（概率论与数理统计专业论文）banach空间和模糊随机变量的强大数律.pdf

摘要 摘要 本文是我在硕士阶段，在导师张立新教授悉心指导下完成的，全文分两章。 随机变量强大数律在概率研究中起着十分重要的作用，本文讨论了b a n a c h 空 间和凸、紧、有界模糊随机变量的强大数律。 第一章b a n a c h 空间c h u n g t e i c h e r 型强大数律 在该章中讨论了在b a n a c h 空问中，独立随机变量在弱大数律的假设 下，即c h u n g t e i c h e r 条件下，强大数律也成立。本章是在a k u c z m a s z e w s k a 和d s z y n a l 2 1 i 作的基础上进一步推广，得出了更广泛、更一般的结论。 定理1 2 ：设 j 气，n 1 ) 是一列b 值独立的随机变量， ) 和 6 。) 是正的常数 列，且o kt 。；妒( 茁) 满足妒：r + ，r + ，l i m 妒( z ) = 。，妒( z ) t 且 情形( n ) 掣，1 ； 情嗍掣t ，等狙1 p 2 当妒( z ) 满足情形( o ) 时，1 p 2 ，假设 c a ，薹。7 9 e 石氟考蓦醇e 石取毒 o 。 c 瞩9 喜醪e 蒜饕叫 ( c ) 壹n = l p ( 狐) 。， ( d ) 妻n = l 以e 而 。 或者妒( z ) 在情形( 6 ) 下，假设 ( 嵩缈焉菇pt 焉p + 1 ) 善j1 驴焉甄艄而( 甄l l x d l ) 。 c b ，) k 喜鸳e j 露哥薯最篆；。， 摘要 则 ( g ) 州怆。) o 。， c 们耋妒渊，e 焉蒹鬻p + l 娑而 o 。 n = 1 妒“抖p 一”( 0 n ) + 妒“+ r ”i l i 五n | | ) 当且仅当 e x ：) i l 三o e x i ) i l 兰。 其中碾= x j ( | | 甄| | 兰b k ) 。 第二章独立模糊随机变量的强大数律 在该章中介绍了独立模糊随机变量的强大数律。模糊随机变量是更一般的随 机变量，其本质是甬数。在该章中，我们在j o o 、k i m 和k w o n 3 的工作基础上进 一步讨论了在c h u n g 型条件下独立模糊随机变量的完全收敛、几乎处处收敛、按 概率收敛、和三1 收敛是等价的，也就是如下定理。 定理2 5 ：设f j 0 ，n 1 ) 是一列喙( 彤) - 值独立的模糊随机变量， n 。，n 1 足一列常数，且满足0 o 薹喜制掣 。 妻n = l ( 妻i = 1 掣) 8 0 ，则下列四种说法等价 ( i ) e | | 蚓。一0 z = 1 i i 瓦 溉 。h。m k 坛 摘要 ( 甜疆x d a , ：兰茜 4 = 1 ( i ”) z , 二瓦 1 = 1 这里s 代表完全收皴，i 是摸癫囊。蘩定义是尝。o 薅，孬( 鬈) = o ；当z = o 时，西( z ) _ 1 。 关键词：c h u n g 条件，t e i c h e r 条件，b a n a c h 空间，弱大数律，强大数律，独立随 机变量，模糊随机变麓，收敛。 i l l ， 诬 量 知 x 。日 江 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i st h e s i si sf i n i s h e du n d e rt h eg u i d a n c eo f p r o f e s s o rz h a n gl i x i n ，d u r i n gm ym a s t e r o f s c i e n c e i tc o n s i s t so f t w oc h a p t e r s s t r o n gl a w so fl a r g en u m b e r s ( s l l n ) p l a yv e r yi m p o r t a n tr o l e si nr e s e a r c ho fp r o b a b i l i t y i nt h i st h e s i s , w es h o ws l l ni ng e n e