（运筹学与控制论专业论文）λ1时无线脉冲序列的若干结果.pdf

声明 本人郑重声明：本论文的所有研究工作都是在导师指导下，由本 人独立完成，论文中所引用的已知结论均已列在参考文献中特 别，未经作者本人许可，任何擅自更改，抄袭或剽窃本论文之内 容的行为，都将承担相应的学术和法律责任 摘要 摘要 无线脉冲序列首先是由c h u 和c 0 1 b o n r n 在f 5 】里面提出的无线脉 冲序列的提出是为了研究带有非调制跳时机制的超宽带无线射频序列或 信号的同时，应用于无线通信中的超宽带系统近来也渐渐地成为了一个 十分重要的研究领域如果想要对此方面的相关知识有更多的了解，可以 参考文献【6 】，【7 】和【8 到目前为止，无线脉冲序列的研究结果主要来源于 5 此篇文章给 出了无线脉冲序列的具体定义，此序列存在的充分必要条件，所满足的一 个上界，同时给出了一些特殊阶数下无线脉冲序列的直接构造和递归构 造 令c 是一个由( 0 ，1 ) 序列所组成的集合，如果这个集合中的序列均具 有良好的自相关性和互相关性，这个( o ，1 ) 序列集合便是我们所熟知的光 正交码而我们在本篇文章中的研究对象无线脉冲序列，其与光正交码之 间有着十分密切的联系它们的区别仅仅在于，无线脉冲比光正交码需要 多满足一个条件，那便是脉冲位置性质通过它们的定义，我们显然可以 得到这样一个结论，一个无线脉冲序列便是一类特殊的光正交码因而， 在对无线脉冲序列进行研究的过程中，我们可以利用一些在对光正交码 进行研究时所使用的研究方法，以及到目前为止对光正交码进行研究已 得到的一些结果 对于一个无线脉冲序列c 而言，确定其上界以及给出此序列的直接 构造问题是区组设计理论中的一个研究课题其中上界是指对一个无线 脉冲序列c 而言其容量的最大可能值在这篇文章中，我们将首先通过 无线脉冲序列和光正交码的关系，以及光正交码与循环填充之间的关系 摘要 建立起无线脉 申序列与循环填充之问的关系然后，我仃丁将对所产生的不 同类的差分别求和，对所产生的差的和进行估计，最终给出 = 1 时无线 脉冲序列的上界对于a = 1 ，= 3 时无线脉冲序列的直接构造，我们 同样是利用无线脉冲序列和循环填充之问的关系，然后利用l a n g f o r d 序 列来构造满足条件的循环填充，从而给出( m ，3 ，1 ) 一i r s 的直接构造， 本文论述了我在硕士期间的主要工作，其中包括给出当a = l 时无 线脉冲序列的新的上界。以及给出当a = l ，七= 3 时无线脉冲序列的直 接构造其中，a = l 时无线脉冲序列的新的上界我们将分为k 为奇数 和为偶数两种情况分别在第二章和第三章中进行讨论 全文共分四章，本文中所用的主要符号将在第一章中给出详细说明， 并列出文中所用的基本弓i 理 第一章，综述了无线脉冲序列的研究背景，并给出了无线脉冲序列的 具体定义以及当前领域的研究成果同时，给出了无线脉冲序列和光正交 码之间的关系，另外，在第一章的第二节中，我们给出了与确定无线脉冲 序列上界并给出其直接构造相关的基本方法，以及与之相关的引理 第二章，主要讨论并给出了当七为奇数，a = 1 时无线脉冲序列的 上界光正交码的上界由j o h n s o n 于1 9 6 2 年给出，由于无线脉；申序列是 一类特殊的光正交码，因而无线脉冲序列也满足j o h n s o n 界但不幸的 是，对于无线脉冲序列而言这个上界并不够紧，也就是说其并不是总能达 到这个上界，在本章中我们将首先建立无线脉冲序列与循环填充之间的 关系，然后对所产生的不同类的差求和，对其进行讨论，从而给出当为 奇数，a = 1 时无线脉冲序列的一个新的上界 第三章主要讨论并给出了当为偶数，a = l 时无线脉冲序列的 上界本章讨论过程中所用的方法与第二章所用的方法基本类似，也是首 2 摘要 先建立无线脉冲序列与循环填充之间的关系，然后对所产生的不同类别 的差求和，再对其进行讨论，从而给出当为偶数，a = l 时无线脉冲 序列的新的上界但是在对不同类别的差的所产生的和进行讨论过程有 所不同 第四章，主要给出a = 1 ，= 3 时无线脉冲序列的直接构造在给出 此构造的过程中，我们仍借助无线脉冲序列与循环填充之间的关系而由 于本章讨论的是a = 1 ，= 3 的情况，我们利用l a n f o r d 序列来构造满 足条件的差三元组，最终给出无线脉冲序列的直接构造 在本文的附录一中，我们列出了当m 3 3 时最优的( m ，3 ，1 ) 一i r s 的 具体构造这些阶数的最优的( m ，3 ，1 ) 一i r s 的找到是借助了计算机的辅 助，通过编写程序从而碍到的 序列 关键词区组设计；无线脉冲序列；光正交码；循环填充；l a n f o r d 3 a b s t r a c t i m p u l s er 矾i os e q u e n c e sw e r ef i r s ti n t r o d u c e db yc h ua n dc o l b o u r n i nf 5 1 t h i