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有理三次样条及空间闭曲线插值问题的研究 摘要 样条函数是曲线曲面设计的一个强有力的工具，作为样条函数和有理逼 近的结合一一有理样条函数，既是有理逼近的重要组成部分，又是多项式样 条的一种自然推广，兼顾了二者的优点，且使用更为灵活，更具一般性近年 来，由于具有局部调控的优点，带参数的有理样条函数，特别是有理三次样 条引起了人们越来越多的关注 本文首先介绍了几种具有线性分母的有理三次样条，包括具有线性分母 的有理三次h e r m i t e 样条、基于函数值的有理三次样条和基于均差商的有理 三次样条，介绍了它们的构造过程、误差估计和导数的逼近情况等在此基础 上，给出了“真正的 具有线性分母的有理三次样条的构造过程，这种有理 三次样条能够自然达到c 2 连续，并对其误差估计进行了分析，给出了相应的 误差估计式 然后在柱面坐标系下对一类空间闭曲线的插值问题进行了研究，通过把 柱面展开的方法，将空间中的插值问题转换成平面中的插值问题，再利用带 参数的具有线性分母的有理三次样条进行插值，最终得到的空间曲线能达到 曲率连续，文中对这种插值方法的误差也进行了分析，数值例子显示插值效 果比较好 关键词：样条函数；曲率连续；误差估计；空间闭曲线；具有线性分母的有理 三次样条 r e s e a r c ho nr a t i o n a lc u b i cs p l i n e s a n di n t e r p o l a t i o no fs p a c ec l o s e dc u r v e s a b s t r a c t s p l i n ef u n c t i o ni sau s e f u la n dp o w e r f u lt o o lf o rd e s i g n i n gac u r v eo rs u r f a c e r a t i o n a ls p l i n ef u n c t i o n ，a st h ec o m b i n a t i o no fs p l i n ef u n c t i o na n dr a t i o n a l a p p r o x i m a t i o n ，i sn o to n l ya ni m p o r t a n tm e a n so fr a t i o n a la p p r o x i m a t i o n , b u ta l s oa n a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fp o l y n o m i a ls p l i n e i ti n t e g r a t e st h e i ra d v a n t a g e s ，a n di sm o r e f l e x i b l ea n dm o r ec o m m o n i nr e c e n ty e a r s , r a t i o n a li n t e r p o l a t i o ns p l i n e sw i t hp a r a m e t e r s , e s p e c i a l l yr a t i o n a lc u b i cs p l i n e s ，h a v er e c e i v e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o nb e c a u s eo fi t s a d v a n t a g ei nl o c a la d j u s t m e n t i nt h i st h e s i s ，s o m er a t i o n a lc u b i cs p l i n e s ，i n c l u d i n gt h e i rc o n s t r u c t i o n ，e r r o r e s t i m a t i o n , a n dt h ea p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e so ft h ed e r i v a t i v e ，e t c ，a r ei n t r o d u c e df i r s t l y , w h i c ha r ec u b i ch e r m i t es p l i n ew i t hl i n e a rd e n o m i n a t o r s ，r a t i o n a lc u b i cs p l i n eb a s e do n f u n c t i o nv a l u e sa n dr a t i o n a lc u b i cs