（计算数学专业论文）二元插值问题唯一可解性的推广.pdf

辽宁师范大学硕士研究生学位论文 摘要 本文对t r 。l a g r a n g e 插值的唯一可解性问题进行了深入的探讨与研究，并把二元 l a g r a n g e 插值问题转化为代数几何问题，从而搞清了二元l a g r a n g e 插值问题的唯一可 解性及其几何构造。为进一步构造二元l a g r a n g e 插值提供了基本理论依据。并通过对n 次g c 条件与添加直线法的成立条件的对比，初步搞清了其间的内部关系。进而研究了 沿平面上的代数曲线进行l a g r a n g e 插值的理论，并给出了沿平面代数曲线的一个唯一可 解插值结点的构造形式。得出了g r a m e r 奇论的追加条件。从而得到一个点组与沿平面 代数曲线的唯一可解插值结点组一并构造出沿平面代数曲线的唯一可解结点组的一般 性方法。进一步得到了一些具有较强实用性质的推论。 通过引进g r o e b n e r 基与日一基的基本概念，提出来沿平面代数曲线进行二元 h e r m i t e 插值的基本理论。得到了在实数域与实平面上构造平面代数曲线的唯一可解插 值结点组的一般性构造方法。给出沿平面代数曲线的一个唯一可解h e r m i t e 插值泛函组 的构造形式。从而基本搞清了二元唯一可解h e r m i t e 插值泛函组的基本特征及其几何构 造。所得到的结论与方法，完整的解决了沿平面代数曲线唯一可解插值泛函组的构造问 题。深入讨论了插值空间维数与插值结点组及其在结点处的方向导数的阶数之间的关系 问题。以文献 3 】中的定理为例，探讨了单位圆周上奇数个等距结点组及其在结点处的 方向导数与被插值空间的维数关系。从而得到构造一般性的沿平面代数曲线的唯一可解 h e r m i t e 插值泛函组的方法，便于计算机自助实现的一般性构造方法一递归构造法。 把文中所得到的一些理论结果推广到文献 3 】中所得到的主要理论中去。使其间的内在 关系更加明晰。 关键词：唯一可解，代数曲线，插值泛函组，l a g r a n g e 插值，h e r m i t e 插值 二元插值问题唯可解性的推广 t h ee x t e n s i o no fu n i s o l v e n to ft w ov a r i a t e si n t e r p o l a t i o n a b s t r a c t t h e t w ov a r i a t e sl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o no fap r o p e r l yp o s e ds e to fn o d e si ss t u d i e dd e e p l y i nt h ep a p e r a n dt r a n s f o r m st h et w ov a r i a t e sl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o ni n ma l g e b r a i cg e o m e t r y p r o b l e m t h e nw ec a l lu n d e r s t a n dt h eg e o m e t r i cc o n s t r u c t i o na n dt h ep r o p e r t yp o s e ds e to f n o d e so ft h et w ov a r i a t e sl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n f u r t h e r m o r e ，i tp r o v i d eb a s i ct h e o r e t i c a l f o u n d a t i o nf o rap o r o p e r t yp o s e ds e to ft w ov a r i a t v sl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n b yc o n t r a s tt h e e s t a b l i s h m e n to fc o n d i t i o n sng r a d e dg - cc o n d i t i o na n da t t e n d i n gs t r a i g h t - l i n em e t h o d p r e l i m i n a r y , w ek n o wt h e i ri n t e rs e tr e l a t i o n s h i p a n dw es t u d i e dt h et h e o r i e sa l o n gt h e t w o - p l a c ea l g e b r a i co u l n eo