sc l a s so f8 e q u e n c e sw e r ef o r m u l a t e dt os t u d ys e q u e n c eo rs 谵n a l d e s i g nf o ru l t r a - w i d e b a n dr a d i ow i t hu n m o d u l a t e dt i m e - h o p p i n g u w b s v s t e m sf o rw i r e l e s sc o m m u i c a t i o nh a v er e c e n t l yb e c o m ea ni m p o r t a n t a r e ao fr e s e a r c h f b ri n o r ei n 如n n a t i o no nu w b ，蛆l er e a d e ri sr e f e r r e dt o 【6 】 7 l 和【8 】 u n t i l ln o w ，t h er e s u l to f i m p u l s er a d i os e q u e n c e si sm a i n l yf r o m 【5 1 i nt h a ta r t i c l e ，t h e 叭t h o rg a et h ed e 6 n i t i o ni m p u i s er a d i o8 e q u e n c e s 、 m e a n w h i l e ，h eg a v et h ed i r e c ta n dr e c u r s i v ec o n s t r u c t i o n so fs e v e r a lg i v e n o r d e r s a no p t i c “o r t h o g o n “c o d e si saf a 融i l yo f ( o ，1 ) 8 e q u e n c e 8w i t h9 0 0 d a u t o a n dc r o s 8 _ c o r r e l a t i o np r o p e r t i e s t h ei m p u l s er a d i os e q u e n c e sh a s c l o s er e l a t i o l l s h i pw i t ho p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e s t h eo n l yd i 丘毡r e n c eb e t w e e ni m p u l s er a d i o8 e q u e n c e sa n do p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e sw h i c h w ew i l l d i s c u s si nt h i st h e s i s ，i st h a ti m p u l s er a d i os e q u e n c e s8 h o u l ds a t i s 旬a n o t h e rp r o p e r t yc a l l e dp u l s ep o s i t i o n o b v i o u s l y li m p u l 8 er a d i os e q u e n c e s i sas p e c i a lc l a s so fo p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e s t h e r e f o r e ，w h e nw es t u d y t h ei m p u l s er a d i os e q u e n c e s ，w ec a nu s et h em e t h o dw h e n 骶s t u d y e d o p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e s ，a n dt h er e s u l t so fo p t i c a lo r t h 0 9 0 n 出c o d e s g i 、r i 工l gt h eu p p e rb o u n da n d t h ed i r e c tc o s t r u c t i o no f i m p u l s er a d i o s e q u e n c e si sat o p i co fc o m b i n a t o r yd e s i g n u p p e rb o u n d i st h em a x i m a l 鱼型茧墅生一5 p o s s i b l en u m b e ro fs e q u e n c e si na n ( m ，七，a 。