p l i n eb a s e do na v e r a g ed i f f e r e n c eq u o t i e n t b a s e do n t h e s e a t r u e ”r a t i o n a lc u b i cs p l i n ew i t hl i n e a rd e n o m i n a t o r si sc o n s t r u c t e d t t l i sr a t i o n a l c u b i cs p l i n ec a nb ec 2c o n t i n u o u s i t sa p p r o x i m a t i o ne r r o ri sa n a l y z e da n de r r o r e s t i m a t i o ne x p r e s s i o ni sg i v e n a n dt h e n , t h ei n t e r p o l a t i o no fak i n do fs p a c ec l o s e dc u r v e su n d e rc y l i n d r i c a l c o o r d i n a t es y s t e mi ss t u d i e d n 地p o l i c yi st ot r a n s f o r i l lt h ei n t e r p o l a t i o np r o b l e mo f s p a c ec l o s e dc u r v e si n t ot h eo n eo fp l a n ec u r v e sb yr a t i o n a lc u b i cs p l i n ew i t hl i n e a r d e n o m i n a t o r st h r o u g he x p a n d i n gc i r c u l a rc y l i n d r i c a ls u r f a c e ，n l es p a c ec u r v e sf m a l l y o b t a i n e da r es h o w nt ob ec u r v a t u r ec o n t i n u o u s t h ee r r o re s t i m a t i o no ft h i sm e t h o di s a n a l y z e d a n dn u m e r i c a le x a m p l es h o w st h a tt h ee f f e c ti sg o o d k e y w o r d s s p l i n ef u n c t i o n ；c u r v a t u r ec o n t i n u o u s ；e r r o re s t i m a t i o n ；s p a c ec l o s e dc u r v e s ； r a t i o n a lc u b i cs p l i n e 、析t l ll i n e a rd e n o m i n a t o r s 表格及插图清单 表2 1 插值数据1 1 表2 2 控制参数l l 表3 1 插值数据1 5 表3 - 2 控制参数1 5 表4 1 插值数据”2 0 表4 2 控制参数2 0 表5 1 插值数据2 9 表5 2 控制参数2 9 表5 3 被插函数的导数值z 和有理三次样条的导数值啦2 9 表6 1 插值数据点、对应的导数值和控制参数3 4 图2 1 原函数与插值函数图像一1 1 图2 2 误差函数图像”1 2 图3 1 原函数与插值函数图像1 5 图4 1 原函数与插值函数图像”2 l 图4 2 误差函数图像- 2 l 图5 1 原函数与插值函数图像3 0 图5 2 误差函数图像“3 0 图6 1 原函数曲线与逼近曲线3 5 图6 2 逼近误差曲线3 5 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 金照王些太堂 或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 学僦文作者签字：杏潮签字日期洳矿年多月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些态堂 有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借 阅本人授权 金妲王些太堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 名：杰恕飒 签字日期：。矿年f 月7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期： 电话： 邮编： 致谢 三年的时间，或许只是我人生曲线定义域中的一个很小的子区间，却注 定将是我人生曲线发生跳跃的子区间! 