑分数阶常微分方程- - e n d o l y m p h 方程，给出其解的存在性和唯一 性，导出了用格林函数表示其解析解，并且利用算子方法也可以解 出它的精确解我们很明显的可以看出它的解析解和精确解很难数 值的表示出来的，于是我们便提出一种计算有效的方法，即预估一校 正方法，来求出它的数值解第三章，考虑一系列带有分数阶阻尼 的非线性动力学系统，把问题转化为分数阶微分方程组，并用预估 校正方法对其进行数值模拟，然后把这种方法应用到解带有分数阶 阻尼的不可延长性和可延长性摆动方程在每一部分，都给出了数 值例子，证实了所提出的数值方法的有效性，这种数值方法也适用 于求解一般的分数阶常微分方程 关键词：分数阶导数；数值方法；误差分析 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 2 a b s tr a c t t h eu s eo ff r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a la n di n t e g r a lo p e r a t o ri nm a t h e m a t i c a l h a sb e c o m ei n c r e a s i n g l yw i d e s p r e a di nr e c e n ty e a r s v a r i o u sf i e l do fs c i e n c e a n de n g i n e e r i n gi n v o l v e df r a c t i o n a lc a l c u l a t i o n f o re x a m p l e ，s y s t e mb i o l o g y 【2 5 ，p h y s i c s 1 6 】，c h e m i s t r ya n db i o c h e m i s t r y 2 6 ，h y d r o l o g ya p p l i c a t i o n 【1 4 ， f r a c t i o n a l - o r d e rc o n t r o l l e r s 【2 4 ，p o l y m e rr h e o l o g y 2 0 ，a n df r a c t i o n a ld c r i v a - t i v ev i s c o e l a s t i c 【1 8 n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sw i t hf r a c t i o n a ld a m p i n g a l s op l a ya ni m p o r t a n tr o l ei ne n g i n e e r i n g ，s e i s m i cw a v ea t t e n u a t i o na n d p o l y m e rr h e o l o g y 【2 0 1 t h em o s ts i g n i f i c a n ta d v a n t a g eo ft h ef r a c t i o n a lo r - d e rm o d e l si nc o m p a r i s o nw i t hi n t e g e r - o r d e rm o d e l si sb a s e do ni m p o r t a n t f u n d a m e n t a lp h y r s i c a lc o n s i d e r a t i o n s s ov i s c o e l a s t i cm o d e l si n v o l v i n gf r a c - t i o n a ld e r i v a t i v e si n s t e a do fc o m m o nd e r i v a t i v e sa r eag o o dr e s e a r c hi s s u e i t i sk n o w nt h a tf r a c t i o n a lm o d e lo fv i s c o u sd a m p i n gh a v el o n gb e e na t t r a c t e d t h ea t t e n t i o no fi n v e s t i g a t o r s h o w e v e r ，b e c a u s eo ft h ea b s e n c eo fa p p r o p r i - a t em a t h e m a t i c a lm e t h o d s ，n u m e r i c a lm e t h o d sa n dt h e o r e t i