r a lb a n a c hs p a c eo rc o n v e x , c o m p a c ta n d b o u n d e df u z z yr a n d o mv a r i a b l e s c h a p t e r1c h u n g t e i c h e rt y p es l l ni ng e n e r a lb u n a c hs p a c e i nt h i sc h a p t e r , w es h o wt h a tc h u n g - t e i c h e rt y p ec o n d i t i o n sf o rs l l nu n d e rt h ea s - s u m p t i o nt h a tt h ew e a kl a w so fl a r g en u n t h e r sh o l d s t h i sc h a p t e re x t e n d st h ew o r ko f a + k u c z m a s z e w s k aa n dd s z y r m l 2 1 。w eg e tm o r ea b r o a da n dm o r ec o m m o nr e s u l t s t h e o r e ml 。2 ：l e t 弱，n21 ) b eas e q u e n c eo fi n d e p e n d e n tb v a l u e dr a n d o me l e m e n t s ，s e q u e n c e o n ，札1 a n ds e q u e n c e “，n 1 ) b ep o s i t i v ec o n s t a n ts e q u e n c e s s u c ht h a t0 于。；妒( 搿) s a t i s f i e s 妒：丑+ 砷嚣+ ，l i r a 妒( 茹) = 。，妒( 茹) l a n d c a s e ( n ) 掣独 e a s e ( 6 ) 譬f ，等j ，t 强l p 茎2 l f 妒( x ) s a t i s f i e sc a s e ( a ) ，s u p p o s et h a t 耖四磊霎牡器 。 娄归赢鬻一 ( e ) 壹n = l p ( 独) 。， c 巩妻n = l 以曰赢煞 o 。， o r 妒( x ) s a t i s f i e dc a s e ( b ) ，s u p p o s et h a t 渊，西j = 2e 两案黜面妒“”( 饥j + 妒“蚪p ”川直 一i v 蕊寨凛面 o 。 a b s t r a c t 嗽如i = 1 焉筹鬻叫 好鸳鬈趸；筹巡拦b o ， 妒碰* p 却 堍j + 妒瓣坤“1 | | 盖 ( g ) 妻n = lp l 。) 。， c 畦妒渊，e 琴2t+慧12 t p+ln=l 。o 妒【蚪p _ 1 ) 十妒o l t 押叫i n t h e n i l a n do n l yi f 簖1 k 1 k = l k = 1 x k e x i ) 1 三o e x l ) t j 马o w h e r e x = 凰i ( 1 l x k | l b k ) c h a p t e r2t h es l l no f i n d e p e n d e n tf u yr a n d o mv a r i a b l e s i nt h i sc h a p t e rw es h o ws l l no fi n d e p e n d e n tf u z z yr a n d o mv a r i a b l e s f u z z yr a n - d o r av a r i a b l e sa r em o r ea b r o a dr a n d o mv a r i a b l e s i t se s s e n c ei sf i m c t i o n i nt h ec h a p t e rw ee x t e n dt h ew o r ko fj o o ，k i l na n dk w o n 3 】a n dd i s c u s sc o n v e r g e n c eo fi n d e p e n - d e n tf u z z yr a n d o mv a r i a b l e su n d e rc h u n gt y p ec o n d i t i o n s 。