回首三年的研究生生活，感慨颇多l 首先，我要衷心的感谢我的导师檀结庆教授，三年来，檀老师严谨的治 学态度、渊博的学识和精益求精的科研精神深深影响着我，无论在学术上还 是思想上，我都受益匪浅正是檀老师不断的鼓励和细致耐心的指导使我顺利 地完成了论文的写作，至此论文完成之际，向檀老师再一次表示深深的敬意 和衷心的感谢! 还要感谢朱功勤教授、朱晓临教授、黄有度教授、林京教授、邬弘毅教 授、苏化明教授、唐烁教授、江平副教授、郭清伟副教授，感谢他们在我学 习阶段的传道，授业，解惑，他们渊博的学识和高尚的师德给我留下了深刻 的印象! 从他们身上所学到的东西会让我受用终生l 感谢我的师兄弟们，他们是张莉、邢燕、刘植、李声锋、谢进、霍星、 彭凯军、李璐、谢成军、刘丽君、李方、方中海、王燕、屠静、张洁、汪飞 等，感谢他们在这两年多来给予我的帮助! 在一起的日子给我留下了许多美 好的回忆! 感谢3 4 班的全体同学，大家相互帮助、共同进步，一起度过了难忘的两年多 的时光! 感谢我的父母在生活上对我的帮助和精神上的支持，让我顺利地完成了 学业! 最后，感谢审阅、评议硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者， 感谢他们在百忙之中给予的批评指正和宝贵意见! 作者：李志明 2 0 0 8 年5 月 1 1c a g d 的发展及现状 第一章绪论 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d ) 是随 着航空、汽车等现代工业的发展与计算机的出现而产生与发展起来的一门新 兴的学科19 7 4 年巴恩希尔( b a r n h i l l ) 与里森弗尔德( r i e s e n f e l d ) 在美国犹他 ( u t a h ) 大学的一次国际会议上第一次使用计算机辅助几何设计这个名词，从此 以几何造型方法为主体的c a g d 开始以一门独立的学科出现该学科由 c o o n s ( 1 9 1 2 一1 9 7 9 ) 、b 6 z i e r ( 1 9 1 0 1 9 9 9 ) 等大师于2 0 世纪6 0 年代奠定理论基础， 主要研究自由曲线曲面的表示方法，在计算机图像系统的环境下对曲面信息 的表示、逼近、分析和综合i l 巧j 许多产品在制作之前都要进行几何曲线与曲面的设计，例如汽车车壳设 计，船体设计和放样，飞机机身、机翼、机舱的设计，服装设计，甚至刀片、 刀架和鞋模的外型设计等，都要考虑到有关曲线与曲面的计算机处理与再生， 及在原有基础上做局部修改的方法和效果 1 9 6 3 年美国波音( b o e i n g ) 飞机公司的弗格森( f e r g u s o n ) 首先提出了将曲线 曲面表示为参数的矢函数方法，从此，曲线曲面的参数化形式成为形状数学 描述的标准形式【6 1 9 6 4 年，美国麻省理工学院( m i t ) 的孔斯( c o o n s ) 发表了 一个具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就可以定义 一块曲面片1 8 】1 9 6 7 年，孔斯( c o o n s ) 进一步推广了他的这一思想，在c a g d 实践中应用广泛的只是它的特殊形式一孔斯双三次曲面片1 9 4 6 年， s c h o e n b e r g 提出了样条函数的概念f 9 j ，这为解决曲线、曲面之间的连接问题 提供了可能，样条函数在构造整体达到某种参数连续阶的曲线曲面时非常方 便，但是它没有局部形状调整的自由度，其形状难以预测1 9 7 1 年，法国雷 诺( r e n a u l t ) 汽车公司的b 6 z i e r 提出了一种由控制多边形定义曲线的新方法， 称为b d z i e r 方法1 1 0 】该方法简单易行，出色地解决了整体形状控制问题，把 曲线曲面设计向前推进了一大步，但仍存在一些不足：当曲线的次数过高时， 计算会很不方便：b 6 z i e r 是整体定义的，曲线的形状受全部控制顶点的影响， 改变其中某一顶点的位置对整条曲线都有影响，因此b 6 z i e r 曲线不具有局部 修改性1 9 7 2 年，d eb o o r 与c o x 分别给出了关于b 一样条的一套标准算法1 ， 1 9 7 4 年，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 又把b 一样条理论应用于形状描述，最终提出 了b 一样条方法该方法继承了b 6 z i e r 方法的几乎一切优点，同时克服了b 6 z i e r 方法存在的一些缺点，较好的解决了曲线的局部修改问题然而在很多工业设 计中经常需要表示圆锥曲线，而无论是b 6 z i e r 