fl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n t h e nw eg i v et h ec o n s t r u c t i o nf o r ma l o n g t h et w op l a c ea l g e b r a i ce u i v eo fap r o p e r t yp o s e ds e to fn o d e s g e tt h ea d d i t i o n a lc o n d i t i o no f g l a t n e rp a r a d o ) 【i a a n dg e tt h eg e n e r a lm e t h o do fas e to fn o d e sa n dap r o p e r t yp o s e ds e to f n o d e sa l o n gt h ea l g e b r a i cc u i v et oc r e a tan e ws e to fn o d e sw h i c hi s p r o p e r t yp o s e d f u i t h e r m o r e ，g e ts o m ep r a c t i c a lm a t u i eo fc o r o l l a r i e s o nt h eb a s i co fg r o e b n e rb a s i sa n dh - b a s i sc o n c e p t ，p r o p o s et h eb a s i st h e o r i e sw h i c h a l o n gt h et w op l a c ea l g e b r a t ec u i v eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o na n d eg e tt h eg e n e r a lc o n s t r u c t i o n m e t h o do fap r o p e r t yp o s e ds e to fh e r m i t ei n t e r p o l a t i o nl y a p u n o va l o n gt h et w o - p l a c e a l g e b r a i cc u r v e a n dt h e nb a s i c a l l yd e s c r i b e dt h eb a s i cf e a t u r ea n dg e o m e t r ys t r u c t u r eo fa p r o p e r t yp o s e d s e to ft w ov a r i a t e sh e r m i t e i n t e r p o l a t i o n t h e c o n c l u s i o na n d m e t h o d s c o m p l e t er e s o l u t i o no ft h es t r u c t u r ep r o b l e mt h a ta l o n gt h et w op l a c ea l g e b r a i c e u i v eo fap r o p e r t ys e t i nd e e p l y , w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ei n t e r p o l a t i o ns p a c e d i m e n s i o na n dt h ei n t e r p o l a t i o nn o d e sw i t ht h ed i r e c t i o n a ld e r i v a t i v eo ft h ei n t e r p o l a t i o n n o d e s f o re x a m p l e ，i nt h el i t e r a t u r e 3 ，d i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eo d dn u m b e r s a l o n gt h eu n i q u ec i r c l ea n dt h ed i r e c t i o n a ld i r e c t i o n a ld e r i v a t i v eo ft h ei n t e r p l a t i o nn o d e sw i t h t h ei n t e r p o l a t i o ns p a c ed i m e n s i o n e x t e n dt h eg e n e r a lc o n s t r u c t i o nm e t h o dt h eo fap r o p e r l y s e to fn o d e st h a ta l