c a la n a l y s i so f f r a c t i o n a lc a l c u l a t i o na r ev e r yd i f f i c u l tt a s k s i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h en u m e r i c a lm e t h o do fm u l t i - t e r mf r a c - t i o n a lo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h ef r a c t i o n a l e n d o l y m p he q u a t i o ni sc o n s i d e r e d ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n f o rt h ef r a c t i o n a l - o r d e re n d o l y m p he q u a t i o ni sg i v e n t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n o ft h ef r a c t i o n a l - o r d e re n d o l y m p he q u a t i o ni sd e r i v e db yt h ec o r r e s p o n d i n g g r e e n sf u n c t i o n a n dw ec a no b t a i ni t se x a c ts o l u t i o nb yt h eo p e r a t i o n a l m e t h o d o b v i o u s l y , i ti sd i f f i c u l ts h o w i n gi t sa n a l y t i c a ls o l u t i o na n di t se x - a c ts o l u t i o nn u m e r i c a l l y t h e nt h ep r e d i e t o r - c o r r e e t o rm e t h o di sp r o p o s e d f o rs o l v i n gt h ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i o n a le q u a t i o n so fe n d o l y m p hf o ri t sn u m e r - i c a ls o l u t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h en o n l i n e a rf r a c t i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s w i t hf r a c t i o n a ld a m p i n gi sc o n s i d e r e d ，t h ep r o b l e mi st r a n s f e r r e di n t oas y s t e m o ff r a c t i o n a l - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ac o m p u t a t i o n a l l ye f f e c t i v e f r a c t i o n a lp r e d i c t o r - c o r r e c t o rm e t h o di su s e dt os i m u l a t ei t n u m e r i c a le x a m - p l e sa r ep r e s e n t e di ne v e r yc h a p t e r ，w h i c hv e r i f yt h ee f f i c i e n c yo ft h ea b o v en i l - m e r i c a lm e t h o d t h et e c h n i q u e sc a na l s ob ea p p l i e dt od e a lw i t ho t h e rg e n e r i c f r a e i t o n a l - o r d e ro r d i n a r ye q u a t i o n s k e y w o r d s ：f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e ，n u m e r i c a lm e t h o d ，e r r o ra n a l y s i s 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 4 第一章序言 近几十年来，人们渐渐发现分数阶计算在很多科学工程领域中发挥了越 来越重要的作用特别在生物 2 5 】，物理【1 6 】，化学和生物化学【2 6 】，水文地理 学应用【1 4 】，分数阶控制 2 4 】，聚合体流变学 2 0 】，黏弹性分数阶导数【1 8 】等领 域，分数阶导数的计算是个有用的数学工具越来越多的文献也已经论述 了用分数阶方程来解决各种学科和工程中的动力系统问题。