曲线还是b 一样条曲线都不能精 确表示它们1 9 7 5 年，美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 在他的博士论文中首次 提出了有理b 一样条方法，它能够精确地表示圆锥曲线后来又由于p i e g l 、 t i l l e r 和f a r i n 等人的工作，使得n u r b s 方法成为曲线曲面描述最广为流行 的数学方法 1 2 - 1 4 j ，以至于国际标准化组织( i s o ) 于1 9 9 1 年颁布了关于工业产 品数据交换的s t e p 国际标准，将n u r b s 方法定为工业产品几何形状的唯一 数学描述方法 许多年来，人们在曲线曲面构造方法上已经取得了辉煌的成果，但人们 并没有满足于现状，仍在继续探索新的造型方法8 0 年代中期以来，相继出 现了自由型变形造型、偏微分方程造型和能量法造型等新技术，并取得了许 多研究成果关于小波技术在曲线曲面造型中的应用，亦正在展开研究 计算机辅助几何设计的研究内容可以分为三部分： a 数学建模，即如何构造、计算几何外形； b 形状分析，包括曲面的奇性分析、凸性分析、基于有限元的曲线曲面 工程可用性分析等； c 形状修正与变形，即在形状分析的基础上修改模型，直至满足设计者 的意图 作为一门新兴的边缘学科，计算机辅助几何设计近年来的发展表现出了 以下方面的显著特征：几何化、代数化( 离散化) 、图形化和应用的广泛化 从6 0 年代起，计算几何的产生以及最初的应用，主要围绕着航空、造船、汽 车三大工业部门的几何外形设计之后，计算几何向着各个部门的辅助设计和 辅助制造方面发展，现在，c a g d 与应用逼近、微分几何、代数几何、线性 代数、数值分析、拓扑学、微分方程、分形小波等近代数学各个分支以及计 算机图形学、几何造型、数据结构、程序语言、机械加工、外形检测、三维 医学图像学、人体解剖学等学科的交叉与渗透越来越多地体现出它对当今社 会生活的影响和价值 1 2 本文的研究背景 有理函数逼近是非线性逼近研究领域的一个重要分支，因为有理函数属 于简单函数类，它比多项式复杂，但用它近似表示函数时，却比多项式灵活， 更能反映函数的一些特性例如，对于具有极点的函数，即( x ) 在某点而附近 无界，厂( z 1 趋于某一定值时，采用多项式作为逼近工具是不太合适的而采用 多项式的推广一一有理函数作为逼近工具是很有效的，它不但可以在极点附 近取得很好的逼近效果，而且又能保证x 专o o 时有理逼近函数趋于某一定值 的性能所以近三十年来人们在数值逼近、函数近似表示以及c a g d 中更偏爱 2 有理函数作为样条函数和有理逼近的结合一一有理样条函数，既是有理函数 逼近的重要组成部分，同时又是多项式样条的一种自然推广，兼顾了二者的 优点，且使用更为灵活，更具一般性 经过许多学者的努力，有理样条的理论得到了很大的发展，构造出了许 多类型的有理插值样条，得到了很好的结果1 9 7 3 年，s c h a b a e k 通过非线性方 程组的解构造了( 2 2 ) 型有理样条【l5 1 ，并讨论了它的存在性、唯一性及收敛性 随后，王仁宏和吴顺唐构造了几种具有线性结构的有理插值样条格式及几个 特殊类型的有理样条，还讨论了它们的解析性质【l6 。朱功勤、檀结庆等则主要 在多元有理插值样条方面取得了一系列的结果，并将许多零碎的东西得以总 结、归纳、深化【i7 j 传统的有理插值样条函数一个不足之处是它的唯一性，即在不改变插值 数据的情况下，对插值曲线做局部的调整或者修改是不可能的，这不利于实 际中的应用，于是怎样在给定的插值数据不变的前提下去调整插值曲线的形 状成为一个极具现实意义的问题基于这种需要，在样条函数中加入参数以达 到形状调控的目的成为人们感兴趣的一个方向，近年来，不少学者已经研究 了很多类型的带参数的有理插值样条函数，特别是三次有理插值样条( 这里的 三次有理插值样条函数指分子为三次的有理插值样条函数) 1 9 - 3 6 】【3 9 1 m s a r f r a z 构造了分母为三次和二次的参数有理样条，并研究了它们在保形方面 的一些性质【1 9 。2 0 1 在国内，段奇等人构造了带有参数的分母为线性的有理三次 h e r m i t e 样条【2 4 】和基于函数值的带参数的有理三次样条【2 5 1 ，对这两种样条的 误差都进行了分析，还进一步分析了有理三次h e r m i t e 样条的一阶导数和二 阶导数的误差，并研究了它们形状控制中的应用( 2 l j 【4 们段奇通过对几种有理三 次样条函数逼近情况的分析，发现分母为线性的有理三次样条的逼近误差稳 定，这有利于实际的运用1 3 引李世龙、张云峰构造了基于算术均差商的有理三 次样条，并对其误差和导数的逼近情况都做了分析1 2 3 j 2 6 】 由于构造过程中需要被插函数在节点处的导数值，而导数值在实际的应 用中有时是很难获得的，因此分母为线性的有理三次h