w ef i n dt h a tc o m p l e t ec o n - v e r g e n c e ，a sc o n v e r g e n c ei np r o b a b i l i t ya n dl 1c o n v e r g e n c ea r ee q u i v a l e n t t h a ti st h e f o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m2 5 ：l e t x n ，n 1 b eas e q u e n c eo f i n d e p e n d e n t 芦( 舻) 一v a l u e df u z z y r a n d o mv a r i a b l e sa n d g n ，i ) as e q u e n c eo fc o n s t a n t ss u c ht h a t0 o z v 一 ( 。 0 , t h e nt h ef o l l o w i n ga r ee q u i v a l e n t ( i ) e | | 蚓，o 。一0 ( i i i ) 玉。兰石 仁= 1 ( 劫) 五n 。三百 w h e r e ci sc o m p l e t ec o n v e r g e n c e ，石i sf u z z ys e t i fz 0 , t h e n6 ( z ) = 0 ；i fz = 0 , t h e n 石= 1 k e yw o r d s ：c h u n gc o n d i t i o n s ，t e i c h e rc o n d i t i o n s ，b a n a c hs p a c e ，w e a kl a w so fl a r g e n u m b e r s ，s t r o n gl a w so fl a r g en u m b e r s ，i n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s ，f i l z z yr a n d o m v a r i _ a b l e s ，c o n v e r g e n c e v i 0三n 剐 。 扼 簦= 重星矍塑! 窒鋈黛鬯墨：塑唑墅查鍪堡 1 。1 介绍 第一章b a n a c h 空f s - c h u n g 一耗i c h e r 型强大数律 魏钒变量强大数臻( s l l n ) 在强率谚研究中起藿缀遂要馥 挈魍，研突强大 数律得到了广泛的、早期的结果是关于零值独立随机变量的。c h u n g 1 8 证明了 当妒0 ) 是递增的连续偶蘧数，满足鼍掣 、墨笋i ( 在本文申“t ”表示单调上升， “上，寝示单调下降) ，如果 溉，1 ) 是一列独立的随机变戮，e j 厶一0 ，n 1 且! 塞譬 。，则i 五一o ，口 ；t c i c h e r 【l9 证明了设 ，n 1 ，是一列 独立的随机变墩，e 一0 ，n l 鼠 ( i i ) f i i 舀 器掣) 妻攀登磷 娃。) 妻譬 o ， 十， 茁茁4 谊 墨。n l 燕一歹b 镶独立靛淹橇变蘩，设 藉 k ) 跫正酶常数弼，0 6 。t 。笙二垩星塑! ! ! 窒塑舅炮g ：旦堡! ! ! 型塑丕墼熊 。，假设 则 协砉铲霎号笋 峨) o 。， 渤，霎笔铲 。 当p + 。当虽攫当+ 。，。 魄 定理1 b ( k u c z m a s z e w s k aa n ds z y n a l 2 1 ) ：设妒( 嚣) 是非负、连续非降偶函 数，妒：r + r 。，l i r a 妒( z ) = o o ，妒( g ) t ；妒( z ) 分下而两种情形 + ( ( 扩) p 2 设 墨；，n 1 ) 是一剿b 值独立的随机变缀， a 。) 