与整数阶模型相 比，分数阶模型的显著优点在于它有着坚实的实用背景和物理解释 但是，随着对分数阶微分方程研究的深入，人们注意到有些分数阶微分方 程的解析解大多由比较特殊的函数来表示，而要数值地表示这些特殊的函数 是很困难的，并且有些特殊的非线性微分方程的解析解是不可能解出来的 于是，人们便对对分数阶微分方程的数值方法产生了兴趣如d i e t h e l m 等人 【1 2 】提出了用分数阶a d a m s 法解非线性常微分方程l i n 和l i u 2 1 】导出了 用一高阶逼近来解分数阶常微分方程l i u 和y a n g 2 4 1 用预估一校正方法来 数值模拟分数阶控制系统等等 本文分别考虑了分数阶e n d o l y m p h 微分方程和多项非线性分数阶常微 分方程的数值方法在第二章，考虑分数阶常微分方程- - e n d o l y m p h 方程， 给出分数阶e n d o l y m p h 微分方程解的存在性和唯性，导出了用格林函数表 示其解析解，然后用算子方法求出了它的精确解，由于分数阶e n d o l y m p h 的 解析解和精确解很难被数值地表达出来，于是我们又提出一种计算有效的方 法，即预估一校正方法，从而可得到它的数值解数值例子也证实了我们的 数值方法的有效性第三章，考虑一系列带有分数阶阻尼的非线性动力学系 统，把问题转化为分数阶常微分方程组，并用预估一校正方法对其进行数值模 拟，然后把这种方法应用到解带有分数阶阻尼的不可延长性和可延长性摆动 方程此方法的优点在于这些摆动方程的能量函数中包含了摆动方程的解的 一阶导数项，而用预估一校正方法我们可以很容易地数值模拟出方程解的任 意阶导数，因此，这就大大方便了我们对其能量函数的数值求解最后，也给 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用5 出了数值例子来说明在每一部分的数值例子中我们都不但给出了方程解的 性态，也给出了方程的解在不同分数阶导数下的性态从中，我们可看出本文 中所提出的数值方法也适用于求解一般的线性和非线性分数阶常微分方程 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 6 第二章解分数阶e n d o l y m p h 微分方程的一些计算技 巧 2 1分数阶e n d o l y m p h 微分方程 在医学上，前庭器官是一个平衡感应器，它由颞骨远端的骨小管与腔性 结构组成，称之为骨迷路，在其内是由膜性组织形成的膜迷路，它是前庭器官 的功能部分膜迷路主要有耳蜗、三个半规管及两个大的腔；椭圆囊和球囊组 成【1 , p 4 1 4 三个半规管分别是前半规管、后半规管和水平半规管，它们分布 在三个成直角的平面上，每个半规管的末端都有一膨大部分形成壶腹，半规管 内充满一种粘性液体一一内淋巴液，壶腹内有一与内淋巴液密度一致的胶质 性的隔，称之为壶腹嵴当头突然旋转时，由于内淋巴液的惯性作用，它的运 动将晚于半规管本身的运动，即半规管随头部运动开始旋转时，内淋巴液仍是 静止的，这样形成了内淋巴液的相对运动，这种相对流动持续几秒钟，其方向 与头部旋转方向相反，数秒钟后这种液体的相对运动激活半规管内的受体， 然后人体( 大脑) 便收到这种加速度的刺激；当旋转突然停止时，发生相反的 效应，即半规管突然停止运动时，内淋巴液在惯性作用下继续运动，半规管内 的受体从相反的方向上被激活，随后大脑便接收到这一信息1 , p 4 1 6 在这里 我们主要的工作就是研究这种现象的数学模型并获得这种运动方程的一些解 题技巧关于半规管内的淋巴液对于角加速度的反应，比较热门的模型还是 w i l h c l ms t e i n h a u s e n 提出的方程形式； + 了b 口7 + 了k 伊= 一口( ) 这里0 ，0 和0 分别表示内淋巴相对于导管的平均角度转位、平均速度 和平均加速度，系数歹是惯性项一内淋巴的质量和分布，阻尼系数b 记为粘 性力对于内淋巴平均角速度的扭矩的比率，k 表示壶腹嵴内液体的稠密性 象d ew i l l 2 】假定的那样，基于半规管的兼具黏着性与伸缩性的本质特 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 性，因此当内淋巴液做相对运动时会受到胶状层里粘力的阻扰所有以前的工 作大都忽落了这些力的存在我们知道分数阶导数是一个有力的工具来模仿 这种带有阻尼物资的系统，用分数阶导数模型来表示这种阻尼特性在【3 】3 已经 提到，但是它只给出了分数阶为1 2 的情况，即分数阶内淋巴微分方程【3 】： d ；z ( ) + a d t x ( t ) + b d ；2 x ( t ) + c 。 ) = 一n ( t ) ，0 t t( 2 1 ) 其中a 、b 、c 分别表示常数项系数，一口( t ) 表示角形加速度，线性算子d ；2 被定义为。 d ；2 x ( 归南象。t 若打 ( 2 2 ) 方程( 2 1 ) 的精确解在参考文献f 3 】3 中已给出在这篇文章中，我们考虑分数 阶内淋巴微分方程的一般形式t d ；x ( t ) + a d t x ( t ) 十b d 乒x ( t ) + c z ( t ) = 一q ( 亡) ，0 t t( 2 3 ) 及初值条件， z ( o ) = z 乎，z 7 ( o ) = z p ( 2 4 ) 这里d f 是r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数，且0 p 1 定义1 ； ( r i e m a n n l i o u 、，i l l e 定义的分数阶导数) 【4 】； 珊：j 籍 南f 茄卜叭矶皿5 ， i 籍弛) ， p = m 类似的r i e m a n n - l i o u v i l l e 定义的分数阶积分为： 。觚牡高弘一矿。竹) 帆胁。 ( 2 6 ) 首先，我们证明分数阶e n d o l y m p h 微分方程的般形式解的存在性与唯性， 导出分数阶e n d o l y m p h 微分方程一般形式的解析解并提出两种计算有效的 7 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 方法，即算子方法和预估一校正方法，可分别求出它的精确解和数值解最后 给出数值例子给以验证 2 2分数阶e n d o l y m p h 微分方程解的存在性 与唯一性 为求分数阶e n d o l y m p h 微分方程( 2 3 ) 及初值条件( 2 4 ) 的解析解，我们 首先要证明它的解的存在性与唯一性 引理2 1 如果f ( t ) l t ( 0 ，丁) ，那么方程 y i ( t ) = s ( t )( 2 7 ) 有唯一的解y ( t ) l i ( 0 ，丁) ，且满足初值条件 ( o ) = y o ( o ) ，剪，( o ) = y o ( 1 1 ( 2 8 ) 对于分数阶e n d o l y m p h 微分方程： d ；x ( t ) + a d , x ( t ) + b d p tx ( t ) + c x ( t ) = 一q ( t ) ，0 t t ( 2 9 ) 及初值条件： z ( o ) = z 乎，z 7 ( o ) = z 孑( 2 1 0 ) 这里a 、b 、c 是不为零的常数，- a ( t ) l l ( o ，t ) ，即： 一一邮) 陋 t 时， 一口( 亡) 兰0 定理2 1 如果一q ( t ) l i ( 0 ，t ) ，那么方程( 2 9 ) 有唯一的解z ( t ) l i ( 0 ，r ) ，且满足初值条件( 2 1 0 ) 证首先假设问题( 2 1 ) 及初值条件( 2 2 ) 有一个解z ( t ) ，且可记为 d 2 tx ( t ) = ( ) ( 2 1 1 ) 8 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用9 这里( t ) = - a ( t ) 一o d z ( t ) 一b d p tx ( t ) 一c z ( t ) 由引理2 1 ，得到 t ， x ( t ) = d f 2 咖( 亡) = ( t 一丁) ( 丁) c 打 ( 2 1 2 ) ， o 将方程( 2 1 1 ) 代入方程( 2 9 ) ，得到 ( ) + a d t i d 2 ( t ) ) + b d p t ( d ；2 ( t ) ) + c d 2 矽( t ) = 一q ( t )( 2 1 3 ) 因为0 1 ，所以( 2 1 2 ) 式又可以化为； ( t ) + a d 1 ) + 6 霹一2 ( 亡) + c d ? 2 ( t ) = 一q ( 亡) 即t 她) 十。