o n gt h et w oa l g e b r a i cc u l n eo fh e r m i t ei n t e r p o l a t i o n e x t e n dt h em a i n t h e o r i e so ft h el i t e r a t u r et ot h el i t e r a t u r e 3 】t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e mb em o r ec l e a r k e yw o r d s ：u n i s o l v e n t ；a l g e b r a i cc u r v e ；s e to ff u m c f i o n a l si n t e r p o l a t i o n ；l a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n i i 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t ，】：】 引言1i亩上 ll a g r a n g e 插值唯一可解性3 1 1 插值问题的提法3 1 2 二元l a g r a n g e 插值的唯一可解性3 1 3 定理的证明1 2 2 二元h e r m i t e 插值的唯一可解性的推广1 4 2 1g r o e b n e r 基与日一基1 4 2 2 二元h e r m i t e 问题1 6 2 3 定理引理证明2 3 3 结语2 7 参考文献2 8 攻读硕士学位期间发表学术论文情况3 0 致谢：3 1 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 引言 插值问题作为计算数学的一个分支，在实际生活中有着广泛的应用。当把生活中的 某一特定对象抽象出来，并用数学中的函数来表示时，我们经常会发现，以光线为例。 在物理学中，我们经常用直线来描述光的行进路线。但由物理学的知识可知，光仅在不 受到磁场影响的真空环境下其行进路线才是直线。在通常情况下，光线是受到空气，太 阳以及地球磁场影响的。因而一般人认为用直线代表光的行进路线的方法。在物理学上， 其实是一种比较接近的描述。而人们会用这种方式来描述光线的行进路线的理由主要 是，首先，直线描述起来比较简单，描述光的行进是很难做到精准的。其次，用直线描 述光的行进路线有很强的精准性，用非常复杂的函数来描述在实际应用中的意义不大。 由此可见，当已知某一研究对象可由某一类型的函数表示，或已知次函数的某些测量值 时，如何应用数学中以后的理论知识最大限度的准确的描述这一函数呢? 进一步，若要 求其在某些给定的测量点处与预先给定的测量值相等。那么这样的问题便是所要描述的 插值问题。 在数学中，很多复杂的函数用数学公式来解释是一个艰难的过程。若在此基础上还 要求对这些函数进行微分，积分，则只能采用数值的方法了。也就是用简单的函数或多 元多项式来近似的描述这些复杂的函数。 插值问题是一个古老的学问，目前对于一元多项式的插值已经有着相对很完整的理 论而与一元插值的情形相比，二元切除差值问题更加复杂二元切触插值问题在计算数 学中占有重要的地位二元多项式在多维空间中表现出更为复杂的性质由此在进行二元 多项式插值时，当插值结点数等于插值空间的维数时，其插值多项式的唯一性也未必得 到保证。因此在研究二元多项式插值问题时，插值的唯一性是首先要解决的问题。 插值多项式的优点是其插值格式整齐并且规范。而l a g r a n g e 插值的缺点是其不具有 承袭性。当增加节点时，需要从新计算所有的插值基函数。 与l a g r a n g e 插值相比，多元多项式的h e r m i t e 插值是更具现实意义与应用价值的。 多元多项式的h e r m i t e 插值就是给定插值结点的同时并在某些插值结点处要求方向导矢 的方向。对一个多元函数，构造出一个在这些结点处逼近这一多元函数的多元多项式。 关于h e r m i t e 插值的唯一可解泛函组是目前计算数学科学界比较重视的研究课题。国内 外关于多元h e r m i t e 插值的唯一可解性问题的研究主要集中在如下两个方面： 第一，对给定的h e r m i t e 插值泛函组，寻找唯一可解的插值多项式空间。 第二，对给定的插值空间，寻找唯一可解h e r m i t e 插值泛函组。 二元插值问题唯一可解性的推广 2 0 0 6 年崔利宏教授在其发表的博士后论文中对第二方面的问题进行了深入的探讨， m g a s c a t s a u e r 等人对问题的第一方面进行了深入的研究。 插值问题在临摹，仿制，考古的古生物复原等众多问题中发挥了无法取代的作用， 人们一颗通过临摹，仿制对象的一些测量值来对其研究，从而得到模型。 本文则主要是上述问题的一个具体分支。本文共分三章。第一章主要介绍了二元 l a g r a n g e 插值的一些主要理论，并在其所得到的主要理论上得到推论。