e r m i t e 样条在实际的 应用中就受到了限制，并且插值样条要想达到c 2 连续，其参数必须满足一定 的条件，这无形中也削弱了参数的调控作用在被插函数节点处的导数值未知 的情况下，基于函数值的有理三次样条和基于算术均差商的有理三次样条都 是采用了某种算法来代替被插函数导数值，但这也需要更多的插值数据点， 而且这两种插值样条要达到c 2 连续，其参数也必须满足一定的条件基于此， 本文研究了“真正的 具有线性分母的有理三次样条，类似于多项式样条， 这种有理三次样条通过解三对角方程组获得被插函数的导数值，能够达到c 2 连续而不以牺牲参数的调控作用为代价，重点分析了其逼近性质，并给出了 误差估计式然后，对一类空间闭曲线的插值问题进行了研究，通过把柱面展 3 开的方法，将空间中的插值问题转换成平面中的插值问题，再利用具有线性 分母的有理三次样条进行插值，使最终得到的空间插值曲线能够达到曲率连 续，并给出了误差估计和数值例子 本文的安排如下： 第一章首先回顾了c a g d 的发展及现状，对有理插值与样条函数进行了简 单的介绍，给出了本文的研究背景 第二章介绍了带参数的具有线性分母的有理三次h e r m i t e 样条，包括其构 造过程，误差估计，其一阶导数、二阶导数的逼近性质，最后给出 了数值例子 第三章介绍了基于函数值的有理三次样条，及其有关性质，给出了数值例 子 第四章介绍了基于均差商的有理三次样条函数，详细介绍了基于算术均差 商的有理三次样条函数，并介绍了其他两种均差商的算法 第五章给出了带参数的有理三次样条的构造过程，并重点对其误差估计进 行了研究，数值例子显示逼近效果良好 第六章对一类空间闭曲线的插值问题进行了研究，通过把柱面展开的方法， 将空间中的插值问题转换成平面中的插值问题，再利用带形状参数 的具有线性分母的有理三次样条进行插值，并给出了误差估计和数 值例子 第七章总结与展望 4 第二章带参数的有理三次h e r m i t e 样条函数 2 1带参数的分母为线性的有理三次h e r m i t e 样条函数 段奇在文献 2 4 1 、【2 7 】中构造了一种分母为线性的有理三次h e r m i t e 样条 函数，具体构造过程如下： 设 ( ，z ) ，i = o ，1 ，疗 是给定的一组数据点，其中z = 厂( ) ，t o r l 是节点区间，如果被插函数厂( r ) 在节点处的一阶导数值 4 ，i = o ，1 ，甩 也给定 了，则定义c1 连续的分段有理三次h e r m i t e 样条函数如下： 删蚶鬻小o ，1 ，n ( 2 1 1 ) p ，( t ) = c t , f j ( 1 一口) 3 + k ( 1 一目) 2 秒+ 形( 1 一e ) e 2 + 层厶。0 3 ， q j ( r ) = 口，( 1 一目) + p , o ， 口= ( t - t j ) h ， 吩= + l 一， 其中 巧= ( 2 q + 届) z + z 吩， 形= ( + 2 层) z + 。一尼4 + 。羁， 嘭，层是正的调控参数 容易验证，日( f ) 满足： 日( t ) = z ，h ) = 4 ， i - - 0 ，1 ，刀 显然，当呸= 届时，日( ，) 就是标准的三次h e r m i t e 插值函数 2 2误差分析 段奇等对带参数的分母为线性的有理三次h e r m i t e 样条函数进行了误差 分析，当被插函数f ( t ) c 3k ，乙】时，文献 3 6 】和【3 3 】利用p e a n o - k e r n e l 定理 研究了在子区间n ，j + 】上有理三次h e r m i t e 样条函数的误差，给出了如下定 5 理： 定理2 2 1 3 3 1 若( ，) c 3 t o ，厶】，且日( f ) 是【，+ 。】上由式( 2 1 1 ) 定义的 关于被插函数s ( t ) 的有理三次h e r m i t e 样条函数，对于正的参数q 和屈，t t ( t ) 的误差满足下式 i f ( t ) - m t ) - l l f , 3 , ( ，) i i 砰q ， 其中 c i = m a x r o ( 口, ，屈，p ) ， u ) i 。 ， 此处 j i i = + l - t , 蝴纠= 般瑞笔： e = 堡 a t + p i ? 毗删= 坐业朵篇器篙筹产， 蝴纠= 坐业希鬻稳鬻掣 特删地，如果q = 屈，那么( 2 1 1 ) 式足义的捕值函数即为杯准二次 h e r m i t e 插值函数，此时q ( ，屈，口) 和呸( q ，层，口) 分别变为 僻搿胚秒 砷) = 搿f 1 矧 因为 m a x l 卜m a 畦x 神埋m 警a x 卜1 ， 所以 c j = 一 9 6 6 定理2 2 2 【3 3 1 对任意给定的正的参数q 和局，定理2 2 1 中的误差估 计系数q 是有界的 上c 。