是一列正的常数 在情形( 下，1 p 2 ，假设 + 扩e 蒜霎呜。妒( 1 t x , l 丽1 ) 。 m ”争e 淼川 ( i i i ) ，p ( i i x 。i i28 。) o o ， * 黼l 洳，薹鼢沪希鬻 。 萋= 至堡塑! 楚至堑鐾避墅塞塑烂壅丕耀 或者妒( 鬈) 在情形( b g t ，1 p 曼2 ，假设 则 ( ，扩嚣淼而。o ( 1 丽i x , 1 1 ) 。 傅气n 1 争f 勰川 ( 侧) 妻n = l p ( 狐) 。， ，) 薹m 加蒲搿。o 其中遐= x i ( il x k l l 的a 。2 宝要结论 当且仪当 ( 墨一踊) l 骂。 k 盘1 本文在k u c z m a s z e w s k aa n ds z y n a l 2 1 】的基础上将b a n a c h 空i 旧 c h u n g t e i c h e r 型 强大数律进一步推广，使得s u n g 2 0 癣k u c z m a s z e w s k aa n ds z y n a lc 2 1 的定理是本 文定理1 2 的一种特殊情形。为了证明本文结论需用下面的引理。 引理1 1 ( y u r i n s l d i 2 2 ) ：设 墨， l 是b 德独立的随机交懋，j t e h x t 1 o o ，i = 1 ，2 ，n ，f 靶是幽( x 1 ，蜀，x ) 、k = 1 ，2 ，n 生成的j 域，f o = ，0 ， 赁i 对1 k 茎n 蠢 e ( 1 i s 。i i i f k ) - e ( i t & i i t f 一t ) | l l x k l l + e i ! x m i i 。 l 。1 ) 本文熬主要结论絮下。 定理1 2 ：设 蜀，n 1 ) 是一列b 值独立的随机变量， ) 和 k ) 足正的常数 列，显 ? ；妒( g ) 滚是：r + ，r + ，l i m 妒。) 一。，( z ) | ，盈 壤形国掣l ，l ； l ，2 ) 三 哦 一 陬 。柚 釜= 蔓里塑! ! ! 至塑曼嫩g ：里堡! ! ! 型堡查塑鲎 燎形 字t ，耋鲁l ，2 1 ，l p 鬟2 。 ( 1 3 ) 当妒( 。) 满足情形( 6 ) 瞬，1 p 2 ，霰设 c 4 静层稿鬻霎醒e 器 o 。 ( b ) + ，y , e 黜t 篁型墨越 妒 ( 堍) 妒 ( 1 | 五l | )_ 0 ( g ) p ( 1 l x d l a n ) o 。， ( d ) 争) e 而煞 o 。 或者妒舅) 在薅形醵下，缀设 粼 c a 气薹可9 e 石黎磊蛋轰喜i 霎醪e j 露i 西轰誉i 0 ，因为妒( z ) 是正的、递增酶，所以矿( z ) 也是递增瓣； 设| | 蜀| | b 。，则有 ，( t ! x t l 圳1s 蒜糍 艨鞋 薹聃堋 = 娄嚣陬蜀9 蚓i i i 嘲+ 蚓1 弱l i 蚴弼i 故| | 引】 洳网矧+ 2 z 霎e 蒜筹翊陶 嘲 联l 两吾等瑞丽翊嘲 嘲 n = t篇l r、”，。, f - 、f i 。n | i ， 耋刚i 墨忪+ z 耋州，e 万若掣丽 当妒( 耋) 满足情形( 耀( 1 2 ) 时，令r = ； 当妒) 满足滂形( 妨朝( 1 。3 ) 嚣，4 r = 般t ( t + 挫p - 邋o e 由假设( g ) 和假设( 聊、( d ) 有 o 。 尸弼) o 。 n = l 壹b 。f e l c 鑫珏据疆i 弓| 攥魏 嚣，l 、 墨，l 是等蛰静，瓣魏垂1 鸯式褥 为证明( 1 5 ) 式，我们记 k 1 ( 弼一腰溉) | | 三o k = l = 茂一e x g ，l ， = 鼍，鬣一驾 k = l = 1 熊二皇堡里! ! ! 至闽竺! 些戥嫂! 坚! 型塑盔墼堡 k ，；= e ( i i s ：t l 写；一e ( h i i t r ；- t ) ( 1 母 冀中霹= 一( 埘，驾，霹) 。 露定，麓然 k 。1 is 楚鞅差序列，有 | | 鬟| | 一吲髭| | 下面证明 烈型一o 0 “ 应掰f 1 6 ) 式、g 理2 1 帮1 6 。) s 一2 一，一2 一f 一2 c - 2 8 一 6 。