卅) d 丁+ 币弘叫卜锹丁) 打+ c 弘叫卅) d 丁= 叫亡) 由此得到函数( 亡) 的第二类v o l t e r r a 积分方程： t ， ( t ) + k ( ，7 - ) ( 7 - ) 打= - a ( t ) ( 2 1 4 ) j 0 这里 k i t , v ) = n + 6 而i t - - t ) 1 - p + c ( 亡一丁) 此时核函数k ( t ，7 ) 可以写成弱奇异核函数的形式； m ) = 苦转 1 2 1 5 ) 这里，当0 t t ，0 7 - t ，0 1 时， k + ( ，丁) 是连续 的，且p = m i n ( 2 ，1 一p ) 显然，0 p 1 由 5 】可知，具有弱奇异核 函数( 2 1 4 ) 及右端项一口( t ) l i ( 0 ，t ) 的方程( 2 9 ) 及初值条件( 2 1 0 ) 有唯 一解( t ) l i ( 0 ，t ) 因此由引理2 1 ，可以得到问题( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 有唯一解 x ( t ) l i ( 0 ，t ) 同时这解可用公式( 2 1 1 ) 来决定即定理2 1 得证 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 2 3分数阶e n d o l y m p h 方程的解析解 分数阶e n d o l y m p h 微分方程( 2 1 ) 的精确解在【3 】中已经提出，下面我 们用另一种方法来求分数阶e n d o l y m p h 微分方程的一般形式( 2 3 ) 及初值条 件( 2 4 ) 的解析解这种方法就是利用常系数四项分数阶微分方程的格林函数 1 】来表示它的解析解，类似于沈和刘 6 】求解分数阶b a g l e y - t o r v i k 方程的解 析解 对方程( 2 3 ) 进行拉普拉斯变换，由l ( d p tx ( t ) ) = s r ( s ) 得： s 2 r ( s ) + a s s ：( s ) + 6 s p 贾( s ) + c 2 ( s ) = 一a ( s )( 2 1 6 ) 得l 郢) = 西 令9 4 ( 8 ) = 孬丽丽1 ，9 4 ( 8 ) 又可以被写成如下形式 9 4 ( 8 ) = 11 丽砥 ( 2 1 7 ) 一 一s + a 五亘互 0 十4 2 三( 一1 ) 高南( 6 s 肛1 + c s ) m = 曼( - 1 ) m 南玑卜一m j 8 2 量东南磊j 桫以驴p m = 黑( _ 1 ) m c m 叠( ? ) ( b ) k s k 口- ，m - 1 k 。 = ( 一1 ) ”c m l l r m = 0 南= o 、， 7 基于拉普拉斯变换的一般展开定理【7 】，逐项求拉普拉斯的逆变换，我们 可以得到公式( 2 1 8 ) 的拉普拉斯逆变换： g a ( d = 至0 0 嘉( 一c ) ”薹( m 后) i ! l k t 2 ( m + 1 ) - k l ，- i 硝拳m 一以一。幻 1 0 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 这里e q o y 、是带有两个参数的m i t t a g - l e f f l e r 函数t 嘞) - 杀鼬) = 薹器，( k - - 0 , 1 , 2 , ) ( 2 1 9 ) 因此( 2 1 7 ) 式的右边可以视为卷积g 4 ( t ) 木( 一q ( t ) ) 的拉普拉斯变换， 那么我们可以得到t ，i x ( t ) = g 4 ( t ) 宰( 一q ( t ) ) = 一g 4 ( t 一7 - ) q ( 7 ) d r ( 2 2 0 ) ， 0 显然( 2 2 0 ) 就是分数阶e n d o l y m p h 微分方程的一般形式( 2 3 ) 及初值条 件( 2 4 ) 的解析解 2 4解分数阶e n d o l y m p h 方程的算子方法 下面我们提出一种新的方法( 8 】，即算子方法求解分数阶e n d o l y m p h 微分 方程一般形式的精确解我们让m 表示p 的分母( 0 p 1 ) ，署= 2 我们可 把( 2 3 ) 可以化为如下形式t ( d 景+ a l d 2 簪+ + o 。d o ) z ( 亡) = 一q ( t )( 2 2 1 ) 定义变量； x x ( t ) = z ( t ) z 2 ) = d 示1z 1 ( t ) = d - 击x ( t ) z n ( ) = d 鬲1z n l ( t ) = d n - - 1z ( 亡) ( 2 2 2 ) 于是分数阶e n d o l y m p h 微分方程一般形式( 2 3 ) 及初值条件( 2 4 ) 可转 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 化为： d)【-去。x，(：t)=a。x，(。t。)。+。，b，a(t，)xl z 。