，a c ) 一i r s i nt h i st h e s i e ，w eu s e t h er d a t i o n s h i pb e t w e e ni m p u l s er a d i os e q u e n c e sa n do p t i c a lo r t h o g o n a l c o d e s ，a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eo p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e 8a n dc y c l l c p a c k i n gt oi m p r o v et h eu p p e rb o u n df o ri m p u l s er a d i o8 e q u e n c e s s a m e l y ， w eu s el a n f o r ds e q u e n c e sg i v e st h ec o n s t r u c t i o no fc y c l i cp a c l 【i n g t h e n ， t h ed i r e c tc o n s t r u c t i o no fi m p u l s er a d i os e q u e n c e sw i t ha = 1 ，南= 3i s g i v e n i nt h i st h e s i s ，w ew i up r e s e n tan e wu p p e rb o u n df o rt h i sc l a s so f s e q u e n c e sw i t ha = 1 ，a n dg i v es o m ed i r e c tc o n s t r u c t i o n so fi m p u l s er a d i o s e q u e n c e sw i t ha = 1a n d 七= 3 w bw i l lp r e s e n tt h en e wu p p e rb o u n d f o ri m p u l s er a d i os e ( 1 u e n c e sw i t ha=li nt w oc a s e s ： 七i se v e na n d 南 i sn d d t h e s et w oc a s e sw md i s c u s s e di nc h a p t e r 七w o 甜mc h a p t e rt h r e e s e p e r a t e l 矿 t h e r ea r ef o u rc 1 1 a p t e r si nt h et h e s i s ： t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do fi m p u l s er a d i os e q u e n c e s ， t h ed e f i n i t i o na n dt h er e s e a r c hr e s u l t i nt h es e c o n ds e c t i o n o fc h a p t e rl ，w ew mp r e s e n tt h eb a s i cm e t h o do fg i v i n gt h eu p p e rb o u n d a n dd i r c e tc o 璐t r u c t i o no fi m p u l s er a d i os e q u e n c e s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ew i l lp r e s e n tau p p e rb o u n df o ri m p u l s er a d i o s e q u e n c e sw h e n 七i so d d t h eu p p e rb o u n df o ro p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e s w a s 缶s ti n t r o d u c e db yj o h r 啪ni n1 9 6 2 s i n c ei m p u l s er a d i os e q u e n c e si sa c l a s so fo p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e ，i ts a t i s f i e st h ej o h n s o nb o u n d h o w e v e r i ti sn o tt i g h te n g o u h i nt h i st h e s i sw ew i ui v e s t i g a t et h