三 9 68 1 定理2 2 3 3 3 1 若厂( f ) c 3 【f 0 ，乙】，且日( ，) 是i t , ，+ 。 上由式( 2 1 1 ) 定义的 关于被插函数( ，) 的有理三次h e r m i t e 样条函数，则对正的参数和 尼，f - o ，l ，2 ，咒，s - s ( t ) 在【t o , 乙】上收敛于厂( f ) ，即 l i m n ( t ) = 厂( f ) ， _ 0 7 、7 其中 h = m a x h , 1 2 3 插值函数导数的误差估计 由于导数值反映了函数的变化趋势，段奇等人在文献 3 3 】和 3 4 】中研究了 具有线性分母的有理三次h e r m i t e 样条函数的导数的有关性质，证明了其一 阶导数收敛于被插函数的一阶导数，并且给出了其二阶导数h 。o ) 在插值节点 处的跳跃量 2 3 1一阶导数的误差估计 定理2 3 1 3 4 1 若厂( ，) c 2k ，乙】，日( f ) 是【，+ 。】上由式( 2 1 1 ) 定义的关 于被插函数( t ) 的有理三次h e r m i t e 样条函数，对于正的参数和局，n ( t ) 的 导数值h ( r ) 满足 忖( ，) 一厂俐例产蚓旧， 其中 c i = m a x a j ( a , ，p i ，e 1 ， u w j l f q ( q ，屈，9 ) ，o 秒f 9 l ， 国( ，屈，口) = 哆( ，属，秒) ，鼠9 矿， i 幻( ，屈，口) ，矿9 1 ， 鼠= 逝4 ( a ，- f l ；) = 等抨， q ( 嘭，屈，口) = p p ( 1 2 0 + 2 8 2 ) 屏+ 2 0 一秒) 2 层+ 2 ( 1 一p ) 3 彳 2 2 ( 1 一目) 2 属+ o ( 1 埘) 群 2 ) ( 1 _ 口) ( 1 一目) + 够 2 ( 1 一秒) 群+ 弛届+ 研 1 口( 1 一目) i ( 1 一目) 3 砰+ 口3 群l + 甫0 丽- 砀r 一秒) + 够 。 哆( ，屈，9 ) = ( 1 一乡) ( 1 一o ) 0 2 0 + 2 0 2 ) 彳+ 2 0 2 屈+ 2 0 3 群 2 + 2 乡2 q 屈+ ( 1 一o ) ( 2 0 1 ) 彳p e r 0 一秒) q + 够 2 ( 1 一p ) 彳+ 2 a , p , + 孵 1 + 9 乡( 1 2 0 + 2 0 2 ) 群+ 2 ( 1 目) 2q 层+ 2 ( 1 一目) 3 彳 2 + 一目) 2q 屈+ o ( 1 捌) 盯 ( 1 - 秒) ( 1 一口) q + 够 2 ( 1 一秒) 砰+ 2 屈+ 孵 ) 1 ， 伤( q ，层，乡) = 0 一口) ( 1 一o ) 0 2 0 + 2 0 2 ) 彳+ 2 0 2 q 层+ 2 0 3 群 2 + 2 秒2 q 屈+ ( 1 一e ) ( 2 0 一1 ) 彳 2 ) o e 0 一乡) q + 够 2 ( 1 一矽) 彳+ 2 a , p , + 孵 1 9 ( 1 一矽) i ( 1 一秒) 3 彳+ 口3 群l + 甫0 丽- 矿臼) + 够 。 由q ( q ，届，目) ，吃( q ，属，乡) 和他( q ，屈，p ) 的定义很容易看到，系数q 是有 界的，因此有下面的收敛定理 定理2 3 2 3 4 1 若厂( f ) c 2k ，乙】，曰( f ) 是【，+ 。】上由式( 2 1 1 ) 定义的关 于被插函数i ( t ) 的有理三次h e r m i t e 样条函数，对于正的参数o r , 和属， f - o ，l ，2 ，刀，在整个插值区间【t o t 】上，h ( f ) 收敛于厂( f ) ，即 其中 lira。h7(t)-f7(f)，h训 、7 8 2 3 2二阶导数的跳跃量 h = m x h , j 由式( 2 1 1 ) 定义的插值函数日( ，) c 1k ，乙】，因而在节点其二阶导数h ( ，) 有跳跃，在文献 3 3 】和 3 4 】中，段奇等人研究了h ( r ) 在节点处的跳跃量，得 出了以下定理 定理2 3 3 3 4 1 若厂( r ) c 2 【f o ，乙】，日( f ) 是【，l ，j + 。】上f l 了式( 2 1 1 ) 定义的关 于被插函数( f ) 的有理三次h e r m i t e 样条函数，对于正的参数q 和层，n ( t ) 的 二阶导数日。( f ) 有下面的积分表达式 h 。( f ) = ：m 2 ( f ) k ( f ，0 ，q ，局) d f 其中 k ( f ，0 ，q ，屈) = 2 ( 一( 1 一目) 3 彳一( 1 - 秒) 2 ( 2 + 目) 彳屈+ 口2 ( 3 一矽) 屏+ 秒3 屏) ( + 一f ) + 2 曩 ( 1 一秒) 3 彳层+ ( 2 矿一3 0 2 ) q 序一目3 屏 ( 1 一日) + 够 3 砰 一 定理2 3 4 3 4 1 若，( ，) c 2 【f o ，乙】，日( r ) 是 ，+ 。】