，】t c 2 2 3 ， i x ( o ) =( o ) ，。2 ( o ) ，z 。( o ) 】t 。训 其中x ( t ) 9 铲，a 辨n x n ，x ( 、t ) = p 1 ( ) ，z 2 ( 亡) ，z n ( ) 】r a = 01o o 001； ； 0 o ol - a n- - a n - 1 。 - - a i ，b = 这里对于方程( 2 3 ) 来说a l , a 2 ，a n 的取值情况为： 0 0 ： o 一1 ( 2 2 4 ) a l2a 22 = a m - 120 ，a m = n ，a m + l2a m + 22 = a n - - m p 一120 a n - m p2b ，a n - m p + l5a n - m p + 22 = a n - 120 ，a n = c 利用分数阶导数的拉普拉斯变换及其逆变换，不难得到方程( 2 2 3 ) 的解： t r x ( 亡) = 毋m ，l ( a t l m ) x ( o ) + ( t 一下) 1 m - 1 e l l , m l 。( a ( 亡一下) 1 ”) b q ( 下) d r j 0 ( 2 2 5 ) 式中， 取，p 为双变量m i t t a g - l e f f l e r 函数【1 】易知( 2 2 5 ) 也为分数阶c 1 1 - d o l y m p h 微分方程一般形式( 2 3 ) 及初值条件( 2 4 ) 的精确解 2 5解分数阶e n d o l y m p h 方程的预估一校正方法 分数阶e n d o l y m p h 微分方程一般形式( 2 3 ) 及初值条件( 2 4 ) 的精确解 ( 2 2 5 ) 数值表达相当困难为此，那么将提出一种有效的求解分数阶e n d o l y m p h 微分方程一般形式( 2 3 ) ( 2 4 ) 的数值方法t 分数阶预估一校正方法，以便和上 面我们解出的它的解析解作比较分数阶预估校正法求解一般的多项分数 阶微分方程已经提出，并应用于求解分数阶的控制系统 8 】下面我们将利用 这种方法来求解分数阶e n d o l y m p h 微分方程 1 2 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 我们把分数阶e n d o l y m p h 微分方程( 2 3 ) 及初值条件( 2 4 ) 化为一般的 多项分数阶微分方程形式t d ；x ( t ) + 0 d t x ( t ) + a d t x ( t ) + b d p tx ( t ) + c z ( t ) = 一a ( t ) ，0 t t ( 2 2 6 ) 及初值条件： z ( o ) = z 孑，z ，( 0 ) = z 3 1 ( 2 2 7 ) 其中0 卢 1 , 1 ，y 2 为了方便我们把区间【o ，t i m 等分；t j = j 丁，歹= 0 ，1 ，m ；m h = t ， 令x t = z ( 亡) ，我们可以把方程( 2 2 6 ) 和初值条件( 2 2 7 ) 转化为如下形式的分 数阶微分方程组： i0 0 7 1 x l ( t ) = od ? x l ( t ) = x 2 ( t ) jo d 7 2 x 2 ( t ) - - - - 0 磁- p x 2 ( t ) = x 3 ( t ) 10 0 7 3 x 3 ( t ) = od 7 _ 1 x 3 ( t ) = x 4 ( t ) l io d 4 x 4 ( t ) = od ；一，x 4 ( t ) = - a ( t ) 一c x ：( t ) 一b x 2 ( t ) 一a x a ( t ) 一0 x 4 ( t ) 和初值条件t x l ( o ) = z 孑= z ，z 2 ( o )= o ，z 3 ( o ) = z ，z 4 ( o ) = 0( 2 2 9 ) 易知分数阶微分方程( 2 3 ) 及初值条件( 2 4 ) 与分数阶微分方程组( 2 2 8 ) 及初 值条件( 2 2 9 ) 是等价的【2 4 】 因此，我们可直接得到了下面解分数阶微分方程组( 2 2 8 ) 及初值条件 ( 2 2 9 ) 的数值解：分数阶预估公式： m = z g +曝+ l 坼1 j ，( 江1 ，2 ，3 ) j = o x ：4 , k + l = x “志争毗) - - a x l , j - - b x 。, j - a x a , j - o x a j 】 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 1 3 志 分数阶校正公式： m 瑙) + 丽1 ( z 4 斛l = z 孑 这里 + - = j = o 七 n 呈乞+ l x i + l d + o 七o t + i1 ，七+ l l ，l ，( i = 1 ，2 ，3 ) ( 2 3 2 ) + 志 善曝+ z h 岛) - - a t , l , j k z ，j - - a x 3 , j m 4 ，j 】 十。