en e wu p p e r 丛匹纽l 一6 b o u n df o ri m p u l s er a d i os e q u e n c e s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ew i l lp r e s e n tan e wu p p e rb o u n df o ri m p u l s e r a d i os e q u e n o e sw h e n 七i se v e n t h ea r g u m e n t sa r es i m i l a rt ot h a to ft h e d 1 8 p e rt w o i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ew i l lg i v es o m ed i r e c tc o n s t r u c t i o l l 8o fi m p u l s er a d i os e q u e n c e s w i t ha = 1 a n d 南= 3 k e y w o r d sc o m b i n a t o r i 址d e 8 i g n s ；i m p u l s er a d i 0s e q u e n c e s ；0 p t i e a l o r t h o g o n 出c o d e ；c y c l i cp a c h n g ；l a n f o r ds e q u e n c e s 第一章绪论 1 1 研究背景 无线脉冲序列是由c l - u 和c 0 1 b o u r n 首先提出的( 5 这类序列的提 出是为了研究带有非调制跳时机制的超宽带无线射频序列或信号的与 此同时，应用于无线通信中的超宽带系统近来也渐渐地成为了一个十分 重要的研究领域如果想要对此方面的相关知识有更多的了解，可以参考 文献 6 ，【7 和【8 】 为了清楚的给出无线脉冲序列的定义，我们首先介绍支撑这样一个 概念令x = ( z o ，z l ，z 。一1 ) 是一个n 维( 0 ，1 ) 向量此向量x 在磊 上的支撑为5 “p p ( x ) = iz 。= 1 有了这个定义下面我们便给出无 线脉冲序列的具体定义： 定义1 1 1 一个( m ，t ，k ， 。) 无线脉冲序列( i r s ) c 就是一个由长为m 权重为的( o ，1 ) 序列所组成集合，并且该序列集合满足如下三条条件： l 脉冲位置性质：对于任意x = 孔 ：舅1 c ，x 的支撑可以表示成 s t 啦巾( x ) = o ；+ 4 仇：i 缸，n l z m 2自相关性 o ( m o d 打n ) ， 3 互相关性； 对于任意x = z 。) ! 舅1 c 以及任意整数t ，z k m 一1 霸z l + f a 。 2 = 0 对于任意x = z 。) 一1 c ，y = 弘) 旨1 c 其中 x y 以及任意整数 x y 以及任意整数t 7 c 一 玑 z 一! 1 在上述定义中，下标是在模m 的情况下进行运算的其中，当a 。= k = a 时，我们一般将( m ，k ，a 。，a 。) 一i r s 简写为( m ，自，入) 一i r s 下面我们 给出两个无线脉冲序列的例子： 例子1 1 2 此处分别给出一个( 5 ，3 ，1 ) 一i r s 和一个( 7 ，3 ，1 ) 一i r s 的例子 1 一个具有两个序列的( 5 ，3 ，1 ) 一i r s o o 0 0 11 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 一个具有两个序列的( 7 ，3 ，1 ) 一i r s 0 0 0 0 0 0 l o l 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 从无线脉冲序列的定义可以看出，其与到目前为止已经有了一些研 究与结果的光正交码之间有着密切的联系下面便给出光正交码的具体 定义，其定义与只是无线脉冲序列的定义相比只是少了一条脉冲位置性 质，以及在参数的表示形式上有所差别而已 定义1 1 3 一个( u ，a 。，a 。) 光正交码( o o c ) c 是一个由长度为 ，权 重为七的( o ，1 ) 序列所组成的集合，并且这个序列集合满足如下两个条 件： 1 自相关性：对于任意x = 孔) 盘c 以及任意整数， 0 ( m o d ) ， 础州兰a 。 t = 0 2 互相关性：对于任意x = 鼢) 寄c ，y = 玑) 寄c 其中 x y 以及任意整数t ， 毛玑+ 兰a 。 第一章绪论9 与在无线脉冲序列的定义中一样，在上面定义中的下标也是在模” 的情况下进行运算的同样当a 。= a 。= a 时，我们一般将( ，七，九，入。) 