将所得到的结果 加以证明。第二章首先介绍了g r o e b n e r 基，与日一基的概念，及二元h e r m i t e 插值的主 要结论，将所得到的结论推广到文献 3 】的主要结果上去。从而基本搞清了二元h e r m i 纪插 值的基本特征及其几何构造。第三章为结语。 2 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 1 l a g r a n g e 插值唯一可解性 1 1 插值问题的提法 在s 维欧式空间c s 中，所有次数不大于刀的s 元代数多项式的集合表示为：i g o 。) ， 令z = q ，q ：，q 。 是c s 的有界闭区域c 中的互不相同的点组成的点组厂是以维欧 式空间c s 中墨元连续函数，a ，p 2 ，以是定义在有界闭区域c 中的线性无关的s 元代数 多项式若对v q ，q ，z ，有： p ( q ，) = a ( q ，) + 见( q ，) + + 见( q ，) ( 1 1 ) 且多项式p 满足条件： ( d o ，) 7 ( p 一厂) 口，= 0 i = 1 ，2 ，靠，= 0 , 1 ，z ( 1 2 ) 多元多项式插值问题就是在有界区域c 中，寻找一个多项式p ，使得p 在给定的点 集z = q ，q ：，q 。) 的任何点处的值都与连续函数厂在这一点的值相等这样便称所求 的的多项式多为函数厂的插值多项式，而连续函数厂称为被插值函数 r ( q 。) = ( q ，) 一p ，) ，r ( q ，) 称为插值余项其为解决插值问题时所得的插值误差 点集z = 坦，q ：，q 。) 称为插值结点，若对任意给定的连续函数厂，方程( 1 1 ) ， ( 1 2 ) 总存在唯一一组解，则称点集z 是空间庀2 的唯一可解插值结点组当对点集中的任 一点q ；有直到的方向导矢时，且对任给的连续函数厂，方程( 1 1 ) ，( 1 2 ) 总存在唯一 一组解，则称点集z 是空间万2 的唯一可解插值结点组 由a ，p 2 ，p 。这刀个线性无关的多元多项式所支成的空间记为石，万称为插值空间 当我们只要求多元多项式p 与被插值函数厂在结点处的函数值相等时，那么这样的 插值问题称为l a g r a n g e 插值问题。 而为了更好的使插值多项式与被插函数接近，有更好的拟合性。在要求在结点处取得 相同值的同时，进一步要求在插值结点处有相同的直到阶的方向导矢，那么这样的插 值问题称为h e r m i t e 插值问题 1 2 二元l a g r a n g e 插值的唯一可解性 在研究多元多项式插值问题时，我们首先关注的问题是插值的唯一可解性问题也就 是我们首先要知道具有什么样性质的插值结点组能够做成关于插值空间的唯一可解插 值结点组 3 二元插值问题唯一可解性的推广 梁学章教授在1 9 6 5 年发表的文献【4 】中得到了构造l a g r a n g e 唯一可解插值结点组 的添加直线法这个重要理论的建立，把插值问题转化为了代数几何问题使插值问题更 加直观，同时也可把代数几何上的重要结论应用在插值问题上来 下面我们仅在实平面与实数域上考虑问题，则我们以下所讨论的问题都基于二元空 间 令p o ，y ) = 0 ；p ( x ，y ) 万表示平面上所有次数以的代数曲线 关于代数曲线的交点个数问题，有如下著名的b e z o u t 定理： 定理1 1 若k 次代数曲线a o ，y ) 与z 次代数曲线p d x ，y ) 的交点个数多于k ，则一 定有次数不超于k ，z 的非零多项式q ( x ，y ) 存在，使得： a g ，y ) = q ( x ，y ) r l ( x ，y ) 见 ，y ) = q o ，y ) r 2 ，力 其中吒( x ，y ) ，吃o ，y ) 的次数分别小于m ，以的实系数多项式，并且有，i ( x ，y ) 2 ， r 2 ( x ，y ) 2 在b e z o u t 定理基础上，我们有如下重要引理： 基本引理1 2 q ) 二是万的唯一可解插值结点组的充要条件是：qgp ( x ，y ) ，其中 p ( 工，y ) t z 基本引理1 2 将插值问题转化为一个代数几何问题，这使得我们利用代数几何方法 得到添加直线法与添加弧线法构造唯一可解插值结点组成为可能 定理1 3 若 q ) 笔是砰的唯一可解插值结点组， q ) ：k 耐上的任意点都不在某条 u = 1 ，2 ) 次不可约代数曲线q ( x ，y ) = 0 上，则在该曲线上任取( 疗+ 3 ) ，一1 个不同的点，其 与 q 盘一起必定构成2 “的一个唯一可解插值结点组 根据定理1 3 可以得到构造唯一可解插值结点组的添加直线法( ，= 1 ) 以及添加弧形 曲线法u = 2 ) 添加直线法的选点规则是： 第0 步：在平面上任选一点q d 作为硝2 的结点 第1 步：在平面上做一条不过点幺的直线，在上选取( 1 + 3 ) x 2 - 1 = 7 个点，作为新 增结点 第1 1 步：在平面上做一条不通过以上所选结点的直线t ，在乙上选取 “万一1 ) + 3 ) x