薄l ，知+ 1 【一o ( t k - i - 1 ) 一瞄，七+ 1 一域，七+ l n 壤，七+ l 一0 理，詹+ 1 】) h a 。= - - 等 ( k + 1 - 矿叫严】 o q ( o r i 十1 ) j = 0 1 j k j = k 牟1 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 由【2 4 】，我们可得出用分数阶预估- 校正方法解分数阶e n d o l y m p h 微分 方程的误差阶t 这里q = 1 + r a i n 啦 1 t 4 。 2 6数值例子 m a x 0 j m 1 i 4 x i ( t j ) 一戤，jl = o ( h 口) 在这节中，我们介绍一下数值例子来说明这些方法的有效性 考虑下列分数阶e n d o l y m p h 微分方程 1 】t 及初值条件s d ；z ( t ) + 0 2 d t z ( t ) + 0 2 d # x ( t ) + o 5 z ( t ) = 一q ( t ) x ( o ) = 0 ，x t ( o ) = 0 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 眦，力+ ， + h 曲m 铲 一尸卜 尼2 卜 + 1 一 一 机 一酗 桫也l 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 f i g u r e1 ：p = ，a ( t ) = l 时，分数阶e n d o l y m p h 微分方程的解析解 例1s 我们取卢= ，q ( t ) = 1 ，解析解和利用分数阶预估一校正法得到的 数值解分别显示在图1 和图2 2 的从图1 和图2 ，可以看出，数值解z l 和解 析解完全吻合图2 还显示了解的 ，1 ，；阶导数的性态 例2 ；我们取p = ，q ( t ) = c o s ( t ) ，解析解和利用分数阶预估一校正法得 到的数值解分别显示在图3 和图4 的从图3 和图4 ，可以看出数值解z 1 和 解析解完全吻合图4 还显示了解的 ，1 ，g 阶导数的性态 例3 ：我们取0 p 1 ，a ( t ) = 1 ，利用分数阶预估校正法得到的数值 解z 1 显示在图5 从图5 ，可以看出数值解z 1 的解性态依赖于分数阶导数p 我们也可以用文中的数值方法解b a g l e y - t o r v i k 方程。 例4 ：对于方程： a y ”( t ) + b o d t y ( t ) + 0 7 ( t ) + 0 od f + c y ( t ) = f ( t )( 2 3 9 ) 和初值条件； 矿砖) ( o ) = y k ，( k = 0 ，1 )( 2 4 0 ) 我们令。a = 1 ，b = 0 5 ，c = 1 ，y o = y l = 1 ，n = 1 5 ，p = 0 5 得到如下图示， 1 5 f i g u r e2 ：卢= ，a ( t ) = l 时，分数阶e n d o l y m p h 微分方程的数值解 f i g u r e3 ：p = ，a ( ) = c o s ( t ) 时，分数阶e n d o l y m p h 微分方程的解析解 t 奢) x f i g u r e4 ：p = ，口( ) = c o s ( t ) 时，分数阶e n d o l y m p h 微分方程的数值解 o 9 f i g u r e5 ：n ( t ) = 1 , f l 从0 到1 变化时，分数阶e n d o l y m p h 微分方程解的性态 1 7 f i g u r e6 ：函数，( t ) = 1 时的情况 f i g u r e7 ：函数f ( t ) = 0 时的情况 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 从图6 和图7 可以看出，用预估一校正法解分数阶b a g l e y - t o r v i k 方程 与沈和刘 6 】所采用的一种有效数值方法所得到的结果一致因此这个方法是 非常有效的 1 9 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 第三章一类带有分数阶阻尼项的非线性分数阶动力系统 的数值模拟及其应用 分数阶微分方程已经吸引了许多研究工作者，但是大多数分数阶微分方 程的解析解通常很难明确的求出来，特别是非线性微分方程 本文我们考虑带有分数阶阻尼的一般的非线性初值问题： ( 3 1 ) u ( o ) = 让o ，u t ( o ) = 钍1 ( 3 2 ) 这里t 0 ，卅，a ，b k ，c ，d l ，让o ，让l 是常数，0 屈 1 ，1 q 后 2 ，并且 0 风 恳 风 1 ，1 a 1 q 2 q n 2 g ( t ) 是连续函 数，f ( u ) 满足关于u 的l i p s c h t z 条件，d a - 让和d o * u 分别是q 七、届阶的 c a p u t o 分数阶导数。 