s ) s 嘞喜醪e 赢鬻 钏e 嘞：9 喜驴赢鬻一。 对妒( z ) 满足情形( 6 ) 即( 1 3 ) 式，利用x 7 = x , 6 。0 ，s。2a：壹i=1醒e：ji；i；l；-。 o 蚌”1 魂 + 妒8 + ，一1 ， | l 爿l l l 因此，综合上述情形( n ) 、情形( 砷有 坛1 ( i i s ；i i e i i s ；i i ) 三0 ( 1 1 0 ) 基 一恼氍一删) 护掣三m = l ” 和( 1 1 0 ) 式可得到 e ，i i s i i i 。( h d 托 蔓二童曼翌! 堂窒蝴篡! ! 坚里堡! ! ! 型塑盔墼熊 要证 先证 英串坼= 歹弘：k 2 k 。 要证( 1 1 3 ) 式，由( 1 1 1 ) 式和( 1 1 3 ) 式知，相当于要证 又 所滥 f l ，1 2 ) ( 1 1 3 ) 监! ! 芒监4 一o ，。 ( 1 _ 1 4 ) “m k “跣1 1 e l l s 5 。1 1 ) 2 = 皖“。卜e i i s 未。i i ) 2 先谨f 1 1 5 ) 式翦半部分强，设 z m “= 磙。z ( 1 l x , i l 啦) 一e 瑶。i ( i x , i f s 魄) k = l ，啦t m k l = l r 1 1 5 ) k 埘 m ：l c 圹船 。、 匿# p 、i k ：! 触 m ：l c 2+ 皖 m ， 棚懈 扫 | | 、i i ， 蜀 m ， 口 “ 一 枉 一 箜二童里! 些! ! 窒闷竺塑坚：堡生堡! 型塑盔塑堡 = e 。2 啜e 嗽。i ( 1 l x , i i 训 k = l ，m k m k + l i = 1 o om s 。2 b 。- 4 。e i i x ；i t + e i i x ；i i 4 i ( 1 l x d l n t ) k = l ，m e m h + 1 4 = 1 m k 2 s 。2 6 z e i i x f l l 4 i ( 1 l x d l n t ) k = l ，m m k + 1 仁1 = 2 8 e - 2 e i i x ；1 1 4 j ( 1 l x , i i m k 。和k 。 i m k t m + t = 女ok = k o l12 81 2 而碡予2 丽研 素( m 。) “ s ) 击2 1 6 s 一b c 4 e i i x 1 1 4 i ( 1 l x d l s ) 1 1 5 2 1 - 2 掣子- 翔2 9 川俐 酬 秽1 ；c we 帮圳徘曲 茎秽1 善o oe 蒜川眺 1 0 釜二兰里竺苎! 鳖墅嚣飘燃塑望螋查塑熊 舻 。善o o 昱燕寿警蹋球嘲 i 梦。2 f 1 净烈o i 扭 妒【j 十tf x j 【1 。 ”7 。q 中。耄妒 2 j 磁怒懵彤 对，耐用( 1 8 ) 、( 1 9 ) 式和瑕设f d ，) 存 吼，未o o 。p ( 萋；n k 刮s 壤。) 两12 飞2 善o 。町2 p 驯j 弼伊蚓j 五| j 嘲】 s i 1 2 t o e _ 2 g 趣v 粼( b db ( i i x i l i = 1 ( t + ，- i y 。 ) si g 竺翌l 强) s 扭吨善c oe簿精：tut-+i ，“陬曲 镑1 飞”善c oe 蕊寨鬻川眦面 三妒2 善妒嘲嘲群幕案鬻i 。o 、7 、“4 ， 所以，综合情形( 。) 和情形( 6 ) ，l 刍b o r e l ，c a n t e l j i 引理有 嵫 霎嫂陇冰蕊) 一喜e f 壤删困j 蚓晕；哆一。 鲫鬈掏 当妒( z ) 满足情形( a ) 时，n n n 设( b ) f 鹾邵硎i 矧 峨) 陵， s 皖甄l 霹+ e i i x ：i i ) 。 茎二薹笙登嫠! 至墼垡鳖! 瞳銎黧鐾塑态鏊簦 茎8 谨e ( 1 i x ： i ) 2 。麓霎醒e 焉鬻一。 网理，囊妒( 。) 满足章蠢彤妨对，列鼹缎设( b 7 ) 蠢 b 。- 2 。