l l = n + 1 个点作为新增结点 4 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 当第n 步完成时，将以上所选取的点作成结点组，用乙表示并称这种类型的结点 组为疗次直线型结点组 定理1 4 乙是万2 的唯一可解插值结点组 类似的当z = 2 时，我们可以得出构造唯一可解插值结点组的添加弧线法 第0 步：在平面上任选一点蜴作为万的结点 第1 步：在平面上做一条不过点q 的二次质曲线，在上选取( 2 ( 1 1 ) + 3 ) x 2 - 1 = 5 个 点，作为新增结点 第1 1 步：在平面上做一条不通过以上所选结点的二次质曲线乙，在乞上选取 ( 2 ( 靠一1 ) + 3 + 1 ) x 2 1 = 4 n + 1 个点作为新增结点 当第1 1 步完成时，将以上所选取的点作成结点组，用z 2 。表示并称这种类型的结点 组为2 刀次弧线型结点组 定理1 5 乞。是万2 的唯一可解插值结点组 定理1 5 以及定理1 4 我们可以合并起来，交叉使用，共同构造唯一可解插值结点 组 。 例： 第0 步q 是横轴以外的平面上的任意一点 第l 步不过点蜴在横轴上任取两点q ，q 作为新增结点，则不在同一直线上的三点 q ，q 1 ，q 2 构成空间硝2 的唯一可解插值结点组且 q ) 二构成直线型结点组 第2 步不过 q i ) 乙做一个椭圆，在其上任取( 1 + 3 ) x 2 - 1 = 7 个点，与 q ) 乙作成万芝的 唯一可解弧线形插值结点组 第n 步做一个与以上椭圆没有公共交点的椭圆，在其上选取 ( 2 一1 ) + 3 + 1 ) 2 1 = 4 n + 3 个点与以上的点一起作成空间刀：篇的唯一可解弧线形插值 结点组 如图所示： 5 二元插值问题唯一可解性的推广 1 ， j 、兮 、l 昭 q e 一， 蓦点组 中的其他都在这三条相异直线上 由此可见，用添加直线法得到的关于万之的唯一可解插值结点组未必满足甩次g c 条件 在注记1 7 中，若一个点集z 满足栉次g c 条件，q z 中点的个数为 k = o + 1 ) ( 以+ 2 ) 2 ，根据g c 条件中( 口) 点q z 不在，l 条相异直线上由p ) 有点集z 中 的除q 之外的其他点都在这咒条相异直线上由( 口) p ) 可推导出( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 - 1 个点位 于1 i 条相异直线上由此必存在直线己，其上有n + 1 个相异结点在点集z 中的除乙上的结 点之外另有栉0 + i ) 2 个点，这些点仍满足刀一1 次 = 聊= 1 ，2 ，刀) 条件则必存在直线 。其中包含r 1 个相异结点，依此做下去得到满足以次g c 条件的点集z 可以做成r t 次直 线型结点组即其可由添加直线法得到 前面所讲述的都是在实数域或实平面上的唯一可解插值结点组的几何构造，当我们 沿弧形曲线插值时，先在平面上选取任意一点q ：f ，然后每增加一个弧形曲线便增加 4 k + i ， = 1 ，2 ，刀) 个点，然后所有选取的点z 2 。，做成疗2 的唯一可解插值结点组。 而对于任何k = 聊，1 历刀而言，在第m 个二次质曲线上所取的4 m + 1 个点是否也构成 沿二次曲线在空间万2 上的唯一可解插值几点组那? 在以上我们讲述的是利用添加直线与添加弧形曲线的方法构造在二维实数域与实 平面上构造唯一可解插值结点组。那么同样的问题，同样在二维实数域与实平面上，对 于其上的代数曲线上的点，具有什么样性质的点组可以构成唯一可解插值结点组? 定义1 8 设q ( x ，y ) = 0 为复平面上的z 次无重复分量代数曲线， q ) 乌是曲线上的 七：f 以：2 1 一n - - ，l + 2 1 个互不相同的点，对任意多项式p ， p 砰若对 二 二 p ( q ) = 0o = 1 ，2 ，七) 则在代数曲线q ( x ，y ) = 0 上有p ( x ，y ) t - 0 则称点集 q ) 乞。是沿，次 无重复分量代数曲线q ( x ，) ，) = 0 的1 1 次唯一可解插值结点组 8 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 那么由定义1 8 ，以上的问题就得以进一步说明，由于是二次代数曲线，所以这里 ，= 2 ，当k = m ，1 m 露，在二次代数曲线上取点个数为4 m + 1 个，而这4 m + 1 个点构 成沿二次代数曲线的唯一可解插值结点组2 ：2 ) - ( 2 研j 2 卜+ 1 在定义1 8 中，二元多项式p 并不一定是唯一的 定理1 9 设q ( x ，y ) = 0 为复平面上的j 次无重复分量代数曲线， q ( x ，) ，) = 吼o ，y ) 9 2 ，力一q 。