一 o o c 简写为( ，七，a ) 一0 0 c 下面的引理描述了i r s s 与o o c s 之间的密 切关系，其是本文后面给出( m ，七，1 ) 一i r s 上界以及给出( m ，3 ，1 ) 一i r s 直 接构造的基础 引理1 1 4 一个( m ，七，a 。，a 。) 一m s 是一个( 女m ，而，a 。，a 。) d d d 证明：这可以根据i r s s 和o o c s 的定义得出 r i r s s 的表示形式有很多种，除了在上面定义中所采用的的( 0 ，1 ) 序 列以外，还有一些其他更易理解的表示形式比如，在很多研究光正交码 的文章中所用的集合的表示形式等 1 2 】在这篇文章，我们为了处理脉冲 位置性质而用如下定义中的一个七维向量来表示( m ，七，1 ) 一i r s 中的一个 序列 令c 是一个( m ，k ，1 ) 一i r s ，其包含6 个序列并且x = ( 珈，z 1 ，茹k 一1 ) c 是其中的一个( o ，1 ) 序列 x 的支撑可以表示成如下的形式： s “p p ( x ) = o 驴，o + m ，o 篁1 + ( 岛一1 ) m ) 我们表示x 为磊。上的一个七维向量，即 x = ( n 铲，( x + m ，n 艘1 + ( 七一1 ) m ) ，其中n 5 。) 对于z 磊 对于一个( m ，a 。，a 。) 无线脉冲序列c 而言。我们定义其所包含序 列的个数为此序列的容量，并且此容量的最大可能值用西( m ，k ，a 。) 来 表示一个( m ，七，a 。，a 。) 一i r s 如果包含中( m ，k ，a 。) 个序列则称其为最 优然而，由于很难确定西( m ，女，k ，a 。) 的准确值，我们更关心圣( m ，后，k ，a 。) 所能达到的上界和在给出i r s s 和0 0 c s 的定义时一样，当a 。= 九= a 时， 垂( m ，a 。，a 。) 可以被简写为垂( m ，k ，a ) 第一章绪论 本文的工作包括讨论a = l 时无线脉冲序列的上界，即确定圣( m ，岛，a ) 的最大可能值以及七= 3 ，a = 1 时无线脉冲序列的直接构造 1 2 已知结果 l o 在这一节中，我将简单介绍关于本文讨论的问题的已知结果，以及后 面章节进行讨论时所需的基本引理 c h u 和c o l b o u m 在f 5 给出了i r s s 的定义之后，对其进行了一定 的讨论给出了下面的定理，此定理的提出给出了无线脉冲序列存在的充分 必要条件与此同时， 5 】还给出了一些特殊阶数的i r s s 的直接构造和 递归构造 定理1 2 1 令c 是z 。上的忌维向量的集合，则c 构成一个( m ，七，1 ) 一旭s 的充要条件是：对于任意x = ( 咖，n l ，k 一1 ) c 以及y = ( o ，口1 ，k 一1 ) c ，对于任意9 其中os9 茎m l ，以及任意d 其中d 0 冬d k 一1 ，如果 9 在! y 中出现1 次，而一m + g 在嚣1 中出现2 次，a i jt 1 + t 2 茎a ， 其中如果x = y 则a = a 。d 0 = l ，如果x y 则a = a 。d o = 0 其中， ：，= 6 。e n 。：i z k ， d 0 = 0 + t 。= ：+ 6 m n ：i z k ) 对于任意两个给定的向量z = ( 如，0 1 ，n 女一1 ) 以及掣= ( 6 0 ，6 - ，k 1 ) 在对光正交码进行研究时，得到了光正交码满足下面定理给出的上 界由于此上界是由j o h n s o n 于1 9 6 2 年提出的，所以一般称这个上界为 j o h n s o n 界而引理1 1 4 的提出，保证了无线脉冲序列是一类特殊的光 正交码，因此圣( m ，七，a ) 也满足j o h l l s o n 界 第一章绪论 定理1 2 2p o h n s o n 界) w 电等l 学l 等j j j j j 定理1 2 2 给出无线脉冲序列的上界，显然，例1 1 2 中给出的( 5 ，3 ，1 ) 一 i r s 满足j o h n s o n 界，其是最优的；而( 7 ，3 ，1 ) i r s 并不满足j o h n s o n 界， 其不是最优的 由引理1 1 4 保证了无线脉冲序列满足j o h n s o n 界，但在对无线脉冲 序列进行研究的时候发现其并不是总能达到对定理1 2 2 所给出的上界 为了对定理1 2 2 所给出的上界进行改进，以及在后面给出( m ，3 ，1 ) i r s 的直接构造，我们需要介绍一些组合构型就像c h u n g ，s a l e h i 和w 越在 ( 12 j 中所指出并由f 两i h a r 8 和m i a o 在f i3 j 里面证赐的那样，光正交码 和一种被称为循环填充的组合构型有着密切的联系( c p ) 引理11 4 显示 了无线脉冲序列与光正交码之间的密切关系，从而可以看出无线脉冲序列 和循环填充之间也有很密切的关系 根据 1 】，我们用( u ，k ，1 ) 一c p 来表示一个 阶，区组长为七以及a = l 的循环填充，并且其区组轨道均包含口个区组一个( u ，七，1 ) 一c p 可以 被看成是一个由七一子集组成区组集b = b ，b 2 ，鼠) ，其中夙= p 。