喇牡f 南? 拱帆0 _ m - l 风 风一1 防并且o l 一风 1 ，岛一传一1 1 ，0 尻 1 他让m 为风，风- l ，尻的分母的最小公倍数，并令，y 一击，n = m a 根 据d i e t h e l m 的方法，方程( 3 6 ) 等价于类似于( 3 5 ) 的方程组他们讨论了解 的存在性于唯一性并证明了数值方法的稳定性和收敛性 s e r e d y f t s k a 【2 0 】也 用了这种技巧解带有分数阶阻尼的一般非线性初值问题 但是，值得注意的是如果m 非常大，这将生成一个特大的方程组，这样 计算的工作量就非常大为了克服这种个缺点，我们提出一种方法把方程( 3 1 ) 转化为比( 3 5 ) 的形式更一般的方程组，然后通过离散对它进行数值逼近，然 后再利用预估校正方法模拟这个分数阶常微分方程 3 1基本知识和引理 方程( 3 1 ) 解的存在性与唯一性已给出【1 7 ，2 0 】 引理3 1 ：令b r t 嘶_ 1 r ( a ，) ，d j 毋_ 1 r ( 屈) 三k 方程( 3 1 ) 有唯 一解u 彤k 证见定理1 2 0 引理3 2t 微分算子d f ( t ) 和d f ( t ) 满足交换法则： d 尹( 上) ，( t ) ) = z ) ( d 尹，( t ) ) = d + ”， ) ， 2 1 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 2 2 ，( s ) ( o ) = 0 ，8 = n ，几+ 1 ，m ；( m = 0 ，1 ，；n 一1 o t 0 并且后n ，让p 岳n 使得 0 卢 o ) ，利用引理3 2 我们可得到t d 7 一p ( d f ，乱) = d t u 因此我们可把带有分数阶阻尼的一般的非线性初值问题( 3 1 ) ，( 3 2 ) 转化 为下列分数阶微分方程组的形式t d 7 1 “1 ( ) = 硝1 u 1 ( t ) = “2 ( 亡) ， ： d 钍。( t ) = d p 一风一1 t m ( t ) = u m + l ( t ) ， d ：m + 1 u m + l ( t ) = d ；一风u m + 1 ( t ) = 7 2 m + 2 ( 亡) ， d p 十2 钆m + 2 ( t ) = d 1 _ 1 u r n + 2 ( z ) = u r n + 3 ( t ) ， d p + ”+ 1 让m + n + l ( t ) = d 7 ”一。“一1 i t 。+ n + l ( t ) = m + 。+ 2 ( 亡) ， d p + ”+ 2 u m + 。+ 2 ( t ) = g ( t ) 一f ( u 1 ) 一d z u z + 1 一侧m + 2 一6 r 仳m + r + 2 ， ( 3 7 ) 和初值条件1 w i t hi n i t i a lc o n d i t i o n s ： 仳1 ( o ) = 钆孑= 乱o ，u r n + 2 ( o ) = 牡5 m + 2 ) = u l ，u i ( o ) = 让g = 0 ( 3 8 ) 这里2si m + 佗+ 1 ，i m + 2 利用引理( 3 1 ) 、( 3 2 ) 和( 3 3 ) 我们可得到下面定理t 定理3 1 。带有分数阶阻尼的一般的非线性初值问题( 3 1 ) ，( 3 2 ) 与方程 组( 3 7 ) 和初值条件( 3 8 ) 是等价的 多项分数阶常微分方程数值方法及其应用 3 2一类带有分数阶阻尼项的非线性初值问题的数值 模拟 在本节，我们提出了对带有分数阶阻尼的一般的非线性初值问题( 3 1 ) 和 初值问题( 3 2 ) 模拟的数值方法 首先，我们把带有分数阶阻尼的一般的非线性初值问题分离，也就是等 价于解下列方程组； id 7 1 u l ( t ) = 夕l ( 亡，u 1 ) 咖2 - 以屯现)( 3 9 ) i ： id p 押+ 2 u m + 。+ 2 ( t ) = g m + 2 ( t ，札m + 2 ) 然后，我们再用这种计算有效的方法即分数阶预估一校正方法来解下面 非线性初值问题： 三；m 。u ，二t t 豸，? ，乱。0 。i ：- y i l ， 2 ，：，m + 礼+ 2 ， c 3 1 。， l 乱i ( o ) = 珏g ，( 江州一，m + 礼+ 2 ) p 7 我们知道非线性初值问题( 3 1 0 ) 等价于v o