( x ，y ) 其中q i ( x ，y ) ，i = l ，2 ，珊为互不相同的次数为己次 的代数多项式q + 乞+ + 乙- t ) 在每一个五次的代数多项式上任取万+ 1 个相异点，然后 再适当的去掉这些点中的k = ( z 2 3 1 ) 2 + m 个点，则余下的点便构成沿代数曲线 q ( x ，y ) = 0 的万次唯一可解插值结点组 这里若代数曲线q ( x ，y ) = 0 为不可约多项式，即在定理1 9 的基础上，当m = 1 时我 们可以得到定理1 1 0 定理1 1 0 设q ( x ，y ) = 0 为二元，次不可约代数曲线，则在q ( x ，y ) = 0 上任取村+ 1 个 相异点，然后再适当的去掉这些点中的k = u 2 3 1 ) 2 + 1 个点，则余下的点便构成沿代数 曲线q ( x ，y ) = 0 的，1 次唯一可解插值结点组 注记1 1 1 设q ( x ，y ) = 0 为二元，次不可约代数曲线，p ( x ，y ) = 0 为二元刀次代数曲 线，q ( x ，y ) = o 与p ( x ，y ) = 0 相交于以z 个相异点，若存在玎次代数曲线通过其中 刀，一“2 3 1 ) 2 1 个点，则必定也通过剩余的a 2 3 1 ) 2 + 1 个点 在这里当z 取2 时，即当存在代数曲线是2 刀一( 2 2 3 2 ) = 2 n + 1 次时，他们相交于2 以 个点，而其沿二次代数曲线的唯一可解插值结点组的个数为2 万一( 2 2 3 x 2 ) = 2 n + 1 故由 b e z o u t 定理，必存在代数曲线，伍y ) 2 2 使得：p ( x ，) ，) = q ( x ，y ) r ( x ，y ) ， 由此可得必存在行次代数曲线过2 雅个点 而当z 取以时，我们就得到了g r a m e r 奇论：若在复平面上两条行次代数曲线交于刀2 个不同点，则任何刀次代数曲线，若通过其中的n ( n + 3 ) 2 一1 个相异点，必通过剩下的 ( n - 1 ) ( n - 2 ) 2 个结点 例：p = 厶乞毛q = 啊- m 2 鸭r n 4 如图所示： 9 二元插值问题唯一可解性的推广 如图1 4 由上图可知4 次代数曲线v ( x ，y ) = 0 与4 次代数曲线q ( x ，y ) = o 相交于1 6 个点，则对 4 次代数曲线h ( x ，y ) = m ：r n 3 厶其通过 q ) 毛，k = 4 x ( 4 + 3 ) 2 - 1 = 1 3 个结点但4 次 代数曲线h ( x ，y ) = 0 ，不通过q 1 。，q l ，q l 。这些余下的点 因此，对g r a m e r 奇论需追加条件：剩下的( 栉一1 ) o 一2 ) 2 个结点，不在同一直线上 则对任何”次代数曲线，假如通过刀0 + 3 ) 2 1 个结点，则必通过( 以一1 ) 0 2 ) 2 个结点 下面给出构造的唯一可解插值结点组的添加沿代数曲线的唯一可解插值结点组 法 定理1 1 2 设z 是拜的唯一可解插值结点组，k = ( 靠+ 1 ) + 2 ) 2 ，次无重复分量 代数曲线q ( x ，y ) = 0 ，z 中的任何点都不在其上，任取沿代数q ( x ，y ) = 0 的n + 1 次唯一可 解插值结点组b ，则b o z 必是万三，的唯一可解插值结点组 例：如图所示 一 如图1 5 1 0 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 在实平面上任取不在同一条直线上的三点q l ，幺，g ，由前面的知识可知，这三点构 成了砰的唯一可解插值结点组二次代数曲线q ( x ，y ) = x 2 + y 2 - 1 = o ，在q ( x ，y ) = 0 上任 取( 2 + 1 ) 2 一( 4 2 3 ) 2 = 7 个点，q i ，q 5 ，幺，q 7 ，q ，珐，q 。则这1 0 个点 q 蓦构成平面上 砰的唯一可解插值结点组 定理1 1 3 若z 次二元代数曲线g 伍力= 0 与二元二次代数曲线p ( x ，y ) = o 恰相交于 z = q 瑶个点，b 正2 ( g ) 为沿2 次二元代数曲线q ( x , y ) = o 的唯一可解插值结点组 ( 刀1 - 2 ) 并且z n 曰= 妒，贝有z o s 正：。( g ) 例：q ( x ，y ) = o 是一个三次代数曲线，其与二次代数曲线相交于6 个相异结点 如图所示： 如图1 6 当，- - - - 3 ，n = 0 时，在三次代数曲线q ( x ，y ) = 0 上取三点奶，q 2 ，q 3 ，则有 且= q ) 墨2 ( g ) 当z = 3 ，靠= 1 时，三次代数曲线q ( x ，y ) = o 与二元二次代数曲线p ( x ，y ) = o 相交于 3 x2 = 6 个相异点，这里且e i ( 2 ) ( g ) ，则有岛= q ) 乙u 骂盟。( g ) 即忍巧2 ( g ) 根据定 理1 1 3 当z = 3 ，刀= 2 时，三次代数曲线q ( x ，y ) = 0 与二元二次代数曲线p ( x ，y ) = 0 相交于 3 x 2 = 6 个相异点，这里垦霹2 ( g ) ，则有忍= q ) 蓦。u 岛瑾：+ 。