上f l 拭( 2 1 1 ) 定义的关 于被插函数i ( t ) 的有理三次h e r m i t e 样条函数，如果插值节点等距，即 h = ( 乙- t o ) n ，对于正的参数q 和屈，h ( t ) 的二阶导数h 。( f ) 在节点处的跳跃 量满足： 阿( + ) 一日。( 一) i 0 2 酬i q ， 其中 q = 形( q 中屈中呸，尼) = 鱼等惹：i ；糟+ 竺乏黼 当被插函数f ( t ) ec 3 【f o ，乙】时，文献【3 3 】给出了有理三次h e r m i t e 样条函 数h ( t ) 的二阶导数日。( f ) 在节点处的跳跃量 定理2 3 5 3 3 1 若f ( t ) - c 3 【，o ，】，且日( f ) 是【，o ，乙】上由式( 2 1 1 ) 定义的 关于被插函数f ( t ) 的有理三次h e r m i t e 样条函数，如果插值节点等距，即 j i i = 以- t o ) n ，则对正的参数和层，日( f ) 在节点t 处的二阶导数的跳跃量满 足： 阿( + ) 一何。( ，_ ) l - l l i 3 训旧 9 兵甲 q = 矿( - l ，屈一l ，屈) ，、。， 形( 小屈中，屈) = 皇号荔三酣+ ! 笔瑞 如果= 属，那么h ( t ) 即为标准三次h e r m i t e 插值函数，有 p ( + ) 一h 。( f i 一) i 圳1 6 3 训卜 2 4 二阶导数连续的条件 由式( 2 i 1 ) 定义的带参数的具有线性分母的有理三次h e r m i t e 样条 h ( t ) e c l k ，乙】，可以通过选择合适的参数嘭和屈，i = 0 ，i ，2 ，刀，使得日( f ) 能 够达到二阶连续令日。( + ) = 日。纯- ) ，i = 1 ，2 ，n - 1 可得下面的定理： 定理2 4 1 【3 4 1 设h ( f ) 是【，+ 。】上由式( 2 1 1 ) 定义的关于被插函数厂( f ) 的有理三次h e r m i t e 样条函数，如果正的参数q 斗屈一l 和q ，屈满足下面的条件， 则h ( 0 c 2 t o ，乙】 囊静* + 甜礼卜缸 叫m 和+ 如( 1 + 2 薏卜户墟，棚 其中 妒峄 2 5数值例子 选择函数厂( ，) = 4 s i n 3 ( 弓，) 为被插函数， 取，j = 圭，扛o ，l ，8 为插值节点， 函数值z = 厂( ) 和导数值吐如表2 - 1 中所示，控制参数的选取如表2 - 2 所示： l o 表2 1 插值数据 1012 345 678 o0 5l1 522 533 54 彳= 厂( f f ) 0 0 0 0 0 0 2 2 4 2 1 4 1 4 23 1 5 4 34 0 0 0 03 1 5 4 31 4 1 4 2 0 2 2 4 20 o 0 0 0 z 0 0 0 0 0 1 2 7 5 2 3 3 3 2 23 0 7 8 50 0 0 0 03 0 7 8 53 3 3 2 2 - 1 2 7 5 2o 0 0 0 0 表2 - 2 控制参数 z o123 4 5 6 78 1 52 43 81 230 72 81 o4 0 其中 根据式( 2 1 1 ) 可以得到有理三次样条插值函数： 鼍(，)i。h，=!i：!；!：!：!：-：!：j!：l!；iil；i；l；j：!i：!：；j：!世，z=。，7， 形= ( ( 2 q + + ) 彳+ j 1q 珥) ， 形= ( ( + 2 ) 厶一j 1 扎) ， o = 2 ( t - t , ) 图2 1 为原函数与插值函数的图像，图2 2 为误差函数图像，可以看出， 逼近效果良好 图2 1 原函数与插值函数图像 0 伍苎 0 0 2 o 0 1 5 0 0 1 0 0 皓 0 00 511 622 533 5 图2 - 2 误差函数图像 1 2 第三章基于函数值的有理三次样条函数 由于在实际应用中，被插函数的导数值有时是很难获得的，因此，有理 三次h e r m i t e 样条在实际的应用中就受到了限制，如何在仅知道被插函数函 数值的情况下构造插值函数，成了众多学者研究的问题 段奇等在文献 2 5 】中构造了一种只基于函数值的有理三次样条，研究了 其在形状控制中的应用，并对其逼近的误差进行了分析，文献 2 8 和【4 0 1 进一 步研究了这种有理三次样条在曲线控制中的应用文献【2 9 研究了二元的只 基于函数值的有理插值函数 3 1构造过程 假设 ( ，z ) ，i = 0 1 栉，n + l 是给定的组数据点，其中z - f ( t ，) ， t o ，1 0 是调控参数 容易验证，尸( f ) 满足： 尸( ) = z ，p 7 ) = ， i = 0 ，1 ，刀 3 2 达到二阶连续的条件 由式( 3 1 1 ) 定义的有理三次样条j p ( ，) 是c 1 连续的，可以通过选择适当的 参数q 和层，使其能够达到二阶连续令p 。 + ) = p 。( ) ，i = l ，2 ，甩一i 可得如 下方程组 j l ( ，+ 刳( 妒“) 帆。私 ) 一o ，棚吐b 比， 因此，只要参数q 和层满足式( 3 i 2 ) ，p ( f ) 就能达到c 2 连续 3 3 误差估计 只考虑p ( f ) 在子区间【，+ 】上的误差情况，并假设插值节点是等距的 定理3 3 1 2 5 1 若厂( ，) c 2 t o ，乙】，p ( f ) 是【1 i + 。】上由式( 3 1 1 ) 定义的关 于被插函数厂( f ) 的有理三次样条函数，对于正的参数q 和局，p ( r ) 的误差满 足下式： 其中 巾) 一p ( ，) i 翱产训i c f ， 瑰= + l - t , ， w ( q ，屈，p ) = 研( 呸屈一3 群) + ( 7 群一5 q 屏+ 彳) 秒3 一( 4 所一7 q 局+ 3 砰) 秒2 + 3 ( 彳一q 屈) 口一彳】， v ( q ，层，p ) = ( ( 1 一秒) q + 屈秒) ( 屈口2 + ( 一2 屈) p 一) 定理3 3 2 2 5 1对于任意的q 0 ，屈 0 ，定理3 3 1 中的c j 是有界的 ! c 。!皇：二z翌：兰翌=042；30428max04 2 3 3 0 4 2 8 一c 。 一= 4 o s 占l 2 0 1 4 纠i 糟 觚姐 3 4 数值例子 选择函数厂o ) = 4 s i n a ( 4 ，) 为被插函数，取= 五i ，f = 。，l ，9 为插值节点， 函数值厂( ) 和差商值a ，如表3 - 1 中所示，控制参数的选取如表3 - 2 所示： 表3 1 插值数据 z0l23456789 ，f 0 0 5l1 52 2 533 5 4 4 5 t 0 0 0 0 00 2 2 4 21 4 1 4 23 1 5 4 34 0 0 0 03 1 5 4 31 4 1 4 20 2 2 4 20 0 0 0 0- 0 2 2 4 2 a f o 4 4 8 32 3 8 0 13 4 8 0 21 6 9 1 41 6 9 1 43 4 8 0 22 3 8 0 1- 0 4 4 8 3- 0 4 4 8 3 表3 - 2 控制参数 z 0 12345 6 78 1 52 43 81 230 72 81 04 0 根据式( 3 1 1 ) 可以得到有理三次样条插值函数的表达式 -t，(，)ip。h，=!：!-f!：-!：!：-：!：j!：l-【!：!；!；!；l；j!i!i：!：；：幽，=。，-，7， 其中 杉= ( 嘭+ o r t + 。) z + q 厶，形= ( q + 3 q + 1 ) 厶l q + l z + 2 ，o = 2 ( t - t e ) 图3 1 为原函数与插值函数的图像，可以看出，逼近效果并不十分理想 图3 1 原函数与插值函数图像 第四章基于均差商的有理三次样条函数 式( 3 1 1 ) 定义的有理三次样条p ( t ) 实际上是在式( 2 1 1 ) 中用节点处的差 商。代替该点处的导数值4 得到的这简单的替代误差较大，而且无法在曲线 的保形中应用在文献【2 6 】中李世龙、张云峰利用算术均差商值代替式( 2 1 1 ) 中的导数值，构造了基于算术均差商的有理三次样条函数，并对其逼近性质、 一阶导数的逼近性质和二阶导数的跳跃量进行了研究数值实验显示其逼近 效果比基于函数值的有理三次样条要好的多除了算术均差商，文献 18 】和【3 2 】 中还介绍了其他几种均差商的算法，下面重点对基于算术均差商的有理三次 样条及其有关性质进行介绍，对于其他的均差商，限于篇幅，只列出相关算 法 4 1基于代数均差商的有理三次样条函数 4 1 1构造过程 设t o f 1 乙是给定分划点，记红= + 。- t , ，a = ( 矗- f , ) h , ，则定义节点 处的算术均差商如下： 口= m m 私限，嚣h 凳老含老名扩- 口= ( 五h + 鹿一a ) ( 局一。+ 鹿) ，“其他谣形， 7 - 1 2 川_ 1 端点条件为 其中 f d 0 = 【 f q = 【 0 ， 如果o = o 或s g n ( 磊) s g n ( 0 ) ， 磊， 其他情形， 0 ， 如果州= o 或s g n ( ) s g n ( 州) ， z ， 其他情形， 磊= 。+ ( 。- a 。) ( + j j i ) ， z = 。一+ ( 。一。- a 。一：) 吃一。( 一：+ 一。) 假设 ( ，z ) ，i - - 0 ，1 ，力 是给定的一组数据点，其中z = 厂( ) 为被插函数 在f j 处的函数值，t o 0 是分划点，则定义基于算术均差商的有理三次 样条函数如下： 1 6 其中 酬= 鬻小o 1 ，n ( 4 - - 1 ) 易( ，) = 呸z ( 1 一秒) 3 + 形