印z ( if x t f l s ) 矿1 譬c o 孽铟鼢蚤i - 1 曰i r 墨i i 9 ：妻酽驴警萎鳄e 警 妻辨( 警勰) 薹i - i 擎( 警勰) 茎- - 志2 1 - 2 弋薹7 町9 e 孑蔡享害雹季霎哆e 孑鹾吾毒耄芋 掰班，综合情形( 8 ) 髑鞲形( 秘，由b o r e l c 鑫藏持l l i g l 理有 n s f 1 1 8 ) 瑶 g “芦 霹 嚣 m 嚷 砷 一 鼢 瞧 一 o 一 抖 k 罐 笙二童璺巡窒闷曼鳖堡! 生! 型塑盔墼堡 所以，由( 11 7 ) 式、( 1 1 8 ) 式和( 1 1 5 ) 式，有 掣一。 。m “ 在证明上式的基础上，下面证明 因为 i i ：s 一, ：l l 。0 。 。且掣 m k n m 十1 6 “ 又因为m ( 1 4 ) 式 l 墨坠 坠! k 竖型+ 。a x 些二坠t | 一 b m k m k ! n ”l b m “ 坠坐二! 二型 b m k 一 i)互1-n i ) ( 1 1 9 ) 1 4 掣掣羞 差二至星兰登鹜i 窒塑至! 黧窭望燮堡奎鍪堡 又可用同样的方法可以证明 肇型一o 。 k ； ” ( 1 。2 0 ) 注意到 s 蔫。一1 品。) ，l a k a 立，由( 1 ，2 0 ) 式和( 1 ，1 3 ) 式及b o r e i c a n t e l l i 日 理，毒 结合上式和f 1 1 9 ) 式有 即 得 掣 s ) o 。 璐 ， 1 1 = - 一1 1 。0 螃1 | | ( 髭一聪) | | 笃o = 1 k 1 l 隅一磷) | | k = i 西瑟绪论成立。曰 推论1 。3 ：设 x ；，n 1 是一列b 值独立的随机变量， a n ) 和 k ) 是正的常数 舞，k o k l0 0 ；妒( 。) 满是 ( 一) ( ) 妒( z ) ， l ； 掣t ，世i ，l p 2 嚣x p 引 一 在情形( ) 下，1 p 2 ，假设 c 4 薹弘蒜薹醇f 器 。 蚪黑 。硪 笙二童呈塑! ! 垒窒塑竺塑璺璺：旦型塑盔垫堡 c 骈喜啦斋鬻一， ( e ) 妻n = l p ( 狐) o 。， (d)霎帅邶赢一1n = 。、，、”。 或者妒( z ) 在情形( 6 7 ) 下，l p 2 ，假设 则 ( a ，) 薹丐9 e 石巧揣霎醪e 石巧躺 o 。 ( 踟喜醇e 淼川 ( g ) 妻n = i p ( 狐) o 。， c 们喜咖加赢等 。 当且仅当 k 1 | | 一e 碟) | | 三o k = 1 k 1 | | 一e 冠) | | 兰o k = 1 ( 1 2 1 ) f 1 2 2 ) 其中磙= x d ( 1 l x $ i b k ) 。 显然在定理1 2 中，令t = 1 ，利用函数的单调性即可得到上述结论；在推 论1 - 3 中令b i = i 可得定理1 b 。 推论1 4 ：在推论1 3 中，如果将假设( b ) 和( b ) 用条件 k 1 喜以e 帮一 1 6 攒= 呈望翌! ! ! 釜! ! 蔓些g ：! ! ! ! 堕! 呈熙丕熬照 鼗替，著萎警妒z ) 濂燕骥影( 秘辩，漤麓条黪露氨= o ，k 0 ，粼 整掣誓。警量缎警掣苎嚣。， 证明：幽妒( ) 满足情形( n ) 时 坛1 嘻嬲 翰炉2 瞎燮挈塑l 蛞1 骞壤e 错一 所以，刹用妒( ) 性质脊推论1 3 的( 嚣) 成立，即 铲娄酾栽考犏一 丽蠖当妒( 。) 满趟情彤( 6 ) 时+ 有掩论1 3 静( ) 成立，即 铲宴鬈嚣赢黑一。， 搬骐，琢茸轳t # ，猕彤哆j 、拶j ，褥翻捌难落1 3 ，碰醛褥鞘爨馥瓣藉 t 舀 推论1 5 ：设 j 厶，雄l 是一梦l 獭立的陵祝变量，暇璇 一薹皆茄蚤j - 1 豳器 。， 僦2 娄鼋群誉淼一 ( c ) p ( i x , d l ) 。， n = i ，霎蠢e 鞘斋 0 秘嚣8 ：u ( x ) 2 8 怒紧懿； ( 2 ) z ：珏( 茹) = l 0 。 定义2 1 ：( p u r ia n dr a l e s c u 1l 】) 设：n p ( r ”) 它满足墨) = z 虎“：x ( “) n ) ，存在一个函数x ：q p ( r “) ，使得“u ，z ) ：z 五。( u ) a 嚣，v o o ，1 ，1 3 是印的b o r e l 集，则称雨数x 为模糊随机变量。 