( g ) 即岛2 ( g ) 根据 定理1 1 3 二元插值问题唯一可解性的推广 根据定理1 1 2 ，硝2 的唯一可解插值结点组z 的个数为k = ( 2 + 1 ) ( 2 + 2 ) 2 = 6 ，点集 岛为沿3 次代数曲线的2 + 3 次唯一可解插值结点组，并且z n 岛= 矿，则我们有 z u s , 2 1 3 定理的证明 定理1 5 的证明 由插值结点组的定义可知z 2 。 f ( 一2 ) 的插值结点组往证z 2 。是唯一可解的插值结点 组 当刀= 0 时显然任意一点q l ，- j - 以做成万名的唯一可解插值结点组下面假设当刀= k 时，则点集z 2 七可以做成i t 2 2 k 的唯一可解插值结点组用反正法证明，当甩= k + l 时，若 z 2 ( m ) 不是( 榭) 的唯一可解插值结点组，则根据基本引理1 2 ， 必存在多项式p ，p 庀2 ( m ) 使得： p ( x ，y ) - - a o o + c z l o x + a o l y + + 乞( 七“) ，o x 2 圳+ + 口o ，2 ( 删y 2 删= o 在第n + l 步，所添加的弧形曲线乙+ 。的方程为： q ( x ，力= b o o + 岛o x + b 0 1 ) ，+ 岛l 砂+ 石2 + k y 2 = 0 由于- q ( x ，y ) = 0 是所添加的弧形曲线，故6 l ，k ，k 不全为零，且需在弧形曲线。上 选取4 ( 七+ 1 ) + 1 个点，而这4 ( 七+ 1 ) + 1 个点也必通过多元多项式p ( x ，y ) = 0 ，也即乞+ 1 与 p ( x ，y ) = 0 有4 ( 七+ 1 ) + 1 个交点根据b e z o u t 定理，必存在多项式a o ，y ) = o 使得： p ( x ，y ) = q ( x ，y ) a 0 ，y ) 这里p 1 ( x ，y ) 万婴，由弧形曲线的选点规则二次代数曲线g ，y ) = o 不过前面所选取 的所有点，则a ( x ，y ) 必通过结点组z 2 。，这与基本引理1 2 ，z 2 膏不在a ( x ，y ) 上矛盾。 因此当栉= k + l 时，z 2 ( 州) 是万2 ( 埘) 的唯一可解插值结点组 定理得证 定理1 9 的证明 沿无重复分量代数曲线q ( x ，y ) = 0 上取点，所取点数为k = m ( n l ，+ 1 ) = n l + m ， 当去掉其中的，= 去u 2 3 1 ) + m 个点后，其所余点数为： 七一，= 万z l ( 1 - 3 l ，= ( 刀主2 ) 一( 万一三+ 2 ) 1 2 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 这样所余点数恰与沿z 次代数曲线q ( x ，y ) = o 的唯一可解插值结点数相等 设p ( x ，y ) 砖2 是方程 p ( q ) = 0 i = 1 ，2 ，k ( 1 3 ) 的解则n 次多项式p o ，y ) = o 必与乞次代数曲线吼o ，y ) = o 的交点数必不少于其所选点 数n t + 1 根据b e z o u t 定理，存在多项式( x ，y ) e 石n 倥- 、i 使得： p ，力= 吼“少) ，；以少) ( 1 4 ) 同理，级“力= o 的代数曲线有m 个，且都与p o ，) ，) = 0 交于万2 ：f + 1 个交点则存在 ，伍y ) 础使得： p o ，y ) = 吼 ，y ) ( x ，力r ( x ，y ) = q ( x ，y ) r ( x ，y ) ( 1 5 ) 若p ，y ) = 0 能表示成( 1 5 ) 式，则必能用( 1 3 ) 式表示 1 设e o ，y ) ，互o ，y ) 是砖2 的一个最大线性无关组，则有f = 去 + 1 ) ( 靠+ 2 ) 设 二 1 f ( x ，夕) ，e ( x ，y ) 是一n 2 - l 的一个最大线性无关组，则有口= 妄( 刀一，+ 1 ) ( 玎- l + 2 ) 由( 1 5 ) 于 二 式与( 1 3 ) 等价t a 则当且仅当a 个线性无关的多项式 a o ，y ) = q ( x ，j ，) 互o ，y ) f = 1 ，a 过k 个点，则( 1 5 ) 有式的系数矩阵【e ，( q ) 】，o = l ，k ；j = 1 ，t ) 的秩数为 f 一口= n l 一去( ，2 3 1 ) 则必存在一个t 一口阶的非奇异的子矩阵其所涉及的t - a 个点即做 上 成了沿q ( x ，y ) = 0 的捍次唯一可解插值结点组 二元插值问题唯可解性的推广 2 二元h e r m i t e 插值的唯一可解性的推广 2 1g r o e b n e r 基与日一基 为了更好的研究h e r m i t e 插值问题的需要，我们将引进g r o e b n e r 基以及日一基的概 念 定义2 1 令，是一个k 五，毛】中的非零理想 0 ) 定义l t ( i ) 是理想，的领项，使得：l t ( i ) = c x 口：在f ，；l t ( f ) = “口) ( 6 ) 定义( r u ) ) 是一个由l t ( i ) 生成的理想 我们给定一个由有限元生成的理想i ，= ( 石，z ) ，则( l t ( a ) ，上丁) ) 与 ( 三丁) 代表的可能是不同的理想三r ) 三r u ) c 仁r u ) ) 在定义上是正确的也保证 了( r u ) ，r ) ) c ( 三丁u ) ) 的正确性然而( 丁u ) ) 可以是更广泛的理想 例：令，= ( 石，五) ，这里石= 少3 2 砂，厶= x y 2 - 2 x 2 + y 用g r l e x 序定义k x ，y 】中的所有单项式，则 y ( 砂2 2 x 2 + y ) 一x ( y 3 2 砂) = 少2 则有y 2 = l t ( y 2 ) ( 工r u ) ) ，y 2e i 然而y 2 不能被丁) = ) ，3 亦或l t ( a ) = x y 2 因此有： y 2 茌( l t ( a ) ，三r ) ) 注记2 2 令ic k 【五，毛】是一个理想 ( a ) ( l t ( i ) ) 是一个单项式理想 p ) 存在侦，z ei 使得( l r u ) ) = 仁z ) ，工r 瓴) ) 定义2 3g r o e b n e r 基确定一个单项式序，理想i c 足 毛，毛】是一个非零理想， g = 9 1 ，& ) 是理想，中的非零多项式的有限集合，若 ( 三r ( ，) ) = ( 三r ( g 。) ，三丁( & ) ) 则称g = g l ，& ) 是理想，的g r o e b n e r 基 类似的，我们可以有，若一个多项式集合g = g l ，岛) c i 是理想，的g r o e b n e r 基， 当且仅当理想，中所有元素的所有元素的领项都可以被丁( ) 所整除 1 4 命题2 6 令g = g l ，& ) 是理想，k 【而，吒 的g r o e b n e r 基，并且令 f k x a ，毛】则存在唯一的，研五，毛】使得： ( 口) 不存在厂项可以被l t ( g ) ，l t ( g , ) 所整除； ( 6 ) 存在g ，使得f = g + r 特别的，无论g 中的任意项在应用除法时，项是厂被g 所除所得余项 推论2 7 令g = 9 1 ，岛) 是理想，k h ，毛】的c r r o e b n e r 基，f 研j c l ，毛】则 厂，的充要条件是被g 所除的余项为零 定义2 8 设石，z k 五，】，并且有d e g ) = ，理想，= ( 石，z ) 若对于任 意多项式p ，n 彬且p 0 ，总存在多项式a ，以k 五，矗】使得：p = a z ，“且 i - - 1 d e | 酞a ) + ( + 1 ) t f = 1 ，s 则称多项式集合 石，z ) 是关于_ ，阶理想，的强日一基 定义2 9 设f l g e9 z 研五，毛】，并且有d e g ( f ) = l ，理想i = ( 石，z ) 若对于任 意多项式p j n 矿r p 0 ，总存在多项式p l ，只k h ，x 。】使得： p = p 。 l j r 七p l h 七p t f ；+ p 帆l 帆七七ps l 并且有d e g ( 只) + u + 1 ) t ，i = l g j9 j 则称多项式集合“，z ) 是关于j 阶理想j 的一 个偏厂强日一基 二元插值问题唯可解性的推广 2 2 二元h e r m i t e 问题 在尺2 中，我们发现其切触插值问题与沿平面上的代数曲线的切触问题有着紧密的 联系，对于沿平面上代数曲线的切触插值问题的提法如下： 令乃= 囝是个一空集，互= n 。) j t 彤，忙j j = 1 ，i = 1 ，2 ，磅，k = l , 2 ，3 ，r = u 乏 定义k 阶方向导数如下： 圾2d f l d f 2 2 毒毒毒 令q ，是r 中的t + 1 个相异点，并且，1 1 。鸭是自然数且满足如下条件： 喜= ( 珂4 j - j ) 假孝4 ，4 。呜c r 是r 的有限个子集，使得：c a r d ( 4 ) = 他。f = 。，1 f 考虑如下s 元h e r m i t e 插值问题： 给定一个实数集 锯o r i2 【a i i = o ，1 ，母 ( 2 2 ) 去寻找一个多项式p 程 ，使得： 砚( 9 ) p = f ( i ，2 【a l 。i = o ，1 ，t ( 2 3 ) 满足( 2 3 ) 式的多项式p 被称之为h e r m i t e 插值多项式，而集合 z = 慨( q ) i 缓a l ，i = o ，1 ，t ) 被称之为关于砖的一个h e r m i t e 插值泛函组用 = q ，q l ，q 表示插值结点组，并_ r b 。= 岛( q ) i 巍a ) 表示结点q 处的插值泛函 组 平面上一条1 次无重复分量的代数曲线记为q ( x ，y ) = 0 ，与该曲线上任意一点有直到 阶方向导矢的全次数押的二元多项式空间记为程2 【g u ) 】，则有 叫栅纠，= 旧h 七y 2 设_ ，为非负整数，l 为正整数，有： 巳( p +