l ，6 。2 ，晚女) ，1 兰ist ，使得b 中的差，( 8 ) = 趣j 一魄。：l i t ，j s ，1 工s k ，填充每个非零元最多一次，8 的差剩余用己( 日) 来 表示，其是一个由磊上所有未被b 所产生的差填充的非零整数所组成 的集合 根据【1 3 l 我们可以得出如下0 0 c 8 和c p s 之间基本的等价关系 引理1 2 3 令c 是一个( ，k ，1 ) 一o o c 则 s 叩p ( x ) ：x c ) 构成一个 ( u ，七，1 ) c p 上述引理以及引理1 1 4 是后面章节中对a = 1 时i r s s 上界的讨 第一章绪论 论，以及给出七= 3 ，a = 1 时i r s s 的直接构造的基础本文大部分的讨 论都是在此基础上进行的 1 2 第二章当七为奇数时( m ，七，1 ) 一i r s 的上界 在这一章中，我们将对当盘为奇数时，入= l 时( m ，盘，1 ) 一i r s 的上界 进行讨论此上界的给出是依赖于无线脉冲序列与循环填充之间的关系 因此，在本章中我们将首先建立无线脉冲序列与循环填充之间的关系，然 后对所产生的不同类的差进行讨论，从而给出当为奇数，a = l 时无 线脉冲序列的一个新的上界由于七= 3 的情况和七5 的情况类似，但 是并不完全一样，因而分开进行讨论 2 1( m ，3 ，1 ) 一i r s 的上界 为了使证明过程看起来比较清晰，我们需要定义如下几个记号令a 表示乙 o = l ，2 ，口一1 上的一个子集。定义 a ( 一1 ) ： 一i ：i a ) 令c 是一个( m ，k ，1 ) 一i r s ，对于j = l ，2 ，_ i c 一1 ，定义 b = 8 ：嚣一越埘+ j m ：osi 七一j l ，x c ) 以及s j = 。d ，2 根据引理1 1 4 和1 2 3 ，8 = s 啪( x ) ：x c 构成一个包含吲个基区 组的( u ，1 ) 一c p 显然， ( b ) = u 料( d u d - 1 ) ， i 功1 = 吲( 一j ) ， d j 0 1 ) m + 1 ，( j + 1 ) m 一1 】a ，其中如果七m 是偶数，则a = 七m 2 ) ；否则a = 0 我们用【o ，6 】来标记一个整数集合 z ：o 5s6 ) 根据d j 和s ，的定义，我们可以的得到如下引理 1 3 堑三主兰! 垄童墼堕f ! ! ! ! ! ! ：堡兰堕土墨 1 4 引理2 1 1 令c 是一个( m ，1 ) 一i r s ，则对于j l ，2 ，七一1 ，s j = 乳一j 证明：当j = 女一j 时，s ，= s 一，显然成立所以，不失一般性我们可 以假定j 一j 我们根据马和s ，的定义，则 s ，= ( 端一n 神+ j m ) x e ct = 0 七j lk 一】一1 = n 端一也5 柚+ j ( 一j ) 州c x e ct = 0 x cz = 0 k l 一卜1 = o 一n + j ( 女一j ) m 蚓 x c i = j x ct ：0 + j ( 一j ) m i c s k j j l n + j ( 一j ) m l c x c t = 0 n ；1 + ( 一j ) m ) 1 l 一芝o x + j ( 七一j ) m i c x c l = 0 七一1，一l = n 5 一n p + j ( 七一j ) m | c x c = 七一jx ct = 0 因此，勺= 吼- j 结论得证 口 x n 、一目 咄 一 x n h ：l 删 一 x n h 扣 唧 + x l 口 乎坷 k 哪 x n j 靠咄 | | ：i触 犁 h ! i t | 第二章当为奇数时( m ，1 ) 一己s 的上界 定理2 1 2 l 【 ( m + 、丽丁二甭莉) j ， 如果m 是奇数； 圣( m ，3 ，1 ) il ( m l + 识鬲万= 丽i 干了) j ，如果m 是偶数 证明：令c 是一个( m ，3 ，1 ) 一i r s 根据引理1 1 4 以及12 3 ， s 聊( x ) ： x c 构成一个差剩余为的( 3 m ，3 ，l 卜c p 我们先考虑当m 是奇数的 情况定义集合a 和b l ( i = l ，2 ，3 ) 如下，其中d 。和d 2 的定义和之 前曾提到的定义一样 a l = d l n 1 ，m 1 ， a 2 = d l n 【m + 1 ，( 3 m 一1 ) 2 ， a 3 = d 1 n ( 3 m + 1 ) 2 ，2 m 一1 】， b 1 = d 2 n m + 1 ，( 3 m 1 ) 2 】， b 2 = d 2 n ( 3 m + 1 ) 2 ，2 m 一1 】， 玩= d 2 n 2 m ，3 m 一1 为了给出圣( m ，3 ，1 ) 一i r s 的上界，一个比较有效的方法是对( s 聊( x ) ： x c 所产生的差的和进行估计下面，我们来估计一下集合d l 和d 2 中所有正整数的和定义d ；= a l u a ! 