叁鼠有了攘戳建援交量数定义，学者懿不凝菝震萁骚究落 黼，f e n g ，h u i n s h u 1 5 1 以及k o r n e r t 6 绦出了萁麓望、方差和协方差意 义，k r a t s c h m e r 9 、k r u s e 1 0 、f e n g 1 3 ，1 4 1 和j o o ，k i m 1 7 等人在其论文中给出了 模糊随机变量的收敛性和极限定理。j o oe t a l 在 3 】中采用了将模糊随机变量嵌入 一1 9 一 第二章独立模糊随机变量的强大数律 到b a n a c h 空间的方法，使得模糊随机变量的收敛性与b a n a c h 空问的收敛性建立了 联系，本章也是采用这种方法。 非空有界集k 兄的支撑函数& 定义为 & ：r “_ r ：。一s u p ( x ，y ) 对任意抽1 ，定义度量：( k r a t s c h e m e r 9 】) 如= ( z 1 蹦n ) ； 邪：f 1 ，l 乳。一。l ，a 严1 如1 ； 、j 0j s n 一1 ， 其中a ：r “一f 0 ，1 】，a 。= 扛兄“：a ( x ) n ) ；a s h - 1 是空间舻单位球中的单 位l e b e s g u e 钡o 度。p ，在空间r ( r “) 是可分的，将其范数记为。 性质2 2 ( k r a t s c h e m e r 9 】) ：( b ( p 。) ，d p ) 、( 吃。( r “) ，伟) 都可分，p v 茎如，且 在磁( 月“) 上具有相同的拓扑。 将岛( o ，1 扩- 1 ) 空间是一个可分b a n a c h 空问，其范数记为| | 怕 由k l e m e n t 8 可知可以将一个等距同构映射嵌入岛( o ，1 s 札- - ) ，也就是 将吃( r ”) 嵌入k ( o ，1 】s ”1 ) ，这样就可以应用b a n a c h 空间的收敛定理。如 果1 p o 。，则岛( o ，1 扩。) 可以称为m i n 2 ，力型可分b a t l a c h 空问。 在上述定义下j o o ，k i ma n dk w o n 等人在f 3 】中有如下定理。 定理2 a ：设 j ，n 1 ) 是一列喙( 舻) 值独立的模糊随机变量， ，n 1 ) 是一列正的常数且0 o 茁o 手型峻世 。 鲁 妒( o n ) 、一 第二章独立挺魏隧撬变量鹣强大数撩 则下列说法是镩价的 f 竖磬 _ 0 ( 积) 一壶墨兰百按度量岛； ( 巍疆壶善n 墨三蚕按度量昂t 在本章中，骥襁数帮是依度量鳓收敛。 2 2 引理及未要结论 为了将模糊随机变甓空间珐( 钟) 嵌入b a c h 空间l ，( 【o ，1 _ 1 ) ，有如下日 理。 引理2 3 ( k l e m e n t ，p u r la n dr a l e s c u 8 ) ：设1 p 。，北) t 1 掣t ，警l ，z 。 ( 2 3 ) 定理2 5 ：设 ，n 1 ) 足一列磁( r “) 一值独立的模糊随机变量， ，n 1 ) 是一列常数，且满足0 ) 因为妒( z ) 肛递增，所以 因茂 _ | 莠班 ： 器，。 s ) 薹e i 睦喜霹，虬 ：垂去喜e 。霹，| | ， 鬟；薹喜掣协a ， ；耋喜警 薹娄紫 ：；壹妻掣 。( 2 ，) s 鲁刍妒( ) ”“ 三彤旦石 智 第二章独立模糊随机变量的强大数律 又由( 2 6 ) 、( 2 7 ) 式知 因此 所以 o 三剥 8 t l 丛塑：! 罂邕一。 鲁 妒( ) 。 善驾ks 去喜瑚霉= 妾喜冽，。霹b 手丛掣! 攀迪+ o + 一j ，一妒( n 。) ” 捌 所以，由定理2 5 中的假设( i ) 和上式可以得 下面证明 矧善n 箕i l s ) 一2 4 0 摊 夥 。献 隅叫 。m。试。 目 e g 一，一一 第二章独立模糊随机变量的强大数律 当薹去e m 吾誓k e | | ；箕k 1 ! 砉砉嚣阑 s 三g vf n = l i = i 志妒( 冽x 。