。u 凡，珥= b l u 硝。u 岛以 及l = 三n ( 1 ，m 】u ( 3 m + 1 ) 2 ，2 m 一1 】) 根据( 3 m ，3 ，1 ) 一c p 的定义，我 们可以得到如下等式： d ：u d g - 1 u 工7 = 1 ，m 】u 【( 3 m + 1 ) 2 ，2 m 一1 】( 21 ) 对等式( 2 1 ) 两边集合中的元素分别求和得 ( 2 ，2 ) 1 5 胆 一 j | + m | | 叫 + 讣 一m 叫 + 叫 笪三翌当! 垄童墼堕i 翌! ! ：12 ：望堕塑占墨 1 6 显然， l d ；l = j 三) 2 l = 吲，则等式( 2 2 ) 可以被简写成如下的形式 i 聂卜；嘉i 一三i = 3 m 6 一；( ，m 2 4 m + ) ， ( 。剖 讵d ：拒d ： l l 。 其中6 = 根据d i 和d ；的定义，很容易看出。d i i 2 ；。d 。i = s 1 和 ：e d ：i 。d 。 = s 2 同时，根据引理2 1 1 我们注意到s l = s 2 则， i 一j s 2 一s l = o 迮d ：诓d i ( 2 4 ) 由于l 7 【1 ，m u ( 3 m + 1 ) 2 ，2 m 一1 和l l ，1 = ( 3 m 一1 ) 2 3 6 、我们可 以得到如下等式 驴。“f i ：争扣 ( 2 s ，i i = ；6 2 一；m 6 + ；m 2 一： ( 2 5 ) l l t = 1 。 4。u 将不等式( 2 4 ) 和( 2 5 ) 代入等式( 2 3 ) ，则 ；酽一；仃曲一；m 2 + ；m 一；o 通过对上述关于b 的不等式求解，可以得到6 的一个上界 6 ；( m + 厮再丽可) 因此， 虫( 邮，1 ) 引；( m + 俪瓦丽丽) j - 当m 是偶数时，其证明过程与m 是奇数的情况类似其唯一的区别 在于当m 是偶数的情况，我们并不考虑3 m 2 作为差出现此处不再重 复给出其证明过程 口 ! ! 三章当r 为奇数时( m ，e ，1 ) 一m s 的上界 2 2 忌5 时( m ，七，1 ) 一i r s 的上界 定理2 2 1 如果整数和m 都是奇数，并且七5 ，则 懈，岖i 坐型票李 证明：令c 是一个( m ，七，1 ) 一i r s 其中尼和m 是奇数根据d j 的定义我 们得到功cb 1 ) m + 1 ，0 + 1 ) m 一1 ，其中j = 1 ，2 ，七一1 我们 定义集合b 1 ，b 2 ，g ，g 和5 0 一。，s k 。： b 1 = d 丢n ( 一3 ) m 2 + 1 ，( m 1 ) 2 】， b 2 = d 丢n ( m + 1 ) 2 ，( 自+ 1 ) m 2 】， g l = d 掣n ( 一1 ) m 2 ，( 七m 一1 ) 2 】， c 之= d 掣n ( 女r n + 1 ) 2 ，( 女+ 3 ) m 2 一1 ， 3 草2 湖1 i + 啪i ， s 草2 卸i + 。岛i 根据引理1 1 4 和1 2 3 ， s 聊( x ) ： x c 构成一个差剩余为l 的 ( 尼m ，1 ) 一i r s 令工7 = 工n 【l ，( 七m 一1 ) 2 ，则我们有 ( u 现) u b - u g - ub l - 1 u 晓。u ( ud 5 _ 1 ) u l 7 = 1 ，( m 1 ) 2 ( 2 6 ) 对等式( 2 6 ) 两边集合中的元素进行求和，得 婶静呜郴一半炒s 每+ 篡。盼叫帆，= 似事 其中s = l i 以及6 = l c l 根据引理2 1 _ 1 ，对于j = l ，2 ( 2 7 ) ( 南一1 ) 2 箜三主兰! 垄童墼堕! 竺! ! ! 12 ：堑堕堕占墨 1 8 我们有s ：= s 女一将等式( 2 7 ) 化简并合并同类项得 s 每一s 每+ s = ( 一；七3 m + ；七m ) 。+ ；七2 m 2 一； ( z 8 ) 为了对s 每和s 每给出估计，我们定义2s 譬一s 每，：28 每一 s 字根据8 孚，8 半，5 每和5 每的定义，l 和。可以被表示成如 下形式 1 = ；且：i 一讵岛( 七m i ) = e 。岛( 2 i 一m ) ， 2 = ；c i 叫i e ：g f 卅( 南m i ) = ；。f 叫( 2 i 一惫m ) - 根据1 和2 的定义，1 + 2 = 8 孚一5 孚+ 5 每一s 草并且，根 据引理2 1 - 1 我们注意到s ! = 5 1 竽因此， 1 + 2 = 5 量一5 量( 2 9 ) 由于玩u d 一1 c ( m + 1 ) 2 ，( + 1 ) m 2 】，i b 2 u c i 一1 l ( m + 1 ) 2 则， ( + i ) m 肛1 1 + 2 ( 2 i 一m ) = ( m 2 + 2 m + 1 ) ( 2 1 0 ) l 盅( k m + 1 ) 2 将不等式( 2 1 0 ) 带入( 2 9 ) 得到如下等式 s ! 