f ”) 吉三墨志e ( 删嗍) 兰砉薹善丽1 莒p ( i l x ；l l 坤) ) 歹l 刍o o 三n 蕊i e ( 删吲) s ) 壶薹彘霪泪喜鬟k e l 蓦霹4 曼i c q 薹磊1 ( 喜露ij 弼眨) 3 + 壹i = 1e i i 弼哪 一鲁薹( 素砉e 惮5 + 鲁薹轰砉f i i x t l 二， 对2 g 式蘸部分裙分鬻考虑。 一2 5 蔓三薹鍪奎堡鳖鏊坚奎重墼堡查鍪鎏 对( 2 9 ) 式后部分，有 耋麦娄露惮眨s 薹娄志妒( e 忱 茎圣善志酬弼n = l ；= l7 、”， 7 圣1 萋1 志酬墨n ；i = 、“， 7 s 嘉；志e ( 妒，) 。一鲁鲁妒( 。n ) | | 7 耋睦剽xt船2，-、11 。 ( 砉塞j 2 n 粼t e 端 ” 墨( 妻n = lg 铡i = 1 霹盼) 嚣 兰( 妻n = l ( 砉n 酗i = i 眺矿 由假设( 2 5 ) 式秘慰的假设 薹( 喜掣) 8 。，扭 所以 ( 墨( 去副砌? 惫 o 。 所以综合对( 2 9 ) 式前、后部分的证明，商 鲁耋( 去娄e 惮缈5 + 鲁霎壶喜e 悼眨 o 可知 所以 o f i i 。一e l i & i t 脚1 2s4 e i 五l 乙 霎( 娄掣) 5 o 耋娄警 。， 薹( 娄掣) 3 0 ，则下列四萃申说法等价 ( 疆划j a 。，o ； 。i = l ( i i ) 妻墨。风生试 ( i i i ) 墨。a 。骂试 ( i v ) 芝墨；a 。三百。 i = 1 推论2 7 ：设 ，1si n ，竹1 ) 是行砣。( 月n ) 值独立的缀列， ，n l 是 一常数硼，虽0 f ，稿醋数( 。) 满是( 2 - 3 试，簸竣 耋宴掣掣 。n 拦l = l r ”“， 薹( 娄掣) 8 0 、1 r 2 ，则下到靼移巍法等捡 2 8 第二章独立模糊随机变量的强大数律 ( i ) e l l 五圳，o 。+ o ； = 1 n 门 ( 她墨。i n 。与o ； 4 = l ( i i i ) 妻。o 。骂试 i = i n d ( i v ) 。二0 。 证明： 设群产。x ( ip x o 。忆a n ) 、戳= 川l 矗她n 。) 。在蜀。、弼t p , f i ev 下分别证明四种说法是等价的。 情形一：即x 基的情形下证明( i ) = ( i i ) a 因为 所以，可得 薹去e 喜残忆= 产n = l 三a r 。e | | 善nc j 。碟，忆 圭e 戳峙 圣志善烈e i i j 。戳8 力 蚤志善e ( 妒i i j 。碟) 2 蚤1 志善1 e ( 训磁忱) o 。n 2 。，t 2 从而由定理2 5 有 碟n 。三石 残。兰百 第二章独立模糊随机变量的强大数律 因此得到 所以伺【1 j 寺【1 i j = ( 1 l l j j 【1 v j a 下面在戳的情形下证明( i v ) 辛( i ) 。 因为( i v ) 成立，所以 e 目l 善n 碟一i 1 圳喜碟忆，卜瓦善n 驯碟i t r ，r 。 由假设 薹( 喜半) 5 。o 知 薹喜学 o 。， 耋1 喜1 铿半 。n = i = t x ( i v ) 式成立，即 妻i = 1 扣n 1 1 却r ) 一。， 圳善n 戳忆一去e l i 善n 碟忆三。 三f n 。三西 8 n 管 0 1 0 纠 x 。m 第二章独立模糊随机变量的强大数律 所以 从而 得到 蠢魏 碟三否 t l 剖毫戳k 三。 圳喜碟k 一。 去e | | 砉碟k 一。 即当碟= 弱删兰) 时，( 蜮立a 所以在= 删忆2n 。) 时 遥静收敛方式怒等偷静。 谤形二：帮j ；一溉翊 ? | | 昂s8 。) 静嫠澎下涯窝稚谂2 。7 瓣结论成立。 因为 掰以 又因为 鼍t = t 刚墨。s 。) e 妒( i i 爱。f l 邱) 量e 妒( ir x d l m ) 耋( 喜半) 8 霎( 喜华) 3 第二章独立模糊随机变量的强大数律 所以由推论2 6 可知 子n = lf i = 1 到墨a 二监1 0 ，使得u u 时有 g ；张d 筌v p ，芦1u 妒l u j ( 2 10 ) 推论2 8 ：设k 一+ o 。且h z + ， 墨“，1 i 曼h ，n l 是行硪( 舻) 一独立 的组列， n 确1 i ，n 1 是- - 常数组列，且，翼野i o l 一0 、函数妒( z ) 满