土一s ! 丝一( m 2 + 2 m + 1 ) ( 2 1 1 ) 224 另一方面，由于l c 【1 ，( 角m 一1 ) 2 l 和i l 1 = ( m 1 ) 2 一女1 ) b 2 ， 则s l 一的一个下界可以表示成如下形式 ft ( i 南4 一i 七3 + ；南2 ) a 2 + ( 一；七3 m + ：七2 m ) a + ：七2 m 2 ； ( 2 1 2 ) 堑三兰当! 查童墼堕f 翌! ! ! ! ! ：! 堕堕土墨 1 9 将不等式( 2 。1 1 ) 和( 2 1 2 ) 代入到等式( 2 ，8 ) 中去，然后对其进行化简则得 到如下不等式 ( k 4 2 3 + 2 ) 6 2 一( 七3 m 一2 女2 m + k m ) 6 2 ( m 2 + 2 m + 1 ) o ，( 2 1 3 ) 对关于6 的不等式( 2 1 3 ) 求解，则可以求得6 的上界 因此 。坚塑坐苌掣型 一 2 舻一2 蝴l 坚堕啄雾堕i 定理2 2 2f 七5 是奇数而m 是偶数，则 蜘，【竺生蕊塑 证明：其证明过程与定理2 2 1 相似 偶数时七m 2 作为差出现， 口 唯一的区别是我们并不考虑当m 是 口 2 3 本章主要结论 根据定理2 1 2 ，2 21 ，我们绘出了为奇数时( m ，南，1 ) 一i r s 的新的 上界其证明过程依赖于i r s s 和0 0 c s 之间的关系，以及o o c s 与 c p s 之闯的关系在附录一中，我们列出了一些最优的( m ，3 ，1 ) 一i r s ，其 的得出是借助于计算机的辅助从附录一我们很容易得到：1 当m = 第二章当 为奇数时( m ，1 ) 一皿s 的上界 2 0 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，1 0 ，1 2 时，最优的( m ，3 ，1 ) 一i r s 所包含的个数可以达到j o h n s o n 界在这种情况下，j o h n s o n 界和定理2 1 2 所给出的上界一样，2 当 m = 9 ，1 l ，1 3 2 8 ，3 0 时，最优的( m ，3 ，1 ) 一i r s 所包含的个数可以达到定 理2 1 2 所给出的上界，但是达不到j o h n s o n 界3 当m = 2 9 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ， 最优的( m ，3 ，1 ) 一i r s 所包含的个数并不能达到定理2 1 2 所给出的上界 其要比定理2 1 2 所给出的上界少一个序列 第三章当足为偶数时( m ，七，1 ) 一i r s 的上界 在这一章中，我们将给出七为偶数，a = l 时无线脉冲序列的一个 上界、此讨论过程与第二章中对为奇数，a = 1 时无线脉冲序列的上 界的讨论类似 3 1 当七为偶数时( m ，七，1 ) 一i r s 的上界 定理3 1 1 如果是偶数，则 画( m ，k ，1 ) 【( 女2 m 2 七m 一2 七+ 4 m ) ( 3 2 南2 + 2 k ) j 证明：令c 是一个( m ，1 ) 一i r s 其中七是偶数根据d j 的定义，我们得 到d jc ( j 1 ) m + l ，0 + 1 ) m l 】( 后m 2 其中j = l ，2 ，七一l ，我 们像如下这样定义集合b 1 ，b 2 和s ： b 1 = d n ( 七2 1 ) m + 1 ，k 仇2 1 ， 岛= d n 啤m 2 + l ，( 七十1 ) m 2 1 】， s ；= 釉l i + 讵口5 _ 1 ) i 根据引理1 1 4 和1 2 3 ， s 聊( x ) ： x c ) 构成一个差剩余是l 的 ( m ，k ，1 ) 一c p 我们定义集合l 7 = l n 【1 ，岛m 2 一l 】，则 ( ud ；) u b ，u 威_ 1 u ( ud ：- 1 ) u = f 1 ，；七m 一1 】 ( 3 ，1 ) z = 1 z = k 2 + l 。 对等式( 3 1 ) 两边求和，得到 篓1 ；+ 釉h 胁h 朴趼= 狰仇_ 1 ) 扣( 3 z ) + s ；+ ( 七一i ) m 6 5 。 + s = ；( ；七仇一1 ) ；奄m ，( 3 2 ) i = 1 。 诗k 2 + 1 。“ 笪三主二生塑堡塑堡堕型! 壁塑壁型塑圭墨2 2 其中s 上，= t l ，t 和6 = j cj - 根据引理2 1 1 ，s 。：& 一：f o ri ： l ，2 ，2 一1 则，等式( 3 2 ) 可以被化简并合并同类项得到 s ；+ s t ，= ( 一；七3 m + ；七2 m ) 。+ ；七2 m 2 一：七m ( 。) 现在我们估计3 ；和5 的界由于b u 日 叫c 【( 七一2 ) m 2 + l ，七m 2 一l 】并且l b